vektor

Tri Rusdiyono, S.Pd.

http://berbagimedia.wordpress.com

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1

D E F I N I S I Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor . B

Contoh : Vektor AB . A Titik A disebut titik pangkal dan titik B dinamakan titik ujung atau titik tangkap vektor.

A . BEBERAPA VEKTOR KHUSUS

1. Vektor Nol : adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu. 2. Vektor Posisi

Vektor posisi titik A adalah vektor yang titik pangkalnya di O dan ujungnya di titik A. Vektor

posisi dari titik A dilambangkan dengan OA atau a

atau a .

Sembarang vektor AB dapat dinyatakan dalam bentuk hasil pengurangan dari vektor posisi sbb:

abAB

3. Vektor Basis

Vektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.

Vektor basis yang searah dengan sumbu x dinamakan vektor i

atau vektor i .

Vektor basis yang searah dengan sumbu y dinamakan vektor j

atau vektor j .

Vektor basis yang searah dengan sumbu z dinamakan vektor k

atau vektor k .

O

A

x

y

O

A

x

y B

x

y

z




Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sbb : 1. Vektor kolom ( matriks kolom )

Jika ),,( AAA zyxA dan ),,( BBB zyxB maka

A

A

A

z

y

x

aOA dan

B

B

B

z

y

x

bOB ,

sehingga :

AB

AB

AB

zz

yy

xx

abAB

2. Vektor baris ( matriks baris )

Jika ),,( AAA zyxA dan ),,( BBB zyxB maka AAA zyxaOA dan

BBB zyxbOB , sehingga : ABABAB zzyyxxabAB

3. Vektor basis

Jika ),,( AAA zyxA dan ),,( BBB zyxB maka kzjyixaOA AAA dan

kzjyixbOB BBB , sehingga :

kzzjyyixxabAB ABABAB )()()(

Diketahui titik-titik A(10,3,7) , B(6,2,5) dan C(8,4,1)

1 . Nyatakan vektor aOA dengan vektor kolom.

2 . Nyatakan vektor BC dengan vektor baris.

3 . Nyatakan vektor AB dengan vektor basis.

1 . Vektor aOA dinyatakan dengan vektor kolom :

7

3

10

aOA

2 . Vektor BC dinyatakan dengan vektor baris : bcBC ( 8 4 1 ) ( 6 2 5 )

= ( 14 6 4 )

3 . Vektor AB dinyatakan dengan vektor basis : abAB )526( kji )7310( kji

= kji 254

1. Diketahui titik-titik K ( 2 , 4 , 1 ) , L ( 8 , 6 , 2 ) dan M ( 5 , 7 , 3 ) . Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor kolom :

a. OM b. KL c. ML d. MK

2. Diketahui titik-titik D ( 6 , 8 , 1 ) , E ( 4 , 3 , 2 ) dan F ( 5 , 0 , 4 ) . Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor basis :

a. OF b. DE c. DF d. EF




B . MODULUS VEKTOR ( PANJANG VEKTOR )

Jika ),,( AAA zyxA dan ),,( BBB zyxB maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :

222AAA zyxa

Dan panjang vektor AB adalah :

222 )()()( ABABAB zzyyxxAB

1 . Hitunglah panjang vektor kjir 5214 !

2 . Jika )4,8,10( A dan )1,3,2( B hitunglah panjang vektor AB !

1 . Panjang vektor kjir 5214 adalah : 222 )5(214 r

254169

15225

2 . Jika )4,8,10( A dan )1,3,2( B panjang vektor AB adalah :

222 )41()83())10(2( AB

= 222 )5()5(8 = 252564 = 114

1. Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :

a. kji 326 d.

4

0

3

e.

10

4

8

b. kji 244

c. kji 557

2. Diketahui titik : A ( 1 , 3 , 6 ) , B ( 12 , 2 , 7 ) dan C ( 5 , 4 , 8 ) . Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :

a. OC b. AB c. AC d. CB

3. Diketahui titik D ( 3 , 6 , 1 ) dan E ( m , 4 , 2 ) .

Jika panjang vektor DE sama dengan 11, hitunglah nilai m !




C . PEMBAGIAN RUAS GARIS

Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut sedemikian hingga AP : PB = m : n . Maka :

nm

bmanp

Jika ),,( AAA zyxA dan ),,( BBB zyxB , maka :

nm

xmxnx BA

P

nm

ymyny BA

P

nm

zmznz BA

P

Pada perbandingan AP : PB = m : n , 1. Jika P terletak di antara A dan B , maka m > 0 dan n > 0 . 2. Jika P terletak pada perpanjangan AB , maka m < 0 dan n > 0 . 3. Jika P terletak pada perpanjangan BA , maka m > 0 dan n < 0 .

Jika A ( 6 , 2 , 4 ) dan B ( 10 , 8 , 12 ) . P terletak pada AB sedemikian hingga AP : PB = 3 : 2 . Tentukan koordinat titik P !

