teknik optimasi program linier dengan excel dan lotus

Kamarul Imam [email protected]

D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc

KATA PENGANTAR

Dengan adanya kecenderungan perkembangan ilmu manajemen yang mengarah kepada pembuatan keputusan yang bersifat ilmiah (scientific), maka staf edukasi di FE –UNEJ khususnya Program Studi Manajemen, tidak bisa dihindari selayaknya mengikuti trend tersebut.

Mendefinisikan persoalan adalah kunci utama untuk memperoleh solusi yang tepat kepada persoalan yang dihadapi. Selanjutnya, salah satu upaya mencapai solusi optimal adalah dengan memanfaatkan scientific management sebagai alat

bantu bagi pembuat keputusan. Prosedur pembuatan keputusan yang dimaksud di sini adalah : memodelkan persoalan secara matematis, membuat penyelesaian matematis (solve), mengintepretasi hasil (solusi optimal) dan selanjutnya mengimplementasi menjadi keputusan setelah disesuaikan dengan kebijakan-

kebijakan managerial lainnya yang belum dilibatkan dalam model matematik. Inilah yang disebut pembuatan keputusan heuristik.

Penekanan tulisan ini adalah pada kontribusi penyelesaian (solve) dengan memanfaatkan program aplikasi komputer yang berkaitan dengan optimasi,

antara lain : LINDO, PM, QM, TORA, STROM dan QSB++. Namun dengan keterbatasan tersedianya program-program tersebut, maka perlu ada satu alternatif penyelesaian lain, yaitu dengan bantuan program EXCEL (Microsoft

Office) melalui fasilitas SOLVER. Namun untuk komparasi, di sini juga diperlihatkan hasil optimasi dengan program aplikasi LINDO atau PM.

Dengan program EXCEL yang merupakan program umum dan dimiliki oleh hampir semua pengguna komputer hitung, maka keterbatasan tersebut di atas

bisa dihindari.

Akhirnya, penulis maklum dengan banyaknya keterbatasan penulis dalam berbagai hal, diperkirakan kandungan dalam tulisan ini masih belum sempurna;

maka kritik positif sangat diharapkan. Harapan penulis adalah : tulisan ini akan berkembang dengan masukan-masukan siapapun yang berdedikasi. Terima kasih untuk itu.

Juni, 2004

Kamarul Imam

Dosen Jurusan Manajemen FE-UNEJ



1

TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL, LINDO DAN PM

1. Introduksi.

Teknik optimasi pada program linier dapat dilakukan dengan pendekatan grafis atau Simplex. Pendekatan Simplex dengan iterasi yang dikembangkan Dantzig, pada persoalan yang sederhana biasanya dikerjakan secara manual. Untuk persoalan yang lebih rumit, program komputer tentang optimasi seperti :

Computerized Model Operation Management (CMOM), Linear Integrated Discrete Optimizer (LINDO), WINGO, Quantitative Method (QM), Professional Method (PM), Production Operation Model (POM), Quantitative Systems for Businesses

(QSB), STORM dan TORA telah mampu menyelesaikannya. Persoalan timbul jika program aplikasi tersebut sulit ditemui. Sebuah alternatif program yang lebih umum adalah Microsoft Excel (under Windows) atau Lotus Versi 3.00 (under DOS atau under Windows). Solver adalah paket add-in pada Excel yang berfungsi

untuk optimasi dengan kendala (constraints). Untuk pemanfaatannya, perlu terlebih dahulu membuat formulasi model matematik untuk menghasilkan solusi optimal secara efisien. Prinsip kerja Solver adalah metode Simplex.

Solver dapat dimanfaatkan untuk optimasi model linier dan non linier. Namun

dalam pembahasan ini, Solver dibatasi untuk optimasi model linier mengingat model non linier sangat rumit dalam menuliskan data inputnya dalam spreadsheet. Keterbatasan dalam asumsi linieritas tersebut menyebabkan Solver

bekerja sempurna jika seluruh hubungan langsung maupun tidak langsung yang berpengaruh kepada fungsi obyektif, bersifat linier. Perlu diingat, banyak fungsi built in pada Excel yang melibatkan hubungan non linier, sehingga fungsi-fungsi tersebut tidak bermanfaat jika optimasi modelnya bersifat linier. Contoh :

- adanya persamaan yang bersifat eksponensial, - fungsi IF( ), ABS ( ) dan LOG ( ), serta - ratio, seperti (X/Y) atau perkalian (X*Y) pada variabel keputusan.

Hal tersebut dapat menimbulkan pelanggaran (violate) terhadap asumsi linieritas jika nilai fungsi obyektif dipengaruhi baik langsung maupun tak langsung melalui kendala.

2. Penggunaan Solver.

Paket add-in Solver meliputi dua program penting. Pertama, program Excel Visual Basic yang menterjemahkan model dalam spreadsheet ke dalam representasi internal yang digunakan oleh program kedua. Kedua, program di luar Excel yang merupakan program terpisah dan memanfaatkan sisa memory

yang digunakan Excel untuk optimasinya serta mengirimkan solusi optimal tersebut kepada program pertama untuk meng-update spreadsheet. Kedua program ini dikomunikasikan oleh program aplikasi interface milik Microsoft.

Selama penggunaan Solver, program Visual Basic akan bekerja terlebih dahulu untuk menulis model matematiknya dan berikutnya program kedua akan bekerja untuk menghasilkan optimasinya.

Langkah prosedural dalam penggunaan Solver adalah :

a. buatlah model matematik pada spreadsheet seperti biasa, dan bisa memanfaatkan what-if jika dirasa perlu untuk men-debug model,

b. jika tidak ada persoalan dalam penulisan model, maka model tersebut dapat

disimpan ke dalam file. Kemudian gunakan paket add-in Solver.



2

c. Solver dan modul optimasinya akan masuk ke dalam memory komputer1. Setelah loading selesai, maka di layar akan muncul kotak dialog (dialog box) untuk mengumpulkan informasi dalam proses optimasi berikutnya,

d. setelah tahapan penentuan fungsi obyektif dan kendala selesai, maka tombol “Solve” dapat di-click.

e. Solver menterjemahkan model dan membuat optimasinya. Untuk persoalan LP

yang kecil, Solver membutuhkan waktu proses beberapa detik saja dan dapat lebih panjang waktunya untuk persoalan LP yang lebih besar,

f. dengan asumsi tidak terjadi error dalam modelnya, Solver akan menampilkan kotak dialog untuk hasil optimasinya,

g. pada tahap ini, proyeksi what-if bisa dilanjutkan untuk memperoleh hasil analisis sensitivitas.

Start

Build or retrieve the optimization model

SAVE YOUR WORKBOOK

Choose Solver in the TOOLS menu

Specify in Solver dialog box : 1. target cell be optimized

2. changing cells Modify 3. constraints model

In option Dialog, click “assume linear model” and click the OK button

Click on “Solve” button to begin optimization

Review Solver completion message

Do

Solver found the optimum

solution No ? Yes

Click “Keep Solver Solution” and click OK button

1 Penggunaan Solver dengan McIntosh, harus menambah alokasi memory sebesar 1 Mb agar kecepatan proses kerja Excel tidak menurun.



3

3. Terminologi dalam Solver.

Terminologi dalam model LP berbeda dengan Solver. Berikut ini perbandingan terminologi antara model LP dengan Solver :

Tabel 1. Komparasi Terminologi Model LP dan Solver. No. Terminologi LP Solver

1 Objective function Target cell

2 Decision variables Changing cells

3 Constraints Constraints

4 Constraints function (LHS) Constraints cell reference

5 RHS Constraints

6 LP Model Assume Linear Model

4. Contoh Aplikasi.

Contoh-1 : Kombinasi Pakan Ternak.

Sebuah usaha penggemukan ayam potong menggunakan tiga jenis pakan ternak,

Grade 1, Grade 2 dan Grade 3. Biaya ketiga jenis pakan ternak tersebut per pon berturut-turut adalah sebagai berikut : $ 0.25, $ 0.10 dan $ 0.08.

Sebagai syarat nutrisi pakan ternak per hari adalah :

- kandungan kalsium minimal 10 gram,

- kandungan zat besi minimum 12 gram, - kandungan protein minimum 15 gram, - kandungan lemak maksimum 7.5 gram.

Kasus ini dapat diformulasikan sebagai model LP dengan tujuan meminimumkan biaya pakan ternak per hari melalui kombinasi penggunaan Grade 1, Grade 2 dan Grade 3.

Min. Z = 0.25 X1 + 0.10 X2 + 0.08 X3 → minimasi biaya kombinasi bahan

pakan ternak. s/t. 0.70 X1 + 0.80 X2 + 0.00 X3 > 10 → kandungan kalsium minimum.

0.90 X1 + 0.80 X2 + 0.80 X3 > 12 → kandungan zat besi minimum.

0.80 X1 + 1.50 X2 + 0.90 X3 > 15 → kandungan protein minimum.

0.50 X1 + 0.60 X2 + 0.40 X3 < 7.5 → kandungan lemak maksimum.

∀ Xi > 0

Dengan LINDO, persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut :

:min .25X1 + .10X2 + .08X3

? st

? .7X1 + .8X2 >= 10

? .9X1 + .8X2 + .8X3 >= 12

? .8X1 + 1.5X2 + .9X3 >= 15

? .5X1 + 0.6X2 + .4X3 <= 7.5

? end

:look all

MIN .25X1 + .10X2 + .08X3

SUBJECT TO

2) .7X1 + .8X2 >=10

3) .9X1 + .8X2 + .8X3 >=12



4

4) .8X1 + 1.5X2 + .9X3 >=15

5) .5X1 + .6X2 + .4X3 <=7.5

END

Hasil optimal dapat dilihat pada printout LINDO sebagai berikut :

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 2.59000000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 8.000000 .000000

X2 5.500000 .000000

X3 .500000 .000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) .0000000 -.310000

3) .0000000 -.670000

4) .1000000 .000000

5) .0000000 1.140000

NO. ITERATIONS= 4

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 .250000 INFINITY .142500

X2 .100000 .162857 INFINITY

X3 .080000 .177143 2.680000

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 10.000000 .137930 4.000000

3 12.000000 .054794 1.999999

4 15.000000 .099999 INFINITY

5 7.500000 1.000000 .016949

Printout ini menunjukkan bahwa tingkat optimal dapat dicapai setelah 4 kali iterasi, dengan Z min. = 2,59, dan X1 = 8, X2 = 5,50 dan X3 = 0,50. Analisis sensitivitas juga dihasilkan baik untuk koefisien fungsi tujuan maupun untuk

kapasitas sisi sebelah kanan (RHS).

Optimasi dengan Excel atau Lotus memang lebih rumit pada tahap menuliskan formulasi model sebagai inputnya (ini hanya membutuhkan latihan intensif);

tetapi untuk persoalan LP dengan variabel keputusan dan fungsi kendala yang lebih banyak, maka Excel atau Lotus lebih tidak terbatas kapasitas memorinya untuk menghasilkan solusi optimal.



5

Solusi Excel melalui tahapan sebagai berikut :

(a) menuliskan formulasi model ke dalam sheet :

A B C D E F

1 Contoh-1 :

2

3 Parameters and uncontrollable variables

4

5 Grade 1 2 3

6 Cost/lb 0.25 0.10 0.08 Minimum Maximum

7 Calc/lb 0.7 0.8 0 10

8 Iron/lb 0.9 0.8 0.8 12

9 Prot/lb 0.8 1.5 0.9 5

10 Fat/lb 0.5 0.6 0.4 7.5

11

12 Decision Variables

13

14 Grade 1 2 3

15 Quantity

16

17

18 Models Output :

19 Amount Excess

20 Calcium =$B$15*B7+$C$15*C7+$D$15*D7 =E7-B20

21 Iron =$B$15*B8+$C$15*C8+$D$15*D8 =E8-B21

22 Protein =$B$15*B9+$C$15*C9+$D$15*D9 =E9-B22

23 Amount Available

24 Fat =$B$15*B7+$C$15*C7+$D$15*D7 =F10-B24

25

26 Total Cost =$B$15*B7+$C$15*C7+$D$15*D7

Pada sheet tersebut, sel-sel yang dapat diubah (changing cells) adalah B15, C15 dan D15. Perubahan pada sel-sel tersebut akan merubah sel

yang ditentukan (set cell), B26. Jika sel C15 diisi dengan 8, maka sel B26 menjadi = 8 x 0.10 = 0.80.

(b) Untuk membuat optimasi sheet ini dapat digunakan fasilitas SOLVER pada Excel melalui proses sebagai berikut :

1. buatlah sheet tersebut di atas dengan format yang dicontohkan,

- parameters and uncontrollable variables, diisi sesuai dengan formulasi modelnya. Ini merupakan input optimasinya.

- decision variable : ada tiga jenis produk, yaitu Grade-1, Grade-2 dan Grade-3. Sel “quantity” di bawahnya merupakan yang dapat berubah sesuai dengan tingkat optimasinya (changing cells).

- models output :

Sel B20 : merupakan jumlah kandungan kalsium yang terpakai pada tingkat optimal. Formula yang dituliskan pada sel ini :



6

=B$15*B7+C$15*C7+D$15*D7. Copy-kan sel ini kepada sel B21 dan B22. Untuk sel B24, tuliskan formula : = B$15*B10+C$15*C10+D$15*D10.

