turunan_bab8

40
BAB VIII ~ Turunan 265 TURUNAN VIII BAB Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu: 1. menghitung turunan fungsi sederhana dengan menggunakan definisi turunan, 2. menentukan turunan fungsi aljabar, 3. menentukan turunan fungsi trigonometri, 4. menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar dan trigonometri, 5. menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai, 6. menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva, 7. menggunakan turunan untuk menghitung kecepatan dan percepatan, 8. menggunakan aturan LHospital untuk menghitung limit bentuk tak tentu.

Upload: medya-septina

Post on 14-Jun-2015

556 views

Category:

Documents


13 download

TRANSCRIPT

Page 1: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 265

TURUNAN����

BAB

Tujuan Pembelajaran

�������������� ����� ������������������� ����������

�� ��������� �� ����� ������� ���� ������������������������������

�� �����

�� ���������� �� ����� ������� ������ �

�� ���������� �� ����� ������� � ������� ��

�� �������������� ����� ���������������������� ������������������

���� � ������� ��

� ������������ ������������������������������� ��� ������

!� ������������ �������� ������������������������� "��

#� ������������� ����������������������$������������� $�������

%� �������������� ���&'(����������������������� ����� ������� ���

������

Page 2: Turunan_bab8

����� ����������������������266

����������������� ����"� ���������������� �� ��������������$��������)���%*+

�������,����� ���������������������������� �������� ������� ��������

��-�.��!��/�%*

0�������� ���1�������)���������������������� �������1������������������������� �� ��

������� �� ������ �)������1��������������� ������� ����� � �������2� ��������$����������

�� $�����������������������������������2� ������)�����1�������� �������������������$����

�������� ������3�4����� ������)�����������$�������1�������� �������������������1����

�����������3

5��$������ ������������� �����������1������������������ �������������6� ����

��������������)����������� ������ ��$� ����������������������� ��������1����� ������

��������� �����������$� ����������� �� ������7����� ���� ��������������1���������

������������$� ����������������1������� ����������������������������1���� ����

��������� ������� �������������������

��������������������� ������������� �� ��� ����

Pengantar

Page 3: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 267

�� ��� � ��� ���

5���� ���8����#�������� ����������� ����)�� ������� ������������ ������� ( )y f x=�� �����������������!����������� �!� -�"� ��1������$� ������� ��������� �����������

��� �������� ������������������� "�� ( )y f x= ���� ( , ( ))P c f c ������

������� �������������0 0

( ) ( )lim lim x h

y f c h f cx hΔ → →

Δ + −= =

Δ9�����1��� ����� ������� ������$��� ��$� �������� ������������ ������ �������

���1��������������������������0������������������ �������1���������� ���������

�����������������������������

���� ���� ��� ���� � � �� ����

#�������������"�������������������� '( )f c �����������������������

��������������������������������� 0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h→

+ −= �����������������������������������������������:%��;

�������������������<������ '( )f c �����$��=#�������">�

,������������������!�$�"�%�&������&�$�!�'�"�����> 0h → >����� ���������> x c→ >��7��

�� ����������������������������������� ��������

( ) ( )'( ) lim

x c

f x f cf c

x c→

−=

−�������������������������������������������������������:%��;

�������������������������������������������������������� �����

�� ���� ���

?� ������ ������������2( ) 3 5 2f x x x= − + �������������"�

�����������

4� ��4��������%������������1��

����������� 0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h→

+ −=

2 2

0

[3( ) 5( ) 2] [3 5 2]lim

h

c h c h c ch→

+ − + + − − +=

2 2 2

0

3 6 3 5 5 2 3 5 2]lim

h

c h h c h c ch

c→

+ + − − + − + −=

2

0

6 3 5lim

h

ch h hh→

+ −=

0lim 6 3 5

hc h

→= + −

6 5c= −

,������� ������������2( ) 3 5 2f x x x= − + �������������"������� '( ) 6 5f c c= − �

Page 4: Turunan_bab8

����� ����������������������268

4����4�������� %���������������� �� ����� ������ ������� #������������� ������ "�

���������1��� ������������� �������������"��� ���8�����������������!����������

�� ����

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −=

�������� ����� ���� �����4������� ���� �������������������� 'f �������� ��������� ��

1���������������� � ��� ��#�

�� ���� ����

@������������#�:!;�-��!��/�%��$� ������ �����#������������������$� ��

�� ���������!�������������� '( )f x �

�� �������� ����:%��;�

$� �������� ����:%��;�

�����������

�����4� ��$�����%�����:�;������ ���� '( ) 6f x x= ��7����� ��������

'(2) 12f =�����4������ ����:%��;�

0

(2 ) (2)'(2) lim

h

f h ff

h→

+ −= �

2 2

0

[3(2 ) 8] [2 8]limh

hh→

+ + − += -� 0

lim12 3 12h

h→

+ =

$� 4������ ����:%��;�

2 2 2( ) (2) (3 8) (3 2 8) 3( 4)2 2 2

f x f x xx x x− + − ⋅ + −

= =− − −

�-��:!�/��;

,����

2

( ) (2)'(2) lim

2x

f x ff

x→

−=

−�-� 2

lim 3( 2) 12x

x→

+ =

5����������������� 'f � ������ �� ����� ������� #����� ������������� ������ ����

���� ���:�#�!�.��%��;���� ������������)���5� ��$����<��������������������������

'f ����� �������� ����������#������������1�����!������ '( )f x �

,����������:!(�);��� ������������ ������������#��1�����!��������� ������)�-�#�:!;�����

������� 'f ������������������������� 'y ������

dydx

��<�������������� ����������� ��������

������������)��� ,� ����� ����!�������"�#�$��$%� ��& �'� :�!�!�.��#�!;��4��

�������������������� ������������������#������

[ ( )]d

f xdx

������ [ ( )]x f xD

�� ���� ���(

,�������������

23

xy

x−

=+

�����������

dydx

Page 5: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 269

�����������

4������������)�$�#�:!;��������

2( )

3x

f xx

−=

+�

����

2 2( ) ( ) 3 3

x h xf x h f x x h x

h h

− − −−+ − + + +=

-�

(2 )(3 ) (3 )(2 )(3 )(3 )

x h x x h xh x h x

− − + − + + −+ + +

-�

2 2(6 3 ) (6 2 )(3 )(3 )

x xh h x x xh h xh x h x

− − − − − − − + −+ + +

-�

5(3 )(3 )

hh x h x

−+ + + �-�

5(3 )(3 )x h x

−+ + +

,����

20

( ) ( ) 5 5lim lim

0 (3 )(3 ) (3 )h

dy f x h f xhdx h x h x x→

+ − − −= = =

→ + + + + �

�� �������)� �*� ��+�� �

4�������� ( )f x x= �

�� 6�����������)��#������������1����� ��������!�-�*�

�� A��� ������������ �����#�

�����������

�� 4������ ����:%��;�

0 0

( ) (0)'(0) lim lim

0x x

xf x ff

x x→ →

−= =

−6������������ 0x > �

0 0lim lim 1x x

x xx x+ +→ →= =

���������������� 0x < �

0 0lim lim 1x x

x xx x−→ − →

−= = −

B� ���� ����� ������ ������ ����������� ����� �� ��� ���������� �����������)�

'(0)f � ������ ����� <���� ��������� ������� #� � �������� ��� !� -� *�� �� ���

0lim ( ) 0 (0)x

f x f→

= = �

Page 6: Turunan_bab8

����� ����������������������270

�� A �����)�-�#�:!;�

���������*����#� �#������ y x=

�4��������������������������������������$� �� �����8������������ ������

( ) 1 2f x x x= − + + �����1����� ������B��������� ����� ���������� 'f �

������������������� �����#�

��$� ����������������������1���� ��������������"��� ������������:$� ,��;�����

����������� ������#�����������1����� ������&����A��� �%������������!�-�*��4� ��?����

%��� � ���� %���!�� ������ ����� ��������� ��)�� ������������ ������� ������������

����������� �� ����� �� �� #�� ����� ������� ����������� �� ����� ��� ������ ������ ����

���������������������������� ������ �� ������� ����������� � �� ����������� ��� ��

�� �����

����%�� ��

,�����������#�����1����� ��������"������#�������������"�

�� �

@����� 0h ≠ �

���0 0

( ) ( )lim [ ( ) ( )] limh h

f c h f cf c h f c h

h→ →

+ −+ − = ⋅

0 0

( ) ( )lim lim h h

f c h f ch

h→ →

+ −= ⋅ -� '( ) 0 0f c ⋅ =

,�����

0lim ( ) ( )h

f c h f c→

+ = �1����������������)��#�������������"��

)

8�����8�����8����8����*��������������������������������

!