Koordinat P dapat ditentukan sbb :

Cara 1 :

5

42

5

3012

5

10362

5

32

BA

P

xxx

45

244

5

83)2(2

5

32

BA

P

yyy

5

28

5

368

5

)12(342

5

32

BA

P

zzz

Jadi P ( 5

28,4,

5

42 )

Cara 2 :

5

28

4

5

42

5

28

5

20

5

42

5

28

20

42

5

368

244

3012

5

36

24

30

8

4

12

5

12

8

10

3

4

2

6

2

5

32 bap

Jadi P ( 5

28,4,

5

42 )

P

A

B

m

n

O




1. Tentukan koordinat titik P jika diketahui : a. A ( 3 , 2 , 4 ) , B ( 6 , 5 , 10 ) , dan AP : PB = 2 : 1

b. R ( 8 , 3 , 1 ) , S ( 1 , 9 , 2 ) , dan RP : PS = 4 : 2

c. K ( 4 , 1 , 3 ) , L ( 4 , 2 , 1 ) , dan KP : PL = 3 : 5

d. M ( 7 , 11 , 5 ) , N ( -2 , 5 , 8 ) , dan MP : PN = 4 : 3

e. C ( 1 , 5 , 3 ) , D ( 2 , 1 , 1 ) , dan CP : PD = 6 : 3

2. Titik A ( 6 , 5 , 4 ) dan B ( 5 , 3 , 4 ) . Titik P terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga AP : PB = 1 : 3 . Tentukan koordinat titik B !

D . OPERASI VEKTOR

1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil

Diketahui vektor a dan Rk .

Secara geometris vektor ak adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan

arahnya searah dengan vektor a .

Secara aljabar , jika

A

A

A

z

y

x

a maka :

A

A

A

A

A

A

zk

yk

xk

z

y

x

kak

1 . Jika

12

3

7

a maka

72

18

42

126

36

)7(6

12

3

7

66 a

2 . Jika kjib 248 , maka kjikjib 4816)248(22

2. Penjumlahan Vektor

Diketahui vektor a dan b .

Secara geometris vektor a dan b dapat dijumlahkan dengan cara sbb :

Dengan aturan jajaran genjang . Dengan aturan segitiga Contoh : Contoh :

Jika

A

A

A

z

y

x

a dan

B

B

B

z

y

x

b .




Secara aljabar hasil penjumlahan antara vektor a dan b , adalah :

BA

BA

BA

B

B

B

A

A

A

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

ba

Diketahui titik-titik A ( 12 , 3 , 6 ) , B ( 8 , 6 , 10 ) dan C ( 3 , -9 , 14 ) .

Hitunglah : ACCBAB 3 !

cbaaccbabACCBAB 224)(3)()(3

32

6

38

14

9

3

2

10

6

8

2

6

3

12

4

3. Pengurangan Vektor

Diketahui vektor a dan b . Pengurangan vektor a b dapat dinyatakan dalam bentuk

penjumlahan vektor a + ( b ) , dengan vektor b adalah vektor yang panjangnya sama

dengan vektor b dan arahnya berlawanan dengan vektor b .

Contoh :

Jika

A

A

A

z

y

x

a dan

B

B

B

z

y

x

b . Secara aljabar hasil

pengurangan a b , adalah :

BA

BA

BA

B

B

B

A

A

A

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

ba

Diketahui titik-titik K ( 9 , 4 , 3 ) , L ( 16 , 5 , 10 ) dan M ( 8 , 20 , -12 ) .

Hitunglah : KLML !

15

16

1

12

20

8

3

4

9

)()( mkklmlKLML




1. Diketahui titik A ( 24 , 18 , 12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 , 5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ). Hitunglah :

a. CBAD

b. ACBA 10

c. ABDABD 46

d. OBDBAD 8

e. AOADCA 37

f. DBDA

g. CBAC 32

h. ADCDOA 925

2. Diketahui kjia 1250 , kjib 401836 , dan

kjic 161025

Hitunglah :

a. bac 2

b. cab 38

c. cb 64

3. Diketahui :

11

9

7

r ,

5

8

13

s , dan

40

12

16

t , hitunglah :

a. rt b. rts 98

4. Diketahui titik H ( m , 6 , 2 ) , I ( 12 , n , 10 ) , dan J ( 3 , -4 , r ).

Jika JIJHHI 64 , hitunglah m , n , dan r !

E . PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

Definisi : Perkalian skalar antara vektor a dan b adalah ba , dengan :

cosbaba

Dengan adalah sudut antara vektor a dan b .

Jika

A

A

A

z

y

x

a dan

B

B

B

z

y

x

b , maka : BABABA zzyyxxba ...

Sifat-sifat perkalian skalar

1. abba

2. cabacba )(

3. 2aaa

4. 0 ba , jika dan hanya jika 0a , atau 0b , atau ba .




