turunan_bab8
TRANSCRIPT
��������� � �� �������� 265
TURUNAN����
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� ��������� �� ����� ������� ���� ������������������������������
�� �����
�� ���������� �� ����� ������� ������ �
�� ���������� �� ����� ������� � ������� ��
�� �������������� ����� ���������������������� ������������������
���� � ������� ��
� ������������ ������������������������������� ��� ������
!� ������������ �������� ������������������������� "��
#� ������������� ����������������������$������������� $�������
%� �������������� ���&'(����������������������� ����� ������� ���
������
����� ����������������������266
����������������� ����"� ���������������� �� ��������������$��������)���%*+
�������,����� ���������������������������� �������� ������� ��������
��-�.��!��/�%*
0�������� ���1�������)���������������������� �������1������������������������� �� ��
������� �� ������ �)������1��������������� ������� ����� � �������2� ��������$����������
�� $�����������������������������������2� ������)�����1�������� �������������������$����
�������� ������3�4����� ������)�����������$�������1�������� �������������������1����
�����������3
5��$������ ������������� �����������1������������������ �������������6� ����
��������������)����������� ������ ��$� ����������������������� ��������1����� ������
��������� �����������$� ����������� �� ������7����� ���� ��������������1���������
������������$� ����������������1������� ����������������������������1���� ����
��������� ������� �������������������
��������������������� ������������� �� ��� ����
Pengantar
��������� � �� �������� 267
�� ��� � ��� ���
5���� ���8����#�������� ����������� ����)�� ������� ������������ ������� ( )y f x=�� �����������������!����������� �!� -�"� ��1������$� ������� ��������� �����������
��� �������� ������������������� "�� ( )y f x= ���� ( , ( ))P c f c ������
������� �������������0 0
( ) ( )lim lim x h
y f c h f cx hΔ → →
Δ + −= =
Δ9�����1��� ����� ������� ������$��� ��$� �������� ������������ ������ �������
���1��������������������������0������������������ �������1���������� ���������
�����������������������������
���� ���� ��� ���� � � �� ����
#�������������"�������������������� '( )f c �����������������������
��������������������������������� 0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h→
+ −= �����������������������������������������������:%��;
�������������������<������ '( )f c �����$��=#�������">�
,������������������!�$�"�%�&������&�$�!�'�"�����> 0h → >����� ���������> x c→ >��7��
�� ����������������������������������� ��������
( ) ( )'( ) lim
x c
f x f cf c
x c→
−=
−�������������������������������������������������������:%��;
�������������������������������������������������������� �����
�� ���� ���
?� ������ ������������2( ) 3 5 2f x x x= − + �������������"�
�����������
4� ��4��������%������������1��
����������� 0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h→
+ −=
2 2
0
[3( ) 5( ) 2] [3 5 2]lim
h
c h c h c ch→
+ − + + − − +=
2 2 2
0
3 6 3 5 5 2 3 5 2]lim
h
c h h c h c ch
c→
+ + − − + − + −=
2
0
6 3 5lim
h
ch h hh→
+ −=
0lim 6 3 5
hc h
→= + −
6 5c= −
,������� ������������2( ) 3 5 2f x x x= − + �������������"������� '( ) 6 5f c c= − �
�
����� ����������������������268
4����4�������� %���������������� �� ����� ������ ������� #������������� ������ "�
���������1��� ������������� �������������"��� ���8�����������������!����������
�� ����
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
�������� ����� ���� �����4������� ���� �������������������� 'f �������� ��������� ��
1���������������� � ��� ��#�
�� ���� ����
@������������#�:!;�-��!��/�%��$� ������ �����#������������������$� ��
�� ���������!�������������� '( )f x �
�� �������� ����:%��;�
$� �������� ����:%��;�
�����������
�����4� ��$�����%�����:�;������ ���� '( ) 6f x x= ��7����� ��������
'(2) 12f =�����4������ ����:%��;�
0
(2 ) (2)'(2) lim
h
f h ff
h→
+ −= �
2 2
0
[3(2 ) 8] [2 8]limh
hh→
+ + − += -� 0
lim12 3 12h
h→
+ =
$� 4������ ����:%��;�
2 2 2( ) (2) (3 8) (3 2 8) 3( 4)2 2 2
f x f x xx x x− + − ⋅ + −
= =− − −
�-��:!�/��;
,����
2
( ) (2)'(2) lim
2x
f x ff
x→
−=
−�-� 2
lim 3( 2) 12x
x→
+ =
�
5����������������� 'f � ������ �� ����� ������� #����� ������������� ������ ����
���� ���:�#�!�.��%��;���� ������������)���5� ��$����<��������������������������
'f ����� �������� ����������#������������1�����!������ '( )f x �
,����������:!(�);��� ������������ ������������#��1�����!��������� ������)�-�#�:!;�����
������� 'f ������������������������� 'y ������
dydx
��<�������������� ����������� ��������
������������)��� ,� ����� ����!�������"�#�$��$%� ��& �'� :�!�!�.��#�!;��4��
�������������������� ������������������#������
[ ( )]d
f xdx
������ [ ( )]x f xD
�� ���� ���(
,�������������
23
xy
x−
=+
�����������
dydx
�
��������� � �� �������� 269
�����������
4������������)�$�#�:!;��������
2( )
3x
f xx
−=
+�
����
2 2( ) ( ) 3 3
x h xf x h f x x h x
h h
− − −−+ − + + +=
-�
(2 )(3 ) (3 )(2 )(3 )(3 )
x h x x h xh x h x
− − + − + + −+ + +
-�
2 2(6 3 ) (6 2 )(3 )(3 )
x xh h x x xh h xh x h x
− − − − − − − + −+ + +
-�
5(3 )(3 )
hh x h x
−+ + + �-�
5(3 )(3 )x h x
−+ + +
,����
20
( ) ( ) 5 5lim lim
0 (3 )(3 ) (3 )h
dy f x h f xhdx h x h x x→
+ − − −= = =
→ + + + + �
�
�� �������)� �*� ��+�� �
4�������� ( )f x x= �
�� 6�����������)��#������������1����� ��������!�-�*�
�� A��� ������������ �����#�
�����������
�� 4������ ����:%��;�
0 0
( ) (0)'(0) lim lim
0x x
xf x ff
x x→ →
−= =
−6������������ 0x > �
0 0lim lim 1x x
x xx x+ +→ →= =
���������������� 0x < �
0 0lim lim 1x x
x xx x−→ − →
−= = −
B� ���� ����� ������ ������ ����������� ����� �� ��� ���������� �����������)�
'(0)f � ������ ����� <���� ��������� ������� #� � �������� ��� !� -� *�� �� ���
0lim ( ) 0 (0)x
f x f→
= = �
����� ����������������������270
�� A �����)�-�#�:!;�
���������*����#� �#������ y x=
�4��������������������������������������$� �� �����8������������ ������
( ) 1 2f x x x= − + + �����1����� ������B��������� ����� ���������� 'f �
������������������� �����#�
��$� ����������������������1���� ��������������"��� ������������:$� ,��;�����
����������� ������#�����������1����� ������&����A��� �%������������!�-�*��4� ��?����
%��� � ���� %���!�� ������ ����� ��������� ��)�� ������������ ������� ������������
����������� �� ����� �� �� #�� ����� ������� ����������� �� ����� ��� ������ ������ ����
���������������������������� ������ �� ������� ����������� � �� ����������� ��� ��
�� �����
����%�� ��
,�����������#�����1����� ��������"������#�������������"�
�� �
@����� 0h ≠ �
���0 0
( ) ( )lim [ ( ) ( )] limh h
f c h f cf c h f c h
h→ →
+ −+ − = ⋅
0 0
( ) ( )lim lim h h
f c h f ch
h→ →
+ −= ⋅ -� '( ) 0 0f c ⋅ =
,�����
0lim ( ) ( )h
f c h f c→
+ = �1����������������)��#�������������"��
)
�
�
�
�
8�����8�����8����8����*��������������������������������
!
