tesis.pdf

i

Tesis disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar

Magister Sains (M.Si.)

di

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Oleh :

SA’DIYAH

NRP. 1206 201 010

Tanggal Ujian : 29 Juli 2008

Periode Wisuda : Oktober 2008

Disetujui Oleh:

1. Drs. Chairul Imron, MI.Komp. (Pembimbing)

NIP: 131 688 310

2. Dra, Farida Agustini Widjajati. MS. (Penguji)

NIP: 130 937 718

3. Drs. Suhud Wahyudi. M.Si. (Penguji)

NIP: 131 651 427

4. Drs, Sumarno, DEA. (Penguji)

NIP: 130 936 834

Direktur Program Pascasarjana,

Prof. Dr.Ir. Suparno, MSIE.

NIP. 130 532 035

iii

PELABELAN SUPER EDGE-MAGIC

PADA GRAPH CYCLE YANG DIKEMBANGKAN

Nama Mahasiswa : Sa’diyah

NRP : 1206 201 010

Pembimbing : Drs. Chairul Imron,MI.Komp.

ABSTRAK

Misalkan G adalah graph dengan himpunan vertex ( )GV dan himpunan

edge ( )GE . Edga magic total labeling pada graph G adalah pemetaan bijektif

f dari )()( GEGV ∪ → { })(||)(.,..,2,1 GEGV + dengan sifat

kuvfvfuf =++ )()()( untuk setiap )(GEuv ∈ dan untuk suatu bilangan bulat

k. Edge-magic total labeling f dapat disebut super edge-magic total labeling jika

{ })(,...,2,1))(( GVGVf = . Pada penelitian ini akan dibahas pelabelan super edge-

magic pada graph cycle yang dikembangkan Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −,

merupakan super edge magic total labeling, cara pelabelan serta menemukan

bilangan ajaib dari Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

Kata kunci : cycle, edge-magic, magic sum, super edge-magic

v

THE EXPANDING OF SUPER EDGE-MAGIC TOTAL

LABELING OF CYCLE GRAPH

By : Sa’diyah

Student Identity Number : 1206 201 010

Supervisor : Drs. Chairul Imron, MI.Komp.

ABSTRACT

For a graph G, with the vertex set V(G) and the edge set E(G) an edge-magic

total labeling is a bijection f from V(G) ∪ E(G) to the set of integers { 1, 2, 3, 4, 5,

6, . . . , │V(G) │ + │E(G) │} with the property that f(u) + f(v) + f(uv) = k for

each uv ∈ E(G) and for fixed integer k. An edge-magic total labeling f is called

super edge-magic total labeling if f(V(G)) = {1, 2, 3, 4, . . . ,│V(G)│}.This

research is observed the expanding labeling and the analisys super edge-magic

graph from cycle graph Cn ∆ Am and (n,m)- sun

The result of this research show that Cn ∆ Am and (n,m)- sun as super

edge magic total labeling, deciding how to label and to find magic sum from

Cn ∆ Am dan (n,m)- sun .

Keyword : cycle, edge-magic, magic sum, super edge-magic

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis berikan kepada Tuhan YME yang telah memberikan

segala hikmat, rahmat dan anugrahNya yang melimpah kepada penulis, sehungga

dapat menjalani hidup ini dengan penuh cinta kasihNya dan penulis dapat

menyelesaikan kuliah S2 serta dapat menyelesaikan tesis dengan judul:

PELABELAN SUPER EDGE-MAGIC PADA GRAPH CYCLE YANG

DIKEMBANGKAN.

Tesis ini merupakan hasil penelitian sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.) pada Program Studi Magister jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Sepuluh

Nopember Surabaya.

Penulis menyadari bahwa tesis ini dapat diselesaikan dengan baik atas

bimbingan, arahan, dan dorongan moral maupun bantuan materil dari berbagai

pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan

penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Drs. Chairul Imron, MI. Komp., selaku pembimbing yang telah

membimbing dan mengarahkan penulis dalam menyelesaikan tesis,

2. Bapak DR. Isa Irawan, MT selaku koordinator Program Studi Magister

Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya,

3. Bapak Prof. DR. Basuki W, M.Sc, selaku ketua jurusan Matematika FMIPA

ITS Surabaya

4. Seluruh staf pengajar yang telah memberikan ilmunya, staf pegawai, staf

administrasi, staf laboratorium komputasi, dan staf ruang baca Jurusan

Matematika FMIPA ITS Surabaya yang telah memberikan pelayanan yang

baik.

5. Segenap teman-teman seperjuangan, mahasiswa S2 angkatan 2006, Bpk

Slamet Budiono, Bpk Projo Dwi Setiawan, Bpk Saiful Rizal, Ibu Utami, Ibu

Auli, Jasmir, Ida Christiana, Wahyuniati, Ibu Sri Suryaningsih, Diky, dan

Arif atas segala kerjasamanya, masukannya dan semangatnya.

viii

6. Orang tua tercinta yang telah membesarkan dan mendidik penulis dengan

kesabaran dan pengorbanan yang tidak dapat terbalaskan secara materil serta

mendoakan dengan tulus dan penuh kasih sayang, memberikan motivasi

kepada penulis dalam menyelesaikan studi di ITS Surabaya..

7. Saudara-saudaraku di Surabaya dan Jakarta yang telah memberikan dukungan

moril baik lahir dan batin.

8. Kepala Sekolah, rekan-rekan guru dan tata usaha SMA Negeri 1 Kota

Mojokerto yang telah menberi dukungan pada penulis.

9. Semua pihak yang tidak sempat disebutkan satu-persatu, penulis mohon maaf

dan menyampaikan banyak terima kasih atas bantuannya.

Akhirnya penulis berharap dan memohon semoga bantuan semua pihak

mendapat kasih dan anugerah yang melimpah dari Tuhan YME, dan sebagai

suatu karya ilmiah yang dapat memberikan manfaat untuk menambah wawasan

keilmuan dan menjadi berkat bagi pembaca AMIN.