=) !

Tugas Kelompok

Page 7: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 271

�� �������-� �*� ��+�� �

6������������������������� ��������#�����1����� ��������!�-��������

2 , untuk 1( )

, untuk 1x x

f xax b x

<=

+ ≥⎧⎨⎩

�����������

��� �#�����1����� ��������!�-��������#��� ��������������!�-����9������#�����������

!�-�����������

1lim ( ) (1)x

f x f→

= �

B�����1��

1lim ( ) (1)x

f x f+→

=�

2

1lim x

x a b+→

⇔ = +

����������� 1 a b⇔ = + �������������������������:%��;

4�������������#������1����� ��������!�-��������� '(1 ) '(1 )f f+ −= ��4������ ����:%��;�

1 1

( ) (1) ( ) ( )'(1 ) lim lim

1 1x x

f x f ax b a bf

x x+ +

+

→ →

− + − += =

− −

�����1

( 1)lim

1x

a xa

x+→

−= =

−���:%��;

2

1 1

( ) (1) ( )'(1 ) lim lim

1 1x x

f x f x a bf

x x− −

→ →

− − += =

− −

�����-�

2

1

1lim 2

1x

xx−→

−=

−�����:�� ��:%��;; ��:%� �;

4� ��:%��;�����:%� ;��������� ������-����4� ����-������������������������:%��;�������� ���

��-���

�� 6�������� '( )f c ���������������������1�������� �����

��2( ) 1 3f x x x= + − $� ( )

2 3f x

xx

=−

�� ( ) 2 1f x x= +

��3( ) 3f x x x= + �� 2( )

4f x

xx

=−

��( )

23

f xx

=−

�� ��������������1��������� ������������������#�������������������"��<1�������#

����"��������������������

��

0

1 1limh

hh→

+ −$�

8

1

1lim

1x

xx→

−−

��������

( )0

sin 12limt

t

t

π

+ −

��

3

0

(2 ) 8limh

hh→

+ −��

3

cos 1lim

3x

xxπ π→

+−

��0

5 1lim

x

x x→

Latihan 8.1

Page 8: Turunan_bab8

����� ����������������������272

�� ?� ���� �� ������� �� ������� �������1�������� �����������1���������� ������

�������������� ������� �� �����1��

�� ( ) 5 8f x x= − $� ( )f x x x= + ��

3 4( )

3x

f xx−

=−

��3 2( ) 5f x x x x= − + ��

1( )

1x

f xx−

=+

�� ( ) 1 3 f x x= +

�� 6��������

dydx

��� ����������� ������1�������� �����

�� 2

43y x

x= + $� 2 7y x= −

��

23

yx

=−

��

11

yx

=−

����������������������������������������������

� 4�������

2 , untuk 2( )

2 , untuk 2x x

f xx x

− ≥=

− <⎧⎨⎩

�� 6��������� ��)�� '(2)f � ������ ����

A��� ����� �����1��

!� 6������������������������� ��������#�����1����� ��������!��-���������

2

, untuk 2( )

2 1 , untuk 2ax b x

f xx x

+ <=

− ≥⎧⎨⎩

��� ����%����� � ��� �����$.�&��

4���� ������� �������1�� ����� ����������� �� ���� ��������� � ����

���� �����:"����� �����;����������������������������������������������� ����������� ����

��������� �� ����� ���� ���������������� �� ��� ��8��� ���1������� �� �������

���������������������� ��������

����%�� ���

,�����������#�:!;�-� ���������� ���������������������� '( ) 0f x = �

�� �

&���������� �����������

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −=

������������-�0

limh

k kh→

−-�

0lim 0 0h→

=

,������� �������������������������������

Page 9: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 273

����%�� ��(

,������������������������ ( ) nf x x= ������1'( ) nf x nx −= �

�� �

4������������� ������� ������2( )x h+ �������������������6�� ���2�������

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −=

�����-�0

( )lim

n n

h

x h xh→

+ −

�����-�

( 1)1 2 22

0

( + )lim

n nn n n n n

h

x nx h x h h x

h

−− −

+ + + −�

�����-�

( 1)1 2 -120

lim ( )n nn n n

hnx x h h−− −

→+ + +�

����1nnx −=

�� �����������������$�����1������ ���������1�������� �&������������1�����������*�

0����������������������������������������1��6�� ���%��������� ��������������

��������� ��������

�� ���� ����

6�������� '( )f x ������

�� #�:!;�-�!#

$�2

1( )f x

x= �� ( ) 2f x x=

�� #�:!;�-� !�*

�� 6

4( )f x

x= ��

3 2( )f x x=�����������

4������6�� ���%���

�� #�:!;�-�!#

��

66

4( ) 4f x x

x−= =

7 1 6'( ) 7 7f x x x−= = 6 1 7 7'( ) ( 6) 4 24 24f x x x x− − −= − ⋅ = − = −

�� �#�:!;�-� !�*

��

12( ) 2 2f x x x= =

10 1 9'( ) 10 5 50f x x x−= ⋅ =1 112 21'( ) 2 12f x x x x− −

= ⋅ = =

$�

22

1( )f x x

x−= = ��

23 2 3( )f x x x= =

�2 1 3 3'( ) ( 2) 2 2f x x x x− − −= − = − = −

2 112 23 333 32'( ) 3f x x x x

− −= = =

Page 10: Turunan_bab8

����� ����������������������274

����%�� � ��)

0������������������������ ����������������#��������1���������������������

#�:!;�-� �:!;��,�����������1����� ���������

'( ) '( )f x ku x=

�� �

4� ��4��������%���

'( )f x -�

0

( ) ( ) lim h

f x h f xh→

+ −

-�

0

( ) ( ) lim h

ku x h ku xh→

+ −

-�

0

( ) ( ) lim h

u x h u xk

h→

+ −

-�

0

( ) ( ) limh

u x h u xk

h→

+ −

-� '( )ku x�

��������$��������� ����������#�:!;�-�%�! �����

4 4'( ) 5 8 40f x x x= ⋅ =

����%�� ��-

0�������������� �����������������#��������1����������������������#�:!;�-��:!;�/� :!;�

,����������� �����1����� ���������

'( ) '( ) '( )f x u x v x= +

�� �

��������� '( )f x �-��0

( ) ( ) lim h

f x h f xh→

+ −

�������-�0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh

u x h v x h u x v xh→

+ + + − +

-�0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] limh

u x h u x v x h v xh→

+ − + + −

-�0

( ) ( ) limh

u x h u xh→

+ −�/�

0

( ) ( ) limh

v x h v xh→

+ −

-� '( ) '( )u x v x+�

Page 11: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 275

(����� ��� ����������������� ����������������� ��������������B�����1��� ����

������������������������1������������������������ �����������8�����������1��

�� ���� �����

6�������� '( )f x �������#�:!;�-�#! �.��!

��.�%!

��/� �

�����������

����������������� ��6�� ���%� �

'( )f x �-�#� !��.����!

��.�%��!�/�*�-�� !

��.���!

��.��!!

