UNIVERSIDAD DEL MAGDALENAPROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL: MODELACION

DOCENTE: LUIS ALVARADO ATENCIO El estudiante debe analizar los ejercicios para detectar cuales estn mal planteados o resueltos y explicar porque. Haga las suposiciones que sean necesarias.

1. (Mezcla de Gisqui) Una compaa destiladora tiene dos grados de gisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca sper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compaa dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galn de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galn del sper produce una utilidad de $6 Cuntos galones de cada marca debera producir la compaa a fin de maximizar sus utilidades?

MARCASGRADO IGRADO IIUTILIDAD

REGULAR 50%50%$ 5

SPER75%25%$ 6

Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de gisqui de la marca regular en galonesx2 = la Cantidad de gisqui de la marca sper en galonesMax Z = 5x1 + 6x2 .(1)Sujetos a: 1500x1 + 1000x2 < 3000 .. (2) 2250x1 + 500x2 < 2000 .(3) lo que queda Planteado

2. (Mezcla) Una compaa vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla ms barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que las ms cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compaa obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. Cuntos kilos de cada mezcla debera producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla ms barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla ms cara?

MEZCLACACAHUATENUEZGANANCIA POR SEMANA

BARATA80%20%$10 POR KILO

CARA50%50%$ 15 POR KILO

Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramosx2 = la Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramosMax Z = 10x1 + 15x2 .(1)Sujetos a: 1440x1 + 240x2 < 1800 .. (2) 900x1 + 600x2 < 1200 .(3) lo que queda Planteado

3. (Dediciones sobre produccin) Una compaa produce dos productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada mquina y 5 horas en una segunda mquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera mquina y 3 horas en la segunda mquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera mquina y de 110 horas en la segunda mquina. Si la compaa obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B Cunto deber de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?

PRODUCTOHRSMQUINA 1HRSMQUINA 2UTILIDAD

A25$ 70 POR KILO

B43$50 POR KILO

Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin de A en unidadesx2 = la Cantidad de produccin de B en unidadesMax Z = 70x1 + 50x2 .(1)Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 ... (2) 5x1 + 3x2 < 110 .(3) lo que queda Planteado4. (Decisiones sobre produccin) En el ejercicio anterior, suponga que se recibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad mxima.Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin de A en unidadesx2 = la Cantidad de produccin de B en unidadesMax Z = 70x1 + 50x2 .(1)Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 .. (2) 5x1 + 3x2 < 110 .(3) lo que queda Planteado

5. (Decisiones sobre Produccin). Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres mquina, como se indica a continuacin:

PRODUCTOHRSMQUINA 1HRSMQUINA 2HRSMQUINA 3UTILIDAD

A243$250 POR KILO

B512$300 POR KILO

Si los nmero de horas disponibles en las mquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuntas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total.

Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin de A en unidadesx2 = la Cantidad de produccin de B en unidadesMax Z = 250x1 + 300x2 .(1)Sujetos a: 2x1 + 5x2 < 200 ... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado

6. (Decisiones sobre produccin) En el ejercicio anterior, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compaa a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de produccin que maximiza la utilidad total.Solucin:PRODUCTOHRSMQUINA 1HRSMQUINA 2HRSMQUINA 3UTILIDAD

A243$600 POR KILO

B512$300 POR KILO

Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin de A en unidadesx2 = la Cantidad de produccin de B en unidadesMax Z = 250x1 + 300x2 .(1)

Sujetos a: 2x1 + 5x2 < 200 ... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado

7. (Decisiones sobre produccin) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad del producto B. Cunto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el programa de produccin? (El programa de produccin siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).

Solucin:PRODUCTOHRSMQUINA 1HRSMQUINA 2HRSMQUINA 3UTILIDAD

A243$600 POR KILO

B512$ X POR KILO

Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin de A en unidadesx2 = la Cantidad de produccin de B en unidadespero en ste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora la UTILIDAD del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lo tanto queda: Max Z = 250x1 + 150x2 .(1) (El programa de produccin siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).Sujeto a: 2x1 + 5x2 < 200 ... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado

8. (Decisiones sobre inversin) Un gerente de Finanzas tiene $ 1106 de un fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios ms efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no ms del 25% de la cantidad invertida puede estar en bonos hipotecarios. Ms an, lo mnimo que puede ponerse en bonos hipotecarios es de %100,000. Determine las cantidades de la dos inversiones que maximizarn la inversin total.Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de la inversin en bonos conservadoresx2 = la Cantidad de la inversin en bonos hipotecariosMax Z = x1 + x2 .(1)Sujetos a: (0.06)(1,000,000)x1 + (0.1)(1,000,000)x2 < (1,000,000)(0.25) ... (2) x2 > 100,000 ... (3)

9. (Decisiones sobre plantacin de cultivos) Un granjero tiene 100 acre pies en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recoleccin de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: CULTIVOSCOSTO DE PLANTARDEMANDA HORAS-HOMBREUTILIDAD

PRIMERO$205$ 100

SEGUNDO$4020$ 300

Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin del PRIMER CULTIVO en acre piesx2 = la Cantidad de produccin del SEGUNDO CULTIVO en acre piesMax Z = 100x1 + 300x2 .(1) (El programa de produccin siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).Sujeto a: x1 + x2 < 100 ......... (2) esta ecuacin se debe a que slo tiene 100 acre pies para los cultivos 5x1 + 20x2 < 1350... (3) 20x1 + 40x2 < 3000 ......(4) lo que queda Planteado

10. (Decisiones sobre plantacin de cultivos) En el ejercicio anterior, determine la porcin del terreno que deber plantearse con cada cultivo si la utilidad por concepto del segundo cultivo sube a $ 450 por acre.

Solucin:CULTIVOSCOSTO DE PLANTARDEMANDA HORAS-HOMBREUTILIDAD

PRIMERO$205$ 100

SEGUNDO$4020$ 450

Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin del PRIMER CULTIVO en acre piesx2 = la Cantidad de produccin del SEGUNDO CULTIVO en acre piesMax Z = 100x1 + 450x2 .(1) (El programa de produccin siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).Sujeto a: 5x1 + 20x2 < 1350... (2) 20x1 + 40x2 < 3000 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

11. (Planeacin diettica) La dietista de un hospital debe encontrar la combinacin ms barata de dos productos, A y B, que contienen: al menos 0.5 miligramos de tiamina al menos 600 caloras

PRODUCTOTIAMINACALORIAS

A0.2 mg100

B0.08 mg150

Solucin:Variables:x1 = la Cantidad mas Barata del producto Ax2 = la Cantidad mas Barata del Producto BMax Z = x1 + x2 .(1) Sujeto a: 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5... (2) (al menos) 100x1 + 150x2 > 150 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

12. (Putificacin del mineral) Una compaa posee dos minas, P y Q. En el cuadro siguiente se muestra la produccin de los elementos por cada tonelada producida por ambas minas respectivamente:

