tks 4007 matematika iii fungsi · pdf fileturunan diketahui fungsi bilangan kompleks yang...
TRANSCRIPT
1
TKS 4007 Matematika III
Fungsi Kompleks (Pertemuan XXVII - XXX)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Pendahuluan
Persamaan ๐๐ + ๐ = ๐ tidak memiliki akar dalam himpunan
bilangan real.
Pertanyaanya, dapatkah dibangun suatu lapangan baru yang
memuat akar dari persamaan tersebut?
Misal didefinisikan i sebuah bilangan yang memenuhi
๐๐ = โ๐, tetapi ada dua buah akar dari ๐๐ + ๐ = ๐, yang
manakah yang akan dipilih sebagai i?
Jika sudah dipilih i, apakah perlu mendefinisikan persamaan
๐๐ + ๐ = ๐ sebagai j atau cukup dengan definisi sebelumnya,
sehingga semua polinom di lapangan baru tersebut
mempunyai akar-akarnya.
2
Pendahuluan (lanjutan)
Sebuah bilangan kompleks dapat disajikan dalam dua bentuk :
1. ๐ = ๐ + ๐๐
2. ๐ = ๐, ๐
x adalah bilangan riil dan y adalah bagian imaginernya dan
bisa ditulis sebagai : ๐ซ๐ ๐ = ๐
๐ข๐ฆ ๐ = ๐
Contoh :
๐ + ๐๐ โ ๐ซ๐ ๐ + ๐๐ = ๐
๐ข๐ฆ ๐ + ๐๐ = ๐
Bidang Kompleks
Bilangan kompleks digambarkan dalam suatu bidang
kompleks seperti penggambaran suatu titik pada bidang
kartesius xy.
sumbu x = sumbu riil
sumbu y = sumbu imaginer
3
Bidang Kompleks (lanjutan)
Operasi pada bidang kompleks :
Jika ๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐ dan ๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐
1. Penjumlahan
๐๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ + ๐ ๐๐ + ๐๐
2. Perkalian
๐๐. ๐๐ = ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐
3. Pembagian
๐๐
๐๐=
๐๐+๐๐๐
๐๐+๐๐๐=
๐๐+๐๐๐ ๐๐โ๐๐๐
๐๐+๐๐๐ ๐๐โ๐๐๐=
๐๐๐๐+๐๐๐๐
๐๐๐+๐๐
๐ + ๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐
๐๐๐+๐๐
๐
Bidang Kompleks (lanjutan)
Contoh :
Diketahui ๐๐ = ๐ + ๐ dan ๐๐ = ๐ โ ๐๐ 1. Penjumlahan
๐๐ + ๐๐ = ๐ + ๐ + ๐ ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ 2. Perkalian
๐๐. ๐๐ = ๐. ๐ โ ๐.โ๐ + ๐ ๐.โ๐ + ๐. ๐ = ๐
3. Pembagian
๐๐
๐๐=
๐.๐+(๐.โ๐)
๐๐+(โ๐)๐+ ๐
๐.๐โ(๐.โ๐)
๐๐+(โ๐)๐=
๐
๐+ ๐
๐
๐=
๐
๐๐
4
Bidang Kompleks (lanjutan)
Sifat-sifat operasi :
1. Komutatif
๐๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐
๐๐. ๐๐ = ๐๐. ๐๐
2. Asosiatif
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐๐ ๐๐. ๐๐ = ๐๐. ๐๐ ๐๐
3. Distributif
๐๐ ๐๐ + ๐๐ = ๐๐. ๐๐ +๐๐. ๐๐
Bidang Kompleks (lanjutan)
Sifat-sifat operasi :
4. Identitas
๐ + ๐ = ๐ + ๐ = ๐
๐. ๐ = ๐
๐ + โ๐ = โ๐ + ๐ = ๐
5
Bilangan Sekawan
Jika ๐ = ๐ + ๐, maka sekawan
dari ๐ dinotasikan dengan ๐
dapat dinyatakan sebagai
berikut :
๐ = ๐ โ ๐๐
Jika dihubungkan dengan nilai
