BILANGAN KOMPLEKS

1.Kita tahu bahwa j=√−1 maka j2= 1 dan j3=1 dan seterusnya.......

2.Dalam bilangan kompleks kita akan mengenal bagian Rill dan bagian Imaginer,misalkan

z= a + jb. Maka “a” adalah bagian rill dan “b” adalah bagian imajiner.

3.Penjumlahan dan Pengurangan pada bilangan kompleks, misalkan:

(a+jb) + (cjd) = a+jb+cjd = (a+c) + j(bd)

4.Perkalian pada bilangan kompleks, misalkan:

(3+j4)(2+j5) = (3×2)+(3×j5)+(j4×2)+(j4×j5) = 6 + j23 + j220 (subtitusikan j2= 1)

menjadi 6+j2320 = 14+j23

5.Konjugasi bilangan kompleks

Ciri dari bilangan konjugasi ini adalah nilai bagian Rill yang sama, misalkan:

(a+jb)(ajb) = a2 + b2

6.Kesamaan dalam bilangan kompleks, misalkan:

jika a +jb = c + jd, maka a=c dan b=d

7.Bentuk kutub bilangan kompleks

jika z = a +jb = r(cos + j sin ) dengan r = √(a2 + b2) dan = tan1 ba

8.Bentuk exponensial bilangan kompleks

z = r(cos + j sin ) = rej ( dalam radian)

9.Logaritma bilangan kompleks

misalkan z = rej jadi ln z = ln r + j

10.Tempat kedudukan

jika z = x + jy, z=√(x2 + y2) dan arg z = tan1 yx

DETERMINAN

1.Secara sederhana pemecahan dalam determinan orde ke 2 adalah sbb:

a1 b1a2 b2 = a1.b2 a2.b1

2. Pemecahan dalam persamaan, jika: a1x + b1y + d1=0

a2x + b2y + d2=0

maka

x

b1 d 1b2 d 2=

y

a1 d 1a2 d 2 =

1

a1 b1a2 b2

3.Determinan orde ke 3

Untuk menyelesaikan determinan orde ke3 yang mempunyai 3 baris dan 3 kolom dapat di

selesaikan dengan cara berikut ini:

[a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c 3] = a1

¿

Pemecahan dalam bentuk persamaan

jika a1x + b1y + d1=0

a2x + b2y + d2=0

a3x + b3y + d3=0

maka

x

[b1 c1 d 1b2 c2 d 2b3 c3 d 3] =

y

[a1 c1 d 1a2 c2 d 2a3 c3 d 3] =

z

[a1 b1 d1a2 b2 d2a3 b3 d3] =

1

[a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3]

4.Sifat-Sifat Determinan

Harga suatu determinan tetap tidak berubah jika baris diganti menjadi kolom dan kolom

menjadi baris

a1 a2b1 b2 = a1 b1

a2 b2 Jika dua baris atau kolom ditukarkan tempatnya, tanda determinan berubah

a2 b2a1 b1 = ¿a1 b1

a2 b2 Jika ada dua baris atau kolom yang identik, maka harga determinan tersebut sama dengan nol

a1 a1a2 a2 = 0

Jika elemen-elemen salah satu baris atau kolom semua dikalikan dengan faktor yang sama,

maka determinanya pun dikalikan dengan faktor tersebut

ka1 kb1a2 b2 = k¿

Jika elemen-elemen salah satu baris atau kolom ditambah atau di kurang dengan kelipatan

elemen-elemen baris atau kolom lain yang bersesuaian, maka harga determinanya tidak

berubah.

a1+kb1 b1a2+kb2 b 2 = a1 1

a2 b2MATRIKS

1.Penjumlahan dan pengurangan matriks, misalkan:

3 52 2 + 2 6

1 4 = 5 113 6

3 54 9 2 3

1 4 = 1 23 5

2.Perkalian matriks

2 61 4. 3 1

4 7 = 6+24 2+423+16 1+28 = 30 44

19 293.Transpose matriks

jika a cb d maka AT = a b

c d4.Adjoin matriks bujur sangkar, dengan cara:

a. Membentuk matriks kofaktor C

Jika [1 2 34 5 67 8 9]

maka [ A11 A12 A13A 21 A22 A23A 31 A32 A33]

dengan A11 = 5 68 9 A12 = 4 6

7 9 Dan seterusnya................

dan hasilnya adalah [−24 20 136 −5 815 −5 10 ]

b. setelah itu Menuliskan Transpose C dengan cara Transpose seperti pada poin 3

5.Membentuk invers dari matriks bujur sangakar A

Jika diketahui A [1 2 34 5 67 8 9]

a. Langkah pertama yang harus di lakukan adalah mencari determinandari A seperti yang sudah di

jelaskan di atas sehingga hasilnya det A = 45

b. Langkah ke 2 yang harus di lakukan adalah mencari Adj.A

Sehingga hasilnya [−24 20 136 −5 815 −5 10 ]

c.Langkah ke 3 membagi hasil Adj.A dengan determinan A

Sehingga hasilnya A1 = 1

45 [−24 20 13

6 −5 815 −5 10 ]

