TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang

kehimpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenisdaritransformasi yang

dapatdilakukanantaralain :

Translasi (Pergeseran) Refleksi(Pencerminan) Rotasi(Perputaran) Dilatasi(Penskalaan)

REFLEKSI / PENCERMINAN

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiaptitipadabidangdengansifatpencerminan.

Refleksiterhadapsumbu x

Refleksiterhadapsumbu y

Dari gambardisampingterdapattitik P(x,y) yang direfleksikanterhadapsumbu x, maka :

x ’=x

y ’=− y

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=1. x+0. y

y ’=0.x+(−1). y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(1 00 −1)( xy)

Dari gambardisampingterdapattitik P(x,y) yang direfleksikanterhadapsumbu y, maka :

x ’=−x

y ’= y

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=(−1). x+0. y

y ’=0.x+1. y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(−1 00 1)( xy)

Refleksiterhadapgaris y = x

Refleksiterhadapgaris y = -x

Dari gambardisampingterdapattitik P(x,y) yang direfleksikanterhadapsumbu y=x, maka :

OA=OBatau x ’= y

AP’=BPatau y ’=x

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=0.x+1. y

y ’=1.x+0. y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(0 11 0)( xy )

Dari gambardisampingterdapattitik P(x,y) yang direfleksikanterhadapsumbu y=-x, maka

AP’=BPatau−x ’= y atau x ’=− y

OA=OBatau− y ’=x atau y ’=−x

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=0.x+(−1) . y

y ’=(−1) . x+0. y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=( 0 −1−1 0 )( xy)

Refleksiterhadap (0,0)

Refleksiterhadapgaris x = h

Dari gambardisampingterdapattitik P(x,y) yang direfleksikanterhadaptitik (0,0)maka:

OA=BPatau−x ’=x atau x ’=−x

A P ’=OBatau – y ’= y atau y ’=− y

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=(−1). x+0. y

y ’=0.x+(−1). y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(−1 00 −1)( xy)

Dari gambardisampingterdapattitik P(x,y) yang direfleksikanterhadapgaris x = hmaka:

Untuksumbux :

OA= xdanOB=h

AB=h – x

BC=AB=h– x

OC=OB+BC

x’=h+h – x

x ’=2h – x

Untuksumbu y:

CP’=AP

Refleksiterhadapgaris y = k

Dari gambardisampingterdapattitik P(x,y) yang direfleksikanterhadapgaris y = k maka:

Untuksumbu x:

CP’=AP

x’=x

Untuksumbu y:

OA= y danOB=k

AB=OB–OA=k – y

BC=AB=k – y

OC=OB+BC

y ’=k+k – y

CONTOH SOAL :Soal No. 1a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)b) Tentukan bayangan darititik A (5, 10) oleh translasic) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

PembahasanBayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) 

 

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

 

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4) 

 

Soal No. 2Disediakan suatu persamaan garis lurusY = 3x + 5Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1) 

Pembahasan

Ada beberapa cara diantaranya:Cara pertama:Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:x’ = x + 2 → x = x’ – 2 y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:y – 1 = 3x – 6 + 5y = 3x – 6 + 5 + 1y = 3x 

Cara kedua:Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5Misal: Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5) Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /3 dapat titik B (– 5/3 , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:

 

Cara ketigaDengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

ax + by = cTranslasi T (p, q)

Hasil :ax + by = c + ap + bq

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.y = 3x + 5 atau3x − y = − 5 oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)3x − y = − 5 + 6 − 13x − y = 0atau y = 3x

Soal No. 3Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:a) Terhadap garis x = 10b) Terhadap garis y = 8 

PembahasanPencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = ka) Terhadap garis x = 10           x = h(a, b) ----------> (2h − a,  b)

           x = h(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3,  5) = (17,  5)

b) Terhadap garis y = 8            y = k(a, b) ----------> (a, 2k − b)

            y = k(3, 5) ----------> ( 3,  2(8) − 5) = (3,  11)

Soal No. 4Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:a) Terhadap garis y = xb) Terhadap garis y = − x 

Pembahasana) Terhadap garis y = x           y = x(a, b) ----------> ( b, a)

           y = x(3, 5) ----------> (5, 3) 

b) Terhadap garis y = − x            y = − x(a, b) ----------> ( − b, − a)

            y = − x(3, 5) ----------> (− 5, − 3) 

Soal No. 5Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.

PembahasanRotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α 

 

Sehingga:

 

Catatan:sudut α positif → berlawanan arah jarum jamsudut α negatif → searah jarum jam

Soal No. 6Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matrikskemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....A. x + y − 3 = 0B. x − y − 3 = 0C. x + y + 3 = 0D. 3x + y + 1 = 0E. x + 3y + 1 = 0

(UN Matematika Tahun 2010 P04)

PembahasanTransformasi oleh matriksdilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnyaGabungan dua transformasi:

Terlihat bahway' = − yy = − y'

x' = x + 2yx' = x + 2(− y')x' = x − 2y'x = x' + 2y' 

Jadi:x = x' + 2y' y = − y'

Masukkan ke persamaan awaly = x + 1(− y') = (x' + 2y' ) + 1x' + 3y' + 1 = 0

Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0

Soal No. 7Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks 

  dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....A. (−11, 6)B. (−6, 11)C. (−5, 11)D. (11, −5)E. (11, −6)

PembahasanTitik A, dengan transformasi matriks 

 

akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya: 

 

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X. 

 

Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6) 

Soal No. 8Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks 

 

dilanjutkan oleh matriks 

 

maka bayangan lingkaran itu adalah....A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0

Pembahasan(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran. 

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, − 3) oleh transformasi 

 

akan menjadi P': 

 

Titik P' ini oleh transformasi kedua 

 

akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini: 

 

Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi: 

1. ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan

D(1,2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]!

Penyelesaiaan:

Peta atau bayangan titik-titik sudut persegi oleh dilatasi [O,2]

Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [0,2] adalah (2 00 2)

Peta atau bayangan dari titik sudut persegi A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2) adalah

(2 00 2)(1 2 2

1 1 212)=(2 4 4

2 2 424)

Jadi peta dari titik-titik sudut ABCD adalah A’(2,2), B’(4,2), C’(4,4) dan D’(2,4)

2. Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7, maka bayangan titik A adalah titik A’

dengan koordinat….

Penyelesaian:

A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’(a ' , b ' ¿

(a'b ')=(−1 00 1)(15

8 )+(2(7)0 )

¿(−158 )+(14

0 ) ¿(−1

8 )

A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’(−1,8¿

Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7 adalah A’(−1,8¿

3. Titik A(a ,b¿ dicerminkan terhadap garis x=2 menghasilkan bayangan titik A’(0,2), maka

nilai (a ,b¿adalah….

Penyelesaian:

Misal A(a ,b¿ direfleksikan terhadap x=2 A’(a ' , b ' ¿

diket: A(a ,b¿ direfleksikan terhadap x=2 A’(0 ,2¿

maka:

(a'b ')=(−1 00 1)(ab)+(2(2)

0 )

(02)=(−ab )+(40)

(02)=(−a+4b+0 )

−a+4=0

a=4

b=2

Sehingga didapat bahwa nilai (a ,b¿adalah (4,2)

4. Titik A’(-16,24) merupakan bayangan dari titik A(x , y ) yang didilatasikan dengan pusat

O(0,0) dan faktor skala -4. Koordinat titik A adalah….

Penyelesaian:

( x 'y ')=(−4 00 −4)( xy)=(−4 x

−4 y )→( xy)=(−14x '

−14y ')→( xy)=(

−14

(−16)

−14

(24) )

¿( 4−6)

Jadi titik A’(-16,24) merupakan bayangan dari titik A(4 ,−6) yang didilatasikan

dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -4.

5. Tentukan persamaan peta dari garis 3 x−5 y+15=0 oleh pencerminan terhadap sumbu

x!