Surabaya, Juli 2008

Penulis

ix

DAFTAR ISI

JUDUL PENELITIAN

LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................... i

ABSTRAK ........................ .......................................................................... iii

ABSTACT ................................................................................................... v

KATA PENGANTAR ................................................................................... vii

DAFTAR ISI ................ ............................................................................... ix

DAFTAR GAMBAR .... ................................................................................ xi

DAFTAR NOTASI ......... .............................................................................. xiii

BAB 1 PENDAHULUAN . .......................................................................... 1

1.1 Latar Belakang .............................................................................. 1

1.2 Perumusan Masalah ....................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian dan Manfaat Penelitian ………………………. 3

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA . ....................................................................... 5

2.1 Beberapa Pengertian dalam Teori Graph ........................................ 5

2.2 Operasi dalam Graph Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, ............................. 7

2.3 Edge-Magic Graph dan Super Edge-Magic Graph ......................... 8

2.4 Pelabelan Super Edge-Magic pada Graph Cn ................................. 10

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN ………........................................... 15

3.1 Metoda Penelitian ........................................................................... 15

3.2 Diagram Alir Metode Penelitian …............................................... 15

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................... 17

4.1 Pelabelan Super Edge-Magic pada Graph Cn ∆ Am ....................... 17

4.2 Pelabelan Super Edge-Magic pada Graph ( ) sunmn −, ................... 23

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN ………............................................... 31

5.1 Kesimpulan .................................................................................... 31

5.2 Saran ... .......................................................................................... 31

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 33

xi

DAFTAR GAMBAR

No Judul Halaman

1.1. Contoh edge-magic total labeling 2

2.1. Contoh Graph Terhubung dan Graph Tidak Terhubung 6

2.2. Graph C5, P5, K1, K3 6

2.3. Graph C3 ∆ A1 7

2.4. Graph (3,1)- sun 7

2.5. Contoh edge-magic total labeling dan super edge magic total

labeling 9

2.6. Diagram dari C3 10

2.7. Pelabelan pertama super edge-magic dari C3 11

2.8. Pelabelan kedua super edge-magic dari C3 11





4.1. Graph Cn ∆ Am 17

4.2. Graph C5 ∆ A2 21

4.3. Graph C5 ∆ A4 21

4.4. (n,m)- sun , untuk m=1 23

4.5. (7,1)- sun 26

4.6. (n,m)- sun, untuk m > 1 27

4.7. (3,4)- sun 29

4.8. (5,3)- sun 30

xiii

DAFTAR NOTASI

V : Vertex (simpul)

E : Edge (sisi)

V : Jumlah vertex

E : Jumlah edge

λ : Pemetaan

∪ : Gabungan himpunan

∆ : Penambahan vertex dan edge

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Graph adalah cabang dari matematika yang banyak mendapat perhatian

dan berkembang sangat pesat. Salah satu bagian dari graph yang banyak diminati

adalah graph labeling . Graph G adalah pasangan himpunan (V(G), E(G)) dimana

V(G) adalah himpunan tak kosong yang elemen-elemenya disebut vertex (titik

atau simpul) dan E(G) adalah himpunan (boleh kosong) yang elemen-elemennya

merupakan pasangan tak terurut uv dari vertex-vertex u, v di V yang disebut edge

(sisi). Dua vertex u, v dikatakan adjacent jika u, v dihubungkan oleh suatu edge

yang dinotasikan uv.

Graph labeling adalah pemberian nilai (bilangan bulat positip) pada vertex,

edge atau vertex dan edge. Ada beberapa macam labeling, yaitu labeling dengan

domainnya berupa himpunan vertex, himpunan edge atau keduanya dan

dinamakan dengan vertex labeling, edge labeling dan total labeling.

Penelitian labeling pertama kali dilakukan oleh (A.Kotzig dkk, 1970)

dinamakan magic valuation dan berkembang sampai sekarang dengan berbagai

macam nama. Salah satu jenis graph labeling adalah magic labeling yaitu vertex

labeling dan edge labeling dari suatu graph dengan himpunan bilangan bulat

positif yang memenuhi sifat penjumlahannya adalah konstan.

Edge magic total labeling dari graph G adalah pemetaan bijektif f :

)()( GEGV ∪ → ( ) ( )},...,3,2,1{ GEGV + sedemikian sehingga )(GEuv ∈

berlaku kuvfvfuf =++ )()()( , untuk suatu bilangan positif k. Konstanta k

disebut bilangan ajaib (A.Kotzig dkk, 1970). Jika graph G adalah edge magic

total labeling, maka graph G disebut edge-magic total graph.

Edge-magic total labeling f disebut super edge-magic total labeling adalah

pemetaan bijektif f : )()( GEGV ∪ → ( ) ( )},...,3,2,1{ GEGV + sedemikian

sehingga untuk setiap )(GEuv ∈ berlaku kuvfvfuf =++ )()()( , yang

2

memenuhi sifat ( )( ) ( )},...,3,2,1{ GVGVf = . Jika graph G adalah super

edge-magic labeling,maka graph G disebut super edge-magic graph.

Gambar 1.1 Contoh edge magic total labeling

Pengkajian mengenai edge magic total labeling dan super edge magic

graph secara kontinu telah dilakukan. Misalnya (Craft dkk, 1999) dan (Godbord

dkk, 1998), menunjukkan bahwa semua cycle adalah edge magic total labeling .

Sedangkan (Enomoto, 1998) menunjukkan bahwa graph cycle nC adalah super

edge magic total labeling jika dan hanya jika n ganjil.

Berdasarkan penelitian-penelitian sebelumnya penulis akan mengembangan

hasil yang ditunjukkan oleh (E.T. Baskoro dkk, 2004), yaitu penelitian super

edge magic total labeling untuk graph Cn ∆ Am yaitu graph yang didapat

dengan menambah m vertex dan m edge pada satu vertex dari graph cycle nC dan

( ) sunmn −, , yaitu graph yang diturunkan dari graph cycle dengan menggantung

m pendant atau anting vertex dari semua vertex graph cycle, dimana graph

tersebut merupakan pengembangan dari graph cycle .

13

1 19

3

17

7

10

6

2

18

9 4

5

8

16

14 12

15

20

11

3

1.2 Perumusan Masalah.

1. Bagaimana pelabelan super edge-magic pada pengembangan graph cycle

Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

2. Bagaimana keberlakuan super edge-magic pada pengembangan graph cycle,


3. Bagaimana menentukan bilangan ajaib dari Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

1.3 Batasan Masalah.

Pada penelitian ini dibatasi Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, . dengan n ganjil, n≥3

dan 1≥m .