=) !
Tugas Kelompok
��������� � �� �������� 271
�� �������-� �*� ��+�� �
6������������������������� ��������#�����1����� ��������!�-��������
2 , untuk 1( )
, untuk 1x x
f xax b x
<=
+ ≥⎧⎨⎩
�����������
��� �#�����1����� ��������!�-��������#��� ��������������!�-����9������#�����������
!�-�����������
1lim ( ) (1)x
f x f→
= �
B�����1��
1lim ( ) (1)x
f x f+→
=�
2
1lim x
x a b+→
⇔ = +
����������� 1 a b⇔ = + �������������������������:%��;
4�������������#������1����� ��������!�-��������� '(1 ) '(1 )f f+ −= ��4������ ����:%��;�
1 1
( ) (1) ( ) ( )'(1 ) lim lim
1 1x x
f x f ax b a bf
x x+ +
+
→ →
− + − += =
− −
�����1
( 1)lim
1x
a xa
x+→
−= =
−���:%��;
2
1 1
( ) (1) ( )'(1 ) lim lim
1 1x x
f x f x a bf
x x− −
−
→ →
− − += =
− −
�����-�
2
1
1lim 2
1x
xx−→
−=
−�����:�� ��:%��;; ��:%� �;
4� ��:%��;�����:%� ;��������� ������-����4� ����-������������������������:%��;�������� ���
��-���
�� 6�������� '( )f c ���������������������1�������� �����
��2( ) 1 3f x x x= + − $� ( )
2 3f x
xx
=−
�� ( ) 2 1f x x= +
��3( ) 3f x x x= + �� 2( )
4f x
xx
=−
��( )
23
f xx
=−
�� ��������������1��������� ������������������#�������������������"��<1�������#
����"��������������������
��
0
1 1limh
hh→
+ −$�
8
1
1lim
1x
xx→
−−
��������
( )0
sin 12limt
t
t
π
→
+ −
��
3
0
(2 ) 8limh
hh→
+ −��
3
cos 1lim
3x
xxπ π→
+−
��0
5 1lim
x
x x→
−
Latihan 8.1
����� ����������������������272
�� ?� ���� �� ������� �� ������� �������1�������� �����������1���������� ������
�������������� ������� �� �����1��
�� ( ) 5 8f x x= − $� ( )f x x x= + ��
3 4( )
3x
f xx−
=−
��3 2( ) 5f x x x x= − + ��
1( )
1x
f xx−
=+
�� ( ) 1 3 f x x= +
�� 6��������
dydx
��� ����������� ������1�������� �����
�� 2
43y x
x= + $� 2 7y x= −
��
23
yx
=−
��
11
yx
=−
����������������������������������������������
� 4�������
2 , untuk 2( )
2 , untuk 2x x
f xx x
− ≥=
− <⎧⎨⎩
�� 6��������� ��)�� '(2)f � ������ ����
A��� ����� �����1��
!� 6������������������������� ��������#�����1����� ��������!��-���������
2
, untuk 2( )
2 1 , untuk 2ax b x
f xx x
+ <=
− ≥⎧⎨⎩
��� ����%����� � ��� �����$.�&��
4���� ������� �������1�� ����� ����������� �� ���� ��������� � ����
���� �����:"����� �����;����������������������������������������������� ����������� ����
��������� �� ����� ���� ���������������� �� ��� ��8��� ���1������� �� �������
���������������������� ��������
����%�� ���
,�����������#�:!;�-� ���������� ���������������������� '( ) 0f x = �
�� �
&���������� �����������
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
������������-�0
limh
k kh→
−-�
0lim 0 0h→
=
,������� �������������������������������
��������� � �� �������� 273
����%�� ��(
,������������������������ ( ) nf x x= ������1'( ) nf x nx −= �
�� �
4������������� ������� ������2( )x h+ �������������������6�� ���2�������
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
�����-�0
( )lim
n n
h
x h xh→
+ −
�����-�
( 1)1 2 22
0
( + )lim
n nn n n n n
h
x nx h x h h x
h
−− −
→
+ + + −�
�����-�
( 1)1 2 -120
lim ( )n nn n n
hnx x h h−− −
→+ + +�
����1nnx −=
�� �����������������$�����1������ ���������1�������� �&������������1�����������*�
�
0����������������������������������������1��6�� ���%��������� ��������������
��������� ��������
�� ���� ����
6�������� '( )f x ������
�� #�:!;�-�!#
$�2
1( )f x
x= �� ( ) 2f x x=
�� #�:!;�-� !�*
�� 6
4( )f x
x= ��
3 2( )f x x=�����������
4������6�� ���%���
�� #�:!;�-�!#
��
66
4( ) 4f x x
x−= =
7 1 6'( ) 7 7f x x x−= = 6 1 7 7'( ) ( 6) 4 24 24f x x x x− − −= − ⋅ = − = −
�� �#�:!;�-� !�*
��
12( ) 2 2f x x x= =
10 1 9'( ) 10 5 50f x x x−= ⋅ =1 112 21'( ) 2 12f x x x x− −
= ⋅ = =
$�
22
1( )f x x
x−= = ��
23 2 3( )f x x x= =
�2 1 3 3'( ) ( 2) 2 2f x x x x− − −= − = − = −
2 112 23 333 32'( ) 3f x x x x
− −= = =
�
����� ����������������������274
����%�� � ��)
0������������������������ ����������������#��������1���������������������
#�:!;�-� �:!;��,�����������1����� ���������
'( ) '( )f x ku x=
�� �
4� ��4��������%���
'( )f x -�
0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
-�
0
( ) ( ) lim h
ku x h ku xh→
+ −
-�
0
( ) ( ) lim h
u x h u xk
h→
+ −
-�
0
( ) ( ) limh
u x h u xk
h→
+ −
-� '( )ku x�
��������$��������� ����������#�:!;�-�%�! �����
4 4'( ) 5 8 40f x x x= ⋅ =
����%�� ��-
0�������������� �����������������#��������1����������������������#�:!;�-��:!;�/� :!;�
,����������� �����1����� ���������
'( ) '( ) '( )f x u x v x= +
�� �
��������� '( )f x �-��0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
�������-�0
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]limh
u x h v x h u x v xh→
+ + + − +
-�0
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] limh
u x h u x v x h v xh→
+ − + + −
-�0
( ) ( ) limh
u x h u xh→
+ −�/�
0
( ) ( ) limh
v x h v xh→
+ −
-� '( ) '( )u x v x+�
��������� � �� �������� 275
(����� ��� ����������������� ����������������� ��������������B�����1��� ����
������������������������1������������������������ �����������8�����������1��
�� ���� �����
6�������� '( )f x �������#�:!;�-�#! �.��!
��.�%!
��/� �
�����������
����������������� ��6�� ���%� �
'( )f x �-�#� !��.����!
��.�%��!�/�*�-�� !
��.���!
��.��!!
�� ���� ����(
6�������� '(2)f �����#�:!;�-�
3
3x
/� 3
3x
�
�����������
B�������������#�:!;�-��
3
3x
�/�33x− ���������
'( )f x -�1 2 43 3 ( 3)x x−⋅ + − -�
2 49x x−− �-��
24
9x
x−
,�����2
4
9 9 55'(2) 2 4
2 16 16f = − = − = �
����%�� ��/
0�������������� �����������������#��������1���������������������
#�:!;�-��:!; :!;��,����������� �����1����� ���������
'( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= +
�� �
B� ���� �����1����� ��������!��������� ���6�� ���%���� ������������!��1����
0lim ( ) ( )h
v x h v x→
+ =
�������1��
���������� '( )f x �-��0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
�-� 0
( ) ( ) ( ) ( ) lim h
u x h v x h u x v xh→
+ + −
-� 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) limh
u x h v x h u x v x h u x v x h u x v xh→
+ + − + + + −
�������- 0
( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )h
u x h u x v x h v xv x h u x
h h→
+ − + −⋅ + + ⋅⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠-� '( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x+
�
�
�
����� ����������������������276
�� ���� ����)
6�������� '( )f x ������#�:!;�-�:�!��.��!
