Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
KATA PENGANTAR
Dengan adanya kecenderungan perkembangan ilmu manajemen yang mengarah kepada pembuatan keputusan yang bersifat ilmiah (scientific), maka staf edukasi di FE –UNEJ khususnya Program Studi Manajemen, tidak bisa dihindari selayaknya mengikuti trend tersebut.
Mendefinisikan persoalan adalah kunci utama untuk memperoleh solusi yang tepat kepada persoalan yang dihadapi. Selanjutnya, salah satu upaya mencapai solusi optimal adalah dengan memanfaatkan scientific management sebagai alat
bantu bagi pembuat keputusan. Prosedur pembuatan keputusan yang dimaksud di sini adalah : memodelkan persoalan secara matematis, membuat penyelesaian matematis (solve), mengintepretasi hasil (solusi optimal) dan selanjutnya mengimplementasi menjadi keputusan setelah disesuaikan dengan kebijakan-
kebijakan managerial lainnya yang belum dilibatkan dalam model matematik. Inilah yang disebut pembuatan keputusan heuristik.
Penekanan tulisan ini adalah pada kontribusi penyelesaian (solve) dengan memanfaatkan program aplikasi komputer yang berkaitan dengan optimasi,
antara lain : LINDO, PM, QM, TORA, STROM dan QSB++. Namun dengan keterbatasan tersedianya program-program tersebut, maka perlu ada satu alternatif penyelesaian lain, yaitu dengan bantuan program EXCEL (Microsoft
Office) melalui fasilitas SOLVER. Namun untuk komparasi, di sini juga diperlihatkan hasil optimasi dengan program aplikasi LINDO atau PM.
Dengan program EXCEL yang merupakan program umum dan dimiliki oleh hampir semua pengguna komputer hitung, maka keterbatasan tersebut di atas
bisa dihindari.
Akhirnya, penulis maklum dengan banyaknya keterbatasan penulis dalam berbagai hal, diperkirakan kandungan dalam tulisan ini masih belum sempurna;
maka kritik positif sangat diharapkan. Harapan penulis adalah : tulisan ini akan berkembang dengan masukan-masukan siapapun yang berdedikasi. Terima kasih untuk itu.
Juni, 2004
Kamarul Imam
Dosen Jurusan Manajemen FE-UNEJ
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
1
TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL, LINDO DAN PM
1. Introduksi.
Teknik optimasi pada program linier dapat dilakukan dengan pendekatan grafis atau Simplex. Pendekatan Simplex dengan iterasi yang dikembangkan Dantzig, pada persoalan yang sederhana biasanya dikerjakan secara manual. Untuk persoalan yang lebih rumit, program komputer tentang optimasi seperti :
Computerized Model Operation Management (CMOM), Linear Integrated Discrete Optimizer (LINDO), WINGO, Quantitative Method (QM), Professional Method (PM), Production Operation Model (POM), Quantitative Systems for Businesses
(QSB), STORM dan TORA telah mampu menyelesaikannya. Persoalan timbul jika program aplikasi tersebut sulit ditemui. Sebuah alternatif program yang lebih umum adalah Microsoft Excel (under Windows) atau Lotus Versi 3.00 (under DOS atau under Windows). Solver adalah paket add-in pada Excel yang berfungsi
untuk optimasi dengan kendala (constraints). Untuk pemanfaatannya, perlu terlebih dahulu membuat formulasi model matematik untuk menghasilkan solusi optimal secara efisien. Prinsip kerja Solver adalah metode Simplex.
Solver dapat dimanfaatkan untuk optimasi model linier dan non linier. Namun
dalam pembahasan ini, Solver dibatasi untuk optimasi model linier mengingat model non linier sangat rumit dalam menuliskan data inputnya dalam spreadsheet. Keterbatasan dalam asumsi linieritas tersebut menyebabkan Solver
bekerja sempurna jika seluruh hubungan langsung maupun tidak langsung yang berpengaruh kepada fungsi obyektif, bersifat linier. Perlu diingat, banyak fungsi built in pada Excel yang melibatkan hubungan non linier, sehingga fungsi-fungsi tersebut tidak bermanfaat jika optimasi modelnya bersifat linier. Contoh :
- adanya persamaan yang bersifat eksponensial, - fungsi IF( ), ABS ( ) dan LOG ( ), serta - ratio, seperti (X/Y) atau perkalian (X*Y) pada variabel keputusan.
Hal tersebut dapat menimbulkan pelanggaran (violate) terhadap asumsi linieritas jika nilai fungsi obyektif dipengaruhi baik langsung maupun tak langsung melalui kendala.
2. Penggunaan Solver.
Paket add-in Solver meliputi dua program penting. Pertama, program Excel Visual Basic yang menterjemahkan model dalam spreadsheet ke dalam representasi internal yang digunakan oleh program kedua. Kedua, program di luar Excel yang merupakan program terpisah dan memanfaatkan sisa memory
yang digunakan Excel untuk optimasinya serta mengirimkan solusi optimal tersebut kepada program pertama untuk meng-update spreadsheet. Kedua program ini dikomunikasikan oleh program aplikasi interface milik Microsoft.
Selama penggunaan Solver, program Visual Basic akan bekerja terlebih dahulu untuk menulis model matematiknya dan berikutnya program kedua akan bekerja untuk menghasilkan optimasinya.
Langkah prosedural dalam penggunaan Solver adalah :
a. buatlah model matematik pada spreadsheet seperti biasa, dan bisa memanfaatkan what-if jika dirasa perlu untuk men-debug model,
b. jika tidak ada persoalan dalam penulisan model, maka model tersebut dapat
disimpan ke dalam file. Kemudian gunakan paket add-in Solver.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
2
c. Solver dan modul optimasinya akan masuk ke dalam memory komputer1. Setelah loading selesai, maka di layar akan muncul kotak dialog (dialog box) untuk mengumpulkan informasi dalam proses optimasi berikutnya,
d. setelah tahapan penentuan fungsi obyektif dan kendala selesai, maka tombol “Solve” dapat di-click.
e. Solver menterjemahkan model dan membuat optimasinya. Untuk persoalan LP
yang kecil, Solver membutuhkan waktu proses beberapa detik saja dan dapat lebih panjang waktunya untuk persoalan LP yang lebih besar,
f. dengan asumsi tidak terjadi error dalam modelnya, Solver akan menampilkan kotak dialog untuk hasil optimasinya,
g. pada tahap ini, proyeksi what-if bisa dilanjutkan untuk memperoleh hasil analisis sensitivitas.
Start
Build or retrieve the optimization model
SAVE YOUR WORKBOOK
Choose Solver in the TOOLS menu
Specify in Solver dialog box : 1. target cell be optimized
2. changing cells Modify 3. constraints model
In option Dialog, click “assume linear model” and click the OK button
Click on “Solve” button to begin optimization
Review Solver completion message
Do
Solver found the optimum
solution No ? Yes
Click “Keep Solver Solution” and click OK button
1 Penggunaan Solver dengan McIntosh, harus menambah alokasi memory sebesar 1 Mb agar kecepatan proses kerja Excel tidak menurun.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
3
3. Terminologi dalam Solver.
Terminologi dalam model LP berbeda dengan Solver. Berikut ini perbandingan terminologi antara model LP dengan Solver :
Tabel 1. Komparasi Terminologi Model LP dan Solver. No. Terminologi LP Solver
1 Objective function Target cell
2 Decision variables Changing cells
3 Constraints Constraints
4 Constraints function (LHS) Constraints cell reference
5 RHS Constraints
6 LP Model Assume Linear Model
4. Contoh Aplikasi.
Contoh-1 : Kombinasi Pakan Ternak.
Sebuah usaha penggemukan ayam potong menggunakan tiga jenis pakan ternak,
Grade 1, Grade 2 dan Grade 3. Biaya ketiga jenis pakan ternak tersebut per pon berturut-turut adalah sebagai berikut : $ 0.25, $ 0.10 dan $ 0.08.
Sebagai syarat nutrisi pakan ternak per hari adalah :
- kandungan kalsium minimal 10 gram,
- kandungan zat besi minimum 12 gram, - kandungan protein minimum 15 gram, - kandungan lemak maksimum 7.5 gram.
Kasus ini dapat diformulasikan sebagai model LP dengan tujuan meminimumkan biaya pakan ternak per hari melalui kombinasi penggunaan Grade 1, Grade 2 dan Grade 3.
Min. Z = 0.25 X1 + 0.10 X2 + 0.08 X3 → minimasi biaya kombinasi bahan
pakan ternak. s/t. 0.70 X1 + 0.80 X2 + 0.00 X3 > 10 → kandungan kalsium minimum.
0.90 X1 + 0.80 X2 + 0.80 X3 > 12 → kandungan zat besi minimum.
0.80 X1 + 1.50 X2 + 0.90 X3 > 15 → kandungan protein minimum.
0.50 X1 + 0.60 X2 + 0.40 X3 < 7.5 → kandungan lemak maksimum.
∀ Xi > 0
Dengan LINDO, persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut :
:min .25X1 + .10X2 + .08X3
? st
? .7X1 + .8X2 >= 10
? .9X1 + .8X2 + .8X3 >= 12
? .8X1 + 1.5X2 + .9X3 >= 15
? .5X1 + 0.6X2 + .4X3 <= 7.5
? end
:look all
MIN .25X1 + .10X2 + .08X3
SUBJECT TO
2) .7X1 + .8X2 >=10
3) .9X1 + .8X2 + .8X3 >=12
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
4
4) .8X1 + 1.5X2 + .9X3 >=15
5) .5X1 + .6X2 + .4X3 <=7.5
END
Hasil optimal dapat dilihat pada printout LINDO sebagai berikut :
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 2.59000000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 8.000000 .000000
X2 5.500000 .000000
X3 .500000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .0000000 -.310000
3) .0000000 -.670000
4) .1000000 .000000
5) .0000000 1.140000
NO. ITERATIONS= 4
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 .250000 INFINITY .142500
X2 .100000 .162857 INFINITY
X3 .080000 .177143 2.680000
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 10.000000 .137930 4.000000
3 12.000000 .054794 1.999999
4 15.000000 .099999 INFINITY
5 7.500000 1.000000 .016949
Printout ini menunjukkan bahwa tingkat optimal dapat dicapai setelah 4 kali iterasi, dengan Z min. = 2,59, dan X1 = 8, X2 = 5,50 dan X3 = 0,50. Analisis sensitivitas juga dihasilkan baik untuk koefisien fungsi tujuan maupun untuk
kapasitas sisi sebelah kanan (RHS).
Optimasi dengan Excel atau Lotus memang lebih rumit pada tahap menuliskan formulasi model sebagai inputnya (ini hanya membutuhkan latihan intensif);
tetapi untuk persoalan LP dengan variabel keputusan dan fungsi kendala yang lebih banyak, maka Excel atau Lotus lebih tidak terbatas kapasitas memorinya untuk menghasilkan solusi optimal.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
5
Solusi Excel melalui tahapan sebagai berikut :
(a) menuliskan formulasi model ke dalam sheet :
A B C D E F
1 Contoh-1 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables
4
5 Grade 1 2 3
6 Cost/lb 0.25 0.10 0.08 Minimum Maximum
7 Calc/lb 0.7 0.8 0 10
8 Iron/lb 0.9 0.8 0.8 12
9 Prot/lb 0.8 1.5 0.9 5
10 Fat/lb 0.5 0.6 0.4 7.5
11
12 Decision Variables
13
14 Grade 1 2 3
15 Quantity
16
17
18 Models Output :
19 Amount Excess
20 Calcium =$B$15*B7+$C$15*C7+$D$15*D7 =E7-B20
21 Iron =$B$15*B8+$C$15*C8+$D$15*D8 =E8-B21
22 Protein =$B$15*B9+$C$15*C9+$D$15*D9 =E9-B22
23 Amount Available
24 Fat =$B$15*B7+$C$15*C7+$D$15*D7 =F10-B24
25
26 Total Cost =$B$15*B7+$C$15*C7+$D$15*D7
Pada sheet tersebut, sel-sel yang dapat diubah (changing cells) adalah B15, C15 dan D15. Perubahan pada sel-sel tersebut akan merubah sel
yang ditentukan (set cell), B26. Jika sel C15 diisi dengan 8, maka sel B26 menjadi = 8 x 0.10 = 0.80.
(b) Untuk membuat optimasi sheet ini dapat digunakan fasilitas SOLVER pada Excel melalui proses sebagai berikut :
1. buatlah sheet tersebut di atas dengan format yang dicontohkan,
- parameters and uncontrollable variables, diisi sesuai dengan formulasi modelnya. Ini merupakan input optimasinya.
- decision variable : ada tiga jenis produk, yaitu Grade-1, Grade-2 dan Grade-3. Sel “quantity” di bawahnya merupakan yang dapat berubah sesuai dengan tingkat optimasinya (changing cells).
- models output :
Sel B20 : merupakan jumlah kandungan kalsium yang terpakai pada tingkat optimal. Formula yang dituliskan pada sel ini :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
6
=B$15*B7+C$15*C7+D$15*D7. Copy-kan sel ini kepada sel B21 dan B22. Untuk sel B24, tuliskan formula : = B$15*B10+C$15*C10+D$15*D10.
