BAB 5TRANSFORMASI

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam

pemecahan masalah

Kompetensi Dasar Menggunakan trasformasi geometri yang dapat

dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.

Menentukan komposisi dari beberapa transformasi

geometri beserta matriks transformasinya.

ARTI GEOMETRI DARI SUATU TRANSFORMASI DI BIDANG

Pergeseran atau Translasi

Bangun geometri segitiga ABC digeser menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′

A A′, B B′, dan C C′

Sehingga . Transformasi yang berciri demikian dinamakan sebagai pergeseran atau translasi.

Perputaran atau Rotasi

Bangun geometri segitiga ABC diputar menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′. Setiap titik pada daerah segitiga ABC diputar sejauh θ radian. Transformasi semacam ini dinamakan sebagai perputaran atau rotasi.

Pencerminan atau Refleksi

Bangun geometri segitiga ABC dicerminkan menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′. Transformasi semacam ini dinamakan pencerminan atau refleksi.

Perkalian atau Dilatasi

Bangun geometri segitiga ABC diperbesar menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′ atau diperkecil menjadi bangun geometri segitiga A′′B′′C′′. Transformasi semacam ini dinamakan perkalian atau dilatasi.

Transformasi Isometri

Transformasi isometri jika bangun geometri bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bangun geometri semula dengan besaran jarak tidak berubah atau invarian.

Misalnya transformasi pergeseran (translasi), transformasi perputaran (rotasi), dan transformasi pencerminan (refleksi).

Bukan transformasi isometri jika bangun geometri bayangan sebangun dengan bangun geometri semula, tetapi ukurannya tidak sama (diperbesar atau diperkecil) serta besaran jarak berubah atau varian.

Misalnya transformasi perkalian (dilatasi).

TRANSLASI PADA BIDANG

Translasi dalam Bentuk Pasangan Bilangan

Koordinat Titik Bayangan oleh Translasi Tertentu

Misalkan titik P dengan koordinat (x, y). Titik P(x, y) ditranslasikan

oleh , maka diperoleh bayangan titik P′(x′, y′) dengan

Notasi

TRANSFORMASI ROTASI

Rotasi atau perputaran suatu bangun geometri ialah proses memutar bangun geometri itu terhadap titik tertentu.

Titik tertentu ini dinamakan sebagai titik pusat rotasi. Selain titik pusat, suatu rotasi juga ditentukan oleh arah rotasi dan

jauh atau besar sudut rotasinya.

Contoh:

Persegi ABCD dirotasi terhadap titik M sejauh +60o atau radian atau putaran berlawanan arah jarum jam.

Persegi ABCD dirotasi terhadap titik M sejauh –45o

atau radian atau putaran searah jarum jam.

PERSAMAAN TRANSFORMASI ROTASI

Persamaan Transformasi Rotasi dengan Titik Pusat O(0, 0)

dinyatakan dalam notasi:

Titik P(–1, 4) diputar 45o searah jarum jam dengan titik pusat di O. Tentukan koordinat bayangan dari titik P oleh rotasi itu.

Contoh:

Jawab:

Perputaran 45o searah jarum jam artinya sudut θ = –45°. Jadi,

Persamaan Transformasi Rotasi dengan Titik Pusat M(h, k)

Hubungan Antara Rotasi, Pemetaan Koordinat, dan Matriks Rotasi

Tentukan bayangan atau peta dari titik P(–2, 5) oleh rotasi dengan pusat di O(0, 0) sejauh radian.

Jawab:

Jadi, P′(–5, –2).

Contoh:

TRANSFORMASI REFLEKSI

Refleksi atau pencerminan dari suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik pada bangun

geometri itu terhadap sebuah garis tertentu. Garis tertentu ini dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri.

Pada transformasi refleksi, jarak titik pada bangun bayangan ke sumbu cermin sama dengan jarak titik pada bangun

semula ke sumbu cermin.

Garis P′Q′ adalah bayangan dari garis PQ oleh refleksi terhadap garis m.

Contoh:

Segitiga P Q R ′ ′ ′ adalah bayangan dari segitiga PQR oleh refleksi terhadap garis m.

Titik dan Garis dalam Transformasi Refleksi

Segitiga ABC dicerminkan terhadap garis m di mana ruas garis BC berimpit dengan garis m sehingga diperoleh bayangan segitiga A′BC.

A ↔ A′, B ↔ B, dan C ↔ C

AB ↔ A′B, AC ↔ A′C, dan BC ↔ BC Titik B dan titik C tidak mengalami

perubahan. Titik yang bersifat demikian disebut titik invarian.

Ruas garis BC juga tidak mengalami perubahan. Garis yang bersifat demikian disebut garis invarian.

PERSAMAAN TRANSFORMASI REFLEKSI

Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Sumbu X

Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Sumbu Y

Contoh:

Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis y = x

Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis y = -x

Contoh:

Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Titik Asal O(0, 0)

Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis x = h

Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis y = k

Contoh:

Matriks Refleksi

Transformasi Dilatasi

Dilatasi atau perkalian ialah transformasi yang mengubah ukuran bangun geometri (memperbesar atau memperkecil),

tetapi tidak mengubah bentuk bangun geometri itu.

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam transformasi dilatasi: Pusat dilatasi Faktor skala atau faktor dilatasi.

PERSAMAAN TRANSFORMASI DILATASI

Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat di O(0, 0)

Rumus persamaan transformasi dilatasi terhadap titik pusat

M(a, b) dengan faktor skala k dapat ditentukan melalui hubungan:

Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat di M(a, b)

Matriks Dilatasi

Transformasi dilatasi [O, k] yang memetakan titik P(x, y) ke titik P′(x′, y′) ditentukan oleh persamaan transformasi dilatasi [O, k] melalui hubungan:

Dalam bentuk persamaan matriks:

Jadi, matriks dilatasi [O, k] adalah:

TRANSFORMASI KOMPOSISI DARI BEBERAPA TRANSFORMASI

Transformasi T1 dilanjutkan dengan transformasi T2

T1 O T2 (dibaca: T2 komposisi T1) dinamakan komposisi

transformasi atau transformasi majemuk, yaitu suatu transformasi yang di dalamnya melibatkan dua atau lebih transformasi tunggal secara berurutan.

Komposisi Dua Translasi Berurutan

Aturan Komposisi Dua Translasi Berurutan

Pencerminan Terhadap Dua Sumbu yang Sejajar Sumbu X

Kondisi 1 Kondisi 2

Kondisi 1

Kondisi 2

Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu X tidak komutatif.

Pencerminan Terhadap Dua Sumbu yang Sejajar Sumbu Y

Kondisi 1 Kondisi 2

Kondisi 1

Kondisi 2

Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu Y tidak komutatif.

Refleksi Terhadap Sumbu-Sumbu Koordinat Secara Berurutan

Kesimpulan:

Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua Sumbu yang Saling Berpotongan

Komposisi Dua Rotasi Berurutan yang Sepusat

Titik P dirotasi dua kali secara berurutan terhadap titik pusat yang sama yaitu titik O. Transformasi semacam ini dinamakan komposisi dua rotasi berurutan yang sepusat.

Dua rotasi berurutan yang sepusat ekuivalen dengan sebuah rotasi tunggal sejauh jumlah masing-masing rotasi semula dan berpusat di titik yang sama dengan titik pusat semula.

Matriks Transformasi dari Komposisi Transformasi