ma5032 analisis real - (semester i tahun 2011-2012)

Daftar Isi1. BILANGAN REAL - SIFAT KELENGKAPAN

MA5032 ANALISIS REAL(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan∗

∗Dosen FMIPA - ITBE-mail: [email protected].

August 17, 2011

Hendra Gunawan MA5032 ANALISIS REAL


1.1 Paradoks Zeno1.2 Himpunan Terbatas1.3 Sifat Kelengkapan1.4 Manipulasi dengan Supremum dan Infimum




Zeno, seorang filsuf dan matematikawan Yunani Kuno (490-435SM), mengemukakan sebuah paradoks tentang suatu perlombaanlari antara Achilles dan seekor kura-kura. Karena Achilles berlarilebih cepat daripada sang kura-kura, maka sang kura-kura memulaiperlombaan x0 meter di depan Achilles. Menurut Zeno, sekalipunAchilles berlari lebih cepat dan akan semakin mendekati sangkura-kura, namun ia takkan pernah dapat menyalip sangkura-kura. Ketika Achilles mencapai titik di mana sang kura-kuramulai berlari, sang kura-kura telah menempuh x1 meter; dan ketikaAchilles mencapai posisi tersebut beberapa saat kemudian, sangkura-kura telah menempuh x2 meter lebih jauh; dan seterusnya.




Apa yang salah dengan paradoks Zeno ini? Dengan pengetahuantentang bilangan real yang kita kenal sekarang, Achilles akanmenyalip sang kura-kura ketika ia telah menempuh x meter,dengan x sama dengan ‘bilangan real terkecil yang lebih besar darisemua bilangan x0, x0 + x1, x0 + x1 + x2, . . . .’ Sebagai contoh,bila Achilles berlari dengan kecepatan 6 m/detik sementara sangkura-kura berlari dengan kecepatan 3 m/detik (ditarik roda), makaAchilles akan menyalip sang kura-kura setelah

1

2+

1

4+

1

8+ · · · = 1 detik.




Hal serupa dijumpai pada metode exhaustion Eudoxus (405-355SM), yang digunakan oleh Archimedes (287-212 SM) untukmenghampiri luas daerah lingkaran dengan luas daerah segi-nberaturan di dalam lingkaran, yaitu dengan barisan bilanganA1, A2, A3, . . . . Luas daerah lingkaran kelak didefinisikan sebagai‘bilangan real terkecil yang lebih besar dari setiap bilanganAi , i = 1, 2, 3, . . . . Argumen ini bergantung pada sebuah sifatbilangan real yang belum terpikirkan oleh Eudoxus danArchimedes, serta matematikawan lainnya pada zaman itu.




Sifat bilangan real yang diperlukan untuk membantah paradoksZeno atau mendukung argumen Eudoxus dan Archimedes adalahSifat Kelengkapan, yang menjamin eksistensi bilangan real x yanglebih besar dari x0, x0 + x1, x0 + x1 + x2, . . . (pada paradoksZeno) dan juga bilangan real A yang lebih besar dariAi , i = 1, 2, 3, . . . (pada perhitungan Archimedes).




Sifat Kelengkapan bilangan real biasanya tidak diungkapkan secaraeksplisit dalam kuliah Kalkulus, namun sesungguhnya merupakansifat yang sangat penting. (Tanpa Sifat Kelengkapan, Achillestakkan memenangkan perlombaan dan luas daerah lingkaran takdapat dinyatakan sebagai sebuah bilangan.)




Sebelum membahas Sifat Kelengkapan, kita perlu memperkenalkansejumlah istilah terlebih dahulu. Misalkan H himpunan bagian dariR. Himpunan H dikatakan terbatas di atas apabila terdapat suatubilangan real M sedemikian sehingga

x ≤ M

untuk setiap x ∈ H. Bilangan M yang memenuhi sifat ini (bilaada) disebut sebagai batas atas untuk himpunan H. Jika Mmerupakan batas atas untuk H, maka semua bilangan yang lebihbesar daripada M juga merupakan batas atas untuk H.




Serupa dengan itu, himpunan H dikatakan terbatas di bawahapabila terdapat suatu bilangan real m sedemikian sehingga

m ≤ x

untuk setiap x ∈ H. Bilangan m yang memenuhi sifat ini (bilaada) disebut sebagai batas bawah untuk H. Jika m merupakanbatas bawah untuk H, maka semua bilangan yang lebih kecildaripada m juga merupakan batas bawah untuk H.Himpunan H dikatakan terbatas apabila ia terbatas di atas danterbatas di bawah.