1.4 Tujuan dan manfaat penelitian.

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mencari pelabelan super edge-magic pada pengembangan graph cycle


2. Menganalis keberlakuan super edge magic pada pengembangan graph cycle


3. Menentukan bilangan ajaib dari Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

Manfaat dari penelitian ini adalah menambah jenis graph yang dapat dilabeli

secara super edge magic total labeling dan menambah wawasan dari super edge

magic graph labeling.

4

BAB 2

KAJIAN PUSTAKA

2.1. Beberapa Pengertian dalam Teori Graph

Graph G adalah pasangan himpunan (V(G), E(G)) dimana V(G) adalah

himpunan tak kosong yang elemen-elemennya disebut vertex (titik atau simpul)

dan E(G) adalah himpunan (boleh kosong) yang elemen-elemennya merupakan

pasangan tak terurut uv dari vertex-vertex u, v di V yang disebut edge (sisi). Dua

vertex u, v dikatakan adjacent jika u, v dihubungkan oleh suatu edge yang

dinotasikan uv.

Secara grafis vertex digambarkan sebagai lingkaran(titik) dan edge

digambarkan sebagai ruas garis yang menghubungkan dua buah vertex.

Banyaknya vertex dari G dilambangkan dengan ||V = p dan banyaknya edge dari

G dilambangkan dengan || E = q. Secara umum suatu graph G yang mempunyai

p vertex dan q edge dituliskan dengan graphqp −),( G.

Suatu graph G dikatakan terhubung jika dapat dibuat lintasan yang

menghubungkan setiap dua vertex pada graph tersebut, sedangkan graph G

dikatakan tidak terhubung jika terdapat dua vertex atau lebih yang tidak

dihubungkan atau tidak dibuat lintasan. Contoh dari graph terhubung dan graph

yang tidak terhubung dapat dilihat pada Gambar 2.1. Graph terhubung yang

membentuk cycle disebut graph cycle dilambangkan dengan nC , sedangkan

graph terhubung yang tidak mengandung cycle disebut graph pohon. Salah satu

bentuk khusus dari graph pohon adalah graph path dilambangkan dengan nP .

Graph yang setiap vertexnya terhubung dinamakan graph komplit dilambangkan

dengan nK . Contoh dari graph cycle, graph path dan graph komplit dapat dilihat

pada Gambar 2.2.

5

Gambar 2.1 Contoh Graph Terhubung dan Graph Tidak Terhubung

Contoh-contoh graph :

Graph C5, P5, K1, K3 berturut-turut dapat dilihat pada Gambar 2.2 (a),

(b), (c), (d)

Gambar 2.2 Graph C5, P5, K1, K3

v2

v1

v3 v4

v5

e2

e3

e4

e5 e1

(a)

v2

v1

v3

v4

v5

e2

e3

e4

e1

(b)

e1 v1

v3 v2

v1

e3

e2

(c) (d)

v2

v1

v3 v4

v5

e2

e3

e4

e5 e1

Graph terhubung

v1

v3

v2

v4

v5

e2

e3

e4

e5 e1

v6

Graph tidak terhubung

6

2.2. Operasi dalam Graph Cn ∆∆∆∆ Am dan (n,m)- sun

Untuk 3n ≥ dan 1≥m , dinotasikan Cn ∆ Am sebagai graph yang didapat

dengan menambah m vertex dan m edge pada satu vertex (sebut 1v ).

Himpunan vertex V(Cn ∆ Am ) = {vi:1≤i≤n}∪{uj:1≤ j ≤m}

Himpunan edge E( Cn ∆ Am ) = {vivj+1:1≤i≤n-1}∪{vnv1}∪{v1uj:1≤ j ≤m}

(Baskoro dkk, 2004).

Contoh : C3 ∆ A1

Himpunan vertex : V(C3 ∆ A1 ) = { v1, v2, v3, u1 }

Himpunan edge : E( C3 ∆ A1 )= {v1v2, v2v3, v3v1, v1u1 }

Gambar 2.3 Graph C3 ∆ A1

Misalkan (n,m)–sun adalah graph yang diturunkan dari graph cycle dengan

menggantung m pendant atau anting dari semua vertex graph cycle Cn, n ≥ 3 .

V((n, m) – sun )= {vi : 1 ≤ i ≤ n } ∪ { ui,j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m }

E(( n , m) – sun )={vivi+1 : 1 ≤ i ≤ n – 1 } ∪{ vnv1}∪ {viui,j :1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m }.

Contoh : ( 3,1 ) – sun

Himpunan vertex : V(( 3,1 ) – sun) = { v1, v2, v3, u11,u21, u31}

Himpunan edge : E(( 3 ,1 ) – sun) = {v1v2, v2v3, v3v1, v1u11, v2u21, v3u31}

Gambar 2.4 Graph ( 3,1 ) – sun

u1 v3

v2

v1

v3

v2

v1

u11

u21

u31

7

2.3 Edge-Magic Graph dan Super Edge-Magic Graph

Graph labeling adalah pemetaan satu-satu yang memetakan semua elemen

dari graph tersebut ke suatu bilangan yang biasanya merupakan bilangan bulat

positip. Ada beberapa macam labeling, yaitu labeling yang domainnya berupa

himpunan vertex, himpunan edge atau keduanya. Macam-macam labeling ini

secara berurutan disebut vertex labeling, edge labeling dan total labeling.

Banyaknya vertex dari G dilambangkan dengan ||V = p dan banyaknya

edge dari G dilambangkan dengan || E = q. Pada penelitian ini akan digunakan

total labeling dalam pengkajian masalah.

Definisi 2.1. Edge-magic total labeling dari (p,q)-graph G adalah fungsi bijektif

},,3,2,1{)()(: qpGEGVf +→∪ � sedemikian hingga untuk setiap xy∈E(G)

dengan )(, GVyx ∈ berlaku kyfxyfxf =++ )()()( , k adalah konstanta.

Konstanta k disebut bilangan ajaib. Jika G adalah total edge-magic labeling,

maka G disebut edge-magic total graph (Kotzig, 1970).

