BAB I

TURUNAN/DIFFERENTATION

1.1. Turunan Fungsi

Definisi 1.1.1:

Misalkan adalah interval fungsi dan , Bilangan real L

dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan terdapat

bilangan sehingga untuk setiap dengan C berlaku:

|f (x )− f (c )

x−c−L|<ε

.

Dalam hal ini dikatakan bahwa, f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan .

Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit

f ' (c )=limx→c

f ( x )−f (c )x−c

asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan limit fungsi, maka derivatif (jika

ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal.

Catatan: Domain fungsi f tidak harus berupa interval (karena titik c yang

diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain

tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami

pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu,

pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian.

Contoh:

1. Jika untuk , maka untuk setiap ,

f ' (c )=limx→c

f ( x )−f (c )x−c

= limx→ c

x2−c2

x−c=lim

x→c( x+c )=2 c

Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan untuk .

2. Jika , maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk

, sehingga tidak ada.

1

Teorema 1.1.2:

Jika fungsi differensiabel di , maka f kontinu di titik c.

Bukti: Untuk sebarang , , diperoleh

f ( x )−f (c )=( f (x )−f (c )x−c ) ( x−c )

Karena ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit

diperoleh

limx→ c

( f ( x )−f (c ))=(limx→c

f ( x )−f ( c )x−c ) ( limx→c

( x−c ))= f ' (c )⋅0=0

Jadi limx→ c

f ( x )= f (c ), sehingga f kontinu di c.

Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di

titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h pada contoh 2 di atas kontinu di titik 0

tetapi h tidak diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik,

bukan syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titik tersebut.

Teorema 1.1.3:

Jika adalah interval, , dan fungsi adalah fungsi-fungsi

yang differensiabel di c, maka

(a) Jika , maka fungsi differensiabel di c dan

(αf ' )(c )=αf ' (c )

(b) Fungsi differensiabel di c dan

( f +g ) '(c )=f ' (c )+g '(c )

(c) (Aturan perkalian) Fungsi differensiabel di c dan

( fg )' (c )=f '(c )g(c )+ f (c )g '( c )

(d) (Aturan pembagian) Jika , maka fungsi differensiabel di c , dan

2

( fg ) '(c )=

f ' (c )g( c )−f (c )g ' (c )( g(c ))2

Bukti:

(a) Jika f ' (c )=lim

x→c

f ( x )−f (c )x−c , maka

..............................terbukti.

(b) Misalkan , maka

sehingga,

3

(c) Misalkan , untuk , diperoleh

p( x )−p (c )x−c

=f ( x ) g( x )− f (c )g(c )x−c

=f ( x ) g( x )−f (c )g( x )+ f (c ) g( x )−f (c )g( c )x−c

=f ( x )−f ( c )x−c

g ( x )+ f ( c )g( x )−g(c )x−c

Karena g kontinu di c, dengan teorema 1.1.2, maka limx→ c

g( x )=g (c ). Karena f

dan g diferensiabel di c, dari teorema limit perkalian fungsi, disimpulkan bahwa

limx→ c

p ( x )−p(c )x−c

=f '(c )g( c )+ f ( c )g '( c )

Jadi diferensiabel di c dan ( fg )' (c )=f '(c )g(c )+ f (c )g '( c )terbukti.

(d) Misalkan . Karena g diferensiabel di c, maka dengan teorema 1.1.2, g

kontinu di c. Karena , maka terdapat interval dengan sehingga

untuk setiap . Untuk , , diperoleh:

Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g diferensiabel di

c, disimpulkan bahwa

q ' (c )=limx→c

q ( x )−q (c )x−c

=f ' (c )g (c )− f (c ) g '(c )

( g( c ))2

4

Jadi diferensiabel di c dan ( f

g ) '(c )=f ' (c )g( c )−f (c )g ' (c )

( g(c ))2 terbukti.

Dengan induksi matematika teorema di atas dapat dikembangkan aturan

diferensiasi berikut.

Akibat 1.1.4:

Jika adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang diferensiabel di c,

maka

(a) Fungsi diferensiabel di c, dan

,

(b) Fungsi diferensiabel di c, dan

Khususnya, jika maka (6.8) menjadi

Catatan: Jika adalah interval dan fungsi , kita telah

memperkenalkan notasi untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah

subset dari I dan nilainya di titik c adalah derivatif dari f di titik c. Ada

notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk ; sebagai contoh, ada yang

menulis Df untuk . Oleh karena itu, bentuk sifat (b) dan (c) kadang-kadang

ditulis dalam bentuk:

,

Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya

ditulis . Sehingga bentuk sifat (c) kadang-kadang ditulis dalam bentuk

5

.

Aturan Rantai

Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai

“Aturan Rantai”. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi

komposisi g ∘f .

Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di , maka akan

ditunjukkan bahwa derivatif dari fungsi komposisi g ∘f di c adalah (

. Dalam hal ini dapat ditulis dengan

.

Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa

g ( f ( x ))−g( f (c ))x−c

=g( f ( x ))−g( f (c ))

f ( x )−f (c )⋅

f ( x )−f ( c )x−c .

Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak

terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya bernilai 0 untuk nilai dari x

yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut akan

mengatasi masalah tersebut.

Teorema 1.1.5 (Aturan Rantai)

Misalkan adalah interval-interval di dalam R, dan

. Jika f diferensiabel di dan g diferensiabel di , maka fungsi

komposisi g ∘f diferensiabel di c dan

( g∘ f )' (c )=g '( f (c ))⋅f ' (c )

Bukti: Misalkan d = f(c) dan G didefinisikan pada I dengan

6

Karena g diferensiabel di d, maka diperoleh limy→ d

G( y )=g '( d )=G(d ). Jadi, G

juga kontinu di d. Sekarang, karena f kontinu di c (dengan Teorema 1.1.2) dan

dari teorema komposisi fungsi kontinu, maka G∘ f kontinu di c, yaitu

limx→ c

G∘ f ( x )=limy→d

G( y )=g '( f (c )).

Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa

untuk setiap .

Oleh karena itu, jika diperoleh

g∘ f ( x )−g∘f (c )x−c

=G∘ f ( x )⋅f (x )−f (c )

x−c

Akibatnya diperoleh

limx→ c

g∘ f ( x )−g∘f (c )x−c

=g '( f (c ))⋅f '(c ).

Jadi, g∘f diferensiabel di cI dan persamaan (6.10) dipenuhi.

Jika g diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J, maka dengan Aturan

rantai diperoleh , yang juga dapat ditulis sebagai

D( g∘f )=((Dg)∘ f )⋅Df .

Contoh:

(a) Jika diferensiabel pada I dan untuk , maka

Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh

( g∘ f )' (x )=g '( f ( x ))⋅f '( x )

7

untuk Oleh karena itu diperoleh untuk semua

(b) Misalkan diferensiabel pada I, ,dan untuk

Jika untuk , maka , . Sehingga diperoleh

( 1f ) ' ( x )=(h ∘f )' ( x )=h ' ( f ( x )) f ' ( x )=−

f ' ( x )( f ( x ))2 untuk

(c) Jika dan untuk maka dan

untuk . Dengan menggunakan fakta ini dan definisi

tan x=sin xcos x

, sec x= 1cos x

untuk , maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian,

diperoleh

D tan x=(cos x )(cos x )−(sin x )(−sin x )

(cos x )2= 1(cos x )2

=(sec x )2

dan

D sec x=0−1(−sin x )

(cos x )2=sin x( cos x )2

=(sec x )( tan x )

untuk .

Fungsi Invers

Teorema 1.1.6 Misalkan adalah interval dan fungsi monoton

murni dan kontinu pada I. Misalkan dan monoton murni dan

merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f diferensiabel di dan

, maka g diferensiabel di , dan

g '(d )= 1

f '( c )= 1

f '( g(d ))

Bukti:

Untuk didefinisikan

8

H ( y )=f ( g( y ))−f ( g(d ))

g ( y )−g( d )

Karena monoton murni, maka untuk dengan

, sehingga H well-defined pada J. Juga karena , maka diperoleh

H ( y )= y−dg ( y )−g( d ) ,

sehingga untuk .

Akan dibuktikan bahwa limy→ d

H ( y )=f ' (c ). Diberikan sebarang .

Karena f diferensiabel di , maka terdapat sehingga untuk

, berlaku

|f (x )−f (c )

x−c−f ' (c )|<ε

.

Tetapi karena g kontinu di , maka untuk di atas, terdapat

sehingga untuk berlaku

.

Karena g satu-satu dan , diperoleh untuk

. Hal ini mengakibatkan

|H ( y )− f ' (c )|=|f ( g( y ))−f ( g(d ))

g ( y )−g (d )−f ' (c )|<ε

apabila . Karena sebarang, maka limy→ d

H ( y )=f ' (c ).

Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa untuk . Karena

g ( y )−g (d )y−d

= 1H ( y )

untuk , maka disimpulkan bahwa

limy→ d

g( y )−g(d )y−d

=limy→d

1H ( y )

= 1limy→ d

H ( y )= 1

f ' (c )

Jadi, ada dan nilainya sama dengan

Teorema 1.1.7

9

Misalkan adalah interval dan fungsi monoton murni pada I.

Misalkan dan merupakan fungsi invers dari f. Jika f

diferensiabel pada I dan untuk , maka g diferensiabel pada J, dan

g '= 1

f ' ∘g

Bukti: Jika f diferensiabel pada I, menurut Teorema 6.1.3 maka f kontinu pada

I. Sehingga dengan Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J.

Selanjutnya dengan Teorema 1.1.6, maka persamaan g '= 1

f ' ∘g dipenuhi.

Catatan: Jika dan fungsi-fungsi yang monoton murni pada

Teorema 1.1.7. Telah ditunjukkan bahwa jika untuk , maka g

diferensiabel pada J dan persamaan teorema 1.1.7 dapat ditulis sebagai

untuk y J

atau dalam bentuk

untuk x I.

Dapat juga ditulis dalam bentuk .