MINASCOBREZINCMOLIBDENOCOSTO POR TON. DE OBTENCIN DE MINERAL

P50 lb4 lb1 lb$ 50

Q15 lb8 lb3 lb$ 60

La compaa debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de los metales que se muestran a continuacin: 87,500 libras de cobre 16,000 libras de zinc 5,000 libras de molibdenoCunto mineral deber obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de produccin a un costo mnimo?Solucin:Variables:x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en librasx2 = la Cantidad de Mineral de la MINA Q en libras

Max Z = 50x1 + 60x2 .(1) Sujeto a 50x1 + 15x2 < 87,500 ......... (2) (COBRE) 4x1 + 8x2 < 16,000... (3) (ZINC) x1 + 3x2 < 5000 ......(4) (MOLIBDENO) lo que queda planteado

13. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un depa, de qumica industrial, almacena, al menos 300 vasos de un tamao y 400 de un segundo tamao. Se ha decidido que el nmero total de vasos almacenados no debe exceder de 1200. Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y mustrelo con un grfica.Solucin:Variables:x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaox2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaoMax Z = x1 + x2 .(1) Sujeto a: x1 > 300... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4)

14. (Espacio de Almacenamiento) En el ejercicio anterior, supongamos que los vasos del primer tamao ocupan 9 in2 del anaquel y los del segundo 6 in2. El rea total de anaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de 62.8 ft2. Determine las cantidades posibles de los vasos y mustrelo con una grfica.Solucin:Variables:x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaox2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaoMax Z = x1 + x2 .(1) Sujeto a: x1 > 300... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) 9x1 + 6x2 < 62.8 .......(5)

15. (Planeacin Diettica) Una persona est pensando reemplazar en su dieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne contiene un promedio de casi de 7 gramos de protena mientras que una onza de frijoles de soya (verde) contiene casi 3 gramos de protena. Si requiere que si consumo de protena diaria que obtiene de la carne y de los frijoles de soya combinados debe ser al menos de 50 gramos. Qu combinacin de stos nutrientes formarn un dieta aceptable?Solucin:Variables:x1 = la Cantidad de Carnex2 = la Cantidad de Frijoles de Soya Min Z = x1 + x2 .(1) Sujeto a: 7x1 + 3x2 > 50 .......(5) x1, x2 > 0

16. (Ecologa) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F1 y F2 disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pez de cada especia est dado en el cuadro siguiente:

especiesF1F2Peso Promedio

S2 Unidades3 Unidades3 libras

T3 Unidades1 Unidades 2 libras

If there are six hundred of F1 and three hundred of F2 everyday. How do you debit supply the pool for what the total weight of fishes are at least 400 pounds?Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primavera en Unidadesx2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T) en Primavera en UnidadesMax Z = x1 + x2 .(1)Sujetos a: 2x1 + 3x2 < 600 .. (2) 3x1 + 1x2 < 300 .(3) 3x1 + 2x2 > 400 lo que queda Planteado

17. Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los das. El alimento se prepara como una mezcla de maz y harina de soya con las siguientes composiciones:Libras por Libra de AlimentoAlimentoCalcioProtenaFibraCosto ($/lb)

Maz0.0010.090.020.2

Harina de Soya0.0020.60.060.6

Los requisitos de alimento de los cerdos son:1. Cuando menos 1% de calcio2. Por lo menos 30% de protena 3. Mximo 5% de fibra

Determine la mezcla de alimentos con el mnimo de costo por daSolucin:Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Maz Libra por libra de Alimentox2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de AlimentoMin Z = 0.2x1 + 0.6x2 .(1)Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) .. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) .(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado

18. Un pequeo banco asigna un mximo de $20,000 para prstamos personales y para automviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de inters anual del 14% a prstamos personales y del 12% a prstamos para automvil. Ambos tipos de prstamos se saldan en periodos de tres aos. El monto de los prstamos para automvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los prstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los prstamos personales Cmo deben asignarse los fondos?Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad Fondos de prstamos personalesx2 = la Cantidad fondos de prstamos para automvilMin Z = 0.2x1 + 0.6x2 .(1)Sujetos a: (0.14)(20,000)x1 + (0.12)(20,000)x2 < 20000 .. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000) .(3) x1 > (0.01)(0.12)(20,000) .......... (4) lo que queda Planteado

19. Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en la misma lnea de ensamble. La lnea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en la estaciones de trabajo son:

Minutos por Unidad deMinutos por Unidad de

Estacin de TrabajoHiFi-1HiFi-2

164

255

346

Cada estacin de trabajo tiene una disponibilidad mxima de 480 minutos por da. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compaa desea determinar las unidades diarias que se ensamblarn de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones.Solucin: Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 1x2 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 2Min Z = x1 + x2 .(1)Sujetos a: 6x1 + 4x2 < (0.1)(480) .. (2) 5x1 + 5x2 < (0.14)(480) .(3)

4x1 + 6x2 > (0.12)(480) .......... (4) lo que queda Planteado

20. Una compaa de productos electrnicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una lnea de produccin de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera lnea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrnicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria mxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20, respectivamente. Determine la produccin diaria ptima de cada modelo de radio.Solucin: Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de produccin del modelo 1 de Radiox2 = la Cantidad de produccin del modelo 2 de RadioMax Z = 30x1 + 20x2 .(1)Sujetos a: x1 < 60 .. (2) 10x1 + 8x2 < 800 .(3) x2 < 75 .......... (4) lo que queda Planteado 21. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres mquina. El tiempo por mquina asignado a los productos est limitado a 10 horas por da. El tiempo de produccin y la ganancia por unidad de cada producto son:Minutos Por UnidadProductoMquina 1Mquina 2Mquina 3Ganancia

11068$2

252015$3

Nota: Determine la combinacin ptima de los productos.

Solucin: Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Producto 1x2 = la Cantidad de Unidades del Producto 2Min Z = 2x1 + 3x2 .(1)Sujetos a: 10x1 + 5x2 < 10 .. (2) 6x1 + 20x2 < 10 .(3) 8x1 + 15x2 < 10 .......... (4) lo que queda Planteado

22. Una compaa puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisin locales. Su presupuesto limita los gastos de publicidad de $1000 por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisin cuesta $100. La compaa deseara utilizar la radio cuando menos dos veces ms que la televisin. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisin generar en trminos generales 25 ms venta que cada minutos de publicidad por la radio. Determine la asignacin ptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisin.Solucin: Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radiox2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el TelevisorMax Z = x1 + x2 .(1)Sujetos a: 5x1 + 100x2 < 1000 .. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (25)(x2) .(3) 23. Una compaa elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria est limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima en los ndices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de los productos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignacin ptima de la materia prima a los dos productos.Solucin: Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Producto Ax2 = la Cantidad de Unidades del Producto BMax Z = 20x1 + 40x2 .(1)Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 .. (2) x1 > (0.6)(60) .(3)