Sel B26 : merupakan total biaya optimal kombinasi bahan pakan ternak yang merupakan tujuan minimasi. Formulanya adalah B15*B6+C15*C6+D15*D6. Sel tersebut merupakan sel yang
diperuntukkan untuk biaya minimum (target cell). Tampilan di sheet1 pada program Excel adalah sebagai berikut :
2. gunakan fasilitas SOLVER (melalui TOOLS kemudian pilih SOLVER) :
- tentukan Set Target Cell : B26 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : B15:D15 → (changing cells)
- subject to the constraints : $B$15:$D$15 >=0 → kendala asas non negatif
$B20:$B$22 >=$E$7:$E$9 → kendala kalsium, zat besi dan
protein
$B24 <=$F$10 → kendala lemak
- solve → perintah untuk melakukan optimasi
Tampilan di program Excel adalah sebagai berikut :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
7
Hasil optimal Excel menunjukkan jawab yang sama dengan hasil optimal LINDO. Analisis sensitivitas dengan SOLVER bisa dilakukan dengan menggunakan fasilitas solve, pilih Report : Answer dan Sensitivity untuk melihat hasil optimal
dan sensitivitasnya.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
8
Microsoft Excel 10.0 Answer Report
Worksheet: [CONTOH SOLVER-1.xls]Sheet1
Report Created: 10/05/2003 7:06:55
Target Cell (Min)
Cell Name Original Value Final Value
$B$26 Total Cost Amount 0 2,5899999
Adjustable Cells
Cell Name Original Value Final Value
$B$15 Quantity 0 7,9999999
$C$15 Quantity 0 5,5000000
$D$15 Quantity 0 0,5000000
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$20 Calcium Amount 9,9999999 $B$20>=$E$7 Binding 0
$B$21 Iron Amount 12 $B$21>=$E$8 Binding 0
$B$22 Protein Amount 15,100000 $B$22>=$E$9 Not Binding 0,1000000
$B$24 Fat Amount 7,5 $B$24<=$F$10 Binding 0
$B$15 Quantity 7,9999999 $B$15>=0 Not Binding 7,9999999
$C$15 Quantity 5,5000000 $C$15>=0 Not Binding 5,5000000
$D$15 Quantity 0,5000000 $D$15>=0 Not Binding 0,5000000
Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report
Worksheet: [CONTOH SOLVER-1.xls]Sheet1
Report Created: 10/05/2003 7:06:55
Adjustable Cells
Final Reduced
Cell Name Value Gradient
$B$15 Quantity 7,999999975 0
$C$15 Quantity 5,500000018 0
$D$15 Quantity 0,500000004 0
Constraints
Final Lagrange
Cell Name Value Multiplier
$B$20 Calcium Amount 9,999999997 0,310000036
$B$21 Iron Amount 12 0,670000018
$B$22 Protein Amount 15,10000001 0
$B$24 Fat Amount 7,5 -1,140000044
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
9
Microsoft Excel 10.0 Limits Report
Worksheet: [CONTOH SOLVER-1.xls]Limits Report 1 Report Created: 10/05/2003 7:06:55
Target
Cell Name Value
$B$26 Total Cost Amount
2,5899999
Adjustable Lower Target Upper Target
Cell Name Value Limit Result Limit Result
$B$15 Quantity 7,9999999 7,9999999 2,5899999 7,9999999 2,5899999
$C$15 Quantity 5,5000000 5,5000000 2,5899999 5,5000000 2,5899999
$D$15 Quantity 0,5000000 0,5000000 2,5899999 0,5000000 2,5899999
A B C D E F
1 Contoh-1 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables
4
5 Grade 1 2 3
6 Cost/lb 0,25 0,1 0,08 Minimum Maximum
7 Calc/lb 0,7 0,8 0 10
8 Iron/lb 0,9 0,8 0,8 12
9 Prot/lb 0,8 1,5 0,9 15
10 Fat/lb 0,5 0,6 0,4 7,5
11
12 Decision Variables
13
14 Grade 1 2 3
15 Quantity 7,999999 5,500000 0,500000
16
17
18 Models Output
19 Amount Excess
20 Calcium 9,999999 2,92608E-4
21 Iron 12 4,79808E-4
22 Protein 15,10000 -0,100000
23 Amount Available
24 Fat 7,5 0
25
26 Total Cost 2,589999
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
10
Contoh-2 : Integer Programming.
Queen City Inc. memproduksi mesin cetak kue. Perencana produksi melihat bahwa dua jenis produk yang memberikan nilai tambah cukup signifikan, yaitu :
TopLathe (T) dan BigPress (B). Setiap unit mesin T membutuhkan 10 unit komponen, sedang setiap unit mesin B membutuhkan 7 unit komponen. Pada bulan ini perusahaan hanya dapat menyediakan komponen tersebut sebanyak 49
unit. Bagian penjualan diperkirakan cukup puas jika bagian produksi dapat menyiapkan minimal 5 unit mesin untuk dijual. Keuntungan/unit mesin T = $ 50,000 dan mesin B = $ 34,000.
Formulasi model untuk kasus ini adalah :
Max. Z = 50000 X1 + 34000 X2
s/t. 10 X1 + 7 X2 < 49 X1 + X2 > 5
∀ Xi > 0 dan integer.
Solusi dengan Excel adalah sebagai berikut :
A B C D E F
1 Contoh-2 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables 4
5 Components Profit/unit
6 TopLathe 10 50000 Total Required 5
7 BigPress 7 34000
8
9 Available 49
10
11
12 Decision Variables
13
14 Quantity
15 TopLathe
16 BigPress
17
18
19 Model Outputs :
20
21 TopLathe BigPress Total
22 Quantity =B15 =B16 =B22+C22
23 Components Used
=B6*B15 =B7*B16 =B23+C23
24 Profit =C6*B15 =C7*B16 =-B24+C24
Tampilan di sheet1 pada program Excel adalah sebagai berikut :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
11
Penjelasan :
Sel B22 adalah jumlah mesin TopLathe optimal, pada sel ini ditulis formulanya : = B15, sebagai hasil optimasi changing cell solver. Demikian pula sel C22 adalah
jumlah mesin BigPress optimal, pada sel ini ditulis formulanya : =B16.
Sel D22 adalah total kedua mesin, formula pada sel ini : = B22+C22.
Sel B23 adalah jumlah komponen yang digunakan untuk mesin TopLathe,
formulanya ditulis : =B6*B15, yaitu jumlah komponen yang dibutuhkan setiap unit mesin TopLathe dikali dengan jumlah optimal unit mesin TopLathe yang diproduksi. Untuk sel C23, formulanya : =B7*B16. Sel D23 adalah jumlah komponen yang digunakan untuk kedua mesin, formulanya : =B22+C22.
Sel B24 adalah total profit yang dihasilkan dari mesin TopLathe, formulanya : =C6*B15, yaitu profit/unit mesin TopLathe dikali dengan jumlah optimal unit mesin TopLathe yang diproduksi. Untuk sel C24, formulanya : =C7*B16. Sel D24 adalah total profit dari kedua mesin, formulanya : =B24+C24.
Berikutnya gunakan fasilitas Tools, pilih SOLVER.
- tentukan Set Target Cell : $D$24 → set cell
- equal to : Max → maksimasi
- by changing cells : $B$15:$B$16 → (changing cells)
- subject to the constraints :
$B$15:$D$16 >=0 → kendala asas non negatif
$B$15:$B$16 =integer → perintah nilai integer
$D$22 >=$F$6 → kendala penjualan
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
12
$D$23 <=$B$9 → kendala komponen
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Hasil optimal Excel menunjukkan jawab. Analisis sensitivitas tidak dibutuhkan dalam integer programming. Pilih pada Report : Answer saja. Printoutnya sebagai berikut :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
13
Hasil optimal juga bisa dilihat di sheet 1, sebagai berikut :
A B C D E F
1 Contoh-2 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables 4
5 Components Profit/unit
6 TopLathe 10 50000 Total Required 5
7 BigPress 7 34000
8
9 Available 49
10
11
12 Decision Variables
13
14 Quantity
15 TopLathe 0
16 BigPress 7
17
18
19 Model Outputs :
20
21 TopLathe BigPress Total
22 Quantity 0 7 7
23 Components Used
0 49 49
24 Profit 0 238000 238000
X1 = 0, X2 = 7 Total Profit = 238000.
Dengan aplikasi LINDO, solusi optimal menunjukkan hasil yang sama :
MAX 50000 X1 + 34000 X2
SUBJECT TO
2) 10 X1 + 7 X2 <= 49
3) X1 + X2 >= 5
END
GIN 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 238000.0
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 -50000.000000
X2 7.000000 -34000.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 2.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 29
BRANCHES= 7 DETERM.= 1.000E 0
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
14
Contoh-3 : Goal Programming
Berikut ini contoh Goal Programming untuk persoalan optimasi portfolio. Seorang investor portfolio selalu berorientasi kepada resiko investasi total yang minimum.
beberapa teori mengenai portfolio seperti Capital Assets Pricing Model (CAPM) dan Arbitrate Pricing Theory (APT), telah dikembangkan dengan tujuan mengukur rata-rata resiko portfolio dan sensitivitas setiap elemen investasi portfolio
terhadap faktor resiko tertentu dalam model yang bersifat linier. Kasus untuk contoh-2 adalah :
Seorang investor bermaksud mengalokasikan uang sebesar $ 200,000.00 ke dalam suatu portfolio yang terdiri atas : asuransi jiwa (life insurance), obligasi
(bond mutual fund), saham (stock mutual fund) dan tabungan (savings). Ekspektasi return masing-masing per tahun = 6%, 6,5%, 11% dan 4%. Ia membuat batas investasi pada setiap elemen portfolio-nya sebagai berikut :
Tabel 2. Batas Investasi Elemen Portfolio.
No. Assets Lower Bound Upper Bound
1 Life insurance $ 5,000 $ 10,000
2 Bond $ 60,000 -
3 Stock $ 30,000 -
4 Savings - -
Ia juga mempertimbangkan dua jenis resiko yang mungkin diperoleh, yaitu : inflasi yang tidak diharapkan dan penyebaran (spread) tingkat bunga jangka
panjang dan jangka pendek. Kedua jenis faktor resiko tersebut dan target yang bisa ia terima adalah :
Tabel 3. Target Faktor Inflasi dan Interest Spread.
Assets Factor
1 2 3 4
Target
Inflation -0,50 1,80 2,10 -0,30 1,00
Int. Spread 0,40 -0,50 0,00 -1,10 0,00
Investor memprioritaskan berdasar urutan kepentingan tujuan-tujuan yang harus ia capai, yaitu :
(1) tidak melanggar ketentuan batasan dana pada setiap elemen portfolio,
(2) tidak melanggar target resiko, dan (3) memaksimumkan return portfolio.
Kasus ini dapat disolusi dengan programa tujuan ganda (multiple goals
programming), dengan formulasi model sebagai berikut :
Min Z = P1(d1- + d2
+ + d3- + d4
-) + P2(d5+ + d6
+) + P3(d7-)
s/t. X1 + d1
- - d1+ = 5.000 (1)
X1 + d2- - d2
+ = 10.000 (2) X2 + d3
- - d3+ = 60.000 (3)
X3 + d4- - d4
+ = 30.000 (4)
-0,50X1 + 1,80 X2 + 2,10 X3 – 0,30 X4 + d5- - d5
+ = 200.000 (5) 0,40 X1 – 0,50 X2 + 0,00 X3 – 1,10 X4 + d6
- - d6+ = 0 (6)
0,06 X1 + 0,065 X2 + 0,11 X3 + 0,04 X4 + d7- - d7
+ = 22.000 (7) X1 + X2 + X3 + X4 = 200.000 (8)
∀ Xi, di+/- > 0
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
15
Penjelasan : - kendala no. 1 s/d. no. 4 adalah kendala yang berkaitan dengan batas
dana yang bisa diinvestasikan ke masing-masing elemen portfolio,
- kendala no. 5 adalah kendala yang berkaitan dengan tingkat inflasi. Target faktor inflasi yang bisaia terima = 1,00; maka total investasi portfolio tidak boleh melebihi 1 x $ 200,000 = $ 200,000,
- kendala no. 6 adalah kendala yang berkaitan dengan penyebaran tingkat bunga,
- kendala no. 7 adalah kendala yang berkaitan dengan return. Return/tahun yang tertinggi dari keempat elemen portfolio = 11%, maka total
return/tahun dari portfolio tidak bisa melebihi 11% x $ 200,000 = $ 22,000. tetapi investor menginginkan agar total return portfolio yang bisa ia terima lebih tinggi daripada jumlah tersebut.
- kendala no. 8 adalah kendala yang berkaitan dengan jumlah dana yang
tersedia untuk diinvestasikan ke dalam portfolio.