Contoh

Misalkan bilangan genap, , dan untuk . Dapat

ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk ,

fungsi invers juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada J.

Lebih lanjut, diperoleh untuk . Akibatnya, jika , maka

ada, dan

g '( y )= 1f '( g( y ))

= 1

n( g( y ))n−1= 1

n ( y1/n)n−1= 1

ny(n−1)/n.

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa

10

g '( y )=1

ny(1 /n )−1

untuk .

Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.

1.2 Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-Rata, yang menghubungkan nilai dari suatu fungsi

dengan nilai dari derivatifnya, merupakan salah satu hasil analisis real yang

banyak manfaatnya. Pada subbab ini akan dijelaskan teorema penting tersebut

beserta beberapa contoh aplikasinya.

Akan dimulai dengan melihat hubungan antara ekstrim relatif dari suatu

fungsi dengan nilai dari derivatifnya. Ingat kembali bahwa fungsi f : I

dikatakan mempunyai maksimum relatif [atau minimum relatif] di jika

terdapat persekitaran dari c sehingga [atau ]

untuk semua x di dalam . Fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di

jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.

Teorema 1.2.1 (Teorema Ekstrim Dalam)

Misalkan c adalah titik dalam dari interval I dan mempunyai ekstrim

relative di c. Jika derivatif dari f di c ada, maka .

Bukti:

Akan dibuktikan untuk kasus f mempunyai maksimum relatif di c, sedangkan

untuk kasus f mempunyai minimum relatif di c dapat dibuktikan dengan cara

yang sama.

Andaikan , maka terdapat persekitaran sehingga

f ( x )−f (c )x−c

>0 untuk .

Jika , maka diperoleh

f ( x )−f (c )=( x−c )⋅f ( x )−f (c )

x−c>0 .

11

Tetapi hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif

di c. Jadi pengandaian salah.

Andaikan , maka terdapat persekitaran sehingga

untuk .

Jika , maka diperoleh

f ( x )−f (c )=( x−c )⋅f ( x )−f (c )

x−c>0 .

Hal ini juga kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif

di c. Jadi pengandaian juga salah. Jadi, haruslah .

Akibat 1.2.2

Jika kontinu pada interval I dan f mencapai ekstrim relatif di titik c

di dalam I, maka berlaku salah satu derivatif dari f di c tidak ada atau nilainya

sama dengan nol.

Untuk memperjelas pemahaman akibat 1.2.2, perhatikan contoh berikut,

jika pada I = [-1, 1], maka f mempunyai minimum relatif di ,

tetapi f tidak diferensiabel di .

Teorema 1.2.3 (Teorema Rolle)

Jika f kontinu pada interval tertutup dan diferensiabel pada interval

terbuka , dengan , maka terdapat sedikitnya satu titik c di

dalam interval terbuka sehingga . (Lihat Gambar 1.2.1)

Bukti: Jika f fungsi nol pada I, maka sebarang titik c di dalam memenuhi

kesimpulan dalam teorema. Oleh karena itu dianggap bahwa f bukan fungsi nol

pada I. Jika perlu

12

Gambar 1.2.1 Teorema Rolle

gantikan f dengan –f dan diasumsikan f nilainya ada yang positif. Dengan

Teorema Maksimum-Minimum, fungsi f mencapai maksimum di suatu titik

dengan . Karena , maka titik c haruslah berada di dalam

. Menurut yang diketahui ada. Karena f mempunyai maksimum relatif

di c, maka dengan Teorema Ekstrim Dalam 1.2.1, di simpulkan bahwa .

Berikut adalah hasil yang merupakan akibat dari Teorema Rolle, yang

dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata.

Teorema 1.2.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika f fungsi kontinu pada interval tertutup dan diferensiabel pada

interval terbuka , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam

sehingga

.

Bukti:

Perhatikan fungsi yang didefinisikan pada I dengan

ϕ ( x )=f ( x )−f ( a)−f (b )−f (a )

b−a( x−a) .

13

[Fungsi adalah nilai dari selisih fungsi f dengan fungsi yang grafiknya adalah

ruas garis yang menghubungkan titik dan ; lihat Gambar 1.2.2].

Dalam hal ini hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh , karena kontinu

pada , diferensiabel pada , dan . Oleh karena itu, terdapat

titik c di dalam sehingga

0=ϕ' (c )=f '( c )−f (b )−f (a )

b−a .

Jadi .

Interpretasi geometri dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah bahwa terdapat

suatu titik pada kurva sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar

dengan garis yang melalui dua titik dan .

Dari Teorema Nilai Rata-rata, dapat diambil kesimpulan mengenai sifat-

sifat dari suatu fungsi dengan menggunakan informasi yang didapat dari

derivatifnya. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut.

Teorema 1.2.5

Jika f kontinu pada interval tertutup , diferensiabel pada interval terbuka

, dan untuk , maka f fungsi konstan pada I.

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa untuk semua . Jika diberikan

sebarang , , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-

Rata pada f pada interval tertutup terdapat titik c (yang bergantung pada

x) di antara a dan x sehingga

14

Gambar 1.2.2 Teorema Nilai Rata-rata.

