TUGAS

MATA KULIAH ELEKTRODINAMIKA

Dosen Pengampu:

Dr. Khumaedi, M. Si

GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DAN PANDU

GELOMBANG

SUGENG RIADINIM. 0403514025

PENDIDIKAN FISIKAPROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2015

1. Pengertian Gelombang Elektromagnetik

Gelombang Elektromagnetik adalah gelombang yang terdiri dari gelombang

vektor medan magnet dan medan listrik yang merambat saling tegak lurus. Arah rambat

ini ditentukan sebagai arah dari vector hasil perkalian silang dengan:

= kuat medan listrik

= induksi magnetik

disebut juga vektor optik

=

disebut vector Poynting, = (kuat medan magnet = = permeabilitas),

gelombang eletromagnetik dapat merambat dalam vakum.

2. Persamaan Gelombang Elektromagnetik

Persamaan dasar tentang elektromagnetika untuk ruang bebas (vakum atau

udara) sebagai berikut:

1. Hukum Gauss (Persamaan Maxwell pertama)

“Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu permukaan tertutup

sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut.”

Dalam medium:

Dalam ruang vakum atau udara:

atau ᶴA (1)

2. Hukum Gauss Magnetik (Persamaan Maxwell kedua)

“Fluks medan magnetik yang menembus suatu permukaan tertutup sama

dengan nol, tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.”

Untuk dalam medium dan ruang vakum (udara):

atau ᶴA ( 2)

3. Hukum Faraday-Lenz (Persamaan Maxwell ketiga)

“Pengaruh medan magnet yang berubah dengan waktu.”

Untuk dalam medium dan ruang vakum (udara):

atau ᶴA (3)

4. Hukum Ampere (Persamaan Maxwell ke 4)

Dalam medium:

Untuk ruang vakum atau udara:

atau ᶴA (4)

Dimana:

Ditinjau sebuah gelombang elektromagnetik datar dengan medan listrik E dan medan magnet H yang menurut Maxwell tegak lurus satu sama lain merambat sepanjang sumbu X dengan laju (v = c) seperti pada gambar berikut ini:

Dengan menggunakan persamaan (3) pada situasi gambar 1, maka :

karena fase E hanya pada arah sumbu Y dan

atau (5)

Dengan menggunakan persamaan (4) pada situasi gambar 1, maka :

karena fase H hanya pada arah sumbu Z dan

atau (6)

Jika persamaan (5) diturunkan ke X dan persamaan (6) diturunkan ke t, maka dapat

diperoleh :

(7)

(8)

Persamaan (7) = (8) :

(Persamaan gelombang medan listrik) (9)

Dengan cara yang sama seperti tadi, maka diperoleh :

(Persamaan gelombang medan magnet) (10)

Dari persamaan (9) dan (10), serta mengingat bahwa dan merambat secara bersama

dengan arah getar yang saling tegak lurus, maka dapat ditulis Persamaan Umum

Gelombang Elektromagnetik sebagai berikut:

(11)

Solusi umum persamaan (11) ini sesuai dengan :

(12)

Arti fisis:

Untuk x = 0 dan t = 0, maka E (0,0) = Emax

Untuk x = 0 dan t = 0, maka E (0,T) = Emax , karena

Untuk x = λ dan t = 0, maka E (λ,0) = Emax , karena

Demikian juga untuk medan magnet H

Tanda negatif pada persamaan (12) menunjukkan bahwa gelombang elektromagnetik yang ditinjau merambat kearah sumbu X positif .

Gelombang Elektromagnetik dalam Medium

Gelombang elektromagnetik dalam vakum adalah tak terdispersi dan merambat dengan

kecepatan c dan tidak bergantung pada frekuensi gelombang, tetapi pada suatu bahan

bukan vakum, kecepatan gelombang elektromagnetik kurang dari c.

Untuk menentukan besarnya cepat rambat gelombang elektromagnetik pada vakum,

maka ditinjau persamaan (11) untuk gelombang elektromagnetik dengan persamaan (1)

untuk persamaan umum gelombang, yaitu:

(13)

Identik dengan , ≡

Dari kedua persamaan ini, maka diperoleh:

(14)

atau

cepat rambat cahaya

(15)

Menurut Maxwell cepat rambat gelombang elektromagnetik sama dengan cepat rambat

cahaya, ramalan yang dikemukakan oleh Maxwell ini kemuadian telah dibuktikan

kebenarannya dalam percobaan Hertz. Menurut Hertz gelombang elektromagnetik dapat

menunjukkan gejala polarisasi, sama halnya dengan gelombang cahaya. Jadi gelombang

elektromagnetik dan cahaya sama-sama merupakan gelombang transversal.