24. Una compaa elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces ms tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sobreros son exclusivamente del segundo tipo. La compaa puede producir un total de 500 unidades al da. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 por el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el nmero de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para maximizar la ganancia.Solucin: Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1x2 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 2Max Z = 8x1 + 5x2 .(1)Sujetos a: 150x1 + 200x2 < 500 .. (2) x1 > (2)(200) .(3)

25. Una empresa pequea, cuenta con dos mquina para elaborar dos productos. Cada producto tiene que pasar por la mquina A y despus por la mquina B. El producto 1 requiere 3 horas de la mquina A y 2 de la mquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la mquina A y 2 horas de la mquina B. La capacidad de las mquina A y B son 500 y 650 horas semanales respectivamente. El producto a deja 350 pesos y el segundo producto B deja 600 pesos por utilidades. Analice usted la situacin de la operacin de esta, dado que por escasez de materia prima no puede producir ms de 21 unidades del producto.Solucin: Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Producto Ax2 = la Cantidad de Unidades del Producto BMax Z = 350x1 + 600x2 .(1)Sujetos a: 3x1 + 1x2 < 500 .. (2) 2x1 + 2x2 < 650 .. (3) x1 + x2 < 21 ....(4)

26. el grupo IMPEXA, desea hacer publicidad para su productos en tres diferentes medios: radio, televisin y revista. El objetivo principal es alcanzar tantos clientes como sea posible. Han realizado un estudio y el resultado es:

Durante el daDurante la nocheRadioRevistas

Nmero de clientes potenciales que puede alcanzar por unidades de publicidad450,000800,000675,000200,000

500,0001,000,000650,000250,000

IMPEXA no quiere gastar ms de $1,200,00. Adems en publicidad por televisin no desean gastar ms de 750 mil pesos. Se desean comprar tres unidades de televisin durante el da y 2 unidades durante la noche. Plantee el problema como un modelo de programacin lineal.Solucin:Qu es lo que vamos a MAXIMIZAR?x1 = la Cantidad de clientes Potenciales por dax2 = la Cantidad de clientes Potenciales por nochex3 = la Cantidad de clientes por Radiox4 = la Cantidad de clientes por revistasMax Z = x1 + x2 + x3 + x4.(1)Sujetos a: x1 + x2 + x3 + x4 < 1,200,000 x1 + x2 < 750,000 x1 > 450,000 x1 < 500,000 x2 > 800,000 x2 < 1,000,000 x3 > 375,000 x3 < 650,000 x4 > 200,000 x4 < 250,000 3x1 < 2x2

27. La seora Morales tiene una dieta a seguir, la cual rene los siguientes requisitos alimenticios. Al menos 4 mg. de vitamina A Al menos 6 mg. de vitamina B A lo ms 3 mg. de vitamina D

As mismo, la dieta est formada por pan, queso, buebo, y carne. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. as como el costo:Contenido en mg por gramo de producto

PRODUCTOCOSTOVITAMINA AVITAMINA BVITAMINA D

PANQUESOBUEBOSCARNE403119530.200.150.150.300.180.100.400.350.100.140.150.16

Solucin:Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a comprar de PANx2 = la Cantidad a comprar de QUESOx3 = la Cantidad a comprar de HUEVOx4 = la Cantidad a comprar de CARNE

Min W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4.(1)

Sujetos a: 0.20x1 + 0.15x2 + 0.15x3 + 0.30x4 > 4 0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 > 6 0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 > 3 28. (Inversiones) A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4 proyectos con sus respectivos costos en un perodo de tres aos, as como la utilidad total. El requiere maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000; $24,000; y $30,000 en cada uno de los aos siguientes:PROYECTOUTILIDAD TOTALCOSTO AO 1COSTO AO 2COSTO AO 3

X1X2X3X41009075806295148192514189

Solucin:Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Maz Libra por libra de Alimentox2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de AlimentoMin Z = 0.2x1 + 0.6x2 .(1)Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) .. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) .(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado Disponibilidad:Las cantidades disponibles por ao se asignan a las diferentes variables o proyectos bajo estas restricciones para optimizar o maximizar la utilidad total.

29. Supngase que el Banco de Crdito al Campesino tiene dos planes de inversin a saber: El primero en el programa de tierras de riego, el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversin al fin del ao, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversin, para el trmino de dos aos. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le permita al banco maximizar la inversin total en un sexenio, si la inversin es de $ 100 millones.Solucin:Qu es lo que vamos a MAXIMIZAR?xiR = la Cantidad de inversin de riesgo a una ao ixiT = la Cantidad de inversin Temporal en 2 aos idonde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Max Z = x1 + x2 + x3 + x4.(1)Sujetos a: x1R + x1T < 100,000 x2R + x2T < 1.30x1R x3R + x3T < 1.30x2R + 1.65x1T x4R + x4T < 1.30x3R + 1.65x2T x5R + x5T < 1.30x4R + 1.65x3T x6R < 1.30x5R + 1.65x4T 30. Una compaa de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisin. Su presupuesto limita los gastos de publicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $15 y cada minuto de publicidad en televisin cuesta $90. La compaa deseara utilizar la radio cuando menos dos veces ms que la televisin. Los datos histricos muestran que cada minuto de publicidad por televisin generar en trminos generales 30 veces ms ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignacin ptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisin.Solucin: Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radiox2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el TelevisorMax Z = x1 + x2 .(1)Sujetos a: 15x1 + 90x2 < 1500 .. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (30)(x2) .(3)

31. Una Tienda de animales ha determinado que cada Hmster debera recibirla menos 70 unidades de protena. 100 unidades de carbohidratos y 20 unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. Qu mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo mnimo para la tienda?

AlimentoProtenas(Unidades / Onza)Carbohidratos (Unidades / Onza)Grasa(Unidades / Onza)Costo(Onza)

ABCDEF203040404530503020255020491110910235688

Solucin:Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a mezclar de Ax2 = la Cantidad a mezclar de Bx3 = la Cantidad a mezclar de Cx4 = la Cantidad a mezclar de Dx5 = la Cantidad a mezclar de Ex6 = la Cantidad a mezclar de FMin W = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 8x5 + 8x6.(1)Sujetos a: 20x1 + 30x2 + 40x3 + 40x4 + 45x5 + 30x6 < 70 ......... PROTENA 50x1 + 30x2 + 20x3 + 25x4 + 50x5 + 20x6 < 100 ------ CARBOHIDRATOS 4x1 + 9x2 + 11x3 + 10x4 + 9x5 + 10x6 < 20 ---------- GRASA

32. Una compaa manufacturera local produce cuatro deferentes productos metlicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades especficas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes:

MaquinadoPulidoEnsamble

Producto IProducto IIProducto IIIProducto IV322411232121

La compaa dispone semalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compaa tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinacin de los productos II y III, segn sea la produccin, pero slo un mximo de 25 unidades del producto IV. cuntas unidades de cada producto debera fabricar semanalmente la compaa a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total?Considere que las piezas incompletas como un modelo de Programacin Lineal.