�;:!
�/��!
�;�
�����������
4����������#�:!;�-��:!; :!;����������:!;�-�:�!��.��!
�;����� :!;�-�!
�/��!
��
�:!;�-�:�!��.��!
�;�→ �
2'( ) 6 8u x x x= −
:!;�-�! �/��!
���������→�
4'( ) 5 6v x x x= +,����
���� '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= +
-�:26 8x x− ;:!
�/��!
�;�/�:�!
��.��!
�;:
45 6x x+ ;
-�:!!#�.�%!
!�/��%!
��.���!
�;�/�:�*!
#�.��*!
!�/��!
��.���!
�;
-��!!#�.��%!
!�/�*!
��.��%!
��
�
4������������������������������������������������)�� ����� #(� �(� ����&
����1��� �� ���������
( ) ' ' ' '= + +fgh f gh fg h fgh
����%�� � ��0
0�������������� �����������������#��������1���������������������
( )( )
( )u x
f xv x
=�� ( ) 0v x ≠
�,����������� �����1����� ���������
2
'( ) ( ) ( ) '( )'( )
( )u x v x u x v x
f xv x−
=
�� �
B� ���� �����1����� ��������!��������� ���6�� ���%��� ������������!��6�����
( ) 0v x ≠ ���������
0
1 1lim
( ) ( )h v x h v x→=
+
Tugas Kelompok
��������� � �� �������� 277
4� ������������� ��������!�
�������� '( )f x -��0
( ) ( ) lim h
f x h f xh→
+ −
-�
0
( ) ( )( ) ( )lim
h
u x h u xv x h v x
h→
+−
+
-� 0
( ) ( ) ( ) ( )lim
( ) ( )h
u x h v x u x v x hhv x h v x→
+ − ++
-� 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim
( ) ( )h
u x h v x u x v x u x v x u x v x hhv x h v x→
+ − + − ++
'( )f x - 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( )h
u x h u x v x u x v x h v xh v x h v x v x h v x h→
+ − + −⋅ − ⋅
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
-� 2 2
( ) ( )'( ) '( )
( ) ( )v x u x
u x v xv x v x
−
-� 2
'( ) ( ) ( ) '( )( )
u x v x u x v xv x−
�
�� ���� ����-
6�������� 'y �������
2
2
2 5 6+ 4
x xy
x+ −
= �
�����������
2
2
2 5 6+ 4
x xy
x+ −
= ⇒ �2 22 5 6 ' 4 5u x x u x= + − → = +
����2 4 ' 2v x v x= + → =
� 2
' ''
u v uvy
v−
=
-�
2 2
2 2
(4 5)( 4) (2 5 6)(2 )( 4)
x x x x xx
+ + − + −+
-�
3 2 2 2
2 2
4 5 16 20 4 10 12( 4)
x x x x x xx
+ + + − ++
-�
2
2 2
5 28 20( 4)
x xx
− + ++
�
����� ����������������������278
,���� ( ) ( )( )( )f x x a x b x c= − − − ��������������)�
'( ) 1 1 1( )
f xf x x a x b x c
= + +− − −
���������1��� ��������������1��� ������
2 3( ) (5 1)f x x= +
������������������ ���� '( )f x ����������� ������6�� ���%�!�����������1����
����������������� ����������2 2 2( ) (5 1) 5 1( )f x x x= + + �� 5� ��������1�� �������
�� ����
2 2 2 2 2 2'( ) (5 1) (5 1) 5 1 [(5 1)(5 1)]( )x xf x x x x x xD D= + + + + + +⋅ ⋅
����2 2 2 2 2(5 1) (10 ) 5 1 [(5 1)(10 ) (5 1)(10 )]( )x x x x x x x= + + + + + +
���2 2 2 2(5 1) (10 ) 5 1 [2(5 1)(10 )]( )x x x x x= + + + +
���2 2 2 2(5 1) (10 ) 2[(5 1) (10 )]x x x x= + + +
,����
������������������������2 2'( ) 3(5 1) (10 )f x x x= + ���������������������������������������������������������:%�!;
4� �� ����� ������������ ���������������3( )u x x= �����
2( ) 5 1v x x= + ������ #������
����������������u v� ���������
( ) ( ( ))f x u v x=
�����2(5 1)u x= +
�����2 3(5 1)x= +
B� ����2'( ) 3u x x= ����� '( ) 10v x x= �����������������������:%�!;������������
'( ) '( ( )) '( )f x u v x v x=��$� �� ���� ����� ���� ���� � ������ ���� ���� ��������� ���� ������� 1���
����1��� �� ��������� ������� �������� ���� ��� ���� �� ���������������������������
�� ����
����%������ ������ �1� ����
,����������� �����1����� ��������!�����������1����� �������� :!;�
�������������������� u v� �����1����� ��������!�����
( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�
Tugas Mandiri
��������� � �� �������� 279
�� ���� ����/
6�������� '( )f x ��������5( ) (2 1)f x x= + �
�����������
9������#��������������������������������������������� �������� ��
5( ) (2 1)f x x= + �-� ( )( ) ( ( ))u v x u v x=�
��������:!;�-�!� ������� ( ) (2 1)v x x= + ��4��������� ��� ������
������� '( )f x �-�� ( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�
-� 4(2 1)x + �:�!;
-��*!4(2 1)x +
�
�� ?� ���� '( )f x �����������������)��2[ (2 )]
df x x
dx= �
�� 0���������������#�����1����� ������������� ( ( ))f g x x=�������
2'( ) 1 [ ( )]f x f x= + �
6�����������)��� 2'( )(1 )
1=
+g x
x�
��� � �� �2���� ���
,���� 'f ��������� ������������#(����� 'f ������� ���������������9������ 'f ������
���� � ������%���� ��#��,������ ������� �� 'f �������� ��������������������� � �2�"��
�� ��#��������������������� "f ������ "y ������
2d fdx
������
2
2
d ydx
��4������$� ��1��������
���� � �2�������� ��#������������������������� ������� ������ �� "f �����������������
������
"'f ������ "'y ������
3
3
d fdx
������
3
3
d ydx
��$� ������ �� �������8���� �� ������� #����������( )nf �� ������ �� ������� ������ �
�� �������8:�.�;��� �� #����������� �������������� 1���� ��������� ��� �� ��� ������ ����
�������� �������8���� ��#������
[ ( )]n
n
df x
dx��������� [ ( )]n
xD f x
Tugas Mandiri
����� ����������������������280
�� ���� ����0
6��������������� ������� �����������1�������� ��������
#�:!;�-� !��/��!
��.�!
��/�C
�����������
��� '( )f x = ��*!��/���!
��.��!
�� "( )f x = �!*!��/���!�.��
� '"( )f x = ��*!�/���
(4) ( ) 120f x =( ) ( ) 0, 5nf x n= ≥
�
�� 6�������� '( )f x ���������������������1�������� �����
�� �#�:!;�-��!��/��!
��/�� �� #�:!;�-�:D
��.��!�/�;:�!
��/��!;
�� �#�:!;�-���.��!�.�!�
�� #�:!;�-� 3 29 x
$� #�:!;�-�!#�.��!
�/��!
��/�#! �� #�:!;�-�2 5x x+
�� #�:!;�-�!��/��!�/�
21 x ��
2 13 3( ) 3f x x x
−= −
�� #�:!;�-�!��.�#�/�!
�8��/�!
�8��
2( )
4x
f xx
=+
�� #�:!;�-�:�!��/��;
���
2
2
2 1( )
2 1x x
f xx x− +
=+ +
�� �#�:!;�-�:�!��/��;: !�.�%; ��
3
3
8( )
8x
f xx+
=−
� �#�:!;�-�: !��.��;:�!
��/�!!;
�� 6��������
dydx
��������������)�1�������� �����
�� )�-�:!��/��!�/�;:�!