Sel B26 : merupakan total biaya optimal kombinasi bahan pakan ternak yang merupakan tujuan minimasi. Formulanya adalah B15*B6+C15*C6+D15*D6. Sel tersebut merupakan sel yang

diperuntukkan untuk biaya minimum (target cell). Tampilan di sheet1 pada program Excel adalah sebagai berikut :

2. gunakan fasilitas SOLVER (melalui TOOLS kemudian pilih SOLVER) :

- tentukan Set Target Cell : B26 → set cell

- equal to : Min → minimasi

- by changing cells : B15:D15 → (changing cells)

- subject to the constraints : $B$15:$D$15 >=0 → kendala asas non negatif

$B20:$B$22 >=$E$7:$E$9 → kendala kalsium, zat besi dan

protein

$B24 <=$F$10 → kendala lemak

- solve → perintah untuk melakukan optimasi

Tampilan di program Excel adalah sebagai berikut :



7

Hasil optimal Excel menunjukkan jawab yang sama dengan hasil optimal LINDO. Analisis sensitivitas dengan SOLVER bisa dilakukan dengan menggunakan fasilitas solve, pilih Report : Answer dan Sensitivity untuk melihat hasil optimal

dan sensitivitasnya.



8

Microsoft Excel 10.0 Answer Report

Worksheet: [CONTOH SOLVER-1.xls]Sheet1

Report Created: 10/05/2003 7:06:55

Target Cell (Min)

Cell Name Original Value Final Value

$B$26 Total Cost Amount 0 2,5899999

Adjustable Cells

Cell Name Original Value Final Value

$B$15 Quantity 0 7,9999999

$C$15 Quantity 0 5,5000000

$D$15 Quantity 0 0,5000000

Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$B$20 Calcium Amount 9,9999999 $B$20>=$E$7 Binding 0

$B$21 Iron Amount 12 $B$21>=$E$8 Binding 0

$B$22 Protein Amount 15,100000 $B$22>=$E$9 Not Binding 0,1000000

$B$24 Fat Amount 7,5 $B$24<=$F$10 Binding 0

$B$15 Quantity 7,9999999 $B$15>=0 Not Binding 7,9999999

$C$15 Quantity 5,5000000 $C$15>=0 Not Binding 5,5000000

$D$15 Quantity 0,5000000 $D$15>=0 Not Binding 0,5000000

Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report

Worksheet: [CONTOH SOLVER-1.xls]Sheet1

Report Created: 10/05/2003 7:06:55

Adjustable Cells

Final Reduced

Cell Name Value Gradient

$B$15 Quantity 7,999999975 0

$C$15 Quantity 5,500000018 0

$D$15 Quantity 0,500000004 0

Constraints

Final Lagrange

Cell Name Value Multiplier

$B$20 Calcium Amount 9,999999997 0,310000036

$B$21 Iron Amount 12 0,670000018

$B$22 Protein Amount 15,10000001 0

$B$24 Fat Amount 7,5 -1,140000044



9

Microsoft Excel 10.0 Limits Report

Worksheet: [CONTOH SOLVER-1.xls]Limits Report 1 Report Created: 10/05/2003 7:06:55

Target

Cell Name Value

$B$26 Total Cost Amount

2,5899999

Adjustable Lower Target Upper Target

Cell Name Value Limit Result Limit Result

$B$15 Quantity 7,9999999 7,9999999 2,5899999 7,9999999 2,5899999

$C$15 Quantity 5,5000000 5,5000000 2,5899999 5,5000000 2,5899999

$D$15 Quantity 0,5000000 0,5000000 2,5899999 0,5000000 2,5899999

A B C D E F

1 Contoh-1 :

2


4

5 Grade 1 2 3

6 Cost/lb 0,25 0,1 0,08 Minimum Maximum

7 Calc/lb 0,7 0,8 0 10

8 Iron/lb 0,9 0,8 0,8 12

9 Prot/lb 0,8 1,5 0,9 15

10 Fat/lb 0,5 0,6 0,4 7,5

11


13

14 Grade 1 2 3

15 Quantity 7,999999 5,500000 0,500000

16

17

18 Models Output

19 Amount Excess

20 Calcium 9,999999 2,92608E-4

21 Iron 12 4,79808E-4

22 Protein 15,10000 -0,100000

23 Amount Available

24 Fat 7,5 0

25

26 Total Cost 2,589999



10

Contoh-2 : Integer Programming.

Queen City Inc. memproduksi mesin cetak kue. Perencana produksi melihat bahwa dua jenis produk yang memberikan nilai tambah cukup signifikan, yaitu :

TopLathe (T) dan BigPress (B). Setiap unit mesin T membutuhkan 10 unit komponen, sedang setiap unit mesin B membutuhkan 7 unit komponen. Pada bulan ini perusahaan hanya dapat menyediakan komponen tersebut sebanyak 49

unit. Bagian penjualan diperkirakan cukup puas jika bagian produksi dapat menyiapkan minimal 5 unit mesin untuk dijual. Keuntungan/unit mesin T = $ 50,000 dan mesin B = $ 34,000.

Formulasi model untuk kasus ini adalah :

Max. Z = 50000 X1 + 34000 X2

s/t. 10 X1 + 7 X2 < 49 X1 + X2 > 5

∀ Xi > 0 dan integer.

Solusi dengan Excel adalah sebagai berikut :

A B C D E F

1 Contoh-2 :

2

3 Parameters and uncontrollable variables 4

5 Components Profit/unit

6 TopLathe 10 50000 Total Required 5

7 BigPress 7 34000

8

9 Available 49

10

11


13

14 Quantity

15 TopLathe

16 BigPress

17

18

19 Model Outputs :

20

21 TopLathe BigPress Total

22 Quantity =B15 =B16 =B22+C22

23 Components Used

=B6*B15 =B7*B16 =B23+C23

24 Profit =C6*B15 =C7*B16 =-B24+C24

Tampilan di sheet1 pada program Excel adalah sebagai berikut :



11

Penjelasan :

Sel B22 adalah jumlah mesin TopLathe optimal, pada sel ini ditulis formulanya : = B15, sebagai hasil optimasi changing cell solver. Demikian pula sel C22 adalah

jumlah mesin BigPress optimal, pada sel ini ditulis formulanya : =B16.

Sel D22 adalah total kedua mesin, formula pada sel ini : = B22+C22.

Sel B23 adalah jumlah komponen yang digunakan untuk mesin TopLathe,

formulanya ditulis : =B6*B15, yaitu jumlah komponen yang dibutuhkan setiap unit mesin TopLathe dikali dengan jumlah optimal unit mesin TopLathe yang diproduksi. Untuk sel C23, formulanya : =B7*B16. Sel D23 adalah jumlah komponen yang digunakan untuk kedua mesin, formulanya : =B22+C22.

Sel B24 adalah total profit yang dihasilkan dari mesin TopLathe, formulanya : =C6*B15, yaitu profit/unit mesin TopLathe dikali dengan jumlah optimal unit mesin TopLathe yang diproduksi. Untuk sel C24, formulanya : =C7*B16. Sel D24 adalah total profit dari kedua mesin, formulanya : =B24+C24.

Berikutnya gunakan fasilitas Tools, pilih SOLVER.

- tentukan Set Target Cell : $D$24 → set cell

- equal to : Max → maksimasi

- by changing cells : $B$15:$B$16 → (changing cells)

- subject to the constraints :

$B$15:$D$16 >=0 → kendala asas non negatif

$B$15:$B$16 =integer → perintah nilai integer

$D$22 >=$F$6 → kendala penjualan



12

$D$23 <=$B$9 → kendala komponen

- solve → perintah untuk melakukan optimasi.

Hasil optimal Excel menunjukkan jawab. Analisis sensitivitas tidak dibutuhkan dalam integer programming. Pilih pada Report : Answer saja. Printoutnya sebagai berikut :



13

Hasil optimal juga bisa dilihat di sheet 1, sebagai berikut :

A B C D E F

1 Contoh-2 :

2

3 Parameters and uncontrollable variables 4

5 Components Profit/unit

6 TopLathe 10 50000 Total Required 5

7 BigPress 7 34000

8

9 Available 49

10

11


13

14 Quantity

15 TopLathe 0

16 BigPress 7

17

18

19 Model Outputs :

20

21 TopLathe BigPress Total

22 Quantity 0 7 7

23 Components Used

0 49 49

24 Profit 0 238000 238000

X1 = 0, X2 = 7 Total Profit = 238000.

Dengan aplikasi LINDO, solusi optimal menunjukkan hasil yang sama :

MAX 50000 X1 + 34000 X2

SUBJECT TO

2) 10 X1 + 7 X2 <= 49

3) X1 + X2 >= 5

END

GIN 2


1) 238000.0


X1 0.000000 -50000.000000

X2 7.000000 -34000.000000


2) 0.000000 0.000000

3) 2.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 29

BRANCHES= 7 DETERM.= 1.000E 0



14

Contoh-3 : Goal Programming

Berikut ini contoh Goal Programming untuk persoalan optimasi portfolio. Seorang investor portfolio selalu berorientasi kepada resiko investasi total yang minimum.

beberapa teori mengenai portfolio seperti Capital Assets Pricing Model (CAPM) dan Arbitrate Pricing Theory (APT), telah dikembangkan dengan tujuan mengukur rata-rata resiko portfolio dan sensitivitas setiap elemen investasi portfolio

terhadap faktor resiko tertentu dalam model yang bersifat linier. Kasus untuk contoh-2 adalah :

Seorang investor bermaksud mengalokasikan uang sebesar $ 200,000.00 ke dalam suatu portfolio yang terdiri atas : asuransi jiwa (life insurance), obligasi

(bond mutual fund), saham (stock mutual fund) dan tabungan (savings). Ekspektasi return masing-masing per tahun = 6%, 6,5%, 11% dan 4%. Ia membuat batas investasi pada setiap elemen portfolio-nya sebagai berikut :

Tabel 2. Batas Investasi Elemen Portfolio.

No. Assets Lower Bound Upper Bound

1 Life insurance $ 5,000 $ 10,000

2 Bond $ 60,000 -

3 Stock $ 30,000 -

4 Savings - -

Ia juga mempertimbangkan dua jenis resiko yang mungkin diperoleh, yaitu : inflasi yang tidak diharapkan dan penyebaran (spread) tingkat bunga jangka

panjang dan jangka pendek. Kedua jenis faktor resiko tersebut dan target yang bisa ia terima adalah :

Tabel 3. Target Faktor Inflasi dan Interest Spread.

Assets Factor

1 2 3 4

Target

Inflation -0,50 1,80 2,10 -0,30 1,00

Int. Spread 0,40 -0,50 0,00 -1,10 0,00

Investor memprioritaskan berdasar urutan kepentingan tujuan-tujuan yang harus ia capai, yaitu :

(1) tidak melanggar ketentuan batasan dana pada setiap elemen portfolio,

(2) tidak melanggar target resiko, dan (3) memaksimumkan return portfolio.

Kasus ini dapat disolusi dengan programa tujuan ganda (multiple goals

programming), dengan formulasi model sebagai berikut :

Min Z = P1(d1- + d2

+ + d3- + d4

-) + P2(d5+ + d6

+) + P3(d7-)

s/t. X1 + d1

- - d1+ = 5.000 (1)

X1 + d2- - d2

+ = 10.000 (2) X2 + d3

- - d3+ = 60.000 (3)

X3 + d4- - d4

+ = 30.000 (4)

-0,50X1 + 1,80 X2 + 2,10 X3 – 0,30 X4 + d5- - d5

+ = 200.000 (5) 0,40 X1 – 0,50 X2 + 0,00 X3 – 1,10 X4 + d6

- - d6+ = 0 (6)

0,06 X1 + 0,065 X2 + 0,11 X3 + 0,04 X4 + d7- - d7

+ = 22.000 (7) X1 + X2 + X3 + X4 = 200.000 (8)

∀ Xi, di+/- > 0



15

Penjelasan : - kendala no. 1 s/d. no. 4 adalah kendala yang berkaitan dengan batas

dana yang bisa diinvestasikan ke masing-masing elemen portfolio,

- kendala no. 5 adalah kendala yang berkaitan dengan tingkat inflasi. Target faktor inflasi yang bisaia terima = 1,00; maka total investasi portfolio tidak boleh melebihi 1 x $ 200,000 = $ 200,000,

- kendala no. 6 adalah kendala yang berkaitan dengan penyebaran tingkat bunga,

- kendala no. 7 adalah kendala yang berkaitan dengan return. Return/tahun yang tertinggi dari keempat elemen portfolio = 11%, maka total

return/tahun dari portfolio tidak bisa melebihi 11% x $ 200,000 = $ 22,000. tetapi investor menginginkan agar total return portfolio yang bisa ia terima lebih tinggi daripada jumlah tersebut.

- kendala no. 8 adalah kendala yang berkaitan dengan jumlah dana yang

tersedia untuk diinvestasikan ke dalam portfolio.