Solucin:Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a fabricar del producto Ix2 = la Cantidad a fabricar del producto IIx3 = la Cantidad a fabricar del producto IIIx4 = la Cantidad a fabricar del producto IVMin W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4.(1)Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 33. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos mquina. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuacin para las dos mquinas:

MquinaProducto 1Producto 2Producto 3Producto 4

1223324122

El costo total de producir una unidad de cada producto est basado directamente en el tiempo de mquina. Suponga que el costo por hora para las mquina 1 y 2 es $10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos os productos en las mquina 1 y 2 son 500 y 380. si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 en $65, $70, $55 y $45, formule el problema como modelo de programacin lineal para maximizar el beneficio neto total.Solucin:Qu es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad a fabricar del producto 1x2 = la Cantidad a fabricar del producto 2x3 = la Cantidad a fabricar del producto 3x4 = la Cantidad a fabricar del producto 4Max W = 65x1 + 70x2 + 55x3 + 45x4.(1)Sujetos a: 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 < 500 3x1 + 2x2 + 1x3 + 2x4 < 380 34. La compaa Delta tiene maquinaria especializada en la industria de plstico. La compaa se dispone a iniciar operaciones el prximo mes de enero y cuenta con $300,000 y diez mquinas. La operacin de cada mquina requiere de $4,000.00 al inicio de una mes para producir y al fin del mes la cantidad de $9,000.00 sin embargo, para cada dos mquinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de $3000.00 pagando al principio del mes. La compaa se propone planear su produccin, empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, al mximo nmero de mquina en operacin.Al principio de cada mes la compaa tiene disponibles tres alternativas para adquirir maquinaria. En la primera alternativa puede comprar mquina de $20,000.00 cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es, si al principio de cada mes t se pide y paga la maquinaria, est se entregar al principio del mes t + 1.En la segunda alternativa, se puede comprar en $15,000.00 cada maquinaria, pero el periodo de entrega es en dos meses. La ltima alternativa s comprar en $10,000.00 cada mquina con un periodo de entrega en tres meses.Formule un modelo de programacin lineal que permita determinar la poltica de compra de maquinaria, produccin y pago de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes siete tenga el mximo nmero de mquina en operacin.

Solucin:Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a fabricar del producto Ix2 = la Cantidad a fabricar del producto IIx3 = la Cantidad a fabricar del producto IIIx4 = la Cantidad a fabricar del producto IVMin W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4.(1)Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25

35. Una compaa de productos qumicos que labora las 24 horas del da tiene las siguientes necesidades de personal tcnico y especializado

PeriodoHora del daPersonal tcnicoPersonal Especializado

1234566 1010 1414 1818 2222 0202 - 0620408045251081215932

Observe que el periodo 1 sigue al periodo 6. Considere que cada persona en la compaa labora 8 horas consecutivas. Suponga que Xt y Zt, denotan el nmero de personas tcnicas y especializadas, respectivamente, que empiezan a trabajar al inicio del periodo t en cada da. En esta compaa, el acuerdo sindical establece que en todo momento debe haber por lo menos tres veces el nmero de personal tcnico que de personal especializado. Establezca un modelo de programacin lineal pata determinar el mnimo nmero de personal tcnico y especializado para satisfacer las necesidades diarias de trabajo en el compaa.

Solucin:xiR = la Cantidad de personal tcnicoxiT = la Cantidad de personalidad especializadodonde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Min Z = x1 + x2 Sujetos a: 20x1 + 8x2 > 60 40x1 + 12x2 > 120 80x1 + 15x2 > 240 45x1 + 9x2 > 3(45) 25x1 + 3x2 > 75 10x1 + 2x2 > 30

36. Ferrocarriles Nacionales de Mxico tiene al inicio del prximo ao la siguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el pas:

Trimestre123

Locomotoras Diesel750800780

La gerencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda mediante la combinacin de las siguientes alternativas:a) Uso de la existencia de locomotoras diesel en estado de trabajob) Compra de locomotoras al extranjero las cuales pueden entregarse al principio de cualquier trimestrec) Reparar locomotoras en los talleres nacionales con carcter normal. El tiempo re reparacin es de 6 meses.d) Reportar locomotoras en los talleres nacionales con carcter urgente. El tiempo de reparacin es de 3 meses.La alternativa b tiene un costo de $5,000,000 por locomotoraLa alternativa c tiene un costo de $100,000 por locomotoraLa alternativa d tiene un costo de $250,000 por locomotoraSe estima que al principio del ao se tendrn 650 locomotora en estado de trabajo y el presupuesto de operacin para ese ao es de $100,000,000 entregado en partidas trimestrales de 40, 30, 20 y 10 millones respectivamente.Se supone que al final de cada trimestre el 5% de las locomotoras debe mantenerse a reparacin y el 5% quedan fuera de servicio. Formule un problema de programacin lineal que permita determinar la combinacin de polticas que debe tomar en cuenta la gerencias de F.F.C.C. para minimizar costos y satisfacer la demanda de locomotoras.

Solucin:Qu es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 1x2 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 2x3 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 3

Min W = 5,000,000x1 + 100,000x2 + 250,000x3 .(1)Sujetos a: x1 + x2 + x3 < 100,000,000 750x1 + 800x2 + 780x3 > 650 x1 > (0.05)(750) x2 > (0.05)(800) x3 > (0.05)(780) 37. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?Solucin Es un problema de programacin lineal.Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo ALlamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo Binversinrendimiento

Tipo A x0,1x

Tipo By0,08y

210000 0,1x+0,08yCondiciones que deben cumplirse (restricciones): R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la regin factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4xyxyxyxy

0210000130000006000000

210000013000065000

La regin factible es la pintada de amarillo, de vrtices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)La funcin objetivo es;F(x, y)= 0,1x+0,08ySi dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar grficamente que el vrtice mas alejado es el D, y por tanto es la solucin ptima.Comprobarlo analticamente (es decir comprobar que el valor mximo de la funcin objetivo, F, se alcanza en el vrtice D)38. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio?Solucin En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:TipoNBizcochoRellenoBeneficio

T. Vienesax1.x0,250x250x

T. Realy1.y0,500y400y

15050

Funcin objetivo (hay que obtener su mximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la regin factible: Para 0.25x+0.50y=50, x + 2y=200xY

0100

2000

Para x + y =150xY

0150

1500

La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125Al eje Ox y =125Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La regin factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vrtices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)Se observa que la restriccin yes redundante (es decir sobra)Resolviendo el sistema: , por reduccin obtenemos y=50, x=100Otro vrtice es el punto C(100, 50)Y el ltimo vrtice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:X+y=150X=125Cuya solucin es: X=125, Y=25 B(125, 25)Los vrtices de la regin son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),Si dibujamos el vector de direccin de la funcin objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200xY

