Ukuran StatistikaUkuran Penyebaran

Julius Nursyamsi

PendahuluanUkuran penyebaranSuatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata rata hitungnyaUkuran penyebaran mencakup dataUngrouped dataData yang belum dikelompokanGrouped dataData yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi

Ukuran PenyebaranUkuran penyebaran:RangeDeviasiRata rataVarianDeviasi standar Range inter-kuartilDeviasi kuartilUkuran kecondongan dan keruncingan

Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak DikelompokanRange JarakMerupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampelRumusan RangeRange = Nilai terbesar nilai terkecil

Range = 840 530= 310

PerusahaanHarga SahamSentul City530Tunas Baru580proteinprima650total750Mandiri840

Deviasi Rata rata PopulasiRata rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnyaRumusan Deviasi rata rata ( MD)|x - x| MD = NX = Nilai data pengamatanX = Rata rata hitungN = Jumlah data

Contoh Deviasi Rata - RataMD == |x - X| / n= 8.84 / 5= 1.768

PerusahaanIndekx - XNilai MutlakSentul City7.51.141.14Tunas Baru8.21.841.84proteinprima7.81.441.44total4.8-1.561.56Mandiri3.5-2.862.86Total31.88.84Rata -rata (X)6.36MD1.768

Varians dan Standar Deviasi PopulasiVariansRata rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata rata hitungnya Rumus varians populasi

(X - )2 2= N = ( X) / NX = Nilai data pengamatan = Nilai rata rata hitungN = Jumlah total data

Contoh Kasus Varians (X - )2 17.372 2 == = 3.4744 N 5

PerusahaanIndekX - (X - )Sentul City7.51.141.2996Tunas Baru8.21.843.3856proteinprima7.81.442.0736total4.8-1.562.4336Mandiri3.5-2.868.1796Jumlah ( X )31.8(X - )17.372Rata - rata ()6.36s3.4744

Standar deviasiAkar kuadrat dari varians dan menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanyaRumus standar deviasi (X - )2 = NStandar Deviasiatau =

Contoh Kasus Standar Deviasi (X - )2 17.372 2 == = 3.4744 N 5Nilai varians :Nilai standar deviasi : = 3.4744 = 1.864Nilai penyimpangan sebesar 1.864

Varians dan Standar Deviasi SampelVarians

Standar deviasi (x - x )2 s 2= n -1S = s

Contoh Kasus SampelVarians : (x X)s = n 1s = 824260 / 9s = 91584.44Standar deviasi :S = sS = 91584.44S = 302.63

NoPerusahaanHarga sahamx - X(x - X)1Jababeka215-3581281642Indofarma290-283800893Budi Acid310-263691694Kimia farma365-208432645Sentul City530-4318496Tunas Baru5807497proteinprima6507759298total750177313299Mandiri8402677128910Panin1200627393129Jumlah5730824260Rata - Rata (X)573s91584.44S302.63

Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokanRange JarakMerupakan selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendahRumusan RangeRange = Batas atas kelas tertinggi nilai terkecil

Contoh RangeBatas atasKelas terendahBatas atas Kelas tertinggiRange := 9754 215= 9539

Sheet1

NoPerusahaanHarga sahamNoPerusahaanHarga saham

1Bakrie15801Jababeka215

2proteinprima6502Indofarma290

3Panin12003Budi Acid310

4Bukit Asam66004Kimia farma365

5Bumi resources21755Sentul City530

6Energi mega36006Tunas Baru580

7Budi Acid3107proteinprima650

8Tunas Baru5808total750

9Indofarma2909Mandiri840

10Kimia farma36510Panin1200

11Sentul City53011Indofood1280

12Jababeka21512Bakrie1580

13total75013Berlian2050

14Telkom975014Niaga2075

15Berlian205015Bumi resources2175

16BCA535016BNI3150

17BNI315017Energi mega3600

18Mandiri84018BCA5350

19Indofood128019Bukit Asam6600

20Niaga207520Telkom9750

Sheet2

KelasInterval

12152122

221234030

340315938

459397846

578479754

Sheet3

Deviasi Rata - RataRumus deviasi rata - rata f. |x - x| MD = nRata rata hitung data dikelompokanx = ( f.x ) / n

Contoh Kasus MD = (f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416

KelasInterval KelasfTitik tengah (x)f.x|x - X|f.|x - X|11624102020013.68136.82253318295224.6884.243344214385324.3260.484435144718813.3253.285526025611222.3244.646616926513031.3262.64Total50255168489.64442.08Rata - rata (X)33.68