�� ���� ����(

6�������� '(2)f �����#�:!;�-�

3

3x

/� 3

3x

�����������

B�������������#�:!;�-��

3

3x

�/�33x− ���������

'( )f x -�1 2 43 3 ( 3)x x−⋅ + − -�

2 49x x−− �-��

24

9x

x−

,�����2

4

9 9 55'(2) 2 4

2 16 16f = − = − = �

����%�� ��/

0�������������� �����������������#��������1���������������������

#�:!;�-��:!; :!;��,����������� �����1����� ���������

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= +

�� �

B� ���� �����1����� ��������!��������� ���6�� ���%���� ������������!��1����

0lim ( ) ( )h

v x h v x→

+ =

�������1��

���������� '( )f x �-��0

( ) ( ) lim h

f x h f xh→

+ −

�-� 0

( ) ( ) ( ) ( ) lim h

u x h v x h u x v xh→

+ + −

-� 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) limh

u x h v x h u x v x h u x v x h u x v xh→

+ + − + + + −

�������- 0

( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )h

u x h u x v x h v xv x h u x

h h→

+ − + −⋅ + + ⋅⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠-� '( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x+

Page 12: Turunan_bab8

����� ����������������������276

�� ���� ����)

6�������� '( )f x ������#�:!;�-�:�!��.��!

�;:!

�/��!

�;�

�����������

4����������#�:!;�-��:!; :!;����������:!;�-�:�!��.��!

�;����� :!;�-�!

�/��!

��

�:!;�-�:�!��.��!

�;�→ �

2'( ) 6 8u x x x= −

:!;�-�! �/��!

���������→�

4'( ) 5 6v x x x= +,����

���� '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= +

-�:26 8x x− ;:!

�/��!

�;�/�:�!

��.��!

�;:

45 6x x+ ;

-�:!!#�.�%!

!�/��%!

��.���!

�;�/�:�*!

#�.��*!

!�/��!

��.���!

�;

-��!!#�.��%!

!�/�*!

��.��%!

��

4������������������������������������������������)�� ����� #(� �(� ����&

����1��� �� ���������

( ) ' ' ' '= + +fgh f gh fg h fgh

����%�� � ��0

0�������������� �����������������#��������1���������������������

( )( )

( )u x

f xv x

=�� ( ) 0v x ≠

�,����������� �����1����� ���������

2

'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )u x v x u x v x

f xv x−

=

�� �

B� ���� �����1����� ��������!��������� ���6�� ���%��� ������������!��6�����

( ) 0v x ≠ ���������

0

1 1lim

( ) ( )h v x h v x→=

+

Tugas Kelompok

Page 13: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 277

4� ������������� ��������!�

�������� '( )f x -��0

( ) ( ) lim h

f x h f xh→

+ −

-�

0

( ) ( )( ) ( )lim

h

u x h u xv x h v x

h→

+−

+

-� 0

( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( )h

u x h v x u x v x hhv x h v x→

+ − ++

-� 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim

( ) ( )h

u x h v x u x v x u x v x u x v x hhv x h v x→

+ − + − ++

'( )f x - 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( )h

u x h u x v x u x v x h v xh v x h v x v x h v x h→

+ − + −⋅ − ⋅

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

-� 2 2

( ) ( )'( ) '( )

( ) ( )v x u x

u x v xv x v x

-� 2

'( ) ( ) ( ) '( )( )

u x v x u x v xv x−

�� ���� ����-

6�������� 'y �������

2

2

2 5 6+ 4

x xy

x+ −

= �

�����������

2

2

2 5 6+ 4

x xy

x+ −

= ⇒ �2 22 5 6 ' 4 5u x x u x= + − → = +

����2 4 ' 2v x v x= + → =

� 2

' ''

u v uvy

v−

=

-�

2 2

2 2

(4 5)( 4) (2 5 6)(2 )( 4)

x x x x xx

+ + − + −+

-�

3 2 2 2

2 2

4 5 16 20 4 10 12( 4)

x x x x x xx

+ + + − ++

-�

2

2 2

5 28 20( 4)

x xx

− + ++

Page 14: Turunan_bab8

����� ����������������������278

,���� ( ) ( )( )( )f x x a x b x c= − − − ��������������)�

'( ) 1 1 1( )

f xf x x a x b x c

= + +− − −

���������1��� ��������������1��� ������

2 3( ) (5 1)f x x= +

������������������ ���� '( )f x ����������� ������6�� ���%�!�����������1����

����������������� ����������2 2 2( ) (5 1) 5 1( )f x x x= + + �� 5� ��������1�� �������

�� ����

2 2 2 2 2 2'( ) (5 1) (5 1) 5 1 [(5 1)(5 1)]( )x xf x x x x x xD D= + + + + + +⋅ ⋅

����2 2 2 2 2(5 1) (10 ) 5 1 [(5 1)(10 ) (5 1)(10 )]( )x x x x x x x= + + + + + +

���2 2 2 2(5 1) (10 ) 5 1 [2(5 1)(10 )]( )x x x x x= + + + +

���2 2 2 2(5 1) (10 ) 2[(5 1) (10 )]x x x x= + + +

,����

������������������������2 2'( ) 3(5 1) (10 )f x x x= + ���������������������������������������������������������:%�!;

4� �� ����� ������������ ���������������3( )u x x= �����

2( ) 5 1v x x= + ������ #������

����������������u v� ���������

( ) ( ( ))f x u v x=

�����2(5 1)u x= +

�����2 3(5 1)x= +

B� ����2'( ) 3u x x= ����� '( ) 10v x x= �����������������������:%�!;������������

'( ) '( ( )) '( )f x u v x v x=��$� �� ���� ����� ���� ���� � ������ ���� ���� ��������� ���� ������� 1���

����1��� �� ��������� ������� �������� ���� ��� ���� �� ���������������������������

�� ����

����%������ ������ �1� ����

,����������� �����1����� ��������!�����������1����� �������� :!;�

�������������������� u v� �����1����� ��������!�����

( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�

Tugas Mandiri

Page 15: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 279

�� ���� ����/

6�������� '( )f x ��������5( ) (2 1)f x x= + �

�����������

9������#��������������������������������������������� �������� ��

5( ) (2 1)f x x= + �-� ( )( ) ( ( ))u v x u v x=�

��������:!;�-�!� ������� ( ) (2 1)v x x= + ��4��������� ��� ������

������� '( )f x �-�� ( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�

-� 4(2 1)x + �:�!;

-��*!4(2 1)x +

�� ?� ���� '( )f x �����������������)��2[ (2 )]

df x x

dx= �

�� 0���������������#�����1����� ������������� ( ( ))f g x x=�������

2'( ) 1 [ ( )]f x f x= + �

6�����������)��� 2'( )(1 )

1=

+g x

x�

��� � �� �2���� ���

,���� 'f ��������� ������������#(����� 'f ������� ���������������9������ 'f ������

���� � ������%���� ��#��,������ ������� �� 'f �������� ��������������������� � �2�"��

�� ��#��������������������� "f ������ "y ������

2d fdx

������

2

2

d ydx

��4������$� ��1��������

���� � �2�������� ��#������������������������� ������� ������ �� "f �����������������

������

"'f ������ "'y ������

3

3

d fdx

������

3

3

d ydx

��$� ������ �� �������8���� �� ������� #����������( )nf �� ������ �� ������� ������ �

�� �������8:�.�;��� �� #����������� �������������� 1���� ��������� ��� �� ��� ������ ����

�������� �������8���� ��#������

[ ( )]n

n

df x

dx��������� [ ( )]n

xD f x

Tugas Mandiri

Page 16: Turunan_bab8

����� ����������������������280

�� ���� ����0

6��������������� ������� �����������1�������� ��������

#�:!;�-� !��/��!

��.�!

��/�C

�����������

��� '( )f x = ��*!��/���!

��.��!

�� "( )f x = �!*!��/���!�.��

� '"( )f x = ��*!�/���

(4) ( ) 120f x =( ) ( ) 0, 5nf x n= ≥

�� 6�������� '( )f x ���������������������1�������� �����

�� �#�:!;�-��!��/��!

��/�� �� #�:!;�-�:D

��.��!�/�;:�!

��/��!;

�� �#�:!;�-���.��!�.�!�

�� #�:!;�-� 3 29 x

$� #�:!;�-�!#�.��!

�/��!

��/�#! �� #�:!;�-�2 5x x+

�� #�:!;�-�!��/��!�/�

21 x ��

2 13 3( ) 3f x x x

−= −

�� #�:!;�-�!��.�#�/�!

�8��/�!