Jika labeling dari vertex pada edge-magic total graph adalah bilangan

integer dimulai dari yang terkecil yaitu {1, 2, 3, ,� p), maka labelingnya disebut

super edge-magic total labeling yang secara lengkap didefinisikan sebagai berikut

Definisi 2.2. Super edge-magic labeling dari (p,q)-graph G adalah fungsi bijektif

},,3,2,1{)()(: qpGEGVf +→∪ � sedemikian hingga untuk setiap xy∈E(G)

dengan )(, GVyx ∈ berlaku kyfxyfxf =++ )()()( , k adalah konstanta, dan

memenuhi sifat },,3,2,1{))(( pGVf �= . Konstanta k disebut magic sum

(bilangan ajaib). Jika G adalah super edge-magic total labeling, maka G disebut

super edge-magic graph (Enomoto dkk, 1998).

8

Untuk memberikan gambaran real dari definisi di atas diberikan contoh

edge- magic total labeling dan super edge-magic total labeling pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Contoh edge-magic total labeling (a)

dan super edge–magic labeling (b)

Berdasarkan penelitian sebelumnya dibuktikan bahwa graph cycle Cn

merupakan total edge- magic labeling yang ditunjukkan pada Teorema 2.1.

Teorema 2.1 Setiap graph cycle nC merupakan edge-magic total labeling

dengan range bilangan ajaib :

genapnuntukn

kn

,2

27

2

45 +≤≤

+(Chairul Imron dkk, 2006)

Berdasarkan penelitian sebelumnya dibuktikan bahwa graph cycle Cn

merupakan super edge magic untuk n ganjil, yang ditunjukkan pada Teorema 2.2.

Teorema 2.2.Graph cycle nC merupakan super edge-magic total labeling jika

dan hanya jika n ganjil dengan bilangan ajaib 2

35 +=

nk (Enomoto dkk, 1998)

Menjadi sangat penting untuk dibahas apakah Cn ∆ Am dan (n,m)- sun

juga merupakan super edge- magic, dan bagaimana pelabelannya. Hal inilah yang

menjadi fokus dalam penelitian ini.

ganjilnuntukn

kn

,2

37

2

35 +≤≤

+

3

2

1 4

6

5

1

3

2

5

6 4

k= 12

(a) k= 9

(b)

9

2.4 Pelabelan Super Edge-Magic pada Graph Cycle Cn

Dalam menentukan pelabelan super edge-magic, akan sulit jika dilakukan

langsung berdasarkan definisi. Lemma berikut memberi solusi dalam menentukan

pelabelan super edge-magic.

Lemma 2.3 Suatu graph G adalah super edge-magic jika dan hanya jika terdapat

suatu fungsi bijektif f : V(G) � {1, 2, 3, …, )(GV } demikian sehingga

himpunan S = { f (u) + f (v) uv ∈ E(G)} terdiri dari )(GE bilangan bulat

yang berurutan. Dalam hal ini, f akan memberi graph G super magic-labeling

dengan bilangan ajaib k= )(GV + )(GE + min S (Figueroa dkk, 2002).

Untuk membuat super edge- magic total labeling pada graph cycle yakni

mengetahui suatu graph super edge-magic digunakan lemma di atas, yaitu dengan

membuat pelabelan vertex-vertex demikian sehingga jumlah dari setiap dua vertex

berdekatan hasilnya adalah bilangan-bilangan yang berurutan sebanyak jumlah

edge-nya.

Berikut ini diberikan contoh super edge-magic total labeling pada C3, C5, dan

C7 dengan menggunakan Lemma 2.3.

Misalkan diagram dari graph C3 adalah sebagai berikut.

Gambar 2.6 Diagram dari graph C3.

Pelabelan pertama: 3, 2, 1. Ini artinya vertex v1, v2, v3 dipasangkan (di

labeli) masing-masing dengan bilangan 3, 2, 1. Jumlah label dari dua vertex

berdekatan adalah 3+2, 2+1, dan 1+3 atau sama dengan 5, 3, 4 adalah bilangan-

bilangan yang berurutan. Pelabelan dari edge secara otomatis mudah ditentukan

(lihat Gambar 2.7). Bilangan ajaibnya adalah k = 3+4+2=2+6+1=1+5+3=9.

v3

v2

v1

e1 e2

e3

10

Berdasarkan rumus dari Enomoto dan Llado, k = 2

35 +n untuk n = 3

diperoleh bilangan ajaib k = 92

18

2

33.5==

+. Hasil yang diperoleh adalah sama

Gambar 2.7. Pelabelan pertama super edge-magic dari C3.

Pelabelan kedua 3, 1, 2. Ini artinya vertex v1, v2, v3 dipasangkan (dilabeli)

masing-masing dengan bilangan 3, 1, 2. Jumlah label dari dua vertex berdekatan

adalah 3+1, 1+2, dan 2+3 atau sama dengan 4, 3, 5 adalah bilangan-bilangan yang

berurutan. Pelabelan dari edge secara otomatis mudah ditentukan (lihat Gambar

2.8).

Gambar 2.8. Pelabelan kedua super edge-magic dari C3.

Bilangan ajaibnya adalah k = 3+5+1 = 1+6+2 = 2+4+3 = 9. Berdasarkan

rumus dari Enomoto dan Llado(1998), k = 2

35 +n untuk n = 3 diperoleh bilangan

ajaib k = 92

18

2

33.5==

+. Hasil yang diperoleh pun adalah sama.

Pelabelan ketiga sampai keenam juga memenuhi sifat super edge-magic

dengan nilai bilangan ajaib k sesuai dengan rumus.

3

2

1 5

6 4

3

1

2 4

6 5

11

Sekarang dilakukan pelabelan pada C5. Pelabelan pertama: 5, 3, 1, 4, 2.

Jumlah label dari dua vertex berdekatan adalah 5 + 3, 3 + 1, 1 + 4, 4 + 2, dan 2 + 5

yaitu sama dengan 8, 4, 5, 6, 7. Bilangan-bilangan ini adalah bilangan-bilangan

yang berurutan. Pelabelan dari edge-edge-nya tinggal menyesuaikan dengan

urutan jumlah label vertex dari yang terbesar. Untuk lebih jelasnya bisa dilihat

pada Gambar 2.9

Gambar 2.9. Pelabelan pertama super edge-magic dari C5

Bilangan ajaib k dapat diperoleh dari Gambar 2.6, yaitu k =5+6+3=

3+10+1= 1+9+4= 4+8+2= 2+7+5=14. Kalau dihitung dengan rumus dari

Enomoto dan Llado untuk n = 5 diperoleh k = 142

28

2

35.5==

+.