��.��; ��
24 32
x xy
x− −
=−
��
2 2
2 2
x ay
x a−
=+
��
2x
yx
=−
�� 2
21 5
xy
x=
+������
2 1(3 1)
3 4x
y xx+
= −+
$�
2 13 4
xy
x+
=+
��
4 2
4
2 5 1x x xy
x− + +
= ��������
32
3
1( 1)
3x
y xx+
= ++
Latihan 8.2
��������� � �� �������� 281
�� 6���������� �������������������������1�������� �����
�� #�:!;�-�:�!�/��;
�� �:!;�-�:!��.��!
��/��;
�.����
132( ) (5 2 )h x x −= −
�� �:!;�-��:!��/��!�.� ;
���
2( ) 1 4H x x= + ��
2 5( )
3 1s
F ss−
=+
$� &:;�-��:���.�#
��/���.�;
���
2( ) 1 3f t t= − ��
5 6( )
5 4x
G xx+
=−
�� �+:,;�-�:,��/��;
.�������%� �
23( ) (5 3 )g x x= − ��
1( )
1x
H xx
−=
+�� 6���������� �������������������������1�������� �����
��
2 2 3 4[(4 7) (2 1) ]d
x xdx
+ + ��
2 3 2( 5 3)d
z zdz
− ⋅ +
��
2 3 2[(3 5) (3 1) ]d
u udu
+ − ��
272
d tdt t
−+
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
$�
2 1d xdx x
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
��
22
3
2 13 1
d ydy y
++
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
� 6���������� �������������������������1�������� �����
��
3
2
2 1( )
3 2x
f xx x
−=
+ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
2 3
2
( 3)( )
(5 8)x
g xx+
=− $� 2
4 6( )
3 4
xh x
x x
+=
+ +
!� 6���������� ������� ���������������� ����������������1�������� �����
�� #�:!;�-�! �/�!
��.�! ��
33( ) 2 5F y y= +
�� �:;�-���.�
��/� ��
2( )
2z
G zz
−=
+$�
2( ) 1h x x= +
��( ��� � ��� ���� ���� �%����
@�������$� �� �� ����� ������� ���������� $������������ ������ ������� �������
� ������� ��1���� ���������������� ���� �����1�����
����:��%��;��-��������$�����/�$����������
$���:��%��;�-��$�����$�����.������������
����%�� ��3
�� ,����#�:!;�-�����!������ '( ) cosf x x=
�� ,����#�:!;�-�$���!������ '( ) sinf x x= −
����� ����������������������282
�� �
4������������������������������ ���1������ ����������1�����������������
��������������������� ������������������4��������������� ������� ��1���
�� ������������
( ) ( ) f x h f xh
+ −-�
sin( ) sinx h xh
+ −
-�
1 12 22cos( ) sin x h h
h
+
-�
1 12 212
cos( ) sin x h h
h
+
-�
11 2
122
sin cos( )
hx h
h+ ⋅
4��������������
���0
( ) ( ) '( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −=
-�
11 2
1202
sin lim cos( )h
hx h
h→+ ⋅
-� cos( 0) 1x + ⋅-�$���!
�
4���������������������������6�� ���%�C������� �������������������������������
�� ������� ����� �����
����%�� ��4
�� ,����#�:!;�-�����!������2'( ) secf x x=
�� ,����#�:!;�-�$���!�������2'( ) cscf x x= −
�� ,����#�:!;�-���$�!������ '( ) sec tanf x x x=�� ,����#�:!;�-�$�$�!������� '( ) csc cotf x x x= −
�� ���� ��(�
6�������� '( )f x �� ��������8��������� �����
�� #:!;�-���$���!�.�����!�/� $� #:!;�-� ����!�$���!
�� #:!;�-�!������!
�����������
�� '( )f x �-���:.����!;�.�$���!�/�*�-�.�����!�.�$���!
�� 4��������� ����� ������� ������������������
'( )f x -��!������!�/�!
��$���!
$���4��������� ����� ������� �����������������
'( )f x -� $���!�$���!�/� �����!�:.����!;�-� :�$����!�.����
��!;�-� $���!
�
��������� � �� �������� 283
�� ���� ��(��
6���������
dydx
��� ���������1�������� ����
��
cos1 2sin
xy
x=
+�� )�-�:!�/����!;
$��
21 cosy x= −�����������
�� 4��������� ����� �������������������������
� 2
( sin )(1 2sin ) (cos )(2cos )(1 2sin )
dy x x x xdx x
− + −=
+2 2
2
sin 2(sin cos )(1 2sin )
x x xx
− − +=
+
2
sin 2 1(1 2sin )
xx
− − ⋅=
+ 2
sin 2(1 2sin )
xx
+= −
+
�� 4��������� ��� �������������� ����
dydx
-� :!�/�����!;�:��/�$���!;�
$� B���� ������ ( )122 21 cos 1 cosy x x= − = − �� 4��������� ������ ��� ��� �����
�� ������
( ) 12 21
1 cos ( 2 cos )( sin )2
dyx x x
dx
−= − − −
���������������-� 12 2
sin cos
(1 cos )
x x
x−
2
sin cos
1 cos
x x
x=
−�
����������������� �����1����� ��� ��������������������1��� �������� �����
����%�� ��
0����������-��:!;��������1��������1����� �����
����,����#�:!;�-������������ '( ) cos '( )f x u u x= ⋅
����,����#�:!;�-�$���������� '( ) sin '( )f x u u x= − ⋅
�� ���� ��(�(
6�������� '( )f x �����
f (x) = sin(3x + 5) + cos (x2 + 1)�����������
4��������� ���E������
� '( )f x -�����:�!�/� ;�:�;�.�����:!��/��;�:�!;�-�������:�!�/� ;�.��!�����:!
��/��;
�
����� ����������������������284
�� 6�������� '( )f x ��� ����������������1�������� �����
�� #�:!;�-� �����! �� ( ) sinf x x=
�� #�:!;�-�����!�/�����! ��
3( )
cosx
f xx
+=
$�2( ) 1 cosf x x= + � #�:!;�-�:����!�/�$���!�;
�!;
�*
�� #�:!;�-�������!�$���! ��
3( ) sin( 2 )f x x x= −
��
sin cos( )
sinx x
f xx
+= ��
2 2( ) cos ( 3)f x x= +
�� (���������� ������� ����������������1�������� �����
��
sin 1cos 1
d xdx x
−+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
2
cos(2 5)d t tdt t
++
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
tan 1tan 1
d zdz z
+−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
2sin 1cos 1
d xdx x
−+
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
$� [( sin )( cos )]d
x x x xdx
− +
�� (�������� '( )f c �������������"�1���������������
�� �#�:!;�-�!������!�F�"�-�π ��
1( )
cot 1f x
x=
−F� 3 4c π=
��
cos( )
xf x
x= �F� 2c π= �� �#�:!;�-�!
������!�/��!�$���!�.������!�F� 4c π=
$� #�:!;�-�����!�/���$�!�F�"�-�π
��) *����%�� �!����� 5� ��� ��6����
0��������)����������������� ���1������ ����������������� ��������!����������)
��������� ��!��)�-�#�:!;���5�������8����#��������������������������� �1��������� �����
�������)��� �����!������!�-�"���������������� �� � ����������� ������
������� ������ ������0 0
( ) ( )lim lim x h
y f c h f cx hΔ → →
Δ + −= =
��$� �� ����� �� ���� ��� ���� �������� �����A��� � %���� ����� �� ������ ������
������� ���� �������� ��� ������������ �������� ��� ����������� "��)� -� #� :!;� ��� �����
( , ( ))P c f c (�1�������� �1�������
sg 0
( ) ( )lim h
f c h f cm
h→
+ −=
Latihan 8.3
��������� � �� �������� 285
���������-���������������������������.��5�$� '( )f c
0��� ���4��������%���������������� ����� ����� '( )f c ��7����� �������������������
��������������� ������� ����� ����
A� ������������������� "��)�-�#�:!;���������� ( , ( ))c f c ��������� ���1����������
���������� ������1������������� '( )f c �
,���� ����������������������� �����8��� �������� �� �� �������� ���������� ��
���������������� "����������� ( , ( ))c f c �����
)�'�#�:";�-� '( )f c :!�'�";
�� ���� ��)�
4���������������� "��1��������1����� �������)�-�!��.��!�/���
�� 5� �������������������:���!;��� ������������� "��
�� ,������������ �������� ������������� "�������������� �������� ��������������������
�� ������
$� A��� ������ "��)��� ���������� ����� ���������������������:���!;�
�����������
�� 6�����:��!;��� ������������� "���)�-�!��.��!�/������ ���������������������������!�-����
�����������
)�-����.��:�;�/���-�!