Program LINDO tidak bisa digunakan untuk mencapai solusi optimal, masalahnya adalah dengan adanya perbedaan prioritas dari masing-masing tujuan yang tidak
bisa dijelaskan secara pasti (absolute). Prioritas-1 hanya dikatakan jauh lebih penting daripada prioritas-2, demikian pula seterusnya (P1 >>>> P2 >>>> P3). Untuk itu dapat dilakukan solusi optimal dengan Excel. Sheet yang dibuat adalah sebagai berikut :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
16
A B C D E F G H I
1 Contoh-3 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables
4 Factors
5 Lower Bound Upper Bound
Inflation Interest Spread
Return
6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%
7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%
8 Stock Mutual Fund 30000 - 2,1 0 11%
9 Savings - - -0,3 -1,1 4%
10
11 Target 1 0
12
13 Budget 200000
14 Max. Return 11%
15
16
17 Decision Variables
18
19 Investment Deviations
20 Life Insurance d- d+
21 Bond Mutual Fund 1 0 =B20-B6 Insurance Lower Bound
22 Stock Mutual Fund 2 =C6-B20 0 Insurance Upper Bound
23 Savings 3 0 =B21-B7 Bonds Lower Bound
24 4 0 =B22-B8 Stocks Lower Bound
25 5 =E35-B35 0 Inflation Target
26 6 =E36-B36 0 Interest Rate Spread Target
27 7 0 =B37-E37 Return Target
28
29 Models Output :
30 Value Deviation Total Target
31 Insurance Lower Bound
=B20 =E21-F21 =B31+C31 =B6
32 Insurance Upper Bound
=B20 =E22-F22 =B32+C32 =C6
33 Bonds Lower Bound =B21 =E23-F23 =B33+C33 =B7
34 Stocks Lower Bound =B22 =E24-F24 =B34+C34 =B8
35 Inflation Target =D6*B20+D7*B21+D8*B22+D9*B23
=E25-F25 =B35+C35 =D11*B13
36 Interest Spread Target
=E6*B20+E7*B21+E8*B22+E9*B23
=E26-F26 =B36+C36 =E11*B13
37 Return Target =F6*B20+F7*B21+F8*B22+F9*B23
=E27-F27 =B37+C37 =B13*B14
38
39 Total Investment =B20+B21+B22+B23
40
41 Priority-1 =E21+F22+E23+E24
42 Priority-2 =F25+F26
43 Priority-3 =E27
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
17
Penyelesaian dengan dengan Solver – Excel adalah sebagai berikut : a. Prioritas 1 :
- tentukan Set Target Cell : $B$41 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $B$20:$B$23 → (changing cells)
- subject to the constraints : $B$20:$B$23 >=0 → kendala asas non negatif
$B$31 >=$E$31 → kendala batas minimal investasi asuransi
$B$32 <=$E$32 → kendala batas maksimal investasi asuransi
$B$33 >=$E$33 → kendala batas minimal investasi obligasi
$B$34 >=$E$34 → kendala batas minimal investasi saham
$B$39 =$B$13 → kendala jumlah total dana
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Ini merupakan hasil optimal untuk Prioritas 1.
b. Prioritas 2 :
- tentukan Set Target Cell : $B$42 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $B$20:$B$23 → (changing cells)
- subject to the constraints : $B$20:$B$23 >=0 → kendala asas non negatif
$B$31 >=$E$31 → kendala batas minimal investasi asuransi
$B$32 <=$E$32 → kendala batas maksimal investasi asuransi
$B$33 >=$E$33 → kendala batas minimal investasi obligasi
$B$34 >=$E$34 → kendala batas minimal investasi saham
$B$39 =B$13 → kendala jumlah total dana
Tambahkan kendala baru yang berkaitan dengan Prioritas 2 : $B$35 <=$E$35 → kendala target inflasi
$B$36 <=$E$36 → kendala target spread suku bunga
$B$41 = 0 → kendala agar Prioritas 1 tetap minimum
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Pada dialog box, click “Keep Solver Solution”, agar solusi Prioritas 1
tidak berubah dengan adanya tambahan baris-baris kendala baru tersebut.
Ini merupakan hasil optimal untuk Prioritas 2.
c. Prioritas 3 :
- tentukan Set Target Cell : $B$43 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $B$20:$B$23 → (changing cells)
- subject to the constraints : $B$20:$B$23 >=0 → kendala asas non negatif
$B$31 >=$E$31 → kendala batas minimal investasi asuransi
$B$32 <=$E$32 → kendala batas maksimal investasi asuransi
$B$33 >=$E$33 → kendala batas minimal investasi obligasi
$B$34 >=$E$34 → kendala batas minimal investasi saham
$B$39 =B$13 → kendala jumlah total dana
$B$35 <=$E$35 → kendala target maksimal inflasi
$B$36 <=$E$36 → kendala target maksimal spread suku bunga
$B41 = 0 → kendala agar Prioritas 1 tetap minimum
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
18
Tambahkan kendala baru yang berkaitan dengan Prioritas 3 : $B42 = 0 → kendala agar Prioritas 2 tetap minimum
$B$37 >=$E$37 → kendala target minimal return
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Pada dialog box, click “Keep Solver Solution”, agar solusi Prioritas 1 dan
Prioritas 2 tidak berubah dengan adanya tambahan baris-baris kendala baru tersebut.
Ini merupakan hasil optimal untuk Prioritas 3.
Dari tabel-tabel hasil optimal Prioritas 1, Prioritas 2 dan Prioritas 3, tampak bahwa untuk persoalan pada Contoh 3 ini adalah sebagai berikut :
- Life Insurance = $ 10,000.00 - Bonds = $ 60,000.00
- Stocks = $ 56,666.67 Total Investment = $ 200,000.00 - Saving = $ 73,333.33
Return yang dicapai = $ 13,966.67; terjadi under target return sebesar = $
22,000.00 - $ 13,996.67 = $ 8.003.33
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
19
Hasil Optimal untuk Prioritas 1. A B C D E F G H I
1 Contoh-3 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables
4 Factors
5 Lower Bound
Upper Bound
Inflation Interest Spread
Return
6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%
7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%
8 Stock Mutual Fund 30000 - 2,1 0 11%
9 Savings - - -0,3 -1,1 4%
10
11 Target 1 0
12
13 Budget 200000
14 Max. Return 11%
15
16
17 Decision Variables
18
19 Investment Deviations
20 Life Insurance 10000 d- d+
21 Bond Mutual Fund 160000 1 0 5000 Insurance Lower Bound
22 Stock Mutual Fund 30000 2 0 0 Insurance Upper Bound
23 Savings 0 3 0 100000 Bonds Lower Bound
24 4 0 0 Stocks Lower Bound
25 5 -146000 0 Inflation Target
26 6 76000 0 Interest Rate Spread Target
27 7 0 -6900 Return Target
28
29 Models Output :
30 Value Deviation Total Target
31 Insurance Lower Bound 10000 -5000 5000 5000
32 Insurance Upper Bound 10000 0 10000 10000
33 Bonds Lower Bound 160000 -100000 60000 60000
34 Stocks Lower Bound 30000 0 30000 30000
35 Inflation Target 346000 -146000 200000 200000
36 Interest Spread Target -76000 76000 0 0
37 Return Target 15100 6900 22000 22000
38
39 Total Investment 200000
40
41 Priority-1 0
42 Priority-2 0
43 Priority-3 0
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
20
Hasil Optimal untuk Prioritas 2. A B C D E F G H I
1 Contoh-3 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables
4 Factors
5 Lower Bound
Upper Bound
Inflation Interest Spread
Return
6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%
7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%
8 Stock Mutual Fund 30000 - 2,1 0 11%
9 Savings - - -0,3 -1,1 4%
10
11 Target 1 0
12
13 Budget 200000
14 Max. Return 11%
15
16
17 Decision Variables
18
19 Investment Deviations
20 Life Insurance 5000 d- d+
21 Bond Mutual Fund 60000 1 0 0 Insurance Lower Bound
22 Stock Mutual Fund 30000 2 5000 0 Insurance Upper Bound
23 Savings 105000 3 0 0 Bonds Lower Bound
24 4 0 0 Stocks Lower Bound
25 5 63000 0 Inflation Target
26 6 143500 0 Interest Rate Spread Target
27 7 0 -10000 Return Target
28
29 Models Output :
30 Value Deviation Total Target
31 Insurance Lower Bound 5000 0 5000 5000
32 Insurance Upper Bound 5000 5000 10000 10000
33 Bonds Lower Bound 60000 0 60000 60000
34 Stocks Lower Bound 30000 0 30000 30000
35 Inflation Target 137000 63000 200000 200000
36 Interest Spread Target -143500 143500 0 0
37 Return Target 12000 10000 22000 22000
38
39 Total Investment 200000
40
41 Priority-1 0
42 Priority-2 0
43 Priority-3 0
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
21
Hasil Optimal untuk Prioritas 3. A B C D E F G H I
1 Contoh-3 :
2
3 Parameters and uncontrollable variables 4 Factors
5 Lower Bound
Upper Bound
Inflation Interest Spread
Return
6 Life Insurance 5000 10000 -0,5 0,4 6%
7 Bond Mutual Fund 60000 - 1,8 -0,5 7%
8 Stock Mutual Fund 30000 - 2,1 0 11%
9 Savings - - -0,3 -1,1 4%
10
11 Target 1 0
12
13 Budget 200000
14 Max. Return 11%
15
16
17 Decision Variables
18
19 Investment Deviations
20 Life Insurance 10000 d- d+
21 Bond Mutual Fund 60000 1 0 5000 Insurance Lower Bound
22 Stock Mutual Fund 56666,67 2 0 0 Insurance Upper Bound
23 Savings 73333,33 3 0 0 Bonds Lower Bound
24 4 0 26666,66 Stocks Lower Bound
25 5 -9,4674E- 0 Inflation Target
26 6 106666,6 0 Interest Rate Spread Target
27 7 0 -8033,33 Return Target
28
29 Models Output :
30 Value Deviation Total Target
31 Insurance Lower Bound
10000 -5000 5000 5000
32 Insurance Upper Bound
10000 0 10000 10000
33 Bonds Lower Bound 60000 0 60000 60000
34 Stocks Lower Bound 56666,67 -26666,67 30000 30000
35 Inflation Target 200000 -9,467E-08 200000 200000
36 Interest Spread Target
-106666,67 106666,67 0 0
37 Return Target 13966,67 8033,33 22000 22000
38
39 Total Investment 200000
40
41 Priority-1 0
42 Priority-2 0
43 Priority-3 0
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
22
Contoh-4 : Goal Programming
Tom Swenson pemilik J.R Swenson, sebuah perusahaan periklanan; telah membuat perjanjian kerja sama dengan perusahaan farmasi dalam rangka
mengiklankan produk baru, Mylonal, melalui media iklan TV dan radio. Total biaya promosi dibatasi sampai dengan $ 120,000.00. Klien J.R Swenson tersebut menginginkan bisa meraih berbagai kelas pemirsa maupun penyimak. Untuk
mengetahui seberapa jauh promosi melalui media tertentu, perusahaan agen iklan ini mengestimasikannya melalui dampak tingkat ketertarikan konsumen yang dituju. Ukurannya adalah peringkat perubahan (rated exposures), yaitu masyarakat yang diraih dalam setiap bulannya.
Berikut ini adata relevan untuk keperluan promosi produk baru tersebut :
Tabel 4. Pencapaian Konsumen Melalui Media Promosi (per $ 1,000.00).
Pencapaian Konsumen TV Radio
Total 14.000 6.000
Konsumen Berpenghasilan Tinggi 1.200 1.200
Melalui diskusi yang panjang dengan klien, Tom kemudian menentukan tujuan-tujuan (goals) dengan urutan prioritasnya yang harus diraih, yaitu :
a. total konsumen yang bisa diraih paling sedikit 840.000 orang,
b. untuk menjaga efektivitas hubungan dengan stasiun radio, perusahaan iklan ini membatasi pengeluaran promosi pada TV maksimal $ 90,000.00
c. ia juga menginginkan agar promosi tersebut dapat meraih paling sedikit
168.000 orang konsumen yang berpenghasilan tinggi, d. jika ketiga tujuan di atas bisa tercapai, ia menginginkan untuk bisa meraih
semaksimal mungkin jumlah pemirsa yang bisa diraih (ia beranggapan bahwa jika ia mengeluarkan biaya sebesar $ 120,000.00 pada media TV, pemirsa
yang bisa diraih adalah 120 x 14.000 = 1.680.000 orang).
Untuk memformulasikan modelnya, perlu ditentukan decision variable, yaitu X1 = ribuan dollars yang dikeluarkan melalui media TV, dan X2 = ribuan dollars yang dikeluarkan melalui media radio. Karena prioritas utama tujuannya adalah
pencapaian total pemirsa TV dan penyimak radio; maka ia menganggap bahwa fungsi obyektifnya adalah total pencapaian, sedang tujuan lain dianggap sebagai kendala.
Formulasi GP lengkap adalah sebagai berikut :
Min. Z = P1d1- + P2d2
+ + P3d3- + P4d4
- s/t. X1 + X2 < 120 � kendala total anggaran (dalam $ 1,000.00)
14000 X1 + 6000 X2 + d1- - d1
+ = 840000 � target total konsumen X1 + d2
- + d2- - d2
+ = 90 � kendala anggaran melalui media TV
1200 X1 + 1200 X2 + d3- - d3
+ = 168000 � target konsumen berpenghasilan
tinggi 14000 X1 + 6000 X2 + d4
- - d4+ = 1680000 � target maksimal total konsumen
∀ Xi, dj+/- > 0 � kendala logik.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
23
a. printout dengan program QM atau PM adalah :
Program : Goal Programming
Problem Title : Swenson J.T Minicase
***** Input data *****
Min Z = 1P1d-2 + 1P2d+3 + 1P3d-4 + 1P4d-5
Subject to
C1 1x1 + 1x2 <= 120
C2 14000x1 + 6000x2 + d-2 – d+2 = 840000
C3 1x1 + d-3 – d+3 = 90
C4 1200x1 + 1200x2 + d-4 – d+4 = 168000
C5 14000x1 + 6000x2 + d-5 – d+5 = 1680000
***** Program Output *****
Analysis of deviations
---------------------------------------------------------------------
Constraints RHS Value d+ d-
---------------------------------------------------------------------
C1 120.000 0.000 0.000
C2 840000.000 0.000 0.000
C3 90.000 0.000 0.000
C4 168000.000 0.000 24000.00
C5 1680000.000 0.000 240000.000
--------------------------------------------------------------
Analysis of decision variables
---------------------------------------------
Variable Solution Value
---------------------------------------------
X1 90.000
X2 30.000
-----------------------------------------
Analysis of objective function
---------------------------------------------
Priority Nonachievement
---------------------------------------------
P1 0.000
P2 0.000
P3 24000.000
P4 240000.000
-----------------------------------------
Analysis of Goal Conflicts
---------------------------------------------------------------------
Goal
Conflict
Relevant
Variable
Relevant
Column
Allowable
Increase
Allowable
Decrease
Marginal
Substitution
Rate
---------------------------------------------------------------------
Priority4 (d-5) 240000.00 8000.00
Priority2 (d+3) (d+3) 30.00 1.00
---------------------------------------------------------------------
***** End of Output *****
Hasil optimal menunjukkan bahwa X1 = pengeluaran biaya promosi melalui media TV sebesar $ 90,000.00 dan X2 = pengeluaran biaya promosi melalui
media radio = $ 30,000.00. Tujuan dengan prioritas-1 dan prioritas-2 tercapai seluruhnya. Prioritas-3 tidak tercapai sebesar 24.000 orang dan Prioritas-4 tridak tercapai sebesar 240.000 orang.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
24
Dengan X1 = 90 dan X2 = 30, maka pencapaian total konsumen untuk tujuan prioritas-1 = (90 x 14.000) + (30 x 6.000) = 1.440.000 orang, telah melebihi target minimal sebsar 840.000 orang.
