ukuran statistik data
TRANSCRIPT
UKURAN STATISTIK BAGI DATA
Parameter vs Statistik
Populasi
Sampel
Parameter
Nilai Tengah ()
Simpangan baku ()
Ragam (2)
Statistik
Nilai Tengah (x )
Simpangan baku (s)
Ragam (s2)
Uji kesamaan
Definisi ParameterDefinisi Parameter
Definisi StatistikDefinisi Statistik
Parameter Sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi misalnya, , 2, , dsb.
Statistik Sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel, misalnya : x, s2, s, dsb.
Data PengamatanData Pengamatan
► PopulasiPopulasi
XX11 , X , X22 , X , X33 , X , X44 , X , X55 , X , X66 , … , X , … , XNN
XX[1][1] , X , X[2][2] , X , X[3][3] , X , X[4][4] , X , X[5][5] , X , X[6][6] , … , X , … , X[N][N]
SampelSampel
XX11 , X , X22 , X , X33 , X , X44 , X , X55 , X , X66 , … , X , … , Xnn
XX[1][1] , X , X[2][2] , X , X[3][3] , X , X[4][4] , X , X[5][5] , X , X[6][6] , … , X , … , X[n][n]
Ukuran Pemusatan Ukuran Pemusatan DataData(Central Tendency)(Central Tendency)
Ukuran Pemusatan / Lokasi Pusat
Data
Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya
MEANMODUSMEDIAN
Mean (Nilai Tengah)
Nilai Tengah (Mean)
Populasi ()
Sampel / Contoh( x )
Bila segugus data x1, x2, … xN, tidak harus semuanya berbeda,
menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N
Misalkan x1, x2, … xn, tidak harus semuanya berbeda, merupakan
sebuah contoh terhingga ukuran n
N
X μ
N
1ii
n
X X
n
1ii
Jika data telah diurutkan, pengamatan yang berada tepat di tengah-tengah bila banyak data ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyak data genap
Nilai yang terjadi paling sering atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi
Median
Modus
Hubungan antaraHubungan antaraMean, Median dan Mean, Median dan
Modus Modus UPSUPS Keuntungan Keuntungan Kerugian Kerugian
Mean Mean 1.1. Ukuran lokasi pusat yang Ukuran lokasi pusat yang paling umum digunakan dalampaling umum digunakan dalam
2.2. Mudah dihitung dan Mudah dihitung dan memanfaatkan semua memanfaatkan semua informasi yang dimiliki.informasi yang dimiliki.
1. Sangat dipengaruhi oleh nilai 1. Sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem ekstrem
Median Median 1.1. Kemudahan menghitung bila Kemudahan menghitung bila banyaknya pengamatan relatif banyaknya pengamatan relatif kecilkecil
2.2. Tidak dipengaruhi oleh nilai Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim sehingga memberikan ekstrim sehingga memberikan rata-rata yang lebih benar rata-rata yang lebih benar
--
ModusModus 1.1. Tidak memerlukan perhitunganTidak memerlukan perhitungan
2.2. Dapat digunakan bagi data Dapat digunakan bagi data kualitatif ataupun kuantitatifkualitatif ataupun kuantitatif
1.1. Ukuran pemusatan data Ukuran pemusatan data yang paling jarang yang paling jarang digunakan.digunakan.
2.2. Untuk gugus data yang Untuk gugus data yang kecil, manfaat modus kecil, manfaat modus hampir atau bahkan tidak hampir atau bahkan tidak ada sama sekali. ada sama sekali.
Ukuran Pemusatan Data
Lainnya
Tengah Wilayah
Nilai Tengah Terboboti
Nilai Tengah Gabungan
Nilai Tengah Geometrik
Nilai Tengah Harmonik
Rata-rata pengamatan yang terkecil dan terbesar
TengahWilayah
2minmax xx
Jika terdapat k data x1, x2, …, xk dengan asumsi bahwa sebagian lebih penting dari lainnya, maka diberi pembobot w1, w2,…, wk pada nilai-nilai tersebut, sedangkan pembobot- pembobot itu mengukur pentingnya yang satu relatif terhadap yang lain.