�� 6� ������������#�:!;�-�!��.��!�/��������� '( )f x -��!
��.����B�� �������� �����������
���:���!;���������2'(2) 3 2 3 9f = ⋅ − = ��,������� �������� �������������� "����������
:���!;�������
)�.�!�-�C�:!�.���;��������)�-�C!�.���
*���������������������"��������������"�/�&���������������������������!
)
�/"(� #/"00
1/"�%�&(� #/"�%�&00
&
#/"�%�&0���#/"0
����� ����������������������286
$� A ������� "�������� ������������1�������
������� ��2
�
�� ���� ��)��
?� ������ �������� ������������������� "�� 3y x= − �1������������ ����� ��
�!!�/��)�.���-�*�
�����������
,����:!(�);����������������������� "���������� �������� ������������������������������
��-
1'
2 3y
x=
−A� ���!!�/��)�.���-�*�������������������������)�-�.�D�/�
43 ������������� �������� ������
������ 2 2m = − ��4����� ������������������ �������
����
��-�.���⇔ ��
��:.�;�-�.�
⇔ � 1m =��
�
7����� ��������
���-
1'
2 3y
x=
−���⇔ �
12-�
12 3x −
⇔ �
11
3x=
−�����⇔ �!�.���-��
�������⇔ �!�-��
����������������!�-������� ����� 4 3 1y = − = ��,�������� ��������������������������
:����;�������� �������� ������������1�������
)�.���-�
12�:!�.���;��������)�-�
12!�.���
�
)
8����������8����������������������������������������������� !
��
��%
���
��8%
��8�
��������� � �� �������� 287
�� ?� ������ �������� �������������� "��1�������� ����������� �������� ����
���������1���������������
�� )�-��!��.�������:�����; $� 2
1014
yx
=−
������:���. ;
� )�$��!��.�!
������� ( )1 2, 1 8− − �� 2
84
yx
=+
������:����;
�� 6���������� �������� ������������
�� ������� "��)�$��!��.� !�/�������������1����������1��.�
�� ������� "��)�$�!��.�#!
��/�!�����������1����������1��*
$� ������� "��)�-�!��/� !
��.��������������1����� ������1��
�� ������� "��)�-��!������������1����� ������1��1 8
�� ?� ������ �������� �������������� "��1�������� ����������� �������� ����
���������1���������������
�� )�-�:!��.��;
�������:.���C;� $�
2 16y x x= + ����7:*��*;
��2 9y x= + �����:��� ;� �� sin cosy x x= + ����������������� 4x π=
�� A� ����� ������ ������������� "���������� ���1���� ������ �� ������������ ��
����������� "������������� �������6���������� �������� ����� ����� "������
�������� ���
� 6���������� �������� �������������� "���)�-��!��.��!��1���������� ��� ��
�!�.�)�/���-�*�
!� 6���������� �������� �������������� "���)�-�!��.�!!��1������������ ����� ��
��!�.��)�/�!�-�*�
#� 6���������� �������� ����� ����� "��)�-�!��.��!��1���������� ��� ��
!�/�%)�.�%�-�*�
%� 6���������� �������� ���1�����������������:�����;�������1���������� "�
�)�-�!��.���
C� 4�������� �� "� 1y x x= + ���� ������ ������ ����� �� "�� 1���� ������1�� 1 2 �
0���������� ����������������������������8!���������������������8)
���1��(���������������� ������ ����1�
�*� ,������ ������������������� "��)��-�!!�������������������������� 45�
������
����8!���������������������� ��������������
Latihan 8.4
����� ����������������������288
��- 6�,����� �"� �*��,�����
5���� ���8���� �������1��� �����)�$� #� :!;� ������ ���������� ���1������ �������
��������� ��������!�����
0
( ) ( )lim h
f c h f ch→
+ −
������������������ �1��������� �������������)��� �����!������!�-�"����$� ��������
����� ( )s f t= ���1��������� �������� ����� �� ������������ ������������ ��� �� ��
������������������������� ������������� �� ��� ����������������� �� �������)�������
)����� �� 9������ #� � 1����������� ������ ������������� �� ����������� �������5���
������� )����� �� �� � $� "� ������ ������� � $� "� %� &� �� ������ ������� �����
( ) ( )f c h f c+ − :��������� �%� ;��B�$������� � ����������������)��������������
��$������� ���8 ���
perpindahan ( ) ( )waktu
f c h f ch
+ −= =
������� ��3
0���������������������$������� � �����������������)�����1�����������������
[ , ]c c h+ ��4����������� ������ ����� �����&���������� *�� ���������1������������������
2�,����� ������2�,����� �������� :";�������������$�"�����������������$������� � ��������
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cv c
h→
+ −=
6�������)�� ����� ����� ���� ��������� ����� ���� ������ ���������� '( )f c ��4�����
����������� '( )f c ���$� ����������� ������� �����$���������������� ������������������
�$�"��������������������������� ������������������������������������������������ �1�
��$���������������4���������������������������� v �
B�$������� ���������������� �������������� �������������� �� ������������������
�������� �� ��������� ������������������������,������$�����������������������������
������������ ���������������������
f (c)
f (c + h)
f (c + h) - f (c)
0
posisi pada saat t = c
posisi pada saat t = c + h
s
��������� � �� �������� 289
4������� �������� ������� ������ ��������� ����$������������������,����� � �������
7����� ���������������������������� �� ��������������� ����� ������ ����� �����
�� �����-�#:;�����������$�������������������������������� �$+������������� $������
���������������������������$+��������������������� ������� ������ �� ��� ����
��������� ������������� ������ �������,����
2
2
dv d sa
dt dt= =
4� ����������������������������1����������)�������� 0a > ������ ��� �����
��������� 0a < ������ ��� �� �����,������-�*������ ������� �����B� ��������������
������������������� v ������������ ����������� �����
�� �,���� 0v ≥ ����� 0a > ������������� �����
�� �,���� 0v ≥ ����� 0a < ��������� �� ����
�� �,���� 0v ≤ ����� 0a > ������������� �� ����
�� �,���� 0v ≤ ����� 0a < ������������� �����
�� ���� ��-�
�������������� �� ��������������� ��������� ������������ �����
��-���.�!