๐ dengan ๐ , maka bagian riil
dan imajiner dapat dinyatakan
sebagai berikut :
๐ =๐
๐๐ + ๐ dan
๐ =๐
๐๐๐ โ ๐
Latihan 1
Diketahui ๐๐ = ๐ + ๐ dan ๐๐ = ๐ โ ๐๐
1. ๐๐๐ + ๐๐๐
2. ๐๐. ๐๐
3. ๐๐ + ๐๐๐
4. ๐๐
๐๐+๐๐
5. ๐๐ โ ๐ ๐๐
6. ๐๐ + ๐ ๐๐
6
Bentuk Polar (lanjutan)
Bilangan kompleks untuk koordinat bidang polar (r,) dapat
dibuat hubungan sebagai berikut :
๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ = ๐ = ๐๐ + ๐๐
๐ = ๐๐ซ๐ ๐ = ๐๐ซ๐ ๐ญ๐ ๐
๐
r disebut modulus ๐
disebut argumen ๐
Jadi ๐ dapat ditulis dalam bentuk :
๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐
Bentuk Polar (lanjutan)
Secara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik
asalnya (0,0), sedangkan merupakan sudut z yang diukur
dari sumbu x positif dan tidak terdefinisi pada z = 0.
Nilai prinsipil didefinisikan pada - < < , dikarenakan
sifat dari yang berulang, maka hanya digunakan nilai pada
selang tersebut.
7
Bentuk Polar (lanjutan)
Untuk memudahkan dapat digunakan sifat operasi pada
bidang kompleks dengan :
๐๐ = ๐๐ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ข๐ง ๐๐ dan
๐๐ = ๐๐ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ข๐ง ๐๐
1. Perkalian :
๐๐. ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ + ๐๐ + ๐ ๐๐ข๐ง ๐๐ + ๐๐
2. Pembagian :
๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐๐ + ๐ ๐๐ข๐ง ๐๐ โ ๐๐
Hasil operasi tersebut menggunakan sifat :
๐๐จ๐ฌ ๐๐ ยฑ ๐๐ = ๐๐จ๐ฌ ๐๐๐๐จ๐ฌ ๐๐ ยฑ ๐๐ข๐ง ๐๐๐๐ข๐ง ๐๐
๐๐ข๐ง ๐๐ ยฑ ๐๐ = ๐๐ข๐ง ๐๐๐๐จ๐ฌ ๐๐ ยฑ ๐๐จ๐ฌ ๐๐๐๐ข๐ง ๐๐
Bentuk Polar (lanjutan)
Contoh :
Diketahui ๐๐ = ๐ + ๐ dan ๐๐ = ๐ + ๐ a. Tentukan modulus ๐๐๐๐ dan nilai prinsipil argumen
๐๐๐๐
b. Tentukan modulus ๐๐
๐๐ dan nilai prinsipil argumen
๐๐
๐๐
Jawaban :
Jika ๐๐ dan ๐๐ ditulis dalam bentuk polar :
๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐
๐ dan
๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐
๐
8
Bentuk Polar (lanjutan)
a. ๐๐๐๐ = ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐+
๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐
๐+
๐
๐
= ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐๐
๐๐
Sehingga modulus ๐๐๐๐ = ๐ ๐ dan argumen ๐๐๐๐ =๐๐
๐๐
b. ๐๐
๐๐=
๐
๐๐๐จ๐ฌ
๐
๐โ
๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐
๐โ
๐
๐
=๐
๐๐๐จ๐ฌ
๐
๐๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐
๐๐
Sehingga modulus ๐๐
๐๐=
๐
๐ dan argumen
๐๐
๐๐=
๐
๐๐
Latihan 2
Jika diketahui :
1. ๐๐ = ๐ + ๐ dan ๐๐ = โ๐ โ ๐
2. ๐๐ = ๐ โ ๐ dan ๐๐ = โ๐ + ๐
Tentukan modulus ๐๐๐๐ dan ๐๐
๐๐, serta nilai prinsipil argumen
๐๐๐๐ dan ๐๐
๐๐.
