Ryan Prasetya (3115111153)

Bagian 4.1. Limit Fungsi

Dalam bagian ini kami akan memperkenalkan ide penting dari limit fungsi. Ide dari fungsi f mempunyai sebuah limit L pada titik c adalah nilai f(x) mendekati L ketika x sangat dekat namun berbeda dari c. Tapi ini sangat penting untuk membuat secara teknis ide dari dekat dab ini berhasil dengan definisi yang akan dijelaskan berikut.Untuk membuat sebuah arti dari limit fungsi f pada titik c, sangat penting dijelaskan bahwa f didefinisikan pada titik dekat c. tidak harus tepat pada titik c, namun cukup dekat dengan titik c untuk membuat pembelajaran menarik. Ini adalah alasan untuk definisi berikut

4.1.1 Definisi.

Ambil . Sebuah titik adalah titik kumpul dari A jika untuk setiap ada paling sedikit satu titik dimana

Definisi ini diartikan dengan cara lain dengan bahasa lain seperti : sebuah titik c adalah titik kumpul dari himpunan A jika setiap dari c memuat paling sedikit satu titik dari A yang berbeda dengan c

Catatan

Titik c mungkin saja anggota A maupun tidak, tapi bahkan jika itu ada di A, itu dihiraukan dalam menentukan apa itu merupakan titik kumpul dari A atau bukan, karena secara eksplisit kita membutuhkan ada titik di yang berbeda dari c untuk c menjadi titik kumpul dari A

Untuk contoh, jika A:= {1,2}, maka titik 1 bukanlah titik kumpul A, jika memilih memberikan lingkungan dari 1 yang tidak memuat titik dari A yang berbeda dengan 1. Hal yang sama juga terjadi untuk titik 2, jadi A tidak punya titik kumpul

4.1.2 Teorema

Sebuah angka adalah titik kumpul dari subset A dari R jika dan hanya jika ada sebuah barisan ( ) di A dimana dan untuk setiap

Bukti

Jika c adalah titik kumpul dari A, maka untuk sembarang lingungan (1/n) memuat paling sedikit satu titik di A yang berbeda dengan c. Maka, mengakibatkan

Konversnya, jika ada sebuah barisan di A\{c} dengan , maka untuk sembarang ada J dunaba huja , maka , olehkarenanya dari c memuat titik , untuk , dimana pada A dan berbeda dengan cTerbuktiContoh selanjutnya menegaskan bahwa sebuah titik kumpul dari sebuah himpunan bisa saja berada pada himpunan tersebut ataupun tidak

4.1.3 Contoh(A) untuk sebuah interval terbuka A1:=(0,1), setia titik dari interval tertutup [0,1] adalah titik kumpul dari A1. Catatan bahwa titik 0,1 adalah titik kumpul dari A1, namun tidak berada pada A1. Semua titik pada A1 adalah titik kumpul dari A1(b) Sebuah himpunan berhingga tidak mempunyai titik kumpul

(c) Himpunan takhingga tidak mempunyai titik kumpul

(d)Himpunan A4:={1/n; } hanya mempunyai titik 0 sebagai titik kumpul. Tidak ada titik pada A4 yang merupakan titik kumpul dari A4

(e) Jika I:={0,1}, maka himpunan memuat semua angka rasional di I. Mengikuti teorema 2.4.8, bahwa setiap titik di I adalah titik kumpul dari A5

Izzaty Amalia (3115111154)

Definisi Limit

Kita sekarang menyatakan definisi yang tepat dari batas fungsi pada titik . Penting untuk dicatat bahwa dalam definisi ini, tidaklah menjadi masalah apakah jika pada suatu titik atau tidak. Dalam kasus ini, kita mengecualikan dari pertimbangan dalam penentuan batas

4.1.4 Definisi.

Diberikan , dan diberikan menjadi titik kelompok . Untuk fungsi , bilangan real menjadi limit dari di jika diberikan sebarang yang eksis dan sedemikian rupa sehingga dan , then .

