pertemuan 02 perbedaan antara sistem diskrit dan sistem kontinu

PERTEMUAN 02

PERBEDAAN ANTARA SISTEM DISKRIT

DAN SISTEM KONTINU

2.1 SISTEM WAKTU DISKRET

Sebuah sistem waktu-diskret, secara abstrak, adalah suatu hubungan antara barisan

masukan dan barisan keluaran. Sebuah sistem waktu-diskret mencirikan bagaimana

suatu barisan masukan {u(k)} ditransformasikan ke dalam suatu barisan keluaran {y(k)}.

Jenis sistem ini menjadi semakin penting dikarenakan kemajuan-kemajuan dalam

teknologi untuk memproduksikan rangkaian-rangkaian mikro digital (digital microcircuits).

Kecepatan pengolahannya yang semakin tinggi dan harganya yang cukup rendah telah

membuat jenis sistem ini bersaing dengan rangkaian-rangkaian op-amp dan RLC yang

lebih tradisional. Desain dan analisis dari sistem-sistem diskret akan terus bertumbuh

dan melengkapi rangkaian-rangkaian (analog) waktu-kontinu. Pada umumnya, sistem-

sistem waktu-diskret digunakan untuk memroses sinyal-sinyal yang muncul sebagai

sinyal-sinyal waktu-kontinu. Jadi, ada suatu proses pencuplikan (sampling) yang

mentransformasikan suatu sinyal waktu:kontinu u(t) ke dalam suatu himpunan cuplikan-

cuplikan berspasi (jarak antara) sama {u(kT)} yang kemudian diproses oleh sistem

waktu-diskret.

Salah satu contoh dari penerapan sistem-sistem diskret adalah dalam bidang

sistem audio digital piringan kompak (compact-disk audio digital). Dengan sistem ini,

bahan audio bukannya direkam sebagai suatu sinyal analog melainkan dicuplik dengan

suatu pengubah analog-ke-digital (analog-to-digital converter = ADC) dan direkam dalam

bentuk digital, sama halnya dengan data-data digital lainnya. Selama pemutaran kembali,

informasi ini diubah kembali ke bentuk analog dengan sebuah pengubah digital-keanalog

yang menghasilkan kembali suatu bentuk-gelombang (waveform) yang melewati

cuplikan-cuplikan dari bentuk-gelombang semula. Bentuk-gelombang analog yang

dihasilkan ini kemudian dilewatkan melalui sebuah sistem penguat/pengeras suara

konvensional. Keuntungan dari pendekatan baru ini terhadap perekaman dan pemutaran

kembali musik cukup banyak. Jangkauan dinamiknya (dynamic range) dinaikkan dari

kurang daripada 70 db ke lebih daripada 90 db. Dengan menggunakan sebuah sandi

pembetulan-kesalahan (error-correction code), informasi digital dapat diproduksi kembali

tanpa kesalahan mendasar yang disebabkan oleh hal-hal seperti berbagai goresan dan

sidik-jari pada piringan kompak. Karena informasi digital, pada hakekatnya, bebas dari

kata-ke-kata, maka pemisahan stereo antara saluran-saluran (channels) menjadi lebih

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Dr. Ir. Hamzah Hillal M.ScSistem Linier

1

daripada 90 db dibandingkan dengan pemisahan stereo analog yang hanya 25 hingga 30

db. Dengan majunya teknologi pembuatan rangkaian-mikro digital, maka jenis-jenis

sistem audio ini pasti akan menggantikan sistem analog yang lebih tradisional. Dan

contoh penggantian sistem-sistem analog atau kontinu dengan digital ini akan terus

berlangsung dalam penerapan begitu teknologi mempermurah harganya dan

memperbesar kerapatan berbagai rangkaian-mikro pada sebuah chip (serpihan).

Disini akan digunakan notasi {u(kT)} atau u untuk menunjukkan keseluruhan

barisan. Sebagairnana dibahas di depan, nilai-nilai barisan ditunjukkan oleh notasi-notasi

u(k), uk dan u(kT) di mana k adalah sebarang bilangan bulat. Barisan dapat didefinisikan

dalam dua cara:

a. Merincikan suatu aturan untuk menghitung nilai ke-k dari barisan. Sebagai contoh:

f = {1,1/2, ¼, …. (1/2)k, …)

adalah setara dengan perincian:

b. Mendartarkan nilai-nilai barisan secara ekplisit. Sebagai contoh:

F = {…, 0, 0, 1, 5, -3, 2.5, 0, 0, ...)

↑

Tanda-panah digunakan untuk menunjukkan suku k = 0. Disini akan digunakan

perjanjian bahwa jika tanda-panahnya diabaikan, maka suku pertama adalah suku k =

0 dan semua nilai barisan adalah nol untuk k < 0.

