Bab 7

Dasar-dasar Solusi Persamaan Diferensial Parsial dengan Metode Elemen Hingga

7.1. Pendahuluan

Metode elemen hingga (MEH) merupakan salah satu teknik solusi persamaan diferensial parsial (PDP) secara numerik. Metode ini telah berkembang dengan pesat menjadi beberapa varian, sehingga menjadi cabang ilmu tersendiri dalam bidang analisis numerik lanjut. Berikut hanya diberikan dasar-dasar MEH yang dapat diklasifikasikan dalam metode residual terbobot (weighted residual method), metode subdomain, metode kolokasi serta metode Galerkin.

7.2. Metode Residual Terbobot

Untuk penjelasan metode ini diambil contoh PDP 2-D untuk kasus adveksi-dispersi yang dinyatakan sebagai berikut:

(7-1)

dengan kondisi awal (initial condition) berikut:

(7-2)

dan kondisi batas (boundary conditions) berikut:

(7-3)

(7-4)

R : domain aliran(1) dan (2) : batas-batas domain aliran (R) : fungsi konsentrasi dalam domain aliran (R)g1 dan g2 : fungsi konsentrasi dan flux sepanjang batas (1) dan (2)nx dan ny : komponen vektor normal satuan luar (ke arah luar) pada batas (2)

VII-1

Persamaan (7-3) menyatakan kondisi batas berupa konsentrasi yang besarnya tertentu. Kondisi batas ini dapat diklasifikasikan ke dalam kondisi batas tipe I (Dirichlet). Persamaan (7-4) menyatakan kondisi batas berupa flux dispersi yang besarnya tertentu. Kondisi batas ini dapat diklasifikasikan ke dalam kondisi batas tipe II (Neumann).

Untuk mendekati solusi analitik persamaan (7-1), metode residual terbobot mengadopsi fungsi pendekatan berikut:

(7-5)

harus memenuhi kondisi batas (7-3) pada batas domain aliran (1). Jika N , maka pendekatan dengan persamaan (7-5) cenderung menghasilkan solusi eksak atau sama dengan solusi analitik. Dalam persamaan (7-5), parameter-parameter berikut ini, yaitu:

(7-6)

merupakan fungsi-fungsi basis yang bebas linier. C1(t), C2(t), ……, CN(t) adalah koefisien-koefisien taktentu yang merupakan fungsi dari waktu (t). Selanjutnya akan terlihat, bahwa koefisien-koefisien ini dapat ditentukan berdasar persyaratan, bahwa

hanya merupakan solusi pendekatan dari persamaan (7-1) atau L( ) 0, oleh karena itu maka

(7-7)

Persamaan (7-7) disebut residual dan diperoleh dengan cara mensubstitusi ke dalam persamaan (7-1). Harga residual ini diusahakan sekecil mungkin dalam keseluruhan domain aliran (R).

(7-8)

Persamaan (7-8) menyatakan residual rata-rata terbobot untuk mengukur residual dalam domain (R). Parameter W(x,y) merupakan fungsi pembobot atau weighting function. Untuk orde N, maka ada fungsi bobot sebanyak

(7-9)

Fungsi-fungsi pembobot ini dipilih dengan sedemikian rupa, sehingga residual yang dihasilkannya akan mempunyai harga sama dengan nol, dengan demikian akan terdapat N persamaan sebagai berikut:

(7-10)

VII-2

Jika persamaan (7-1) disubstitusi ke dalam persamaan (7-10) dan dengan menggunakan formula Green untuk mengeliminasi suku dengan turunan kedua, maka akan didapatkan persamaan berikut:

(7-11)

Suku terakhir dalam persamaan di atas didapat dari kondisi batas tipe II dalam persamaan (7-4). Jika persamaan (7-5) disubstitusi ke dalam persamaan (7-11) akan diperoleh sistem persamaan diferensial biasa (PDB) atau ordinary differential equations (ODE) yang ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

(7-12)

pada mana

Elemen-elemen matriks koefisien [A], [B] dan vektor {F} masing-masing adalah:

(7-13)

(7-14)

(7-15)

Dari sini tampak jelas bahwa, jika fungsi-fungsi basis dalam persamaan (7-6) dan fungsi-fungsi pembobot dalam persamaan (7-9) diberikan atau diketahui, maka harga-harga yang dicari pada semua elemen dapat dihitung.