Program LINDO tidak bisa digunakan untuk mencapai solusi optimal, masalahnya adalah dengan adanya perbedaan prioritas dari masing-masing tujuan yang tidak

bisa dijelaskan secara pasti (absolute). Prioritas-1 hanya dikatakan jauh lebih penting daripada prioritas-2, demikian pula seterusnya (P1 >>>> P2 >>>> P3). Untuk itu dapat dilakukan solusi optimal dengan Excel. Sheet yang dibuat adalah sebagai berikut :



16

A B C D E F G H I

1 Contoh-3 :

2


4 Factors

5 Lower Bound Upper Bound

Inflation Interest Spread

Return

6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%

7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%

8 Stock Mutual Fund 30000 - 2,1 0 11%

9 Savings - - -0,3 -1,1 4%

10

11 Target 1 0

12

13 Budget 200000

14 Max. Return 11%

15

16


18

19 Investment Deviations

20 Life Insurance d- d+

21 Bond Mutual Fund 1 0 =B20-B6 Insurance Lower Bound

22 Stock Mutual Fund 2 =C6-B20 0 Insurance Upper Bound

23 Savings 3 0 =B21-B7 Bonds Lower Bound

24 4 0 =B22-B8 Stocks Lower Bound

25 5 =E35-B35 0 Inflation Target

26 6 =E36-B36 0 Interest Rate Spread Target

27 7 0 =B37-E37 Return Target

28

29 Models Output :

30 Value Deviation Total Target

31 Insurance Lower Bound

=B20 =E21-F21 =B31+C31 =B6

32 Insurance Upper Bound

=B20 =E22-F22 =B32+C32 =C6

33 Bonds Lower Bound =B21 =E23-F23 =B33+C33 =B7

34 Stocks Lower Bound =B22 =E24-F24 =B34+C34 =B8

35 Inflation Target =D6*B20+D7*B21+D8*B22+D9*B23

=E25-F25 =B35+C35 =D11*B13

36 Interest Spread Target

=E6*B20+E7*B21+E8*B22+E9*B23

=E26-F26 =B36+C36 =E11*B13

37 Return Target =F6*B20+F7*B21+F8*B22+F9*B23

=E27-F27 =B37+C37 =B13*B14

38

39 Total Investment =B20+B21+B22+B23

40

41 Priority-1 =E21+F22+E23+E24

42 Priority-2 =F25+F26

43 Priority-3 =E27



17

Penyelesaian dengan dengan Solver – Excel adalah sebagai berikut : a. Prioritas 1 :

- tentukan Set Target Cell : $B$41 → set cell



- subject to the constraints : $B$20:$B$23 >=0 → kendala asas non negatif

$B$31 >=$E$31 → kendala batas minimal investasi asuransi

$B$32 <=$E$32 → kendala batas maksimal investasi asuransi

$B$33 >=$E$33 → kendala batas minimal investasi obligasi

$B$34 >=$E$34 → kendala batas minimal investasi saham

$B$39 =$B$13 → kendala jumlah total dana


Ini merupakan hasil optimal untuk Prioritas 1.

b. Prioritas 2 :









$B$39 =B$13 → kendala jumlah total dana

Tambahkan kendala baru yang berkaitan dengan Prioritas 2 : $B$35 <=$E$35 → kendala target inflasi

$B$36 <=$E$36 → kendala target spread suku bunga

$B$41 = 0 → kendala agar Prioritas 1 tetap minimum


Pada dialog box, click “Keep Solver Solution”, agar solusi Prioritas 1

tidak berubah dengan adanya tambahan baris-baris kendala baru tersebut.


c. Prioritas 3 :









$B$39 =B$13 → kendala jumlah total dana

$B$35 <=$E$35 → kendala target maksimal inflasi

$B$36 <=$E$36 → kendala target maksimal spread suku bunga

$B41 = 0 → kendala agar Prioritas 1 tetap minimum



18

Tambahkan kendala baru yang berkaitan dengan Prioritas 3 : $B42 = 0 → kendala agar Prioritas 2 tetap minimum

$B$37 >=$E$37 → kendala target minimal return


Pada dialog box, click “Keep Solver Solution”, agar solusi Prioritas 1 dan

Prioritas 2 tidak berubah dengan adanya tambahan baris-baris kendala baru tersebut.


Dari tabel-tabel hasil optimal Prioritas 1, Prioritas 2 dan Prioritas 3, tampak bahwa untuk persoalan pada Contoh 3 ini adalah sebagai berikut :

- Life Insurance = $ 10,000.00 - Bonds = $ 60,000.00

- Stocks = $ 56,666.67 Total Investment = $ 200,000.00 - Saving = $ 73,333.33

Return yang dicapai = $ 13,966.67; terjadi under target return sebesar = $

22,000.00 - $ 13,996.67 = $ 8.003.33



19

Hasil Optimal untuk Prioritas 1. A B C D E F G H I

1 Contoh-3 :

2


4 Factors

5 Lower Bound

Upper Bound


Return

6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%

7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%


9 Savings - - -0,3 -1,1 4%

10

11 Target 1 0

12

13 Budget 200000

14 Max. Return 11%

15

16


18


20 Life Insurance 10000 d- d+

21 Bond Mutual Fund 160000 1 0 5000 Insurance Lower Bound

22 Stock Mutual Fund 30000 2 0 0 Insurance Upper Bound

23 Savings 0 3 0 100000 Bonds Lower Bound

24 4 0 0 Stocks Lower Bound

25 5 -146000 0 Inflation Target

26 6 76000 0 Interest Rate Spread Target

27 7 0 -6900 Return Target

28

29 Models Output :


31 Insurance Lower Bound 10000 -5000 5000 5000

32 Insurance Upper Bound 10000 0 10000 10000

33 Bonds Lower Bound 160000 -100000 60000 60000

34 Stocks Lower Bound 30000 0 30000 30000

35 Inflation Target 346000 -146000 200000 200000

36 Interest Spread Target -76000 76000 0 0

37 Return Target 15100 6900 22000 22000

38

39 Total Investment 200000

40

41 Priority-1 0

42 Priority-2 0

43 Priority-3 0



20


1 Contoh-3 :

2


4 Factors

5 Lower Bound

Upper Bound


Return

6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%

7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%


9 Savings - - -0,3 -1,1 4%

10

11 Target 1 0

12

13 Budget 200000

14 Max. Return 11%

15

16


18




22 Stock Mutual Fund 30000 2 5000 0 Insurance Upper Bound

23 Savings 105000 3 0 0 Bonds Lower Bound

24 4 0 0 Stocks Lower Bound

25 5 63000 0 Inflation Target

26 6 143500 0 Interest Rate Spread Target

27 7 0 -10000 Return Target

28

29 Models Output :


31 Insurance Lower Bound 5000 0 5000 5000

32 Insurance Upper Bound 5000 5000 10000 10000

33 Bonds Lower Bound 60000 0 60000 60000

34 Stocks Lower Bound 30000 0 30000 30000

35 Inflation Target 137000 63000 200000 200000

36 Interest Spread Target -143500 143500 0 0

37 Return Target 12000 10000 22000 22000

38


40

41 Priority-1 0

42 Priority-2 0

43 Priority-3 0



21


1 Contoh-3 :

2

3 Parameters and uncontrollable variables 4 Factors

5 Lower Bound

Upper Bound


Return

6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%

7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%


9 Savings - - -0,3 -1,1 4%

10

11 Target 1 0

12

13 Budget 200000

14 Max. Return 11%

15

16


18




22 Stock Mutual Fund 56666,67 2 0 0 Insurance Upper Bound

23 Savings 73333,33 3 0 0 Bonds Lower Bound

24 4 0 26666,66 Stocks Lower Bound

25 5 -9,4674E- 0 Inflation Target

26 6 106666,6 0 Interest Rate Spread Target

27 7 0 -8033,33 Return Target

28

29 Models Output :


31 Insurance Lower Bound

10000 -5000 5000 5000

32 Insurance Upper Bound

10000 0 10000 10000

33 Bonds Lower Bound 60000 0 60000 60000

34 Stocks Lower Bound 56666,67 -26666,67 30000 30000

35 Inflation Target 200000 -9,467E-08 200000 200000

36 Interest Spread Target

-106666,67 106666,67 0 0

37 Return Target 13966,67 8033,33 22000 22000

38


40

41 Priority-1 0

42 Priority-2 0

43 Priority-3 0



22

Contoh-4 : Goal Programming

Tom Swenson pemilik J.R Swenson, sebuah perusahaan periklanan; telah membuat perjanjian kerja sama dengan perusahaan farmasi dalam rangka

mengiklankan produk baru, Mylonal, melalui media iklan TV dan radio. Total biaya promosi dibatasi sampai dengan $ 120,000.00. Klien J.R Swenson tersebut menginginkan bisa meraih berbagai kelas pemirsa maupun penyimak. Untuk

mengetahui seberapa jauh promosi melalui media tertentu, perusahaan agen iklan ini mengestimasikannya melalui dampak tingkat ketertarikan konsumen yang dituju. Ukurannya adalah peringkat perubahan (rated exposures), yaitu masyarakat yang diraih dalam setiap bulannya.

Berikut ini adata relevan untuk keperluan promosi produk baru tersebut :

Tabel 4. Pencapaian Konsumen Melalui Media Promosi (per $ 1,000.00).

Pencapaian Konsumen TV Radio

Total 14.000 6.000

Konsumen Berpenghasilan Tinggi 1.200 1.200

Melalui diskusi yang panjang dengan klien, Tom kemudian menentukan tujuan-tujuan (goals) dengan urutan prioritasnya yang harus diraih, yaitu :

a. total konsumen yang bisa diraih paling sedikit 840.000 orang,

b. untuk menjaga efektivitas hubungan dengan stasiun radio, perusahaan iklan ini membatasi pengeluaran promosi pada TV maksimal $ 90,000.00

c. ia juga menginginkan agar promosi tersebut dapat meraih paling sedikit

168.000 orang konsumen yang berpenghasilan tinggi, d. jika ketiga tujuan di atas bisa tercapai, ia menginginkan untuk bisa meraih

semaksimal mungkin jumlah pemirsa yang bisa diraih (ia beranggapan bahwa jika ia mengeluarkan biaya sebesar $ 120,000.00 pada media TV, pemirsa

yang bisa diraih adalah 120 x 14.000 = 1.680.000 orang).

Untuk memformulasikan modelnya, perlu ditentukan decision variable, yaitu X1 = ribuan dollars yang dikeluarkan melalui media TV, dan X2 = ribuan dollars yang dikeluarkan melalui media radio. Karena prioritas utama tujuannya adalah

pencapaian total pemirsa TV dan penyimak radio; maka ia menganggap bahwa fungsi obyektifnya adalah total pencapaian, sedang tujuan lain dianggap sebagai kendala.

Formulasi GP lengkap adalah sebagai berikut :

Min. Z = P1d1- + P2d2

+ + P3d3- + P4d4

- s/t. X1 + X2 < 120 � kendala total anggaran (dalam $ 1,000.00)

14000 X1 + 6000 X2 + d1- - d1

+ = 840000 � target total konsumen X1 + d2

- + d2- - d2

+ = 90 � kendala anggaran melalui media TV

1200 X1 + 1200 X2 + d3- - d3

+ = 168000 � target konsumen berpenghasilan

tinggi 14000 X1 + 6000 X2 + d4

- - d4+ = 1680000 � target maksimal total konsumen

∀ Xi, dj+/- > 0 � kendala logik.



23

a. printout dengan program QM atau PM adalah :

Program : Goal Programming

Problem Title : Swenson J.T Minicase

***** Input data *****

Min Z = 1P1d-2 + 1P2d+3 + 1P3d-4 + 1P4d-5

Subject to

C1 1x1 + 1x2 <= 120

C2 14000x1 + 6000x2 + d-2 – d+2 = 840000

C3 1x1 + d-3 – d+3 = 90

C4 1200x1 + 1200x2 + d-4 – d+4 = 168000

C5 14000x1 + 6000x2 + d-5 – d+5 = 1680000

***** Program Output *****

Analysis of deviations

---------------------------------------------------------------------

Constraints RHS Value d+ d-

---------------------------------------------------------------------

C1 120.000 0.000 0.000

C2 840000.000 0.000 0.000

C3 90.000 0.000 0.000

C4 168000.000 0.000 24000.00

C5 1680000.000 0.000 240000.000

--------------------------------------------------------------

Analysis of decision variables

---------------------------------------------

Variable Solution Value

---------------------------------------------

X1 90.000

X2 30.000

-----------------------------------------

Analysis of objective function

---------------------------------------------

Priority Nonachievement

---------------------------------------------

P1 0.000

P2 0.000

P3 24000.000

P4 240000.000

-----------------------------------------

Analysis of Goal Conflicts

---------------------------------------------------------------------

Goal

Conflict

Relevant

Variable

Relevant

Column

Allowable

Increase

Allowable

Decrease

Marginal

Substitution

Rate

---------------------------------------------------------------------

Priority4 (d-5) 240000.00 8000.00

Priority2 (d+3) (d+3) 30.00 1.00

---------------------------------------------------------------------

***** End of Output *****

Hasil optimal menunjukkan bahwa X1 = pengeluaran biaya promosi melalui media TV sebesar $ 90,000.00 dan X2 = pengeluaran biaya promosi melalui

media radio = $ 30,000.00. Tujuan dengan prioritas-1 dan prioritas-2 tercapai seluruhnya. Prioritas-3 tidak tercapai sebesar 24.000 orang dan Prioritas-4 tridak tercapai sebesar 240.000 orang.