Pelabelan kedua: 5, 2, 4, 1, 3. Jumlah label dari dua vertex berdekatan adalah

5+2, 2+4, 4+1, 1+3, dan 3+5 yaitu sama dengan 7, 6, 5, 4, 8. Bilangan-bilangan

ini adalah bilangan-bilangan yang berurutan. Pelabelan dari edge-edge-nya

tinggal menyesuaikan dengan urutan jumlah label vertex dari yang terbesar. Untuk

lebih jelasnya bisa dilihat pada Gambar 2.10

Gambar 2.10. Pelabelan kedua super edge-magic dari C5

4

1

2 5

3

8

7

6

10 9

1

4

3 5

2

10

6

7

8 9

12

Bilangan ajaib k dapat diperoleh dari Gambar 2.10, yaitu k =

5+7+2=2+8+4=4+9+1=1+10+3=3+6+5=14. Hasil ini cocok dengan bilangan ajaib

yang dihitung dengan rumus dari Enomoto dan Llado.

Penyelidikan bisa dilanjutkan untuk pelabelan ketiga, keempat, dan

seterusnya sampai kesepuluh. Kita dapat memperoleh super edge-magic labeling

untuk C5 dengan bilangan ajaib k .

Yang terakhir adalah pelabelan pada C7. Ada 126 macam pelabelan super

edge magic dari C7 diambil dua pelabelan sebagai contoh yaitu 1, 7, 3, 6, 5, 2, 4

dan 1, 7, 2, 3, 4, 6, 5. Pelabelan lengkapnya disajikan dalam Gambar 2.11 dan

Gambar 2.12 berikut.

Gambar 2.11. Pelabelan pertama super edge-magic dari C7

Gambar 2.12. Pelabelan kedua super edge-magic dari C7

1

5

2

4

6

14

3 7

12

10

11

9

8

13

1

4

3

5

2

10

6 7

8

9

11

12

13

14

16

Pada dua pelabelan ini diperoleh bilangan ajaib k = 19, cocok dengan

bilangan ajaib yang diperoleh dari rumus Enomoto dan Llado, untuk n = 7 yaitu:

k = 192

38

2

37.5==

+

Edge magic-total labeling pada Cn, secara umum ditunjukkan dari hasil

penelitian Enomoto (1998) dengan aturan sebagai berikut :

=)( ivλ

=+

−=++

nii

niin

,...,5,3,1,2

1

1,...,6,4,2,2

1

nvv

niinvv

in

ii

2)(

1.,...,3,2,1,2)( 1

=

−=−=+

λλ

dengan bilangan ajaib 2

35 +=

nk .

Dalam tesis ini dibahas pelabelan Super Edge Magic pada graph cycle

yang dikembangkan dengan menambah vertex, edge, anting dengan operasi

menggunakan hasil dari penelitian E.T. Baskoro dan Y.M Cholily .

17

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Metode Penelitian

Dalam penelitian ini menggunakan langkah-langkah kerja sebagai berikut :

1. Membangun graph cycle yang dikembangkan Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

2. Meneliti keberlakuan super edge total labeling pada Cn ∆ Am dan

( ) sunmn −, .

3. Membuat pelabelan pada Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

4. Menentukan bilangan ajaib dari Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −, .

5. Memberi ilustrasi dari hasil penelitian.

3.2. Diagram Alir Penelitian

Bagan alir dari penelitian ini dapat dilihat pada Gambar di bawah ini .

Gambar 3.1 Bagan Alir Penelitian

Membangun graph cycle yang dikembangkan yaitu


Meneliti keberlakuan super edge total labeling pada

Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −,

Membuat pelabelan pada Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −,

Memberi ilustrasi dari hasil penelitian

Menentukan bilangan ajaib Cn ∆ Am dan ( ) sunmn −,

18

V5

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pelabelan Super Edge-Magic pada Graph Cn ∆∆∆∆ Am

Graph Cn ∆ Am yang merupakan graph cycle yang dikembangkan dengan

cara menambah m vertex dan m edge pada satu vertex dari graph cycle Cn .

Gambaran secara umum Cn ∆ Am ditunjukkan oleh Gambar 4.1

Gambar 4.1 Graph Cn ∆ Am

Dalam bagian ini akan dikaji tiga teorema yang merupakan hasil dari

penelitian, teorema pertama membahas range dari magic sum (bilangan ajaib) dari

graph Cn ∆ Am , teorema kedua membahas graph Cn ∆ Am merupakan super

edge-magic labeling dan teorema ketiga membahas magic sum (bilangan ajaib)

dari super edge-magic labeling pada graph Cn ∆ Am .

Teorema 4.1 Graph Cn ∆ Am adalah edge magic total labeling dengan batas-

batas nilai konstanta k :

)(2

)122)(22(22

nm

mnmnmnn

+++++++

≤ k ≤

)(2

)(2)1()1)(()122)(22(

nm

nmmmmnmnmmnmn

++++−+++++++

19

Bukti :

Himpunan vertex dan himpunan edge pada Cn ∆ Am adalah

V(Cn ∆ Am ) = {vi:1≤i≤n}∪{uj:1≤ j ≤m}

E( Cn ∆ Am ) = {vivj+1:1≤i≤n-1}∪{vnv1}∪{v1uj:1≤ j ≤m}

Misal eS = jumlah label pada edge = ∑=

q

i

ie1

)(λ ,

vS = jumlah label pada vertex = ∑=

p

i

iv1

)(λ ,

Jumlah vertex dan edge pada graph Cn ∆ Am adalah p = n + m dan q = n + m ,

sehingga jumlah bilangan ajaib k, dimana )()()( 211 evek λλλ ++= dari graph

Cn ∆ Am adalah :

∑ ∑= =

++=q

i

p

i

ii vmvekq1

1

1

)()(2)( λλλ

∑ ∑= =

++=+q

i

p

i

ii vmvekmn1

1

1

)()(2)()( λλλ

)()( 1vmSSSkmn vve λ+++=+

)()22(...4321)( 1vmSmnkmn v λ++++++++=+

)(2

)122)(22()( 1vmS

mnmnkmn v λ++

+++=+

+++++

+= )(

2

)122)(22(11vmS

mnmn

mnk v λ

Ada enam kemungkinan yang mempengaruhi nilai k , yaitu pelabelan pada

vertex :