Jika pendekatan beda hingga diterapkan dalam persamaan (7-12) untuk mendekati turunan pertama terhadap waktu, maka sistem PDB akan menjadi sistem persamaan linier pada setiap langkah waktu (time step). Sebagai contoh, misal Ct adalah harga C pada waktu t dan Ct+t adalah harga C pada waktu t + t, maka turunan C terhadap t dapat ditentukan dengan pendekatan beda hingga sebagai berikut:

VII-3

(7-16)Substitusi persamaan (7-16) ke dalam persamaan (7-12) akan menghasilkan:

atau dapat dituliskan secara simbolik sebagai berikut:

(7-17)

pada mana

(7-18)

Persamaan (7-17) merupakan sistem persamaan linier simultan yang dapat diselesaikan dengan metode iterasi atau solusi langsung. Akibat hadirnya suku untuk adveksi dalam persamaan adveksi-dispersi, maka matriks koefisien [A] bersifat tidak simetris atau asimetris. Hal ini dapat dilihat dari struktur persamaan (7-13). Dengan demikian matrik [E] dalam persamaan (7-17) juga bukan merupakan matriks simetris. Ketidaksimetrisan ini merupakan perbedaan utama dalam MEH antara MEH untuk solusi persamaan transport massa dan MEH untuk solusi persamaan aliran air tanah. Jika matriks [E] asimetris, maka solusi langsung akan membutuhkan lebih banyak memori komputer dan step-step perhitungan yang lebih kompleks.

Setelah menyelesaikan Ct+t pada persamaan (7-17), solusi pendekatan pada waktu t + t dapat diperoleh dengan cara mensubstitusi Ct+t ke sebelah kanan tanda sama dengan dalam persamaan (7-5).

Penjelasan di atas merupakan langkah-langkah utama solusi persamaan adveksi-dispersi dengan menggunakan MEH dengan metode residual terbobot. Permasalahan selanjutnya adalah bagaimana menentukan fungsi-fungsi basis dan fungsi-fungsi pembobot untuk penyederhanaan perhitungan matriks koefisien.

7.3. Metode Subdomain

Metode subdomain juga dikenal dengan metode kolokasi elemen. Berdasar metode ini domain aliran (R) dibagi menjadi beberapa elemen (subdomain), yaitu: dengan (Ri), i = 1, 2, …N. Setiap elemen diasosiasikan dengan fungsi pembobot yang didefinisikan sebagai berikut:

(7-19)

VII-4

Dengan ketentuan ini, maka persamaan (7-13) sampai dengan (7-15) dapat disederhanakan menjadi:

(7-20)

(7-21)

(7-22)

(li) : batas subdomain (Ri)nx dan ny : komponen vektor normal satuan luar

(components of unit outer normal vector)

7.4. Metode Kolokasi

Berdasar metode kolokasi atau lengkapnya metode kolokasi titik dipilih N titik, yaitu: dari dalam domain (R) yang selanjutnya disebut titik-titik

kolokasi. Fungsi-fungsi pembobot kemudian didefinisikan sebagai berikut:

dimana (7-23)

adalah fungsi dirac- yang menyebabkan

0 hanya pada titik . Untuk suatu fungsi, misalnya , maka akan diperoleh:

(7-24)

Berdasar ini, maka persamaan (7-13) s.d. (7-15) dapat disederhanakan menjadi:

(7-25)

VII-5

(7-26)

(7-27)

Harap dicatat, disini tidak dibutuhkan integrasi untuk memperoleh koefisien-koefisien tersebut, sehingga metode kolokasi atau kolokasi titik secara numerik tidak membutuhkan penanganan komputasi yang cukup rumit. Tingkat akurasinya hanya dipengaruhi oleh penentuan fungsi-fungsi basis dan lokasi titik-titik kolokasi. Basis titik-titik formula kuadratik Gauss dapat dipergunakan sebagai titik-titik kolokasi.7.5. Metode Galerkin

Metode Galerkin menggunakan fungsi-fungsi basis dalam persamaan (7-6) sebagai fungsi-fungsi pembobot. Berdasar metode Galerkin domain (R) dibagi menjadi beberapa elemen, yaitu (Rm), m = 1, 2,…., M. Selanjutnya titik-titik potong antar sisi elemen disebut dengan node. Kadang-kadang di dalam elemen juga terdapat node. Misal dalam seluruh domain (R) terdapat M elemen dan N node, maka persamaan (7-13) sampai dengan persamaan (7-15) dapat dimodifikasi menjadi:

(7-28)

(7-29)

(7-30)

(2,m) adalah batas bersama antara (Rm) dan (2). Misal fungsi basis ke i, yaitu diasosiasikan dengan node ke i yang didefinisikan sebagai berikut:

(7-31)

adalah koordinat node j. Persamaan (7-31) mempunyai arti:

pada node i dan pada node yang lain,

pada elemen yang dihubungkan atau dibatasi oleh node i dan

pada elemen-elemen lainnya.