00

200-125

Se ve grficamente que la solucin es el punto (100, 50), ya que es el vrtice mas alejado (el ltimo que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )Lo comprobamos con el mtodo analtico, es decir usando el teorema que dice que si existe solucin nica debe hallarse en uno de los vrticesLa uncin objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vrtices obtenemosf(125,0)=31.250f(125,25)=31.250+10.000=41.250f(100,50)=25.000+20.000=45.000f(0,100)=40.000El mximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusin: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales. 39. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeo, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo mas econmica posible para la escuela. Solucin Es un problema de programacin lineal, en este caso lo que queremos es hacer mnima la funcin objetivo.Llamamos x al n de autocares de 40 plazas e y al n de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x , yComo slo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:40x +50y , que simplificada quedara 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la regin factible (conjunto de puntos solucin donde se cumplen todas las condiciones) son

La funcin objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r1 r2 r3 r4xyxyxyxy

800100908

09100

As como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la regin factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vrtices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este ltimo es el punto de interseccin de las rectas r3 y r4 por reduccin restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1 ecuacin, y =4Resolviendo grficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solucin del problema. La solucin ptima . Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vrtices y que este es el que da menor valor (mtodo analtico).40. Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operacin es de 2000 euros en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el coste sea mnimo?.Solucin Organizamos los datos en una tabla:dasAlta calidadCalidad mediaBaja calidadCoste diario

Mina Ax1x3x5x2000x

Mina By2y2y2y2000y

80160200

La funcin objetivo C(x, y)=2000x + 2000yLas restricciones son: La regin factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r35x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la regin no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vrtices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estn dentro de la regin factible). r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)r2 r3 que nos da el punto (20, 50)r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la regin factible.En la grfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solucin es trabajar 40 das en la mina A y 20 en la B. (mtodo grfico)Lo comprobamos aplicando el mtodo analtico: C(0, 100)=2000.100=200000C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mnimoC(80, 0)= 2000.80 =16000041. Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas y mecnicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio y cual es este? Sea x = n electricistas y = n mecnicos La funcin objetivo f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones La regin factible sera para estas restricciones:

Se aprecia grficamente (lnea en rojo) que la solucin ptima est en el punto (20, 20).Por tanto: 20 electricistas y 20 mecnicos dan el mximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=900042. Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean mximas.SolucinSea x el n que se ofertan de tipo T, y el n que se ofertan de tipo P.nGanancia

Turistax30x

Primeray40y

Total 500030x +40y

La funcin objetivo es: f(x, y)=30x +40yLas restricciones:La regin factible:Los vrtices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente)El mtodo grfico nos da que el punto solucin es el B (3750, 1250)

Comprueba los resultados usando el mtodo analtico (sustituyendo los puntos vrtices en f y viendo q el mximo valor se obtiene en B)

43. Una compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditoras de empresas pequeas. Tienen inters en saber cuantas auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisin. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidacin de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisin, produce un ingreso de 100 dls. El mximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditoras (X1).Cantidad de liquidaciones (X2).RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directoTiempo disponible de revisinNmero mximo de liquidacionesMaximizar Sujeto a:

La solucin ptima siempre se encuentra en uno de los vrtices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la funcin objetivo. El vrtice que representa el mejor valor de la funcin objetivo ser la solucin ptima.

44. Un departamento de publicidad tiene que planear para el prximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una lnea de T.V. a color tiene a consideracin 2 medios de difusin: La televisin y el peridico.Los estudios de mercado han mostrado que:1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.2. La publicidad en el peridico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.La publicidad en peridico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentacin como mnimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad.VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).RESTRICCIONES : Porcentaje de presentacin.Minimizar Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA:

45. Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinacin de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. Qu cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?Minimizar Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA:

46. Una pequea empresa fabrica artculos de dos tipos a partir de tres materias primas, llamadas El artculo tipo 1 produce utilidad de $400 por unidad, y para su fabricacin se requieren una libra de , una libra de y tres gramos de . El artculo tipo 2 produce utilidad de $300 por unidad, para cuya fabricacin se necesitan una libra de , 2 libras de y 2 gramos de .

La empresa dispone de 150 libras de , 240 libras de y 420 gramos de , para el siguiente periodo de produccin (puede ser una hora, un da u otro lapso).

La compaa desea conocer cuantas unidades de cada tipo de artculo debe producir en el periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artculos. Se supone que todos los artculos producidos se venden y que la utilidad unitaria permanece constante, sin importar la cantidad vendida.Construccin del modelo:

Siguiendo la metodologa propuesta en este capitulo, una vez comprendida la situacin que se describe, vamos a organizar los datos en una tabla; con lo cual ser ms fcil su utilizacin para construir el modelo.

Debemos usar unas variables para cuantificar el nivel o grado al cual llevaremos a cabo cada actividad.

Por ello definimos las variables as:

X1: cantidad de artculos tipo 1 a fabricar en el perodo.X2: cantidad de artculos tipo 2 a fabricar en el perodo.

Funcin del objetivo

Utilidad total = 400X1+ 300X2 $/periodo

Limitantes o restricciones en el logro del objetivo

La cantidad utilizada de cada materia prima debe ser menor o igual que la cantidad disponible.

(Libras de /perodo)(Libras de /perodo)(Libras de /perodo)De ADe BDe C

X1 0, X2 0

Por lo cual el modelo tendr la siguiente forma final:

Minimizar Utilidad total = 400X1+ 300X2

Sujeta a:

Con X1, X2 0

47. Una compaa produce artculos de tres tipos, realizando las operaciones . La mquina de la operacin cuesta $1500/hora de funcionamiento, la de la operacin cuesta $2400/hora y la de la operacin cuesta $1200/hora.

El costo del material para una unidad del artculo 1 es $50, para una unidad del artculo 2 es de $80 y para una unidad del artculo 3 es de $140.

Los precios de venta para los artculos son respectivamente de $400, $420 y $500, la unidad.

Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de material, se dan en la siguiente tabla:

Minutos de operacin por unidad

La compaa necesita conocer cuantas unidades de cada tipo de artculo debe fabricar en una hora, para obtener la mxima utilidad.

Construccin del modelo:

Inicialmente podemos elaborar unas tablas con los datos del problema, as:

Las variables a utilizar se definen como:

Xi : cantidad de artculos del tipo i a fabricar en una hora .Obsrvese que ahora se han definido las variables con una notacin ms genrica y resumida.

Despus de haber comprendido el proceso y definido las variables de decisin, podemos construir el modelo as:

Maximizar: Utilidad

Sujeto a:

48. Un fabricante debe cumplir los siguientes compromisos, en el primer trimestre:

La capacidad mensual de produccin de su planta es de 20.000 unidades. El costo unitario de produccin varia cada mes, as: Enero $20, Febrero $9 y Marzo $12. La compaa estima en $3 el costo de almacenamiento de cada unidad que posea en la bodega l ltimo da del mes. La capacidad de la bodega de que dispone es de 22.000 unidades.