Karena (dari hipotesis), maka disimpulkan bahwa

Karena diambil sebarang, maka untuk semua .

Akibat 1.2.6 :

Jika f dan g fungsi kontinu pada , diferensiabel pada dan

untuk semua , maka terdapat konstanta C sehingga

pada I.

Bukti:

Didefinisikan suatu fungsi sehingga

. Karena , maka , sehingga

berdasarkan teorema 1.2.5 pada . Dengan demikian

.

Contoh:

15

a x c b

(x)

Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan

dengan dan .

Perhatikan bahwa

Teorema 1.2.7

Jika diferensiabel pada I, maka

(a) f naik pada I jika dan hanya jika untuk semua .

(b) f turun pada I jika dan hanya jika untuk semua .

Bukti:

(a)

Misalkan untuk semua . Jika , dengan , maka dengan

mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval

terdapat titik c di antara sehingga

.

Karena dan , maka . Sehingga

Karena adalah sebarang titik di dalam I, maka f naik pada I.

16

Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan naik pada I. Untuk sebarang

, jika atau untuk , maka diperoleh

.

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa

f ' (c )=limx→c

f ( x )−f (c )x−c 0.

(b)

Misalkan untuk semua . Jika , dengan , maka

dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval

terdapat titik c di antara sehingga

.

Karena dan , maka . Sehingga

Karena adalah sebarang titik di dalam I, maka f turun

pada I.

Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan turun pada I. Untuk

sebarang , jika atau untuk , maka diperoleh

.

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa

.

Fungsi f dikatakan naik murni pada interval I jika untuk sebarang titik

, dengan maka Selanjutnya akan ditentukan syarat

cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrim relatif di titik dalam pada suatu

interval. Kondisi tersebut lebih dikenal sebagai Uji Derivatif Pertama.

17

Teorema 1.2.8 (Uji Derivatif Pertama untuk Ekstrim)

Misalkan f fungsi kontinu pada interval dan c titik dalam dari I. Jika f

diferensiabel pada dan , maka:

(a) Jika terdapat persekitaran sehingga untuk

dan untuk , maka f mempunyai maksimum

relatif di c.

(b) Jika terdapat persekitaran sehingga untuk

dan untuk , maka f mempunyai minimum relatif di c.

Bukti:

(a) Jika , maka menurut Teorema Nilai Rata-Rata terdapat titik

sehingga . Karena , maka

untuk . Dengan cara yang sama (tunjukkan) akan diperoleh

untuk . Jadi f mempunyai maksimum relatif di c.

(b) Bukti menggunakan cara yang sama seperti pada (a).

Kebalikan dari Uji Derivatif Pertama 1.2.8 tidak benar. Sebagai contoh,

fungsi yang didefinisikan dengan

mempunyai minimum global di tetapi bernilai positif dan negatif di

sekitar titik .

Ketaksamaan

Salah satu kegunaan dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah untuk

memperoleh beberapa ketaksamaan. Ketika informasi mengenai derivatif dari

18

suatu fungsi diberikan, informasi tersebut dapat digunakan untuk mengambil

kesimpulan mengenai beberapa sifat dari fungsi itu sendiri.

Contoh :

(a) Fungsi eksponensial mempunyai derivatif untuk semua

. Oleh karena itu untuk , dan untuk Dari

hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan ketaksamaan

untuk (*)

dengan kesamaannya akan diperoleh jika dan hanya jika .

Jika , maka kedua ruas ketaksamaan bernilai 1. Jika , dengan

menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4 terhadap fungsi f pada interval

, maka terdapat c dengan sehingga

.

Karena dan , maka untuk . Argumen yang sama juga

digunakan untuk menghasilkan ketaksamaan yang sama untuk Jadi

ketaksamaan (*) dipenuhi untuk semua x, dan kesamaan akan diperoleh hanya jika

.

(b) Fungsi mempunyai derivatif untuk semua Jelas

bahwa untuk semua Akan ditunjukkan bahwa

untuk semua . (**)

Pertama, jika diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata terhadap g pada interval

, dengan , diperoleh

19

untuk suatu c diantara 0 dan x. Karena dan , maka

. Karena kesamaan dipenuhi untuk , maka ketaksamaan (**)

dipenuhi.

(c) Jika bilangan real sehingga , dan , maka

. (#)

Misalkan untuk , maka . Sehingga

untuk dan untuk . Akibatnya,

untuk , dan jika dan hanya jika x = 1. Oleh karena itu, jika

dan , maka

.

Khususnya, jika diambil dan kedua ruas dikalikan dengan b, diperoleh

ketaksamaan (#) yang kesamaannya dipenuhi jika dan hanya jika a = b.