9
Bentuk Pangkat dan Akar
Dari hasil operasi perkalian bentuk polar dapat diperoleh bentuk
pangkat bilangan kompleks ๐๐ yaitu :
๐๐ = ๐. ๐โฆ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐ + โฏ+ ๐ + ๐ ๐๐ข๐ง ๐ + ๐ + โฏ+ ๐
= ๐๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐ ๐๐ข๐ง ๐
Bentuk pangkat ๐๐ dikenal dengan rumus De Moivre, yang dari
bentuk tersebut dapat diturunkan bentuk akar ๐๐ yang diperoleh
dengan cara sebagai berikut :
Diketahui bentuk akar bilangan kompleks ๐๐ = ๐พ.
๐พ mempunyai bentuk polar ๐พ = ๐น ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐๐๐จ๐ฌ ๐ ,
sedangkan ๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐๐๐จ๐ฌ ๐ .
Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)
Nilai ๐น dan ๐ ini akan dicari berdasarkan nilai ๐ dan ๐.
Dari bentuk ๐พ = ๐๐ , dapat diperoleh bentuk ๐พ๐ = ๐.
Dari rumus De Moivre ๐พ๐ = ๐น๐ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ + ๐๐๐จ๐ฌ ๐๐ = ๐,
maka didapatkan persamaan berikut :
๐น๐ = ๐
๐๐ = ๐ + ๐๐๐ k : bilangan bulat
Nilai ๐น dan ๐ bisa diperoleh :
๐น = ๐๐/๐
๐ =๐+๐๐๐
๐ k : bilangan bulat
10
Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)
Jika dicoba memasukkan nilai k mulai dari 0, 1, 2, โฆ akan
diperoleh bahwa nilai akan kembali periodik untuk k = n,
yang artinya :
nilai W akan sama untuk k = 0 dan k = n,
nilai W akan sama untuk k = 1 dan k = n + 1, dan seterusnya.
Karena diinginkan nilai W yang berbeda saja, maka :
๐ =๐+๐๐๐
๐ untuk k = 0, 1, โฆ, n โ 1
Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)
Jadi akar-akar yang dicari adalah ๐๐, ๐๐, โฆ ,๐๐ dimana untuk :
๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐๐/๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐
๐
๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐๐/๐ ๐๐จ๐ฌ ๐+๐๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐+๐๐
๐
โฎ
๐ = ๐ โ ๐ โ ๐๐ = ๐๐/๐ ๐๐จ๐ฌ ๐+๐ ๐โ๐ ๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐+๐ ๐โ๐ ๐
๐
11
Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)
Untuk kasus khusus n = 2, yaitu akar bilangan kompleks yang
berbentuk ๐๐ dapat juga dicari dengan menggunakan persamaan
berikut :
๐๐ = ยฑ๐ +๐
๐+ ๐ฌ๐ข๐ ๐ง ๐ ๐
๐ +๐
๐
dengan ketentuan sign y = 1 jika y 0 dan sign y = 1 jika y < 0.
Rumusan ini diperoleh dengan menggunakan sifat :
๐๐จ๐ฌ ๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐โ ๐ dan
๐๐จ๐ฌ ๐ = ๐ โ ๐ ๐๐ข๐ง๐ ๐
๐
Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)
Contoh :
Tentukan semua nilai ๐ yang memenuhi ๐๐ + ๐ = ๐
Jawaban :
๐๐ + ๐ = ๐ โ ๐๐ = โ๐ โ ๐ = โ๐๐
(bentuk akar pangkat 3)
Bilangan kompleks โ๐ memiliki ๐ = ๐ dan ๐ = ๐ , jika
๐๐, ๐๐, โฆ ,๐๐ adalah akar-akar dari โ๐๐
, maka :
12
Bentuk Pangkat dan Akar (lanjutan)
๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐
๐=
๐
๐+
๐
๐๐
๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐+๐๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐+๐๐
๐= โ๐
๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐+๐๐
๐+ ๐ ๐๐ข๐ง
๐+๐๐
๐=
๐
๐+
๐
๐๐
Jadi akar-akar yang dimaksud adalah :
๐
๐+
๐
๐๐, โ๐, dan
๐
๐+
๐
๐๐
Latihan 3
Tentukan semua nilai ๐ yang memenuhi :
1. ๐๐ โ ๐๐ + ๐ = ๐
2. ๐๐ + ๐๐ โ ๐ = ๐
13
Turunan
Diketahui fungsi bilangan kompleks yang berbentuk :
๐ ๐ = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐(๐, ๐)
Fungsi tersebut ekuivalen dengan dua fungsi riil ๐(๐, ๐) dan
๐(๐, ๐) yang masing-masing tergantung pada dua variabel riil x
dan y.