��/�C�/��
�������������� �������������� ������������������4� ���� �������� �����������������
�� ��$������������� $�������1�������
�� ���� "���)������������������ �� ����������������������������� �� �������� �
$� ������������� ������� �
�����������
4� ���� �������� ���1�������� ������������ ���
�-�
dsdt
�-����.����/�C���������-�
dvdt
�-�!�.���
���������1��
�-�����.����/�C�-�*⇔ �:�.��;:�.��;�-�*
��������������������⇔ ��-����������-��
���
��-�!�.����-�*�⇔ ��-��
B��������������������� ����� ���������������-����������,��������������������������� ���(� ����
�������������� "����� ������������ ������8�����������(�����1��������� �����������������%���
����� ����������������������290
�&�$� ��
�� 4� ���� �������� ��������������� ������$�������������������
�-����.����/�C
������ $������� ������� �����
��-��!�.���
�� 2����������������� �-�*��1�������������-��������-����������2������� �� �����������
�������� ����������������������1���������� �� �������� ���������� ����������0��� ��
6�����%������������ �� �������������������0 1t< < ������� 3t > �������������� �� ��
����� �����������G��G�����������G��G���
$� 4� ��������%������������������������������)���������� ���1���� ������� ���� �
����������� ����������-���������������������� ���1���� ������� ���� ���� ����������
��������-���������
A� ������������������������������ �%�!������������������� ��������� �� ������
����������� ���1������������������������ ����������������� ������������� ������
0 2 4 6 8 –
t = 0 t = 1
t = 2t = 3
t = 4t s v01234
48648
90-309
Tabel 8.2
���������4���� ���.�
�&�$� ���
�
������ �� � 6���%��$�
�G�� �����/ �/ . 2������� ������������������������������� �� ��
����������B�$��������� �� �����&������ �� ����
�-�� �����% �* .�� 2������� ���%�$�������������������������
�� ���1���� ������� ���� ������������� ��
B�$��������� �� �����&������ �� ����
��G��G�� �����/ �. . 2������� ������������������������������� �� ��
����� ���B�$��������� �� �����&������ �����
�-�� �����! .� * 2������� ����!�$�������������������������
�� �� �������� �����������$�������.��$+������
B�$��������������&����������
��G��G�� �����/ �. / 2������� ������������������������������� �� ��
����� ���B�$��������� ������&������ �� ����
�-�� ������ �* ! 2������� ������$�������������������������
�� ���1���� ������� ���� ���� �����������
B�$��������� ������&������ �����
��G� �����/ �/ / 2������� ������������������������������� �� ��
����������B�$��������� ������&������ 8
�����
��������� � �� �������� 291
������������������������ ���� ��$� �� ������ �������� �� ����� ���������� ������ ������
�����1���������1����������������1�����������������������)�������1�������� ����
�����$������� �����
�� ���� ��-��
����������������� ����"� ������ ��� ������� �� ��������������$������� �)��� %*+
�������,����� ���������������������������� �������� ��������
��-�.��!��/�%*
0�����������1�������)���������������������� �������1������������������������
�� ���������� ���������)������1��������������� ��������������������6��������
�� ��$������������� $���������������������������������
�� )�����1�������� �������������������$�������������� ������
$� )�����������$�������1�������� �������������������1����������������
�����������
0�������� :;������:;������8��������������$�������������������� $�������������
�����������������
:;�-�.�����/�%*�����������:;�-�.��
�� 4� �� ���� �
:�;�-�.��:�;�/�%*�-��!
������������������������������������������$���������������!���� +����������������
�:�;�-�.������������������������������� $�������������.������ +�������
�� 2������$������������� ��������������� :;�-�*�
.����/�%*�-�*⇔ ��-���
,�����)�����1�������� ��������������$������������� ��������������� �������
$� 2������1���������������������������-�*�
��-�*�⇔ �.�!��/�%*�-�*
��������������������⇔ ��!: �.�;�-�*
������������������������⇔ ��-�*�������-�
,�����)�����1�������� ��������������1����������������������� ��������������
��$�������������� : ;�-�.��: ;�/�%*�-�.%*���� +�������6�����:.;�������������������
��)��� ������� ������� ������������)��
t s v
0
1
2
2,5
3
4
5
0
64
96
100
96
64
0
80
48
16
0
-16
-48
-80
Tabel 8.3 100
96
64
0 t = 0
t = 1
t = 2
t = 2,5
t = 3
t = 4
t = 5
�&�$� ��(
������� ��5
����� ����������������������292
4������������ �����6:!;���1����������1�� ������1����������� ������ ������
�����������������!� ��������� ���� �� �����������6� �������� �� ���� &��+��� &���
�� ������ ������� ���1�� �� ��������1���1���� ����1��������������� dC dx �� ���
�� ����������������&��+��%���� �$�
�� ���� ��-�(
�������� ������������������ ���)�����1��:����� ������ ����;��� �������!
�� ���� �����
2( ) 10.000 5 0, 01C x x x= + +�� 6�������� ����������1��� ������
�� ?� ���� '(500)C �������������������1�������1�������� �� �����1�3
$� 2���������� '(500)C �����������1���� ��������� ������8 *��
�����������
�� 9���������1��� ������ �����
5 0,02'( )dCx
dxC x = +=
�� 2��1��� �������������������� ������������1��� **��� ���������
'(500) 5 0,02(500) 15C = + = ���+�� ���
H������ ����� ������������������1���� ��������� � �� ����� ��������� ������
�����)�����!�-� **��������� �� ��������1���� ������8 *��
$� 2��1���� ������� ������ �1���� ���� ������8 *������
6: *�;�.�6: **;�-�2 2[10.000 5(501) 0,01(501) ] [10.000 5(500) 0,01(500) ]+ + − + +
15, 01= ���
6�������)�� '(500) (501) (500)C C C≈ − �
�
�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���
���� ���������������$��������� ����� � ���������� �������������������������
�������@�������������� �������� ����������� �����������������$�������������
:�;������� $���������������:
�;�������
��1�������� �����
�� ��-����/��F���
��-�� $�
24
ts
t=
+F���
��-�*
�� ��-����.�
��/� F���
��-�.� �� ��-� 2
1 3s
t t= + F��
��-���
�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���
���� ���������������$��������� ����� � ���� �������� ������������������������
��������@�������������� �������� ����������� ��������������� ��������2�����
������1������ ����6�����%���1������� ������������������ ����� ������
��3 21
2 2 6 2s t t t= − + − ��3 231
3 2 2 1s t t t= − + +
Latihan 8.5
��������� � �� �������� 293
�� ������ ������ �� �� ��� ���������� �� ��������� ���� ���� �� ������1���
���� ���������������$��������� ����� � ���� �������� ������������������������
��������@�������������� �������� ����������� ���������������������� $������
������������������������������������� �� ����� � ���� �������� �� ����������
������$����������������������������
�� ��$�*��.�!
��/����.�� $�
5125 216 32 5
s tt
= −+
��
3 12 24
9 2s t t= + ��29 2 2 1s t t= + +
�� ������ ����������������"� ��$���������������� �������1���� �� ����� �������
����������������� ��������2560 16s t t= − ������ �������������������������
�� 6����������$������� ��������������������
�� 2� ��������)�����1�������� ���������� �������������$���������������
������
� ,���� ����������� ����� ������ �������� �������� ���� ������������1��
��$��������)��������� +�������������-����/��*������������ ���������� �������
���������������� ������������������������ ��������������������� ����)�
�������� ����
�� 2� ��������$�������������������������������������3
�� 2� ��������)�����1�������� ������������������ ���$�������1���� ����
��������%���� +�����3
!� �������� ������������ �� ��� ���� ����� ��7����� � �**��� 5��������������
��������� �������������������� ��� ������������������ ������������
��-� *�***�/��%�***�/�!**�
�� 6��������������� ���������������������� ��������7����� ��** �
�� 6��������������� ���������������������� ��������7����� ��**��
#� 0�����������������������������������������������������������,���� ���***
������ ������
��-��*��/��**�/��*�***
6��������������� �����������������������,���� ���*�*�
%� ��� �������� ������������ ���� ������������� �����������$���)� ���� �����
����������� ���!�������������%�������������
)�$�-!�.�%!��.�!