Sifat Nilai Antara dari Derivatif

Pada bagian ini akan dipelajari Teorema Darboux. Dimulai dengan jika f

fungsi diferensiabel di setiap titik dari suatu interval I, maka fungsi

mempunyai Sifat Nilai Antara. Hal ini berarti bahwa, jika mempunyai nilai A

dan B, maka juga mengambil semua nilai diantara A dan B. Pembaca akan

menyadari bahwa sifat ini merupakan salah satu konsekuensi dari kekontinuan

yang telah ditetapkan pada Teorema Nilai Antara Bolzano. Hal yang luar biasa

adalah bahwa derivatif yang tidak kontinu juga dapat memenuhi sifat ini.

Lemma 1.2.11

Jika adalah interval, diferensial di c, maka:

(a) Jika , maka terdapat bilangan sehingga untuk

dengan .

20

(b) Jika , maka terdapat bilangan sehingga untuk

dengan

Bukti:

(a) Karena limx→ c

f ( x )−f (c )x−c

=f ' (c )>0, maka terdapat sehingga untuk

, , berlaku

f ( x )−f (c )x−c

>0.

Akibatnya, untuk dengan , maka diperoleh

.

Jadi, jika dengan , maka .

(b) Bukti menggunakan cara yang sama dengan (a).

Teorema 1.2.12 (Teorema Darboux)

Jika f diferensiabel pada dan k bilangan diantara dan ,

maka terdapat paling sedikit satu titik sehingga .

Bukti:

Misalkan . Definisikan g pada I dengan untuk

. Mudah difahami bahwa g kontinu pada I, sehingga ia mencapai maksimum

pada I. Karena , maka dengan Lemma 1.2.11 (a) maksimum

dari g tidak terjadi di . Serupa, karena , maka dengan

Lemma 1.2.11 (b) maksimum dari g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g

mencapai maksimum di suatu titik . Akibatnya dengan Teorema 1.2.1

haruslah . Jadi .

Contoh :

21

Fungsi yang didefinisikan dengan

jelas tidak memenuhi sifat nilai antara pada interval [-1,1]. Oleh karena itu,

dengan Teorema Darboux, tidak ada fungsi f sehingga untuk semua

. Dengan kata lain, g bukan derivatif dari sebarang fungsi pada [-1,1].

1.3 Aturan L’Hospital

Marquis Guillame Franqois L’Hospital (1661-1704) adalah pengarang

buku kalkulus pertama, L’analyse des infiniment petits, yang diterbitkan pada

tahun 1696. Dia mempelajari kalkulus diferensial dari Johann Bernoulli (1667-

1748), saat pertama kali Bernoulli mengunjungi negaranya L’Hospital dan

kemudian melanjutkannya melalui surat. Buku yang dikarangnya itu merupakan

hasil studinya L’Hospital. Teorema limit, yang dikenal sebagai Aturan L’Hospital

lebih dulu muncul dalam buku tersebut, meskipun pada kenyataannya teorema itu

ditemukan oleh Bernoulli.

Pada subbab ini akan dijelaskan teorema tersebut beserta hasil-hasilnya

dan menunjukkan bagaimana teorema yang lain bisa diturunkan.

Bentuk Tak Tentu

Jika dan B=lim

x→ cg( x )

dengan , maka

limx→ c

f ( x )g ( x )

= AB .

Tetapi, jika , maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil. Akan dilihat

bahwa jika dan , maka limitnya tak berhingga (jika limitnya ada).

Kasus , belum pernah diberikan sebelummnya. Pada kasus ini,

limit dari pembagian f/g dikatakan tak tentu. Akan dilihat bahwa pada kasus ini

22

limitnya bisa tidak ada atau dapat bernilai sebarang bilangan real, tergantung pada

fungsi f dan g. Simbol 0/0 digunakan untuk menotasikan situasi tersebut. Sebagai

contoh, jika a adalah sebarang bilangan real, dan jika didefinisikan f ( x )=αx dan

g( x )=x , maka

limx→0

f ( x )g ( x )

=limx→0

αxx=lim

x→0α=α

.

Oleh karena itu bentuk tak tentu bisa saja menghasilkan sebarang bilangan real a

sebagai limitnya.

Bentuk tak tentu yang lain disajikan dengan simbol ∞/∞ ,0⋅∞ , 00 ,1∞ , ∞0 ,

dan ∞−∞ . Tetapi perhatian akan lebih difokuskan pada bentuk 0/0 dan ∞/∞ ,

karena bentuk yang lain biasanya dapat diturunkan dari kedua bentuk tak tentu

tersebut dengan menggunakan manipulasi logaritma, eksponensial, atau aljabar.

Aturan L’Hospital Bentuk 0/0

Untuk menunjukkan bahwa kegunaan diferensiasi dalam konteks ini

merupakan hal yang biasa dan bukan hal yang baru, akan diberikan terlebih

dahulu hasil dasarnya dengan menggunakan definisi dari derivatif.

Teorema 1.3.1

Misalkan f dan g terdefinisi pada , f (a )=g(a )=0 , dan misalkan g( x )≠0

untuk . Jika f dan g diferensiabel di a dan g '(a )≠0 , maka limit dari

ada nilainya sama dengan f ' (a )/g ' (a ). Jadi,

Bukti: Karena f (a )=g(a )=0 , maka pembagian f ( x )/ g( x ) dapat dituliskan

sebagai

23

f ( x )g ( x )

=f (x )− f (a )g (x )−g(a )

=

f ( x )−f ( a)x−a

g( x )−g (a )x−a

.

