tks 4007 matematika iii diferensial vektor€¦ · pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan...
TRANSCRIPT
1
TKS 4007 Matematika III
Diferensial Vektor (Pertemuan III)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Perkalian Titik
Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang
dinyatakan oleh A.B (baca : A titik B).
Secara geometri : A.B didefinisikan sebagai perkalian antara
besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut antara
keduanya.
Secara analitik : misal 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 dan 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 adalah dua vektor pada bidang sistem koordinat x dan y, maka
A.B didefinisikan :
2
Perkalian Titik (lanjutan)
Sedangkan vektor pada bidang sistem koordinat x, y, dan z,
dimana 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 dan 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤 ,
maka A.B didefinisikan :
Ingat : hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar!
Perkalian Titik (lanjutan)
Lihat gambar berikut :
Gambar tersebut menunjukkan sebuah obyek yang diberi
gaya. Obyek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke
titik B.
3
Perkalian Titik (lanjutan)
Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai :
Dengan menggunakan definsi perkalian titik, maka
diperoleh :
Jadi, usaha W merupakan hasil dari perkalian titik antara
gaya F dengan perpindahan r.
Perkalian Titik (lanjutan)
Perkalian Vektor-vektor Satuan
Dengan menggunakan definisi perkalian titik, didapatkan :
4
Perkalian Titik (lanjutan)
Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada
bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :
Perkalian Titik (lanjutan)
Sifat-sifat perkalian titik :
Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah
bilangan real, maka berlaku :
5
Perkalian Titik (lanjutan)
Bukti :
(i) 𝐀. 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 . A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤
Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh :
𝐀. 𝐀 = A12 + A2
2
= A12 + A2
2
2
𝐀. 𝐀 = 𝐀 2 (Terbukti!)
Perkalian Titik (lanjutan)
(ii) 𝐀. 𝐁 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 . B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤
Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh :
𝐀. 𝐁 = A1B1 + A2B2 + A3B3
Karena A1, A2, A3, B1, B2, dan B3 adalah bilangan real,
maka :
A1B1 = B1A1, A2B2 = B2A2, dan A3B3 = B3A3
sehingga :
𝐀. 𝐁 = B1A1 + B2A2 + B3A3
𝐀. 𝐁 = 𝐁. 𝐀 (Terbukti!)
Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan (vii) dijadikan
untuk latihan!
6
Perkalian Titik (lanjutan)
Contoh :
Jika A = i + 2j dan B = 2i – 3j, tentukan A . B dan sudut
yang dibentu oleh A dan B.
Penyelesaian
𝐀. 𝐁 = 𝐢 + 2𝐣 . 𝟐𝐢 − 3𝐣 = 1 2 + 2 −3 = 2 − 6 = 4
cos 𝜃 =𝐀.𝐁
𝐀 𝐁=
−4
12+22 22+(−3)2
=−4
5 13=
−4
65= −0,47
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos(−0,47) = 119,74o
Perkalian Silang
Perkalian silang dari dua buah vektor A dan B dinyatakan
dengan 𝐀 × 𝐁 (baca : A silang B).
Perhatikan gambar berikut :
Tinjau rotasi sebuah partikel dalam
lintasan dengan jari-jari r. Jarak
yang telah ditempuh dalam selang
waktu t adalah s dengan sudut yang
dibentuk adalah (dalam radian).
Hubungan s dan diberikan oleh
s = r.
7
Perkalian Silang (lanjutan)
Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar
kecepatan linier diberikan oleh :
Besaran 𝜔 =𝑑𝜃
𝑑𝑡, disebut sebagai kecepatan sudut yang
arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus
bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier
dengan kecepatan sudut diberikan oleh :
Perkalian Silang (lanjutan)
Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama
dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari
jari-jari lingkaran. Berikut ini definisi perkalian silang :
Secara geometri
Perkalian silang dari dua vektor A dan B adalah sebuah
vektor 𝐂 = 𝐀 × 𝐁 (baca A silang B), yang besarnya adalah
hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut antara
keduanya.
dengan u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari
𝐀 × 𝐁.
8
Perkalian Silang (lanjutan)
Secara analisis
Misal 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 dan 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤 ,
maka perkalian silang dari dua vektor A dan B didefinisikan
sebagai berikut :
Perkalian Silang (lanjutan)
Perkalian Vektor-vektor Satuan
Dengan menggunakan definisi perkalian silang, didapatkan :
9
Perkalian Silang (lanjutan)
Hasil perkalian silang dari vektor satuan-vektor satuan pada
bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :
Perkalian Silang (lanjutan)
Sifat-sifat perkalian silang :
Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah
bilangan real, maka berlaku :
10
Perkalian Silang (lanjutan)
Bukti :
Misal 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 , 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤 dan
𝐂 = C1𝐢 + C2𝐣 + C3𝐤, maka :
(ii)
Perkalian Silang (lanjutan)
(iv)
Pembuktian sifat (i), (iii), (v), dan (vi) dijadikan untuk
latihan!
11
Perkalian Silang (lanjutan)
Contoh : Jika A = 2i - 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan A G B
dan sudut yang dibentu oleh A dan B.
Penyelesaian
Perkalian Silang (lanjutan)
Jadi sudut antara A dan B adalah 57,69o.
12
Latihan
1.
2.
3.
4.
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!