PowerPoint Presentation

Transformasi KoordinatOleh:Anggi Riesta V. (120210102021)Yeni Lusiana(120210102039)Massita Rhoida N.(120210102041)Yessi Aprilia Sari(120210102108)Aini Wardatut T.(120210102126)

Review operasi matriksPerkalian 2 matriks A dan B dinyatakan sbg:

Tranpose suatu matriks

Tranpose perkalian 2 matriks

Artinya

Contoh :Jika, A = maka

orde (2 x 3) orde (3 x 2)

Transformasi linierPersamaan transformasi linier 2 dimensi:

Artinya transformasi linier menyatakan bagaimana cara memperoleh Vektor R bila diberikan vektor r. Dalam notasi matriks dinyatakan:

R=Mr, dengan R, M dan r adalah matriks.

r= xi+yj= r =xi+yjMatriks M menyatkan cara mendapatkan komponen r = r relatif terhadap sumbu x

Transformasi orthogonalJika sumbu-sumbu koordinat yang baru diperoleh dari rotasi terhadap sumbu-sumbu koordinat yang lama dengan sudut rotasi , maka dapat dinyatakan: atau

Hubungan antara variabel lama dan baru dapat dinyatakan menjadi:

Koordinat KurvalinearPersoalan kinematika dalam koordinat silinder:Perpindahan sebuah benda dari titik pusat koordinat dalam selang waktu t dinyatakan dengan vektor s seperti ditunjukkan dalam gambar

Maka kecepatannya adalah

Karena

Maka

Sehingga diperoleh

Secara umum, misalkan suatu sistem koordinat mempunyai variabel koordinat yang dinyatakan dengan , ,dan jika sistem koordinat tersebut ortogonal (vektor-vektor basisnya saling tegak lurus) maka

Disebut sebagai faktor skala. Vektor perpindahan ds dapat diperoleh dengan cara

Dengan adalah vektor satuan dalam sistem koordinat tersebut.Faktor skala dapat menentukan perubahan titik koordinat.

Macam-macam basisBasis kontravarian (bu). untuk mencari faktor skala ( ) dapat melalui bu. br.br br=2. Basis fisis :

3. Basis kovarian :

15Latihan Soal1) Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder dengan

JawabDiketahui:

br

= br . br

b

= b . b

bz

= bz . bz

2) Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder parabolik dengan

bu

= bu . bu

bv

= bv . bv

bz

= bz . bz

Gradien Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan dengan (nabla), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial, yaitu: Operator del ini bermanfaat untuk mencari gradien, divergensi, dan curl.

Definisi Gradien Misalkan u (x,y,z) terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik (x,y,z) dalam ruang R3 , maka gradien atau grad atau didefinisikan oleh

Koordinat silinder:

Pada koordinat silinder melingkar adalah:

Ingat bahwa gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor

Sifat-sifat gradien Misalkan r(x,y,z) dan (x,y,z) adalah fungsi-fungsi skalar yang diferensiabel pada setiap titik dan c adalah bilangan real, maka berlaku:1. 2. 3.

Contoh soalJika maka pada koordinat silinder melingkar adalah?

soalJika , carilah pada koordiant silinder melingkar !

Jika , carilah pada koordianat bola!

Jawaban 1

Jawaban 2 Divergensi

Misalkan suatu vektor V dinyatakan dalam komponen-komponen sebagai karena

Jika vektor basis satuan adalah orthogonal dan mengikuti aturan triad, maka:

Jika disubtitusikan menjadi:

Sedangkan dari identitas vektor diperoleh:

Maka divergensi suku pertama adalah:

Artinya komponen pertama vektor adalah , dengan demikian:

Dengan cara yang sama diperoleh untuk komponen-komponen lainnya, sehingga diperoleh:

Contoh: tentukan , jika pada koordinat silinder melingkar!

jawaban

soalJika carilah pada koordianat bola!

jawaban

Macam-macam Koordinat KurvalinierKoordinat SilinderAlih bentuknya :

Faktor-faktor skalanya :

Koordinat BolaAlih bentuknya :

Faktor=faktor skalanya :

Koordinat Silinder Eleptik Alih bentuknya :

Faktor-Faktor skalanya :

42Silinder MelingkarAlih bentuknya :

Faktor-faktor skalanya :

Koordinat Silinder Parabolik Alih bentuknya :

Faktor-faktor skalanya :

Koordinat Bipolar Alih bentuknya :

Faktor-Faktor skalanya :

Koordinat Sferoida Lonjong Alih bentuknya :

Faktor-faktor skalanya :

Koordinat Sferoida Pipih Alih bentuknya:

Faktor-faktor skalanya :

Koordinat Parabola Alih bentuknya :

Faktor-faktor skalanya :

Koordinat Toroida Alih bentuknya :

Faktor-Faktor skalanya :

Koordinat Bisferik Alih bentuknya :

Faktor-Faktor skalanya :

TENSORTensor adalah generalisasi dari skalar dan vektor. Dalam fisika semua besaran adalah tensor. Tensor mempunyai range (orde).

Range pada tensor akan menunjukkan jumlah komponennya.

Skalar adalah tensor orde nol sehingga mempunyai 1 komponen. Contoh :

Kelajuan (v), Jarak (s), dan Energi (E).

Sedangkan vektor merupakan tensor orde satu . Sehingga mempunyai 3 komponen yaitu komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z pada koordinat kartesian. Dan tetap mempunyai 3 komponen untuk sistem koordinat yang lain. Contoh : Posisi (r) , terdiri dari rx , ry , rz , kecepatan (v), dan gaya (F).Demikian juga dengan tensor orde dua mempunyai komponen.Sehingga tensor secara umum, jika memiliki orde n maka mempunyai komponen.

Contoh :

Tensor Green

Tensor Stress

Jenis-Jenis Tensor

Tensor Kovarian Memenuhi sifat

2. Tensor KontravarianMemenuhi sifat

3. Tensor Campuran Memenuhi sifat

ContohBuktikan bahwa koordinat bola merupakan tensor kovarian!Jawab :

Dibuktikan bahwa :

Sehingga :

Gkov =

Karena

Maka

Gkov=

Memenuhi Sifat

Operasi pada tensor dalam koordinat kurvalinier:

skalar + skalar = skalarskalar + vektor = (tidak ada)vektor + vektor = vektorskalar x skalar = skalarskalar x vektor = vektorvektor (perkalian) vektor ada 2 =

Contoh Soal 1. Buktikan bahwa koordinat silinder parabolik memiliki faktor skala . Dengan alih bentuknya:

Pembahasan

Latihan Soal Buktikan bahwa koordinat sferoida pipih memiliki faktor skala

Dengan alih bentuknya :

Jawab :