Keterangan

(a). Karena nilai dari biasanya tergantung pada , kita kadang-kadang akan menulis bukan untuk menekankan ketergantungan ini.

(b) Ketidaksetaraan ekuivalen dengan mengatakan .

Jika adalah batas di , maka kita juga mengatakan bahwa konvergen ke di . kita sering menulis.

atau

Kita juga mengatakan bahwa " mendekati L sebagai x mendekati ". (tapi perlu dicatat bahwa titik tidak benar-benar bergerak di mana saja.) dengan symbol

dengan juga digunakan kadang-kadang untuk mengungkapkan fakta bahwa memiliki batas pada .

Jika batas di tidak ada, kita mengatakan bahwa menyimpang di .

Hasil pertama kami adalah bahwa nilai dari batas tersebut ditentukan unik. Keunikan ini bukan bagian dari definisi limit, tetapi harus disimpulkan.

4.1.5 Teorema

Jika dan jika adalah titik kelompok dari , maka hanya dapat mempunyai 1 limit di .

Bukti. Misalkan nomor dan memuaskan Definisi 4.1.4. Untuk , terdapat sedemikian sehingga jika dan, maka . Juga terdapat sedemikian sehingga jika dan , maka . Sekarang diberikan (gak kebaca). Maka jika dan , Segitiga Ketimpangan menyiratkan bahwa

Karena adalah tak tentu, kita menyimpulkan bahwa , sehingga ' Definisi limit dapat sangat baik dijelaskan dalam hal lingkungan. (Lihat Gambar ....) Kami mengamati bahwa karena

ketimpangan setara dengan mengatakan bahwa dan x milik lingkungan dari . Demikian pula, ketimpangan adalah setara dengan mengatakan bahwa milik lingkungan dari . Dengan cara ini, kita memperoleh hasil pembaca berikut harus menulis argumen rinci untuk mendirikan teorema.

Wahyu widyastuti (3115111166)

4.1.6Teorema

Misalkan R , dan misalkan c adalah titik kumpul dari A, maka pernyataan berikut adalah ekuivalen:(i).

(ii).Untuk setiap lingkungan- dari L, terdapat lingkungan- dari c sehingga jika merupakan titik sebarang pada , maka termasuk .

Sekarang kami berikan beberapa contoh yang mengilustrasikan aplikasi dari definisi limit.

4.1.7Contoha.

Untuk menjadi lebih eksplisit, misalkan untuk semua R. Kita akan buktikan bahwa .

Jika diberikan , kita misalkan (pada kenyataannya, semua positif akan memenuhi syarat tersebut).

Dengan demikian, jika , maka kita dapatkan . Karena adalah sebarang, kita simpulkan berdasarkan Definisi 4.1.4 bahwa .(?)

b.

Misalkan untuk semua R. Jika , misalkan . Maka jika , maka kita mempunyai . Karena sebarang, maka kitaberkesimpulan bahwa . (?)

c.

Misalkan untuk semua R.Kita ingin membuat selisih

lebih kecil dari suatuyang diberikan dengan pengambilan x yang cukup dekat dengan c. Untuk itu, kita perhatikan bahwa. Selain itu, jika, maka

sehingga --- (1)

Selain itu suku terakhir ini akan lebih kecil dari asalkan kita mengambil. Akibatnya, jika kita memilih

maka jika, pertama akan berlaku bahwadengan demikian (1) adalah valid. Selanjutnya, karena, maka

Karena kita mempunyai pilihan untuk sebarang pilihan dari , maka dengan demikian kita telah menunjukkan bahwa. (?)

d. jika c > 0

Misalkan untuk x> 0 dan misalkan c> 0. Untuk menunjukkan bahwa , kita ingin membuat selisih

lebih kecil dari yang diberikan dengan pengambilan x cukup dekat dengan c > 0. Pertama kita perhatikan bahwa

Untuk x > 0.