����0 4x≤ ≤
�����6������������������$��������� ����������������*������
�����6���������������������1������$������� ������*�����������������������
C� 2��1�� :����� ������ ����;� �������� ��������� �������!�������� ������
�����
2 3( ) 2000 3 0, 01 0,0002C x x x x= + + +�� ?� ���� ����������1��� ������
�� ?� ���� '(100)C �������������������1�������1�������� �� �����1�3
$� 2���������� '(100)C �����������1���� ��������� ������8�*��
�*� 9���������1���������������� ���� �� �����������
2 3( ) 2000 3 0, 01 0,0002C x x x x= + + +�� ?� ������������� ���� '(100)C �
�� 2���������� '(100)C �����������1���� ��������� ������8�*��
����� ����������������������294
��/ ����� � 78�����$
6�� ��� ����� #���8�����1���������)�� ����� lim ( )x c
f x→
����� lim ( )x c
xg→
� ������1�
��������
lim ( )( )lim
( ) lim ( )x c
x cx c
f xf xg x g x
→
→→
=
�������� lim ( ) 0x c
xg→
≠ �
6� ������ �� ������ ��������������� ��� ��� ���� ������������ ����� �� ������� 1����
�������� ����� lim ( ) 0x c
xg→
= �� 5� ����� ������� ������������� �������� lim ( ) 0x c
f x→
= � ���
lim ( ) 0x c
xg→
= ����������$����������
#�:!;�-�!��.�C�������:!;�-�!�.����������
2
3lim( 9) 0x
x→
− = �����
3lim( 3) 0x
x→
− =
6����������������������1��������������������� ����������� ����
2
3 3 3
( ) 9lim lim lim( 3) 6
( ) 3x x x
f x xx
g x x→ → →
−= = + =
−
?��������������������1���
0lim sin 0x
x→
= �����
0lim 0x
x→
= ������������ ���6�� ���#�#
0
sinlim 1
x
xx→
=
���� ���� ���
,����#������������������� lim ( ) lim ( ) 0x c x c
f x xg→ →
= = �������������
#
�����������
������������������������
*
*
����"�
4� ��������������������
−−
�
D C
D �
�������������������������
*
*
������������
2
3
9lim 6
3x
xx→
−=
−
4������������� sin x x �������������������������*+�*��������
0
sinlim 1
x
xx→
= �
���� ��������������������� ��������������1���������������������������
�������������� �������������������
*
*
��������������������������� �1����� ���������� ���
�����������������1����������1�����
∞∞
�� 0.∞ ��**��1∞ ��
0∞ �����∞ −∞ ������������������
������� ���� ������ ��������������� ��������������������� ���� ������
*
*
� �����
∞∞
��7��
�� ����������������������������������������������������������������
��������� � �� �������� 295
0��������������������� ����� ������ ������ �������� �����������)���5� ��$��
9��:����!��$$�%����� ,���� 78������$�:�!!��.��#*�;������ ������ ������������������
1������ ������ 7� �$+���"��� � �� �%� �������������������������������!C!��0������1�
�������������������� � 78������$������ ���&'(������������������������ ����������������
�� ����������1�������� ��������������������
����%������ ������ � 78�����$�
0��������#��������������1��������1����� �������������� "����� �������
��$���������������"������ ���������� '( ) 0g x ≠ �������������� x c≠ ���������,���
lim ( ) lim ( ) 0x c x c
f x xg→ →
= = ������
'( )lim
'( )x c
f xL
g x→= �����
( )lim
( )x c
f xL
g x→=
6�� ��� ���� ������� ����� ����� ����� �����1�������� ������� �� ����� �����������
,����������� ��������� ���&'(��������� ���������$�����������������
2
3 3
9 2lim lim 6
3 1x x
x xx→ →
−= =
−�������
0 0
sin coslim lim 1
1x x
x xx→ →
= =
�� ���� ��/�
(�����������1�������� ������� �����:��������;�
��0
tanlim
sinx
x xx x→
−−
��
2
0
1 coslimx
xx→
−$�
2
0
2 3lim
sin 2x
x xx→
−
�����������
�� B������ ��������� ���&'(����������������
2
0 0
tan sec 1lim lim
sin 1 cos=
x x
x x xx x x→ →
− −− −
�
2
0
2 tan seclim
sin=
x
x xx→
:
sintan
cosx
xx
= ;
30
2lim 2
cos=
x x→=
�� &���������� ����� ���&'(�������
2
0
1 coslimx
xx→
−0
2sin coslim 0
1x
x x→
= =
$�
2
0 0
2 3 4 3 3lim lim
sin 2 2cos 2 2=
x x
x x xx x→ →
− −= −
�
����� ����������������������296
���� ������������������������������������������ ���������� ������
��
2
5coslim
2x
xxπ π→ −
#�2
lim1x
x
x→+∞ +
��
0lim
tanx
xx→
%�2 2
0lim csc )(x
x x−→
−
��
2
2lim
sinx
xxπ→
−C�
0lim cscx
x x+→
��
2
1
sin( )lim x
xx
→+∞�*�
2lim ( )x
x x x→+∞
− +
� 30
sinlim
tanx
x xx→
−���
22
cos 3lim
cosx
x xxπ −→
!�
1 cos 2lim
1 sinx
xxπ→
+−
��� 42lim( 2) tanx
x xπ→
−
��� 6�����������������������
3
30
sin 3lim 0x
x ax bxx→
+ +=
��� 6�����������������������
30
sin (1 cos )lim 1x
a x x b xx→
− +=
Latihan 8.7
��������� � �� �������� 297
�� 6� �������������#�������������"�������������������� '( )f c �����������������������
0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h→
+ −=
������������������
�� ,�����������#�����1����� ��������"������#�������������"�
�� ,�����������#�:!;�-� ���������� ���������������������� '( ) 0f x = �
�� ,������������������������ ( ) nf x x= ������1'( ) nf x nx −= �
� 0�������������� ��������������1��������1����� �����
�� ,���� ����������������#�:!;�-� �:!;����� '( ) '( )f x ku x= �
�� ,����#�:!;�-��:!;�/� :!;����� '( ) '( ) '( )f x u x v x= + �
$� ,����#�:!;�-��:!; :!;����� '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x= + �
�� ,����#�:!;�-��:!;+ :!;������2'( ) ( '( ) ( ) ( ) '( )) ( )f x u x v x u x v x v x= − �
!� ����� �1� �����,����������� �����1����� ��������!�����������1����� ����
��� :!;�� ���� ������� ��������� u v� � ����1��� �� ����� ��� !�� ���
( ) '( ) '( ( )) '( )u v x u v x v x=�
#� 6� ����� ������� � ������� ��
�� �,����#�:!;�-�����!������ '( ) cosf x x= �
�� �,����#�:!;�-�$���!������ '( ) sinf x x= − �
$� ,����#�:!;�-�����!������2'( ) secf x x= �
�� �,����#�:!;�-�$���!�������2'( ) cscf x x= − �
�� ,����#�:!;�-���$�!������ '( ) sec tanf x x x= �
�� ,����#�:!;�-�$�$�!������ '( ) csc cotf x x x= − �
%� A� ������������������� "��)�-�#�:!;���������� ( , ( ))c f c ��������� ���1����������
���������� ������ '( )f c �
C� ,������-�#:;������������������������� �������������$��������������$�������������
:";��� ������������������$�"������������������������ :";�-�.�+.�- '( )f c ������������
�� $���������������� ��������������������2 2a dv dt d s dt= =
�*� ������ � 78�����$
�0�������� #������� �������1��������1��� �� ���������� ���� "��� �� ����� ��
��$����� ������� ��� "� ����� ��� ������� � ������ ������� � ����� ��� ,���
lim ( ) lim ( ) 0→ →
= =x c x c
f x xg ������
'( )lim
'( )→=
x c
f xL
g x�������
( )lim
( )→=
x c
f xL
g x�
Rangkuman
����� ����������������������298
B������ �� ����� �������� ������� ����
�� �� ��������� ������ ���� ����� ����� 1���
�� ������ ����<�)���� ���� &�����I� �� �
������!! ��������������������!# ��������
������ ����� ��������1���������� �� �����
���������������� �� ������������� ��
H���$�<�)����:�!���8��#�#;� ��������������
���� ������� ������� H��� ��� ���� A���� ���
J����� &�����I� :�!�!� 8� �#�!;�� ���
��������� ������� ,� ����������� �������
���)���1����������������������������
B����������� ����� �������� ���� �� �����
������� ������������� ���� $������ ���
����������� ������ 4�)���� ���� ��������
���������� �������� ������ ����� ������ 1���
����� ����� ��1���������� �� �����
�� �������� ���� ����������� ���
����������� ���������1��� ������ ������� 1���
����1����� ��������������������� ����������������� ��������������������1���
1����������������������� ���6�1�� �
������������#��.�7��&���8����,
�������999��#&� ����.