1. Label pada vertex diberi label kecil 1, 2, 3, ...,n dan 1)( 1 =vλ

2. Label pada vertex diberi label kecil 1, 2, 3, ...,n dan nv =)( 1λ

3. Label pada vertex diberi label besar n +1, n +2, n +3, ..., n +m dan 1)( 1 += nvλ

4. Label pada vertex diberi label besar n +1, n +2, n +3, ..., n +m dan mnv +=)( 1λ

5 Label pada vertex diberi label besar m+1, m+2, m+3, ..., n +m dan 1)( 1 += mvλ

6. Label pada vertex diberi label besar m+1, m+2, m+3, ..., n +m dan mnv +=)( 1λ

20

Bilangan ajaib k mempunyai nilai terkecil jika pemberian label pada vertex

)(...)()()( 321 nvvvv λλλλ ++++ diberi nilai kecil yaitu 1, 2, 3, 4, ..., n dan

)( 1vλ = 1 , sehingga di didapat :

)()(...)()()( 1321 vmvvvv n λλλλλ +++++ =

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . .+ n + m. 1 = 1.2

)1(m

nn+

+

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . .+ n + m. 1 = 1.2

2

mnn

++

= 2

22

mnn ++………………...(4.1)

k mempunyai nilai terbesar jika pelabelan vertex )(...)()()( 321 nvvvv λλλλ ++++

diberi nilai besar, yaitu m+1, m+2, m+3, ..., m+ n dan )( 1vλ = n + m , sehingga di

dapat :

)()(...)()()( 1321 vmvvvv n λλλλλ +++++ =

)()(...321 nmmnmmmm ++++++++++ =

2

)(2)1()1)(( nmmmmnmnm +++−+++ ...................................................(4.2)

Dari Persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleh range k yaitu :

)(2

122)(22(22

mn

mnmnmnn

+++++++

≤ k ≤

)(2

)(2)1()1)(()122)(22(

mn

nmmmmnmnmmnmn

++++−+++++++

terbukti.

Teorema 4.2 akan membahas bahwa Cn ∆ Am adalah super edge- magic

labeling dengan 3≥n dan 1≥m , untuk n ganjil.

Teorema 4.2 Jika n ganjil , 3≥n dan 1≥m , Cn ∆ Am adalah super edge- magic

labeling

Bukti :

Bukti dari teorema ini menggunakan Lemma 2.3, yaitu dengan membuat

pelabelan pada vertex-vertex-nya sedemikian sehingga jumlah dua vertex yang

berdekatan merupakan bilangan-bilangan yang berurutan sebanyak vertex-vertex-

nya.

21

Secara umum pelabelan dari Cn ∆ Am yang dipilih didefinisikan sebagai berikut :

Definisi vertex labeling 1λ dan edge labeling 2λ :

−=+

=++

1,...,6,4,2,2

2

...,5,3,1,2

2

:)(1

niuntuki

niuntukin

viλ

=

−≤≤++

mjuntuk

mjuntukjnu j

,1

11,1:)(1λ

11,)(2)( 12 −≤≤−+=+ niuntukimnvv iiλ

mnvvn 2)( 12 +=λ

=+

−≤≤−+=

mjuntukmn

mjuntukjmnuv j

,)(2

11,2)( 12λ

1v dihubungkan dengan ju maka 12

3)()( 111 +

+=+

nuv jλλ

1v dihubungkan dengan 2v , maka 22

3)()( 2111 +

+=+

nvv λλ


3

2

52)()( 3121 +

+=

++=+

nnvv λλ


33

2

5)()( 4131 +

+=+

+=+

nnvv λλ

.

.

.

1−nv dihubungkan dengan nv , maka nn

vv nn ++

=+−2

3)()( 111 λλ

nv dihubungkan dengan 1v , maka 12

3)()( 111 ++

+=+ n

nvvn λλ

1v dihubungkan dengan 1u , maka 22

3)()( 1111 ++

+=+ n

nuv λλ


3)()( 2111 ++

+=+ n

nuv λλ

22

1

9

8

7

18

10

11

12

7

1

8

14


3)()( 3111 ++

+=+ n

nuv λλ

.

.

.

1v dihubungkan dengan 1−ju , maka jnn

uv j +++

=+ −2

3)()( 1111 λλ

Dari hasil di atas terlihat bahwa himpunan jumlah dari dua label vertex

yang adjacent, }2

3,...,4

2

3,3

2

3,2

2

3,1

2

3{ jn

nnnnnS ++

++

++

++

++

+= , yang

merupakan bilangan –bilangan yang berurutan menurut Lemma 2.3 terbukti

bahwa Cn ∆ Am merupakan super edge- magic labeling, graph Cn ∆ Am yang

pelabelan totalnya memenuhi pelabelan super edge-magic disebut super edge-

magic graph.

Bentuk dari Super edge-magic graph ditunjukkan oleh Gambar 4.2 dan

Gambar 4.3 .

Gambar 4.2 Graph C5 ∆ A2 Gambar 4.3 Graph C5 ∆ A4

Berdasarkan pembahasan sebelumnya telah dibuktikan bahwa Cn ∆ Am

merupakan super edge-magic labeling. Teorema berikut akan menentukan nilai

bilangan ajaib dari super edge-magic labeling pada Cn ∆ Am .

Teorema 4.3 Cn ∆ Am adalah super edge magic labeling dengan 2

552

++=

nmk

Bukti :

Dari definisi pelabelan pada Cn ∆ Am , diperoleh :

23

2

5521)(22

2

3)()()( 2122111

++=−+++

+=++=

nmmn

nvvvvk λλλ

2

5522)(2

2

52)()()( 3223121

++=−++

++=++=

nmmn

nvvvvk λλλ

2

5523)(23

2

5)()()( 4324131

++=−+++

+=++=

nmmn

nvvvvk λλλ

.

.

.

2

5522

2

31)()()( 12111

++=++

+++=++=

nmmn

nnvvvvk nn λλλ

.