Sekarang dapat didefinisikan jumlah dari dua barisan {ak} + {bk} sebagai barisan

{ck}, di mana ck = ak + bk. Hasilkali dari dua barisan {ak}{bk} adalah barisan {ck} dengan

nilai-nilai = akbk. Hasilkali dari sebuah tetapan α dan sebuah barisan {ak} adalah barisan

{ck} dengan nilai-nilai ck = αak.

Sebuah sistem waktu-diskret dapat dilukiskan dalam berbagai cara. Elemen-

elemen pokok dalam suatu sistem waktu-diskret adalah penjumlah (adders) (yang

menjumlah dua bilangan bersama), pengali (multipliers) (yang mengalikan dua bilangan

bersama), dan elemen-elemen unit-tunda (unit-delay) (yang menyimpan bilangan-

bilangan). Meskipun tidaklah perlu untuk memahami implementasi (implementation) atau

pelaksanaan fisis dari sistem-sistem waktu-diskret, namun kadang-kadang pemahaman

sifat-sifat matematisnya juga diperlukan.


2

Cara lain untuk mengimplementasikan suatu sistem waktu-diskret adalah dengan

menuliskan perangkat lunak. (software), yakni, sebuah program, bagi sebuah komputer

serba guna. Dalam kasus ini, untuk barisan masukan u dan nilai-nilai yang disimpan

dalam unit-unit tunda yang diketahui seseorang dapat menghitung tiap-tiap keluaran bagi

tiap-tiap masukan baru, dalam barisan, seperti diperlihatkan pada gambar 2.1b.

Metode ketiga untuk melukiskan sebuah rangkaian waktu-diskret adalah dengan

menggunakan suatu deskripsi matematis. Dalam kasus ini, deskripsi yang tepat adalah

suatu persamaan beda linear atau pengulangan (difference or recursion equation) dengan

koefisien-koefisien tetap. Karena keluaran dari sistem adalah pada keluaran dari

penjumlah atau akumulator (accumulator), maka penulisan persamaan ini mudah

dilakukan. Hasilnya adalah suatu persamaan beda yang mengaitkan keluaran kini y(k)

dengan masukan u(k)dan nilai-nilai keluaran yang lalu y(k-1) dan y(k-2) sebagai berikut:

Memori atau ingatan (memory) dari sebuah sistem waktu-diskret terkandung

dalam elemen-elemen unit-tunda. Dalam contoh ini, memori-memori menyimpan kedua

nilai yang lalu dari barisan keluaran y(k-1) dan y(k-2). Memori dari sistem kadang-kadang

disebut keadaan sistem (state of the system) karena ia berguna untuk meringkaskan

semua pengalaman (history) sistem yang lalu. Perlu dicatat bahwa pengulangan dari

suatu persamaan beda sebenarnya adalah suatu jumlah tak berhingga persamaan-

persamaan, satu untuk tiap-tiap nilai k. Bila diberikan suatu syarat awal dalam mana

y(ko-1) dan y(ko-2) merupakan nilai-nilai yang diketahui, maka seseorang dapat

menggunakan persamaan pengulangan ini untuk mencari barisan keluaran dengan

"simulasi" (simulation) untuk k ko dan u(k), k ko yang diketahui. Bentuk perhitungan ini

pada dasarnya sama seperti perwujudan perangkat-lunak dari sistem yang diberikan pada

gambar 2.1b. Dan seringkali disebut suatu simulasi dari sistem waktu-diskret.

Beberapa contoh lain dari sistem waktu diskret diberikan sebagai berikut.

Contoh 2.2: Tentukan model persamaan beda bagi rangkaian waktu-diskret yang

diperlihatkan pada gambar 2.2. Elemen unit tunda merupakan elemen ingatan yang

menahan masukan yang lalu selama satu siklus pewaktu. Jadi keluaran unit tunda yang

pertama adalah yk-1. Dengan cara yang sama, keluaran unit tunda kedua adalah yk-2.

Dengan menyamakan keluaran penjumlah yk dengan panah yang masuk, diperoleh:


3

sebagai model persamaan beda bagi rangkaian tersebut. Perhatikan bagaimana cepatnya

seseorang dapat menuliskan persamaan untuk sistem semacani ini.

Gambar 2.2 Diagram blok untuk sistem waktu diskret dari contoh 2.2.

Contoh 2.3: Setiap satu siklus pada suatu proses kimia, uk liter bahan kimia A dan 100 - uk

liter bahan kimia B ditambahkan pada 900 liter campuran dalam suatu bejana besar di

mana 0 uk 100, k = 1, 2, 3, . . Isi bejana tersebut diaduk dengan sempurna dan 100

liter campuran dikeluarkan. Ambil yk sebagai konsentrasi fraksional bahan kimia A dalam

campuran yang dikeluarkan, yakni 1000yk merupakan jumlah bahan kimia A dalam

bejana. Untuk memperoleh hubungan pengulangan atau rekursi (recursion) bagi yk,

jumlah total bahan kimia A pada siklus k disamakan dengan jumlah bahan kimia A pada

siklus k-1 ditambah dengan sebarang masukan. Jadi:

atau

(2.1)

Persamaan (2.1) menyatakan bahwa jumlah bahan kimia A pada siklus k adalah

jumlah pada siklus k - 1 ditambah jumlah yang ditambahkan pada siklus k.