Tujuan prioritas-2 tidak terlampaui, yaitu target biaya promosi media TV paling banyak $ 90,000.00; artinya target anggaran biayanya tidak terlampaui.
Tujuan prioritas-3, pencapaian konsumen berpenghasilan tinggi = (90 x1.200) +
(30 x 1.200) = 144.000 orang. Target pencapaian konsumen berpenghasilan tinggi adalah 168.000 orang, maka target yang tidak tercapai = 24.000 orang.
Tujuan prioritas-4, pencapaian semaksimal mungkin total konsumen hanya bisa = (90 x 14.000) + (30 x 6.000) = 1.440.000 orang, sedang target maksimal =
1.680.000 orang, maka target yang tidak tercapai = 240.000 orang.
Dengan aplikasi SOLVER pada Excel, dengan prosedur yang sama dengan Contoh-3 adalah sebagai berikut :
a. Feasible Region untuk Goal-1 :
A B C D E
1 Objective Function Decision Variable
2 =E3 Dollars on TV Dollars on Radio
Deviation Variable (d1-)
3 =D11-C11
4
5 Total Exposure per $ 1000 spent in 6 TV Radio
7 14000 6000
8
9 Constraints
10 Total Expenditures =SUM(C3:D3) 120
11 Goal 1 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7)
840000
- tentukan Set Target Cell : $C$11 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $C$3:$D$3 → (changing cells)
- subject to the constraints :
$C$10 <=$D$10 → kendala total anggaran
$C$11 >=$D$11 → kendala target total konsumen
$C$3:$D$3 >=0 → kendala non negatif
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-1.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
25
b. Feasible Region untuk Goal-2 :
A B C D E
1 Objective Function Decision Variable
2 =E3 Dollars on TV Dollars on Radio
Deviation Variable (d2+)
3 =SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7)-D12
4
5 Total Exposure per $ 1000 spent in
6 TV Radio
7 14000 6000
8
9 Constraints
10 Total Expenditures =SUM(C3:D3) 120
11 Goal 1 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7)
840000
12 Goal 2 =C3-E3 90
- tentukan Set Target Cell : $C$12 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $C$3:$D$3 → (changing cells)
- subject to the constraints : $C$10 <=$D$10 → kendala total anggaran
$C$11 >=$D$11 → kendala target total konsumen
$C$3:$D$3 >=0 → kendala non negatif
Tambahkan kendala Goal 1 = 0 dan kendala anggaran biaya media TV $C$11 = 0 $C12 <=$D$12 - solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-2.
c. Feasible Region untuk Goal-3 :
A B C D E
1 Objective Function Decision Variable
2 =E3 Dollars on TV Dollars on Radio
Deviation Variable (d3
-)
3 =D17-SUMPRODUCT (C3:D3;C11:D11)
4
5 Total Exposure per $ 1000 spent in
6 TV Radio
7 14000 6000
8
9 Upper Income Exposures per $ 1000 spent in
10 TV Radio
11 1200 1200
12
13 Constraints
14 Total Expenditures =SUM(C3:D3) 120
15 Goal 1 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7) 840000
16 Goal 2 =C3-E3 90
17 Goal 3 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C11:D11) 168000
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
26
Untuk Goal 3 tambahkan terlebih dahulu baris yang menjelaskan exposures upper income akibat pengeluaran biaya promosi pada media TV dan radio.
- tentukan Set Target Cell : $C$17 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $C$3:$D$3 → (changing cells)
- subject to the constraints : $C$14 <=$D$14 → kendala total anggaran
$C$15 >=$D$15 → kendala target total konsumen
$C$16 <=$D$16 → kendala anggaran biaya media TV
$C$3:$D$3 >=0 → kendala non negatif
$C$15 =0 → kendala Goal-1 = 0
Tambahkan kendala Goal 2 = 0 dan kendala upper income exposures $C$16 =0 $C$17 >=$D$17 → kendala upper income exposures
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-3.
d. Feasible Region untuk Goal-4 :
A B C D E
1 Objective Function Decision Variable
2 =E3 Dollars on TV Dollars on Radio
Deviation Variable (d4
-)
3 =D18-SUMPRODUCT (C3:D3;C7:D7)
4
5 Total Exposure per $ 1000 spent in
6 TV Radio
7 14000 6000
8
9 Upper Income Exposures per $ 1000 spent in
10 TV Radio
11 1200 1200
12
13 Constraints
14 Total Expenditures =SUM(C3:D3) 120
15 Goal 1 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7) 840000
16 Goal 2 =C3-E3 90
17 Goal 3 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C11:D11) 168000
18 Goal 4 =E3+SUMPRODUCT(C3:D3;C7:D7) 1680000
Untuk Goal 3 tambahkan terlebih dahulu baris yang menjelaskan exposures upper income akibat pengeluaran biaya promosi pada media TV dan radio.
- tentukan Set Target Cell : $C$18 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $C$3:$D$3 → (changing cells)
- subject to the constraints : $C$14 <=$D$14 → kendala total anggaran
$C$15 >=$D$15 → kendala target total konsumen
$C$16 <=$D$16 → kendala anggaran biaya media TV
$C$3:$D$3 >=0 → kendala non negatif
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
27
$C$15 =0 → kendala Goal-1 = 0
$C$16 =0 → kendala Goal-2 = 0
$C$17 >=$D$17 → kendala upper income exposures
Tambahkan kendala Goal 3 = 0 dan kendala maksimal total konsumen $C$17 =0 → kendala Goal-3 = 0
$C$18 >=$D$18 → kendala total konsumen maksimum
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Hasilnya merupakan solusi optimal untuk Prioritas-4.
Penyelesaian contoh-4 dengan Program PM di atas bisa juga dilihat, untuk dibandingkan dengan hasil solusi optimal Excel.
Contoh-5 : Integer Programming untuk MRP
The Schwindle Cycle Company memproduksi tiga jenis sepeda : (1) Unicycles
(U), (2) Reguler Bicycles (R) dan (3) Twinbikes (T). Setiap jenis produks dirakit dengan berbagai komponen, yaitu : seat (S), wheels (W), hubs (H), spokes (P), chains (C), dan links (L). Bills of materials (BOM) setiap jenis produk dapat dilihat pada product structure di bawah ini :
Persediaan awal = 0. Schwindle bermaksud mesuplai pasar dengan 100 unit U, 500 unit R dan 200 unit T. Produk jadi sepeda maupun komponen dapat dirakit
U
S(1) W(1)
H(1) P(36)
R
S(1) W(2)
H(1) P(36)
T
S(2) W(2)
H(1) P(36)
C(1)
L(84)
C(2)
L(84)
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
28
sendiri atau membeli ke produsen lain dengan biaya/unit seperti dalam tabel berikut :
Items U R T S W C H P L
Harga Beli
2.60 5.20 3.10 0.25 1.40 0.96 0.19 0.07 0.05
Biaya Merakit
1.04 1.16 1.90 0.20 0.22 0.26 0.16 0.04 0.03
Perlu dicatat, bahwa biaya perakitan adalah biaya langsung pada level perakitan tertentu dan tidak termasuk biaya-biaya komponen yang masuk ke level
perakitan yang bersangkutan.
Formulasi modelnya adalah :
Min. Z = 2.50 UB + 1.04 UM + 5.20 RB + 1.16 RM + 3.10 TB + 1.90 TM + 0.25
SB + 0.20 SM + 1.40 WB + 0.22 WM + 0.96 CB + 0.26 CM + 0.19 HB + 0.16 HM + 0.07 PB + 0.04 PM + 0.05 LB + 0.03 LM
s/t.
Unicycles : UM + UB = 100
Reguler : RM + RB = 500 Twinbike : TM + TB = 200 Seats : SM + SB = UM + RM + 2TM atau :
- UM – RM – 2 TM + SM + SB = 0 Wheels : WM + WB = UM + 2 RM + 2 TM atau :
- UM – 2 RM – 2 TM + WM + WB = 0 Chains : CM + CB = 2 TM + RM atau :
- 2 TM – RM + CM + CB = 0 Hubs : HM + HB = WM atau : - WM + HM + HB = 0 Spokes : PM + PB = 36 WM atau : - 36 WM + PM + PB = 0 Links : LM + LB = 84 CM atau : - 84 CM + LM + LB = 0
∀ variables > 0 dan integer.
Penulisan formulasi dan hasil solusi dengan LINDO tampak seperti di bawah ini :
MIN 2.6 UB + 1.04 UM + 5.2 RB + 1.16 RM + 1.9 TM + 3.1 TB + 0.2 SM +
0.25 SB + 0.22 WM + 1.4 WB + 0.26 CM + 0.96 CB + 0.19 HB + 0.16
HM + 0.07 PB + 0.04 PM + 0.07 LB + 0.03 LM
SUBJECT TO
2) UB + UM = 100
3) RB + RM = 500
4) TM + TB = 200
5) - UM - RM - 2 TM + SM + SB = 0
6) - UM - 2 RM - 2 TM + WM + WB = 0
7) - RM - 2 TM + CM + CB = 0
8) - WM + HB + HM = 0
9) - 36 WM + PB + PM = 0
10) - 84 CM + LB + LM = 0
END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 3440.000
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
29
VARIABLE VALUE REDUCED COST
UB 100.000000 0.000000
UM 0.000000 0.040000
RB 0.000000 0.080000
RM 500.000000 0.000000
TM 0.000000 3.920000
TB 200.000000 0.000000
SM 500.000000 0.000000
SB 0.000000 0.050000
WM 0.000000 0.000000
WB 1000.000000 0.000000
CM 0.000000 0.000000
CB 500.000000 0.000000
HB 0.000000 0.030000
HM 0.000000 0.000000
PB 0.000000 0.041667
PM 0.000000 0.011667
LB 0.000000 0.061667
LM 0.000000 0.021667
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -2.600000
3) 0.000000 -5.120000
4) 0.000000 -3.100000
5) 0.000000 -0.200000
6) 0.000000 -1.400000
7) 0.000000 -0.960000
8) 0.000000 -0.160000
9) 0.000000 -0.028333
10) 0.000000 -0.008333
NO. ITERATIONS= 9
Tampak dari solusi optimal bahwa : Total cost minimum = $ 3,440.00 Dengan komposisi produksi :
- pembelian unicycles (UB) untuk kemudian diberi merk perusahaan = 100
unit, - regular bicycles dirakit sendiri (RM) sebanyak 500 unit, - pembelian twinbikes (TB) untuk kemudian diberi merk perusahaan = 200
unit,
- akibatnya harus juga memproduksi seats (SM) sebanyak 500 unit untuk melengkapi 500 unit RM yang diproduksi,
- wheels harus dibeli (WB) sebanyak 1.000 unit untuk keperluan produksi
500 unit RM (dengan SUR = 2), - chains harus dibeli (CB) sebanyak 500 unit untuk keperluan 500 unit RM
(dengan SUR = 1).
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
30
Contoh-6 : Jaringan Distribusi
Sebuah perusahaan memiliki dua buah pabrik, A dan B; tiga buah gudang, X, Y dan Z; dan empat daerah pemasaran, 1, 2, 3 dan 4. Kebutuhan masing-masing
daerah pemasaran secara berurutan adalah : 3, 5, 4 dan 5 unit. Persediaan barang yang ada di pabrik A = 9 unit dan di pabrik B = 8 unit. Kapasitas simpan gudang dapat menerima seluruh pengiriman dari masing-masing pabrik.
Biaya pengiriman barang/unit dari pabrik ke gudang dan selanjutnya ke daerah pemasaran adalah :
1 5
2 7
9
6
3 7
1 8
2 7
4 4
Penulisan formula modelnya adalah : Zmin = AX + 2 AY + 3 BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7X2 + 9 Y1 + 6 Y2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4 s/t
AX + AY = 9 BX + BY + BZ = 8 X1 + X2 = AX + BX atau : - AX – BX + X1 + X2 = 0
Y1 + Y2 + Y3 = AY + BY atau : - AY – BY + Y1 + Y2 + Y3 = 0 Z2 + Z3 + Z4 = BZ atau : - BZ + Z2 + Z3 + Z4 = 0 - X1 – Y1 = -3 - X2 – Y2 – Z2 = -5
- Y3 – Z3 = -4 - Z4 = -5 ∀ variable > 0
Penulisan dan solusi optimal dengan LINDO adalah :
MIN AX + 2 AY + 3 BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7X2
+ 9 Y1 + 6 Y2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4
SUBJECT TO
2) AX + AY = 9
3) BX + BY + BZ = 8
4) - AX – BX + X1 + X2 = 0
5) - AY – BY + Y1 + Y2 + Y3 = 0
6) - BZ + Z2 + Z3 + Z4 = 0
7) - X1 – Y1 = -3
8) - X2 – Y2 – Z2 = -5
9) - Y3 – Z3 = -4
10) - Z4 = -5
END
1
2
3
4
X
Y
Z
A
B
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
31
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 121.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
AX 3.000000 0.000000
AY 6.000000 0.000000
BX 0.000000 3.000000
BY 3.000000 0.000000
BZ 5.000000 0.000000
X1 3.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
Y1 0.000000 5.000000
Y2 5.000000 0.000000
Y3 4.000000 0.000000
Z2 0.000000 3.000000
Z3 0.000000 1.000000
Z4 5.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -1.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 0.000000 1.000000
6) 0.000000 2.000000
7) 0.000000 5.000000
8) 0.000000 7.000000
9) 0.000000 8.000000
10) 0.000000 6.000000
NO. ITERATIONS= 4
Solusi optimal tercapai setelah 4 iterasi, dengan nilai total biaya pengiriman = $ 121.00.