2

552)(21

2

3)()()( 12111

++=+++

+=++=

nmmn

nuvuvk jj λλλ

2

5521211

2

3)()()( 1121111

++=−+++++

+=++=

nmmnn

nuvuvk λλλ

)2

552()()(

+++=+

nmmnkmn

2

552

++=

nmk

Bukti lain adalah sebagai berikut :

Ambil nilai k pada vertex 1v dan 2v didapat :

2

5521)(22

2

3)()()( 2122111

++=−+++

+=++=

nmmn

nvvvvk λλλ

Ambil nilai k pada vertex nv dan 1v didapat :

2

5522

2

31)()()( 12111

++=++

+++=++=

nmmn

nnvvvvk nn λλλ

Ambil nilai k pada vertex 1v dan 1u didapat :

2

5521211

2

3)()()( 1121111

++=−+++++

+=++=

nmmnn

nuvuvk λλλ

Graph Cn ∆ Am merupakan super edge-magic graph dengan bilangan

ajaib 2

552

++=

nmk .

+

24

4.2 Pelabelan Super Edge-Magic pada Graph (n,m)- sun

Graph (n,m)- sun yang merupakan graph cycle yang dikembangkan dengan

cara menambah m vertex dan m edge pada semua vertex dari graph cycle Cn .

Pada pembahasan Graph (n,m)- sun dibagi menjadi 2 bagian, bagian pertama

Graph (n,m)- sun dengan n ganjil, 3≥n dam m = 1 sedangkan bagian ke dua

Graph (n,m)- sun dengan n ganjil, 3≥n dan m > 1.

Dalam bagian ini akan dikaji empat teorema yang merupakan hasil dari

penelitian, teorema pertama graph (n,m)- sun , untuk 3≥n dam m = 1

merupakan super edge-magic labeling, teorema kedua membahas magic sum dari

graph (n,m)- sun , untuk 3≥n dam m = 1, teorema ketiga membahas untuk

3≥n dan m > 1, maka (n,m)- sun adalah super edge magic labeling dan

teorema terakhir membahas magic sum dari graph (n,m)- sun untuk 3≥n dan

m > 1.

Teorema 4.4 membahas (n,m)- sun adalah super edge magic labeling,

untuk 3≥n dam m = 1 dengan n ganjil.

Teorema 4.4 Jika n ganjil 3≥n dam m = 1, maka (n,m)- sun adalah super

edge magic labeling.

Bukti :

Gambar 4.4. ( n,m) – sun , untuk m = 1

25

Didefinisikan vertex labeling 3λ dan edge labeling 4λ sebagai berikut :

−=+

=++

==

1......,,6,4,2,2

2

.......,5,3,1,2

2

)()( 13

niuntuki

niuntukin

vv ii λλ

1)( 1,13 =uλ

niuntukinui ≤≤−+= 2,22)( 1,3λ

11,4)( 14 −≤≤−=+ niuntukinvv iiλ

nvvn 3)( 14 =λ

=≤≤−

+

=−≤≤−−

+

==

=

1,3,,2

22

1,12,,2

13

11,4

)( ,4

jniganjilijikai

n

jnigenapijikani

n

jdanijikan

uv jiiλ

1v dihubungkan dengan 1,1u ,maka 12

3)()( 1,1313 +

+=+

nuv λλ


3)()( 2313 +

+=+

nvv λλ


2

3)()( 3323 +

+=+

nvv λλ

.

.

.

1−nv dihubungkan nv , maka2

33

2

22

2

1)()( 313

+=

++

+=+−

nnnvv nn λλ

nv dihubungkan 1v , maka 12

33

2

3

2

22)()( 133 +

+=

++

+=+

nnnvvn λλ

26

1−nv dihubungkan 1−nu , maka 22

33

2

62

2

1)()( 1313 +

+=

++

+=+ −−

nnnuv nn λλ

3−nv dihubungkan 3−nu , maka 32

3352

2

1)()( 3333 +

+=++

−=+ −−

nn

nuv nn λλ

.

.

.

7v dihubungkan 1,7u , maka 222

352

2

9)()( 1,7373 −+

+=−+

+=+ n

nn

nuv λλ

5v dihubungkan 1,5u , 122

332

2

7)()()( 1,53531,553 −+

+=−+

+=+= n

nn

nuVuV λλλ

.

.

.

3v dihubungkan 1,3u , maka nn

nn

uv 22

312

2

5)()( 1,3333 +

+=−+

+=+ λλ

.

.

.

Dari hasil di atas terlihat bahwa himpunan jumlah dari dua label vertex

yang

adjacent, ...},22

3,...,1

2

33,

2

33...,,3

2

3,2

2

3,1

2

3{ n

nnnnnnS +

++

+++

++

++

+= ,

yang merupakan bilangan –bilangan yang berurutan menurut Lemma 2.3 terbukti

bahwa (n,m)- sun merupakan super edge magic labeling.

27

Bentuk super edge-magic graph (7,1)- sun ditunjukkan oleh Gambar 4.5.

Gambar 4.5. (7,1)-sun

Dari pembahasan Teorema 4.4 dengan menggunakan definisi edge-magic

total labeling didapat bilangan ajaib k, yang akan di bahas pada Teorema 4.5.

Teorema 4.5 Untuk n ganjil 3≥n dam m = 1, (n,m)- sun adalah super edge

magic total labeling dengan 2

59 +=

nk

Bukti :


2

5914

2

3142

2

3)()()( 2142313

+=++

+=−++

+=++=

nn

nn

nvvvvk λλλ

Ambil nilai k pada vertex 1v dan 1,1u didapat :

2

5941

2

3)()()( 1,1141,1313

+=++

+=++=

nn

nuvuvk λλλ

Ambil nilai k pada vertex nv dan 1+nu didapat :

2

592

2

13

2

22

222

12

2

22)()()( 14133

+=+

−++

+=

−++−

+++

=++= ++

nnn

n

nnn

nn

uvuvk nnnn λλλ

28

Teorema 4.6 membahas bahwa (n,m) – sun adalah super edge magic

labeling dengan 3≥n dam m > 1 untuk n ganjil.

Teorema 4.6 Jika n ganjil 3≥n dam m > 1, maka (n,m)- sun adalah super

edge magic total labeling.