Nia Puspitasari (3115111184)

Untuk . Ini digunakan untuk mendapatkan batas atas untuk syarat yang berlaku di beberapa lingkungan c. Khususnya, jika, lalu . Jadi untuk Oleh karena itu, untuk nilai-nilai ini kita memiliki x.(2)

Untuk membuat istilah terakhir kurang dari itu sudah cukup untuk mengambil . Dengan konsekuensi jika kita memilih

Lalu, jika , lalu akan diikuti jadi valid, dan oleh karena itu, sejak , itu

Sejak kita memilih untuk sewenang-wenang pilihan dari , kita dapat menyimpulkan bahwa

e.) misal: untuk , lalu beri sedikit manipulasi aljabar

Untuk mendapatkan batas dari koefisien kita membatasi x dari kondisi . Untuk x di dalam interval, kita mempunyai dan , jadi

Sekarang untuk , kita memilih

Lalu jika , kita mempunyai . sejak adalah keputusan, pernyataan ini terbukti.

Kriteria berurutan untuk LimitRumus penting yang mengikuti batas dari suatu fungsi adalah urutan terminologi lmit. Karakteristik ini memperbolehkan teori dari Chapter 3 untuk digunakan dalam pembelajaran limit suatu fungsi.

Teorema 4.1.8 (Kriteria Berurutan)Misal dan misal c menjadi titik perkumpulan dari A, maka berikut ini setarai) ii) untuk setiap uruta di A konvergen untuk c sehingga untuk semua , sebuah urutan konvergen ke L.

Delpi Batubara (3115115698)

4.1.8 Teorema (Sequential Kriteria)Misalkan f : A ~ R dan misalkan c menjadi titik kumpul di A. Kemudian, berikut ini adalah setara :(i) (ii) Untuk setiap barisan (xn ) di A yang konvergen ke c sehingga xn c untuk setiap n N, barisan (f(xn)) konvergen ke L.Bukti :(i) (ii). Asumsikan f memiliki limit L di c, dan andaikan (xn) adalah sebuah barisan di A dengan dan xn c untuk semua n. Kita harus membuktikan bahwa barisan (f (xn )) konvergen di L. Misal diberikan > 0. Kemudian dari definisi 4.1.4, ada >0, sedemikian hingga jika x A, memenuhi 0 < | x c| < , lalu f(x) memenuhi |f(x) L< |. Sekarang kita menggunakan definisi deret konvergen untuk yang diberikan untuk mendapatkan sebuah bilangan asli K() sedemikian hingga jika n < K(), lalu |. Maka barisan(f (xn )) konvergen di L.

(ii) (i). Pembuktian kontradiktif. Jika (i) tidaklah benar,ada sebuah 0 sekitaran V0 sedemikian hingga berapa pun sekitaran- yang kita pilih, akan ada sedikitnya satu bilangan x di A V(c) dengan x c sedemikian hingga (x) V(L). Sejak untuk setiap n N, sekitaran- (1/n) di c yang terdiri dari sebuah bilangan xn sedemikian hingga:dan

Kita dapat menyimpulkan bahwa barisan xnkonvergen di c, tapi barisan (f (xn )) tidak konvergen di L. Sehingga kita telah menunjukkan bahwa jika (i) tidak benar, maka (ii) juga tidak benar. Maka kesimpulannya adalah (ii) implikasi (i).Kita akan lihat di bagian berikutnya bahwa banyak dari sifat-sifat limit fungsi dasar dapat dibentuk dengan menggunakan properti yang berhubungan untuk barisan konvergen. Sebagai contoh, kita tahu dari pekerjaan kita dengan barisan bahwa jika (xn) adalah setiap barisan yang konvergen ke bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2.