Sehingga persamaan cepat rambat gelombang sebagai berikut:

(16)

Arti fisis:

Cepat rambat gelombang elektromagnetik dalam medium hanya bergantung ada

permeabilitas dan permitivitas medium tersebut

1) Gelombang Elektromagnetik dalam Logam

Logam memiliki jumlah elektron bebas yang sangat banyak. Contoh : tembaga

memiliki elektron bebas per 1 . Elektron bebas ini dapat berinteraksi dengan

medan listrik luar sehingga dapat mencegah penetrasi medan.

Jika logam tidak dapat ditembus oleh medan elektromagnetik bagaimana elektron

dapat mengalir pada bahan konduktor.

Gambar 1

Hukum ohm mikroskopik dinyatakan dengan persamaan

E = J, J = E

Dengan :

Ŋ = = 1/ resistivitas

konduktivitas

Jika persamaan di atas dikalikan dengan panjang batang logam maka :

E = V = J

= A J = R I (17)

Persamaan diatas dikenal sebagai hukum ohm dari sudut mikroskopik.

Perhatikan persamaan berikut yang telah dibahas :

m -e E

m (18)

Persamaan di atas untuk kasus dimana resistivitas bahan adalah nol.

Agar persamaan di atas berlaku umum untuk semua keadaan, maka dimodifikasi

menjadi :

m [E- (19)

Persamaan diatas dapat juga diturunkan langsung dari persamaan gerak elektron

dalam logam sebagai berikut :

Dari hukum II Newton:

m F = -eE - m v (20)

Dengan :

fc ( frekuensi elektron menumbuk ion atau netral

v = kecepatan elektron

Jika persamaan m F = -eE - m v dikalikan dengan maka diperoleh :

m = = -eE - m v (21)

m - + m v

-m ev = + m ev

m - m J karena : J = - v

Maka,

m [ E - (22)

2) Gelombang Elektromagnetik pada Kabel Koaksial

Perhatikan kabel koaksial berikut ini.

Gambar 2

Gambar 3

Saat daya dc dihubungkan pada kabel koaksial, maka gelombang arus dan gelombang

tegangan merambat sepanjang kabel.

Menurut Hukum Gauss:

Jika diketahui:

Ingat c adalah kecepatan gangguan rapat muatan elektron dan tidak terkait dengan

kecepatan elektron yang relatif kecil.

Berdasarkan hukum Ampere (medan magnet Azimut) dapat ditulis:

(23)

Sehingga:

(24)

Jadi, jika dihubungkan Er dan diketahui maka c dapat ditentukan:

Gambar 4

Gunakan hukum Faraday pada elemen persegi diatas dengan meninjau gelombang

merambat ke kanan. Fluks magnetik tertutup oleh peningkatan bidang persegi adalah:

Dengan: = sudut antara E dan dl

Gambar 5

Dalam kasus ini yang berkontribusi terhadap integral adalah hanya sisi AB karena E ┴

sisi BC dan DA dengan cos 90° = 0, dan tidak ada E sepanjang sisi CD, sehingga:

Gambar 6

Jadi, dapat ditulis:

(25)

Dengan:

,

c = kecepatan rambat gelombang elektromagnetik dalam kabel koaksial berisi

udara. Jika kabel koaksial diisi suatu bahan dielektrik lain dengan tetapan dielektrik k

(kappa), maka berlaku . Pemantulan c juga dapat dilakukan dengan

menggunakan persamaan Ampere Maxwell.

Fluks listrik pada persegi panjang ABCD menginduksi medan magnet sepanjang ABCD.

,

, (26)

PANDU GELOMBANG

1. Pengertian Pandu Gelombang

Pandu gelombang adalah sebuah medium yang digunakan untuk memandu

gelombang, seperti gelombang elektromagnetik atau gelombang suara. Pandu gelombang

yang asli dan yang paling umum digunakan adalah pipa berongga yang terbuat dari logam

yang kondusif yang digunkan untuk membawa gelombang radio berfrekuensi tinggi

khususnya gelombang mikro (microwaves).

Sebuah aturan yang harus diingat adalah lebar dari pandu gelombang harus

memiliki orde yang sama dengan besar dari panjang gelombang yang akan dipandu.

