vii 1 bab-v_menggunakan_persamaan_dan_pertidaksamaan_linear_satu_variabel

Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan

1

BAB V

MENGGUNAKAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

LINEAR SATU VARIABEL

Kompetensi Dasar

3.1 Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan

pertidaksamaan linear satu variabel

3.2 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan

pertidaksamaan linear satu variabel

Tujuan Pembelajaran

A. LANGKAH-LANGKAH MEMBUAT MODEL MATEMATIKA

Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari maka masalah itu perlu diubah dahulu ke suatu model

matematika. Kemudian model itu diselesaikan sesuai dengan masalahnya masing-masing.

Secara umum langkah-langkah membuat model matematika adalah sebagai berikut.

1) Pilihlah (sebuah atau jika perlu lebih) variabel. Variabel ini biasanya menunjuk pada sesuatu

yang ditanyakan. Dapat juga bukan yang langsung ditanyakan, tetapi ada kaitan dengan

yang yang ditanyakan. Misalnya yang ditanyakan tentang waktu tempuh perjalanan, tetapi

variabelnya terkait dengan kecepatan.

Jika perlu, buatlah sebuah diagram yang menggambarkan situasinya.

Siswa dapat:

1. membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan

linear satu variabel,

2. menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

persamaan linear satu variabel,

3. membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

pertidaksamaan linear satu variabel,

4. menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

pertidaksamaan linear satu variabel..


2

2) Susunlah bentuk aljabar dengan memperhatikan semua bilangannya. Hubungkan dengan

variabel terpilih; atau jika tidak ada kaitan, tuliskan bilangan itu sebagai konstanta.

3) Nyatakan relasi antara bentuk aljabar yang sudah tersusun sehingga terbentuk kalimat

terbuka. Relasinya mungkin membentuk persamaan (menggunakan lambang relasi “=” dan

mungkin juga membentuk pertidaksamaan (menggunakan lambang relasi “<”, “>”, “ ”,

atau “ ”) sehingga model matematika dapat disusun.

Contoh 1

Buatlah model matematika dari yang berikut ini:

1. Jumlah tiga bilangan asli berurutan adalah 126.

2. Empat tahun lagi umur seorang bapak 45 tahun, yaitu 3 kali umur anaknya.

3. Ada sebuah perusahaan menengah. Dari sejumlah barang yang diproduksi, harga satuannya

adalah Rp50.000,00 per unit (sebuah). Pengeluaran per tahunnya tidak kurang dari

Rp250.000.000,00, termasuk sewa tempat usaha sebesar Rp5.000.000,00 pertahun. Yang

belum dikethui berapa banyak produksinya per tahun..

Jawab:

1. (1) Memilih variabel: Misalkan bilangan pertama b

Karena bilangan asli berurutan itu bilangan berikutnya adalah 1 lebih dari sebelumnya,

maka gambaran situasinya:

(2) Menyusun bentuk aljabar:

Jumlah tiga bilangan asli berurutan b + (b + 1) + (b + 2).

(3) Menyusun kalimat terbuka: ”adalah 126”; ”adalah” menunjuk adanya persamaan.

Jadi model matematikanya: b + (b + 1) + (b + 2) = 126

3b + 3 = 126 (inilah model matematikanya).

2. (1) Memilih variabel: Misalkan umur anaknya sekarang a.

Gambaran situasi tentang umur anak dan ayahnya:

umur sekarang 4 tahun mendatang

anak a a + 4

bapak 3(a + 4)

b b + 1 b + 2


3


Jadi bentuk aljabar dari umur bapaknya adalah 3(a + 4).

Umur bapak 4 trahun mendatang adalah 45 tahun.

(3) Menyusun kalimat terbuka

Dari hubungan di atas dapat dinyatakan model matematikanya berupa persamaan:

3(a + 4) = 45

3. (1) Memilih variabel: Misalkan per tahun berproduksi x unit.


