TUGAS ELEKTRODINAMIKA

A. Konsep-konsep Dasar Elektrodinamika dan Rumusan Maxwell.

Elekrodinamika merupakan cabang teori dari fisika. Elektrodinamika juga sering

disebut dengan elektromagnetik klasik atau elektrodinamik klasik, sesuai dengan

namanya elektrodinamika mengkaji tentang fenomena akibat gaya elektromagnetik

antara muatan listrik dan arus listrik. Hal ini menunjukkan bahwa fenonema ini berkaitan

dengan kelistrikan dan kemagnetan.

Gejala-gejala kelistrikan dan kemagnetan saling berkaitan antara satu sama

lainnya. Hal ini dapat dilihat pada gejala-gejala berikut :

1. Muatan listrik dapat menghasilkan medan listrik di sekitarnya, yang besarnya

diperlihatkan oleh hukum Coulomb.

2. Arus listrik atau muatan yang mengalir dapat, menghasilkan medan magnet

disekitarnya yang besar dan arahnya ditunjukkan oleh hukum Bio Savart atau hukum

ampere.

3. Perubahan medan magnetik dapat menimbulkan GGL induksi yang dapat

menghasilkan medan listrik dengan aturan yang ditunjukan oleh hukum induksi

Faraday

a. Teori Elektrostatik (ES)

Hukum Coulomb merupakan hukum yang menjelaskan hubungan antara gaya

interaksi antara dua titik muatan (q dan q’) yang berada di dalam ruangan hampa dan

mempunyai jarak R. (1)

F=kq q '

4π ϵ0

R

R3 R=x−x '

R

0

qq’

x ' x

dengan ϵ 0=8.854 x10−12, Fm≅( 1

36 π )10−9 Fm

. Gaya yang dialami oleh muatan titik q

juga dapat dipandang sebagai gaya interaksi q dengan medan elektrostatik E yang

bersumber dari q ', dapat ditulis : (2)

F=q E

dengan (3)

E=Fq

= q'

4 π ϵ 0

RR3

Konsep medan ini juga memiliki pengertian mengenai penyebaran dan

perambatan perubahan/gangguan sifat yang bersumber dari sumber yang

bersangkutan. Sehingga bisa terlepas dari konsep “action at a distance” tentang

interaksi elektrodinamika pada umumnya.

Berdasarkan identitas, (4)

∇ ( 1

Rn )=−nR

Rn−2 =−∇' ( 1

Rn );∇ ( 1R )=−R

R3 =−∇' ( 1R )

dengan ∇= x̂1 ( ∂|∂ x1 )+ x̂2 (∂|∂ x2 )+ x̂3 ( ∂|∂ x3 ) dan

∇ '= x̂1 (∂|∂ x '1 )+ x̂2 (∂|∂ x '

2 )+ x̂3 (∂|∂ x '3),

sehingga (5)

E ( x )= −q'

4 π ϵ 0

∇( 1R )

Untuk sumber medan dengan distribusi kontinu ρ ( x ' ), persamaan 3 dan 5 tetap

berlaku untuk medan muatan yang terletak dalam bagian volume infinitesimal dV '.

Jadi,

d E= 14 π ϵ 0

ρ ( x' ) d V ' R

R3= −1

4 π ϵ 0

ρ ( x ' )∇ ( 1R )d V '

dapat dijabarkan dengan fungsi integral : (6)

E ( x )= −14 π ϵ 0

∫V '

❑

ρ ( x ' )∇( 1R )d V '

1) Divergensing, Div E (∝ rapat sumber monopol /muatan¿

Makna fisis divergensi adalah nilai kerapatan fluks. (7)

∇ . E ( x )= −14 π ϵ 0

∫V '

❑

ρ (x ' )∇2( 1R )dV '

dengan hubungan (P,R): (8)

∇2( 1R )≡∇ ' 2 1

R≡ 0 , R ≠ 0

tidak terdefinisi apabila R = 0, tetapi memenuhi persamaan: (8a)

∫V

❑

∇2( 1R )dV =∫

V '

❑

∇ ' 2( 1R )dV '=−4 π

dengan syarat x=x 'terdapat di dalam V atau x '=x terdapat dalam V '. Hal ini

menunjukan bahwa operasi dalam tanda integral berlaku ekuivalen: (8b)

∇2( 1R )=∇ '2( 1

R )=−4 πδ ( R )

Sehingga persamaan (7) menjadi,

∇ . E ( x )= 1ϵ 0

ρ ( x )

Persamaan ini disebut sebagai Hukum Gauss dalam bentuk diferensial.