w
xwˆ
k
1ii
k
1iii
ww x
Nilai Tengah Terboboti
Nilai Tengah Gabungan
Populasi Contoh
Misal k buah populasi terhingga masing-masing ukuran populasi N1, N2, …, Nk mempunyai nilai
tengah 1, 2,…, k
Jika contoh acak berukuran n1, n2, …, nk yang diambil dari k populasi, masing-masing mempunyai nilai tengah
Nilai tengah contoh gabungan :
x, ...,x,x,x k321
Nilai tengah populasi gabungan :
N
μNμ k
1ii
k
1iii
c
n
xn x k
1ii
k
1iii
c
Nilai Tengah Geometrik
Nilai Tengah Geometrik (G) bagi k bilangan positif x1, x2, …xk adalah akar ke-k hasil kali
semua bilangan itu :
kk21 x,....,x,x G
Nilai Tengah Harmonik
Nilai tengah harmonik (H) bagi k buah bilangan x1, x2, …xk adalah k
dibagi dengan jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut, jadi :
k
1i ix1
k H
Ukuran Dispersi / Keragaman (Varians) Data
Statistik Ukuran Keragaman (Dispersi) Data
Wilayah Ragam(Varians)
Simpangan Baku
Selisih antara pengamatan terbesar dan terkecil dalam kumpulan data tersebut
Ukuran keragaman yang memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap nilai tengah gugus data tersebut
Simpangan sebuah pengamatan dari nilai tengahnya diperoleh dengan mengurangkan pengamatan tersebut dengan nilai tengah
Wilayah
Jika wilayah suatu data A > B, maka data A
dikatakan telah menyebar
R = Ymaks – Ymin
Populasi
Sampel
Ragam populasi terhingga x1, x2, …xn,
didefinisikan
N
μx σ
N
1i
2i
2
Ragam contoh untuk sebuah contoh/ sampel acak
1-n
xx S
n
1i
2i
2
Ragam
Populasi Sampel
x1, x2, …xN populasi terhingga,
simpangannya : x1-2, x2- 3 ,…,
xN-
N
μx σ
N
1i
2i
x1, x2, …xn contoh/ sampel acak, simpangan-nya : x1 - x1, x2 -x,…, xn-x
Simpangan Baku
1-n
xx s
n
1i
2i
Varians (Keragaman)Varians (Keragaman)
Bila ragam gugus data A > ragam gugus data B, maka hal tersebut menunjukkan bahwa gugus data A lebih beragam daripada gugus data B, begitupula sebaliknya.
Simpangan Baku (Standar Deviasi)Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Bila suatu sebaran data hasil pengukuran mempunyai simpangan baku yang kecil, maka dapat dinyatakan bahwa sebagian besar data mengumpul di sekitar nilai tengahnya (keragamannya kecil), begitu pula sebaliknya.
Dalil Chebyshev
Ahli Matematika Berkebangsaan
Rusia, P.L.Chebyshev
(1821-1894)
Proporsi pengukuran yang jatuh antara dua nilai yang setangkup terhadap nilai tengahnya berhubungan dengan simpangan bakunya
Mengemukakan
Dalil Chebyshev Memberikan dugaan yang konservatif terhadap proporsi data yang jatuh dalam k simpangan baku dari nilai tengahnya, untuk suatu bilangan tetap k tertentu
Dalil Chebyshev berbunyi :
Sekurang-kurangnya 1 – 1/k2 bagian data terletak dalam k simpangan baku dari nilai tengahnya
Nilai Z (Nilai standarisasi)
Nilai Z Suatu pengamatan x dari suatu populasi yang mempunyai nilai tengah dan simpangan baku , mempunyai nilai z atau skor z yang didefinisikan sebagai :
σ
μ -x z
Nilai Z
Positif Mengukur berapa simpangan baku letak suatu pengamatan diatas nilai tengahnya
Negatif Mengukur berapa simpangan baku letak suatu pengamatan dibawah nilai tengahnya
Nilai z suatu gugus data A (positif) > nilai z suatu gugus data B → tampilan relatif data A lebih baik daripada tampilan relatif data B