Varians dan Standar Deviasi data di kelompokanVarians

Standar deviasi f. (x - x )2 s 2= n -1S = s

Contoh Kasus Varians :s= (f.|x - X|)/ n 1 = 6194.88 / 49 = 126.4261Standar deviasi :S = s = 126.4261 = 11.2439

KelasInterval KelasfTitik tengah (x)f.x|x - X||x - X|f.|x - X|11624102020013.68187.14241871.4242253318295224.6821.9024394.24323344214385324.3218.6624261.27364435144718813.32177.4224709.68965526025611222.32498.1824996.36486616926513031.32980.94241961.885Total50255168489.641884.2546194.88Rata - rata (X)33.68

Ukuran Penyebaran RelatifMengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatifPenggunaan ukuran relatif memberikan manfaat :Data mempunyai satuan penguikuran yang berbedaData mempunyai satuan ukuran yang sama

Ukuran Penyebaran RelatifKoefisien rangeKoefisien deviasi rata-rataKoefisien deviasi standar

Koefisien RangePengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatifRumusan : KR = ( (la Lb) / (La + Lb) ) x 100 %

La : Batas atas data atau kelas tertinggiLb : Batas bawah data atau kelas terendah

Contoh Koefisien RangeLa : Kelas tertinggi = 69Lb : Kelas terendah = 16KR := (La Lb) / (La + Lb)= (69 16 ) / (69 + 16)= 53 / 85= 0.6235 x 100 %= 62.35 %

KelasInterval Kelasf116241022533183344214443514552602661692

Koefisien Deviasi Rata - RataKoefisien deviasi rata rataUkuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanyaRumus : KMD = [ MD / x ] x 100%MD = Deviasi rata - rataX = Nilai rata rata data

Contoh KasusData dikelompokan :MD = 8.8416X = 33.68Koefisien deviasi rata rata :KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 % = 0.2625 x 100 % = 26.25 %

Koefisien Standar DeviasiKoefisien standar deviasiUkuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentaseRumus KSD = [ s / x ] x 100 %S = Standar deviasiX = Nilai rata rata data

Contoh Kasus Data dikelompokanStandar deviasi = 11.2439Rata Rata hitung (x) = 33.68

Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 % = 33.38 %

Ukuran Kecondongan - SkewnessUkuran kecondongan kemencenganKurva tidak simetrisPada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan mediaPendekatan : JikaRata-rata = median = modus : SimetrisRata-rata < median < modus : Menceng ke kiriRata-rata > median > modus : Menceng ke kanan

Koefisien SkewnessSk = [ - Mo ] / atau = 3.[ - Md] / = Nilai rata rata hitungMo = Nilai modusMd = Nilai median = Standar deviasi

Contoh kasus data dikelompokan = 33.68Mo = 18Md = 32 = 11.2439

Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439Sk = 15.68 / 11.2439Sk = 1.394Sk = {3. [ 33.68 32]} 11.2439Sk = 5.04 / 11.2439Sk = 0.4482

Ukuran Keruncingan - KurtosisKeruncingan disebut juga ketinggian kurvaPada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian :Leptokurtis = Sangat runcingMesokurtis= Keruncingan sedangPlatykurtis= Kurva datar

Koefisien KurtosisBentuk kurva keruncingan kurtosisMesokurtik4 = 3Leptokurtik 4 > 3Platikurtik4 < 3Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan) 4 = 1/n (x - )4 4 Nilai data

Koefisien KurtosisKoefisien kurtosis (data dikelompokan)4 = 1/n f. (X - )4 4 Nilai rata rata hitungStandar deviasiNilai tengah kelasJumlah Frekuensi

Rata Rata GeometrikDigunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan Growth rateRumus : G = n (x1 . x2 . x3 . xn )

G = [log x1 + log x2 + log xn]n G = Antilog (log G)

ContohData pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 %Tingkat pertumbuhan :G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 + log 1.2 + log 2.5 ] / 5G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079 + 0.397] / 5G = 1.5464 / 5 = 0.30928G = antilog 0.30928 = 2.03

Ukuran Penyebaran LainRange Inter-KuartilJarak inter-kuartil = K3 K1Jika :Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ; Bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke nilai rata-rata hitung (seragam)Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam

Ukuran Penyebaran LainDeviasi KuartilSetengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1Rumusan Deviasi kuartil DKDK = [ K3 K1 ] / 2JikaDK lebih kecil ; Rata rata data lebih mewakili keseluruhan data

Ukuran Penyebaran LainJarak persentilSelisih antara persentil ke 90 dengan persentil ke 10Rumusan jarak persentil - JPJP = P90 P10Jika JP lebih besarBahwa nilai deviasi lebih besar