Ada pengeluaran yang tergantung banyak produksi, yaitu x unit dengan pengeluaran

Rp50.000,00/unit. Jadi pengeluaran untuk produksinya 50.000 x rupiah.

Ada pengeluaran tetap, tidak tergantung banyak unt produksi, yaitu Rp5.000.000,00 per

tahun.

Bentuk aljabar biaya pengeluaran adalah 50000x + 5000000 (rupiah)

(3) Menyusun kalimat terbuka: Biaya seluruhnya ”tidak kurang dari” Rp250.000.000,00

”tidak kurang dari” bersesuaian dengan ” ”.

Jadi model matematikanya: 50000x + 5000000 250000000.

Latihan 2

Susunlah model matematika dari setiap keadaan atau masalah di bawah ini.

1. Jumlah lima bilangan asli berurutan adalah 255. ((i) Dengan memisalkan bilangan pertama a

dan (ii) jika dengan memisalkan bilangan ketiganya b.

2. Umur seorang bapak saat ini 4 kali umur anaknya. Enam tahun yang lalu umurnya 10 kali umur

anaknya. (Misalkan umur anaknya 6 tahun yang lalu adalah a)

3. Suatu bilangan jika dikurangi 30 hasilnya adalah 67.

4. Jika umur pak Alka dikalikan dua sudah lebih dari 90 tahun.

5. Dengan bunga 1% pada bulan ini, uang tabungan Krisna tidak kurang dari Rp 2.000.000,00.

6. Kelereng Aqsa jika dibagikan kepada beberapa orang temannya, setiap orang mendapatkan 10

buah, ia masih mempunyai lebih dari 15 kelereng

7. Selisih suatu bilangan dengan 18 lebih dari 44.

8. Selisih kuadrat suatu bilangan dan 5 lebih dari 11.


4

B. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH TERKAIT PERSAMAAN

DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL DAN MENYELESAIKAN

MASALAHNYA

Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari, perlu disusun model matematikanya, kemudian

menyelesaikan model tersebut. Berawal dari yang telah dikemukakan di atas, maka langkah

sampai penyelesaiannnya adalah sebagai beikut.

1) Pilihlah (sebuah atau jika perlu lebih) variabel. Jika perlu, buatlah sebuah diagram yang

menggambarkan situasinya.

2) Susunlah bentuk aljabarnya.


terbuka, persamaan atau pertidaksamaan.

4) Selesaikan kalimat terbukanya.

5) Periksa kembali jawabnya ke masalahnya.

6) Nyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu dalam bentuk kata-kata sehari-

hari.

Kadang-kadang langkah 5) dan 6) dapat dipertukarkan.

Contoh 1

Sembilan lebih dari 2 kali sebuah bilangan besarnya adalah 43. Berapakah bilangan itu?

Jawab:

Langkah 1: Memilih variabel

Misalkan bilangan itu b.

Langkah 2: Menyusun bentuk aljabar

Sembilan lebih dari 2 kali sebuah bilangan besarnya adalah 43

2

bilangansebuah

2

kali 2 idarlebih

9

Sembilan

b

b

9 + 2b

43

43adalah besarnya 43


5

Langkah 3: Menyatakan relasi.

Kata “adalah” bersesuaian dengan ”=”, sehingga:

43

43 adalah besarnya

2

bilangansebuah

2

kali 2 idarlebih

9

Sembilan

b

b

Persamaan: 9 + 2b = 43

Sampai di sini model Matematika dari masalahnya telah tersusun.

Masalah yang berhubungan dengan persamaan itu diselesaikan sebagai berikut.

Langkah 4: Menyatakan kalimat terbuka dari model matematikanya

Persamaan: 9 + 2b = 43

2b = 34 (kedua ruas ditambah dengan lawan 9 = dikurangi 9)

b = 17 (kedua ruas dikalikan kebalikan 2 = dibagi 2)

Langkah 5: Memeriksa hasilnya

pemeriksaan: 9 + 2 17 = 9 + 34 = 43, benar

Langkah 6: Menyatakan jawabnya sesuai dengan pertanyan yang ada pada masalahnya.