Pengiriman Biaya Pengiriman
AX 3.000000 = 3 x $ 1 = $ 3.00
AY 6.000000 = 6 x $ 2 = $ 12.00
BX 0.000000 -
BY 3.000000 = 3 x $ 1.00 = $ 3.00
BZ 5.000000 = 5 x $ 2.00 = $ 10.00
X1 3.000000 = 3 x $ 5 = $ 15.00
X2 0.000000 -
Y1 0.000000 -
Y2 5.000000 = 5 x $ 6 = $ 30.00
Y3 4.000000 = 4 x $ 7 = $ 28.00
Z2 0.000000 -
Z3 0.000000 -
Z4 5.000000 = 5 x $ 4 = $ 20.00
Total $ 121.00
Dengan Excel, penulisan formula dalam sheet adalah :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
32
A B C D E F G H I J
1 Contoh-6 : Jaringan Distribusi.
2 Transportation Cost/Unit From Plants to Warehouses
3 From\ To
X Y Z
4 A 1 2 0
5 B 3 1 2
6
7 Transportation Cost/Unit Warehouses to Market Areas
8 From\ To
1 2 3 4
9 X 5 7 0 0
10 Y 9 6 7 0
11 Z 0 8 7 4
12
13 Shipments
14 From\ To
X Y Z 1 2 3 4 Total Available
15 A 0 0 0 0 0 =SUM(B15:H15)
9
16 B 0 0 0 0 =SUM(B16:H16)
8
17 X 0 0 0 0 0 =SUM(B17:H17)
18 Y 0 0 0 0 =SUM(B18:H18)
19 Z 0 0 0 0 =SUM(B19:H19)
20 Total 0 0 0 =SUM(E15:E19)
=SUM(F15:F19)
=SUM(G15:G19)
=SUM(H15:H19)
21 Required 3 5 4 5
22
23 Total Cost
24 From\ To
X Y Z 1 2 3 4
25 A =B15*B4
=C15*C4
0 0 0 0 0 =SUM(B25:H25)
26 B =B16*B5
=C16*C5
=D16*D5
0 0 0 0 =SUM(B26:H26)
27 X 0 0 0 =E17*B9
=F17*C9
0 0 =SUM(B27:H27)
28 Y 0 0 0 =E18*B10
=F18*C10
=G18*D10
0 =SUM(B28:H28)
29 Z 0 0 0 0 =F19*C11
=G19*D11
=H19*E11
=SUM(B29:H29)
30 Total Cost
=SUM(B25:B29)
=SUM(C25:C29)
=SUM(D25:D29)
=SUM(E25:E29)
=SUM(F25:F29)
=SUM(G25:G29)
=SUM(H25:H29)
=SUM(I25:I29)
Penjelasan : sel-sel berwarnakuning adalah sel infisibel.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
33
Dengan aplikasi SOLVER :
- tentukan Set Target Cell : $I$30 → set cell
- equal to : Min → minimasi - by changing cells : (� hanya sel-sel yang fisibel saja)
$B$15:$C$15;$B$16:$D$16;$E$17:$F$17;$E$18:$G$18;$F$19:$H$19 - subject to the constraints : $B$20 >=$I$17 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari X
$C$20 >=$I$18 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari Y
$D$20 >=$I$19 → kendala jumlah yang bisa dikirim dari Z
$E$20:$H$20 >=$E$21:$H$21 → kendala kebutuhan di daerah pasar
1, 2, 3 dan 4 $I$15:$I$16 <=$J$15:$J$16 → kendala jumlah yang bisa dikirim
dari A dan B - solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Pada option : assume linear model dan assume non negative.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
34
Solusi optimal dengan SOLVER dapat dilihat sebagai berikut :
A B C D E F G H I J
1 Contoh-6 : Jaringan Distribusi.
2 Transportation Cost/Unit From Plants to Warehouses
3 From\To X Y Z
4 A 1 2 0
5 B 3 1 2
6
7 Transportation Cost/Unit Warehouses to Market Areas
8 From\To 1 2 3 4
9 X 5 7 0 0
10 Y 9 6 7 0
11 Z 0 8 7 4
12
13 Shipments
14 From\To X Y Z 1 2 3 4 Total Available
15 A 8 1 0 0 0 0 0 9 9
16 B 0 3 5 0 0 0 0 8 8
17 X 0 0 0 3 5 0 0 8
18 Y 0 0 0 0 0 4 0 4
19 Z 0 0 0 0 0 0 5 5
20 Total 8 4 5 3 5 4 5
21 Required 3 5 4 5
22
23 Total Cost
24 From\To X Y Z 1 2 3 4
25 A 8 2 0 0 0 0 0 10
26 B 0 3 10 0 0 0 0 13
27 X 0 0 0 15 35 0 0 50
28 Y 0 0 0 0 0 28 0 28
29 Z 0 0 0 0 0 0 20 20
30 Total Cost
8 5 10 15 35 28 20 121
Solusi optimal pengiriman barang adalah : - dari pabrik A ke gudang X = 8 unit � biaya transport = 8 x $ 1.00 = $ 8.00 - dari pabrik A ke gudang Y = 1 unit � biaya transport = 1 x $ 2.00 = $ 2.00
- dari pabrik B ke gudang Y = 3 unit � biaya transport = 3 x $ 1.00 = $ 3.00 - dari pabrik B ke gudang Z = 5 unit � biaya transport = 5 x $ 2.00 = $ 10.00 - dari gudang X ke pasar 1 = 3 unit � biaya transport = 3 x $ 5.00 = $ 15.00
- dari gudang X ke pasar 2 = 5 unit � biaya transport = 5 x $ 7.00 = $ 35.00 - dari gudang Y ke pasar 3 = 4 unit � biaya transport = 4 x $ 7.00 = $ 28.00
- dari gudang Z ke pasar 4 = 5 unit � biaya transport = 5 x $ 4.00 = $ 20.00
Total biaya trasportasi = $ 121.00
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
35
Contoh-7 : Critical Path Method (PERT/CPM).
Dalam membangun sebuah rumah, aktivitas-aktivitas pokok seseuai dengan urutannya bisa dilihat pada tabel berikut :
Akitivtas Notasi Waktu Proses
(hari) Kegiatan Sebelumnya
Menggali Fondasi DIG 3 -
Fondasi FOUND 4 DIG
Cor Lantai Dasar POURB 2 FOUND
Plester Lantai JOISTS 3 FOUND
Tembok WALLS 5 FOUND
Rafter RAFTERS 3 WALLS, POURB
Keramik Lantai FLOOR 4 JOISTS
Interior ROUGH 6 FLOOR
Atap ROOF 7 RAFTERS
Penghalusan FINISH 5 ROUGH, ROOF
Halaman SCAPE 2 POURB, WALLS
Jaringan PERT/CPM yang bisa dibuat adalah :
Floor Rough 4 6 Joists 3 Dig Found 7 3 4 Pourb Roof 2 Finish 5 Walls 5 3 Rafters 2 Scape
Dengan catatan bahwa setiap aktivitas yang berada di critical path diberi nilai = 1 dan jika tidak, diberi nilai = 0. Tujuan optimasi CPM ini adalah
memaksimumkan panjang jaringan, sehingga pada fungsi tujuan dapat ditulis :
Z max. = 3 DIG + 4 FOUND + 2 POURB + 3 JOISTS + 5 WALLS + 3 RAFTERS + 4 FLOOR + 6 ROUGH + 7 ROFF + 5 FINISH + 2 SCAPE
Perlu dicatat, bahwa :
- kegiatan DIG pasti berada di jalur kritis, - suatu kegiatan berada di jalur kritis hanya jika kegiatan sebelumnya
berada di jalur kritis. Lebih jauh lagi, jika suatu kegiatan berada di jalur
kritis, maka pasti salah satu dari kegiatan-kegiatan lanjutannya berada di jalur kritis,
- salah satu kegiatan di akhir jaringan (Scape atau Finish) berada di jalur kritis.
Dari rasionalisasi tersebut, maka dapat dibuat kendala-kendala sebagai berikut :
s/t. - DIG = -1 � kendala yang menyatakan bahwa DIG berada di jalur kritis,
A B C
D
E
F
G
H
I
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
36
- FOUND + DIG = 0 � kendala yang menyatakan bahwa FOUND juga berada
di jalur kritis, - JOISTS – POURB – WALLS +FOUND = 0 � kendala yang menyatakan
bahwa salah satu dari kegiatan setelah FOUND (JOISTS, POURB, WALLS) berada di jalur kritis,
- FLOOR + JOISTS = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika JOISTS
berada di jalur kritis, maka FLOOR juga di jalur kritis, atau sebaliknya,
- RAFTERS – SCAPE + POURB + WALLS = 0 � kendala yang menyatakan
bahwa jika POURB atau WALLS berada di jalur kritis, maka RAFTERS atau SCAPE juga di jalur kritis, atau sebaliknya,
- ROUGH + FLOOR = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika FLOOR
berada di jalur kritis, maka ROUGH juga di jalur kritis, atau sebaliknya,
- ROOF + RAFTERS = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika RAFTERS
berada di jalur kritis, maka ROOF juga di jalur kritis, atau sebaliknya,
- FINISH + ROUGH + ROOF = 0 � kendala yang menyatakan bahwa jika
ROUGH atau ROOF berada di jalur kritis, maka FINISH juga
di jalur kritis, atau sebaliknya, + FINISH + SCAPE = +1 � kendala yang menyatakan bahwa FINISH atau
SCAPE berada di jalur kritis.
Penulisan formula model tersebut di atas dapat dituliskan dengan aplikasi program LINDO sebagai :
MAX 3 DIG + 4 FOUND + 2 POURB + 3 JOISTS + 5 WALLS + 3 RAFTERS
+ 4 FLOOR + 6 ROUGH + 7 ROFF + 5 FINISH + 2 SCAPE
SUBJECT TO
- DIG = -1
- FOUND + DIG = 0
- JOISTS – POURB – WALLS +FOUND = 0
- FLOOR + JOISTS = 0
- RAFTERS – SCAPE + POURB + WALLS = 0
- ROUGH + FLOOR = 0
- ROOF + RAFTERS = 0
- FINISH + ROUGH + ROOF = 0
+ FINISH + SCAPE = +1
END
Solusi optimal dicapai setelah iterasi ke-4 seperti di bawah ini :
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 27.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
DIG 1.000000 0.000000
FOUND 1.000000 0.000000
POURB 0.000000 3.000000
JOISTS 0.000000 0.000000
WALLS 1.000000 0.000000
RAFTERS 1.000000 0.000000
FLOOR 0.000000 0.000000
ROUGH 0.000000 2.000000
ROOF 1.000000 0.000000
FINISH 1.000000 0.000000
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
37
SCAPE 0.000000 13.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -7.000000
3) 0.000000 -4.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 0.000000 3.000000
6) 0.000000 5.000000
7) 0.000000 7.000000
8) 0.000000 8.000000
9) 0.000000 15.000000
10) 0.000000 20.000000
NO. ITERATIONS= 4
Tampak dari solusi optimal tersebut di atas, bahwa jalur kritis dari jaringan tersebut adalah : DIG � FOUND � WALLS � RAFTERS � ROOF � FINISH, dengan waktu 27 hari.
Solusi optimal dengan aplikasi program Excel tidak berbeda dengan solusi optimal LINDO. Berikut ini penulisan dengan Excel pada sheet :
A B C D E F G H I
1 Kebutuhan Waktu untuk Aktivitas (dalam hari)
2 DIG 3
3 FOUND 4 Total Waktu =SUMPRODUCT(B2:B12;B15:B25)
4 POURB 2
5 JOISTS 3
6 WALLS 5
7 RAFTERS 3
8 FLOOR 4
9 ROUGH 6
10 ROOF 7
11 FINISH 5
12 SCAPE 2
13
14 Variabel Keputusan
15 DIG =B15-B16
16 FOUND =+B16-B18-B17-B19
17 POURB =B18-B21
18 JOISTS =B19+B17-B20-B25
19 WALLS =B21-B22
20 RAFTERS =B20-B23
21 FLOOR =B22+B23-B24
22 ROUGH =B24+B25
23 ROOF =-B15
24 FINISH
25 SCAPE
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
38
Gunakan fasilitas SOLVER :
- tentukan Set Target Cell : $E$3 → set cell
- equal to : Max → maksimasi
- by changing cells : $B$15:$B$25
- subject to the constraints : $D$15:$D$21 =0 → kendala kemungkinan jalur kritis
$D$22 =1 → kendala FINISH atau SCAPE di jalur kritis
$D$23 =-1 → kendala DIG di jalur kritis
- solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Pada option : assume linear model dan assume non negative.