Contoh 1

(i) Himpunan A := {1, 2, 3} terbatas di atas. Sebagai contoh,100, 10, 5, dan 3 merupakan batas atas untuk A. Himpunan Ajuga terbatas di bawah. Sebagai contoh, −5, −1, 0, dan 1merupakan batas bawah untuk A.(ii) Himpunan I := {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} terbatas di atas. Sebagaicontoh, 100, 10, dan 1 merupakan batas atas untuk I . HimpunanI juga terbatas di bawah. Sebagai contoh, −10, −1, dan 0merupakan batas bawah untuk I .(iii) Himpunan semua bilangan real positif P := {x ∈ R : x > 0}terbatas di bawah namun tidak terbatas di atas. Jika M merupakanbatas atas untuk P, maka x ≤ M untuk setiap x ∈ P. Dalam halini M mesti merupakan bilangan positif. Sebagai akibatnya M + 1juga positif dan M + 1 ≤ M, sesuatu yang mustahil.




Proposisi 2

Himpunan H ⊆ R terbatas jika dan hanya jika terdapat suatubilangan real K sedemikian sehingga

|x | ≤ K

untuk setiap x ∈ H.




Misalkan himpunan H terbatas dan M adalah suatu batas atasuntuk H. Bila M ≤ b untuk sembarang batas atas b untuk H,maka M disebut sebagai batas atas terkecil untuk H. Serupadengan itu, misalkan m adalah suatu batas bawah untuk H. Bilaa ≤ m untuk sembarang batas bawah a untuk H, maka m disebutsebagai batas bawah terbesar untuk H.Sebagai contoh, himpunan A = {1, 2, 3} mempunyai batas atasterkecil 3 dan batas bawah terbesar 1.




Batas atas terkecil untuk H disebut pula sebagai supremum H,ditulis supH. Serupa dengan itu, batas bawah terbesar untuk Hdisebut pula sebagai infimum H, ditulis inf H. Jika H mempunyaisupremum dan infimum, maka jelas bahwa

inf H ≤ supH.

Secara umum perlu dicatat bahwa supremum maupun infimumsuatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan itu.Jika H tidak terbatas di atas, kadang kita menuliskansupH = +∞; dan jika H tidak terbatas di bawah, kita dapatmenuliskan inf H = −∞.




Contoh 3

(i) Himpunan A = {1, 2, 3} mempunyai batas atas terkecil 3 danbatas bawah terbesar 1; yakni, supA = 3 dan inf A = 1.(ii) Misalkan I = {x : 0 ≤ x < 1}. Maka, sup I = 1 dan inf I = 0.(iii) Misalkan P = {x : x > 0}. Maka, supP = +∞ (yakni, P takterbatas di atas) dan inf P = 0.




Soal Latihan

1 Buktikan bahwa batas atas terkecil himpunan I pada Contoh1(ii) adalah 1.

2 Buktikan bahwa batas bawah terbesar himpunan P padaContoh 1(iii) adalah 0.

3 Buktikan Proposisi 2.4 Verifikasi nilai supremum dan infimum pada Contoh 3(ii) dan

(iii).5 Diketahui H =

{1n : n ∈ N

}. Buktikan bahwa supH = 1 dan

inf H ≥ 0. (Kelak anda akan diminta membuktikan bahwainf H = 0.)

6 Diketahui himpunan H 6= ∅ terbatas di atas dan M adalahsuatu batas atas H. Buktikan bahwa M = supH jika danhanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat x ∈ H sedemikiansehingga x > M − ε.




Sebentar lagi kita akan sampai pada perumusan Sifat Kelengkapanbilangan real, yang kerap kita gunakan pada pembahasanselanjutnya.

Catat jika H = ∅, maka H terbatas (!) tetapi tidak mempunyaisupremum maupun infimum. Jika H 6= ∅ dan terbatas, apakah Hpasti memiliki supremum dan infimum?Sebagai contoh, pada sistem bilangan rasional Q, himpunanH = {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2} merupakan himpunan tak kosongdan terbatas, namun himpunan ini tidak memiliki supremum.(Andai H memiliki supremum, sebutlah b, maka haruslah b2 = 2.Namun tidak ada b ∈ Q sedemikian sehingga b2 = 2.)




Selain memenuhi Sifat Lapangan dan Sifat Urutan, sistem bilanganreal R memenuhi Sifat Kelengkapan, yakni:

C. Setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di atasmempunyai batas atas terkecil (supremum). Setiap himpunanbagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah mempunyai batasbawah terbesar (infimum).

Dengan Sifat Kelengkapan, himpunan bilangan real R dapatdinyatakan sebagai sebuah garis, yang kita kenal sebagai garisbilangan real. Sifat Kelengkapan menjamin bahwa setiap titik padagaris tersebut menyatakan sebuah bilangan real, dan sebaliknyasetiap bilangan real menempati sebuah titik pada garis tersebut.




Sebagai perbandingan, himpunan bilangan rasional Q tidakmemenuhi Sifat Kelengkapan, dan apabila kita memaksakan diriuntuk menyatakannya sebagai sebuah garis, maka garis tersebutakan berlubang-lubang (sebagai contoh, bilangan x di antara 1 dan2 yang memenuhi x2 = 2 bukan merupakan bilangan rasional, dankarenanya terdapat lubang di antara 1 dan 2).




