PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SD

MODUL 5

BANGUN RUANG

KEGIATAN BELAJAR 1

Bidang Banyak dan Bangun Ruang

1. Titik.Titik adalah salah satu unsur dalam geometri yang tidak di defenisikan

(unsur primitif). Titik adalah sesuatu yang tidak mempunyai ukuran atau

dimensi. Titik adalah suatu objek yang tidak mempunyai ukuran panjang, ukuran

lebar, atau ukuran luas. Titik biasanya digambarkan dalam bentuk noktah pada

sehelai kertas atau pada papan tulis sebagai wujud dari pemodelannya.

2. Garis. Seperti halnya titik, garis merupakan suatu unsur dalam geometri yang

tidak di definisikan. Suatu garis adalah himpunan titik-titik yang bergerak lurus

tak terhingga, sehingga kita tidak tahu di mana ujungnya dan di mana

pangkalnya. Dalam kegiatan pembelajaran, garis dapat di lakukan melalui suatu

pemodelan dengan merentangkan benang atau tali rapia sepanjang mungkin dan

katakanlah bahwa tali tersebut hanya merupakan bagian dari garis (ruas garis)

yang bisa memanjang terus menerus pada bagian pangkal maupun ujungnya.

3. Bidang datar. Keabstrakan titik, garis, dan bidang membuat ketiga unsur-unsur

yang tidak di definisikan dalan geometri tersebut sulit untuk dipahami anak usia

SD. Secara Intuitif,suatu bidang dapat kita bayangkansebagai suatu permukaan

meja yang rata, permukaan lantai,atau permukaan rata lainnya.Bidang itu meluas

kesegala arah, sehingga tak mungkin menggambar bidang itu seluruhnya. Untuk

menggambar suatu bidang sebagai yang mewakilinya biasanya dibuat model

dalam bentuk persegi panjang.

4. Bidang banyak (polihedron). Bidang banyak adalah suatu permukaan tetutup

sederhana yang pembatas-pembatasnya terdiri dari daerah-daerah segibanyak

(poligon). Permukaan tertutup sederhana dalam ruang adalah suatu konsep yang

mirip dengan konsep lengkungan tertutup sederhana dalam bidang.Permukaan

tertutup sederhana membagi ruang menjadi tiga bagian lepas, yaitu himpunan

titik pada permukaan, himpunan titik dalam permukaan, dan himpunan titik

diluar permukaan.

5. Bidang banyak beraturan. Bidang banyak beraturan adalah bidang banyak

yang sisi-sisinya berupa daerah segibanyak beraturan yang kongruen atau identik

(sama dan sebangun). Sejak zaman Yunani kuno telah dikenal lima buah bidang

banyak beraturan, yaitu bidang empat beraturan, bidang enam beraturan, bidang

delapan beraturan, bidang dua belas beraturan,dan bidang dua puluh beraturan.

6. Bangun-bangun ruang.Anak mempunyai banyak pengalaman di dalam dan di

luar rumah dengan objek yang berdimensi tiga seperti kotak kapur, batu bata,

terompet, tempat es krim (kerucut), kaleng susu dan kaleng cat (tabung), bola

sepak dan bola basket (bola), tenda pramuka (prisma tegak),atap rumah (ada

yang berbentuk pirsma tegak ada yang berbentuk limas), dan sebagainya. Dengan

mengkaji benda-benda yang ada disekitar seperti di atas, anak akan dapat

mengidentifikasi benda-benda ruang.

7. Prisma. Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar

dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar.

8. Limas dan Bidang empat. Limas ialah suatu benda ruang yang dibatasi oleh

sebuah segi banyak dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak

persekutuan di luar segibanyak itu merupakan alas-alas segitiga-segitiga itu.

Sedangkan bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga.

9. Tabung (Silinder). Tabung adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak

tertentu (R) dari sebuah garis tetap s dinamakan tabung atau silinder (definisi).

Tabung dengan sumbu s dan jari-jari R disingkat dengan tabung (s,R).

10. Kerucut. Kerucut atau kerucut lingkaran tegak ialah tempat kedudukan garis-

garis yang melalui sebuah titik tetap P dan memotong sebuah lingkaran (N,R)

sehingga PN bidang lingkaran (N,R). Titik P disebut titik puncak, lingkaran

(N,R) dinamakan lingkaran alas dan PN disebut sumbu kerucut. Garis-garis itu

disebut garis-garis pelukis.

11. Bola. Bola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (R) dari

sebuah titik tetap M. Titik M disebut titik pusat dan jarak yang sama atau R.

disebut jari-jari bola. Bola yang demikian disingkat dengan bola (M, R).