Dua ketentuan ini mempunyai beberapa keuntungan, yaitu:

Aij dan Bij 0 hanya jika node i dan j berada dalam elemen yang sama,

VII-6

Perhitungan Aij dan Bij tidak melibatkan integrasi pada keseluruhan domain (R), tetapi hanya integrasi pada elemen-elemen yang mempunyai node i dan j,

Berdasar persamaan (7-31), solusi dalam persamaan (7-12) menghasilkan

nilai-nilai yang tidak diketahui (dari solusi pendekatan pada waktu t + t), sehingga tidak perlu kembali ke persamaan (7-5).

Dengan demikian kombinasi antara diskritisasi elemen hingga dengan metode Galerkin akan menyederhanakan proses perhitungan. Dalam hal ini terdapat keluwesan dalam pemilihan bentuk elemen, aturan node serta ekspresi fungsi-fungsi basis. Dua elemen utama yang sering dipergunakan untuk solusi persamaan adveksi-dispersi adalah elmen segitiga dan segiempat.

7.6. Elemen dan Fungsi Basis

7.6.1. Elemen Segitiga dan Fungsi Basis Linier

k

i j

Gambar 7-1: Elemen Segitiga Linier dengan Node-node-nya

Berikut adalah gambaran elemen segitiga yang kemudian disimbolkan dengan . Misal node-node pada elemen segitiga di atas diberi nama dengan i, j, k, masing-masing dengan koordinat . Fungsi-fungsi basis dalam hubungannya dengan ketiga node tersebut didefinisikan sebagai fungsi basis linier yang mempunyai ekspresi sebagai berikut:

(7-32)

pada mana

(7-33)

VII-7

adalah luas elemen segitiga. Dengan fungsi-fungsi basis yang diberikan dalam persamaan (7-32) untuk i j akan diperoleh:

(7-34)

Substitusi persamaan (7-34) ke dalam persamaan (7-28) sampai dengan (7-30), maka Aij, Bij dan Fi dalam elemen segitiga dapat dihitung secara langsung sebagai berikut:

(7-35)

(7-36)

(7-37)

2. adalah panjang sisi elemen segitiga bersamaan (yang berhimpitan) dengan panjang 2. Jika keduanya tidak mempunyai bagian yang saling berhimpitan, maka 2. = 0. Langkah selanjutnya adalah membentuk matriks [A], [B] dan vektor {F} dengan cara merangkai komponen-komponen pada setiap elemen, sehingga akhirnya persamaan (7-12) akan terbentuk. Dari persamaan (7-35) terlihat, bahwa matriks [A] adalah matriks asimetrik akibat hadirnya suku adveksi ke dalam sistem.

7.6.2. Elemen Segiempat dan Fungsi Basis Bilinier

Gambar berikut menunjukkan elemen segiempat (e) dengan panjang a dan lebar b. Keempat node-nya diberi identifikasi masing-masing dengan i, j, k, dan m.

VII-8

y

j i

(e) b

k m a

x

Gambar 7-2: Elemen Segiempat dengan Node-nya

(-1,1) (1,1)

O

(-1,-1) (1,-1)

Gambar 7-3: Elemen Segiempat dengan Sistem Koordinat Lokal

Elemen segiempat dalam sistem koordinat global dapat ditransformasi menjadi elemen segiempat standar dalam sistem korrdinat lokal seperti pada gambar 7.3. Pada elemen segiempat standar, koordinat keempat node adalah

Transformasi koordinat dikerjakan sebagai berikut:

(7-38)

adalah koordinat titik tengah elemen segiempat. Fungsi-fungsi basis elemen segiempat standar didefinisikan sebagai berikut:

VII-9

(7-39)

Fungsi-fungsi basis ini berupa fungsi bilinier dalam dan . Dengan menggunakan formula transformasi integral ganda, komponen Aij dan Bij dalam elemen (e) dapat ditentukan sebagai berikut:

(7-40)

(7-41)

dapat ditentukan dengan cara yang sama. Setelah

perhitungan diselesaikan untuk semua elemen, langkah selanjutnya adalah merangkai elemen-elemen tersebut untuk pembentukan matriks [A], [B] dan vektor {F} global. Dengan demikian sistem persamaan (7-12) terbentuk untuk elemen-elemen segiempat.