24

Dengan X1 = 90 dan X2 = 30, maka pencapaian total konsumen untuk tujuan prioritas-1 = (90 x 14.000) + (30 x 6.000) = 1.440.000 orang, telah melebihi target minimal sebsar 840.000 orang.

Tujuan prioritas-2 tidak terlampaui, yaitu target biaya promosi media TV paling banyak $ 90,000.00; artinya target anggaran biayanya tidak terlampaui.

Tujuan prioritas-3, pencapaian konsumen berpenghasilan tinggi = (90 x1.200) +

(30 x 1.200) = 144.000 orang. Target pencapaian konsumen berpenghasilan tinggi adalah 168.000 orang, maka target yang tidak tercapai = 24.000 orang.

Tujuan prioritas-4, pencapaian semaksimal mungkin total konsumen hanya bisa = (90 x 14.000) + (30 x 6.000) = 1.440.000 orang, sedang target maksimal =

1.680.000 orang, maka target yang tidak tercapai = 240.000 orang.

Dengan aplikasi SOLVER pada Excel, dengan prosedur yang sama dengan Contoh-3 adalah sebagai berikut :

a. Feasible Region untuk Goal-1 :

A B C D E

1 Objective Function Decision Variable

2 =E3 Dollars on TV Dollars on Radio

Deviation Variable (d1-)

3 =D11-C11

4

5 Total Exposure per $ 1000 spent in 6 TV Radio

7 14000 6000

8

9 Constraints

10 Total Expenditures =SUM(C3:D3) 120

11 Goal 1 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7)

840000

- tentukan Set Target Cell : $C$11 → set cell


- by changing cells : $C$3:$D$3 → (changing cells)

- subject to the constraints :

$C$10 <=$D$10 → kendala total anggaran

$C$11 >=$D$11 → kendala target total konsumen

$C$3:$D$3 >=0 → kendala non negatif


Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-1.



25

b. Feasible Region untuk Goal-2 :

A B C D E



Deviation Variable (d2+)

3 =SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7)-D12

4

5 Total Exposure per $ 1000 spent in

6 TV Radio

7 14000 6000

8

9 Constraints


11 Goal 1 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7)

840000

12 Goal 2 =C3-E3 90




- subject to the constraints : $C$10 <=$D$10 → kendala total anggaran



Tambahkan kendala Goal 1 = 0 dan kendala anggaran biaya media TV $C$11 = 0 $C12 <=$D$12 - solve → perintah untuk melakukan optimasi.


c. Feasible Region untuk Goal-3 :

A B C D E



Deviation Variable (d3

-)

3 =D17-SUMPRODUCT (C3:D3;C11:D11)

4


6 TV Radio

7 14000 6000

8

9 Upper Income Exposures per $ 1000 spent in

10 TV Radio

11 1200 1200

12

13 Constraints


15 Goal 1 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7) 840000

16 Goal 2 =C3-E3 90




26

Untuk Goal 3 tambahkan terlebih dahulu baris yang menjelaskan exposures upper income akibat pengeluaran biaya promosi pada media TV dan radio.






$C$16 <=$D$16 → kendala anggaran biaya media TV


$C$15 =0 → kendala Goal-1 = 0

Tambahkan kendala Goal 2 = 0 dan kendala upper income exposures $C$16 =0 $C$17 >=$D$17 → kendala upper income exposures



d. Feasible Region untuk Goal-4 :

A B C D E



Deviation Variable (d4

-)

3 =D18-SUMPRODUCT (C3:D3;C7:D7)

4


6 TV Radio

7 14000 6000

8

9 Upper Income Exposures per $ 1000 spent in

10 TV Radio

11 1200 1200

12

13 Constraints



16 Goal 2 =C3-E3 90



Untuk Goal 3 tambahkan terlebih dahulu baris yang menjelaskan exposures upper income akibat pengeluaran biaya promosi pada media TV dan radio.






$C$16 <=$D$16 → kendala anggaran biaya media TV




27



$C$17 >=$D$17 → kendala upper income exposures

Tambahkan kendala Goal 3 = 0 dan kendala maksimal total konsumen $C$17 =0 → kendala Goal-3 = 0

$C$18 >=$D$18 → kendala total konsumen maksimum



Penyelesaian contoh-4 dengan Program PM di atas bisa juga dilihat, untuk dibandingkan dengan hasil solusi optimal Excel.

Contoh-5 : Integer Programming untuk MRP

The Schwindle Cycle Company memproduksi tiga jenis sepeda : (1) Unicycles

(U), (2) Reguler Bicycles (R) dan (3) Twinbikes (T). Setiap jenis produks dirakit dengan berbagai komponen, yaitu : seat (S), wheels (W), hubs (H), spokes (P), chains (C), dan links (L). Bills of materials (BOM) setiap jenis produk dapat dilihat pada product structure di bawah ini :

Persediaan awal = 0. Schwindle bermaksud mesuplai pasar dengan 100 unit U, 500 unit R dan 200 unit T. Produk jadi sepeda maupun komponen dapat dirakit

U

S(1) W(1)

H(1) P(36)

R

S(1) W(2)

H(1) P(36)

T

S(2) W(2)

H(1) P(36)

C(1)

L(84)

C(2)

L(84)



28

sendiri atau membeli ke produsen lain dengan biaya/unit seperti dalam tabel berikut :

Items U R T S W C H P L

Harga Beli

2.60 5.20 3.10 0.25 1.40 0.96 0.19 0.07 0.05

Biaya Merakit

1.04 1.16 1.90 0.20 0.22 0.26 0.16 0.04 0.03

Perlu dicatat, bahwa biaya perakitan adalah biaya langsung pada level perakitan tertentu dan tidak termasuk biaya-biaya komponen yang masuk ke level

perakitan yang bersangkutan.

Formulasi modelnya adalah :

Min. Z = 2.50 UB + 1.04 UM + 5.20 RB + 1.16 RM + 3.10 TB + 1.90 TM + 0.25

SB + 0.20 SM + 1.40 WB + 0.22 WM + 0.96 CB + 0.26 CM + 0.19 HB + 0.16 HM + 0.07 PB + 0.04 PM + 0.05 LB + 0.03 LM

s/t.

Unicycles : UM + UB = 100

Reguler : RM + RB = 500 Twinbike : TM + TB = 200 Seats : SM + SB = UM + RM + 2TM atau :

- UM – RM – 2 TM + SM + SB = 0 Wheels : WM + WB = UM + 2 RM + 2 TM atau :

- UM – 2 RM – 2 TM + WM + WB = 0 Chains : CM + CB = 2 TM + RM atau :

- 2 TM – RM + CM + CB = 0 Hubs : HM + HB = WM atau : - WM + HM + HB = 0 Spokes : PM + PB = 36 WM atau : - 36 WM + PM + PB = 0 Links : LM + LB = 84 CM atau : - 84 CM + LM + LB = 0

∀ variables > 0 dan integer.

Penulisan formulasi dan hasil solusi dengan LINDO tampak seperti di bawah ini :

MIN 2.6 UB + 1.04 UM + 5.2 RB + 1.16 RM + 1.9 TM + 3.1 TB + 0.2 SM +

0.25 SB + 0.22 WM + 1.4 WB + 0.26 CM + 0.96 CB + 0.19 HB + 0.16

HM + 0.07 PB + 0.04 PM + 0.07 LB + 0.03 LM

SUBJECT TO

2) UB + UM = 100

3) RB + RM = 500

4) TM + TB = 200

5) - UM - RM - 2 TM + SM + SB = 0

6) - UM - 2 RM - 2 TM + WM + WB = 0

7) - RM - 2 TM + CM + CB = 0

8) - WM + HB + HM = 0

9) - 36 WM + PB + PM = 0

10) - 84 CM + LB + LM = 0

END



1) 3440.000



29


UB 100.000000 0.000000

UM 0.000000 0.040000

RB 0.000000 0.080000

RM 500.000000 0.000000

TM 0.000000 3.920000

TB 200.000000 0.000000

SM 500.000000 0.000000

SB 0.000000 0.050000

WM 0.000000 0.000000

WB 1000.000000 0.000000

CM 0.000000 0.000000

CB 500.000000 0.000000

HB 0.000000 0.030000

HM 0.000000 0.000000

PB 0.000000 0.041667

PM 0.000000 0.011667

LB 0.000000 0.061667

LM 0.000000 0.021667


2) 0.000000 -2.600000

3) 0.000000 -5.120000

4) 0.000000 -3.100000

5) 0.000000 -0.200000

6) 0.000000 -1.400000

7) 0.000000 -0.960000

8) 0.000000 -0.160000

9) 0.000000 -0.028333

10) 0.000000 -0.008333

NO. ITERATIONS= 9

Tampak dari solusi optimal bahwa : Total cost minimum = $ 3,440.00 Dengan komposisi produksi :

- pembelian unicycles (UB) untuk kemudian diberi merk perusahaan = 100

unit, - regular bicycles dirakit sendiri (RM) sebanyak 500 unit, - pembelian twinbikes (TB) untuk kemudian diberi merk perusahaan = 200

unit,

- akibatnya harus juga memproduksi seats (SM) sebanyak 500 unit untuk melengkapi 500 unit RM yang diproduksi,

- wheels harus dibeli (WB) sebanyak 1.000 unit untuk keperluan produksi

500 unit RM (dengan SUR = 2), - chains harus dibeli (CB) sebanyak 500 unit untuk keperluan 500 unit RM

(dengan SUR = 1).



30

Contoh-6 : Jaringan Distribusi

Sebuah perusahaan memiliki dua buah pabrik, A dan B; tiga buah gudang, X, Y dan Z; dan empat daerah pemasaran, 1, 2, 3 dan 4. Kebutuhan masing-masing

daerah pemasaran secara berurutan adalah : 3, 5, 4 dan 5 unit. Persediaan barang yang ada di pabrik A = 9 unit dan di pabrik B = 8 unit. Kapasitas simpan gudang dapat menerima seluruh pengiriman dari masing-masing pabrik.

Biaya pengiriman barang/unit dari pabrik ke gudang dan selanjutnya ke daerah pemasaran adalah :

1 5

2 7

9

6

3 7

1 8

2 7

4 4

Penulisan formula modelnya adalah : Zmin = AX + 2 AY + 3 BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7X2 + 9 Y1 + 6 Y2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4 s/t

AX + AY = 9 BX + BY + BZ = 8 X1 + X2 = AX + BX atau : - AX – BX + X1 + X2 = 0

Y1 + Y2 + Y3 = AY + BY atau : - AY – BY + Y1 + Y2 + Y3 = 0 Z2 + Z3 + Z4 = BZ atau : - BZ + Z2 + Z3 + Z4 = 0 - X1 – Y1 = -3 - X2 – Y2 – Z2 = -5

- Y3 – Z3 = -4 - Z4 = -5 ∀ variable > 0

Penulisan dan solusi optimal dengan LINDO adalah :

MIN AX + 2 AY + 3 BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7X2

+ 9 Y1 + 6 Y2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4

SUBJECT TO

2) AX + AY = 9

3) BX + BY + BZ = 8

4) - AX – BX + X1 + X2 = 0

5) - AY – BY + Y1 + Y2 + Y3 = 0

6) - BZ + Z2 + Z3 + Z4 = 0

7) - X1 – Y1 = -3

8) - X2 – Y2 – Z2 = -5

9) - Y3 – Z3 = -4

10) - Z4 = -5

END

1

2

3

4

X

Y

Z

A

B



31



1) 121.0000


AX 3.000000 0.000000

AY 6.000000 0.000000

BX 0.000000 3.000000

BY 3.000000 0.000000

BZ 5.000000 0.000000

X1 3.000000 0.000000

X2 0.000000 0.000000

Y1 0.000000 5.000000

Y2 5.000000 0.000000

Y3 4.000000 0.000000

Z2 0.000000 3.000000

Z3 0.000000 1.000000

Z4 5.000000 0.000000


2) 0.000000 -1.000000

3) 0.000000 0.000000

4) 0.000000 0.000000

5) 0.000000 1.000000

6) 0.000000 2.000000

7) 0.000000 5.000000

8) 0.000000 7.000000

9) 0.000000 8.000000

10) 0.000000 6.000000

NO. ITERATIONS= 4

Solusi optimal tercapai setelah 4 iterasi, dengan nilai total biaya pengiriman = $ 121.00.