Bentuk integralnya bisa didapat dari persamaan (9) dengan menggunakan dalil

Gauss dan dinyatakan dalam fluksi medan E: (10)

∮S

❑

E . dS=∫V

❑

∇ .E dV ,dS= n̂ dS , n̂ mengarah ke luar

dimana S sebagai permukaan tertutup yang membatasi ruang V. Persamaan (9)

disubstitusikan pada ruas kanan sehingga didapat persamaan integral: (11)

∮S

❑

E . dS= qϵ 0

, q=∫V

❑

ρ dV

Adapun makna fisis dari persamaan di atas adalah integral komponen

normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan tertutup sama dengan

integral divergensi vektor tesebut dalam seluruh volume yang tercakup oleh

permukaan tertutup tersebut.

2) Rotasi/Curl, Curl E (∝ rapat sumber sirkulasi/arus ¿

Secara matematis operator curl ditulis dalam (∇× ). Jika operasi in

diterapkan di dalam vektor maka akan mendapatkan vektor baru. Adapun makna

fisis dari curl/rotasi suatu vektor adalah menghitung jumlah kerja total yang

dilakukan oleh vektor tersebut di dalam lintasan tertutup dibagi dengan luas

permukaan dalam lintasan tertutup itu sendiri.

Rotasi medan E di dapat dari persamaan (6) dengan menggunakan identitas

∇ x∇ ( 1R )=0. Sehingga didapat: (12)

∇× E=0

Jadi medan elektrostatik tidak mengenal sumber arus (sirkulasi) dan bersifat

konservatif. Dengan menggunakan dalil Stokes persamaan (12) dapat diubah

menjadi: (13)

∮C

❑

E . dl=0

Untuk setiap lintasan integral C yang tertutup.

b. Teori Magnetostatik (MS)

Gaya interaksi antara dua elemen arus yang mempunyai jarak R dalam ruang

hampa dapat ditentukan oleh Hukum Ampere. (14)

dF=μ0

4 πJ × ( J ' × R )

R3 d V ' dV

Medan magnet (induksi magnet) yang terhubung dari sumber elemen arus

J ' dV ' didefinisikan sebagai berikut: (15)

d F=J dV × d B

Atau (16)

d B=μ0

4 πJ ' × R

R3 dV '=−μ0

4 πJ ' ×∇( 1

R )dV '

Pada persamaan di atas, μ0 merupakan permeabilitas ruang hampa/bebas (

μ0=4 π ×10−7 H /m. Persamaan di atas dikenal sebagai Hukum Bio Savart. Bentuk

integral persamaan ini: (16a)

B (x )=μ0

4 π∫V

❑

J ( x ' )× RR3 d V '=

−μ0

4 π∫V '

❑

J ( x ' ) ×∇ ( 1R )dV

dan divergensi medan B yang diperoleh dari persamaan (16a):

∇ . B ( x )=−μ0

4 π ∫V '

❑

∇ [J (x ' ) ×∇( 1R )] dV '

∇ .B ( x )=−μ0

4 π ∫V '

❑

∇ [−∇×( JR )]dV '

karena J ( x ' )tidak bergantung pada variabel x, maka berdasarkan identitas

∇ .∇×( JR )≡ 0 persamaan tersebut dapat ditulis, (17)

∇ . B ( x )≡ 0

merupakan dalil Gaus untuk medan magnet. Dengan menggunakan dalil ini

didapatkan: (17a)