�8��

2( )

4x

f xx

=+

�� #�:!;�-�:�!��/��;

���

2

2

2 1( )

2 1x x

f xx x− +

=+ +

�� �#�:!;�-�:�!��/��;: !�.�%; ��

3

3

8( )

8x

f xx+

=−

� �#�:!;�-�: !��.��;:�!

��/�!!;

�� 6��������

dydx

��������������)�1�������� �����

�� )�-�:!��/��!�/�;:�!

��.��; ��

24 32

x xy

x− −

=−

��

2 2

2 2

x ay

x a−

=+

��

2x

yx

=−

�� 2

21 5

xy

x=

+������

2 1(3 1)

3 4x

y xx+

= −+

$�

2 13 4

xy

x+

=+

��

4 2

4

2 5 1x x xy

x− + +

= ��������

32

3

1( 1)

3x

y xx+

= ++

Latihan 8.2

Page 17: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 281

�� 6���������� �������������������������1�������� �����

�� #�:!;�-�:�!�/��;

�� �:!;�-�:!��.��!

��/��;

�.����

132( ) (5 2 )h x x −= −

�� �:!;�-��:!��/��!�.� ;

���

2( ) 1 4H x x= + ��

2 5( )

3 1s

F ss−

=+

$� &:;�-��:���.�#

��/���.�;

���

2( ) 1 3f t t= − ��

5 6( )

5 4x

G xx+

=−

�� �+:,;�-�:,��/��;

.�������%� �

23( ) (5 3 )g x x= − ��

1( )

1x

H xx

−=

+�� 6���������� �������������������������1�������� �����

��

2 2 3 4[(4 7) (2 1) ]d

x xdx

+ + ��

2 3 2( 5 3)d

z zdz

− ⋅ +

��

2 3 2[(3 5) (3 1) ]d

u udu

+ − ��

272

d tdt t

−+

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

$�

2 1d xdx x

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��

22

3

2 13 1

d ydy y

++

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

� 6���������� �������������������������1�������� �����

��

3

2

2 1( )

3 2x

f xx x

−=

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��

2 3

2

( 3)( )

(5 8)x

g xx+

=− $� 2

4 6( )

3 4

xh x

x x

+=

+ +

!� 6���������� ������� ���������������� ����������������1�������� �����

�� #�:!;�-�! �/�!

��.�! ��

33( ) 2 5F y y= +

�� �:;�-���.�

��/� ��

2( )

2z

G zz

−=

+$�

2( ) 1h x x= +

��( ��� � ��� ���� ���� �%����

@�������$� �� �� ����� ������� ���������� $������������ ������ ������� �������

� ������� ��1���� ���������������� ���� �����1�����

����:��%��;��-��������$�����/�$����������

$���:��%��;�-��$�����$�����.������������

����%�� ��3

�� ,����#�:!;�-�����!������ '( ) cosf x x=

�� ,����#�:!;�-�$���!������ '( ) sinf x x= −

Page 18: Turunan_bab8

����� ����������������������282

�� �

4������������������������������ ���1������ ����������1�����������������

��������������������� ������������������4��������������� ������� ��1���

�� ������������

( ) ( ) f x h f xh

+ −-�

sin( ) sinx h xh

+ −

-�

1 12 22cos( ) sin x h h

h

+

-�

1 12 212

cos( ) sin x h h

h

+

-�

11 2

122

sin cos( )

hx h

h+ ⋅

4��������������

���0

( ) ( ) '( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −=

-�

11 2

1202

sin lim cos( )h

hx h

h→+ ⋅

-� cos( 0) 1x + ⋅-�$���!

4���������������������������6�� ���%�C������� �������������������������������

�� ������� ����� �����

����%�� ��4

�� ,����#�:!;�-�����!������2'( ) secf x x=

�� ,����#�:!;�-�$���!�������2'( ) cscf x x= −

�� ,����#�:!;�-���$�!������ '( ) sec tanf x x x=�� ,����#�:!;�-�$�$�!������� '( ) csc cotf x x x= −

�� ���� ��(�

6�������� '( )f x �� ��������8��������� �����

�� #:!;�-���$���!�.�����!�/� $� #:!;�-� ����!�$���!

�� #:!;�-�!������!

�����������

�� '( )f x �-���:.����!;�.�$���!�/�*�-�.�����!�.�$���!

�� 4��������� ����� ������� ������������������

'( )f x -��!������!�/�!

��$���!

$���4��������� ����� ������� �����������������

'( )f x -� $���!�$���!�/� �����!�:.����!;�-� :�$����!�.����

��!;�-� $���!

Page 19: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 283

�� ���� ��(��

6���������

dydx

��� ���������1�������� ����

��

cos1 2sin

xy

x=

+�� )�-�:!�/����!;

$��

21 cosy x= −�����������

�� 4��������� ����� �������������������������

� 2

( sin )(1 2sin ) (cos )(2cos )(1 2sin )

dy x x x xdx x

− + −=

+2 2

2

sin 2(sin cos )(1 2sin )

x x xx

− − +=

+

2

sin 2 1(1 2sin )

xx

− − ⋅=

+ 2

sin 2(1 2sin )

xx

+= −

+

�� 4��������� ��� �������������� ����

dydx

-� :!�/�����!;�:��/�$���!;�

$� B���� ������ ( )122 21 cos 1 cosy x x= − = − �� 4��������� ������ ��� ��� �����

�� ������

( ) 12 21

1 cos ( 2 cos )( sin )2

dyx x x

dx

−= − − −

���������������-� 12 2

sin cos

(1 cos )

x x

x−

2

sin cos

1 cos

x x

x=

−�

����������������� �����1����� ��� ��������������������1��� �������� �����

����%�� ��

0����������-��:!;��������1��������1����� �����

����,����#�:!;�-������������ '( ) cos '( )f x u u x= ⋅

����,����#�:!;�-�$���������� '( ) sin '( )f x u u x= − ⋅

�� ���� ��(�(

6�������� '( )f x �����

f (x) = sin(3x + 5) + cos (x2 + 1)�����������

4��������� ���E������

� '( )f x -�����:�!�/� ;�:�;�.�����:!��/��;�:�!;�-�������:�!�/� ;�.��!�����:!

��/��;

Page 20: Turunan_bab8

����� ����������������������284

�� 6�������� '( )f x ��� ����������������1�������� �����

�� #�:!;�-� �����! �� ( ) sinf x x=

�� #�:!;�-�����!�/�����! ��

3( )

cosx

f xx

+=

$�2( ) 1 cosf x x= + � #�:!;�-�:����!�/�$���!�;

�!;

�*

�� #�:!;�-�������!�$���! ��

3( ) sin( 2 )f x x x= −

��

sin cos( )

sinx x

f xx

+= ��

2 2( ) cos ( 3)f x x= +

�� (���������� ������� ����������������1�������� �����

��

sin 1cos 1

d xdx x

−+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��

2

cos(2 5)d t tdt t

++

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��

tan 1tan 1

d zdz z

+−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��

2sin 1cos 1

d xdx x

−+

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

$� [( sin )( cos )]d

x x x xdx

− +

�� (�������� '( )f c �������������"�1���������������

�� �#�:!;�-�!������!�F�"�-�π ��

1( )

cot 1f x

x=

−F� 3 4c π=

��

cos( )

xf x

x= �F� 2c π= �� �#�:!;�-�!