Anindya Diva P. (3115126496)

4.1.10 contoh

(a) tidak ada di IR.Seperti pada contoh 4.1.7 (d) ambil (x) = 1/x untuk x >0. Namun, di sini kita mempertimbangkan c=0. Argumentasi di contoh 4.1.7 (d) salah jika c = 0 sejak kita tidak dapat memperoleh batas seperti pada contoh itu. Tentunya, jika kita mengambil barisan (xn) dengan xn=1/n untuk n N, lalu lim(xn) = 0, tapi (xn) = 1/(1/n) = n. seperti yang kita tau, barisan ((xn)) = (n) tidak konvergen di R, karena tidak dibatasi. Maka, menurut teori 4.1.9(b), tidak ada di R.

Bunyi teori 4.1.9 (b): Fungsi f tidak memiliki limit di c jika dan hanya jika ada barisan (xn) di A dengan xn c untuk semua n N sehingga barisan (xn) konvergen ke c tetapi barisan (f (xn)) tidak konvergen di R.

(b) sgn(x) tidak ada.

Ambil fungsi signum (sgn) didefinisikan sebagai

Sgn (x) = +1 untuk x > 00 untuk x = 0-1 untuk x < 0Perhatikan bahwa sgn (x) = x/|x| untuk x = 0 F (LihatGambar 4.1.2.) Kami akan menunjukkan bahwas gn tidak memiliki batas pada x = 0. Kita akan melakukan hal ini dengan menunjukkan bahwa ada barisan (xn) seperti lim (xn) = 0, tapi seperti (sgn (xn)) tidak konvergen.

Ambil xn = ( -1 )n/n untuk n N sedemikian hingga (xn) = 0. namun, sejaksgn(xn) = ( -1 )nuntuk n Nhal tersebut seperti pada Contoh 3.4.6 (a) bahwa (sgn (xn)) tidak konvergen. Oleh karena itu sgn(x) tidak ada.Contoh 3.4.6 (a) berbunyi: Barisan X = ( -1 )n divergen. Sub barisan X= (( -1 )2n )= (1,1,..) konvergen ke 1 dan sub barisan X = (( -1 )2n-1 ) = (-1,-1,...). oleh karena itu, kita simpulkan X divergen. (c ) sin(1/x) tidak ada di RAmbil g (x): = sin (1 / x) untuk x 0 (Lihat Gambar 4.1.3.) Kami akan menunjukkan bahwa g tidak memiliki limit di c = 0, dengan memperlihatkan dua barisan (xn) dan (yn) dengan xn 0 danYn 0 untuk semua n N dan seperti lim (xn) = 0 dan lim (yn) = 0, tapi seperti lim (g(xn)) lim (g (yn)).

Kita mengingat dari kalkulus bahwa sin t = 0 jika t = n untuk n Z, dan sin t = +1 jika t = + 2n untuk n Z. Sekarang ambilxn = 1/n untuk n N sehingga lim (g(xn)) = 0. Selain itu, ambil yn = ( + 2n) -1 untuk n N. Lalu lim (yn) = 0 dan (g(yn)) = sin ( + 2n) = 1 untuk semua n N, sehingga lim (g(yn)) = 1. Kita simpulkan bahwa sin (1/x) tidak ada.

Annisa Ramalika Hanani (3115126497)