1. Diketahui 5a dan 12b , sudut antara vektor a dan b adalah 60 , hitunglah

ba !

2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ), hitunglah TSRT

3. Diketahui vektor kjima 24 tegak lurus pada vektor kjmib 67 ,

hitunglah nilai m !

1. Jika 5a dan 12b , sudut antara vektor a dan b adalah 60 , maka :

302

1.12.560cos.12.5cos baba

2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ).

2

15

12

5

10

27

)

2

11

21

0

4

9

()

7

1

6

2

11

21

()()( tsrtTSRT

= 27 . ( 12 ) + ( 10 ) . 15 + ( 5 ) . ( 2 ) = 464

3. Vektor kjima 24 tegak lurus pada vektor kjmib 67 , maka nilai m

dapat ditentukan sebagai berikut :

0 ba

0)67()24( kjmikjim

01247 mm

123 m

4 m

1. Hitunglah nilai ba jika diketahui :

a. 4,8 ba dan = 30

b. 3,7 ba dan = 150

c. 12,20 ba dan = 225

d. 13,3 ba dan = 330

2. Hitunglah nilai qp jika diketahui :

a. kjip 2416 dan kjiq 615

b. kip 68 dan kjq 289

3. Hitunglah nilai sr jika diketahui :

a.

3

26

5

r dan

56

15

90

s b.

16

0

11

r dan

4

6

37

s

4. Diketahui titik A ( 24 , 18 , 12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 , 5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ). Hitunglah :

a. CDAB

b. )()( ADBCABDB

c. )52()38( DCDABABD

d )5( CABAAC

5. Tentukan nilai m jika vektor-vektor berikut saling tegaklurus :

a. kjimh 782 dan kjmig 235

b. kjmimx 442 dan kjimq 43

6. Diketahui 12 ba , 4a dan 6b . Hitunglah ba !




F . SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Jika adalah sudut antara vektor vektor a dan b , maka nilai dapat ditentukan dari :

ba

ba cos

Hitunglah nilai dari cos , jika adalah sudut antara vektor kjia 345 dan

kjib 22 !

Jika adalah sudut antara vektor kjia 345 dan kjib 22 , maka nilai

kosinus dapat ditentukan sebagai berikut :

950

5

14491625

3810

)1()2(2)3(45

)1(.)3()2(.42.5cos

222222

ba

ba

23

1

25.3

5

Besar sudut = 61,87

1. Hitunglah nilai kosinus sudut antara vektor-vektor berikut :

a. kjip 268 dan kjiq 834

b. kjip 73 dan kjiq 910

c.

3

12

5

r dan

4

6

12

s

d.

16

18

14

r dan

1

2

2

s

2. Jika besar sudut antara vektor kjima 312 dan kjib 28 adalah

120 . Hitunglah nilai m !

3. Jika adalah sudut antara vektor

4

7

15

c dan

20

6

3

d , hitunglah cos , sin ,

dan tan !




G . PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL

Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah ‘bayangan tegak lurus’ dari

vektor a pada vektor b .

Ada dua macam proyeksi vektor ortogonal , yaitu :

1. Proyeksi vektor .

Proyeksi vektor ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah vektor ‘bayangan’ nya , yaitu vektor

c , dengan :

bb

bac

2

2. Proyeksi skalar ortogonal .

Proyeksi skalar ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah panjang ( modulus ) dari vektor

‘bayangan’ nya , yaitu c , dengan :

b

bac

Diketahui vektor : kjia 3610 dan kjib 684

Tentukan : a . proyeksi vektor a pada vektor b ! b . proyeksi skalar a pada vektor b !

a . Proyeksi vektor a pada b adalah

bb

bac

2

)684(

366416

184840

2kji

)684(116

10kji

)684(58

5kji

kji58

30

58

40

58

20

kji29

15

29

20

29

10

b . Proyeksi skalar a pada b adalah 2929

5

292

10

116

10

366416

184840

b

bac




1. Diketahui vektor kjip 274 dan kjiq 663 , tentukan :

a. Proyeksi vektor p pada q b. Proyeksi vektor q pada p

2. Diketahui vektor

6

8

12

k dan

2

4

3

m , tentukan :

a. Proyeksi vektor m pada k b. Proyeksi skalar k pada m

3. Diketahui K ( 14 , 3 , 8 ) , L ( 10 , 1 , 6 ) , M ( 4 , 7 , 0 ) dan N ( 8 , 12 , -6 ). Tentukan :

a. Proyeksi vektor KN pada LK

b. Proyeksi skalar LM pada KL

c. Proyeksi vektor MN pada NL

d. Proyeksi skalar MKLM 2 pada LN

4. Proyeksi skalar kjmia 1628 pada kjib 534 sama dengan 25

2.

Hitunglah nilai m !

vektor

Education