Solusi optimal yang dihasilkan adalah :
A B C D E F G H I
1 Kebutuhan Waktu untuk Aktivitas (dalam hari)
2 DIG 3
3 FOUND 4 Total Waktu 27
4 POURB 2
5 JOISTS 3
6 WALLS 5
7 RAFTERS 3
8 FLOOR 4
9 ROUGH 6
10 ROOF 7
11 FINISH 5
12 SCAPE 2
13
14 Variabel Keputusan
15 DIG 1 0
16 FOUND 1 0
17 POURB 0 0
18 JOISTS 0 0
19 WALLS 1 0
20 RAFTERS 1 0
21 FLOOR 0 0
22 ROUGH 0 1
23 ROOF 1 -1
24 FINISH 1
25 SCAPE 0
Dari solusi optimal tampak bahwa jalur kritis untuk jaringan adalah :
DIG � FOUND � WALLS � RAFTERS � ROOF � FINISH dengan waktu 27 hari.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
39
Contoh-8 : Programa Dinamis untuk Perencanaan Produksi
Sebuah perusahaan memproduksi sebuah jenis produk. Pola permintaan untuk empat musim mendatang adalah :
- spring : 20 unit, - summer : 30 unit, - autumn : 50 unit,
- winter : 60 unit.
Dengan asumsi seluruh permintaan bisa dipenuhi, ada dua kebijakan perusahaan yang penting untuk dipilih, yaitu :
a. produksi mengikuti pola permintaan dan tidak diperkenankan adanya
persediaan, b. memproduksi dengan tingkat yang stabil = 40 unit per musim dan
diperbolehkan adanya persediaan untuk mengantisipasi fluktuasi permintaan dari musim ke musim.
Ada biaya yang berkaitan dengan tingkat persediaan dan biaya yang berkaitan dengan tingkat produksi. Maka dapat dilakukan kombinasi antara kedua kebijakan tersebut di atas untuk meminimumkan biaya, misal : menyediakan
sedikit persediaan tetapi juga melakukan produksi dalam jumlah yang bervariasi.
Untuk perhitungan biaya, perusahaan memperkirakan bahwa perubahan tingkat produksi dari suatu periode ke periode berikutnya akan menimbulkan biaya = $ 500.00 per unit. Biaya ini sering disebut sebagai biaya “hiring dan firing”.
Perusahaan juga mengestimasikan bahwa biaya persediaan yang timbul adalah = $ 800.00 per unit pada setiap akhir periode. Persediaan awal pada saat sekarang = 0, dan tingkat produksi = 55 unit per musim.
Biaya yang timbul jika kebijakan ini digunakan (memproduksi = 55 unit setiap musim) dan tidak boleh ada persediaan, adalah :
$ 500.00 x (35 + 10 + 20 + 10 + 5) = $ 40,000.00
Di lain pihak, jika kebijakan tingkat produksi stabil yang dipilih, maka biaya yang
timbul adalah :
$ 800.00 x (20 + 30 + 20 + 0) = $ 56,000.00
Pemilihan optimal dapat dilakukan dengan LP.
Buat terlebih dahulu notasi untuk variabel keputusan :
Pi = jumlah unit produksi pada periode-i, di mana i = 1, 2, 3 dan 4,
Ii = jumlah unit persediaan pada akhir periode-I (ending inventory),
Ui = penambahan tingkat produksi antar periode i-1 dengan periode-i,
Di = penurunan tingkat produksi antar periode i-1 dengan periode-i.
Pi adalah variabel keputusan yang bersifat terbuka. Variabel ini sangat berguna untuk mendefinisikan variabel-variabel Ii, Ui dan Di, dengan demikian dapat dihitung biaya pada periode-periode mana saja pada saat diperlukan.
Tujuan optimasi adalah meminimumkan biaya per tahun, maka diupayakan biaya persediaan dan biaya perubahan tingkat produksi ditekan ke titik minimum. Total biaya persediaan adalah :
800 I1 + 800 I2 + 800 I3 + 800 I4
Biaya perubahan tingkat produksi :
500 U1 + 500 U2 + 500 U3 + 500 U4 + 500 D1 + 500 D2 + 500 D3 + 500 D4
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
40
Pada persoalan yang melibatkan periode ganda, akan timbul kendala keseimbangan bahan untuk setiap produk pada setiap periode. Yang dimaksud dengan keseimbangan bahan adalah : sumber = penggunaan. Secara tekstual
keseimbangan tersebut dapat diformulasikan :
Beginning Inventory + Production – Ending Inventory = Demand
Dalam bentuk matematis, kendala keseimbangan pada persoalan tersebut di atas
adalah :
P1 – I1 = 20 I1 + P2 – I2 = 30 I2 + P3 – I3 = 50
I3 + P4 = 60
Terlihat bahwa I0 dan I4 tidak muncul pada persamaan di atas, karena I0 = I4 = 0. Jika formula model ini diselesaikan seperti biasa, maka tidak ada keharusan untuk mengharuskan Ui, Di > 0. Solusinya semata-mata karena kebijakan
produksi, seperti : P1 = 20, P2 = 30, P3 = 50 dan P4 = 60.
Kebijakan ini mengimplikasikan peningkatan produksi pada akhir periode. Ini menyebabkan perlu adanya pengetatan terhadap U1, U2, U3 dan U4 untuk
mendapat nilai yang cocok, melalui kendala-kendala berikut :
U1 > P1 – 55 U2 > P2 – P1 U3 > P3 – P2
U4 > P4 – P3
Penurunan produksi juga tidak bisa dihitung dengan tepat, untuk itu perlu ditambahkan kendala-kendala berikut :
D1 > 55 – P1 D2 > P1 – P2 D3 > P2 – P3 D4 > P1 – P4
Dengan mempertimbangkan bahwa pada akhir musim winter tingkat produksi kembali ke 55 unit, maka tambahkan variabel U5 dan D5 untuk mengukur perubahan produksi pada akhir musim winter.
U5 > 55 – P4
D5 > P4 – 55
Untuk melengkapi formulasi, perlu ditambahkan strategi campuran, seperti berikut :
P1 = P2 = 25 P3 = P4 = 55
Sebelum diselesaikan, beberapa kendala bisa disederhanakan menjadi sebuah kendala, seperti :
U2 > P2 – P1 D2 > P1 – P2 menjadi sebuah kendala gabungan baru : U2 – D2 = P2 – P1
Pernyataan ini lebih bersifat ekonomis, dibanding matematis. Kegunaannya adalah lebih menekankan U2 = P2 – P1, jika P2 – P1 > 0 dan D2 = P1 – P2, jika P1 – P2 > 0. Dari sisi ekonomi, bisa diargumentasikan bahwa pada solusi optimal paling banyak salah satu dari U2 dan D2 > 0 di dalam kedua kendala di atas. Jika
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
41
U2 dan D2 > 0 di dalam formula gabungan, maka keduanya bisa direduksi menjadi suatu persamaan untuk mengurangi biaya tanpa melanggar kendala.
Formula model yang lengkap dapat dituliskan dengan LINDO sebagai :
MIN 800 I1 + 800 I2 + 800 I3 + 500 U1 + 500 U2 + 500 U3 + 500 U4
+ 500 D1 + 500 D2 + 500 D3 + 500 D4 + 500 U5 + 500 D5
SUBJECT TO
2) - I1 + P1 = 20
3) I1 - I2 + P2 = 30
4) I2 - I3 + P3 = 50
5) I3 + P4 = 60
6) U1 - D1 - P1 = - 55
7) U2 - D2 + P1 - P2 = 0
8) U3 - D3 + P2 - P3 = 0
9) U4 - D4 + P3 - P4 = 0
10) U5 - D5 + P4 = 55
END
Solusi optimal dicapai setelah iterasi 9 :
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 38000.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
I1 5.000000 0.000000
I2 0.000000 700.000000
I3 5.000000 0.000000
U1 0.000000 1000.000000
U2 0.000000 100.000000
U3 30.000000 0.000000
U4 0.000000 0.000000
D1 30.000000 0.000000
D2 0.000000 900.000000
D3 0.000000 1000.000000
D4 0.000000 1000.000000
U5 0.000000 800.000000
D5 0.000000 200.000000
P1 25.000000 0.000000
P2 25.000000 0.000000
P3 55.000000 0.000000
P4 55.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 900.000000
3) 0.000000 100.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 0.000000 -800.000000
6) 0.000000 500.000000
7) 0.000000 -400.000000
8) 0.000000 -500.000000
9) 0.000000 -500.000000
10) 0.000000 300.000000
NO. ITERATIONS= 9
P1 = produksi pada musim spring = 25 unit P2 = produksi pada musim summer = 25 unit P3 = produksi pada musim autumn = 55 unit
P4 = produksi pada musim winter = 55 unit
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
42
Items Spring Summer Autumn Winter
Beginning Inv. 0 5 0 5
Production 25 25 55 55
Ending Inv. 5 0 5 0
Demand 20 30 50 60
I1 = ending inventory pada periode 1 = 5 unit I2 = ending inventory pada periode 2 = 0 unit
I3 = ending inventory pada periode 3 = 5 unit I4 = ending inventory pada periode 4 = 0 unit D1 = penurunan produksi pada periode 1 dibanding periode 4 sebelumnya = 55 –
25 = 30 unit, D2 = penurunan produksi pada periode 2 dibanding periode 1 sebelumnya = 25 –
25 = 0 unit, D3 = tidak terjadi penurunan produksi pada periode 3 dibanding periode 2
sebelumnya, sebab dari 25 unit menjadi 55 unit, atau = 0 unit, D4 = tidak terjadi penurunan produksi pada periode 4 dibanding periode 3
sebelumnya = 55 – 55 = 0 unit. U1 = tidak terjadi peningkatan produksi pada periode 1 dibanding periode 4
sebelumnya, sebab dari 55 unit menjadi 25 unit, atau = 0 unit, U2 = peningkatan produksi pada periode 2 dibanding periode 1 sebelumnya = 25
– 25 = 0 unit,
U3 = peningkatan produksi pada periode 3 dibanding periode 2 sebelumnya, sebab dari 25 unit menjadi 55 unit = 30 unit,
U4 = tidak terjadi peningkatan produksi pada periode 4 dibanding periode 3 sebelumnya = 55 – 55 = 0 unit.
Total biaya yang ditimbulkan oleh pola produksi (dan akibatnya kepada persediaan akhir serta penurunan/peningkatan produksi antar periode) :
= 800 x (5 + 5) + 500 x (30) + 500 x (30) = $ 38,000.00.
Penyelesaian dengan Excel dimulai dengan menuliskan formula model sebagai berikut :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
43
A B C D E F
1 Uncontrollable Variables and Parameters
2 I1 800
3 I2 800
4 I3 800
5 U1 500
6 U2 500
7 U3 500
8 U4 500
9 D1 500
10 D2 500
11 D3 500
12 D4 500
13 U5 500
14 D5 500
15
16 Production Level
17 P1 P2 P3 P4
18
19
20 Decision Variables Constraints : RHS
21 I1 =-B21+A18 20
22 I2 =B21-B22+B18 30
23 I3 =B22-B23+C18 50
24 U1 =B23+D18 60
25 U2 =B24-B28-A18 -55
26 U3 =B25-B29+A18-B18 0
27 U4 =B26-B30+B18-C18 0
28 D1 =B27-B31+C18-D18 0
29 D2 =B32-B33+D18 55
30 D3
31 D4
32 U5
33 D5
34
35 Models Output :
36 Total Cost =SUMPRODUCT(B2:B14;B21:B33)
Gunakan fasilitas SOLVER :
- tentukan Set Target Cell : $B$36 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $B$21:$B$33;$A$18:$D$18 - subject to the constraints :
$D$21:$D$29=$F$21:$F$29 → kendala permintaan, perubahan
produksi dan persediaan - solve → perintah untuk melakukan optimasi.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
44
Solusi optimal yang dihasilkan adalah :
A B C D E F
1 Uncontrollable Variables and Parameters
2 I1 800
3 I2 800
4 I3 800
5 U1 500
6 U2 500
7 U3 500
8 U4 500
9 D1 500
10 D2 500
11 D3 500
12 D4 500
13 U5 500
14 D5 500
15
16 Production Level
17 P1 P2 P3 P4
18 25 25 55 55
19
20 Decision Variables Constraints : RHS
21 I1 5 20 20
22 I2 0 30 30
23 I3 5 50 50
24 U1 0 60 60
25 U2 0 -55 -55
26 U3 30 0 0
27 U4 0 0 0
28 D1 30 0 0
29 D2 0 55 55
30 D3 0
31 D4 0
32 U5 0
33 D5 0
34
35 Models Output :
36 Total Cost 38000
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
45
Contoh-9 : Transshipment Model.
Seymour Miles adalah manajer distribusi Zigwell Inc. Zigwell mendistribusikan traktor perata (crawler tractor), E-9; kepada lima propinsi. Pada saat sekarang
perusahaan memiliki 10 traktor di pusat gudang komponen-1 yang harus dikonstruksi di pabrik-3 dan-4, masing-masing 3 unit dan 7 unit.
Jaringan distribusi Zigwell adalah :
-3
c23
+10 c34 c43
c12 -7
c24 c53
c25 c54
Dari gambar jaringan ini, dapat diketahui bahwa ada empat jalur alternatif yang bisa dipilih untuk pendistribusi traktor adalah :
1 – 2 – 3, 1 – 2 – 4 – 3, 1 – 2 – 5 – 3 dan 1 – 2 – 5 – 4 – 3.