Bukti :

Gambar 4.6 : ( n, m ) – sun untuk m > 1

Definisi pelabelan vertex 3λ dan pelabelan edge 4λ sebagai berikut :

−=+

=++

==

1......,,6,4,2,2

2

.......,5,3,1,2

2

)()( 13

niuntuki

niuntukin

vv ii λλ

mjuntuku j == ,1)( ,13λ

11,1)( ,13 −≤≤++= mjuntukjnu jλ

mjniuntukijmjnu ji ≤≤≤≤+−−++= 1,2,2)1()( ,4λ

29

11,)1(2)( 14 −≤≤−+=+ niuntukimnvv iiλ

nmnvvn −+= )1(2)( 14λ

≤≤≤≤−+−

+−+

≤≤−≤≤+−−−

+−+

−≤≤=+−+

==+

=

mjniganjilijikamji

jnnm

mjnigenapijikajmni

njmn

mjdanijikajnmn

mjdanijikamn

uv jii

1,3,,2

221)1(2

1,12,,2

221)1(2

111,)()1(2

1,)1(2

)( ,4λ

1v dihubungkan dengan ju ,1 ,maka 12

3)()( ,1313 +

+=+

nuv jλλ

1v dihubungkan dengan 2v ,maka 22

3)()( 2313 +

+=+

nvv λλ

1v dihubungkan dengan 3v ,maka 32

3)()( 3313 +

+=+

nvv λλ

.

.

.

nv dihubungkan dgn 1v ,maka 2

43

2

2

2

22)()( 133

+=

++

+=+

nnnvvn λλ

.

.

.

1v dihubungkankan dgn 11u ,maka 22

3)()( 11313 ++

+=+ n

nuv λλ


3)()( 12313 ++

+=+ n

nuv λλ


3)()( 13313 ++

+=+ n

nuv λλ

.

.

.

30

1v dihubungkankan dgn 11 −mu ,maka mnn

uv m +++

=+ −2

3)()( 11313 λλ

.

.

.

2v dihubungkankan dgn 21u ,maka 12)()( 21323 ++=+ mnuv λλ

2v dihubungkankan dgn 31u ,maka mnuv +=+ 2)()( 31323 λλ

2v dihubungkankan dgn 41u ,maka 12)()( 41323 −+=+ mnuv λλ

2v dihubungkankan dgn 51u ,maka 22)()( 51323 −+=+ mnuv λλ

.

.

.

Dari hasil di atas terlihat bahwa himpunan jumlah dua vertex yang

adjacent

...},22,12,2,12...,,2

3

,..,.32

3,2

2

3,...,

2

43.,.,.3

2

3,2

2

3,1

2

3{

−+−+++++++

+++

++++

++

++

++

=

mnmnmnmnmnn

nn

nnnnnn

S

yang merupakan bilangan yang berurutan, menurut Lemma 2.3 (n,m)- sun

merupakan super edge magic labeling.

Bentuk dari super edge-magic graph ditunjukkan oleh Gambar 4.6 dan

Gambar 4.7.

Gambar 4.7. (3,4)- sun

31

Gambar 4.8. (5,3)- sun

Dari pembahasan Teorema 4.6 didapat bilangan ajaib k , yang dibahas dan

dibuktikan pada Teorema 4.7 di bawah ini.

Teorema 4.7 Untuk n ganjil 3≥n dam m > 1, (n,m)- sun adalah super edge

magic labeling dengan 2

5)1(2

+++=

nmnk

Bukti :

Dari definisi pelabelan pada graph (n,m)- sun, untuk 3≥n dam m > 1

dan n ganjil , diperoleh :


2

5)1(21)1(22

2

3)()()( 2142313

+++=−+++

+=++=

nmnmn

nvvvvk λλλ

Ambil nilai k pada vertex 1v dan 1,1u didapat :

2

5)1(2)1()1(22

2

3)()()( 1,1141,1313

+++=+−++++

+=++=

nmnnmnn

nuvuvk λλλ

Ambil nilai k pada vertex nv dan jiu , didapat

2

5)1(2

2

1)1(22)1(

2

22)()()( ,4,33

+++=

−+−+++−++

+=++=

nmn

nmnnmnmn

nuvuvk jinjin λλλ

32

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai

berikut :

1. Graph Cn ∆ Am adalah edge magic total labeling dengan batas-batas nilai

konstanta k :

)(2

)122)(22(22

nm

mnmnmnn

+++++++

≤ k ≤

)(2

)(2)1()1)(()122)(22(

nm

nmmmmnmnmmnmn

++++−+++++++

2. Graph Cn ∆ Am, untuk n ganjil , 3≥n dan 1≥m adalah super edge-magic

graph dengan 2

552

++=

nmk

3. (n,m)- sun, untuk n ganjil, 3≥n dan m = 1 adalah super edge magic

labeling 2

59 +=

nk

4. (n,m)- sun, untuk n ganjil, 3≥n dan m > 1 adalah super edge magic

labeling 2

5)1(2

+++=

nmnk

5.2 Saran

Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan memperluas graph Cn ∆ Am dan

(n,m) – sun dengan bentuk pelabelan yang berbeda, yang merupakan super edge-

magic labeling, sehingga menambah wawasan tentang super edge-magic labeling.

33

DAFTAR PUSTAKA

Baskoro,E.T dan Y.M. Cholily (2004),”Expanding Super Edge-Magic Graphs”

Proc. ITB Sains & Tek . Vol. 36 A. No. 2. 2004. 117 – 125.

Battle, F.A.M. (2001), On Magics Graphs, Tesis doctoral, Departemen de

Matematica Aplicada IV, Barcelona.

Imron, Chairul dan Bandung A.S. (2006), “MagicGraph On Cycle”, Proceedings

of the First International Conference on Math & Stat (ICOMS-1), Bandung

Indonesia, hal 419 – 428.

Enomoto.H,Anna S.Llado,Tomoki Nakamigawa dan Gerhard Ringel (1998),

“Super edge-magic graph”, SUT Journal of Mathematics, V 34 No. 2 105-

109.

Figueroa-Centeno.R.M.,Ichishima, R. dan Muntaher-Batle,F.A. (2002), “On

Super Edge-Magic Graph”, ArsCombinatoria, Vol 64, hal 81 – 96’

Kotzig.A.dan Rosa. A. (1970), “ Magic Valuation of Finite Graph”, Canada Math

Bull, Vol 13, hal 451 – 461.

tesis.pdf

Documents