12. Miskonsepsi dan Pembelajaran Bangun Ruang. Sebagaimana telah

dikemukakan di depan bahwa anak SD telah banyak mempunyai pengalaman di

dalam dan di luar rumah dengan objek-objek yang berdimensi tiga. Pada waktu

mengenalkan benda-benda ruang pada mereka, diantaranya dapat dilakukan

bebeapa hal berikut.

a. Anak diminta mengidentifikasi bangun-bangun ruang di sekitar kehidupannya,

manakah yang berbentuk kubas, balok, prisma, limas, kerucut, tabung, bola,

dan sebagainya.

b. Siapkan pula beberapa bangun ruang yang secara konkret ada di sekitar

mereka. Mintalah kepada mereka untuk menyebutkan bangun ruang tersebut.

Kemudian minta pula untuk menyebutkan bagian-bagian atau unsur-unsur dari

bangun tersebut seperti sisi, rusuk, dan titik sudutnya.

c. Hidarkan untuk terjadi miskonsepsi dalam memahami konsep-konsep bangun

ruang seperti konsep sisi dan konsep rusuk sebagaimana di sebutkan di atas.

d. Yang perlu diingat adalah bahwa anak harus diberi kesempatan untuk

memegang, berpendapat, dan mengamati cara langsung benda-benda bangun

ruang tersebut.

KEGIATAN BELAJAR 2

Jaring Bangun Ruang

1. Jaring-jaring Bangun Ruang dan Pembelajarannya. Bangun-bangun ruang

dapat di buat modelnya dan jaring-jaringnya. Jaring-jaring adalah rangkaian

daerah segi-n yang merupakan hasil “bukaan” dari suatu bangun ruang. Jadi,

suatu jaring-jaring bangun ruang merupakan bentuk khusus yang dapat di liat

untuk membentuk bangun ruang tersebut. Pembelajaran yang melibatkan

pembuatan dan penggunaan jaring-jaring adalah sangat baik untuk membantu

anak-anak mengembangkan kemampuan visualisasi mereka mengenai ruang.

2. Jaring-jaring Kubus dan Balok. Jika sebuah kubus atau balok yang terbuat dari

karton diiris menurut rusuk-rusuknya, sehingga terdapat enam rangkaian

segiempat yang dapat membentuk suatu bangun geometri kubus atau balok, maka

rangkaian bangun geometri datar itu disebut jaring-jaring kubus atau balok

jaring-jaring kubus merupakan rangkaian enam daerah enam persegi, sedangkan

jaring-jaring balok merupakan rangkaian enam daerah persegipanjang.

3. Model-model Bangun Ruang. Pembelajaran pembuatan model-model bangun

ruang . pembelajaran pembuatan model-model bangun ruang (kubus, balok,

prisma, limas, dan kerucut) dapat dilakukan dengan bantuan kertas karton,

gunting, dan perekat. Adapun caranya dengan terlebih dahulu dibuat jaring-jaring

dari bangun-bangun ruang tersebut dan dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi

yang sesuai, maka akan terbentuklah model-model bangun ruang tersebut.

4. Penggunaan Konsep Jaring-jaring. Dengan bantuan konsep jaring-jaring

bangun ruang dapat menyelesaikan masalah-masalah matematika atau masalah

sehari-hari yang berkaitan dengan bangun ruang. Penggunaan konsep jaring-

jaring bangun ruang ini dapat dilakukan dalam proses pembelajaran yang

melibatkan anak secara langsung menidentifikasi, mempraktikkan, dan

mendiskusikan baik dalam kelompok kecil maupun dalam kelompok besar.

MODUL 6

LUAS DAN VOLUME KUBUS, BALOK,

PRISMA, DAN TABUNG

KEGIATAN BELAJAR 1

Luas dan Volume Kubus, Balok, Prisma, dan Tabung

1. Luas daerah permukaan suatu bangun ruang adalah luas daerah bidang-bidang

sisi bangun ruang tersebut.

2. Luas daerah permukaan kubus atau balok adalah jumlah luas daerah semua

bidang sisi dari kubus atau balok tersebut . jika a menyatakan ukuran panjang

rusuk kubus dan L menyatakan luas permukaan kubus, maka L= 6a2. Sedangkan

jika p, l dan t berturut-turut menyatakan panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok

dengan L menyatakan luas balok, maka L = 2 (pl + pt + lt).

3. Luas daerah permukaan prisma adalah luas daerah bidang-bidang sisi prisma

tersebut, yaitu luas daerah alas + luas daerah atas + jumlah luas daerah sisi-

sisi yang lain. Sedangkan luas daerah permukaan tabung adalah luas daerah

lingkaran atas + luas daerah lingkaran alas + luas daerah persegi panjang (bidang

lengkung/ bidang tegak/selimut) atau 2π r (r + t) dengan r jari-jari lingkaran

alas dan t tinggi tabung tersebut.