6.Matriks satuan

yaitu [1 0 00 1 00 0 1 ] biasanya dinyatakan dengan I

VEKTOR

Y

P

r b

a X

r =ai +bj

1.Cosinus arah

[l,m,n] adalah sudut yang dibentuk oleh vektor yang bersangkutan dengan sumbu OX, OY, dan OZ, dan untuk sembarang Vektor berlaku:

I = ar

, m = br

, n = cr

Dan I2 + m2 + n2 = 1

2.Perkalian titik

A.B = A B Cos (dengan adalah sudut yang diapit oleh A dan B)

jika A=a1i + b1j + c1k

B= a2i + b2j + c2k

maka A.B = a1a2 + b1b2 + c1c2

3.Perkalian Silang (perkalian Vektor)

A×B = (A B Cos ) dengan arah tegak lurus A dan B, sedemiian rupa A,B,(A×B ) sehingga membentuk sistem-kanan,

juga A×B =[ i j ka1 b1 c 1a2 b2 c 2]

4.Sudut antara 2 vektor

Cos = ll’ + mm’ + nn’

Untuk Vektor yang saling tegak lurus ll’ + mm’ + nn’=0 (karena Cos 90⁰ adalah 0)

DIFERENSIASI

1.Koefisien Diferensial Baku

y=f(x) dydx

xn nxn-1

ln x 1x

ex ex

ekx kekx

ax ax lna

cos x - sin x

sin x cos x

tan x sec2 x

cosh x sinh x

sinh x cosh x

cot x cosec2x

sec x sec x. tan x

cosec x cosec x.cot x

2.Perkalian

Jika y = uv, dengan u dan v adalah fungsi x, maka telah kita ketahui bahwa:

dydx

=UV '+VU ' atau dydx

=udvdx

+v dudx

3.Pembagian

Jika y = UV

, u dan v adalah fungsi x, maka:

dydx

= VU ’UV ’

V 2 atau Vdudx

Udvdx

V 2

4.Fungsi Implisit

contoh fungsi implisit x2 + y2 = 25

mencari dydx

maka dapat kita peroleh 2x + 2y dydx

= 0

jadi y dydx

= x maka dydx

= −xy

INTEGRASI

1.Integral-integral baku

1.ddx

( xn ) = nxn-1∴∫ xn dx=

xn+1

n+1+C

2.ddx

( ln x)=1x

∴∫1x

dx = ln x+C

3.ddx

(ex )=ex ∴∫ex dx =ex +C

4.ddx

(ekx )=kekx∴∫ekx dx =

ekx

k+C

5.ddx

(ax )=a x ln a ∴∫a x dx =ax

ln a+C

6.ddx

(cos x)=- sin x ∴∫sin x dx =- cos x+C

7.ddx

(sin x)=cos x ∴∫cos x dx =sin x+C

8.ddx

( tan x)=sec2 x ∴∫sec2 x dx = tan x+C

9.ddx

(cosh x)=sinh x ∴∫sinh x dx =cosh x+C

10.ddx

(sinh x)=cosh x ∴∫cosh x dx = sinh x+C

11.

ddx

(sin-1 x)=1

√(1- x2)

∴∫1

√(1- x2 )dx =sin -1 x + C

12.ddx

(cos-1 x)=-1

√1- x2)∴∫-1

√1-x2 )dx = cos-1 x+C

13.ddx

(tan -1 x )=-1

1+ x2∴∫1

1+ x2dx = tan -1 x+C

14.ddx

(sinh-1 x)=1

√x2 +1∴∫1

√x2+1dx = sinh -1 x+C

15.ddx

(cosh-1 x)=1

√x2 -1∴∫1

√x2-1dx = cosh-1 x+C

16.ddx

( tan-1 x)=1

1- x2∴∫1

1- x2dx = tan-1 x+C

2. Fungsi dari suatu fungsi linear

Seringkali kita harus mengintegrasikan fungsi-fungsi yang bentuknya sama seperti dalam daftar baku,

tetapi dengan x digantikan oleh fungsi linear x. Berikut akan diberikan contoh soal dan hasilnya.

jika ∫( 5x-4)6 dx

z=5x-4→dzdx

=5→dx=dz5

∫ z6 .dz5

→15

.17

z7 +c=135

z7 +C

maka ∫( 5x-4)6 dx=135

(5x-4)7 +C

jika ∫cos(7x + 2)dx = (7 x+2)

7+¿C

∫ e5 x+4dx=¿ e5x+4

5+c¿

∫ 14 x+3

dx=ln (4 x+3)

4+c

∫ 1

1+(2 x )2dx=

ln (4 x+3 )4

+c

3.Integral dalam bentuk ∫ f '(x)f(x)

dx dan ∫ f ( x ) . f ' (x), Contoh:

1) ∫ 2x+3

x2+3x−7=¿ ln(x2 +3x 7)

2) ∫ (x2+7 x−4 ) (2 x−7 )dx=¿ x2+7 x−4¿2

2+c

hal penting:

2 sin A cos B = sin (A + B ) + sin (A – B)

2 cos A sin B = sin (A + B ) – sin (A + B)

2 cos A cos B = cos (A + B ) + cos (A – B)