Pengiriman Biaya Pengiriman

AX 3.000000 = 3 x $ 1 = $ 3.00

AY 6.000000 = 6 x $ 2 = $ 12.00

BX 0.000000 -

BY 3.000000 = 3 x $ 1.00 = $ 3.00

BZ 5.000000 = 5 x $ 2.00 = $ 10.00

X1 3.000000 = 3 x $ 5 = $ 15.00

X2 0.000000 -

Y1 0.000000 -

Y2 5.000000 = 5 x $ 6 = $ 30.00

Y3 4.000000 = 4 x $ 7 = $ 28.00

Z2 0.000000 -

Z3 0.000000 -

Z4 5.000000 = 5 x $ 4 = $ 20.00

Total $ 121.00

Dengan Excel, penulisan formula dalam sheet adalah :



32

A B C D E F G H I J

1 Contoh-6 : Jaringan Distribusi.

2 Transportation Cost/Unit From Plants to Warehouses

3 From\ To

X Y Z

4 A 1 2 0

5 B 3 1 2

6

7 Transportation Cost/Unit Warehouses to Market Areas

8 From\ To

1 2 3 4

9 X 5 7 0 0

10 Y 9 6 7 0

11 Z 0 8 7 4

12

13 Shipments

14 From\ To

X Y Z 1 2 3 4 Total Available

15 A 0 0 0 0 0 =SUM(B15:H15)

9

16 B 0 0 0 0 =SUM(B16:H16)

8

17 X 0 0 0 0 0 =SUM(B17:H17)

18 Y 0 0 0 0 =SUM(B18:H18)

19 Z 0 0 0 0 =SUM(B19:H19)

20 Total 0 0 0 =SUM(E15:E19)

=SUM(F15:F19)

=SUM(G15:G19)

=SUM(H15:H19)

21 Required 3 5 4 5

22

23 Total Cost

24 From\ To

X Y Z 1 2 3 4

25 A =B15*B4

=C15*C4

0 0 0 0 0 =SUM(B25:H25)

26 B =B16*B5

=C16*C5

=D16*D5

0 0 0 0 =SUM(B26:H26)

27 X 0 0 0 =E17*B9

=F17*C9

0 0 =SUM(B27:H27)

28 Y 0 0 0 =E18*B10

=F18*C10

=G18*D10

0 =SUM(B28:H28)

29 Z 0 0 0 0 =F19*C11

=G19*D11

=H19*E11

=SUM(B29:H29)

30 Total Cost

=SUM(B25:B29)

=SUM(C25:C29)

=SUM(D25:D29)

=SUM(E25:E29)

=SUM(F25:F29)

=SUM(G25:G29)

=SUM(H25:H29)

=SUM(I25:I29)

Penjelasan : sel-sel berwarnakuning adalah sel infisibel.



33

Dengan aplikasi SOLVER :

- tentukan Set Target Cell : $I$30 → set cell

- equal to : Min → minimasi - by changing cells : (� hanya sel-sel yang fisibel saja)

$B$15:$C$15;$B$16:$D$16;$E$17:$F$17;$E$18:$G$18;$F$19:$H$19 - subject to the constraints : $B$20 >=$I$17 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari X

$C$20 >=$I$18 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari Y

$D$20 >=$I$19 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari Z

$E$20:$H$20 >=$E$21:$H$21 → kendala kebutuhan di daerah pasar

1, 2, 3 dan 4 $I$15:$I$16 <=$J$15:$J$16 → kendala jumlah yang bisa dikirim

dari A dan B - solve → perintah untuk melakukan optimasi.

Pada option : assume linear model dan assume non negative.



34

Solusi optimal dengan SOLVER dapat dilihat sebagai berikut :

A B C D E F G H I J

1 Contoh-6 : Jaringan Distribusi.

2 Transportation Cost/Unit From Plants to Warehouses

3 From\To X Y Z

4 A 1 2 0

5 B 3 1 2

6

7 Transportation Cost/Unit Warehouses to Market Areas

8 From\To 1 2 3 4

9 X 5 7 0 0

10 Y 9 6 7 0

11 Z 0 8 7 4

12

13 Shipments

14 From\To X Y Z 1 2 3 4 Total Available

15 A 8 1 0 0 0 0 0 9 9

16 B 0 3 5 0 0 0 0 8 8

17 X 0 0 0 3 5 0 0 8

18 Y 0 0 0 0 0 4 0 4

19 Z 0 0 0 0 0 0 5 5

20 Total 8 4 5 3 5 4 5

21 Required 3 5 4 5

22

23 Total Cost

24 From\To X Y Z 1 2 3 4

25 A 8 2 0 0 0 0 0 10

26 B 0 3 10 0 0 0 0 13

27 X 0 0 0 15 35 0 0 50

28 Y 0 0 0 0 0 28 0 28

29 Z 0 0 0 0 0 0 20 20

30 Total Cost

8 5 10 15 35 28 20 121

Solusi optimal pengiriman barang adalah : - dari pabrik A ke gudang X = 8 unit � biaya transport = 8 x $ 1.00 = $ 8.00 - dari pabrik A ke gudang Y = 1 unit � biaya transport = 1 x $ 2.00 = $ 2.00

- dari pabrik B ke gudang Y = 3 unit � biaya transport = 3 x $ 1.00 = $ 3.00 - dari pabrik B ke gudang Z = 5 unit � biaya transport = 5 x $ 2.00 = $ 10.00 - dari gudang X ke pasar 1 = 3 unit � biaya transport = 3 x $ 5.00 = $ 15.00

- dari gudang X ke pasar 2 = 5 unit � biaya transport = 5 x $ 7.00 = $ 35.00 - dari gudang Y ke pasar 3 = 4 unit � biaya transport = 4 x $ 7.00 = $ 28.00

- dari gudang Z ke pasar 4 = 5 unit � biaya transport = 5 x $ 4.00 = $ 20.00

Total biaya trasportasi = $ 121.00



35

Contoh-7 : Critical Path Method (PERT/CPM).

Dalam membangun sebuah rumah, aktivitas-aktivitas pokok seseuai dengan urutannya bisa dilihat pada tabel berikut :

Akitivtas Notasi Waktu Proses

(hari) Kegiatan Sebelumnya

Menggali Fondasi DIG 3 -

Fondasi FOUND 4 DIG

Cor Lantai Dasar POURB 2 FOUND

Plester Lantai JOISTS 3 FOUND

Tembok WALLS 5 FOUND

Rafter RAFTERS 3 WALLS, POURB

Keramik Lantai FLOOR 4 JOISTS

Interior ROUGH 6 FLOOR

Atap ROOF 7 RAFTERS

Penghalusan FINISH 5 ROUGH, ROOF

Halaman SCAPE 2 POURB, WALLS

Jaringan PERT/CPM yang bisa dibuat adalah :

Floor Rough 4 6 Joists 3 Dig Found 7 3 4 Pourb Roof 2 Finish 5 Walls 5 3 Rafters 2 Scape

Dengan catatan bahwa setiap aktivitas yang berada di critical path diberi nilai = 1 dan jika tidak, diberi nilai = 0. Tujuan optimasi CPM ini adalah

memaksimumkan panjang jaringan, sehingga pada fungsi tujuan dapat ditulis :

Z max. = 3 DIG + 4 FOUND + 2 POURB + 3 JOISTS + 5 WALLS + 3 RAFTERS + 4 FLOOR + 6 ROUGH + 7 ROFF + 5 FINISH + 2 SCAPE

Perlu dicatat, bahwa :

- kegiatan DIG pasti berada di jalur kritis, - suatu kegiatan berada di jalur kritis hanya jika kegiatan sebelumnya

berada di jalur kritis. Lebih jauh lagi, jika suatu kegiatan berada di jalur

kritis, maka pasti salah satu dari kegiatan-kegiatan lanjutannya berada di jalur kritis,

- salah satu kegiatan di akhir jaringan (Scape atau Finish) berada di jalur kritis.

Dari rasionalisasi tersebut, maka dapat dibuat kendala-kendala sebagai berikut :

s/t. - DIG = -1 � kendala yang menyatakan bahwa DIG berada di jalur kritis,

A B C

D

E

F

G

H

I



36

- FOUND + DIG = 0 � kendala yang menyatakan bahwa FOUND juga berada

di jalur kritis, - JOISTS – POURB – WALLS +FOUND = 0 � kendala yang menyatakan

bahwa salah satu dari kegiatan setelah FOUND (JOISTS, POURB, WALLS) berada di jalur kritis,

- FLOOR + JOISTS = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika JOISTS

berada di jalur kritis, maka FLOOR juga di jalur kritis, atau sebaliknya,

- RAFTERS – SCAPE + POURB + WALLS = 0 � kendala yang menyatakan

bahwa jika POURB atau WALLS berada di jalur kritis, maka RAFTERS atau SCAPE juga di jalur kritis, atau sebaliknya,

- ROUGH + FLOOR = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika FLOOR

berada di jalur kritis, maka ROUGH juga di jalur kritis, atau sebaliknya,

- ROOF + RAFTERS = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika RAFTERS

berada di jalur kritis, maka ROOF juga di jalur kritis, atau sebaliknya,

- FINISH + ROUGH + ROOF = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika

ROUGH atau ROOF berada di jalur kritis, maka FINISH juga

di jalur kritis, atau sebaliknya, + FINISH + SCAPE = +1 � kendala yang menyatakan bahwa FINISH atau

SCAPE berada di jalur kritis.

Penulisan formula model tersebut di atas dapat dituliskan dengan aplikasi program LINDO sebagai :

MAX 3 DIG + 4 FOUND + 2 POURB + 3 JOISTS + 5 WALLS + 3 RAFTERS

+ 4 FLOOR + 6 ROUGH + 7 ROFF + 5 FINISH + 2 SCAPE

SUBJECT TO

- DIG = -1

- FOUND + DIG = 0

- JOISTS – POURB – WALLS +FOUND = 0

- FLOOR + JOISTS = 0

- RAFTERS – SCAPE + POURB + WALLS = 0

- ROUGH + FLOOR = 0

- ROOF + RAFTERS = 0

- FINISH + ROUGH + ROOF = 0

+ FINISH + SCAPE = +1

END

Solusi optimal dicapai setelah iterasi ke-4 seperti di bawah ini :



1) 27.00000


DIG 1.000000 0.000000

FOUND 1.000000 0.000000

POURB 0.000000 3.000000

JOISTS 0.000000 0.000000

WALLS 1.000000 0.000000

RAFTERS 1.000000 0.000000

FLOOR 0.000000 0.000000

ROUGH 0.000000 2.000000

ROOF 1.000000 0.000000

FINISH 1.000000 0.000000



37

SCAPE 0.000000 13.000000


2) 0.000000 -7.000000

3) 0.000000 -4.000000

4) 0.000000 0.000000

5) 0.000000 3.000000

6) 0.000000 5.000000

7) 0.000000 7.000000

8) 0.000000 8.000000

9) 0.000000 15.000000

10) 0.000000 20.000000

NO. ITERATIONS= 4

Tampak dari solusi optimal tersebut di atas, bahwa jalur kritis dari jaringan tersebut adalah : DIG � FOUND � WALLS � RAFTERS � ROOF � FINISH, dengan waktu 27 hari.

Solusi optimal dengan aplikasi program Excel tidak berbeda dengan solusi optimal LINDO. Berikut ini penulisan dengan Excel pada sheet :

A B C D E F G H I

1 Kebutuhan Waktu untuk Aktivitas (dalam hari)

2 DIG 3

3 FOUND 4 Total Waktu =SUMPRODUCT(B2:B12;B15:B25)

4 POURB 2

5 JOISTS 3

6 WALLS 5

7 RAFTERS 3

8 FLOOR 4

9 ROUGH 6

10 ROOF 7

11 FINISH 5

12 SCAPE 2

13

14 Variabel Keputusan

15 DIG =B15-B16

16 FOUND =+B16-B18-B17-B19

17 POURB =B18-B21

18 JOISTS =B19+B17-B20-B25

19 WALLS =B21-B22

20 RAFTERS =B20-B23

21 FLOOR =B22+B23-B24

22 ROUGH =B24+B25

23 ROOF =-B15

24 FINISH

25 SCAPE



38

Gunakan fasilitas SOLVER :

- tentukan Set Target Cell : $E$3 → set cell


- by changing cells : $B$15:$B$25

- subject to the constraints : $D$15:$D$21 =0 → kendala kemungkinan jalur kritis

$D$22 =1 → kendala FINISH atau SCAPE di jalur kritis

$D$23 =-1 → kendala DIG di jalur kritis


Pada option : assume linear model dan assume non negative.

Solusi optimal yang dihasilkan adalah :

A B C D E F G H I

1 Kebutuhan Waktu untuk Aktivitas (dalam hari)

2 DIG 3

3 FOUND 4 Total Waktu 27

4 POURB 2

5 JOISTS 3

6 WALLS 5

7 RAFTERS 3

8 FLOOR 4

9 ROUGH 6

10 ROOF 7

11 FINISH 5

12 SCAPE 2

13

14 Variabel Keputusan

15 DIG 1 0

16 FOUND 1 0

17 POURB 0 0

18 JOISTS 0 0

19 WALLS 1 0

20 RAFTERS 1 0

21 FLOOR 0 0

22 ROUGH 0 1

23 ROOF 1 -1

24 FINISH 1

25 SCAPE 0

Dari solusi optimal tampak bahwa jalur kritis untuk jaringan adalah :

DIG � FOUND � WALLS � RAFTERS � ROOF � FINISH dengan waktu 27 hari.



39

Contoh-8 : Programa Dinamis untuk Perencanaan Produksi

Sebuah perusahaan memproduksi sebuah jenis produk. Pola permintaan untuk empat musim mendatang adalah :

- spring : 20 unit, - summer : 30 unit, - autumn : 50 unit,

- winter : 60 unit.

