TRANSFORMASI GEOMETRI

Nama : Meydina Rahmawati Nesha Mutiara

Kelas : XI MIPA 2

• Jenis – jenis transformasi :

• A. Transformasi Isometri

• translasi• refleksi• rotasi

• B. Transformasi Bukan isometri

• dilatasi

1. Translasi / Pergeseran• Memindahkan setiap titik pada bidang menurut

jarak dan arah tertentu.

• Contoh soal :

• 1. Tentukan bayangan titik A ( 1,4 ) oleh translasi• T = ( 2,1 )

• JAWAB: A’ = ( 1,4 ) + ( 2,1 ) = ( 3,5 )

• 2. Suatu translasi T memetakan titik B ( 2,-4 ) ke titik B’ ( 4,-1 ). Tentukan translasi T dan bayangan titik C ( -2,-3 ) karena translasi T!

• JAWAB: B’ = ( 2,-4 ) + ( a,b ) = ( 4,-1 )• ( a,b ) = (4,-1 ) – ( 2,-4 ) = ( 2,3 )

• C’ karena translasi T = ( -2-3 ) + ( 2,3 ) = ( 0,0 )

• 3. Tentukan bayangan garis y=2x+1 oleh translasi T • ( 3,-2 ) !

• JAWAB: y – b = m( x – a ) + c• y + 2 = 2 ( x – 3 ) + 1• y = 2x – 7

2. Refleksi / Pencerminan• Memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat

bayangan cermin dari titik – titik yang hendak dipindahkan itu.

• Sumbu pencerminan / sumbu simetri garis yang digunakan sebagai media pencerminan objek.

• P ( x,y ) sumbu X P’ ( x,-y )• P ( x,y ) sumbu Y P’ ( -x,y )• P ( x,y ) garis y = x P’ ( y,x )• P ( x,y ) garis y = -x P’ ( -y,-x )• P ( x,y ) pusat O P’ ( -x,-y )

• Contoh soal :

• 1. Tentukan koordinat bayangan A ( 2,1 ) karena refleksi terhadap sumbu Y, sumbu X, garis y = x, garis y = -x, dan pusat O !

• JAWAB:

• Terhadap sumbu Y : A’ ( -2,1 )• Terhadap sumbu X : A’ ( 2,-1 )• Terhadap garis y = x : A’ ( 1,2 )• Terhadap garis y = -x : A’ ( -1,-2 )• Terhadap pusat O : A’ ( -2-1 )

• 2. Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 karena refleksi terhadap sumbu X!

• JAWAB: ambil 2 titik misalkan A (1,3 ) dan B ( 4,9 ) refleksi terhadap sumbu X menjadi A’ ( 1,-3 ) dan B’ ( 4,-9 )

y – y1 = x – x1 y – ( -3 ) = x – 1 y2 – y1 = x2 – x1 -9 – ( -3 ) = 4 – 1 y + 3 = x – 1 y + 3 = -2 ( x – 1 ) -6 3 y = -2x + 2 – 3 -2x – 1

3. Rotasi / Perputaran• Memindahkan suatu titik ke titik lain dengan

perputaran terhadap titik pusat tertentu.

• Ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi ( searah atau berlawanan arah perputaran jarum jam ).

a. Rotasi terhadap Pusat O ( 0,0 ) sebesar (derajat atau radian )

• x’ = x cos – y sin• y’ = x sin + y cos

• Contoh soal :

• 1. Tentukan bayangan titik P ( 6,4 ) oleh rotasi dengan pusat O ( 0,0 0 sebesar 90o!

• JAWAB: • P’ = ( 6 cos 90o – 4 sin 90o , 6 sin 90o + 4 cos 90o )

= ( 6 . 0 – 4 . 1, 6 . 1 + 4 . 0 ) = ( 0 – 4, 6 + 0 ) = ( -4, 6 )

• Tentukan bayangan garis y = -3x + 5 karena rotasi yang berpusat di O ( 0,0 ) sebesar 90o!

• JAWAB: Ambil 2 titik misalkan A ( 0,5 ) dan B ( 2,-1 )• A ( 0,5 )A’ ( 0 . cos90o – 5 sin 90o, • 0 . sin 90o + 5 cos 90o ) = ( -5,0 )• B ( 2,-1 )B’ ( 2 . cos 90o – ( -1 ) sin 90o, • 2 . sin 90o – 1 . cos 90o ) = ( 1,2 )•

• Persamaan garis yang melalui A’ dan B’ :

• y – y1 = x – x1 y – 0 = x – ( -5 )

• y2 – y1 = x2 – x1 2 – 0 = 1 – ( -5 )• y = x + 5 6y = 2x + 10 3y – x – 5 = 0• 2 6

b. Rotasi terhadap Pusat A ( a,b ) Sebesar

• x’ – a = ( x – a ) cos – ( y – b ) sin• y’ – b = ( x – a ) sin + ( y – b ) cos

• Contoh soal :

• 1. Tentukan bayangan titik ( 6,4 ) karena rotasi yang berpusat di titik A ( 2,1 ) sebesar 180o!