Latihan Bagian 4.11. Tentukan keadaan pada yang akan menjamin bahwa:(a) (b) (c) , untuk setiap (d) , untuk setiap 2. Tentukan keadaan pada yang akan menjamin bahwa:(a) (b) 3. Misalkan c menjadi titik kumpul dari dan . Buktikan bahwa jika dan hanya jika .4. Misalkan dan. Tunjukan jika dan hanya jika 5. Misalkan dimana , dan untuk . Untuk setiap titik , tunjukan bahwa . Gunakan pertidaksamaan ini untuk membuktikan bahwa untuk setiap 6. Misalkan menjadi interval di , , . Tunjukan bahwa .7. Tunjukan bahwa untuk 8. Tunjukan bahwa untuk 9. Gunakan salah satu, definisi limit atau limit Sequential Criterion, untuk menentukan limit berikut.(a) (b) (c) (d) 10. Gunakan definisi limit untuk menunjukan bahwa.(a) (b) 11. Tunjukan bahwa limit berikut tidak ada. (a) (b) (c) (d) 12. Misalkan fungsi memiliki limit di 0, dan . Jika didefinisikan oleh untuk , tunjukan bahwa .13. Misalkan dan sedemikian sehingga .(a) Tunjukan bahwa jika , kemudian .(b) Tunjukan dengan contoh bahwa jika , kemudian mungkin tidak punya limit di c.14. Misalkan didefinisikan melalui pengaturan jika adalah rasional, dan jika adalah irasional.(a) Tunjukan bahwa memiliki limit di .(b) Gunakan argumen sequential untuk menunjukan bahwa jika , kemudian tidak memiliki limit di c.15. Misalkan , menjadi interval terbuka di , . Jika dibatasi dari ke , tunjukan bahwa memiliki limit di c jika dan hanya jika memiliki limit di c, dan limit tersebut sama.16. Misalkan , menjadi interval tertutup di , . Jika dibatasi dari ke, tunjukan jika memiliki limit di c kemudian memiliki limit di c. Tunjukan melalui contoh bahwa tidak ada pengaruh jika memiliki limit di c kemudian memiliki limit di c.

Bagian 4.2, Teorema LimitDefinisi 4.2.1Misalkan , , dan ambil menjadi titik kumpul dari A. Kita mengatakan bahwa dibatasi pada lingkungan c jika setiap lingkungan dari c dan konstan sedemikian sehingga untuk setiap .

Dini Amalia (3115126501)

Teorema 4.2.2Jika A R dan f: A R mempunyai limit pada cR, maka f adalah batas beberapa sekitaran pada c. Bukti :Jika L , maka untuk , ada beberapa seperti jika , maka ; sejak ( digunakannya hukum 2.2.4 (a)).

Hukum 2.2.4 jika a, b R, maka(a)

Oleh karena itu, jika , maka . Jika cA, kita ambil M=, jika cA kita ambil M := sup { . Itu mengikuti bahwa jika xA, maka . Ini menunjukkan bahwa f adalah batas sekeliling pada c.Definisi selanjutnya adalah persamaan untuk definisi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada barisan yang diberikan dibagian 3.2 ( Teorema Limit )

Definisi 4.2.3Misal AR dan missal f dan g menjadi fungsi yang digambarkan pada A ke R. kita gambarkan penjumlahan f+g, pengurangan f-g, dan perkalian fg pada A ke R menjadi fungsi yang diberikan oleh(f + g)(x):=f(x) + g(x), (f - g)(x):=f(x) - g(x), (fg)(x):=f(x)g(x)Untuk semua xA. Selanjutnya jika b R, kita gambarkan perkalian bf menjadi fungsi yang diberikan oleh(bf)(x):=bf(x) untuk semua x AAkhirnya, jika h(x)0 untuk x A, kita gambarkan pembagian f/h menjadi fungsi yang diberikan oleh untuk semua x ATeorema 4.2.4Misal A R, misal f dan g menjadi fungsi pada A ke R, dan misal c R menjadi titik kumpul pada A. Selanjutnya, misal b R.(a) Jika , maka :,,(b) Jika h : A R, jika h(x) 0 untuk semua x A dan jika , maka

Bukti Satu bukti pada teorema ini adalah sama pada teorema 3.2.3. Sebagai alternative, itu bisa dibuktikan menggunakan teorema 3.2.3 dan 4.1.8. Untuk contoh, misal () adalah sembarang barisan di A seperti untuk n dan . Itu mengikuti dari teorema 4.1.8 yaitu, Teorema 3.2.3(a) Misal dan menjadi barisan bilangan asli yang convergen pada x dan y, berturut-turut, dan misal . Maka barisan barisannya X + Y, X Y, X . Y dan cX barisan ke x + y, x y, xy, dan cx, berturut-turut.(b) Jika konvergen ke x dan adalah barisan pada bilangan asli bukan nol yang konvergen ke z dan jika maka barisan pembagian X/Z konvergen ke x/z.Teorema 4.1.8 ( standar contoh )Misal dan misal c menjadi titik kumpul pada A. maka mengikuti persamaan(i) (ii) Untuk setiap barisan di A konvergen ke c seperti untuk semua n barisan konvergen ke L.Dengan kata lain, definisi 4.2.3 mengimplikasikan bahwa untuk n