2. Cara Kerja Pandu Gelombang

Gelombang dalam ruang terbuka dipropagasikan kesemua arah seperti

gelombang speris (bola). Dengan cara ini, mereka akan kehilangan energinya sebanding

dengan kuadrat jaraknya. Oleh karena itu pada jarak R dari sumber besar energinya

adalah energi sumber dibagi dengan R2. Pandu gelombang menahan gelombang untuk

dipropagasikan dalam satu dimensi sehingga dalam kondisi ideal gelombang tidak akan

kehilangan energinya selama dipropagasikan.

Selubung konduktor kosong yang ujung-ujungnya dibatasi oleh permukaan

disebut rongga (cavity). Sedangkan apabila ujung-ujungnya tidak dibatasi oleh permukaan

disebut pandu gelombang.

Diasumsikan bahwa pandu gelomban benar-benar konduktor sempurna.

Sehingga, bahan material tersebut berlaku E=0 dan B=0.

Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan bentuk fungsi berikut:

(27)

Persamaan ini disubtitusikan ke dalam persamaan Maxwell ke 3 dan ke 4, maka diperoleh:

(28.a)

Gambar 7. Pandu Gelombang

(28.b)

(28.c)

(28.d)

(28.e)

(28.f)

Dari persamaan (28.a),(28.b),(28.c),(28.d),(28.e),(28.f) akan menghasilkan solusi

untuk sebagai berikut:

(29.a)

(29.b)

(29.c)

(29.d)

Dari Persamaan 29 tampak bahwa apabila komponen longitudinal Ex dan Bx

diketahui, maka komponen lainnya dapat diketahui.

Dengan mensubtitusikan persamaan 29 ke dalam persamaan Maxwell, maka kita

akan peroleh persamaan differensial dari komponen longitudinal sebagai berikut:

(30.a)

0 (30.b)

Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan konduktor sempurna, yaitu:

(31)

Dengan adalah vektor satuan normal pada konduktor, maka akan diperoleh:

dipermukaan (32)

dipermukaan (33)

Jika Ex = 0, disebut gelombang TE (Transverse Electric)

Jika Bx = 0, disebut gelombang TM (Transverse Manetic)

Jika Ex=0 dan Bx=0, disebut gelombang TEM (Transverse Electric Magnetic)

Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak pernah terjadi hal ini

dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Jika Ex=0, maka menurut hukum Gauss berlaku:

(34)

Jika Bx = 0, maka menurut Hukum Faraday berlaku:

(34)

Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik V=konstan pada

permukaan logam. Menurut hukum gauss atau persamaan laplace untuk V, berlaku pula

V=konstan didalam rongga. Ini berarti E=0 didalam rongga. Dari persamaan:

(35)

Arti Fisis:

“Medan magnet (B) tidak bergantung waktu, dengan demikian tidak ada gelombang

didalam rongga”.

a. Pandu Gelombang dengan Penampang Segiempat

Gambar 8. Pandu Gelombang segiempat

Persamaan differensial dari komponen longitudinal:

(36)

Dan syarat batas

Maka dengan permisalan: Bx(y,z)=Y(y) Z(z)

Subtitusikan ke persamaan (1), maka:

dibagi YZ

(37)

Sehingga dengan:

(38)

(39)

Solusi dari persamaan (66):

(40)

Syarat batas di y=0 dan y=a

0 = , maka A = 0

Maka,

(41)

Dengan m = 0,1,2,.......

Atau

(42)

Untuk solusi yaitu:

(43)

Syarat batas di z = 0 dan z = b

Maka ,

(44)

Untuk

(45)

Dimana 0= dan cos ≠ 0

Untuk

(46)

Dimana dan

maka: dengan n = 0,1,2, ....

untuk z=b

(47)

Maka untuk:

(48)

(49)

Dan untuk

Sehingga

+ (50)

Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari persamaan yang sudah

didapat:

dengan dan

Maka:

(51)

(52)

Untuk mengetahui kecepatan grup maka dapat diperoleh dari persamaan:

Dari persamaan:

,

,

,

,

(53)

Arti fisis:

“Kecepatan grup pandu gelombang dengan penampang segiempat dipengaruhi oleh

kecepatan sudutnya”.

b. Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial

Gambar 9. Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial

Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur transmisi koaksial

(coaxial trasmition line), terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor silinder.

Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder.

Dari persamaan Maxwell diperoleh:

,

Untuk medan listrik:

dan

Untuk medan magnet:

dan

Maka:

dan

Solusi dengan menggunakan koordinat silinder:

dan

Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, berlaku E = 0

dan B = 0

Sehingga fungsi gelombangnya :

(54)

(55)

Untuk persamaan:

Subtitusikan

Diperoleh:

Untuk persamaan:

Yang diambil bagian realnya, maka dengan mensubtitusikan

Diperoleh:

(56)