������!�/��!�$���!�.������!�F� 4c π=

$� #�:!;�-�����!�/���$�!�F�"�-�π

��) *����%�� �!����� 5� ��� ��6����

0��������)����������������� ���1������ ����������������� ��������!����������)

��������� ��!��)�-�#�:!;���5�������8����#��������������������������� �1��������� �����

�������)��� �����!������!�-�"���������������� �� � ����������� ������

������� ������ ������0 0

( ) ( )lim lim x h

y f c h f cx hΔ → →

Δ + −= =

��$� �� ����� �� ���� ��� ���� �������� �����A��� � %���� ����� �� ������ ������

������� ���� �������� ��� ������������ �������� ��� ����������� "��)� -� #� :!;� ��� �����

( , ( ))P c f c (�1�������� �1�������

sg 0

( ) ( )lim h

f c h f cm

h→

+ −=

Latihan 8.3

Page 21: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 285

���������-���������������������������.��5�$� '( )f c

0��� ���4��������%���������������� ����� ����� '( )f c ��7����� �������������������

��������������� ������� ����� ����

A� ������������������� "��)�-�#�:!;���������� ( , ( ))c f c ��������� ���1����������

���������� ������1������������� '( )f c �

,���� ����������������������� �����8��� �������� �� �� �������� ���������� ��

���������������� "����������� ( , ( ))c f c �����

)�'�#�:";�-� '( )f c :!�'�";

�� ���� ��)�

4���������������� "��1��������1����� �������)�-�!��.��!�/���

�� 5� �������������������:���!;��� ������������� "��

�� ,������������ �������� ������������� "�������������� �������� ��������������������

�� ������

$� A��� ������ "��)��� ���������� ����� ���������������������:���!;�

�����������

�� 6�����:��!;��� ������������� "���)�-�!��.��!�/������ ���������������������������!�-����

�����������

)�-����.��:�;�/���-�!

�� 6� ������������#�:!;�-�!��.��!�/��������� '( )f x -��!

��.����B�� �������� �����������

���:���!;���������2'(2) 3 2 3 9f = ⋅ − = ��,������� �������� �������������� "����������

:���!;�������

)�.�!�-�C�:!�.���;��������)�-�C!�.���

*���������������������"��������������"�/�&���������������������������!

)

�/"(� #/"00

1/"�%�&(� #/"�%�&00

&

#/"�%�&0���#/"0

Page 22: Turunan_bab8

����� ����������������������286

$� A ������� "�������� ������������1�������

������� ��2

�� ���� ��)��

?� ������ �������� ������������������� "�� 3y x= − �1������������ ����� ��

�!!�/��)�.���-�*�

�����������

,����:!(�);����������������������� "���������� �������� ������������������������������

��-

1'

2 3y

x=

−A� ���!!�/��)�.���-�*�������������������������)�-�.�D�/�

43 ������������� �������� ������

������ 2 2m = − ��4����� ������������������ �������

����

��-�.���⇔ ��

��:.�;�-�.�

⇔ � 1m =��

7����� ��������

���-

1'

2 3y

x=

−���⇔ �

12-�

12 3x −

⇔ �

11

3x=

−�����⇔ �!�.���-��

�������⇔ �!�-��

����������������!�-������� ����� 4 3 1y = − = ��,�������� ��������������������������

:����;�������� �������� ������������1�������

)�.���-�

12�:!�.���;��������)�-�

12!�.���

)

8����������8����������������������������������������������� !

��

��%

���

��8%

��8�

Page 23: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 287

�� ?� ������ �������� �������������� "��1�������� ����������� �������� ����

���������1���������������

�� )�-��!��.�������:�����; $� 2

1014

yx

=−

������:���. ;

� )�$��!��.�!

������� ( )1 2, 1 8− − �� 2

84

yx

=+

������:����;

�� 6���������� �������� ������������

�� ������� "��)�$��!��.� !�/�������������1����������1��.�

�� ������� "��)�$�!��.�#!

��/�!�����������1����������1��*

$� ������� "��)�-�!��/� !

��.��������������1����� ������1��

�� ������� "��)�-��!������������1����� ������1��1 8

�� ?� ������ �������� �������������� "��1�������� ����������� �������� ����

���������1���������������

�� )�-�:!��.��;

�������:.���C;� $�

2 16y x x= + ����7:*��*;

��2 9y x= + �����:��� ;� �� sin cosy x x= + ����������������� 4x π=

�� A� ����� ������ ������������� "���������� ���1���� ������ �� ������������ ��

����������� "������������� �������6���������� �������� ����� ����� "������

�������� ���

� 6���������� �������� �������������� "���)�-��!��.��!��1���������� ��� ��

�!�.�)�/���-�*�

!� 6���������� �������� �������������� "���)�-�!��.�!!��1������������ ����� ��

��!�.��)�/�!�-�*�

#� 6���������� �������� ����� ����� "��)�-�!��.��!��1���������� ��� ��

!�/�%)�.�%�-�*�

%� 6���������� �������� ���1�����������������:�����;�������1���������� "�

�)�-�!��.���

C� 4�������� �� "� 1y x x= + ���� ������ ������ ����� �� "�� 1���� ������1�� 1 2 �

0���������� ����������������������������8!���������������������8)

���1��(���������������� ������ ����1�

�*� ,������ ������������������� "��)��-�!!�������������������������� 45�

������

����8!���������������������� ��������������

Latihan 8.4

Page 24: Turunan_bab8

����� ����������������������288

��- 6�,����� �"� �*��,�����

5���� ���8���� �������1��� �����)�$� #� :!;� ������ ���������� ���1������ �������

��������� ��������!�����

0

( ) ( )lim h

f c h f ch→

+ −

������������������ �1��������� �������������)��� �����!������!�-�"����$� ��������

����� ( )s f t= ���1��������� �������� ����� �� ������������ ������������ ��� �� ��

������������������������� ������������� �� ��� ����������������� �� �������)�������

)����� �� 9������ #� � 1����������� ������ ������������� �� ����������� �������5���

������� )����� �� �� � $� "� ������ ������� � $� "� %� &� �� ������ ������� �����

( ) ( )f c h f c+ − :��������� �%� ;��B�$������� � ����������������)��������������

��$������� ���8 ���

perpindahan ( ) ( )waktu

f c h f ch

+ −= =

������� ��3

0���������������������$������� � �����������������)�����1�����������������

[ , ]c c h+ ��4����������� ������ ����� �����&���������� *�� ���������1������������������

2�,����� ������2�,����� �������� :";�������������$�"�����������������$������� � ��������

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cv c

h→

+ −=

6�������)�� ����� ����� ���� ��������� ����� ���� ������ ���������� '( )f c ��4�����

����������� '( )f c ���$� ����������� ������� �����$���������������� ������������������

�$�"��������������������������� ������������������������������������������������ �1�

��$���������������4���������������������������� v �

B�$������� ���������������� �������������� �������������� �� ������������������

�������� �� ��������� ������������������������,������$�����������������������������

������������ ���������������������

f (c)

f (c + h)

f (c + h) - f (c)

0

posisi pada saat t = c

posisi pada saat t = c + h

s

Page 25: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 289

4������� �������� ������� ������ ��������� ����$������������������,����� � �������

7����� ���������������������������� �� ��������������� ����� ������ ����� �����

�� �����-�#:;�����������$�������������������������������� �$+������������� $������

���������������������������$+��������������������� ������� ������ �� ��� ����

��������� ������������� ������ �������,����

2

2

dv d sa

dt dt= =

4� ����������������������������1����������)�������� 0a > ������ ��� �����

��������� 0a < ������ ��� �� �����,������-�*������ ������� �����B� ��������������

������������������� v ������������ ����������� �����

�� �,���� 0v ≥ ����� 0a > ������������� �����

�� �,���� 0v ≥ ����� 0a < ��������� �� ����

�� �,���� 0v ≤ ����� 0a > ������������� �� ����

�� �,���� 0v ≤ ����� 0a < ������������� �����

�� ���� ��-�

�������������� �� ��������������� ��������� ������������ �����

��-���.�!