Dengan mengaplikasikan teorema pembagian limit diperoleh

Catatan: Hipotesis sangat penting di sini. Sebagai contoh, jika

dan untuk xR, maka , sedangkan .

Dengan menggunakan cara yang sama, limit berikut dapat dicari

limx→0

x2+xsin 2 x

=2⋅0+12cos 0

=12

.

Untuk menentukan limit dimana f dan g tidak diferensiabel di a,

diperlukan hasil yang yang lebih umum dari Teorema Nilai Rata-Rata.

Teorema 6.3.2 (Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy)

Jika f dan g kontinu pada , diferensiabel pada , dan g '( x )≠0 untuk

semua , maka terdapat sehingga

f (b )−f (a )g (b )−g(a )

=f ' (c )g ' (c )

.

Bukti:

Sebagaimana pembuktian Teorema Nilai Rata-Rata, didefinisikan suatu fungsi

yang memenuhi Teorema Rolle. Pertama, karena g '( x )≠0 untuk setiap ,

maka dengan Teorema Rolle g(a )≠g (b) . Untuk , didefinisikan

h( x )=f (b)−f ( a)g (b)−g(a )

( g( x )−g(a ))−( f ( x )−f (a )) .

24

Mudah difahami bahwa h kontinu pada , diferensiabel pada , dan

. Oleh karena itu dengan Teorema Rolle, terdapat titik

sehingga

0=h '(c )=f (b)−f (a)g (b)−g(a )

g '(c )−f ' (c ).

Karena g '( x )≠0 , maka dengan membagi persamaan di atas dengan g '(c ) akan

diperoleh hasil yang diinginkan.

Catatan:

Teorema di atas mempunyai interpretasi geometri yang mirip dengan Teorema

Nilai Rata-Rata 6.2.4. Fungsi f dan g dapat dipandang sebagai kurva dalam bidang

dengan memakai persamaan parameter dengan

Sedangkan kesimpulan dari teoremanya yaitu terdapat titik pada kurva

untuk suatu , sehingga gradien garis singgung di titik tersebut sama

dengan gradien garis lurus yang melalui titik dan .

Perhatikan jika , maka Teorema Nilai Rata-rata Cauchy menghasilkan

Teorema Nilai Rata-Rata 1.2.4.

Berikut ini diberikan hasil utama yang lebih dikenal sebagai Aturan

L`Hospital. Pembaca harus mengamati bahwa hal ini berbeda dengan Teorema

6.3.1, yaitu tidak diperlukan asumsi bahwa f diferensiabel di titik a.

Teorema 1.3.3 (Aturan L’Hospital)

Jika f dan g fungsi kontinu pada , diferensiabel pada , f(a) = g(a) = 0,

dan g( x )≠0 , dan g '( x )≠0 untuk , maka

(a) Jika untuk L , maka .

(b) Jika (atau −∞ ), maka (atau −∞ ).

25

Bukti:

(a) Diberikan sebarang . Dari yang diketahui terdapat sehingga untuk

berlaku

|f '( x )g ' ( x )

−L|<ε ..

Untuk sebarang x yang memenuhi diperoleh suatu titik c x (dengan

Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy) sehingga dan

f ( x )g ( x )

=f ' (cx )g ' (cx )

.

Karena c x memenuhi , dengan ketaksamaan sebelumnya

mengakibatkan

|f ( x )g( x )

−L|=|f ' (cx )g ' (cx )

−L|<ε .

Karena hal ini benar untuk semua x dengan , maka dapat

disimpulkan

.

(b) Hanya dibuktikan untuk kasus +¥. Diberikan sebarang . Terdapat

sehingga untuk berlaku

.

Untuk setiap x yang demikian, dapat diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata

Cauchy 1.3.2 untuk memperoleh c x sehingga dan

f ( x )g ( x )

=f ' (cx )g ' (cx )

>K .

Karena K sebarang, maka disimpulkan bahwa .

26

Contoh:

adalah bentuk tak tentu 0/0.

Maka

Teorema 1.3.4

Misalkan f dan g fungsi kontinu dan diferensiabel pada , dan

limx→∞

f ( x )=limx→∞

g( x )=0 dengan g '( x )≠0 untuk , maka

limx→∞

f (x )g( x )

= limx→∞

f ' ( x )g ' (x )

.

Bukti:

Dengan mengambil t=1/ x , pada interval didefinisikan fungsi F dan G

dengan

dan

.

Perhatikan bahwa dan Selanjutnya fungsi F

dan G memenuhi syarat hipotesis pada Teorema 1.3.3. Untuk , dengan

Aturan Rantai 1.1.5 diperoleh F ' ( t )=(−1/ t2) f ' (1/ t ) dan G ' ( t )=(−1/ t2 )g ' (1/ t ). Sehingga dengan Teorema 1.3.3 disimpulkan bahwa

27

Contoh

(a)

Perhatikan bahwa penyebut tidak diferensiabel di x = 0 sehingga Teorema

1.3.1 tidak dapat diaplikasikan.