Jadi bilangan itu dalah 17.

Pada contoh berikut hanya disajikan jawabannya. Nama urutan langkah tidak dituliskan.

Contoh 2

Empat tahun yang lalu umur seorang bapak 5 kali umur anak pertamanya. Tiga tahun

mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama tersebut. Berapa tahun lagi umur bapak

tersebut setengah abad?

Jawab

1. Memilih/menentukan variabel

Misalkan umur anak 4 tahun yang lalu a tahun.

2. Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram/sketsa situasi berdasar umur 4 tahun yang lalu

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a

bapak


6

Karena umur si Bapak 4 tahun yang lalu 5 kali umur anaknya, maka:


anak a

bapak 5a

Hasil pengisian tabel umur sekarang dan dan 3 tahun yang akan datang kaitannya

dengan 4 tahun yang lalu adalah sebagai berikut:


anak a

a + 4 a + 7

bapak 5a 5a + 4 5a + 7

3. Mencari hubungan antara bentuk aljabar sesuai informasi yang belum digunakan (Menyusun

model matematikanya)

Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama, sehingga didapat:

5a + 7 = 3(a + 7)

Terbentuk model matematikanya, yaitu sebuah persamaan linear:

5a + 7 = 3a + 21

4. Menyelesaikan kalimat terbuka (model matematika)-nya.

5a + 7 = 3a + 21 2a = 14 a = 7

Situasi sebenarnya adalah:


anak a = 7

a + 4 = 7 + 4 = 11 a + 7 = 7 + 7 = 14

bapak 5a = 5 7 = 35 5a + 4 5a + 7 = 35 + 7 = 42

5. Nyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu.

Umur bapak itu sekarang 39 tahun. Jadi umur bapak itu setengah abad adalah 11 tahun

mendatang.


7

6. Pemeriksaan:

4 tahun yang lalu umur ayah 35 tahun dan anaknya 7 tahun.

Umur ayah 5 kali umur anak. (benar)

3 tahun lagi umur ayah 42 tahun, anaknya 14 tahun.

Umur ayah 3 kali umur anaknya. (benar)

Jika Anda telah terbiasa memecahkan masalah terkait persamaan seperti contoh-contoh di atas,

maka Anda tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan masalah yang terkait dengan

pertidaksamaan. Langkah dasar keduanya pada umumnya sama. Perbedaannya adalah pada

relasinya yang menggunakan lambang ”<”, ”>”, ” ” atau ” ”. Hal itu ditunjukkan dengan

beberapa kata ”kunci”, antara lain: kurang dari, lebih dari, tidak lebih dari atau paling banyak

(” ”), tidak kurang dari atau paling sedikit (” ”).

Contoh 3

Di suatu jalan bebas hambatan, kecepatan mobil harus tidak kurang dari 60 km/jam dan tidak

boleh lebih dari 100 km/jam. Berapa interval jarak yang ditempuh sebuah mobil selama 2 jam?

Jawab:

Misalkan jarak yang ditempuh adalah d km dan kecepatan dinyatak dengan v km/jam.

1) kecepatan mobil harus tidak kurang dari 60 km/jam.

Tidak kurang artinya sama atau boleh lebih.

Lambangnya ” ”. Jadi v 60

Perjalanan selama 2 jam. Jadi jarak yang ditempuh adalah d 2 60 d 120

2) kecepatan mobil harus tidak lebih dari 100 km/jam.

Lambangnya ” ”. Jadi v 60

Perjalanan selama 2 jam. Jadi jarak yang ditempuh adalah d 2 100 d 200

Kedua syarat harus dipenuhi:

Jika jarak dinyatakan dengan d km, maka 120 d 200.

Jadi yang ditempuh paling sedikit 120 km dan paling banyak 120 km.