La empresa tiene en el inventario 50 unidades y desea tener 70 al final. El problema a resolver consiste en la determinar del programa de produccin mensual que minimiza los costos totales en el trimestre.

Se supone que la produccin se realiza durante todo el mes y el despacho se efecta l ltimo da de mes.

Construccin del modelo

Deseamos determinar el programa de produccin para obtener el mnimo costo en el trimestre. Para ello definimos las variables as:

: cantidad de artculos producidos en el mes i

: unidades en el inventario final del mes i.

Minimizar: Costos: Costo de Produccin

Costo de almacenamiento.Sujeto a:

1. Capacidades de produccin por mes:

Enero

Febrero

Marzo

2. Despachos comprometidos cada mes:

Enero

Febrero

Marzo

3. Capacidad de la bodega

Enero

Febrero

Marzo

Los problemas de este tipo tambin pueden modelarse de otra manera como lo sugiere el siguiente grafico:

Ac las variables se definen como:

Sean : cantidad de artculos producidos en el mes con destino a las ventas del mes .De esta forma el inventario final de cada mes esta integrado por las cantidades producidas ese mes con destino a los meses siguientes.

La funcin objetivo y las restricciones sern:

Minimizar:

Costo

Ntese como los valores equivalen a los inventarios finales de los meses de Enero y Febrero.

Sujeta a:

Capacidades de produccin por mes:

Enero

Febrero

Marzo

Despachos comprometidos cada mes:

Enero

Febrero

Marzo

49. Un granjero sabe que debe suministrar diariamente a cada una de sus vacas, un mnimo de 27, 21 y 30 unidades de los elementos nutricionales respectivamente. Para prepararles la comida puede comprar dos clases de alimentos. Una libra del alimento 1 contiene 3, 1, y 1 unidades del nutriente respectivamente, y cuesta $40. Por otra parte, una libra del alimento 2 contiene respectivamente 1, 1 y 2 unidades de los nutrientes y cuesta $20.

El granjero desea conocer cuntas libras de cada alimento necesita utilizar para nutrir a cada una de sus vacas, de tal forma que minimice los costos. Suponga que no hay limite en cuanto al peso total de la comida (mezcla) resultante.

Construccin del modelo

Para iniciar, podemos elaborar una tabla con los datos del problema:

Sean : libras del alimento i que dedicaremos a la preparacin de la dieta

para una vaca.

El objetivo es minimizar los costos. El modelo queda:

Minimizar: Costo

Sujeto a:

Composicin de la dieta

Nutriente (unidades de /vaca)

Nutriente (unidades de /vaca)

Nutriente (unidades de /vaca)

Se deja al estudiante la comprobacin de la consistencia de las unidades.Veamos otro ejemplo que ilustra el caso de composicin o mezcla de ingredientes.

50. Una compaa petrolera produce dos tipos de gasolina, la corriente y la extra. La corriente se vende a $3000 galn y la extra a $3600. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos, cuyos anlisis de componentes aparecen a continuacin:

La gasolina corriente debe contener mximo 60% de, mientras que la extra debe contener mnimo 50% de .El oleoducto de la compaa puede suministrar un mximo de 2 millones de galones crudo 1, y 3 millones de crudo 2, al da.

La compaa espera vender a lo mximo 5 millones de galones de gasolina corriente y 1 milln de gasolina extra, cada da.

Cmo debe proceder la empresa para obtener la mxima ganancia diaria?

Construccin del modelo

Elaboraremos una tabla con los datos importantes acerca de las gasolinas, as:

GASOLINAPRECIO DE VENTA ($/GALN)MXIMA VENTA (galn/da)COMPOSICIN REQUERIDACorriente30005*106Max 60% de BExtra3600 1*106Min 50% de A

Las variables se definen as:

Sean: el nmero de galones de crudo que se dedican a producir la gasolina ; corriente, extra).

Debemos suponer que al mezclar por ejemplo galones de crudo 1 y galones de crudo 2, resultaran galones de gasolina 1, pues no hay prdidas en la operacin.

Considerando que el objetivo es maximizar las utilidades por venta de las gasolinas, y que estas deben cumplir unos requisitos de composicin, adems de tener limites en la produccin, debido a la demanda y limites en la disponibilidad de crudos, el modelo del problema ser:

Maximizar:

Sujeto a:Composicin de gasolinas

en la corriente: (gal deen gas. corriente).

en la extra: (gal de en gas. corriente).

Disponibilidad de crudos:

6(galn de crudo 1)

6 (galn de crudo 2)

Ventas mximas (produccin mxima)

6 (galn de corriente)

6(galn de extra)

51. La fbrica de Hilados y Tejidos "Manizales" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T por da se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.El T se vende a $4000 el metro y el T se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el mximo beneficio, cuntos metros de T y T se deben fabricar?Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables de decisin:X1: Cantidad de metros del tejido T a fabricar diariamente.X2: Nmero de metros del tejido T a producir por da.Z : Funcin de utilidad por la venta de los tejidos T y T.Modelo (Primal)::MAX Z = 4000 X1 + 5000 X2Sujeta a:1. 0.125 X1+0.2X25002. 0.150 X1+0.1X23003. 0.072 X1+ 0.027X2108X1, X2052. La empresa "Caldas" tiene un sistema de produccin constituido por tres secciones, a travs de las cuales elabora dos productos. En la primera seccin lo ms que se pueden procesar son 300 unidades del artculo uno o 400 del producto dos diariamente; la seccin segunda fabrica como mnimo 350 unidades del producto uno o 450 unidades del producto dos por da.La seccin tercera puede elaborar hasta 400 unidades del artculo uno o 500 unidades del artculo dos diariamente.Si los productos uno y dos generan una utilidad de $1000 y $700 respectivamente. Cuntos productos de cada uno se deben fabricar para maximizar la utilidad?.Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Definicin de variables reales:X1: Cantidad del producto uno a fabricar por da.X2: Cantidad del artculo dos a producir diariamente.Z : Funcin de utilidad de los productos uno y dos.Modelo (Primal)::MAX Z = 1000 X1 + 700 X2Con sus restricciones:Primera seccin:Cuando X1= 0, X2= 400; cuando X2= 0, X1= 300X2400 400/300 X11. 4X1+ 3 X21200Segunda seccin:Cuando X1= 0, X2= 450; cuando X2= 0, X1= 350X2450 450/350 X12. 9X1+ 7X23150Tercera seccin:Cuando X1= 0, X2= 500; cuando X2= 0, X1= 400X2500 500/400 X13. 5X1+ 4 X22000