Limit Fungsi :
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐๐
๐(๐) = ๐ณ
Pengertian limit fungsi adalah untuk semua ๐ yang dekat dengan
๐๐, maka nilai ๐(๐) akan dekat dengan nilai ๐ณ.
Pengertian dekat dengan ๐๐ adalah bialngan kompleks yang
terletak di dalam cakram buka dengan pusat ๐๐ dengan jari-jari
yang sangat kecil.
๐(๐) dikatakan kontinu di titik ๐๐, jika :
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐๐
๐(๐) = ๐(๐๐)
๐(๐) dikatakan differentiable di titik ๐๐ โ ๐โฒ ๐๐ , jika :
๐ฅ๐ข๐ฆโ๐โ๐
๐ ๐ โ ๐(๐๐)
โ๐= ๐โฒ ๐๐ ๐๐๐
atau
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐๐
๐ ๐ โ ๐(๐๐)
๐ โ ๐๐= ๐โฒ ๐๐ ๐๐๐
Turunan (lanjutan)
14
Turunan (lanjutan)
Contoh :
1. Periksa apakah ๐๐ + ๐ ๐๐ mempunyai turunan? Jika ada,
tentukan turunannya!
2. Diketahui ๐ ๐ = ๐๐๐ + ๐๐, tentukan ๐โฒ(๐ + ๐)!
Jawaban :
1. ๐ ๐ = ๐ ๐, ๐ = ๐๐ + ๐ ๐๐
๐โฒ ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆโ๐โ๐
๐ ๐+โ๐ โ๐(๐)
โ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆโ๐โ๐
๐ ๐+๐๐+โ ๐+๐๐ โ๐ ๐+๐๐
โ ๐+๐๐
Turunan (lanjutan)
Jawaban (lanjutan) :
= ๐ฅ๐ข๐ฆโ๐โ๐
๐ ๐+โ๐+๐ ๐+โ๐ โ๐ ๐+๐๐
โ ๐+๐๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆโ๐โ๐
๐๐+๐โ๐+๐๐ ๐+โ๐ โ๐ ๐+๐๐
โ ๐+๐๐
= ๐ (limitnya ada)
Jadi fungsi bilangan kompleks ๐ ๐ = ๐๐ + ๐ ๐๐ mempunyai
turunan ๐โฒ ๐ = ๐.
15
Turunan (lanjutan)
Jawaban (lanjutan) :
2. Diketahui ๐ ๐ = ๐๐๐ + ๐๐ , jika ๐ ๐ diberikan dalam
bentuk variabel ๐ saja, maka dapat diturunkan secara
langsung dengan aturan penurunan biasa.
Jadi ๐โฒ(๐) = ๐๐ + ๐, sehingga ๐โฒ ๐ + ๐ = ๐ ๐ + ๐ + ๐
= ๐ + ๐๐
Latihan 4
a. Tentukan turunan dari fungsi berikut :
1. ๐ ๐, ๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐
2. ๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐
b. Tentukan ๐โฒ ๐ + ๐ dari fungsi berikut :
1. ๐ ๐ = (๐๐ โ ๐)๐
2. ๐ ๐, ๐ = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐ + ๐(๐๐๐ โ ๐)
16
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!