Biaya distribusi/unit, cij dan kapasitas pengiriman, uij adalah :
c12 = 100 u12 = 10
c23 = 105 u23 = 3
c24 = 90 u24 = 5
c25 = 75 u25 = 5
c34 = 110 u34 = 4
c43 = 80 u43 = 8
c53 = 85 u53 = 5
c54 = 100 u54 = 6
Persoalan optimasi adalah : bagaimana bisa mengirim traktor sesuai dengan
kebutuhan di pabrik-3 dan pabrik-4 dengan biaya minimum. Formula model LP adalah :
Zmin = 100 X12 + 105 X23 + 90 X24 + 75 X25 + 110 X34 + 80 X43 + 85 X53 + 100 X54
s/t. X12 = 10 - X12 + X23 +X24 + X25 = 0
- X23 – X43 – X53 + X34 = -3 - X24 – X34 – X54 + X43 = -7 - X25 + X53 + X 54 = 0 0 < Xij < uij
3
4
5
2 1
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
46
Dengan LINDO formula model dan solusi optimal yang dihasilkan adalah :
MIN 100 X12 + 105 X23 + 90 X24 + 75 X25 + 110 X34 + 80 X43 + 80 X53
+ 100 X54
SUBJECT TO
2) X12 = 10
3) - X12 + X23 + X24 + X25 = 0
4) - X23 + X34 - X43 - X53 = - 3
5) - X24 - X34 + X43 - X54 = - 7
6) - X25 + X53 + X54 = 0
7) X23 <= 3
8) X24 <= 5
9) X25 <= 5
10) X34 <= 4
11) X43 <= 8
12) X53 <= 5
13) X54 <= 6
END
Solusi optimal dicapai setelah iterasi ke-3 :
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 2115.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X12 10.000000 0.000000
X23 3.000000 0.000000
X24 5.000000 0.000000
X25 2.000000 0.000000
X34 0.000000 40.000000
X43 0.000000 150.000000
X53 0.000000 50.000000
X54 2.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -205.000000
3) 0.000000 -105.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 0.000000 70.000000
6) 0.000000 -30.000000
7) 0.000000 0.000000
8) 0.000000 85.000000
9) 3.000000 0.000000
10) 4.000000 0.000000
11) 8.000000 0.000000
12) 5.000000 0.000000
13) 4.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X12 100.000000 INFINITY INFINITY
X23 105.000000 50.000000 40.000000
X24 90.000000 85.000000 INFINITY
X25 75.000000 40.000000 50.000000
X34 110.000000 INFINITY 40.000000
X43 80.000000 INFINITY 150.000000
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
47
X53 80.000000 INFINITY 50.000000
X54 100.000000 40.000000 85.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 10.000000 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000 0.000000
4 -3.000000 0.000000 0.000000
5 -7.000000 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000 0.000000
7 3.000000 INFINITY 0.000000
8 5.000000 2.000000 3.000000
9 5.000000 INFINITY 3.000000
10 4.000000 INFINITY 4.000000
11 8.000000 INFINITY 8.000000
12 5.000000 INFINITY 5.000000
13 6.000000 INFINITY 4.000000
Optimasi dengan Excel, dengan input :
A B C D E F
1 Uncontrollable Variables and Parameters
2 c12 100 u12 10 =-B12+B13+B14+B15
3 c23 105 u23 3 =-B13-B17-B18+B16
4 c24 90 u24 5 =-B14-B16-B19+B17
5 c25 75 u24 5 =-B15+B18+B19
6 c34 110 u34 4
7 c43 80 u43 8
8 c53 85 u53 5
9 c54 100 u54 6
10
11 Decision Variables : Available Required
12 X12 10 10 3
13 X23 3 7
14 X24 5
15 X25 2
16 X34 0
17 X43 0
18 X53 0
19 X54 2
20
21 Total Cost =SUMPRODUCT(B2:B9;B12:B19)
Gunakan fasilitas SOLVER :
- tentukan Set Target Cell : $B$21 → set cell
- equal to : Min → minimasi
- by changing cells : $B$12:$B$19 - subject to the constraints :
$B$12 =$D$12 → kendala persediaan
$B$12:$B$19 <=$D$2:$D$9 → kendala kapasitas
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
48
$F$12=0 → kendala keseimbangan di simpul-2
$F$3 =-$E$12 → kendala kebutuhan di simpul-3
$F$4 =-$E$13 → kendala kebutuhan di simpul-4
$F$5 =0 → kendala keseimbangan di simpul-5
- solve → perintah untuk melakukan
optimasi.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
49
Solusi optimal yang dihasilkan adalah :
A B C D E F
1 Uncontrollable Variables and Parameters
2 c12 100 u12 10 0
3 c23 105 u23 3 -3
4 c24 90 u24 5 -7
5 c25 75 u24 5 0
6 c34 110 u34 4
7 c43 80 u43 8
8 c53 85 u53 5
9 c54 100 u54 6
10
11 Decision Variables : Available Required
12 X12 10 10 3
13 X23 3 7
14 X24 5
15 X25 2
16 X34 0
17 X43 0
18 X53 0
19 X54 2
20
21 Total Cost 2115
Contoh-10 : Financial Planning Model with Tax Considerations.
Winston-Salem Development Management (WSDM) sedang merencanakan investasinya untuk tiga tahun mendatang. Saat sekarang, WSDM memiliki dana sebesar 2 juta dollar untuk diinvestasikan. Dalam interval waktu enam bulan
pada tiga tahun mendatang, WSDM mengharapkan memperoleh penghasilan dari investasinya sebesar = $ 500,000 - $ 400,000 - $ 380,000 - $ 360,000 - $ 340,000 - $ 300,000.
Ada tiga proyek pengembangan pemukiman di mana WSDM diharapkan untuk berpartisipasi. Proyek pertama adalah The Foster City Development yang akan memberikan hasil selama tiga tahun mendatang (dalam interval waktu yang sama) sebesar = $ 3,000,000; - $ 1,000,000; - $ 1,800,000; $ 400,000; $
1,800,000; $ 1,800,000; dan pada akhir tahun ke tiga diestimasi bahwa nilai proyek = $ 5,500,000. Proyek kedua adalah perbaikan pemukiman masyarakat menengah ke bawah yang akan menghasilkan arus kas dalam tiga tahun mendatang sebagai berikut : $ 2,000,000; - $ 500,000; $ 1,500,000; $
1,500,000; $ 1,500,000; $ 200,000 dan - $ 1,000,000. Proyek ketiga adalah Disney Universe Hotel, yang akan menghasilkan arus kas sebagai berikut : - $ 2,000,000; - $ 2,000,000; - $ 1,800,000; $ 1,000,000; $ 1,000,000; dan
diestimasikan bahwa nilai proyek pada akhir tahun ketiga = $ 6,000,000.
WSDM bisa meminjam uang dengan interval waktu enam bulanan di mana tingkat bunga = 3,5% per setengah tahun. Dua juta dolar dapat dipinjam
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
50
sekaligus, dengan catatam bahwa saldo hutang tidak boleh melebihi $ 2,000,000.00. WSDM juga dapat menginvestasikan kelebihan dana (dalam bentuk dipinjamkan kepada pihak lain) dengan memperoleh bunga sebesar
3,00% per setengah tahun.
Formulasi persoalan tersebut di atas, bisa dimulai dengan memberikan notasi-notasi terhadap variabel-variabel keputusan :
F = tingkat partisipasi ke proyek Foster City, M = tingkat partisipasi ke proyek pemukiman menegah ke bawah, D = tingkat partisipasi ke proyek Disney Universe Hotel, Bi = jumlah pinjaman pada periode-i dalam ribuan dollar,
Li = jumlah yang dipinjamkan pada periode-i dalam ribuan dollar, Z = total penghasilan bersih setelah tiga tahun dalam ribuan doillar.
(untuk penyederhanaan, maka angka-angka ditulis dalam ribuan dollar).
Formula model dengan LINDO dapat ditulis sebagai berikut :
MAX Z
SUBJECT TO
2) 3000 F + 2000 M + 2000 D - B1 + L1 = 2000
3) 1000 F + 500 M + 2000 D + 1.035 B1 - 1.03 L1 - B2 + L2 = 500
4) 1800 F - 1500 M + 1800 D + 1.035 B2 - 1.03 L2 - B3 + L3 = 400
5) - 400 F - 1500 M - 1000 D + 1.035 B3 - 1.03 L3 - B4 + L4 = 380
6) - 1800 F - 1500 M - 1000 D + 1.035 B4 - 1.03 L4 - B5 + L5 = 360
7) - 1800 F - 200 M - 1000 D + 1.035 B5 - 1.03 L5 - B6 + L6 = 340
8) Z - 5500 F + 1000 M - 6000 D + 1.035 B6 - 1.03 L6 = 300
9) B1 <= 2000
10) B2 <= 2000
11) B3 <= 2000
12) B4 <= 2000
13) B5 <= 2000
14) B6 <= 2000
15) F <= 1
16) M <= 1
17) D <= 1
END
Solusi optimal yang dihasilkan setelah iterasi ke-9, adalah :
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 7665.179
VARIABLE VALUE REDUCED COST
Z 7665.178711 0.000000
F 0.714341 0.000000
M 0.637210 0.000000
D 0.000000 452.381622
B1 1417.443359 0.000000
L1 0.000000 0.008788
B2 2000.000000 0.000000
L2 0.000000 0.334314
B3 2000.000000 0.000000
L3 0.000000 0.250957
B4 448.448975 0.000000
L4 0.000000 0.005304
B5 0.000000 0.005150
L5 2137.484131 0.000000
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
51
B6 0.000000 0.005000
L6 3954.864990 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 1.819220
3) 0.000000 1.757701
4) 0.000000 1.381929
5) 0.000000 1.098031
6) 0.000000 1.060900
7) 0.000000 1.030000
8) 0.000000 1.000000
9) 582.556641 0.000000
10) 0.000000 0.327404
11) 0.000000 0.245466
12) 1551.551025 0.000000
13) 2000.000000 0.000000
14) 2000.000000 0.000000
15) 0.285659 0.000000
16) 0.362790 0.000000
17) 1.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 9
Sensitivitas hasil adalah :
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
Z 1.000000 INFINITY 1.000000
F 0.000000 3043.720947 454.595520
M 0.000000 644.820129 583.692078
D 0.000000 452.381531 INFINITY
B1 0.000000 0.008822 0.409697
L1 0.000000 0.008788 INFINITY
B2 0.000000 INFINITY 0.327404
L2 0.000000 0.334314 INFINITY
B3 0.000000 INFINITY 0.245466
L3 0.000000 0.250956 INFINITY
B4 0.000000 0.005304 0.162487
L4 0.000000 0.005304 INFINITY
B5 0.000000 0.005150 INFINITY
L5 0.000000 0.005150 0.222112
B6 0.000000 0.005000 INFINITY
L6 0.000000 0.005000 0.227864
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 2000.000000 1415.854004 2526.244385
3 500.000000 775.555481 1887.036987
4 400.000000 1198.599121 942.752625
5 380.000000 448.448975 1551.551025
6 360.000000 INFINITY 2137.484131
7 340.000000 INFINITY 3954.864990
8 300.000000 INFINITY 7665.178711
9 2000.000000 INFINITY 582.556641
10 2000.000000 561.718079 1136.009033
11 2000.000000 1027.054443 296.852295
12 2000.000000 INFINITY 1551.551025
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
52
13 2000.000000 INFINITY 2000.000000
14 2000.000000 INFINITY 2000.000000
15 1.000000 INFINITY 0.285659
16 1.000000 INFINITY 0.362790
17 1.000000 INFINITY 1.000000
Dari solusi optimal, dihasilkan bahwa : penghasilan bersih maksimum dalam tiga
tahun mendatang $7,665,179.00. Dengan program Excel, input datanya adalah :
A B C D E
1 Uncontrollable and Parameters
2 F 1
3 M 1
4 D 1
5 B1 2000
6 B2 2000
7 B3 2000
8 B4 2000
9 B5 2000
10 B6 2000
11 L1
12 L2
13 L3
14 L4
15 L5
16 L6
17 Z
18
19 Decision Varaibles Constraints
20 F =3000*B20+2000*B21+2000*B22-B23+B29 2000
21 M =1000*B20+500*B21+2000*B22+1,035*B23-1,03*B29-B24+B30
500
22 D =1800*B20-1500*B21+1800*B22+1,035*B24-1,03*B30-B25+B31
400
23 B1 =-400*B20-1500*B21-1000*B22+1,035*B25-1,03*B31-B26+B32
380
24 B2 =-1800*B20-1500*B21-1000*B22+1,035*B26-1,03*B32-B27+B33
360
25 B3 =-1800*B20-200*B21-1000*B22+1,035*B27-1,03*B33-B28+B34
340
26 B4 =B35-5500*B20+1000*B21-6000*B22+1,035*B28-1,03*B34
300
27 B5
28 B6
29 L1
30 L2
31 L3
32 L4
33 L5
34 L6
35 Z
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
53
Gunakan fasilitas SOLVER :
- tentukan Set Target Cell : $B$35 → set cell
- equal to : Max → maksimasi
- by changing cells : $B$20:$B$35
- subject to the constraints : $B$20:$B$22 <=$B$2:$B$4 → kendala fraksional investasi
$B$23:$B$28 <=$B$5:$B$10 → kendala jumlah pinjaman
$C$20:$C$26 =$E$20:$E$26 → kendala return yang diharapkan
perusahaan
- solve → perintah optimasi.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
54
A B C D E
1 Uncontrollable and Parameters
2 F 1
3 M 1
4 D 1
5 B1 2000
6 B2 2000
7 B3 2000
8 B4 2000
9 B5 2000
10 B6 2000
11 L1
12 L2
13 L3
14 L4
15 L5
16 L6
17 Z
18
19 Decision Varaibles Constraints
20 F 0,714341 2000 2000
21 M 0,637209 500 500
22 D 0 400 400
23 B1 1417,443 380 380
24 B2 2000 360 360
25 B3 2000 340 340
26 B4 448,4490 300 300
27 B5 0
28 B6 0
29 L1 0
30 L2 0
31 L3 0
32 L4 0
33 L5 2137,484
34 L6 3954,865
35 Z 7665,178
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
55
Contoh-11 : The Longer Boats Coy.Kasus :
The Longer Boats Yacth Company memproduksi tiga jenis papan surving : Sting, Ray dan Breaker. Berikut ini data harga jual, variable cost dan alokasi fixed cost untuk ketiga jenis papan surving pada periode yang akan datang :
Jenis Papan Surving
Harga Jual/Unit
($)
Biaya Variabel/Unit
($)
Alokasi Biaya Tetap ($)
Sting 10,000 5,000 5,000,000
Ray 7,500 3,600 3,000,000
Breaker 15,000 8,000 10,000,000
Total 18,000,000
Untuk periode yang akan datang, perusahaan menerima kontrak untuk memproduksi 700 unit Stings. Konsumen lain memesan Breaker sebanyak 400
unit, dan dari hasil survey pasar dapat diketahui bahwa paling banyak perusahaan harus memproduksi 300 unit Ray.