(b) limx→0

(1−cos x )x2

=limx→0

sin x2 x

. Pembagian pada limit kedua masih merupakan

bentuk tak tentu 0/0. Sehingga aturan L’Hospital masih dapat digunakan.

Akibatnya

limx→0

(1−cos x )x2

=limx→0

sin x2 x

=limx→0

cos x2

=12

.

(c) limx→0

( ex−1 )/ x=limx→0

ex /1=1 . Dengan cara serupa,

limx→0

ex−1−xx2

=limx→0

ex−12x

=12

.

(d) .

(e) Misalkan diketahui fungsi f dengan

.

Karena , maka f kontinu di 0.

Lebih lanjut, f juga diferensiabel di 0 dengan

.

(f) Misalkan f diferensiabel dua kali di persekitaran dari c, hitung

.

28

Limit ini adalah bentuk tak tentu 0/0 (terhadap h), sehingga

Bentuk ¥ / ¥

Teorema 1.3.6

Jika f dan g diferensiabel pada , dan , serta

g( x )≠0 dan g '( x )≠0 untuk , maka :

(a) Jika untuk , maka .

(b) Jika (atau −∞ ), maka (atau −∞ ).

Bukti:

(a) Diberikan sebarang . Dari hipotesis terdapat sehingga untuk

berlaku

|f '( x )g ' ( x )

−L|<ε .

Dipilih c1 di dalam , dan karena f mempunyai limit kanan di a, maka

dapat dipilih c2 di dalam sehingga untuk .

Selanjutnya didefinisikan fungsi F pada dengan

F ( x )=

1−f ( c1 )/ f ( x )1−g(c1)−g( x ) untuk .

29

Karena g '( x )≠0 untuk , maka untuk . Dari

definisi fungsi F, . Oleh karena itu terdapat titik c3 dengan

sehingga |F ( x )−1|<ε untuk . Jadi, jika , maka

1|F ( x )|

< 11−ε

<2 .

Perhatikan bahwa

f ( x )g ( x )

=f ( x )g (x )

⋅F (x )F (x )

=f ( x )−f ( c1)g( x )−g (c1)

⋅ 1F( x )

.

Kemudian dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy 1.3.2,

terdapat x di dalam sehingga

f ( x )g ( x )

=f ' (ξ )g ' (ξ )

⋅ 1F ( x )

.

Karena a< x<c3<c2<c1<a+δ , maka diperoleh

|

f ( x )g( x )

−L|=|f ' (ξ )g ' (ξ )

⋅ 1F ( x )

−L|

=|

f ' (ξ )g ' ( ξ )

−LF( x )|⋅|F( x )|−1

¿ {| f ' (ξ )

g ' (ξ )−L|+|L−LF ( x )|}|F( x )|−1

¿( ε+|L|ε )2={2(1+|L|)}ε .

Karena e > 0 sebarang, maka disimpulkan bahwa limx→a+

f ' ( x )g' ( x )

=L.

(b) Buktinya ditinggalkan sebagai latihan.

30

Terdapat suatu teorema yang sejalan dengan Teorema 1.3.6, yang berlaku

untuk . Hasil ini diperoleh dari Teorema 6.3.6 dengan cara yang sama

seperti ketika menurunkan Teorema 1.3.4 dari Teorema 1.3.3.

Contoh

(a) Misalkan dan perhatikan . Jika diaplikasikan modifikasi

dari Teorema 1.3.6, maka .

(b) Misalkan I = R dan perhatikan . Dalam hal ini diperoleh

.

(c) Misalkan dan perhatikan . Dengan

mengaplikasikan Teorema 1.3.6 diperoleh

limx→0+

logsin xlog x

=limx→0+

cos xsin x1/ x

= limx→0+

( xsin x )¿cos x .

Karena limx→0+

x /sin x=1 dan

limx→0+

cos x=1, maka disimpulkan

.

Bentuk-bentuk Tak Tentu yang Lain

Bentuk-bentuk tak tentu seperti 00 , dan ∞−∞ dapat

diperoleh dari bentuk tak tentu sebelumnya dengan menggunakan manipulasi

aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial.

Contoh

(a) Misalkan dan perhatikan

,

31

yang mempunyai bentuk tak tentu ∞−∞ . Bentuk direduksi ke bentuk 0/0,

(b) Misalkan dan perhatikan , yang mempunyai bentuk tak

tentu . Diperoleh

(c) Misalkan dan perhatikan , yang mempunyai bentuk tak tentu

. Dengan mengingat kembali aturan pada kalkulus bahwa ,

maka dari (b) dan kekontinuan fungsi untuk , diperoleh

(d) Misalkan d an perhatikan , yang mempunyai bentuk tak

tentu . Karena

(*)

dan

,

maka dengan kekontinuan di , disimpulkan bahwa =

1.4 Teorema Taylor

Nilai fungsi dari suku banyak dapat ditentukan dengan melakukan

sejumlah berhingga operasi penjumlahan dan perkalian. Tetapi terdapat beberapa

fungsi lain seperti fungsi logaritma, eksponensial dan fungsi trogonometri yang

nilainya tidak dapat ditentukan dengan mudah. Pada subbab ini akan

32

diperlihatkan bahwa banyak fungsi yang dapat dihampiri oleh suku banyak, dan

suku banyak tersebut sebagai pengganti fungsi asalnya dapat digunakan untuk

perhitungan apabila perbedaan diantara nilai fungsi asalnya dan hampirannya

dengan suku banyak cukup kecil.

