Transformasi geometri

Soal Transformasi

6. Diketahui fungsi g: sumbu X V yang didefinisikan sebagai berikut : Apabila P (x,0)

maka g (P) = (x,x2)

a) Tentukan peta A (3,0) oleh g

b) Apakah R (-14,196) ϵ daerah nilai g?

c) Apakah g surjektif?

d) Gambarlah daerah nilai g

Penyelesaian :

a) Peta A ( 3, 0) oleh g

g ( P ) = ( X,X2 )

g( A ) = ( X,X2 )

g ( 3,0 ) = ( 3, 32 )

g (3,0 ) = ( 3, 9 )

b) ( -14, 196 ) Є daerah nilai g

g ( P ) = ( X,X2 )

X = -14

X2 = 196

Jadi R ( -14, 196) Є daerah nilai g

c) g ( P ) = ( X,X2 )

ambil X Є R maka

F ( X) = Y

F ( X,X2) = ( Y,Y2 )

Y Є R maka Э X Є R, X adalah prapeta dari Y sehingga g fungsi.

d) Gambar daerah nilai g

7. T : V → V, didefenisikan sebagai berikut : Apabila P (x, y) maka :

i. T (P) = (x + 1, y) untuk x > 0

ii. T (P) = (x - 1, y) X < 0

a. Apakah T injektif

b. Apakah T suatu transformasi

(ii) x < 0 (i) untuk x > 0

P’ P P P’

X

Penyelesaian

Missal P = (x, y)

B = (x1, y1)

1) Jika B prapeta titik P (x, y) maka T (B) =(x1 + 1, y1)

Jadi x1 + 1 = x

x1 = x-1

y1 = y

2) Jika B prapeta titik P (x, y) maka T (C) = (x1 - 1, y1)

Jadi x -1 = x

x = x + 1

y = y

T ( (x1 + 1), y1)= ( (x – 1) + 1, y)

= (x, y)

T ((x1 – 1), y1) = ( (x + 1) – 1, y)

= (x, y)

Karena (x1, y1) untuk (i) dan (ii) selalu ada untuk segala (x, y) maka titik B selalu ada

sehingga : T(B) untuk (i) dan (ii) = P

Untuk 1) T (P) = (x + 1, y)

Jika P sembarang, maka titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T injektif.

Misal : P (x1, y1) dan Q ( x2, y2) dengan P ≠ Q

T (P) ≠ T (Q) ….. ?

T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = ( x2 + 1, y2)

T (P) = T (Q) maka (x1 + 1, y1) = ( x2 + 1, y2)

x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2

x1 = x2 dan y1 = y2

sehingga P = Q dan berlawanan bahwa P ≠ Q

jadi T (P) ≠ T (Q) dengan demikian T injektif

Misal jika A (x, y) maka kita harus jawab apakah A memiliki prapeta oleh T?

Missal = B (x1 , y1)

Jika B prapeta titik A (x, y) maka berlaku T (B) = (x1 + 1, y1)

Jadi {x1+1=xx1=x−1y1= y

Jelas T ( x – 1, y) = ( (x-1) + 1, y)

= (x,y)

Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada sehingga T (B) = A.

Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif,

dengan demikian ternyata T suatu transformasi dari V ke V.

Untuk 2) T (P) = (x-1, y)

Missal P ((x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q

T (P) ≠ T (Q)………. ?

T (P) = (x1 - 1, y1) dan T (Q) = (x2 - 1, y2)

T (P) = T (Q), maka (x1 - 1, y1) = (x2 - 1, y2)

x1 - 1 = x2 - 1 dan y1

berarti x1 = x2 dan y1

sehingga P = Q dan berlawanan bahwa P ≠ Q

jadi T (P) ≠ T (Q), dengan kata lain T injektif.

Misal jika A (x, y) maka berlaku T (P) = P1 dan P1 = (x-1, y)

Jelas daerah asal T adalah sebuah bidang V

Missal A = (x, y) maka kita harus jawab apakah A memiliki prapeta oleh T?

Missalkan B = (x1 , y1)

Jika B prapeta titik A (x, y) maka haruslah berlaku

T (B) = (x1- 1, y1)

Jadi x1 - 1 = x

x1 = x + 1

y1 = y

Jelas T ( x + 1, y) = ((x+ 1) – 1, y) = ( x, y)

Karena (x1 , y1) selalu ada untuk segala nilai (x, y) maka B selalu ada sehingga T (B) = A.

Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif,

dengan demikian ternyata T suatu transformasi dari V ke V.