Math Info
��������� � �� �������� 299
!� ���� ������������������������������������������������� �"�#��
����������������$�%�� � �����#� ��������!���$
�� ,����
sin cos( )
sinx x
f xx
−= ������� '( )3f π =� ��
�� � 4� �
2�
�
�
K�
�
�
?�
�
�
�� 6� ������� ��2(1 ) (2 3)y x x= − + �������L�
�� (1 )(3 2)x x− + 4� 2( 1)(3 2)x x− +
2� ( 1)(3 2)x x− + K� 2(1 )(3 2)x x− +
?� 2(1 )(3 2)x x+ +
�� 6� ������������2 34 (2 3)y x= − �������L�
�� 24 2 3
x
x−
−4�
243 2 3x− −
2� 24
3
2 3
x
x −K�
243 2 3x x −
?� 24
16
2 33x
x −
�� ,����2( ) 4 6f x x x= − ������������� '( 2)f − =� ��
�� .�� 4� .�!12
2� .�C K� .��
?� .�#12
Uji Kompetensi
����� ����������������������300
� ,����1f − � ������� ��"� ���� �� �������
2( )
5 3x
f xx
+=
−�� 5 3x ≠ �������� �� ����
�� ��1f − ������������� (1)g =� ��
�� .
C
�!
4�
��
�!
2� .
#
�!
K�
��
�!
?�
#
�!
!� 5� ������ �� ��� ��������� ��� ������ ������� !� -� �� ����� �� "��
275 1
yx
=−
����������
�� !�/��)�.��%�-�* 4� !�.��)�/��!�-�*
2� !�/��)�.��*�-�* K� �!�.�)�/� �-�*
?� !�.��)�.�%�-�*
#� �6� ������� ������ ��4cosy x= �������L�
��
31cos
4x 4�
34 cos sinx x−
2�
31cos
4x− K�
34 cos sinx x
?�34cos x−
%� ,� ���1���������������������������)���������� ���������������
3 213( ) 3 5s t t t t= − + −
B�$�������������� ���������$����������)������-������
�� � 4� �
2� � K�
?� �
C� ,���� ( ) tanf x a x bx= + ������������� 4'( ) 3f π = ����� 3'( ) 9f π = ��������%���-�L�
�� π 4� �
2� � K� *
?�
π�
��������� � �� �������� 301
�*� ,����
2
3
3( ) 2f x x
x= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������� '( ) ...f x = ��
�� 327 6
8xx x x
− − 4� 427 6
8xx x x
− −
2� 3
27 68x
x x x− + K� 4
27 68x
x x x− +
?� 427 12
8xx x x
− −
��� A� ���������������������:���%;�������� "�� ( ) 2 2f x x x= + ������������8!
��������8)����������:�(�*;�����:*���0��<�������%���-�L�
�� .�1
10 4� .�25
2� .�1
15 K� .�35
?� .�3
10
��� ������ ������ ���� �����������1���5����)��������������� �8�� �� ������������
��������������������� �272 3t tω = − ��B���������� ��������$�������������1�
L
�� ������������������
2� ������������ ����
?� ��������������1��������G���
4� ����� �������1��������M���
K� ��������������������-���
��� B�� �����������8���������������������� "��2 (2 3)y x x= − 1������ ������������1�
������ ��� ����)�.���!�-������������
�� :.��� ;�����:.���.�; 4� :���. ;�����:����;
2� :.��� ;�����:����; K� :��� ;�����:.���.�;
?� :.���. ;�����:����;
��� 5� �������� ��� ���������������� "��3 5y x= + � 1���� ������ �� ���!�/��)� -� �
���������
�� �!�.�)�/���-�*�������!�.�)�/�#�-�*
2� �!�.�)�.���-�*�������!�.�)�.�#�-�*
?� �!�.�)�.�C�-�*�������!�.�)�.���-�*
4� �!�.�)�/���-�*�������!�.�)�.� �-�*
K� �!�.�)�/�C�-�*�������!�.�)�/���-�*
� � A� ��� ���1���������� "��3 4y x x= − ����������:���.��;��������������� "��������������
�� :.���*; 4� :.����;
2� :.���*; K� :.���.� ;
?� :���*;
����� ����������������������302
B. ���� �����������������������������������&�� �� � ���������
��� ��� ���� ����$
�!� (������
2
0
sin(3 ) sin 9limx
xx→
+ −�
�#� 6������������������� ��������#�����1����� ��������!�$��������
2 7 , untuk 0( ) 2
, untuk
x x bf x
x bx
− < ≤=
>
⎧⎪⎨⎪⎩
�%� �������� "������1����� ������)�-�!��/��!�/����������������������������
A� ���)�-��!���1���������� "��������������������������������6����������������
�C� (������ 20
sin( 2 ) sin( ) sinlimx
a x a x ax→
+ − + +�
�*� E������������� �����������������������������#�$+�������2� ��������������
�� �����1��"����������������������� �����1��� �$3
�� 6����������������������*���� ��� ����� �������������� �������0�������� ��������������� �����$������������������������ �����������!��������� ��
�� ����������)���������������������,������������)����������� ���� �������
������������� ����$�����!��� ������ �����θ ��������θ =π�
3
�� 2��� �1��������1������$������:6;�1�������)��������������������������
������)������:����� �����������;�����������������
3 2( ) 2 6 2Q t t t t= − + +2� ������������ ������� ��������)������-�*� ������-��������3������������1�3
B������ ��� �� ����3
�� A�1��1�������� ��������������� ������������� ���7����������������������
���� ����������� �����
sin cosW
Fμ
μ θ θ=
+
������� θ � ������ ������1���� �� ����������� �� �������������������� ������ μ�����������������������������������&�����������$�����������
Soal Analisis
��������� � �� �������� 303
�� ?� ����������� ������+��� �����θ �
�� B������������ ���������������������*3
$� B�$�� ���������������:���6�&�.�����������(�������������� �����
� �����������������������
2( ) 4,0 0,35sin
5, 4= + ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠t
B tπ
&������������������� �������8��������
�� ?� ����������� ��������$�� �������������� �� ��
�� 4����������������� ��������� �� $� ���� ������ ���� �������� ����
�� ������� ������� ������ ��
�� 4������������ ��������������������������������������������������������
��$� ���� ��� ��0������������ ������������������������ ����������� �����
( )0,05 1 ( ) ( )
10.000dP P t
P t P tdt
β= − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��������:;����������������������������� �������β ��������� ����������������
1������������
�� 2� ����������
.�
.
�1������ ���������� ���������������������
�� ,�������������������������N��$� ����������������������������
$� ����1������ ���������� β ����� ���� �������� N3
����� ����������������������304
�2�������
<�� ��LLLLLL�� 6������ ��LLLL�
B���� ��OH 0��� ��5���� ��6� ����
B������ ��LLLLLL�� ������ ����:���;
B������� ���� "������������������������������������ ���
6����� ��0����������������� ��������������
������$���"� �&��� �+� ��"��� �2�
�������4�������������������������� ���
�������B�����
�� ����� �����
�� 2���� $������
����������2��.�
�� 2��������������1������ ������������������ ����)��
�� ?� ������������������������� ������ ������ ��������������������������
�������������� ���)����� ������CC�� .� �**#��������� ��������� �������
0�����8��������������� ������� "������� ����1������ �����
�� ?�������������������������:;�������������������1������������������������
������)��
������ �$����
�� 2����� ������� �������1�������� ��������������������������������� �
�� @�����������������������������
: ; :�**�;
�**�
� � �
�
�
�� 6��������������� ������������������������ ������ "�����������������
�**��
�� 6���� �������������������������������������������������:;�����-��**��
� 6������������������������������������� �����
!� 5� �� �����������������������������**C���������� ������ "��������
���� ���� ���CC� ��CC ��CC# ��CCC ��**� ��**� ��** ��**#
�����
Aktivitas Proyek