120

200

120

200

Gambar 5.1


8

Latihan 2

1. Jumlah tiga bilangan asli berurutan adalah 102. Tentukanlah bilangan-bilangan itu.

2. Penyebut sebuah pecahan 3 lebih dari pembilangnya. Jika pembilang dan penyebut masing-

masing ditambah 1, nilainya menjadi 5

4. Pecahan manakah itu?

3. Umur seorang bapak saat ini 4 kali umur anaknya. Enam tahun yang lalu umurnya 10 kali umur

anaknya. Berapakah umur anak itu sekarang?

4. Seutas tali sepanjang 33 meter dipotong menjadi 3 potong. Potongan terpanjang adalah dua kali

potongan terpanjang kedua dan tiga kali potongan terpendek. Berapa panjang potongan

terpanjangnya?

5. Panjang sebuah sisi segitiga 2 cm lebih dari yang kedua dan dua kali panjang sisi ketiganya.

Jika keliling segitiga itu 43 cm, tentukan panjang setiap sisi segitiga itu.

6. Jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 180 . Jika sudut terbesarnya adalah 20 lebih dari

yang terbesar kedua dan 25 lebih dari sudut yang terkecil, tentukan masing-masing besar sudut

segitiga itu.

7. Lima tahun yang lalu umur seorang bapak 6 kali umur anak pertamanya. Tiga belas tahun

mendatang umur dua kali umur bapak itu sama dengan lima kali umur anak pertama tersebut.

Kapan umur bapak tersebut 50 tahun?

8. Si kembar Bagas dan Bagus berangkat bersama-sama dengan bersepeda dari rumahnya ke

rumah kakeknya melewati jalan yang sama. Kecepatan Bagas bersepeda 12 km/jam sedangkan

Bagus 10 km/jam. Mereka tiba di rumah kakeknya dengan selisih waktu 15 menit. Berapa lama

Bagas bersepeda dari rumahnya ke rumah kakeknya?

9. Seekor katak yang terkejut karena ada seekor ular di dekatnya, tiba-tiba meloncat.

Loncatan pertama sejauh 30 cm. Pada loncatan kedua sampai ketujuh dengan

loncatan yang sama jauh ia telah berada lebih dari 1,7 m dari tempatnya semula. Nyatakan

peristiwa ini secara simbolik (model matematikanya).

10. Dua ekor anjing terpisah sejauh 6 m, berada di dua arah

berlawanan dari sepotong tulang. Sekali loncat, anjing pertama

meloncat 60 cm. Dengan 4 kali meloncat anjing pertama sampai ke

tulang itu. Berapa panjang loncatan anjing kedua jika untuk sampai ke tulang itu ia melakukan

tidak lebih dari 8 kali loncatan?


9

C. RANGKUMAN

Secara umum langkah-langkah membuat model matematika adalah sebagai berikut:

1) Pilihlah (sebuah atau jika perlu lebih) variabel. Variabel ini biasanya menunjuk pada sesuatu

yang ditanyakan. Dapat juga bukan yang langsung ditanyakan, tetapi ada kaitan dengan

yang yang ditanyakan. Misalnya yang ditanyakan tentang waktu tempuh perjalanan, tetapi

variabelnya terkait dengan kecepatan.

Jika perlu, buatlah sebuah diagram yang menggambarkan situasinya.

2) Susunlah bentuk aljabar dengan memperhatikan semua bilangannya. Hubungkan dengan

variabel terpilih; atau jika tidak ada kaitan, tuliskan bilangan itu sebagai konstanta.


terbuka. Relasinya mungkin membentuk persamaan (menggunakan lambang relasi“=”,

mungkin pertidaksamaan (menggunakan lambang relasi “<”, “>”, “ ”, atau “ ”)

4) Selesaikan kalimat terbukanya.

5) Periksa kembali jawabnya ke masalahnya

6) Nyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu dalam bentuk kata-kata sehari-

hari.

Kadang-kadang langkah 5) dan 6) dapat dipertukarkan.

vii 1 bab-v_menggunakan_persamaan_dan_pertidaksamaan_linear_satu_variabel

Education