Oleh karena itu, aplikasi dari teorema 3.2.3 menghasilkan

Akibatnya, mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa

Bagian lain pada teorema ini terbukti di persamaan cara. Kita tinggalkan secara detail untuk pembaca.Keterangan (1) Kita catat bahwa, di bagian (b), asumsi penjumlahan bahwa adalah buatan. Jika asumsi tidak benar, maka limit

Mungkin atau tidak mungkin ada. Tetapi tetap jika limit ini ada, kita tidak bisa menggunakan teorema 4.2.4 (b) untuk menghitung itu.Teorema 4.2.4 (b)Jika h : A R, jika h(x) 0 untuk semua x A dan jika , maka

(2) Jika A R, dan missal menjadi fungsi pada A ke R dan misal c menjadi titik kumpul pada A. jika,

Kemudian mengikuti dari teorema 4.2.4 dengan argument induksi bahwa

Dan

Di keterangan-keterangan, kita menarik kesimpulan bahwa jika dan n maka

Fahmadiyah Annissa (3115126505)

Contoh 4.2.5(a) Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti hasil ini bahwa , kemudian dan jika c > 0, maka (b) Ikuti dari Teorema 2.4.2 bahwa

5.4 (c) Jika berlaku Teorema 4.2.4 b, maka = Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e ) tidak sama dengan 0, maka Teorema 4.2.b berlaku.(d) Jika diberikan f(x) = dan h(x) = 3x-6 untuk x R maka tidak dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi karena

Bagaimanapun, jika x 2, maka

Maka dari itu

Catatan bahwa fungsi mempunyai limit di x= 2 meskipun tidak ada definisinya(e) tidak terdapat di RTentu saja = 1 dan . Bagaimanapun, ketika H = 0, tidak dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi . Dalam faktanya, lihat contoh 4.1.10a, fungsitidak mempunyai sebuah limit di x = 0. Kesimpulan mengikuti juga dari teorema 4.2.2 ketika fungsi tidak terbatas dipersekitaran x = 0 (f) jika p adalah sebuah fungsi polynomial, makaBiarkan p menjadi fungsi polynomial di R maka untuk semua x R. Berdasarkan Teorema 4.2.4 dan fakta bahwa , maka

= =Karena untuk setiap fungsi polynomial p(g) jika p da q adalah fungsi polynomial di R danjika q(c) 0 maka

Ketika q(x) adalah sebuah fungsi polynomial, berdasarkan dari sebuah teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real [bilangan real nol di q(x)] maka dan jika , maka q(x) 0. Karenanya, jika kita dapat definisikan

Jika c tidak nol di q(x), maka q (c) 0, dan mengikuti dari bagian (f) bahwa . Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b untuk menyimpulkan bahwa

Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6

Fajar Nur Rahman (3115126506)

