Download - transformasi
![Page 1: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/1.jpg)
BAB 5TRANSFORMASI
![Page 2: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/2.jpg)
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam
pemecahan masalah
![Page 3: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/3.jpg)
Kompetensi Dasar Menggunakan trasformasi geometri yang dapat
dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.
Menentukan komposisi dari beberapa transformasi
geometri beserta matriks transformasinya.
![Page 4: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/4.jpg)
ARTI GEOMETRI DARI SUATU TRANSFORMASI DI BIDANG
![Page 5: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/5.jpg)
Pergeseran atau Translasi
Bangun geometri segitiga ABC digeser menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′
A A′, B B′, dan C C′
Sehingga . Transformasi yang berciri demikian dinamakan sebagai pergeseran atau translasi.
![Page 6: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/6.jpg)
Perputaran atau Rotasi
Bangun geometri segitiga ABC diputar menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′. Setiap titik pada daerah segitiga ABC diputar sejauh θ radian. Transformasi semacam ini dinamakan sebagai perputaran atau rotasi.
![Page 7: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/7.jpg)
Pencerminan atau Refleksi
Bangun geometri segitiga ABC dicerminkan menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′. Transformasi semacam ini dinamakan pencerminan atau refleksi.
![Page 8: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/8.jpg)
Perkalian atau Dilatasi
Bangun geometri segitiga ABC diperbesar menjadi bangun geometri segitiga A′B′C′ atau diperkecil menjadi bangun geometri segitiga A′′B′′C′′. Transformasi semacam ini dinamakan perkalian atau dilatasi.
![Page 9: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/9.jpg)
Transformasi Isometri
Transformasi isometri jika bangun geometri bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bangun geometri semula dengan besaran jarak tidak berubah atau invarian.
Misalnya transformasi pergeseran (translasi), transformasi perputaran (rotasi), dan transformasi pencerminan (refleksi).
Bukan transformasi isometri jika bangun geometri bayangan sebangun dengan bangun geometri semula, tetapi ukurannya tidak sama (diperbesar atau diperkecil) serta besaran jarak berubah atau varian.
Misalnya transformasi perkalian (dilatasi).
![Page 10: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/10.jpg)
TRANSLASI PADA BIDANG
![Page 11: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/11.jpg)
Translasi dalam Bentuk Pasangan Bilangan
![Page 12: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/12.jpg)
Koordinat Titik Bayangan oleh Translasi Tertentu
Misalkan titik P dengan koordinat (x, y). Titik P(x, y) ditranslasikan
oleh , maka diperoleh bayangan titik P′(x′, y′) dengan
Notasi
![Page 13: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/13.jpg)
TRANSFORMASI ROTASI
Rotasi atau perputaran suatu bangun geometri ialah proses memutar bangun geometri itu terhadap titik tertentu.
Titik tertentu ini dinamakan sebagai titik pusat rotasi. Selain titik pusat, suatu rotasi juga ditentukan oleh arah rotasi dan
jauh atau besar sudut rotasinya.
![Page 14: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh:
Persegi ABCD dirotasi terhadap titik M sejauh +60o atau radian atau putaran berlawanan arah jarum jam.
Persegi ABCD dirotasi terhadap titik M sejauh –45o
atau radian atau putaran searah jarum jam.
![Page 15: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/15.jpg)
PERSAMAAN TRANSFORMASI ROTASI
![Page 16: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/16.jpg)
Persamaan Transformasi Rotasi dengan Titik Pusat O(0, 0)
dinyatakan dalam notasi:
![Page 17: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/17.jpg)
Titik P(–1, 4) diputar 45o searah jarum jam dengan titik pusat di O. Tentukan koordinat bayangan dari titik P oleh rotasi itu.
Contoh:
Jawab:
Perputaran 45o searah jarum jam artinya sudut θ = –45°. Jadi,
![Page 18: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/18.jpg)
Persamaan Transformasi Rotasi dengan Titik Pusat M(h, k)
![Page 19: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/19.jpg)
Hubungan Antara Rotasi, Pemetaan Koordinat, dan Matriks Rotasi
![Page 20: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/20.jpg)
Tentukan bayangan atau peta dari titik P(–2, 5) oleh rotasi dengan pusat di O(0, 0) sejauh radian.
Jawab:
Jadi, P′(–5, –2).
Contoh:
![Page 21: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/21.jpg)
TRANSFORMASI REFLEKSI
Refleksi atau pencerminan dari suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik pada bangun
geometri itu terhadap sebuah garis tertentu. Garis tertentu ini dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri.
Pada transformasi refleksi, jarak titik pada bangun bayangan ke sumbu cermin sama dengan jarak titik pada bangun
semula ke sumbu cermin.
![Page 22: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/22.jpg)
Garis P′Q′ adalah bayangan dari garis PQ oleh refleksi terhadap garis m.