7.6.3. Elemen Orde Tinggi dan Elemen Hermite

Fungsi kuadratik lengkap x, y mempunyai 6 koefisien, sehingga diperlukan 6 kondisi untuk mendefinisikannya. Jika nilai-nilai fungsi pada 6 node setiap elemen diketahui atau diberikan, maka kondisi yang diperlukan segera dapat dipenuhi. Dengan demikian dapat didesain 6 node dalam setiap elemen segitiga, yaitu 3 buah pada setiap perpotongan antar sisinya dan 3 buah node lagi pada masing-masing sisi seperti diilustrasikan dalam gambar 7.4.

VII-10

Penggunaan elemen segitiga dengan fungsi-fungsi basis liniernya memberi implikasi, bahwa nilai konsentrasi yang dicari pada setiap elemen didekati harganya dengan menggunakan fungsi yang linier, sehingga solusi pendekatan juga merupakan fungsi linier. Untuk memperbaiki akurasi solusi pendekatan dipergunakan fungsi kuadratik atau fungsi dengan orde yang lebih tinggi pada elemen-elemen orde tinggi.

Elemen segitiga () dalam bidang xy seperti diilustrasikan pada gambar 7.4 ditranformasikan menjadi elemen segitiga standar (’) dalam bidang dengan sistem koordinat lokal seperti diilustrasikan pada gambar 7.5.

3

6 5

1 2

4

Gambar 7-4: Elemen Segitiga Kuadratik

2

5 4

3 6 1

Gambar 7-5: Elemen Segitiga Kuadratik Standar dalam Sistem Koordinat Lokal

Transformasi koordinat dikerjakan sebagai berikut:

VII-11

(7-42)

Pada elemen segitiga standar (’), fungsi kuadratik , lengkap mempunyai bentuk:

(7-43)

Jika nilai fungsi basis kuadratik diasosiasikan dengan node i dalam elemen (’) yang berharga 1 pada node i dan berharga 0 pada kelima node lainnya, maka akan diperoleh 6 kondisi. Dengan 6 kondisi, maka 6 koefisien dapat ditentukan seperti dituliskan dalam tabel 7.1.

3

8 7

9 10 6

1 4 5 2

Gambar 7-6: Elemen Segitiga Orde Tiga (Kubik)

Tabel 7.1: Fungsi-fungsi Basis dalam Sistem Koordinat Lokal

Elemen Linier Elemen Kuadratik Elemen Kubik

1 = 1 = 22 -

2 = 2 = 22 -

3 = 1 - - 3 = (1 - - ) (1 - 2 - 2)

4 = 4

5 = 4(1 - - )

6 = 4(1 - - )

VII-12

Dengan persamaan (7-42), Jacobian transformasi dapat dihitung dan semua koefisien persamaan (7-28) sampai dengan (7-30) dapat diintegrasi dalam koordinat lokal. Integran berupa polinomial dalam dan dengan orde lebih rendah dari 3.

Elemen kubik dapat diturunkan dengan cara yang sama seperti elemen kudratik. Pada elemen segitiga kubik, didefinisikan 10 node untuk mengekspresikan nilai yang dicari pada setiap elemen, melalui pendekatan dengan menggunakan polinomial kubik lengkap (lihat gambar 7.6). Dengan menggunakan transformasi dalam persamaan (7-42), elemen segitiga () dalam bidang xy menjadi elemen segitiga standar (’) dalam bidang dengan sistem koordinat lokal. Node-node yang relevan diilustrasikan pada gambar 7.7. Fungsi-fungsi basis Galerkin orde 3 dalam sistem koordinat lokal diberikan dalam tabel 7.1.

Dengan fungsi-fungsi basis yang diberikan dalam tabel 7.1, koefisien Aij, Bij dan Fi

pada elemen segitiga () dapat dihitung dengan menggunakan integrasi numerik. Integran berupa polinomial dalam dan dengan orde 4. Formula integrasi Gauss seringkali digunakan untuk keperluan ini.

Disamping menggunakan 10 node, ada cara lain untuk menentukan 10 koefisien polinomial kubik. Sebagai contoh, didefinisikan 3 node yang berupa titik potong antar sisi elemen dan sebuah node di tengah elemen segitiga. Selanjutnya diasumsikan, bahwa nilai-nilai fungsi demikian juga turunan parsial terhadap x dan y di keempat node tersebut dapat atau sudah ditentukan, maka akan terdapat 10 kondisi untuk menentukan 10 koefisien. Jenis elemen seperti ini disebut dengan elemen hermite, seperti diilustrasikan pada gambar 7-8.