4. Volume adalah suatu ungkapan yang menyatakan “besarnya” suatu bangun

ruang. Besarnya suatu bangun ruang dapat diungkapkan bila ada bangun ruang

yang lebih kecil yang dijadikan patokan yang disebut satuan volume (volume

satuan). Dengan patokan berupa satuan volume (biasanya 1 cm3 ) dikembang-

kan aturan (rumus) untuk volume bangun-bangun ruang :

a. Volume balok = p x l x t (p = panjang, l = lebar, t = tinggi)

b. Volume kubus = a3 (a = rusuk kubus)

c. Volume prisma = L x t (L = luas alas dan t = tinggi)

d. Volume tabung = π r2 t (r = jari-jari lingkaran alas/atas, t = tinggi,

π = 3,14 = 227

KEGIATAN BELAJAR 2

Luas dan Volume Limas, Kerucut, dan Bola

1. Luas daerah suatu permukaan bangun ruang merupakan luas daerah bidang-

bidang sisi bangun ruang tersebut.

a. Luas permukaan limas = luas daerah alas + luas daerah seluruh permu-

kaan sisi tegaknya.

b. Luas permukaan kerucut = luas daerah bidang lengkung = luas daerah

alas

c. Luas permukaan bolo= 4 π R2 (R=jari-jari bola)

2. Volume suatu bangun ruang adalah “besarnya” bangun ruang tersebut.

a. Volume limas = 12 luas alas x tinggi

b. Volume kerucut = 13

x luas alas x tinggi = = 13

π R2 t (R = jari-jari

lingkaran alas, t = tinggi kerucut).

c. Volume bola = 43

πR3 (R = jari-jari bola).

MODUL 7

SISTEM KOORDINAT

KEGIATAN BELAJAR 1

Sistem Bilangan Real dan Koordinat

1. Penggunaan istilah kartesius pada sistem koordinat kartesius (Cartesian

Coordinate Sistem) merupakan bentuk penghargaan kepada Rene

DESCARTES sebagai penemunya. Bidang datarnya disebut bidang cartesius

(Cartesian Plane).

2. Pada sisttem bilangan hubungan antara himpunan bilangan asli (N), himpunan

bilangan cacah (W), himpunan bilangan bulat (J), himpunan bilangan rasional

(Q) dan himpunan bilangan real (R) saling berelasi yaitu N W J Q R.

3. Bentuk desimal dari bilangan rasional sebagai hasil pembagian terhadap

pembilang oleh penyebut menghasilkan bilangan di belakang koma yang

terbatas serta berakhir dengan pengulangan bilangan nol, dan berulang tidak

terbatas.

4. Bentuk desimal dari bilangan irrasional menghasilkan bilangan dibelakang

koma yang tidak berulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan

pengulangan bilangan nol.

5. Bilangan real selain memiliki sifat kelengkapan juga memiliki sifat kerapatan.

Berapapun kerapatan letak antara dua bilangan real tersebut selalu ada bilangan

rasional lain atau bilangan irrasional lain.

6. Sistem koordinat kartesius pada bidang dua dimensi dibentuk oleh dua garis

bilangan real taitu garis horizontal (sumbu-x) dan garis vertikal (sumbu-y) yang

saling berpotongan tegak lurus di titik nol dari setiap garis tersebut. Sumbu-x

dan sumbu-y membagi bidang koordinat menjadi 4 wilayah yang disebut

kuadran (quadrants).

Kuadran I dibatasi oleh sumbu-x positif dan sumbu-y positif.

Kuadran II dibatasi oleh sumbu-x negatif dan sumbu-y positif.

Kuadran III dibatasi oleh sumbu-xnegatif dan sumbu-y negatif.

Kuadran IV dibatasi oleh sumbu-xpositif dan sumbu-y negatif.

7. Teorema Pyhtagoras dapat digunakan untuk menentukan jarak antar titik

P1 (x1, y1) dan P2 (x2, y2), yaitu :

P1P2 = √nnnnnnnnnnnnnnn

8. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) pada bidang yang berjarak

sama terhadap satu titik tetap yang disebut pusat lingkaran, jarak titik-titik (x,y)

terhadap titik pusat disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan r. Persamaan

lingkaran yang bertitik pusat di P(a,b) dan melalui titik Q(x,y) dengan jarak

antara titik P dan Q disebut jari-jari r dan rumus jari-jarinya adalah :

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

r = √nnnnnnnnnnnnn

9. Hubungan antara koordinat kartesius (x,y) dan koordinat kutub (r, 0) ditun-

jukkan oleh persamaan.

sin = yr

y = r sin

cos = yr y = r cos

r2 = r2 + y2 dan tan = = yr

KEGIATAN BELAJAR 2

Sistem Bilangan Real dan Koordinat

1. Bentuk umum persamaan linear adalah ax + by = c, x dan y ∈ {bilangan real}

dimana a dan b tidak keduanya sama dengan nol.