Teorema 4.2.6Diberikan , misalkan suatu fungsi f : A B (suatu fungsi f dari A memetakan ke B) dan diketahui sebagai titik tumpul pada A. Jika untuk semua , dan ada, maka Bukti :Memang, jika , maka itu mengacu pada teorema 4.1.8 (Teorema Kriteria Pengurutan : misalkan suatu fungsi f : A B (suatu fungsi f dari A memetakan ke B) dan diketahui sebagai titik tumpul pada A, maka berikut ini ekuivalen dengan : (i) (ii) untuk setiap barisan (xn) pada A dan konvergen ke c sehingga xn c untuk semua , maka barisan (f(xn)) konvergen ke L) bahwa jika (xn) adalah beberapa barisan dari bilangan real sehingga c xn untuk semua dan jika barisan (xn) konvergen ke c, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L. ketika untuk semua , maka itu mengacu pada teorema 3.2.6 (Teorema 3.2.6 : jika adalan barisan konvergen dan jika untuk semua , maka ) bahwa .Kita dapat berargumen sebuah analogi pada Teorema Apit 3.2.7 (Diketahui bahwa X=(xn) , Y=(yn), dan Z=(zn) adalah barisan dari bilangan real sehingga xn yn zn untuk semua , dan terdapat lim (xn) = lim (zn). Maka Y=(yn) adalah konvergen dan lim (xn) = lim (yn) = lim (zn)) (?). Kita tinggalkan pembuktian ini kepada pembaca.

Teorema 4.2.7Teorema Apit 4.2.7 Diberikan , misalkan suatu fungsi f, g, h: , dan diberikan sebagai titik tumpul dari A, jika untuk semua , dan jika , maka . (?)Contoh 4.2.8 a) .Misalkan untuk . Sejak pertidaksamaan memenuhi untuk (kenapa?) (?), itu memenuhi bahwa untuk . Sehingga itu memenuhi dari teorema apit 4.2.7 bahwa .b).Itu akan dibuktikan nanti (lihat pada teorema 8.4.8) (Teorema 8.4.8 : Jika ada , maka kita mempunyai : (vii) (viii) ; (ix) ; (x) ) bahwa untuk semua Karena , itu memenuhi dari Teorema Apit bahwa c) .Itu akan dibuktikan nanti (lihat pada teorema 8.4.8) (ada di bagian b teoremanya) bahwa untuk semua Karena , itu memenuhi dari Teorema Apit bahwa d) Kita tidak dapat menggunakan teorema 4.2.4 (b) (Diberikan , misalkan f dan g adalah sebuah fungsi A ke , dan terdapat sebagai titik tumpul dari A. Selanjutnya, misalkan ; (a) Jika dan , maka memenuhi : (i) (ii) (iii) (iv) . (b) Jika ada h: A jika untuk semua , dan jika , maka ) untuk menyelesaikan limit ini (kenapa tidak?) (?). bagaimanapun, itu memenuhi dari pertidaksamaan (1) pada bagian (c) bahwa untuk Dan bahwa untuk Sekarang misalkan untuk dan untuk , serta juga misalkan untuk dan untuk . Kemudian kita mempunyai untuk Sejak itu mudah terlihat bahwa memenuhi dari Teorema Apit bahwa e) Kembali lagi kia tidak dapat menggunakan teorema 4.2.4(b) untuk menyelesaikan limit ini. Bagaimanapun itu akan dibuktikan nanti (lihat Teorema 8.4.8) (Teorema 8.4.8 : Jika ada , maka kita mempunyai : (vii) (viii) ; (ix) ; (x) ) bahwa untuk dan bahwa untuk Kesimpulannya memenuhi (kenapa?) bahwa untuk semua Tetapi semenjak kita kembalikan lagi dari Teorema Apit bahwa

Lazuardi Fajar P. (3115126514)

(f)

Misalkan = untuk . Karena untuk setiap , kita mempunyai pertidaksamaan

untuk setiap . Karena , hal ini didapat dari Teorema Apit bahwa . Untuk grafiknya, lihat Gambar 5.1.3 atau sampul buku ini. Ada beberapa hasil yang berhubungan dengan Teorema 3.2.9 dan 3.2.10; hanya saja, kami akan menjadikannya latihan. Kami menyimpulkan bagian ini dengan sebuah hasil yang, dalam beberapa arti, sebagian kebalikan dari Teorema 4.2.6.4.2.9 Teorema

Misalkan , misalkan dan misalkan adalah sebuah gugusan titik. Jika

maka ada sebuah daerah dari sehingga untuk setiap Bukti.