Contoh 2.4: Pertumbuhan geometris merupakan suatu model yang digunakan pada

banyak bidang. Andaikan suatu populasi tertentu mempunyai Nt individu pada akhir tahun

t dengan t = 0, 1, 2,…... Populasi diketahui meningkat dengan laju relatif 2% per tahun.

Yaitu, kenaikan populasi setiap tahun sebanding dengan populasi pada awal tahun.

Tetapan perbandingan di sini adalah 0,02. Jadi, karena kenaikan populasi adalah Nt+1-Nt,

maka akan dipunyai persamaan beda:


4

(2.2)

atau

dengan No merupakan populasi awal. Perhatikan bahwa dalam contoh ini masukan

adalah nol. Keluaran bertambah karena syarat awal (populasi) N0 tidak nol.

Contoh 2.5: Teori informasi adalah bidang yang berkaitan dengan bagaimana

mengirimkan sinyal (informasi) secara efisien. Medium lewat mana sinyal dikirim disebut

kanal (channel). Setiap kanal fisis memiliki batasan teoritis (karena bising dan lebar pita)

dalam jumlah informasi persatuan waktu yang dapat dikirim lewat kanal tanpa kesalahan.

Ini disebut kapasitas kanal C. Satuannya adalah bit per detik dan secara formal

didefinisikan sebagai:

(2.3)

Pada (2.3), Nt adalah jumlah pesan yang dapat dikirimkan selama selang t. Jadi,

untuk kanal tertentu, jika jumlah "pesan" per satuan waktu yang dapat dikirimkan

meningkat maka kapasitasnya meningkat.

Andaikan dipunyai sistem komunikasi yang hanya menggunakan dua simbol.

Katakanlah S1 dan S2, misalnya titik dan garis. Pesan dibuat dari kombinasi simbol Si dan

S2. Andaikan bahwa S1 berakhir ti detik dan untuk S2 adalah t2 detik. Ambil Nt sebagai

jumlah pesan dengan selang t. Berapakah kapasitas kanal ini?

Dalam rangka menghitung kapasitas, Nt harus dihitung. Nt dapat dihitung dengan

mengembangkan suatu pengulangan bagi Nt. Berapa banyakkah pesan yang ada dalam

selang t detik? Jumlah total dapat dibagi dalam dua kelompok, yakni yang berakhir pada

simbol S1 dan yang berakhir pada simbol S2. Berapa banyakkah yang berakhir pada S1?

S2 berakhir t1 detik. Jadi ada (t-t1) detik sebelum S1 mulai. Berdasarkan pada definisi, ada

Nt-t1 pesan dalam selang ini. Begitu pula, jumlah total pesan selama selang t yang

berakhir pada S2 harus berjumlah Nt-t2. Karena jumlah total pesan Nt berakhir pada

masing-masing S1 atau S2, maka didapatkan:

(2.4)

Untuk menghitung kapasitas kanal, persamaan (2.4) harus dipecahkan untuk Nt

dan kemudian memakai persamaan (2.3) untuk memperoleh C. Jika misalnya t1 = 1 dan t2

= 2, maka berdasarkan pada persamaan (2.4) disusutkan menjadi


5

(2.5)

Syarat-syarat awal adalah N1 dan N2, yang berturut-turut merupakan jumlah pesan

selama selang 1 dan 2 unit waktu. Dalam hal ini N1 = 1, N2 = 2. Jika t1 = t2 = 1, apakah

anda mengharap kapasitas kanal menjadi meningkat atau menurun dibandingkan

dengan kasus t1 = 1 dan t2 = 2?

2.2 SISTEM WAKTU KONTINU

Sistem-sistem waktu-kontinu barangkali lebih dikenal oleh para mahasiswa teknik tahap

sarjana karena telah banyak ditinjau dalam kuliah-kuliah sebelumnya mengenai rangkaian

listrik dan mekanika. Deskripsi matematik dasar dari sistem-sistem adalah persamaan

diferensial linear dengan koefisien tetap (dengan mengandaikan sistem-sistemnya

berparameter tetap) berbentuk:

(2.6)

Dalam model ini, masukan u(t) dan fungsi keluaran y(t) merupakan fungsi kontinu dari

variabel riil t yang biasanya adalah variabel waktu.