Perusahaan ingin mengetahui berapa produksi yang dapat mereka buat agar
perusahaan mencapai break even untuk ketiga jenis produk secara keseluruhan. Prinsip BEP adalah : Total Revenue = Total Cost. Untuk memformulasikan modelnya, notasi yang digunakan adalah : S = jumlah produksi Sting,
R = jumlah produksi Ray, dan B = jumlah produksi Breaker.
Pada BEP, berlaku hubungan : Total Revenue = Total Cost.
10.000 S + 7.500 R + 15.000 B = 5.000 S + 3.600 R + 8.000 B + 18.000.000
atau :
5.000 S + 3.900 R + 7.000 B = 18.000.000
Untuk kasus ini, perusahaan ingin meminimumkan total variabel cost (biaya ini
controllable terhadap jumlah produksi), dengan mempertahankan BEP dan permintaan masing-masing jenis produk.
Formula lengkapnya :
Zmin = 5.000 S + 3.600 R + 8.000 B
s/t. 5.000 S + 3.900 R + 7.000 B = 18.000.000 S > 700 R < 300
B > 400 S,R,B > 0
Penyelesaian dengan SOLVER dapat dilihat sebagai berikut :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
56
Selanjutnya gunakan fasilitas solver sebagai berikut :
Hasil optimal Solver adalah :
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
57
S = 2.806 unit R = 300 unit B = 400 unit
Total Biaya Variabel = $ 18,310,000.00 Total Biaya Tetap = $ 18,000,000.00 BEP Total Penjualan = $ 36,310,000.00
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
58
Contoh-12 : The Bumbles Inc. Minicase (Production and Inventory
Control).
Bumles Inc., memberikan pelayanan pengecatan dengan tangan terhadap ceret
teh hasil produksi perusahaan lain. Setiap unit ceret membutuhkan 0.5 jam pengecatan. Perusahaan memiliki 30 orang tukang cat, dengan hari kerja Kamis, Jum’at dan Sabtu setiap minggunya. Selama sisa hari, kapasitas pabrik
digunakan untuk memproses produk lain. Tidak seluruh dari 30 orang tukang cat itu sibuk, tetapi jika mereka bekerja maka kebutuhan waktu kerjanya adalah 8 jam kerja/hari dalam 2 hari kerja/minggu. Seorang tukang cat dirancang bekerja dan dibayar dengan dasar 16 jam kerja dalam dua hari berturut-turut, walaupun
ia tidak benar-benar bekerja dalam waktu sejumlah itu. Jika tidak cukup kesibukan untuk mempekerjakan seluruh tukang cat, maka waktu menganggurnya digunakan untuk pekerjaan lain, seperti : pembersihan bengkel kerja.
Penghasilan ceret = $ 15.00/unit (tanpa mempertimbangkan biaya tenaga kerja). Setiap permintaan harus segera dilayani pada saat pesanan itu datang, jika tidak maka pekerjaan itu menjadi batal (dianggap sebagai kerugian) dan
menimbulkan biaya penalty sebesar $ 1.00/unit jika terjadi pada hari Kamis, $ 3.00/unit untuk hari Jum;at dan $ 5.00/unit untuk hari Sabtu. Produksi pada suatu hari tertentu dapat digunakan untuk memenuhi pesanan yang datang hari itu atau juga untuk memenuhi pesanan pada hari lain dalam minggu yang sama.
Untuk proses lanjutan, (setelah pengecatan adalah pemberian ukiran pada ceret) yang dilakukan pada hari kerja Senin, Selasa dan Rabu, seluruh ceret yang telah dicat harus dikrim kepada pemesan dalam minggu yang bersangkutan (sehingga
tidak pernah ada persediaan ceret pada Kamis pagi pada gudang Bumbles). Biaya persediaan adalah $ 0.50/unit/hari.
Upah tukang cat = $ 8.00/jam. Permintaan untuk pengecatan adalah : 100 unit pada hari Kamis, 300 unit pada hari Jum’at dan 600 unit pada hari Sabtu.
Notasi untuk pesanan atau permintaan adalah DT = jumlah pesanan pada hari Kamis, DF = jumlah pesanan pada hari Jum’at dan DS = jumlah pesanan pada hari Sabtu. Notasi untuk variabel-variabel lainnya :
Sx = sales pada hari-x,
Dx = permintaan pada hari-x, Lx = kerugian karena pembatalan pada hari-x, Px = produksi pada hari-x,
Ix = persediaan pada akhir hari-x. TF = adalah jumlah tukang cat yang bekerja pada hari Kamis-Jum’at, TS = adalah jumlah tukang cat yang bekerja pada hari Kamis-Sabtu, FS = adalah jumlah tukang cat yang bekerja pada hari Jum’at – Sabtu.
Pesanan pada hari-x = (penjualan pada hari-x) – (pembatalan pada hari-x) Produksi pada hari-x = (penjualan pada hari-x) + (persediaan pada akhir hari-x) - (persediaan awal pada hari-x)
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
59
Formulasi lengkap untuk kasus ini : Zmax = 15(ST + SF + SS) – 128 (TF + TS + FS) – 0.5(IT + IF) – (1.0 LT + 3.0 LF + 5.0
LS)
(penjualan) - (upah tukang cat) - (biaya simpan) - (biaya penalty kerugian)
s/t.
DT = 100 DF = 300 → kendala pesanan
DS = 600 - 8 TF – 8 TS + 0.5 PT < 0 - 8 TF – 8 FS + 0.5 PF < 0 → kendala jam kerja produksi
- 8 TS – 8 FS + 0.5 PS < 0 ST + IT – PT = 0 SF + IF – IT – PF = 0 → kendala keseimbangan persediaan
SS + IS – IF – PS = 0
IS = 0 → kendala yang menyatakan bahwa tidak pernah ada persediaan awal
pada hari Kamis.
ST + LT – DT = 0 SF + LF – DF = 0 → kendala yang menjelaskan hubungan pesanan - penjualan
SS + LS – DS = 0 yang dibatalkan karena tak terlayani
TF + TS + FS < 30 → kendala jumlah tukang cat
ST, SF, SS, TF, TS, FS, IT, IF, LT, LF, LS > 0
Penjelasan formulasi tersebut di atas adalah sebagai berikut : a. Fungsi tujuan.
Memaksimumkan total keuntungan. Total Keuntungan = Total Penjualan – Biaya Tukang Cat – Biaya Simpan - biaya penalty kerugian. 15(ST + SF + SS) – 128 (TF + TS + FS) – 0.5(IT + IF) – (1.0 LT + 3.0 LF
+ 5.0 LS) Angka 128 berasal dari upah tukang cat = 16 jam x $ 8.00 = $ 128.00
b. Kendala pesanan → sudah jelas.
c. Kendala jam kerja produksi.
Contoh, untuk Hari Kamis Tukang cat yang bekerja pada Hari Kamis – Jum’at dikalikan dengan 8 jam kerja = 8 TF. Tukang cat yang bekerja pada Hari Kamis – Sabtu dikalikan dengan 8 jam
kerja = 8 TS Jam kerja yang terpakai pada hari Kamis = jumlah produksi pada hari Kamis x 0.5 jam = 0.5 PT
Jumlah jam kerja yang terpakai pada hari Kamis < kapasitas jam kerja yang tersedia pada hari Kamis : 0.5 PT < 8 TF + 8 TS - 8 TF – 8 TS + 0.5 PT < 0, demikian pula pada hari-hari berikutnya.
d. Kendala keseimbangan persediaan. Contoh, untuk hari Kamis : Produksi hari Kamis = Penjualan hari Kamis + Persediaan akhir hari Kamis
–Persediaan awal hari Kamis
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
60
PT = ST + IT – IS → ST + IT – PT = 0, (dalam hal ini IS diasumsikan =
0), demikian pula pada hari-hari berikutnya . e. Kendala hubungan pesanan – penjualan yang dibatalkan.
Contoh, untuk hari Kamis : Pesanan hari Kamis = Penjualan hari Kamis + Pembatalan Penjualan hari Kamis. DT = ST + LT → ST + LT – DT = 0, demikian pula untuk hari-hari
berikutnya.
f. Kendala jumlah tukang cat → cukup jelas.
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
A B C D E F G H I
1 Contoh : The Bumles Inc.
2
3 Decision Variables :
4 PT =
5 PF =
6 PS =
7 ST =
8 SF =
9 SS =
10 TF =
11 TS =
12 FS =
13
14 Parameters and uncontrollable variables :
15 DT = 100
16 DF = 300
17 DS = 600
18 Revenue = $ 15.00 /unit
19 Cost of Painters $ 8.00 Work time (hour) 8 /day
20 IS = 0 Processing time 0.5 /unit
21 IT = =B4-B7+B20 Carrying Cost = $ 0.50 /unit/day
22 IF = =B5-B8+B21
23 LT = =B15-B7 Capacities usage Penalty Cost:
24 LF = =B16-B8 Thursday =-E19*(B10+B11)+E20*B4 Thursday $ 1.00
25 LS = =B17-B9 Friday =-E19*(B10+B12)+E20*B5 Friday $ 3.00
26 Number of painters = 30 Saturday =-E19*(B11+B12)+E20*B6 Saturday $ 5.00
27
28 Zmax = =B18*(B7+B8+B9)-B19*E19*2*(B10+B11+B12)-E21*(B21+B22)-H24*B23-H25*B24-H26*B25
Demand-Sales Relationship Inventory Balance :
29 Thursday =B7+B23-B15 Thursday =B7+B21-B4
30 Friday =B8+B22-B21-B5 Friday =B8+B22-B21-B5
31 Saturday =B9+B20-B22-B6 Saturday =B9+B20-B22-B6
32 Number of painters used
=B10+B11+B12
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
A B C D E F G H
1 Contoh : The Bumles Inc.
2 3 Decision Variables : 4 PT = 60
5 PF = 420
6 PS = 480
7 ST = 60
8 SF = 300
9 SS = 600 10 TF = 0
11 TS = 3.75
12 FS = 26.25
13
14 Parameters and uncontrollable variables :
15 DT = 100
16 DF = 300
17 DS = 600
18 Revenue = $ 15.00 /unit
19 Cost of Painters $ 8.00 Work time (hour) 8 /day
20 IS = 0 Processing time 0.5 /unit
21 IT = 0 Carrying Cost = $ 0.50 /unit/day 22 IF = 120 23 LT = 40 Capacities usage : Penalty Cost : 24 LF = 0 Thursday 0 Thursday $ 1.00 25 LS = 0 Friday 0 Friday $ 3.00 26 Capacity of painters = 30 Saturday 0 Saturday $ 5.00 27 28 Zmax = $ 10,460.00 Demand-Sales Relationship Inventory Balance : 29 Thursday 0 Thursday 0 30 Friday 0 Friday 0 31 Saturday 0 Saturday 0
32 Number of painters used 30
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
1
Hasil optimal dapat dilihat dari tabel di atas, adalah : Zmax* = $ 10,460.00
PT = produksi hari Kamis = 60 unit PF = produksi hari Jum’at = 420 unit
PS = produksi hari Sabtu = 480 unit ST = penjualan hari Kamis = 60 unit SF = penjualan hari Jum’at = 300 unit SS = penjualan hari Sabtu = 600 unit
TF = tukang cat yang bekerja hari Kamis – Jum’at = 0 orang TS = tukang cat yang bekerja hari Kamis – Sabtu = 3.75 orang FS = tukang cat yang bekerja hari Jum’at – Sabtu = 26.25 orang
Kamarul Imam [email protected]
D:\Documents and Settings\HOME\My Documents\OPERATION RESEARCH\TEKNIK OPTIMASI PROGRAM LINIER DENGAN EXCEL DAN LOTUS.doc
2
DAFTAR PUSTAKA
Camm, Jeffrey, D., and James R. Evans, 1996, Management Sciense,
Modeling, Analysis and Interpretation, South Western
College Publishing, ITP.
Gould, Floyd Jerome, C. P. Schmidt and G.D Eppen, 1993, Introductory Management Science, Fourth Edition, Prentice Hall,
Engelwood Cliff, New Jersey.
Markland, Robert E., 1993, Topics in Management Science, Fivth Edition, John Wiley and Sons, New York.
Mathur, Kamlesh, and Daniel Solow, 1994, Management Science, The Art of
Decision Making, Prentice Hall, Engelwood Cliff, New Jersey.
Moore, Laurence, J., Sang M. Lee, and Bernard W. Taylor III, 1993, Management Science, Allyn and Bacon, Toronto.
Render, Barry and Ralph M. Stair, Jr., 1991, Quantitative Analysis for Management, Fourth Edition, Allyn and Bacon, Toronto.
Schrage, Linus, 1991, LINDO, An Optimization Modeling System, Fourth
Edition, The Scientific Press, South San Francisco – USA.