• JAWAB: • x’ – 2 = ( 6 – 2 ) cos 180o – ( 4 – 1 ) sin 180o• x’ – 2 = -4• x’ = -2

• y’ – 1 = ( 6 – 2 ) sin 180o + ( 4 – 1 ) cos 180o• y’ – 1 = -3• y’ = -2

• Jadi, bayangannya adalah ( -2,-2 )

4. Dilatasi / Perubahan Skala• Memperbesar atau memperkecil bangun tetapi

bentuknya tetap ( bayangan objek yang didilatasikan sebangun dengan objeknya semula ).

• Ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor dilatasi atau faktor skala.

• 4 jenis bayangan hasil dilatasi terhadap suatu bangun :

a. k > 1

b. 0 < k < 1

c. -1 < k < 0

d. k < -1

a. Berpusat di Titik O ( 0,0 )• Bayangan titik P ( x,y ) oleh dilatasi [ O,k ] adalah • P’ ( x’,y’ ), dengan x’ = kx, dan y’ = ky

• Contoh soal :

1. Tentukan bayangan titik P ( 6,8 ) karena dilatasi • [ O,-2 ]

• JAWAB: P’ = ( 6. -2 , 8 . -2 ) = ( -12,-16 )

b. Berpusat di Titik A ( a,b )• Bayangan titik P 9 x,y ) oleh dilatasi • [ A ( a,b ), k ] adalah P’ ( x’,y’ ) dengan :• x’ – a = k ( x – a ) • y’ – b = k ( y – b )

• Contoh soal :

• 1. Tentukan bayangan titik ( 3,6 ) karena dilatasi terhadap [ A ( 1,2 ), 2 ] !

• JAWAB:

• x’ : 2 ( 3 – 1 ) + 1 = 5• y’ : 2 ( 6 – 2 ) + 2 = 10

• P ( x’,y’ ) = ( 5,10 )

Matriks yang Bersesuaian dengan Suatu Transformasi

1. Matriks yang Bersesuaian dengan Refleksi

Transformasi terhadap

Hasil Transformasi Matriks

Sumbu X ( x,y ) ( x,-y ) 1 0 0 -1

Sumbu Y ( x,y ) ( -x,y ) -1 0 0 1

Garis y = x ( x,y ) ( y,x ) 0 1 1 0

Garis y = -x ( x,y ) ( -y,-x ) 0 -1 -1 0

Pusat O ( x,y ) ( -x,-y ) -1 0 0 -1

• Contoh soal :

• 1. Tentukan bayangan titik A ( -2,1 ) karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, garis y = -x, dan pusat O!

• JAWAB:

2. Matriks yang Bersesuaian dengan Rotasi

• x’ cos -sin x

• = y’ sin cos y

Contoh soal :

1.Tentukan bayangan titik ( -3,5 ) karena rotasi yang berpusat di O sebesar 90o!

• 2. Tentukan bayangan garis 2x –y + 10=0 karena rotasi yang berpusat di ( -2,4 ) sebesar 90o!

3. Matriks yang Bersesuaian dengan Dilatasi

• x’ k 0 x – a a• = + • y’ 0 k y – b b

• Contoh soal :

• Tentukan bayangan titik A ( -2,1 ) karena dilatasi • [ O,-3 ]

Transformasi Oleh Suatu Matriks• Jika transformasi yang

bersesuaiandenganmatriksmentransformasikantitik A (x,y) Ke A’ (x’,y’), makahubunganantarakoordinat A dan A’ dinyatakandenganpersamaanmatriks:

= contoh: • Bayangantitik A ( 3, -4 ) olehsuatutransformasi yang

bersesuaiandenganmatriksadalah…. = = = =

Jadi, x’= -9 , y’= -14 A’ (-9, -14)

Contoh :bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi !Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5    P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)    P'(y,x) ditranslasi . Bayangannya P”(y+3, x+2)=P”(x”,y”)     Jadi     x” = y +3 → y = x”-3        y” = x +2 → x = y” -2        persamaan -4x+y=5 → -4(y” -2) + (x” – 3) = 5                    -4y” + 8 + x” – 3 = 5                        x” – 4y”= 0    jadi bayangan akhirnya adalah x – 4y= 0

KOMPOSISI TRANSFORMASIKomposisi transformasi adalah pengerjaan dua atau lebih transformasi secara berurutan.Transformasi T1 dilanjutkan dengan transformasi T2 terhadap sasuatu titik A dapat ditulis:

(T2 o T1) (A) → T2 (T1(A))Sebaliknya, T1o T2 (baca:T1 komposisi T2) berarti transformasi T2 dilanjutkan T1.

(T1 o T2) (A) → T1 (T2(A))

1. Komposisi Translasi

• Jika ditranslasi T1 = danT2 = makakomposisitranslasi T1 dan T2 dapatdiwakiliolehsebuahtranslasitunggal yang ditentukanoleh: T =

• Sifat- sifatkomposisitranslasi: 1) Untukduatranslasiberurutanberlaku : T1 o T2 = T2 o T1 (kumutatif) 2) Untuktigatranslasiberurutabberlaku : (T1 o T2) = T1 o (T2 o T3 ) (asosoatif)

komposisi dua refleksi berurutan

refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah  yaitu:

x’=2(b-a)+xy’=y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah  yaitu:

x’=xy’=2(b-a)+y

refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus• Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan

terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah  sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚

• refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

• Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah  dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

• Catatan 

sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).

rotasi berurutan yang sepusatDiketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1