Misalkan dan andaikan . Kita ambil pada Definisi 4.1.4, dan mendapatkan sebuah angka sehingga jika dan , maka . Untuk itu (kenapa?) didapat bahwa jika , maka

Jika , sebuah argumen yang sama terjadi.Latihan Bagian 4.212.

Misalkan sedemikian hingga untuk setiap di . Asumsikan bahwa ada. Buktikan , lalu buktikan bahwa mempunyai limit di setiap titik .

[Petunjuk: pertama, perhatikan bahwa . Perhatikan juga bahwa .]

Putri Rijkiyah (3115126519)

13. Misal , , dan sebagai titik cluster dari A. Jika ada, dan jika menyatakan fungsi yang didefinisikan untuk oleh buktikan bahwa 14. Misal , , dan sebagai titik cluster dari A. Selain itu, asumsikan bahwa untuk semua , dan misalkan merupakan sebuah fungsi yang didefinisikan untuk oleh . Jika ada, buktikan bahwa

Bagian 4.3: beberapa perpanjangan dari konsep limitDi bagian ini, kita akan menyajikan tiga jenis ekstensi dari gagasan tentang limit dari suatu fungsi yang sering muncul. Karena semua ide di sini erat sejajar dengan apa yang telah kami sajikan, bagian ini dapat dibaca dengan mudah.

Limit satu sisiAda kalanya fungsi f mungkin tidak memiliki limit pada titik c, namun limit itu ada ketika fungsi dibatasi dalam selang di satu sisi pada titik cluster c.Contohnya, fungsi signum berdasarkan contoh 4.1.10 (b) yang diilustrasikan pada gambar 4.1.2, tidak memiliki limit ketika c=0. Namun, jika kita batasi fungsi signum pada selang , fungsi itu menghasilkan limit yang bernilai 1 ketika c=0. Sama halnya saat kita batasi fungsi signum pada batas , fungsi itu menghasilkan limit yang bernilai -1 ketika c=0. Ini adalah contoh dasar dari limit kanan dan kiri ketika c=0.

4.3.1 DefinisiMisal dan i. Jika adalah titik cluster dari himpunan kemudian kita katakan bahwa adalah suatu limit kanan dari f pada titik c dan kita tulis:

Jika diberikan ada sebuah sehingga untuk semua dengan , kemudian

ii. Jika adalah titik cluster dari himpunan kemudian kita katakan bahwa adalah suatu limit kiri dari f pada titik c dan kita tulis:

Jika diberikan ada sebuah sehingga untuk semua dengan , kemudian

Catatan (1) dan dikatakan limit satu sisi dari f pada c. Mungkin saja kedua limit satu sisi itu tidak ada. Dan juga, mungkin saja salah satu darinya ada walaupun yang lain tidak ada. Sama halnya, pada kasus ketika , mereka mungkin ada dan berbeda.(2) Jika A adalah selang dengan titik pangkal kiri c, kemudian lebih mudah terlihat bahwa mempunyai limit di c jika dan hanya jika dia mempunyai limit kanan di c. Selain itu, pada kasus ini dan limit kanan adalah sama. (situasi yang sama muncul untuk limit kiri ketika A adalah selang dengan titik pangkal kanan c.)

Pembaca dapat menunjukkan bahwa f dapat mempunyai hanya satu limit kanan pada suatu titik (begitupun yang kiri). Ada hasil yang sesuai dengan bagian yang telah ditetapkan pada bagian 4.1 dan 4.2 untuk limit dua arah. Khususnya, keberadaan dari limit satu sisi dapat dikurangi untuk pertimbangan yang berurutan

Retno Kusuma P. (3115126523)

Theorem 4. 3. 2Ambil A c R, jika suatu fungsi f : A R, dan ambil c R menjadi titik kumpul dari A (c,). Lalu pernyataan- pernyataan yang equivalen :(i) (ii) Untuk setiap barisan () itu konvergen ke c seperti A dan > c untuk semua n N, barisan (f