2

6 5

7 10 4

3 8 9 1

Gambar 7-7: Elemen Segitiga Orde Tiga (Kubik) Standar dalam Sistem Koordinat Lokal

VII-13

3

10

1 2

Gambar 7-8: Elemen Segitiga Hermite

Misal nilai fungsi C yang dicari pada elemen segitiga didekati dengan polinomial kubik yang mempunyai bentuk sebagai berikut:

(7-44)

Setiap node di titik potong antar sisi elemen segitiga berhubungan dengan 3 fungsi basis dan 3 koefisien taktentu, sedangkan node di tengah elemen segitiga berhubungan dengan C 4(t) dan 4(x,y) seperti tertulis dalam tabel 7.2. Semua fungsi basis berupa polinomial kubik dalam x dan y.

Sesuai dengan prinsip penentuan fungsi-fungsi basis yang telah diterangkan sebelumnya, ditetapkan, pada node 1 nilai

= 1

, = 0

= 0

Fungsi-fungsi basis untuk node-node yang lain didefinisikan dengan cara yang sama. Fungsi-fungsi basis yang didefinisikan dalam sistem koordinat lokal sebagai polinomial kubik dalam dan diberikan dalam tabel 7.3 dan disebut dengan fungsi-fungsi basis hermite orde 3.

Tabel 7.2: Jumlah Fungsi Basis yang Diasosiasikan dengan Setiap Node

Node Koefisien Taktentu Fungsi-fungsi Basis1 C1, C5, C8 1, 5, 8

2 C2, C6, C9 2, 6, 9

3 C3, C7, C10 3, 7, 10

4 C4 C4

VII-14

Jika ekspresi fungsi-fungsi basis sudah dapat ditentukan pada setiap elemen, maka koefisien-koefisien dalam persamaan (7-12) dapat ditentukan dengan mudah. Selanjutnya 3 buah solusi akan diperoleh, masing-masing berasosiasi dengan node yang berupa titik potong antar sisi elemen segitiga. Solusi ini merupakan nilai yang dicari serta merupakan nilai turunan parsialnya terhadap x dan y pada node yang bersangkutan. Solusi yang berasosiasi dengan node di tengah elemen merupakan nilai fungsi pada node tersebut. Solusi yang diperoleh dengan menggunakan elemen hermite mempunyai turunan parsial orde 1 yang kontinu di node yang berupa titik potong antar isi elemen. Hal ini merupakan keunggulan elemen hermite.

Jika persamaan aliran air tanah diselesaikan menggunakan MEH dengan elemen-elemen linier, maka kecepatan aliran yang didapat berdasar hukum Darcy akan bersifat diskontinu di sepanjang sisi elemen-elemen, karena medan gradien solusi numerik bernilai konstan. Untuk mengatasi masalah ini, maka disarankan menggunakan elemen hermite orde 3, sehingga kontinuitas aliran dapat dijamin dan akurasi solusi numerik persamaan adveksi-dispersi dapat diperbaiki.

7.6.4. Elemen Isoparametrik

Gambar 7-9 memperlihatkan elemen kuadrilateral. Sisi-sisi yang menghubungkan node 1 dan 2, demikian juga antara node 6 dan 7 bersifat linier, sedangkan sisi-sisi yang menghubungkan node 1, 4 dan 7 serta node 2, 3, 5 dan 6 merupakan lengkungan dengan orde 3. Dengan demikian jelas, bahwa elemen-elemen jenis ini sangat sesuai untuk merepresentasikan batas-batas domain yang tidak teratur. Elemen-elemen jenis ini juga sangat sesuai untuk merepresentasikan batas-batas dalam domain, misalnya menyangkut medium yang tidak homogen. Berikut akan dijelaskan transformasi elemen konvensional menjadi elemen kuadrilateral dalam bidang dengan sistem koordinat lokal. Transformasi dilakukan dengan menggunakan formula Posisi elemen yang bersangkutan diberikan dalam gambar 7.9. Transformasi dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi-fungsi basis. Jika node i berlokasi pada sisi elemen seperti node 3, 4 dan 5 seperti dalam gambar 7.9, maka fungsi basisnya dapat didefinisikan sebagai berikut:

VII-15