2. Garis y = a merupakan garis horizontal yang sejajar dengan sumbu-ydan melalui

titik (0,b).

3. Garis x = a merupakan garis vertikal yang sejajar dengan sumbu –y dan melalui

titik (a, 0)

4. Intercept-x adalah titik di mana garis memotong sumbu-x. Intercept-y adalah

titik dimana garis memotong sumbu-y.

5. Gradien garis lurus didefinisikan sebagai laju perubahan koordinat-y dari suatu

titik pada suatu garis lurus terhadap koordina-x.

(x2 – x1)2 + (y2 - y1)2

(x – a)2 + (y – b)2

y2 – y1

x2 – x1

1

m2

y – y1

y2 – y1

x – x1

x2 – x1

6. Untuk semua bilangan real m, gambar dalam bidang koordinat dari persamaan

y = mx adalah garis yang mempunyai gradien mdan melalui titik asal (0, 0).

7. Gradien (m) ruas garis P1P2 antara titik P1 (x1, y1) dan P2 (x2, y2) adalah

m = , dimana (y2 – y1) adalah jarak vertikal antara titik P1 dan P2

sedangkan (x2 – x1) adalah jarak horizontal antara titik P1 dan P2.

8. Macam-macam gradien garis :

a. Gradien garis lurus positif, jika arah garis dari kiri ke kanan atas.

b. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-x adalah nol, karena arah garis

vertikal tidak ada.

c. Gradien garis lurus negatif, jika arah garis dari kri ke kanan bawah

d. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-y tidak terdefinisi, karena arah garis

horizontal tidak ada (menyebabkan pembaginya nol dan hasilnya tidak

didefenisikan). Hal ini berarti garis yang sejajar sumbu-y tidak mempunyai

gradien.

e. Misalnya garis lurus k gradiennya m1 dan garis lurus j gradiennya m2. Jika

garis k dan garis j saling tegak lurus, maka gradien-gradiennya menunjukkan

hubungan m1 = – dengan m2 ≠ atau m1, m2 = -1

9. y – y1 = m (x – x1) adalah persamaan garis dengan adalah gradien m dan melalui

titik (x1, y1).

10. y = mx + b merupakan persamaan garis dengan m adalah gradien dan b adalah

titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept).

11. Dua garis saling sejajar jika dan hanya jika :

a. Kedua garis tersebut memiliki gradien yang sama.

b. Kedua garis tersebut memiliki y- intercept yang berbeda.

12. = merupakan persamaan garis yang melalui titik (x 1, y1) dan

(x2, y2)

13. Pertidaksamaan linear dalam x dan y dapat ditulis dalam salah satu bentuk

berikut :

a. ax + by < c c. ax + by > c

b. ax + by ≤ c d. ax + by ≥ c

14. Gambar himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear adalah setengah

bidang koordinat. Untuk menunjukkan bahwa setengah bidang koordinat

merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear yang diberikan,

setengah bidang koordinat tersebut di arsir. Berikut langkah-langkah

menggambarkan himpunan penyelesaian dari ax + by < c.

a. Gambar garis ax + by = c dengan bentuk putus-putus, merupakan batas dari

setengah bidang yang memuat himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

yang diberikan.

b. Gunakan titik sebarang P (a, b) untuk menguji (biasanya yang lebih mudah

digunakan adalah titik (0, 0)), dimana P adalah suatu titik pada salah satu

dari setengah bidang. Gantikan x dengan a dan y dengan b pada

pertidaksamaan yang diberikan.

c. Jika (a, b) adalah satu solusi dar ax + by < c, arsirlah daerah setengah bidang

yang memuat P (a, b). jika (a, b) bukan solusi dari ax + by < c, arsirlah

daerah setengah bidang yang tidak memuat P (a, b).

Langkah di atas dapat digunakan untuk bentuk pertidaksamaan lainnya :

(1) ax + by > c; (2) ax + by ≤ c; (3) ax + by ≥ c.

Disusun oleh :

ERNI ASTUTINIM : 814268503

Kelas A

UNIVERSITAS TERBUKAUNIT PROGRAM BELAJAR JARAK JAUH

( UPBBJ )KELOMPOK BELAJAR PUTUSSIBAU

KABUPATEN KAPUAS HULU2008