BAB III

KETERBATASAN DAN INDUKSI MATEMATIKA

Rangkaian bilangan asli, seperti yang terdapat dalam Bab I, semuanya dapat didefinisikan jika kita mengetahui apa arti dari ketiga istilah yang ada, diantaranya yaitu “0”, “bilangan/angka” dan “penerus/lanjutan bilangan”. Tetapi kita bisa melangkah lebih jauh dimana : kita dapat mendefinisikan semua bilangan jika kita tahu arti dari “0” dan “penerus/lanjutan bilangan”. Hal ini dapat membantu kita untuk mengetahui perbedaan antara bilangan terbatas dan bilangan tak terbatas (bilangan tak terhingga), untuk melihat bagaimana hal ini dapat diselesaikan, dan mengapa metode/cara yang digunakan untuk menyelesaikannya tidak dapat diperpanjang melampaui bilangan terbatas. Kita belum bisa menganggap bagaimana “0” dan “pengganti” dapat didefinisikan yang dimana : pada saat ini kita akan berasumsi bahwa kita mengetahui apa arti dari istilah-istilah tersebut, dan menunjukkan bagaimana semua bilangan asli tersebut kemudian dapat didefinisikan dalam beberapa jangka waktu yang akan datang.

Sangat mudah untuk melihat bahwa kita bisa mendefinisikan berbagai macam bilangan yang ditugaskan, misalnya 30.000. Pertama, kita mendefinisikan “1” sebagai penerus/lanjutan bilangan dari 0” kemudian kita mendefinisikan “2” sebagai “penerus/lanjutan bilangan dari 1” dan begitu seterusnya. Pada kasus bilangan yang ditugaskan, misalnya saja 30.000, bukti bahwa kita dapat mengetahui bilangan tersebut adalah dengan memprosesnya tahap demi tahap dari pembentukan bilangan ini apabila jika kita memiliki kesabaran saat kita melakukan eksperimen ini : kita dapat melakukannya sampai hampir mendekati 30.000. Tetapi, meskipun cara/metode yang digunakan dalam eksperimen ini dapat digunakan untuk setiap keterangan dari bilangan asli, tetapi untuk mengetahui kebenaran/alasan umum dari semua macam bilangan, tidak dapat dilakukan dengan menggunakan metode/cara ini, yaitu dengan melanjutkan dari tahap 0 sampai tahap demi tahap dari setiap bilangan sampai pada bilangan selanjutnya/bilangan penerusnya. Apakah ada metode atau cara lain yang dapat digunakan untuk membuktikannya?

Kita dapat pertimbangkan pertanyaan sebaliknya. Bilangan apa yang dapat diketahui, misalnya diberikan bilangan “0” dan “penerusnya/bilangan selanjutnya”? Apakah ada cara lain yang dapat kita gunakan untuk mendefinisikan ruang kosong pada setiap bilangan? Kita bisa mengetahui 1, sebagai penerus atau lanjutan dari bilangan 0; 2, sebagai penerus atau lanjutan dari bilangan 1; 3, sebagai penerus atau lanjutan dari bilangan 2; dan begitu seterusnya. Hal ini dan “seterusnya” menjadi keinginan kita untuk menggantikan sesuatu yang hilang dan yang tidak terdefinisikan. Kita mungkin tergoda untuk mengatakan “dan seterusnya” yang mengartikan bahwa proses dalam penerusan/melanjutkan bilangan mungkin dapat diulang setiap kali pada bilangan terbatas; tetapi masalah yang kita hadapi adalah masalah dalam mendefinisikan menjadi “bilangan terbatas”, oleh karena itu kita tidak bisa menggunakan gagasan ini saat kita mendefinisikannya. Definisi kita tidak harus memiliki asumsi bahwa kita mengetahui apa itu sebenarnya sebuah bilangan terbatas.

Kunci dalam permasalahan kita terletak pada induksi matematika. Hal ini akan mengigatkan bahwa, dalam Bab I, ini adalah bagian kelima dalam lima dalil/alas an/proposisi primitif yang mendasari

kita mengenai bilangan asli. Hal ini dibuktikan bahwa apa sifat yang berhubungan dengan 0, dan pada penerus bilangan/lanjutan bilangan dari setiap bilangan yang memiliki sifat/property, dapat digolongkan sebagai bilangan asli. Hal ini kemudian dijadikan sebagai asas/dasar/prinsip, tetapi hal ini kemudian akan kita jadikan sebagai definisi. Tidak susah untuk melihat bagaimana istilah itu sesuai dengan prinsip tadi yang sama dengan bilangan yang dapat dimiliki setelah 0 dengan mensukseskan langkah selanjutnya sampai selanjutnya, tetapi yang terpenting yang menjadi poin utama adalah kita akan mengatur hal-hal yang selanjutnya secara mendetail.

Kita akan melakukan hal yang terbaik untuk memulai beberapa definisi, yang akan berguna juga untuk koneksi yang lain.

Sesuatu/properti dapat dikatan “turunan” dari rangkain bilangan asli jika, kapanpun ia menjadi milik sebuah bilangan misalnya n, kemudian akan menjadi n+1, sehingga menjadi penerus/lanjutan bilangan dari n. Sama seperti halnya dalam kelas dikatakan “turunan” jika n adalah anggota dalam kelas tersebut, sehingga menjadi n+1. Hal ini mudah untuk dilihat, meskipun kita tidak/belum diajurkan untuk megetahuinya, kita dapat mengetahui properti adalah turunan yang dapat dikatakan juga properti dimiliki oleh semua bilangan asli yang tidak kurang dari salah satunya, misalnya harus termasuk dalam bilangan yang tidak boleh kurang dari 100, atau yang tidak boleh kurang dari 1000, atau mungkin termasuk semuanya tidak boleh kurang dari 0, dan misalnya untuk semuanya tanpa pengecualian.

Properti atau sebuah bilangan dapat dikataakan menjadi “induksi” ketika turunan sebuah bilangan, dalam hal ini sebuah bilangan yang termasuk dalam bilangan 0. Sama halnya dengan sebuah kelas adalah “induktif” ketika kelas tersebut adalah kelas turunan dari bilangan 0 yang merupakan anggota kelas tersebut.

Diberikan sebuah kelas turunan dimana bilangan 0 sebagai anggotanya, yang selanjutnya 1 kemudian mengikut sebagai angotanya, karena turunan kelas mencakup penerus-penerus/lanjutan-lanjutan bilangan yang merupakan anggota dari kelas tersebut, dan 1 merupakan penerus dari 0. Sama halnya, diberikan sebuah turunan kelas dimana 1 merupakan anggotanya, dimana kemudian diikuti oleh 2 sebagai anggotanya, dan begitu seterusnya. Olehnya itu, kita bisa membuktikan dengan tahap demi tahap langkah pada bilangan asli yang ditugaskan, seperti 30.000, yang kemudian merupakan anggota dari setiap kelas induktif.