Teorema 4 (Eksistensi Akar ke-n)

Misal a > 0 dan n ∈ N. Maka terdapat (tepat satu) bilangan realpositif x sedemikian sehingga xn = a.

Bukti. Misal H = {t ∈ R : t > 0, tn < a}. Maka H 6= ∅ karenat = a

a+1 ∈ H. Juga, jika t > a + 1, maka tn ≥ t > a dankarenanya t /∈ H. Karena itu a + 1 merupakan batas atas untuk H.Menurut Sifat Kelengkapan, H mempunyai supremum, sebutlah b.Andaikan bn < a. Pilih h sedemikian sehingga 0 < h < 1 danh < a−bn

(1+b)n−bn . Maka

(b+h)n =n∑

k=0

(n

k

)bn−khk ≤ bn+h[(1+b)n−bn] < bn+(a−bn) = a.

Akibatnya, b + h ∈ H. Ini mustahil mengingat b adalah batas atasuntuk H.




Sekarang andaikan bn > a. Dengan trick yang serupa, kita dapatmemilih k sedemikian sehingga 0 < k < 1 dan h < bn−a

(1+b)n−bn .Selanjutnya, kita dapat menunjukkan bahwa untuk t ≥ b − kberlaku

tn ≥ (b − k)n ≥ bn − k[(1 + b)n − bn] > bn − (bn − a) = a.

Akibatnya, b − k merupakan batas atas untuk H. Ini bertentangandengan fakta bahwa b adalah batas atas terkecil untuk H.Menurut Hukum Trikotomi, mestilah bn = a. Jadi terdapat x = bsedemikian sehingga xn = a. Ketunggalannya jelas, karena jikax < b, maka xn < a; dan jika x > b, maka xn > a. Jadi hanyax = b yang memenuhi xn = a.




Sifat Kelengkapan tidak hanya menjamin eksistensi akar ke-n darisuatu bilangan positif, tetapi juga menjamin bahwa 1 merupakanbilangan real terkecil yang lebih besar dari 1

2 + 14 + · · ·+ 1

2n , danterdapat bilangan real π yang menyatakan luas daerah lingkaranberjari-jari 1 dan nilainya lebih besar dari luas daerah segi-nberaturan di dalam lingkaran tersebut, untuk setiap n ∈ N.Sifat Kelengkapan pula lah yang menjamin bahwa bilangan yangmempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun berulang (yangdibahas pada Sub-bab 0.2) merupakan bilangan real.




Soal Latihan

1 Dengan menggunakan logika, buktikan bahwa himpunankosong terbatas. Mengapa ia tidak mempunyai supremummaupun infimum?

2 Buktikan jika himpunan H 6= ∅ mempunyai supremum, makasupremumnya tunggal.




Misalkan H ⊆ R dan c ∈ R. Kita definisikan

cH := {cx : x ∈ H} dan H + c := {x + c : x ∈ H}.

Sebagai contoh, jika A = {1, 2, 3} dan c = 2, maka

2A = {2, 4, 6} dan A + 2 = {3, 4, 5}.




Proposisi 5

Misalkan H ⊆ R tak kosong dan terbatas di atas, dan c > 0. MakacH terbatas di atas dan

sup(cH) = c supH.




Bukti. Misalkan v = supH. Ambil sembarang y ∈ cH. Maka,y = cx untuk suatu x ∈ H. Karena x ≤ v dan c > 0, kita peroleh

y ≤ cv .

Jadi cv merupakan batas atas cH. Selanjutnya, untuk sembarangε > 0, v − ε

c bukan batas atas H. Karena itu, terdapat x ∈ Hsedemikian sehingga

v − ε

c< x .

Kalikan kedua ruas dengan c , kita dapatkan

cv − ε < cx ,

yang menunjukkan bahwa cv − ε bukan batas atas cH. Jadi cvmerupakan batas atas terkecil cH, yakni cv = sup(cH).




Proposisi 6

Misalkan H ⊆ R tak kosong dan terbatas di atas, dan c < 0. MakacH terbatas di bawah dan

inf(cH) = c supH.




Proposisi 7

Misalkan H ⊆ R tak kosong dan terbatas di atas, dan c ∈ R.Maka H + c terbatas di atas dan

sup(H + c) = c + supH.




Soal Latihan

1 Buktikan Proposisi 6.

2 Buktikan Proposisi 7.

3 Misalkan H ⊆ R tak kosong dan terbatas di atas, dan G ⊆ Hjuga tak kosong. Buktikan bahwa G terbatas di atas dansupG ≤ supH.

4 Diketahui ∅ 6= H ⊆ P = {x ∈ R : x > 0}. Definisikanhimpunan G =

{1x : x ∈ H

}. Buktikan jika H terbatas di

atas, maka G terbatas di bawah dan

inf G =1

supH.


ma5032 analisis real - (semester i tahun 2011-2012)

Documents