∮S

❑

B . dS=0

Dapat disimpulkan bahwa medan B tidak mengenal sumber monopol

(“muatan” magnetik). Sehingga rotasi medan B nya adalah: (18)

∇× B (x )=μ0

4π∫V '

❑

∇×∇×[ J ( x ' )R ]dV '

∇× B (x )=μ0

4π∫V '

❑ {∇ [∇ .( JR )]−∇2( J

R )}dV '

dengan menggunakan identitas: (19)

∇×∇× W=∇ (∇ .W )−∇2W

persamaan 18 dapat disederhanakan menjadi:

∇× B (x )=μ0

4π∇∫

V '

❑ [ ∇ ' . JR

−∇ ' ( JR )]dV '+μ0 J ( x )

Dalam keadaan stasioner (magnetostatik), ∇ ' . J ( x ' )=0 sesuai dengan syarat

∂ ρ∂t

=0 berdasarkan persamaan kontinuitas di dapatkan hasil: (20)

∇× B (x )=μ0 J ( x )

dengan menggunaka dalil Stokes didapat hubungan integral: (20a)

∮C

❑

B . dl=μ0 I

dimana I merupakan arus total yang mengalir melalui permukaan dengan batas C.

Berikut perangkat persamaan medan ES dan MS:

∇ . E= ρϵ 0

∇× E=0

∇ . B=0

∇× B=μ0 J

c. Persamaan Maxwell

Jika Faraday menemukan bahwa perubahan medan magnetik menghasilkan

medan listrik, sedangkan menurut Maxwell perubahan medan listrik menghasilkan

medan magnetik. Maxwell mengemukakan suatu hipotesis yaitu : Karena perubahan

medan magnet dapat menimbulkan medan listrik, maka sebaliknya, perubahan medan

listrik pun akan dapat menimbulkan medan magnet.

Gelombang elektromagnetik adalah gelombang yang tidak memerlukan

medium untuk perambatannya atau disebut juga sebagai peristiwa timbulnya medan

listrik dan medan magnetik secara berkala dan menjalar ke segala arah. Gelombang

elektromagnetik ditimbulkan oleh muatan yang dipercepat terdiri atas medan

magnetik B dan medan listrik E yang bergetar saling tegak lurus dan pada keduanya

tegak gelombang transversal.

Apabila fluksi magnet dalam luas yang dibatasi oleh loop kawat C berubah

dengan waktu, maka pada kawat tersebut akan terjadi gaya gerak listrik (ɛmf) yang

dapat diukur melalui arus I yang ditimbulkannya pada kawat tersebut. Gaya gerak

listrik ini arahnya selalu melawan perubahan fluksi B. Hubungan kuantitatif ini

dikenal dengan Hukum Faraday yang ditulis seperti persamaan berikut: (21)

εmf =−d ɸm

dt

menurut ketentuan εmf dan ɸm, persamaan di atas dapat ditulis: (21a)

∮C

❑

E . dl= ddt∫S

❑

B . dS

dengan menggunakan dalil Stokes, persamaan (21a) dapat ditulis ke dalam bentuk

persamaan diferensial: (22)

∇× E=−∂ B∂ t

Sehingga dapat disimpulkan bahwa ∂ B∂ t

merupakan sumber sirklus/arus bagi

medan E yang tidak lagi bersifat statik maupun konservatif. Akibat keadaan

nonstasioner tidak hanya terbatas pada modifikasi persamaan 12 menjadi persamaan

22, melainkan juga menuntut perluasan persamaan Ampere (20). Untuk mengatasi hal

ini J.C. Maxwell mengemukakan dalam bentuk hipotesis perluasan ruas kanan

persamaan (20) J → J+J D dengan, (23)

J D=ϵ 0∂ E∂t

yang disebut dengan rapat arus perpindahan. Dengan demikian hukum Ampere

diperluas menjadi: (26)