2 sin A sin B = cos ( A – B) – cos (A + B)

4.Bentuk-Bentuk baku dalam Integrasi bagian 2

1. ∫ dZ

Z2 A 2=

12A

.ln {Z AZ+A }+C Pecahan parsial

2. ∫ dZ

A2 Z2=

12A

.ln {A+ZA Z }+C Pecahan parsial

3. ∫ dZ

Z2 +A2=

1A

. tan -1{ZA }+C Subtitusikan Z=A tan

4. ∫ dZ

√( A2- Z2=sin -1{ZA }+C Subtitusikan Z=A sin

5. ∫ dZ

√(Z2+ A 2= sinh-1 {ZA }+C Subtitusikan Z=A sinh

6. ∫ dZ

√(Z2- A2=cosh-1 {ZA }+C Subtitusikan Z=A cosh

7. ∫√( A2 -Z2 ).dZ=A2

2 {sin-1(ZA )+Z√( A 2-Z2 )

A2 }+C Subtitusikan Z=A sin

8. ∫√(Z2 +A2 ).dZ=A2

2 {sinh-1(ZA )+

Z√(Z2+A2)

A2 }+C Subtitusikan Z=A sinh

9. ∫√(Z2 - A2 ).dZ=A2

2 {Z√(Z2- A2 )

A2 -cosh-1(ZA )}+C Subtitusikan Z=A cosh

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA

Pemecahan persamaan diferensial orde pertama dengan cara, sbb:

1.Dengan integrasi langsung

dydx

=f (x)

memberikan y=∫ f ( x )dx

Cth soal:

xdydx

=5 x3+4

dydx

=5 x2+ 4x

y=∫5 x2+ 4x

sehingga y=5 x3

3+4 ln x+c

2.Dengan pemisahan variabel

F(y).dydx

=f (x)

menghasilkan ∫F ( y )dy=∫ f ( x )dx

cth soal:

(y + 1)dydx

=2x

∫ ( y+1 )dy=∫ 2x dx

menghasilkan y2

2+y = x2+c

3.Dengan persamaan Homogen

subtitusikan y = vx

dan menghasilkan v+xdvdx

=F (v )

cth soal:

jika diketahui soal dydx

= x+3 y2 x

1) y=v . x (turunkan terhadap x)

2) menghasilkan dydx

=v+x . dvdx

3) x .dvdx

+v=1+3v2

(subtitusi soal dengan y = v.x) dan hasilnya subtitusi ke No 2

4) x .dvdx

=1+3v2

−2 v2

=1+v2

(pindah ruas “V” ke sebelah kanan)

5) menghasilkan ∫ 21+v

dv=∫ 1xdx

6) menghasilkan 2 ln (1 + v) = ln x + ln A

7) (1 + v)2 = Ax

8) (x + y)2 = Ax3 (dengan subtitusi v=yx

)

4.Dengan Persamaan linear

model soal:

dydx

+ py=Q

Faktor integrasi FI=e∫P dx

perlu di ingat bahwa e lnF=F

dan akan memberikan y .FI=∫Q .FI dx

4.Dengan persamaan bernoulli:

model soal dydx

+P y=Q yn

Bagi dengan yn

Kemudian misalkan Z= y1−n

Lalu selesaikan dengan PD Linear

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA

1.Pemecahan persamaan dalam bentuk ad2 ydx2 +b dy

dx+cy=fx

2.Persamaan karakteristiknya: am2 + bm + c = 0

3.Ada 3 kemungkinan jawaban yaitu

i. Akarnya riil dan berbeda (m1 dan m2)

y=A .em 1 . x+B .em2 . x

ii. Akarnya sama (m=m1)

y=emx (A+Bx)

iii. Akar kompleks (m=α ± j . β ¿

y=eα . x {A .cosβx+B . sinβx }

4.Persamaan yang mempunyai bentuk d2 ydx2 +n2 y=0

y=A .cos nx+B sinnx

5.Persamaan yang mempunyai bentuk d2 ydx2 n2 y =0

y =A .cosh nx +B sinh nx

6.Jawaban umum

y = (FK) + (IK)

7.Hal yang perlu diingat:

Jika f ( x ) =k………..misal y=C

Jika f ( x ) =kx………..misal y=Cx+D

Jika f ( x ) =kx2……….misal y= Cx2+Dx+E

Jika f ( x ) =ksin x atau k cos x…….misal y=Ccosh x+D sin x

Jika f ( x ) =ksinh x atau k cosh x…..misal y=C cosh x+Dsinh x

Jika f ( x ) =ekx ………..misal y=Cekx

ejx = cos x + j sin x

ejx = cos x j sin x

d2 yd x2 +

dydx

2y = ex

FK m2 + m - 2 = 0

y=Aex + Be-2x

jika ex

maka

dydx

=Cxex+Ce x=Cex ( x+1 )

d2 yd x2 =C ex+Cxex+Cex=C ex (x+2)

Ce x ( x+2 )+Ce x ( x+1 )−2Cx=ex

C ( x+2 )+C ( x+1 )−2Cx=1❑

3C = 1 C = 13

IK = y = xex

3