Contoh:
Segitiga P Q R ′ ′ ′ adalah bayangan dari segitiga PQR oleh refleksi terhadap garis m.
![Page 23: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/23.jpg)
Titik dan Garis dalam Transformasi Refleksi
Segitiga ABC dicerminkan terhadap garis m di mana ruas garis BC berimpit dengan garis m sehingga diperoleh bayangan segitiga A′BC.
A ↔ A′, B ↔ B, dan C ↔ C
AB ↔ A′B, AC ↔ A′C, dan BC ↔ BC Titik B dan titik C tidak mengalami
perubahan. Titik yang bersifat demikian disebut titik invarian.
Ruas garis BC juga tidak mengalami perubahan. Garis yang bersifat demikian disebut garis invarian.
![Page 24: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/24.jpg)
PERSAMAAN TRANSFORMASI REFLEKSI
![Page 25: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/25.jpg)
Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Sumbu X
![Page 26: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/26.jpg)
Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Sumbu Y
![Page 27: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh:
![Page 28: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/28.jpg)
Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis y = x
![Page 29: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/29.jpg)
Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis y = -x
![Page 30: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh:
![Page 31: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/31.jpg)
Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Titik Asal O(0, 0)
![Page 32: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/32.jpg)
Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis x = h
![Page 33: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/33.jpg)
Persamaan Transformasi Refleksi Terhadap Garis y = k
![Page 34: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/34.jpg)
Contoh:
![Page 35: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/35.jpg)
Matriks Refleksi
![Page 36: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/36.jpg)
Transformasi Dilatasi
Dilatasi atau perkalian ialah transformasi yang mengubah ukuran bangun geometri (memperbesar atau memperkecil),
tetapi tidak mengubah bentuk bangun geometri itu.
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam transformasi dilatasi: Pusat dilatasi Faktor skala atau faktor dilatasi.
![Page 37: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/37.jpg)
PERSAMAAN TRANSFORMASI DILATASI
![Page 38: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/38.jpg)
Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat di O(0, 0)
![Page 39: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/39.jpg)
Rumus persamaan transformasi dilatasi terhadap titik pusat
M(a, b) dengan faktor skala k dapat ditentukan melalui hubungan:
Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat di M(a, b)
![Page 40: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/40.jpg)
Matriks Dilatasi
Transformasi dilatasi [O, k] yang memetakan titik P(x, y) ke titik P′(x′, y′) ditentukan oleh persamaan transformasi dilatasi [O, k] melalui hubungan:
Dalam bentuk persamaan matriks:
Jadi, matriks dilatasi [O, k] adalah:
![Page 41: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/41.jpg)
TRANSFORMASI KOMPOSISI DARI BEBERAPA TRANSFORMASI
Transformasi T1 dilanjutkan dengan transformasi T2
T1 O T2 (dibaca: T2 komposisi T1) dinamakan komposisi
transformasi atau transformasi majemuk, yaitu suatu transformasi yang di dalamnya melibatkan dua atau lebih transformasi tunggal secara berurutan.
![Page 42: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/42.jpg)
Komposisi Dua Translasi Berurutan
![Page 43: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/43.jpg)
Aturan Komposisi Dua Translasi Berurutan
![Page 44: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/44.jpg)
Pencerminan Terhadap Dua Sumbu yang Sejajar Sumbu X
Kondisi 1 Kondisi 2
![Page 45: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/45.jpg)
Kondisi 1
![Page 46: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/46.jpg)
Kondisi 2
Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu X tidak komutatif.
![Page 47: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/47.jpg)
Pencerminan Terhadap Dua Sumbu yang Sejajar Sumbu Y
Kondisi 1 Kondisi 2
![Page 48: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/48.jpg)
Kondisi 1
![Page 49: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/49.jpg)
Kondisi 2
Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu Y tidak komutatif.
![Page 50: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/50.jpg)
Refleksi Terhadap Sumbu-Sumbu Koordinat Secara Berurutan
![Page 51: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/51.jpg)
Kesimpulan:
![Page 52: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/52.jpg)
Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua Sumbu yang Saling Berpotongan
![Page 53: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/53.jpg)
Komposisi Dua Rotasi Berurutan yang Sepusat
Titik P dirotasi dua kali secara berurutan terhadap titik pusat yang sama yaitu titik O. Transformasi semacam ini dinamakan komposisi dua rotasi berurutan yang sepusat.
Dua rotasi berurutan yang sepusat ekuivalen dengan sebuah rotasi tunggal sejauh jumlah masing-masing rotasi semula dan berpusat di titik yang sama dengan titik pusat semula.
![Page 54: transformasi](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020716/5584f1d3d8b42a73618b4ede/html5/thumbnails/54.jpg)
Matriks Transformasi dari Komposisi Transformasi