∇× B=μ0 J +μ0 ϵ 0∂ E∂ t

Sebagaimana halnya ∂ B∂ t

, ∂ E∂t

juga merupakan kontribusi rapat arus bagi

medan B. Sebagai rangkuman pengaruh medan nonstatik dan sumber nonstasioner,

perangkat persamaan Maxwell sebagai berikut:

B. Aplikasi Elektrodinamika dalam Kehidupan Sehari-hari

Pada elektrodinamika terjadi perubahan bentuk energi gerak menjadi energi

listrik yang digunakan pada pembangkit pembangkit energi listrik. Pembangkit energi

listrik yang menerapkannya adalah generator dan dinamo. Di dalam generator dan

dinamo terdapat kumparan dan magnet. Kumparan atau magnet yang berputar

menyebabkan terjadinya perubahan jumlah garis-garis gaya magnet dalam kumparan.

Perubahan tersebut menyebabkan terjadinya GGL induksi pada kumparan. Energi

mekanik yang diberikan generator dan dinamo diubah dalam bentuk energi gerak rotasi.

Hal ini menyebabkan GGL induksi dihasilkan secara terus-menerus dengan pola yang

berulang secara periodik.

C. Teorema-teorema Vektor dalam Kalkulus

a. Teorema Vektor

1. Teorema Divergensi

M 1 ∇ . E= ρϵ 0

M 2 ∇ . B=0

M 3 ∇× E=−∂ B∂ t

M 4 ∇× B=μ0 J +μ0 ϵ 0 ∂t

Teorema ini juga dikenal dengan teorema Gauss/teorema Ostrogradsky

yang menguhubungkan antara aliran (fluks) medan vektor ,elalui permukaan

dengan perilaku medan di dalam permukaan. Dengan kata lain fluks sebuah medan

vektor melalui permukaan tertutup sama dengan integral volume dari divergensi

pada daerah di dalam permukaan.

Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan

sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka

Dari persamaan di atas, integral permukaan dari sebuah vektor yang

mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi

dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas, dimana volume total per

detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S adalah

∇ . v dV merupakan volume per detik dari fluida yang keluar dari sebuah elemen

volume. Maka volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen

volume dalam permukaan tertutup S adalah

sehingga,

2. Teorema Green

Teorema Green merupakan teorema yang menghubungkan antara sebuah

integral garis pada kurva tertutup sederhana C dengan integral ganda pada daerah

bidang xy yang dibatasi oleh C.

Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh sebuah

kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari dan yang

memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka

Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana

A=M i+N j, maka ∮c

❑

A . d r adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan

partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C,

dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah

Jadi, menentukan besar usaha yang dilakukan selain menggunakan integral

garis juga dapat menggunakan teorema Green.

3. Teorema Stokes

Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya

adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor kontinu yang

mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S,

maka

Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa integral garis dari sebuah

vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral

permukaan dari curl melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai batasnya.

4. Identitas I Green

B

A

∫V

❑

( ɸ∇2 ψ−∇ɸ .∇ψ ) d3 x=∫S

❑

ɸ n .∇ψ da

b. Aturan dalam Vektor

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Besar atau

kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis. Sedangkan

arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah. Skalar adalah suatu besaran yang

mempunyai besaran tetapi tidak mempunyai arah.

Dalam aljabar vektor, misalkan vektor a=a1i+a2 j dan vektor b=b1 i+b2 j maka

berlaku aturan:

1) a=b jika dan hanya a1i=b1i dan a2 j=b2 j

2) m . a=m . a1i+a2 j untuk m suatu skalar

3) a+b=( a1+b1) i+(a2+b2 ) j

4) a−b=(a1−b1 ) i+ (a2−b2 ) j

5) a .b=0 jika a=0 atau b=0 atau a tegak lurus dengan b

6) i .i= j . j=1dan i . j=0

7) a .b=(a1i+a2 j ) . (b1 i+b2 j )=a1 .b1+a2 .b2

8) |a|=√a12+a2

2

9) ∞=arc tan ( a2

a1)

10) a .b=|a||b|cos γ