��/�C�/��

�������������� �������������� ������������������4� ���� �������� �����������������

�� ��$������������� $�������1�������

�� ���� "���)������������������ �� ����������������������������� �� �������� �

$� ������������� ������� �

�����������

4� ���� �������� ���1�������� ������������ ���

�-�

dsdt

�-����.����/�C���������-�

dvdt

�-�!�.���

���������1��

�-�����.����/�C�-�*⇔ �:�.��;:�.��;�-�*

��������������������⇔ ��-����������-��

���

��-�!�.����-�*�⇔ ��-��

B��������������������� ����� ���������������-����������,��������������������������� ���(� ����

�������������� "����� ������������ ������8�����������(�����1��������� �����������������%���

Page 26: Turunan_bab8

����� ����������������������290

�&�$� ��

�� 4� ���� �������� ��������������� ������$�������������������

�-����.����/�C

������ $������� ������� �����

��-��!�.���

�� 2����������������� �-�*��1�������������-��������-����������2������� �� �����������

�������� ����������������������1���������� �� �������� ���������� ����������0��� ��

6�����%������������ �� �������������������0 1t< < ������� 3t > �������������� �� ��

����� �����������G��G�����������G��G���

$� 4� ��������%������������������������������)���������� ���1���� ������� ���� �

����������� ����������-���������������������� ���1���� ������� ���� ���� ����������

��������-���������

A� ������������������������������ �%�!������������������� ��������� �� ������

����������� ���1������������������������ ����������������� ������������� ������

0 2 4 6 8 –

t = 0 t = 1

t = 2t = 3

t = 4t s v01234

48648

90-309

Tabel 8.2

���������4���� ���.�

�&�$� ���

������ �� � 6���%��$�

�G�� �����/ �/ . 2������� ������������������������������� �� ��

����������B�$��������� �� �����&������ �� ����

�-�� �����% �* .�� 2������� ���%�$�������������������������

�� ���1���� ������� ���� ������������� ��

B�$��������� �� �����&������ �� ����

��G��G�� �����/ �. . 2������� ������������������������������� �� ��

����� ���B�$��������� �� �����&������ �����

�-�� �����! .� * 2������� ����!�$�������������������������

�� �� �������� �����������$�������.��$+������

B�$��������������&����������

��G��G�� �����/ �. / 2������� ������������������������������� �� ��

����� ���B�$��������� ������&������ �� ����

�-�� ������ �* ! 2������� ������$�������������������������

�� ���1���� ������� ���� ���� �����������

B�$��������� ������&������ �����

��G� �����/ �/ / 2������� ������������������������������� �� ��

����������B�$��������� ������&������ 8

�����

Page 27: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 291

������������������������ ���� ��$� �� ������ �������� �� ����� ���������� ������ ������

�����1���������1����������������1�����������������������)�������1�������� ����

�����$������� �����

�� ���� ��-��

����������������� ����"� ������ ��� ������� �� ��������������$������� �)��� %*+

�������,����� ���������������������������� �������� ��������

��-�.��!��/�%*

0�����������1�������)���������������������� �������1������������������������

�� ���������� ���������)������1��������������� ��������������������6��������

�� ��$������������� $���������������������������������

�� )�����1�������� �������������������$�������������� ������

$� )�����������$�������1�������� �������������������1����������������

�����������

0�������� :;������:;������8��������������$�������������������� $�������������

�����������������

:;�-�.�����/�%*�����������:;�-�.��

�� 4� �� ���� �

:�;�-�.��:�;�/�%*�-��!

������������������������������������������$���������������!���� +����������������

�:�;�-�.������������������������������� $�������������.������ +�������

�� 2������$������������� ��������������� :;�-�*�

.����/�%*�-�*⇔ ��-���

,�����)�����1�������� ��������������$������������� ��������������� �������

$� 2������1���������������������������-�*�

��-�*�⇔ �.�!��/�%*�-�*

��������������������⇔ ��!: �.�;�-�*

������������������������⇔ ��-�*�������-�

,�����)�����1�������� ��������������1����������������������� ��������������

��$�������������� : ;�-�.��: ;�/�%*�-�.%*���� +�������6�����:.;�������������������

��)��� ������� ������� ������������)��

t s v

0

1

2

2,5

3

4

5

0

64

96

100

96

64

0

80

48

16

0

-16

-48

-80

Tabel 8.3 100

96

64

0 t = 0

t = 1

t = 2

t = 2,5

t = 3

t = 4

t = 5

�&�$� ��(

������� ��5

Page 28: Turunan_bab8

����� ����������������������292

4������������ �����6:!;���1����������1�� ������1����������� ������ ������

�����������������!� ��������� ���� �� �����������6� �������� �� ���� &��+��� &���

�� ������ ������� ���1�� �� ��������1���1���� ����1��������������� dC dx �� ���

�� ����������������&��+��%���� �$�

�� ���� ��-�(

�������� ������������������ ���)�����1��:����� ������ ����;��� �������!

�� ���� �����

2( ) 10.000 5 0, 01C x x x= + +�� 6�������� ����������1��� ������

�� ?� ���� '(500)C �������������������1�������1�������� �� �����1�3

$� 2���������� '(500)C �����������1���� ��������� ������8 *��

�����������

�� 9���������1��� ������ �����

5 0,02'( )dCx

dxC x = +=

�� 2��1��� �������������������� ������������1��� **��� ���������

'(500) 5 0,02(500) 15C = + = ���+�� ���

H������ ����� ������������������1���� ��������� � �� ����� ��������� ������

�����)�����!�-� **��������� �� ��������1���� ������8 *��

$� 2��1���� ������� ������ �1���� ���� ������8 *������

6: *�;�.�6: **;�-�2 2[10.000 5(501) 0,01(501) ] [10.000 5(500) 0,01(500) ]+ + − + +

15, 01= ���

6�������)�� '(500) (501) (500)C C C≈ − �

�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���

���� ���������������$��������� ����� � ���������� �������������������������

�������@�������������� �������� ����������� �����������������$�������������

:�;������� $���������������:

�;�������

��1�������� �����

�� ��-����/��F���

��-�� $�

24

ts

t=

+F���

��-�*

�� ��-����.�

��/� F���

��-�.� �� ��-� 2

1 3s

t t= + F��

��-���

�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���

���� ���������������$��������� ����� � ���� �������� ������������������������

��������@�������������� �������� ����������� ��������������� ��������2�����

������1������ ����6�����%���1������� ������������������ ����� ������

��3 21

2 2 6 2s t t t= − + − ��3 231

3 2 2 1s t t t= − + +

Latihan 8.5

Page 29: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 293

�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���

���� ���������������$��������� ����� � ���� �������� ������������������������

��������@�������������� �������� ����������� ���������������������� $������

������������������������������������� �� ����� � ���� �������� �� ����������

������$����������������������������

�� ��$�*��.�!

��/����.�� $�

5125 216 32 5

s tt

= −+

��

3 12 24

9 2s t t= + ��29 2 2 1s t t= + +

�� ������ ����������������"� ��$���������������� �������1���� �� ����� �������

����������������� ��������2560 16s t t= − ������ �������������������������

�� 6����������$������� ��������������������

�� 2� ��������)�����1�������� ���������� �������������$���������������

������

� ,���� ����������� ����� ������ �������� �������� ���� ������������1��

��$��������)��������� +�������������-����/��*������������ ���������� �������

���������������� ������������������������ ��������������������� ����)�

�������� ����

�� 2� ��������$�������������������������������������3

�� 2� ��������)�����1�������� ������������������ ���$�������1���� ����

��������%���� +�����3

!� �������� ������������ �� ��� ���� ����� ��7����� � �**��� 5��������������

��������� �������������������� ��� ������������������ ������������

��-� *�***�/��%�***�/�!**�

�� 6��������������� ���������������������� ��������7����� ��** �

�� 6��������������� ���������������������� ��������7����� ��**��

#� 0�����������������������������������������������������������,���� ���***

������ ������

��-��*��/��**�/��*�***

6��������������� �����������������������,���� ���*�*�

%� ��� �������� ������������ ���� ������������� �����������$���)� ���� �����

����������� ���!�������������%�������������

)�$�-!�.�%!��.�!