Dengan asumsi seluruh permintaan bisa dipenuhi, ada dua kebijakan perusahaan yang penting untuk dipilih, yaitu :

a. produksi mengikuti pola permintaan dan tidak diperkenankan adanya

persediaan, b. memproduksi dengan tingkat yang stabil = 40 unit per musim dan

diperbolehkan adanya persediaan untuk mengantisipasi fluktuasi permintaan dari musim ke musim.

Ada biaya yang berkaitan dengan tingkat persediaan dan biaya yang berkaitan dengan tingkat produksi. Maka dapat dilakukan kombinasi antara kedua kebijakan tersebut di atas untuk meminimumkan biaya, misal : menyediakan

sedikit persediaan tetapi juga melakukan produksi dalam jumlah yang bervariasi.

Untuk perhitungan biaya, perusahaan memperkirakan bahwa perubahan tingkat produksi dari suatu periode ke periode berikutnya akan menimbulkan biaya = $ 500.00 per unit. Biaya ini sering disebut sebagai biaya “hiring dan firing”.

Perusahaan juga mengestimasikan bahwa biaya persediaan yang timbul adalah = $ 800.00 per unit pada setiap akhir periode. Persediaan awal pada saat sekarang = 0, dan tingkat produksi = 55 unit per musim.

Biaya yang timbul jika kebijakan ini digunakan (memproduksi = 55 unit setiap musim) dan tidak boleh ada persediaan, adalah :

$ 500.00 x (35 + 10 + 20 + 10 + 5) = $ 40,000.00

Di lain pihak, jika kebijakan tingkat produksi stabil yang dipilih, maka biaya yang

timbul adalah :

$ 800.00 x (20 + 30 + 20 + 0) = $ 56,000.00

Pemilihan optimal dapat dilakukan dengan LP.

Buat terlebih dahulu notasi untuk variabel keputusan :

Pi = jumlah unit produksi pada periode-i, di mana i = 1, 2, 3 dan 4,

Ii = jumlah unit persediaan pada akhir periode-I (ending inventory),

Ui = penambahan tingkat produksi antar periode i-1 dengan periode-i,

Di = penurunan tingkat produksi antar periode i-1 dengan periode-i.

Pi adalah variabel keputusan yang bersifat terbuka. Variabel ini sangat berguna untuk mendefinisikan variabel-variabel Ii, Ui dan Di, dengan demikian dapat dihitung biaya pada periode-periode mana saja pada saat diperlukan.

Tujuan optimasi adalah meminimumkan biaya per tahun, maka diupayakan biaya persediaan dan biaya perubahan tingkat produksi ditekan ke titik minimum. Total biaya persediaan adalah :

800 I1 + 800 I2 + 800 I3 + 800 I4

Biaya perubahan tingkat produksi :

500 U1 + 500 U2 + 500 U3 + 500 U4 + 500 D1 + 500 D2 + 500 D3 + 500 D4



40

Pada persoalan yang melibatkan periode ganda, akan timbul kendala keseimbangan bahan untuk setiap produk pada setiap periode. Yang dimaksud dengan keseimbangan bahan adalah : sumber = penggunaan. Secara tekstual

keseimbangan tersebut dapat diformulasikan :

Beginning Inventory + Production – Ending Inventory = Demand

Dalam bentuk matematis, kendala keseimbangan pada persoalan tersebut di atas

adalah :

P1 – I1 = 20 I1 + P2 – I2 = 30 I2 + P3 – I3 = 50

I3 + P4 = 60

Terlihat bahwa I0 dan I4 tidak muncul pada persamaan di atas, karena I0 = I4 = 0. Jika formula model ini diselesaikan seperti biasa, maka tidak ada keharusan untuk mengharuskan Ui, Di > 0. Solusinya semata-mata karena kebijakan

produksi, seperti : P1 = 20, P2 = 30, P3 = 50 dan P4 = 60.

Kebijakan ini mengimplikasikan peningkatan produksi pada akhir periode. Ini menyebabkan perlu adanya pengetatan terhadap U1, U2, U3 dan U4 untuk

mendapat nilai yang cocok, melalui kendala-kendala berikut :

U1 > P1 – 55 U2 > P2 – P1 U3 > P3 – P2

U4 > P4 – P3

Penurunan produksi juga tidak bisa dihitung dengan tepat, untuk itu perlu ditambahkan kendala-kendala berikut :

D1 > 55 – P1 D2 > P1 – P2 D3 > P2 – P3 D4 > P1 – P4

Dengan mempertimbangkan bahwa pada akhir musim winter tingkat produksi kembali ke 55 unit, maka tambahkan variabel U5 dan D5 untuk mengukur perubahan produksi pada akhir musim winter.

U5 > 55 – P4

D5 > P4 – 55

Untuk melengkapi formulasi, perlu ditambahkan strategi campuran, seperti berikut :

P1 = P2 = 25 P3 = P4 = 55

Sebelum diselesaikan, beberapa kendala bisa disederhanakan menjadi sebuah kendala, seperti :

U2 > P2 – P1 D2 > P1 – P2 menjadi sebuah kendala gabungan baru : U2 – D2 = P2 – P1

Pernyataan ini lebih bersifat ekonomis, dibanding matematis. Kegunaannya adalah lebih menekankan U2 = P2 – P1, jika P2 – P1 > 0 dan D2 = P1 – P2, jika P1 – P2 > 0. Dari sisi ekonomi, bisa diargumentasikan bahwa pada solusi optimal paling banyak salah satu dari U2 dan D2 > 0 di dalam kedua kendala di atas. Jika



41

U2 dan D2 > 0 di dalam formula gabungan, maka keduanya bisa direduksi menjadi suatu persamaan untuk mengurangi biaya tanpa melanggar kendala.

Formula model yang lengkap dapat dituliskan dengan LINDO sebagai :

MIN 800 I1 + 800 I2 + 800 I3 + 500 U1 + 500 U2 + 500 U3 + 500 U4

+ 500 D1 + 500 D2 + 500 D3 + 500 D4 + 500 U5 + 500 D5

SUBJECT TO

2) - I1 + P1 = 20

3) I1 - I2 + P2 = 30

4) I2 - I3 + P3 = 50

5) I3 + P4 = 60

6) U1 - D1 - P1 = - 55

7) U2 - D2 + P1 - P2 = 0

8) U3 - D3 + P2 - P3 = 0

9) U4 - D4 + P3 - P4 = 0

10) U5 - D5 + P4 = 55

END

Solusi optimal dicapai setelah iterasi 9 :



1) 38000.00


I1 5.000000 0.000000

I2 0.000000 700.000000

I3 5.000000 0.000000

U1 0.000000 1000.000000

U2 0.000000 100.000000

U3 30.000000 0.000000

U4 0.000000 0.000000

D1 30.000000 0.000000

D2 0.000000 900.000000

D3 0.000000 1000.000000

D4 0.000000 1000.000000

U5 0.000000 800.000000

D5 0.000000 200.000000

P1 25.000000 0.000000

P2 25.000000 0.000000

P3 55.000000 0.000000

P4 55.000000 0.000000


2) 0.000000 900.000000

3) 0.000000 100.000000

4) 0.000000 0.000000

5) 0.000000 -800.000000

6) 0.000000 500.000000

7) 0.000000 -400.000000

8) 0.000000 -500.000000

9) 0.000000 -500.000000

10) 0.000000 300.000000

NO. ITERATIONS= 9

P1 = produksi pada musim spring = 25 unit P2 = produksi pada musim summer = 25 unit P3 = produksi pada musim autumn = 55 unit

P4 = produksi pada musim winter = 55 unit



42

Items Spring Summer Autumn Winter

Beginning Inv. 0 5 0 5

Production 25 25 55 55

Ending Inv. 5 0 5 0

Demand 20 30 50 60

I1 = ending inventory pada periode 1 = 5 unit I2 = ending inventory pada periode 2 = 0 unit

I3 = ending inventory pada periode 3 = 5 unit I4 = ending inventory pada periode 4 = 0 unit D1 = penurunan produksi pada periode 1 dibanding periode 4 sebelumnya = 55 –

25 = 30 unit, D2 = penurunan produksi pada periode 2 dibanding periode 1 sebelumnya = 25 –

25 = 0 unit, D3 = tidak terjadi penurunan produksi pada periode 3 dibanding periode 2

sebelumnya, sebab dari 25 unit menjadi 55 unit, atau = 0 unit, D4 = tidak terjadi penurunan produksi pada periode 4 dibanding periode 3

sebelumnya = 55 – 55 = 0 unit. U1 = tidak terjadi peningkatan produksi pada periode 1 dibanding periode 4

sebelumnya, sebab dari 55 unit menjadi 25 unit, atau = 0 unit, U2 = peningkatan produksi pada periode 2 dibanding periode 1 sebelumnya = 25

– 25 = 0 unit,

U3 = peningkatan produksi pada periode 3 dibanding periode 2 sebelumnya, sebab dari 25 unit menjadi 55 unit = 30 unit,

U4 = tidak terjadi peningkatan produksi pada periode 4 dibanding periode 3 sebelumnya = 55 – 55 = 0 unit.

Total biaya yang ditimbulkan oleh pola produksi (dan akibatnya kepada persediaan akhir serta penurunan/peningkatan produksi antar periode) :

= 800 x (5 + 5) + 500 x (30) + 500 x (30) = $ 38,000.00.

Penyelesaian dengan Excel dimulai dengan menuliskan formula model sebagai berikut :



43

A B C D E F

1 Uncontrollable Variables and Parameters

2 I1 800

3 I2 800

4 I3 800

5 U1 500

6 U2 500

7 U3 500

8 U4 500

9 D1 500

10 D2 500

11 D3 500

12 D4 500

13 U5 500

14 D5 500

15

16 Production Level

17 P1 P2 P3 P4

18

19

20 Decision Variables Constraints : RHS

21 I1 =-B21+A18 20

22 I2 =B21-B22+B18 30

23 I3 =B22-B23+C18 50

24 U1 =B23+D18 60

25 U2 =B24-B28-A18 -55

26 U3 =B25-B29+A18-B18 0

27 U4 =B26-B30+B18-C18 0

28 D1 =B27-B31+C18-D18 0

29 D2 =B32-B33+D18 55

30 D3

31 D4

32 U5

33 D5

34

35 Models Output :

36 Total Cost =SUMPRODUCT(B2:B14;B21:B33)




- by changing cells : $B$21:$B$33;$A$18:$D$18 - subject to the constraints :

$D$21:$D$29=$F$21:$F$29 → kendala permintaan, perubahan

produksi dan persediaan - solve → perintah untuk melakukan optimasi.



44


A B C D E F


2 I1 800

3 I2 800

4 I3 800

5 U1 500

6 U2 500

7 U3 500

8 U4 500

9 D1 500

10 D2 500

11 D3 500

12 D4 500

13 U5 500

14 D5 500

15

16 Production Level

17 P1 P2 P3 P4

18 25 25 55 55

19

20 Decision Variables Constraints : RHS

21 I1 5 20 20

22 I2 0 30 30

23 I3 5 50 50

24 U1 0 60 60

25 U2 0 -55 -55

26 U3 30 0 0

27 U4 0 0 0

28 D1 30 0 0

29 D2 0 55 55

30 D3 0

31 D4 0

32 U5 0

33 D5 0

34

35 Models Output :

36 Total Cost 38000



45

Contoh-9 : Transshipment Model.

Seymour Miles adalah manajer distribusi Zigwell Inc. Zigwell mendistribusikan traktor perata (crawler tractor), E-9; kepada lima propinsi. Pada saat sekarang

perusahaan memiliki 10 traktor di pusat gudang komponen-1 yang harus dikonstruksi di pabrik-3 dan-4, masing-masing 3 unit dan 7 unit.

Jaringan distribusi Zigwell adalah :

-3

c23

+10 c34 c43

c12 -7

c24 c53

c25 c54

Dari gambar jaringan ini, dapat diketahui bahwa ada empat jalur alternatif yang bisa dipilih untuk pendistribusi traktor adalah :

1 – 2 – 3, 1 – 2 – 4 – 3, 1 – 2 – 5 – 3 dan 1 – 2 – 5 – 4 – 3.

