Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan persamaan

X = 0

Aturan untuk menggerakkan parabola seperti aturan pada II.1

Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x = λ dan setengah sumbu

sumbu yang sejajar sumbu y dan z berturut turut adalah dan

Berdasarkan aturan diatas, titik (λ, ,0) terletak pada garis arah sehingga memenuhi

dan juga

sehingga

atau

Jadi persamaan hiperbola yang terletak di bidang x = λ adalah

x = λ

= 1

Dengan mengeliminasi λ dari persamaan hiperbola diatas, kita memperolah persamaan

Persamaan ini merupakan persamaan hiperbola berdaun dua dengan sumbu y sebagai

sumbunya

Sifat sifat sedaerhana dari elipsoida, hiperboloida dan paraboloida

Elipsoida

Pandang elipsoida

Titik pusat elipsoida adalah ( 0,0,0 )

Sumbu sumbu simetrinya adalah sumbu x, sumbu y dan sumbu z yang masing masing

panjangnya 2a, 2b, dan 2c

Titik titik puncaknya ada enam yaitu (a,0,0 ), (-a,0,0 ), (0,b,0), (0,-b,0 ), (0,0,c), (0,0,-c)

Persamaan bidang singgung pada elipsoida dapat dicari sebagai berikut.

Misalkan T ( ) merupakan titik singgung tersebut. Persamaan garis yang melalui T

dengan bilangan bilangan arah p, q dan r adalah

.....................................................(69)

Kordinat koordinat titik titik potong garis ini gengan elipsoida di atas diperoleh sebagai

berikut:

Setelah dijabarkan, persamaan di atas menjadi

(

) + (

) λ = 0

salah satu akar dari persamaan kuadrat ini adalah

Agar garis menyinggung elipsoida maka haruslah

Hal ini hanya terjadi untuk

........................(70)

Dari persamaan (69) dan (70) kita mengeleminasi p,q dan r sehingga kita memperoleh

Persamaan ini merupakan persamaan garis yang menyinggung ellipsoida di T.

Jadi,persamaan bidang singgung di T adalah

Misalkan T ( ) suatu titik di luar ellipsoida. Dari titik T dibuat bidang bidang yang

menyinggung ellipsoida.

Misalkan P ( ) suatu titik singgung dari bidang singgung yang melalui titik T.

Berdasarkan uraian di atas, persamaan bidang singgung di titik P adalah

Karena bidang singgung melalui T, maka dipenuhi

Ini berarti setiap titik singgung pada ellipsoida yang melalui T, Terletak pada bidang dengan

persamaan

Persamaan ini merupakan persamaan bidang kutub dari titik T terhadap ellipsoida

Tampak bahwa, jika T terletak pada ellipsoida maka persamaan bidang kutub dari T

merupakan persamaan bidang singgung di T. Persamaan batas bayangan ellipsoida oleh sinar

sinar yang melalui T ( ) adalah

II. Hiperbola Berdaun Satu

Pandang persamaan hiperboloida berdaun satu

Sumbu sumbu sietrinya adalah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Titik titik puncaknya

yang terletak di sumbu sumgu koordinat ada empat yaitu: ( a,0,0), (-a,0,0 ), (0,b,0 ), (0,-b,0).

Dengan cara seperti pada ellipsoida diperoleh persamaan bidang singgung pada

hiperboloida berdaun satu di titik singgung T( ) yaitu

Demikian juga dengan persamaan bidang kutub dari titik T ( ) terhadap

hiperboloida berdaun satu yaitu

Berikut ini kita akan mengubah bentuk hiperboloida berdaun satu.

Misalkan persamaan hiperboloida berdaun satu adalah

Bentuk ini dapat dinyatakan sebagai

Atau (

) (

) = (1 -

)(1 +

)

Berarti ada dua susunan garis pada hiperboloida berdaun satu yaitu

α (

) = (1 -

) γ (

) = µ (1 +

)

I. II.

β (

) = (1 +

) µ (

) = γ (1 -

)

dengan α, β, γ, µ parameter

Akan dibuktikan bahwa garis garis dalam satu susunan saling bersilangan

Misalkan persamaan garis garis itu adalah

(

) = (1 -

) (

) = (1 -

)

dan

(

) = (1 +

) (

) = (1 +

)

Andaikan kedua garis tersebut berpotongan, maka terdapat harga x, y, dan z sehingga