Penyelesaiaan:

3 x−5 y+15=0 dicerminkan terhadap sumbu x, maka :

( x 'y ')=(1 00 −1)( xy)=( x− y)

( xy )=( x '− y ') Sehingga diperoleh : x=x ' dan y=− y ' . Maka bayangannya adalah:

3 x '−5 (− y ' )+15=0→3 x'+5 y '+15=0→3x+5 y+15=0

Jadi peta dari garis 3 x−5 y+15=0 yang dicerminkan terhadap sumbu x adalah

3 x+5 y+15=0

6. Tentukan persamaan peta dari garis 3 x−5 y+15=0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0)

dengan faktor skala 5!

Penyelesaian:

3 x−5 y+15=0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka:

( x 'y ')=(5 00 5)( xy )=(5 x

5 y)→( xy )=(15x '

15y ')

Sehingga diperoleh x=15x ' dan ¿

15y ' . Maka bayangannya adalah :

3( 15x ')−5( 1

5y' )+15=0

35x '−5

5y '+15=0

3 x '−5 y '+75=0→3 x−5 y+75=0

Jadi peta dari dilatasi garis 3 x−5 y+15=0 terhadap pusat O(0,0) dengan faktor

skala 5 adalah 3 x−5 y+75=0

7. Lingkaran x2+ y2−6 x+2 y+1=0. Jika ditransformasikan dengan dilatasi [O,4],

persamaan bayangannya adalah….

Penyelesaiaan:

x2+ y2−6 x+2 y+1=0 didilatasi [O,4] , maka:

( x 'y ')=(4 00 4)( xy )=(4 x

4 y)→( xy )=(14x '

14y ' )

Sehingga diperoleh : x=14x ' dan y=

14y '. Maka bayangannya adalah:

¿

→ x2

16+ y

2

16−3

2x+1

2y+1=0→ x2+ y2−24 x+8 y+16=0

Jadi bayangan lingkaran x2+ y2−6 x+2 y+1=0 yang didilatasi [O,4] adalah

x2+ y2−24 x+8 y+16=0

8. Diketahui titik P(12,-5) dan A(-2,1). Bayangan titik P oleh dilatasi [A , 12 ] adalah….

Penyelesaian:

Titik P(12,-5) didilatasi [A ,12

¿. Artinya titik P(12,-5) didilatasi [(-2,1),12¿, maka:

( x'

y ' )=(12

0

012)(12−(−2 )

−5−1 )+(−21 )→( x

'

y ')=(12

0

012)( 14−6)+(−2

1 )

¿( 7−3)+(−2

1 )=( 5−2)

Jadi bayangan Titik P(12,-5) yang didilatasi [A ,12

¿ adalahP’(5,-2) .

9. Bayangan titik P(-2,3) oleh dilatasi [O,k] adalah P’(4,-6) sehingga bayangan titik Q(3,-2)

oleh [O,4k] adalah….

Penyelesaian:

titik P(-2,3) didilatasi [O,k] adalah P’(4,-6)

( x 'y ')=(k 00 k )( xy )

→( x 'y ') ¿(kxky )

→( 4−6)=(−2k

3 k ) 4=−2k→k=−2 . diperoleh nilai k = -2

Sehingga mencari bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] sama saja dengan mencari

bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4(-2)] = [O,-8], diperoleh:

( x 'y ')=(−8 00 −8)( 3

−2) ¿(−24

16 ) sehingga bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] adalah Q’(-24,16)

10. Tentukan bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi terhadap garis y=− x dilanjutkan dengan

refleksi terhadap garis x=2!

Penyelesaiaan:

P(-4,5) refleksi terhadap garis y=− x P’(a ' , b ' ¿

(a'b ')=( 0 −1−1 0 )(−4

5 ) ¿(−5

4 )P(-4,5) refleksi terhadap garis y=− x P’(−5,4¿ kemudian refleksi terhadap garis x=2

P’(−5,4¿ refleksi terhadap garis x=2 P”(a , b ¿

(a' 'b ' ')=(−1 00 1)(−5

4 )+(2(2)0 )

¿(54)+(40 )

¿(94)

P’(−5,4¿ refleksi terhadap garis x=2 P”(9,4 ¿

Jadi bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi terhadap garis y=− x dilanjutkan dengan refleksi

terhadap garis x=2 adalah P”(9,4 ¿