Biaya distribusi/unit, cij dan kapasitas pengiriman, uij adalah :

c12 = 100 u12 = 10

c23 = 105 u23 = 3

c24 = 90 u24 = 5

c25 = 75 u25 = 5

c34 = 110 u34 = 4

c43 = 80 u43 = 8

c53 = 85 u53 = 5

c54 = 100 u54 = 6

Persoalan optimasi adalah : bagaimana bisa mengirim traktor sesuai dengan

kebutuhan di pabrik-3 dan pabrik-4 dengan biaya minimum. Formula model LP adalah :

Zmin = 100 X12 + 105 X23 + 90 X24 + 75 X25 + 110 X34 + 80 X43 + 85 X53 + 100 X54

s/t. X12 = 10 - X12 + X23 +X24 + X25 = 0

- X23 – X43 – X53 + X34 = -3 - X24 – X34 – X54 + X43 = -7 - X25 + X53 + X 54 = 0 0 < Xij < uij

3

4

5

2 1



46

Dengan LINDO formula model dan solusi optimal yang dihasilkan adalah :

MIN 100 X12 + 105 X23 + 90 X24 + 75 X25 + 110 X34 + 80 X43 + 80 X53

+ 100 X54

SUBJECT TO

2) X12 = 10

3) - X12 + X23 + X24 + X25 = 0

4) - X23 + X34 - X43 - X53 = - 3

5) - X24 - X34 + X43 - X54 = - 7

6) - X25 + X53 + X54 = 0

7) X23 <= 3

8) X24 <= 5

9) X25 <= 5

10) X34 <= 4

11) X43 <= 8

12) X53 <= 5

13) X54 <= 6

END

Solusi optimal dicapai setelah iterasi ke-3 :



1) 2115.000


X12 10.000000 0.000000

X23 3.000000 0.000000

X24 5.000000 0.000000

X25 2.000000 0.000000

X34 0.000000 40.000000

X43 0.000000 150.000000

X53 0.000000 50.000000

X54 2.000000 0.000000


2) 0.000000 -205.000000

3) 0.000000 -105.000000

4) 0.000000 0.000000

5) 0.000000 70.000000

6) 0.000000 -30.000000

7) 0.000000 0.000000

8) 0.000000 85.000000

9) 3.000000 0.000000

10) 4.000000 0.000000

11) 8.000000 0.000000

12) 5.000000 0.000000

13) 4.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 3





X12 100.000000 INFINITY INFINITY

X23 105.000000 50.000000 40.000000

X24 90.000000 85.000000 INFINITY

X25 75.000000 40.000000 50.000000

X34 110.000000 INFINITY 40.000000

X43 80.000000 INFINITY 150.000000



47

X53 80.000000 INFINITY 50.000000

X54 100.000000 40.000000 85.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES



2 10.000000 0.000000 0.000000

3 0.000000 0.000000 0.000000

4 -3.000000 0.000000 0.000000

5 -7.000000 0.000000 0.000000

6 0.000000 0.000000 0.000000

7 3.000000 INFINITY 0.000000

8 5.000000 2.000000 3.000000

9 5.000000 INFINITY 3.000000

10 4.000000 INFINITY 4.000000

11 8.000000 INFINITY 8.000000

12 5.000000 INFINITY 5.000000

13 6.000000 INFINITY 4.000000

Optimasi dengan Excel, dengan input :

A B C D E F


2 c12 100 u12 10 =-B12+B13+B14+B15

3 c23 105 u23 3 =-B13-B17-B18+B16

4 c24 90 u24 5 =-B14-B16-B19+B17

5 c25 75 u24 5 =-B15+B18+B19

6 c34 110 u34 4

7 c43 80 u43 8

8 c53 85 u53 5

9 c54 100 u54 6

10

11 Decision Variables : Available Required

12 X12 10 10 3

13 X23 3 7

14 X24 5

15 X25 2

16 X34 0

17 X43 0

18 X53 0

19 X54 2

20

21 Total Cost =SUMPRODUCT(B2:B9;B12:B19)




- by changing cells : $B$12:$B$19 - subject to the constraints :

$B$12 =$D$12 → kendala persediaan

$B$12:$B$19 <=$D$2:$D$9 → kendala kapasitas



48

$F$12=0 → kendala keseimbangan di simpul-2

$F$3 =-$E$12 → kendala kebutuhan di simpul-3

$F$4 =-$E$13 → kendala kebutuhan di simpul-4

$F$5 =0 → kendala keseimbangan di simpul-5

- solve → perintah untuk melakukan

optimasi.



49


A B C D E F


2 c12 100 u12 10 0

3 c23 105 u23 3 -3

4 c24 90 u24 5 -7

5 c25 75 u24 5 0

6 c34 110 u34 4

7 c43 80 u43 8

8 c53 85 u53 5

9 c54 100 u54 6

10

11 Decision Variables : Available Required

12 X12 10 10 3

13 X23 3 7

14 X24 5

15 X25 2

16 X34 0

17 X43 0

18 X53 0

19 X54 2

20

21 Total Cost 2115

Contoh-10 : Financial Planning Model with Tax Considerations.

Winston-Salem Development Management (WSDM) sedang merencanakan investasinya untuk tiga tahun mendatang. Saat sekarang, WSDM memiliki dana sebesar 2 juta dollar untuk diinvestasikan. Dalam interval waktu enam bulan

pada tiga tahun mendatang, WSDM mengharapkan memperoleh penghasilan dari investasinya sebesar = $ 500,000 - $ 400,000 - $ 380,000 - $ 360,000 - $ 340,000 - $ 300,000.

Ada tiga proyek pengembangan pemukiman di mana WSDM diharapkan untuk berpartisipasi. Proyek pertama adalah The Foster City Development yang akan memberikan hasil selama tiga tahun mendatang (dalam interval waktu yang sama) sebesar = $ 3,000,000; - $ 1,000,000; - $ 1,800,000; $ 400,000; $

1,800,000; $ 1,800,000; dan pada akhir tahun ke tiga diestimasi bahwa nilai proyek = $ 5,500,000. Proyek kedua adalah perbaikan pemukiman masyarakat menengah ke bawah yang akan menghasilkan arus kas dalam tiga tahun mendatang sebagai berikut : $ 2,000,000; - $ 500,000; $ 1,500,000; $

1,500,000; $ 1,500,000; $ 200,000 dan - $ 1,000,000. Proyek ketiga adalah Disney Universe Hotel, yang akan menghasilkan arus kas sebagai berikut : - $ 2,000,000; - $ 2,000,000; - $ 1,800,000; $ 1,000,000; $ 1,000,000; dan

diestimasikan bahwa nilai proyek pada akhir tahun ketiga = $ 6,000,000.

WSDM bisa meminjam uang dengan interval waktu enam bulanan di mana tingkat bunga = 3,5% per setengah tahun. Dua juta dolar dapat dipinjam



50

sekaligus, dengan catatam bahwa saldo hutang tidak boleh melebihi $ 2,000,000.00. WSDM juga dapat menginvestasikan kelebihan dana (dalam bentuk dipinjamkan kepada pihak lain) dengan memperoleh bunga sebesar

3,00% per setengah tahun.

Formulasi persoalan tersebut di atas, bisa dimulai dengan memberikan notasi-notasi terhadap variabel-variabel keputusan :

F = tingkat partisipasi ke proyek Foster City, M = tingkat partisipasi ke proyek pemukiman menegah ke bawah, D = tingkat partisipasi ke proyek Disney Universe Hotel, Bi = jumlah pinjaman pada periode-i dalam ribuan dollar,

Li = jumlah yang dipinjamkan pada periode-i dalam ribuan dollar, Z = total penghasilan bersih setelah tiga tahun dalam ribuan doillar.

(untuk penyederhanaan, maka angka-angka ditulis dalam ribuan dollar).

Formula model dengan LINDO dapat ditulis sebagai berikut :

MAX Z

SUBJECT TO

2) 3000 F + 2000 M + 2000 D - B1 + L1 = 2000

3) 1000 F + 500 M + 2000 D + 1.035 B1 - 1.03 L1 - B2 + L2 = 500

4) 1800 F - 1500 M + 1800 D + 1.035 B2 - 1.03 L2 - B3 + L3 = 400

5) - 400 F - 1500 M - 1000 D + 1.035 B3 - 1.03 L3 - B4 + L4 = 380

6) - 1800 F - 1500 M - 1000 D + 1.035 B4 - 1.03 L4 - B5 + L5 = 360

7) - 1800 F - 200 M - 1000 D + 1.035 B5 - 1.03 L5 - B6 + L6 = 340

8) Z - 5500 F + 1000 M - 6000 D + 1.035 B6 - 1.03 L6 = 300

9) B1 <= 2000

10) B2 <= 2000

11) B3 <= 2000

12) B4 <= 2000

13) B5 <= 2000

14) B6 <= 2000

15) F <= 1

16) M <= 1

17) D <= 1

END

Solusi optimal yang dihasilkan setelah iterasi ke-9, adalah :



1) 7665.179


Z 7665.178711 0.000000

F 0.714341 0.000000

M 0.637210 0.000000

D 0.000000 452.381622

B1 1417.443359 0.000000

L1 0.000000 0.008788

B2 2000.000000 0.000000

L2 0.000000 0.334314

B3 2000.000000 0.000000

L3 0.000000 0.250957

B4 448.448975 0.000000

L4 0.000000 0.005304

B5 0.000000 0.005150

L5 2137.484131 0.000000



51

B6 0.000000 0.005000

L6 3954.864990 0.000000


2) 0.000000 1.819220

3) 0.000000 1.757701

4) 0.000000 1.381929

5) 0.000000 1.098031

6) 0.000000 1.060900

7) 0.000000 1.030000

8) 0.000000 1.000000

9) 582.556641 0.000000

10) 0.000000 0.327404

11) 0.000000 0.245466

12) 1551.551025 0.000000

13) 2000.000000 0.000000

14) 2000.000000 0.000000

15) 0.285659 0.000000

16) 0.362790 0.000000

17) 1.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 9

Sensitivitas hasil adalah :





Z 1.000000 INFINITY 1.000000

F 0.000000 3043.720947 454.595520

M 0.000000 644.820129 583.692078

D 0.000000 452.381531 INFINITY

B1 0.000000 0.008822 0.409697

L1 0.000000 0.008788 INFINITY

B2 0.000000 INFINITY 0.327404

L2 0.000000 0.334314 INFINITY

B3 0.000000 INFINITY 0.245466

L3 0.000000 0.250956 INFINITY

B4 0.000000 0.005304 0.162487

L4 0.000000 0.005304 INFINITY

B5 0.000000 0.005150 INFINITY

L5 0.000000 0.005150 0.222112

B6 0.000000 0.005000 INFINITY

L6 0.000000 0.005000 0.227864

RIGHTHAND SIDE RANGES



2 2000.000000 1415.854004 2526.244385

3 500.000000 775.555481 1887.036987

4 400.000000 1198.599121 942.752625

5 380.000000 448.448975 1551.551025

6 360.000000 INFINITY 2137.484131

7 340.000000 INFINITY 3954.864990

8 300.000000 INFINITY 7665.178711

9 2000.000000 INFINITY 582.556641

10 2000.000000 561.718079 1136.009033

11 2000.000000 1027.054443 296.852295

12 2000.000000 INFINITY 1551.551025



52

13 2000.000000 INFINITY 2000.000000

14 2000.000000 INFINITY 2000.000000

15 1.000000 INFINITY 0.285659

16 1.000000 INFINITY 0.362790

17 1.000000 INFINITY 1.000000

Dari solusi optimal, dihasilkan bahwa : penghasilan bersih maksimum dalam tiga

tahun mendatang $7,665,179.00. Dengan program Excel, input datanya adalah :

A B C D E

1 Uncontrollable and Parameters

2 F 1

3 M 1

4 D 1

5 B1 2000

6 B2 2000

7 B3 2000

8 B4 2000

9 B5 2000

10 B6 2000

11 L1

12 L2

13 L3

14 L4

15 L5

16 L6

17 Z

18

19 Decision Varaibles Constraints

20 F =3000*B20+2000*B21+2000*B22-B23+B29 2000

21 M =1000*B20+500*B21+2000*B22+1,035*B23-1,03*B29-B24+B30

500

22 D =1800*B20-1500*B21+1800*B22+1,035*B24-1,03*B30-B25+B31

400

23 B1 =-400*B20-1500*B21-1000*B22+1,035*B25-1,03*B31-B26+B32

380

24 B2 =-1800*B20-1500*B21-1000*B22+1,035*B26-1,03*B32-B27+B33

360

25 B3 =-1800*B20-200*B21-1000*B22+1,035*B27-1,03*B33-B28+B34

340

26 B4 =B35-5500*B20+1000*B21-6000*B22+1,035*B28-1,03*B34

300

27 B5

28 B6

29 L1

30 L2

31 L3

32 L4

33 L5

34 L6

35 Z



53




- by changing cells : $B$20:$B$35

- subject to the constraints : $B$20:$B$22 <=$B$2:$B$4 → kendala fraksional investasi

$B$23:$B$28 <=$B$5:$B$10 → kendala jumlah pinjaman

$C$20:$C$26 =$E$20:$E$26 → kendala return yang diharapkan

perusahaan

- solve → perintah optimasi.



54

A B C D E

1 Uncontrollable and Parameters

2 F 1

3 M 1

4 D 1

5 B1 2000

6 B2 2000

7 B3 2000

8 B4 2000

9 B5 2000

10 B6 2000

11 L1

12 L2

13 L3

14 L4

15 L5

16 L6

17 Z

18

19 Decision Varaibles Constraints

20 F 0,714341 2000 2000

21 M 0,637209 500 500

22 D 0 400 400

23 B1 1417,443 380 380

24 B2 2000 360 360

25 B3 2000 340 340

26 B4 448,4490 300 300

27 B5 0

28 B6 0

29 L1 0

30 L2 0

31 L3 0

32 L4 0

33 L5 2137,484

34 L6 3954,865

35 Z 7665,178



55

Contoh-11 : The Longer Boats Coy.Kasus :

The Longer Boats Yacth Company memproduksi tiga jenis papan surving : Sting, Ray dan Breaker. Berikut ini data harga jual, variable cost dan alokasi fixed cost untuk ketiga jenis papan surving pada periode yang akan datang :

Jenis Papan Surving

Harga Jual/Unit

($)

Biaya Variabel/Unit

($)

Alokasi Biaya Tetap ($)

Sting 10,000 5,000 5,000,000

Ray 7,500 3,600 3,000,000

Breaker 15,000 8,000 10,000,000

Total 18,000,000

Untuk periode yang akan datang, perusahaan menerima kontrak untuk memproduksi 700 unit Stings. Konsumen lain memesan Breaker sebanyak 400

unit, dan dari hasil survey pasar dapat diketahui bahwa paling banyak perusahaan harus memproduksi 300 unit Ray.