Contoh 2.6: Jaringan listrik merupakan contoh klasik sistem yang dapat dimodelkan oleh

persamaan diferensial. Persamaan yang melukiskan rangkaian diperoleh dengan

menggunakan kedua hukum Kirchoff. Tinjaulah jaringan yang terlihat pada gambar 2.3.

Hukum Kirchoff tegangan yang diterapkan sekeliling untaian (loop) tunggal menghasilkan

persamaan:

(2.7)

Persamaan (2.7) dapat dirubah menjadi persamaan yang hanya mengandung

turunan dengan mendeferensiasikan kedua belah ruas terhadap t, diperoleh:

(2.8)

Dalam rangka memecahkan (2.8) harus ditentukan syarat-syarat awal bagi

jaringan ini. Jika diandaikan bahwa sakelar tertutup pada saat t = 0, maka arus pada

untaian sesaat setelah sakelar ditutup, i(0+), adalah nol karena arus tidak dapat berubah

secara sesaat, melalui induktor. Jadi tidak ada arus yang mengalir pada t = 04- dan


6

tegangan total yang muncul sepanjang induktor, adalah

atau (2.9)

Gambar 2.3 Rangkaian elektris untuk contoh 2.6

Persamaan (2.9) dan i(0+) adalah syarat-syarat awal dari rangkaian. Jadi

persoalannya adalah memecahkan:

=0

dengan

Contoh 2.7: Persamaan diferensial linear digunakan sebagai model bagi kebanyakan

persoalan fisika. Tinjaulah suatu contoh ideal dari pembuatan saluran limbah (got =

sewage). Sebuah kolam penampungan berisi cemaran (pollutant) tertentu dengan

konsentrasi C. Limbah yang belum diolah yang ditambahkan ke kolam, berisi cemaran

dengan konsentrasi lebih tinggi daripada konsentrasi cemaran pada kolam. Setelah

beberapa lama dalam kolam, bakteri mempengaruhi cemaran dan campuran dibiarkan

mengalir ke sungai. Gambar 2.4 menunjukkan situasi tersebut. Andaikan bahwa laju

masukan adalah mantap yaitu i1 gal/ min dengan konsentrasi cemaran masukan adalah

C1 lb/gal. Aliran keluaran adalah mantap yaitu i2 gal/min. Kolam mula-mula berisi Go gallon

dengan cemaran Po pon. Persoalannya adalah menentukan berapa lama campuran dapat

dikosongkan ke sungai sebelum konsentrasi melebihi standar pemerintah 0,1C1.

Dengan laju aliran limbah yang masuk dan yang keluar kolam tetap, maka isi air


7

total dalam kolam adalah:

Isi total pada saat t = Go + (i1-i2)t gallon

Ambil P(t) sebagai berat cemaran dalam pon pada saat t. Laju perubahan jumlah

cemaran adalah dP(t)/dt. Laju perubahan ini sama dengan jumlah yang memasuki

kolam,C1i1, dikurangi jumlah yang meninggalkan kolam, i2P(t)/(isi total). Jadi:

atau: (2.10)

Gambar 2.4 Model perawatan saluran gedung untuk contoh 2.7

Persamaan (2.10) adalah persamaan diferensial linear orde satu dengan

koefisien-koefisien yang bergantung pada waktu. Persamaan tersebut dapat dipecahkan

dengan mudah dengan menggunakan teknik standar. Disini akan diutamakan sistem

berparameter tetap yang memiliki koefisien tetap, misalnya, keadaan yang diperoleh

dengan i1=i2.

Pada bagian-bagian berikutnya akan disajikan beberapa metode untuk

menganalisis sistem yang dinyatakan oleh persamaan beda dan persamaan diferensial.

Pertama akan disajikan untuk sistem waktu-diskret dan kemudian untuk sistem waktu-

kontinu. Untuk kedua kelompok sistem ini, terdapat persamaan matematik yang sangat

mirip. Jadi, sangatlah membantu untuk mengingat proses pemecahan sistem waktu-

diskret, pada saat mempelajari sistem waktu-kontinu, dan sebaliknya. Pertama-tama akan

dibahas sistem waktu-diskret karena matematiknya cenderung lebih mudah.

Salah satu tujuan bahan ini adalah untuk menyajikan beberapa deskripsi alternatif

dari suatu sistem linear. Masing-masing deskripsi akan dibahas secara terinci dan

beberapa metode untuk menyatakan suatu deskripsi dalam deskripsi yang lainnya.

Sementara membaca bahan ini dan menghadapi deskripsi baru dari sistem yang sama,

cobalah nyatakan tiap-tiap model dalam paramater-parameter dari deskripsi yang

lainnya. Jenis transformasi ini bermanfaat dan akan membantu dalam memahami sifat-


8

sifat berbagai deskripsi.


9

pertemuan 02 perbedaan antara sistem diskrit dan sistem kontinu

Documents