����0 4x≤ ≤

�����6������������������$��������� ����������������*������

�����6���������������������1������$������� ������*�����������������������

C� 2��1�� :����� ������ ����;� �������� ��������� �������!�������� ������

�����

2 3( ) 2000 3 0, 01 0,0002C x x x x= + + +�� ?� ���� ����������1��� ������

�� ?� ���� '(100)C �������������������1�������1�������� �� �����1�3

$� 2���������� '(100)C �����������1���� ��������� ������8�*��

�*� 9���������1���������������� ���� �� �����������

2 3( ) 2000 3 0, 01 0,0002C x x x x= + + +�� ?� ������������� ���� '(100)C �

�� 2���������� '(100)C �����������1���� ��������� ������8�*��

Page 30: Turunan_bab8

����� ����������������������294

��/ ����� � 78�����$

6�� ��� ����� #���8�����1���������)�� ����� lim ( )x c

f x→

����� lim ( )x c

xg→

� ������1�

��������

lim ( )( )lim

( ) lim ( )x c

x cx c

f xf xg x g x

→→

=

�������� lim ( ) 0x c

xg→

≠ �

6� ������ �� ������ ��������������� ��� ��� ���� ������������ ����� �� ������� 1����

�������� ����� lim ( ) 0x c

xg→

= �� 5� ����� ������� ������������� �������� lim ( ) 0x c

f x→

= � ���

lim ( ) 0x c

xg→

= ����������$����������

#�:!;�-�!��.�C�������:!;�-�!�.����������

2

3lim( 9) 0x

x→

− = �����

3lim( 3) 0x

x→

− =

6����������������������1��������������������� ����������� ����

2

3 3 3

( ) 9lim lim lim( 3) 6

( ) 3x x x

f x xx

g x x→ → →

−= = + =

?��������������������1���

0lim sin 0x

x→

= �����

0lim 0x

x→

= ������������ ���6�� ���#�#

0

sinlim 1

x

xx→

=

���� ���� ���

,����#������������������� lim ( ) lim ( ) 0x c x c

f x xg→ →

= = �������������

#

�����������

������������������������

*

*

����"�

4� ��������������������

−−

D C

D �

�������������������������

*

*

������������

2

3

9lim 6

3x

xx→

−=

4������������� sin x x �������������������������*+�*��������

0

sinlim 1

x

xx→

= �

���� ��������������������� ��������������1���������������������������

�������������� �������������������

*

*

��������������������������� �1����� ���������� ���

�����������������1����������1�����

∞∞

�� 0.∞ ��**��1∞ ��

0∞ �����∞ −∞ ������������������

������� ���� ������ ��������������� ��������������������� ���� ������

*

*

� �����

∞∞

��7��

�� ����������������������������������������������������������������

Page 31: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 295

0��������������������� ����� ������ ������ �������� �����������)���5� ��$��

9��:����!��$$�%����� ,���� 78������$�:�!!��.��#*�;������ ������ ������������������

1������ ������ 7� �$+���"��� � �� �%� �������������������������������!C!��0������1�

�������������������� � 78������$������ ���&'(������������������������ ����������������

�� ����������1�������� ��������������������

����%������ ������ � 78�����$�

0��������#��������������1��������1����� �������������� "����� �������

��$���������������"������ ���������� '( ) 0g x ≠ �������������� x c≠ ���������,���

lim ( ) lim ( ) 0x c x c

f x xg→ →

= = ������

'( )lim

'( )x c

f xL

g x→= �����

( )lim

( )x c

f xL

g x→=

6�� ��� ���� ������� ����� ����� ����� �����1�������� ������� �� ����� �����������

,����������� ��������� ���&'(��������� ���������$�����������������

2

3 3

9 2lim lim 6

3 1x x

x xx→ →

−= =

−�������

0 0

sin coslim lim 1

1x x

x xx→ →

= =

�� ���� ��/�

(�����������1�������� ������� �����:��������;�

��0

tanlim

sinx

x xx x→

−−

��

2

0

1 coslimx

xx→

−$�

2

0

2 3lim

sin 2x

x xx→

�����������

�� B������ ��������� ���&'(����������������

2

0 0

tan sec 1lim lim

sin 1 cos=

x x

x x xx x x→ →

− −− −

2

0

2 tan seclim

sin=

x

x xx→

:

sintan

cosx

xx

= ;

30

2lim 2

cos=

x x→=

�� &���������� ����� ���&'(�������

2

0

1 coslimx

xx→

−0

2sin coslim 0

1x

x x→

= =

$�

2

0 0

2 3 4 3 3lim lim

sin 2 2cos 2 2=

x x

x x xx x→ →

− −= −

Page 32: Turunan_bab8

����� ����������������������296

���� ������������������������������������������ ���������� ������

��

2

5coslim

2x

xxπ π→ −

#�2

lim1x

x

x→+∞ +

��

0lim

tanx

xx→

%�2 2

0lim csc )(x

x x−→

��

2

2lim

sinx

xxπ→

−C�

0lim cscx

x x+→

��

2

1

sin( )lim x

xx

→+∞�*�

2lim ( )x

x x x→+∞

− +

� 30

sinlim

tanx

x xx→

−���

22

cos 3lim

cosx

x xxπ −→

!�

1 cos 2lim

1 sinx

xxπ→

+−

��� 42lim( 2) tanx

x xπ→

��� 6�����������������������

3

30

sin 3lim 0x

x ax bxx→

+ +=

��� 6�����������������������

30

sin (1 cos )lim 1x

a x x b xx→

− +=

Latihan 8.7

Page 33: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 297

�� 6� �������������#�������������"�������������������� '( )f c �����������������������

0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h→

+ −=

������������������

�� ,�����������#�����1����� ��������"������#�������������"�

�� ,�����������#�:!;�-� ���������� ���������������������� '( ) 0f x = �

�� ,������������������������ ( ) nf x x= ������1'( ) nf x nx −= �

� 0�������������� ��������������1��������1����� �����

�� ,���� ����������������#�:!;�-� �:!;����� '( ) '( )f x ku x= �

�� ,����#�:!;�-��:!;�/� :!;����� '( ) '( ) '( )f x u x v x= + �

$� ,����#�:!;�-��:!; :!;����� '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= + �

�� ,����#�:!;�-��:!;+ :!;������2'( ) ( '( ) ( ) ( ) '( )) ( )f x u x v x u x v x v x= − �

!� ����� �1� �����,����������� �����1����� ��������!�����������1����� ����

��� :!;�� ���� ������� ��������� u v� � ����1��� �� ����� ��� !�� ���

( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�

#� 6� ����� ������� � ������� ��

�� �,����#�:!;�-�����!������ '( ) cosf x x= �

�� �,����#�:!;�-�$���!������ '( ) sinf x x= − �

$� ,����#�:!;�-�����!������2'( ) secf x x= �

�� �,����#�:!;�-�$���!�������2'( ) cscf x x= − �

�� ,����#�:!;�-���$�!������ '( ) sec tanf x x x= �

�� ,����#�:!;�-�$�$�!������ '( ) csc cotf x x x= − �

%� A� ������������������� "��)�-�#�:!;���������� ( , ( ))c f c ��������� ���1����������

���������� ������ '( )f c �

C� ,������-�#:;������������������������� �������������$��������������$�������������

:";��� ������������������$�"������������������������ :";�-�.�+.�- '( )f c ������������

�� $���������������� ��������������������2 2a dv dt d s dt= =

�*� ������ � 78�����$

�0�������� #������� �������1��������1��� �� ���������� ���� "��� �� ����� ��

��$����� ������� ��� "� ����� ��� ������� � ������ ������� � ����� ��� ,���

lim ( ) lim ( ) 0→ →

= =x c x c

f x xg ������

'( )lim

'( )→=

x c

f xL

g x�������

( )lim

( )→=

x c

f xL

g x�

Rangkuman

Page 34: Turunan_bab8

����� ����������������������298

B������ �� ����� �������� ������� ����

�� �� ��������� ������ ���� ����� ����� 1���

�� ������ ����<�)���� ���� &�����I� �� �

������!! ��������������������!# ��������

������ ����� ��������1���������� �� �����

���������������� �� ������������� ��

H���$�<�)����:�!���8��#�#;� ��������������

���� ������� ������� H��� ��� ���� A���� ���

J����� &�����I� :�!�!� 8� �#�!;�� ���

��������� ������� ,� ����������� �������

���)���1����������������������������

B����������� ����� �������� ���� �� �����

������� ������������� ���� $������ ���

����������� ������ 4�)���� ���� ��������

���������� �������� ������ ����� ������ 1���

����� ����� ��1���������� �� �����

�� �������� ���� ����������� ���

����������� ���������1��� ������ ������� 1���

����1����� ��������������������� ����������������� ��������������������1���

1����������������������� ���6�1�� �

������������#��.�7��&���8����,

�������999��#&� ����.