Perusahaan ingin mengetahui berapa produksi yang dapat mereka buat agar

perusahaan mencapai break even untuk ketiga jenis produk secara keseluruhan. Prinsip BEP adalah : Total Revenue = Total Cost. Untuk memformulasikan modelnya, notasi yang digunakan adalah : S = jumlah produksi Sting,

R = jumlah produksi Ray, dan B = jumlah produksi Breaker.

Pada BEP, berlaku hubungan : Total Revenue = Total Cost.

10.000 S + 7.500 R + 15.000 B = 5.000 S + 3.600 R + 8.000 B + 18.000.000

atau :

5.000 S + 3.900 R + 7.000 B = 18.000.000

Untuk kasus ini, perusahaan ingin meminimumkan total variabel cost (biaya ini

controllable terhadap jumlah produksi), dengan mempertahankan BEP dan permintaan masing-masing jenis produk.

Formula lengkapnya :

Zmin = 5.000 S + 3.600 R + 8.000 B

s/t. 5.000 S + 3.900 R + 7.000 B = 18.000.000 S > 700 R < 300

B > 400 S,R,B > 0

Penyelesaian dengan SOLVER dapat dilihat sebagai berikut :



56

Selanjutnya gunakan fasilitas solver sebagai berikut :

Hasil optimal Solver adalah :



57

S = 2.806 unit R = 300 unit B = 400 unit

Total Biaya Variabel = $ 18,310,000.00 Total Biaya Tetap = $ 18,000,000.00 BEP Total Penjualan = $ 36,310,000.00



58

Contoh-12 : The Bumbles Inc. Minicase (Production and Inventory

Control).

Bumles Inc., memberikan pelayanan pengecatan dengan tangan terhadap ceret

teh hasil produksi perusahaan lain. Setiap unit ceret membutuhkan 0.5 jam pengecatan. Perusahaan memiliki 30 orang tukang cat, dengan hari kerja Kamis, Jum’at dan Sabtu setiap minggunya. Selama sisa hari, kapasitas pabrik

digunakan untuk memproses produk lain. Tidak seluruh dari 30 orang tukang cat itu sibuk, tetapi jika mereka bekerja maka kebutuhan waktu kerjanya adalah 8 jam kerja/hari dalam 2 hari kerja/minggu. Seorang tukang cat dirancang bekerja dan dibayar dengan dasar 16 jam kerja dalam dua hari berturut-turut, walaupun

ia tidak benar-benar bekerja dalam waktu sejumlah itu. Jika tidak cukup kesibukan untuk mempekerjakan seluruh tukang cat, maka waktu menganggurnya digunakan untuk pekerjaan lain, seperti : pembersihan bengkel kerja.

Penghasilan ceret = $ 15.00/unit (tanpa mempertimbangkan biaya tenaga kerja). Setiap permintaan harus segera dilayani pada saat pesanan itu datang, jika tidak maka pekerjaan itu menjadi batal (dianggap sebagai kerugian) dan

menimbulkan biaya penalty sebesar $ 1.00/unit jika terjadi pada hari Kamis, $ 3.00/unit untuk hari Jum;at dan $ 5.00/unit untuk hari Sabtu. Produksi pada suatu hari tertentu dapat digunakan untuk memenuhi pesanan yang datang hari itu atau juga untuk memenuhi pesanan pada hari lain dalam minggu yang sama.

Untuk proses lanjutan, (setelah pengecatan adalah pemberian ukiran pada ceret) yang dilakukan pada hari kerja Senin, Selasa dan Rabu, seluruh ceret yang telah dicat harus dikrim kepada pemesan dalam minggu yang bersangkutan (sehingga

tidak pernah ada persediaan ceret pada Kamis pagi pada gudang Bumbles). Biaya persediaan adalah $ 0.50/unit/hari.

Upah tukang cat = $ 8.00/jam. Permintaan untuk pengecatan adalah : 100 unit pada hari Kamis, 300 unit pada hari Jum’at dan 600 unit pada hari Sabtu.

Notasi untuk pesanan atau permintaan adalah DT = jumlah pesanan pada hari Kamis, DF = jumlah pesanan pada hari Jum’at dan DS = jumlah pesanan pada hari Sabtu. Notasi untuk variabel-variabel lainnya :

Sx = sales pada hari-x,

Dx = permintaan pada hari-x, Lx = kerugian karena pembatalan pada hari-x, Px = produksi pada hari-x,

Ix = persediaan pada akhir hari-x. TF = adalah jumlah tukang cat yang bekerja pada hari Kamis-Jum’at, TS = adalah jumlah tukang cat yang bekerja pada hari Kamis-Sabtu, FS = adalah jumlah tukang cat yang bekerja pada hari Jum’at – Sabtu.

Pesanan pada hari-x = (penjualan pada hari-x) – (pembatalan pada hari-x) Produksi pada hari-x = (penjualan pada hari-x) + (persediaan pada akhir hari-x) - (persediaan awal pada hari-x)



59

Formulasi lengkap untuk kasus ini : Zmax = 15(ST + SF + SS) – 128 (TF + TS + FS) – 0.5(IT + IF) – (1.0 LT + 3.0 LF + 5.0

LS)

(penjualan) - (upah tukang cat) - (biaya simpan) - (biaya penalty kerugian)

s/t.

DT = 100 DF = 300 → kendala pesanan

DS = 600 - 8 TF – 8 TS + 0.5 PT < 0 - 8 TF – 8 FS + 0.5 PF < 0 → kendala jam kerja produksi

- 8 TS – 8 FS + 0.5 PS < 0 ST + IT – PT = 0 SF + IF – IT – PF = 0 → kendala keseimbangan persediaan

SS + IS – IF – PS = 0

IS = 0 → kendala yang menyatakan bahwa tidak pernah ada persediaan awal

pada hari Kamis.

ST + LT – DT = 0 SF + LF – DF = 0 → kendala yang menjelaskan hubungan pesanan - penjualan

SS + LS – DS = 0 yang dibatalkan karena tak terlayani

TF + TS + FS < 30 → kendala jumlah tukang cat

ST, SF, SS, TF, TS, FS, IT, IF, LT, LF, LS > 0

Penjelasan formulasi tersebut di atas adalah sebagai berikut : a. Fungsi tujuan.

Memaksimumkan total keuntungan. Total Keuntungan = Total Penjualan – Biaya Tukang Cat – Biaya Simpan - biaya penalty kerugian. 15(ST + SF + SS) – 128 (TF + TS + FS) – 0.5(IT + IF) – (1.0 LT + 3.0 LF

+ 5.0 LS) Angka 128 berasal dari upah tukang cat = 16 jam x $ 8.00 = $ 128.00

b. Kendala pesanan → sudah jelas.

c. Kendala jam kerja produksi.

Contoh, untuk Hari Kamis Tukang cat yang bekerja pada Hari Kamis – Jum’at dikalikan dengan 8 jam kerja = 8 TF. Tukang cat yang bekerja pada Hari Kamis – Sabtu dikalikan dengan 8 jam

kerja = 8 TS Jam kerja yang terpakai pada hari Kamis = jumlah produksi pada hari Kamis x 0.5 jam = 0.5 PT

Jumlah jam kerja yang terpakai pada hari Kamis < kapasitas jam kerja yang tersedia pada hari Kamis : 0.5 PT < 8 TF + 8 TS - 8 TF – 8 TS + 0.5 PT < 0, demikian pula pada hari-hari berikutnya.

d. Kendala keseimbangan persediaan. Contoh, untuk hari Kamis : Produksi hari Kamis = Penjualan hari Kamis + Persediaan akhir hari Kamis

–Persediaan awal hari Kamis



60

PT = ST + IT – IS → ST + IT – PT = 0, (dalam hal ini IS diasumsikan =

0), demikian pula pada hari-hari berikutnya . e. Kendala hubungan pesanan – penjualan yang dibatalkan.

Contoh, untuk hari Kamis : Pesanan hari Kamis = Penjualan hari Kamis + Pembatalan Penjualan hari Kamis. DT = ST + LT → ST + LT – DT = 0, demikian pula untuk hari-hari

berikutnya.

f. Kendala jumlah tukang cat → cukup jelas.



A B C D E F G H I

1 Contoh : The Bumles Inc.

2

3 Decision Variables :

4 PT =

5 PF =

6 PS =

7 ST =

8 SF =

9 SS =

10 TF =

11 TS =

12 FS =

13

14 Parameters and uncontrollable variables :

15 DT = 100

16 DF = 300

17 DS = 600

18 Revenue = $ 15.00 /unit

19 Cost of Painters $ 8.00 Work time (hour) 8 /day

20 IS = 0 Processing time 0.5 /unit

21 IT = =B4-B7+B20 Carrying Cost = $ 0.50 /unit/day

22 IF = =B5-B8+B21

23 LT = =B15-B7 Capacities usage Penalty Cost:

24 LF = =B16-B8 Thursday =-E19*(B10+B11)+E20*B4 Thursday $ 1.00

25 LS = =B17-B9 Friday =-E19*(B10+B12)+E20*B5 Friday $ 3.00

26 Number of painters = 30 Saturday =-E19*(B11+B12)+E20*B6 Saturday $ 5.00

27

28 Zmax = =B18*(B7+B8+B9)-B19*E19*2*(B10+B11+B12)-E21*(B21+B22)-H24*B23-H25*B24-H26*B25

Demand-Sales Relationship Inventory Balance :

29 Thursday =B7+B23-B15 Thursday =B7+B21-B4

30 Friday =B8+B22-B21-B5 Friday =B8+B22-B21-B5

31 Saturday =B9+B20-B22-B6 Saturday =B9+B20-B22-B6

32 Number of painters used

=B10+B11+B12



A B C D E F G H

1 Contoh : The Bumles Inc.

2 3 Decision Variables : 4 PT = 60

5 PF = 420

6 PS = 480

7 ST = 60

8 SF = 300

9 SS = 600 10 TF = 0

11 TS = 3.75

12 FS = 26.25

13

14 Parameters and uncontrollable variables :

15 DT = 100

16 DF = 300

17 DS = 600

18 Revenue = $ 15.00 /unit

19 Cost of Painters $ 8.00 Work time (hour) 8 /day

20 IS = 0 Processing time 0.5 /unit

21 IT = 0 Carrying Cost = $ 0.50 /unit/day 22 IF = 120 23 LT = 40 Capacities usage : Penalty Cost : 24 LF = 0 Thursday 0 Thursday $ 1.00 25 LS = 0 Friday 0 Friday $ 3.00 26 Capacity of painters = 30 Saturday 0 Saturday $ 5.00 27 28 Zmax = $ 10,460.00 Demand-Sales Relationship Inventory Balance : 29 Thursday 0 Thursday 0 30 Friday 0 Friday 0 31 Saturday 0 Saturday 0

32 Number of painters used 30



1

Hasil optimal dapat dilihat dari tabel di atas, adalah : Zmax* = $ 10,460.00

PT = produksi hari Kamis = 60 unit PF = produksi hari Jum’at = 420 unit

PS = produksi hari Sabtu = 480 unit ST = penjualan hari Kamis = 60 unit SF = penjualan hari Jum’at = 300 unit SS = penjualan hari Sabtu = 600 unit

TF = tukang cat yang bekerja hari Kamis – Jum’at = 0 orang TS = tukang cat yang bekerja hari Kamis – Sabtu = 3.75 orang FS = tukang cat yang bekerja hari Jum’at – Sabtu = 26.25 orang



2

DAFTAR PUSTAKA

Camm, Jeffrey, D., and James R. Evans, 1996, Management Sciense,

Modeling, Analysis and Interpretation, South Western

College Publishing, ITP.

Gould, Floyd Jerome, C. P. Schmidt and G.D Eppen, 1993, Introductory Management Science, Fourth Edition, Prentice Hall,

Engelwood Cliff, New Jersey.

Markland, Robert E., 1993, Topics in Management Science, Fivth Edition, John Wiley and Sons, New York.

Mathur, Kamlesh, and Daniel Solow, 1994, Management Science, The Art of

Decision Making, Prentice Hall, Engelwood Cliff, New Jersey.

Moore, Laurence, J., Sang M. Lee, and Bernard W. Taylor III, 1993, Management Science, Allyn and Bacon, Toronto.

Render, Barry and Ralph M. Stair, Jr., 1991, Quantitative Analysis for Management, Fourth Edition, Allyn and Bacon, Toronto.

Schrage, Linus, 1991, LINDO, An Optimization Modeling System, Fourth

Edition, The Scientific Press, South San Francisco – USA.