Terdapat berbagai metode untuk meghampiri fungsi yang diberikan

dengan suku banyak. Salah satu cara yang paling sering digunakan adalah dengan

rumus Taylor. Nama ini diabadikan untuk menghormati seorang matematikawan

Inggris, Brook Taylor (1685 – 1731). Teorema Taylor dapat dipandang sebagai

perluasan dari Teorema Nilai Rata-Rata.

Jika fungsi f mempunyai derivatif ke-n di titik , tidak sulit untuk

mengkonstruksi suku banyak berderajat n, , sehingga dan

untuk k = 1,2,…, n. Kenyataanya suku banyak

(*)

mempunyai sifat seperti ini. Suku banyak ini disebut suku banyak Taylor ke-n

untuk f di . Suku banyak ini diharapkan akan menghampiri f di titik-titik dekat

, tetapi untuk mengukur keakuratan dari hampiran perlu informasi dari sisa

. Hasil berikut memberikan informasi demikian.

Teorema 1.4.1 (Teorema Taylor)

Misalkan , , dan sehingga f dan derivatif

kontinu pada I dan ada pada (a,b). Jika , maka untuk sebarang

terdapat titik c diantara x dan sehingga

(**)

Bukti:

Misalkan dan J interval tertutup dengan titik ujung x dan . Didefinisikan

fungsi F pada J dengan

33

untuk . Mudah difahami bahwa

.

Jika didefinisikan G pada J dengan

untuk , maka G kontinu pada J, diferensiabel diantara x dan , dan

. Akibatnya menurut Teorema Rolle 1.2.3 terdapat titik c diantara

x dan sehingga

.

Oleh karena itu,

yang memberikan persamaan (**).

Jika menotasikan suku banyak Taylor berderajat n (1) dari f , dan

untuk sisa, maka kesimpulan dari Teorema Taylor dapat dituliskan sebagai

dengan diberikan oleh

(***)

untuk suatu c diantara x dan . Formula disebut bentuk Lagrange (atau

bentuk derivatif) dari sisa.

34

Aplikasi dari Teorema Taylor

Suku sisa di dalam Teorema Taylor dapat digunakan untuk

mengestimasi error dari hampiran suku banyak Taylor terhadap f. Jika nilai n

ditentukan, maka keakuratan dari hampiran itu dapat dihitung. Sebaliknya, jika

keakuratan ditentukan lebih dahulu, maka nilai n dapat ditentukan. Contoh-contoh

berikut menjelaskan keadaan ini.

Contoh

(a) Gunakan Teorema Taylor dengan untuk menghampiri , .

Diambil fungsi , dan . Karena dan

, maka dan . Jadi

,

dengan untuk suatu c diantara 0 dan x. Jika

diambil , maka diperoleh hampiran untuk . Lebih

lanjut, karena dalam kasus ini , maka dan sehingga errornya

paling besar adalah

.

Jadi, diperoleh , yaitu diperoleh ketelitian sampai dua

tempat desimal.

(b) Hampiri bilangan e dengan error kurang dari .

Ambil fungsi , dan x = 1 di dalam Teorema Taylor. Akan

ditentukan n sehingga . Untuk melakukan ini, gunakan fakta

bahwa , untuk semua k N, dan untuk ,

maka suku banyak Taylor berderajat n adalah

,

dan sisa untuk x = 1 diberikan oleh

35

dengan . Karena , jika dan hanya jika .

Ketaksamaan terakhir ini dipenuhi untuk n = 8, sehingga diperoleh

dengan error kurang dari .

Teorema Taylor dapat juga untuk menurunkan beberapa ketaksamaan.

Contoh:

(a) Tunjukkan bahwa untuk semua

Dengan dan di dalam Teorema Taylor diperoleh

dengan

,

dan c bilangan diantara 0 dan x. Jika , maka . Lebih lanjut,

karena c dan positif, maka . Juga, jika , maka

Karena c dan negatif, maka . Oleh karena itu,

untuk .

Jika , maka dan ketaksamaan dengan sendirinya

dipenuhi. Jadi ketaksamaan di atas dipenuhi untuk semua x .

(b) Untuk sebarang k N, dan untuk semua , berlaku

.

Karena derivatif dari adalah untuk , maka suku banyak

Taylor untuk dengan adalah

dan sisanya diberikan oleh

36

untuk suatu c yang memenuhi . Jadi untuk sebarang dan

(genap), maka . Sedangkan untuk (ganjil), maka

. Akhirnya ketaksamaan di atas terbukti.

37