Math Info

Page 35: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 299

!� ���� ������������������������������������������������� �"�#��

����������������$�%�� � �����#� ��������!���$

�� ,����

sin cos( )

sinx x

f xx

−= ������� '( )3f π =� ��

�� � 4� �

2�

K�

?�

�� 6� ������� ��2(1 ) (2 3)y x x= − + �������L�

�� (1 )(3 2)x x− + 4� 2( 1)(3 2)x x− +

2� ( 1)(3 2)x x− + K� 2(1 )(3 2)x x− +

?� 2(1 )(3 2)x x+ +

�� 6� ������������2 34 (2 3)y x= − �������L�

�� 24 2 3

x

x−

−4�

243 2 3x− −

2� 24

3

2 3

x

x −K�

243 2 3x x −

?� 24

16

2 33x

x −

�� ,����2( ) 4 6f x x x= − ������������� '( 2)f − =� ��

�� .�� 4� .�!12

2� .�C K� .��

?� .�#12

Uji Kompetensi

Page 36: Turunan_bab8

����� ����������������������300

� ,����1f − � ������� ��"� ���� �� �������

2( )

5 3x

f xx

+=

−�� 5 3x ≠ �������� �� ����

�� ��1f − ������������� (1)g =� ��

�� .

C

�!

4�

��

�!

2� .

#

�!

K�

��

�!

?�

#

�!

!� 5� ������ �� ��� ��������� ��� ������ ������� !� -� �� ����� �� "��

275 1

yx

=−

����������

�� !�/��)�.��%�-�* 4� !�.��)�/��!�-�*

2� !�/��)�.��*�-�* K� �!�.�)�/� �-�*

?� !�.��)�.�%�-�*

#� �6� ������� ������ ��4cosy x= �������L�

��

31cos

4x 4�

34 cos sinx x−

2�

31cos

4x− K�

34 cos sinx x

?�34cos x−

%� ,� ���1���������������������������)���������� ���������������

3 213( ) 3 5s t t t t= − + −

B�$�������������� ���������$����������)������-������

�� � 4� �

2� � K�

?� �

C� ,���� ( ) tanf x a x bx= + ������������� 4'( ) 3f π = ����� 3'( ) 9f π = ��������%���-�L�

�� π 4� �

2� � K� *

?�

π�

Page 37: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 301

�*� ,����

2

3

3( ) 2f x x

x= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������� '( ) ...f x = ��

�� 327 6

8xx x x

− − 4� 427 6

8xx x x

− −

2� 3

27 68x

x x x− + K� 4

27 68x

x x x− +

?� 427 12

8xx x x

− −

��� A� ���������������������:���%;�������� "�� ( ) 2 2f x x x= + ������������8!

��������8)����������:�(�*;�����:*���0��<�������%���-�L�

�� .�1

10 4� .�25

2� .�1

15 K� .�35

?� .�3

10

��� ������ ������ ���� �����������1���5����)��������������� �8�� �� ������������

��������������������� �272 3t tω = − ��B���������� ��������$�������������1�

L

�� ������������������

2� ������������ ����

?� ��������������1��������G���

4� ����� �������1��������M���

K� ��������������������-���

��� B�� �����������8���������������������� "��2 (2 3)y x x= − 1������ ������������1�

������ ��� ����)�.���!�-������������

�� :.��� ;�����:.���.�; 4� :���. ;�����:����;

2� :.��� ;�����:����; K� :��� ;�����:.���.�;

?� :.���. ;�����:����;

��� 5� �������� ��� ���������������� "��3 5y x= + � 1���� ������ �� ���!�/��)� -� �

���������

�� �!�.�)�/���-�*�������!�.�)�/�#�-�*

2� �!�.�)�.���-�*�������!�.�)�.�#�-�*

?� �!�.�)�.�C�-�*�������!�.�)�.���-�*

4� �!�.�)�/���-�*�������!�.�)�.� �-�*

K� �!�.�)�/�C�-�*�������!�.�)�/���-�*

� � A� ��� ���1���������� "��3 4y x x= − ����������:���.��;��������������� "��������������

�� :.���*; 4� :.����;

2� :.���*; K� :.���.� ;

?� :���*;

Page 38: Turunan_bab8

����� ����������������������302

B. ���� �����������������������������������&�� �� � ���������

��� ��� ���� ����$

�!� (������

2

0

sin(3 ) sin 9limx

xx→

+ −�

�#� 6������������������� ��������#�����1����� ��������!�$��������

2 7 , untuk 0( ) 2

, untuk

x x bf x

x bx

− < ≤=

>

⎧⎪⎨⎪⎩

�%� �������� "������1����� ������)�-�!��/��!�/����������������������������

A� ���)�-��!���1���������� "��������������������������������6����������������

�C� (������ 20

sin( 2 ) sin( ) sinlimx

a x a x ax→

+ − + +�

�*� E������������� �����������������������������#�$+�������2� ��������������

�� �����1��"����������������������� �����1��� �$3

�� 6����������������������*���� ��� ����� �������������� �������0�������� ��������������� �����$������������������������ �����������!��������� ��

�� ����������)���������������������,������������)����������� ���� �������

������������� ����$�����!��� ������ �����θ ��������θ =π�

3

�� 2��� �1��������1������$������:6;�1�������)��������������������������

������)������:����� �����������;�����������������

3 2( ) 2 6 2Q t t t t= − + +2� ������������ ������� ��������)������-�*� ������-��������3������������1�3

B������ ��� �� ����3

�� A�1��1�������� ��������������� ������������� ���7����������������������

���� ����������� �����

sin cosW

μ θ θ=

+

������� θ � ������ ������1���� �� ����������� �� �������������������� ������ μ�����������������������������������&�����������$�����������

Soal Analisis

Page 39: Turunan_bab8

��������� � �� �������� 303

�� ?� ����������� ������+��� �����θ �

�� B������������ ���������������������*3

$� B�$�� ���������������:���6�&�.�����������(�������������� �����

� �����������������������

2( ) 4,0 0,35sin

5, 4= + ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠t

B tπ

&������������������� �������8��������

�� ?� ����������� ��������$�� �������������� �� ��

�� 4����������������� ��������� �� $� ���� ������ ���� �������� ����

�� ������� ������� ������ ��

�� 4������������ ��������������������������������������������������������

��$� ���� ��� ��0������������ ������������������������ ����������� �����

( )0,05 1 ( ) ( )

10.000dP P t

P t P tdt

β= − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��������:;����������������������������� �������β ��������� ����������������

1������������

�� 2� ����������

.�

.

�1������ ���������� ���������������������

�� ,�������������������������N��$� ����������������������������

$� ����1������ ���������� β ����� ���� �������� N3

Page 40: Turunan_bab8

����� ����������������������304

�2�������

<�� ��LLLLLL�� 6������ ��LLLL�

B���� ��OH 0��� ��5���� ��6� ����

B������ ��LLLLLL�� ������ ����:���;

B������� ���� "������������������������������������ ���

6����� ��0����������������� ��������������

������$���"� �&��� �+� ��"��� �2�

�������4�������������������������� ���

�������B�����

�� ����� �����

�� 2���� $������

����������2��.�

�� 2��������������1������ ������������������ ����)��

�� ?� ������������������������� ������ ������ ��������������������������

�������������� ���)����� ������CC�� .� �**#��������� ��������� �������

0�����8��������������� ������� "������� ����1������ �����

�� ?�������������������������:;�������������������1������������������������

������)��

������ �$����

�� 2����� ������� �������1�������� ��������������������������������� �

�� @�����������������������������

: ; :�**�;

�**�

� � �

�� 6��������������� ������������������������ ������ "�����������������

�**��

�� 6���� �������������������������������������������������:;�����-��**��

� 6������������������������������������� �����

!� 5� �� �����������������������������**C���������� ������ "��������

���� ���� ���CC� ��CC ��CC# ��CCC ��**� ��**� ��** ��**#

�����

Aktivitas Proyek