53. En una planta, la demanda estimada para el prximo ao es la siguiente:Primer trimestre : 15000 unidades de A.Segundo trimestre : 25000 unidades de A.Tercer trimestre : 40000 unidades de A.Cuarto trimestre : 20000 unidades de A.En el almacn se cuenta con 10000 unidades, al iniciarse el perodo v se desea disponer de un inventario de 5000 unidades al finalizar el ao. La produccin durante el ltimo trimestre del perodo anterior fue de 5000 unidades.Si el costo de aumento de la produccin C1= $50 por unidad, el costo de disminucin de la produccin C2= $30 por unidad y el costo de almacenaje C3= $20 por unidad.Qu cantidad deber producirseen cada trimestre para minimizar costos de manejo de produccin?Plantear este problema como un modelo de Programacin LinealDefinicin de variables:Xj: Produccin durante el trimestre j.Ij: Inventario al finalizar el trimestre j.C1: Costo de aumento de produccin.C2: Costo de disminucin de produccin.C3: Costo de almacenamiento de produccin.Dj: Demanda estimada en el trimestre j.Aj: Unidades adicionales producidas sobre el nivel del trimestre j-1.Rj: Unidades en que el nivel de produccin disminuy sobre el trimestre j-1.I0: 10000 unidades a Diciembre 31 de 2002 Inventario.I4: 5000 unidades a Diciembre 31 de 2003 Inventario.X0: 5000 unidades que se producen en el cuarto trimestre de 2002.W: Funcin de costos de manejo de produccin.Modelo (Primal):MIN W = (20*5000) + C1(A1+ A2+ A3+ A4) + C2(R1+ R2+ R3+ R4) + C3(I1+ I2+ I3+ I4)Con sus restricciones:

54. Al Director Financiero de la Corporacin Financiera Nacional le han dado $50000000 para que invierta en un perodo de tres aos.El Director ha determinado que existen tres oportunidades de inversin disponibles en el momento y que son las siguientes: la inversin A rinde el 18% anual; la inversin B rinde el 12% el primer ao y el 21% los aos siguientes y la inversin C rinde el 55% al final del tercer ao y no se puede volver a invertir.Tambin ha encontrado que al comienzo del segundo ao existe otra oportunidad de inversin, la D que produce 25% al final del tercer ao y por una sola vez.El Director Financiero desea saber cunto dinero invertir, dnde y cundo en tal forma que la cantidad de dinero disponible al inicio del cuarto ao sea mximo.Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables de decisin:Ai: Dinero a invertir al comienzo del ao i en la inversin A; i = 1,2,3Bi: Cantidad invertida en pesos al inicio del ao i en la inversin B.C1: Dinero a invertir al comienzo del ao 1 en la inversin C.D2: Cantidad invertida en pesos al inicio del ao 2 en la inversin D.Z : Dinero a principio del cuarto ao.Modelo (Primal):MAX Z = 50000000 + 0.18(A1+ A2+ A3) + (0.12B1+ 0.21B2+ 0.21B3) + 0.55C1+ 0.25D2Sujeta a:1. A1+B1+ C1500000002. 0.18A1+A2 0.12B1+ B2+C1+D2500000003 . 0.18A1- 0.18A2 0.12B10.21B2+ A3+ B3+C1+D250000000

Ai, Bi, C1, D20i

55. Suponga que una gallina toma dos semanas para poner doce huevos para la venta o para empollar cuatro huevos.Cul es el mejor programa de poner huevos y empollar si al final del cuarto perodo todas las gallinas y pollos se venden a $12000 cada uno, los huevos a $200 cada uno?Asuma:A. Un inventario inicial de cien huevos y cien gallinas.B. Cien gallinas y cero huevos.C. Cien gallinas y cero huevos y tambin un inventario final de cien gallinas y cero huevos.Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables reales:Xij: Cantidad de gallinas en el perodo i y en la actividad j.i = 1,2,3,4;j = 1,2;j = 1 (poniendo);j = 2 (incubando)Z: Funcin de utilidad para poner y/o empollar huevos.Modelo (Primal):A)MAX Z = 12000{100+200(X12+X22+X32+X42)}+200{1004X12+12X21 4 X32+ 12 X31 4 X42+ 12 X41}Sujeta a:

B)MAX Z = 12000 { 100 + 200 (X22+X32+X42) } + 200 { 12X11 4X22+ 12X21 4X32+ 12X31 4X42+ 12X41}Con las siguientes restricciones:

C) MAX Z = 8000 { 100 + 200 (X22+X32+X42) } + 8000 * 100Sujeta a:

56. Los prncipes de Serendipity se fueron en un pequeo viaje. Ellos no podan llevar muchas maletas; Ms de trescientos libras las ponan a pensar. Planearon hasta el centavo. Cuando regresaron a Ceiln Descubrieron que sus dineros estaban a punto de acabar. Cuando, para su alegra, el prncipe Guillermo encontr una pila de cocos en el suelo."Cada uno nos producir sesenta rupias", dijo el prncipe Ricardo cuando pis una piel de len."Miren", grit el prncipe Roberto. Cuando observ ms pieles de len debajo del rbol. "Estas pieles nos pueden producir hasta trescientas rupias cada una, si las podemos llevar hasta la orilla del mar".Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero haciendo de tripas corazn pudieron llevar todo a la orilla.La embarcacin de regreso a la isla era pequea, Quince pies cbicos de equipaje - eso era todo.Cada piel de len tomaba un pie cbico, mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo el equipaje se hicieron a la mar y en el viaje calcularon lo que sera su nueva riqueza."Eureka", grit Roberto. Nuestra fortuna es tan grande, que no existe otra forma de retornar as.Con cualquier otra piel o coco que hubiramos trado ahora seramos ms pobres. Y no s qu le escribir a mi amigo Horacio en Inglaterra, seguramente slo l sabr apreciar nuestro Serendipity.Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables de decisin:X1: Nmero de cocos cargados en el bote.X2: Cantidad de pieles de len cargadas en el bote.Z: Funcin de utilidad correspondiente a los cocos y/o pieles de len cargados en el bote.Modelo (Primal):MAX Z = 60 X1+ 300 X2Con sus restricciones:1. 5X1+ 15X23002. 1/8X1+X215X1,X20

57. Un barco tiene tres bodegas: Proa, popa y centro; los lmites de capacidad para esas tres bodegas son:

BODEGASProaPopaCentroPESO ( Ton )200015003000VOLUMEN ( FT3)100.000300.000135.000

Se ofrecen las siguientes cargas y los responsables del barco pueden aceptar todo o parte de cada carga:

CARGASABCCANTIDAD (Ton)600040002000VOLUMEN(Ton/ FT3)605025UTILIDAD( $ / Ton )685

Buscando conservar el equilibrio en el barco, el peso de cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas. Cmo se debe repartir la carga buscando maximizar las ganancias totales?Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Definicin de variables

BODEGACARGAPROA(1)POPA(2)CENTRO(3)CANTIDAD(Ton)VOLUMEN(Ton/ FT3)

AXA1XA2XA3600060

BXB1XB2XB3400050

CXC1XC2XC3200025

Peso200015003000Ton

Volumen100.000300.000135.000FT3

Z: Utilidad total.Modelo (Primal):MAX Z = 6 ( XA1+ XA2+ XA3) + 8 ( XB1+ XB2+ XB3) + 5 ( XC1+ XC2+ XC3)Con las siguientes restricciones:

Resumiendo:MAX Z = 6 (XA1+XA2+XA3) + 8 (XB1+XB2+XB3) + 5 (XC1+XC2+XC3)Con las siguientes restricciones:

58. Una empresa se dedica a la produccin de pinturas para interiores y exteriores para su distribucin; se emplean dos materias primas MP1 y MP2 para la produccin de las pinturas. La disponibilidad mxima de MP1 es de 8 toneladas diarias y la de MP2 es de 5 toneladas por da. Los requerimientos diarios de materia prima por tonelada es la siguiente:

Toneladas de materia prima por tonelada de

Disponibilidad mxima

MP1MP2Utilidad por ToneladaPintura para Interiores34100.000Pintura para Exteriores71300.000diaria ( toneladas)209

El estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en ms de una tonelada. Adems, el estudio seala que la demanda mxima de pintura para interiores est limitada a dos toneladas por da. Cunta pintura para interiores y exteriores debe producir la empresa todos los das para maximizar el ingreso bruto ?Variables reales:X1: Nmero de toneladas diarias producidas de pintura para interiores.X2: Cantidad de toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.Z: Funcin de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pintura para interiores y exteriores.Modelo (Primal):MAX Z = 100000X1+ 300000X2Sujeta a:

59. Un hacendado dispone de los siguientes recursos para emplearlos en la prxima cosecha: $70000000 de capital disponible, 1000 horas tractor y 50 hectreas de tierra cultivable. Estas tierras son propias para sembrar maz, caa de azcar y ajonjol; se supone que tiene a su disposicin hombres suficientes y sin restriccin y sus costos de produccin son los siguientes: tractor e implementos $ 5000 la hora, mano de obra $ 4000 la hora, cada hectrea no sembrada $ 4500. Adems se supondr un costo como penalizacin, de un peso por cada peso no invertido. Los siguientes datos son por hectrea:

CosechaMaizCaa de AzucarAjonjoliMano de Obra (Hor)102530Tractor (Hor)202015Otros costos$3500$4000$10000Valor de la cosecha (Has)$300000$380000$410000

Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables de decisin:X1: Cantidad de hectreas de maz a producir.X2: Nmero de hectreas de caa de azcar a cosechar.X3: Cantidad de hectreas de ajonjol a producir.Z: Funcin de utilidad correspondiente a los cultivos que la hacienda produce.Modelo (Primal):MAX Z = [ 3000000 ( 5000 * 20 + 4000 * 10 + 3500 )]X1+ [ 3800000 (( 5000 * 25 ++ 4000 * 25 + 4000 )]X2+( 4100000 ( 5000 * 15 + 4000 * 30 + 10000 )]X3Con sus restricciones:

60. Un fabricante de electrodomsticos produce cuatro modelos de lavadoras L1, L2, L3 y L4. Estos aparatos constan fundamentalmente de un tambor metlico recubierto con una carcasa, el cual gira por efecto de un motor elctrico controlado por un microprocesador electrnico.Los modelos L1 y L3 son lavadoras con menor capacidad de carga (4 kgr), necesitando 5 mt2 de material metlico, mientras que los modelos L2 y L4 que cargan 10 kgr, requieren 8,5 mt2 de material metlico. La cantidad de material metlico disponible es de 10000 mt2.Los modelos L1 y L2 llevan un motor denominado M1 y un microprocesador P1; los modelos L3 y L4 tienen un motor M2 y un microprocesador P2. El motor M1 es menos potente que el M2 y el microprocesador P1 tiene menos programas que el microprocesador P2; el material necesario para fabricar los motores puede obtenerse prcticamente sin limitacin.Los motores se ensamblan en una nave de montaje con una capacidad de trabajo de 3000 horas, siendo requeridas una hora para montar un motor M1 y 1,5 horas para ensamblar un motor M2. En cuanto a los microprocesadores se pueden fabricar en la propia empresa en una seccin de la planta de montaje o se pueden encargar a un fabricante de material electrnico. En el primer caso, compiten con la fabricacin de los motores M1 y M2 necesitando 0,3 horas la fabricacin de P1 a un costo de $ 100000 y 0,75 horas la fabricacin de P2 con un costo de $ 180000. En el segundo caso, el vendedor puede suministrar cualquier cantidad de P1 y P2 a un precio de $ 180000 y $ 360000 respectivamente.Finalmente, las lavadoras se montan en otra nave de acabado con capacidad de 5000 horas, siendo preciso un tiempo de 1,5 horas para el modelo L1, 2,3 horas para el modelo L2, 3 horas para el modelo L3 y 4,2 horas para el modelo L4. Para satisfacer a todos los segmentos, el fabricante decide que la produccin mnima de cada modelo sea de 300 unidades. Como dato adicional se conoce, segn informe del departamento de mercadeo,que la demanda de modelos de mayor capacidad es siempre superior a la demanda de los modelos de menor capacidad, por lo que la produccin combinada de los modelos L2 y L4 debe ser superior a la produccin combinada de los modelos L1 y L3.La utilidad proporcionada es de $160000 para el modelo L1, $170000 para el modelo L2, $180000 para el modelo L3 y $200000 para el modelo L4. Plantear un modelo de Programacin Lineal para la planificacin de la produccin de las lavadoras teniendo como objetivo la maximizacin de los beneficios.Definicin de variables:X1: Nmero de lavadoras L1 a fabricar.X2: Cantidad de lavadoras L1 a producir.X3: Nmero de lavadoras L3 a fabricar.X4: Cantidad de lavadoras L4 a producir.X5: Nmero de microprocesadores P1 a fabricar en la empresa.X6: Cantidad de microprocesadores P1 a comprar.X7: Nmero de microprocesadores P2 a producir en la empresa.X8: Cantidad de microprocesadores P2 a comprar.X9: Nmero de motores M1 a fabricar.X10: Cantidad de motores M2 a producir.Z : Funcin de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de lavadorasmodelos L1, L2, L3 y L4.Modelo (Primal):MAX Z = 160000X1+ 170000X2+ 180000X3+ 200000X4 100000X5 180000X6 180000X7 360000X8

MAX Z = 160000X1+ 170000X2+ 180000X3+ 200000X4 100000X5 180000X6 180000X7 360000X8Sujeta a:

61. Un pas est atravesando una aguda crisis econmica a raz del enorme incremento de la deuda externa. Uno de los efectos ms visibles de la crisis es el carcter especulativo que est adquiriendo el mercado de capitales; la influencia de diversos agentes: Gobierno, Fondo Monetario Internacional, Banca Nacional y Banca Extranjera, etc, hace que los indicadores econmicos (inflacin, devaluacin, entre otros) experimente constantes modificaciones haciendo muy poco fiables las previsiones a medio y a largo plazo. En este contexto, los inversionistas se han decantado por una poltica de inversin a corto y muy corto plazo como mecanismo de defensa ante la inestabilidad del mercado.Uno de estos inversionistas est estudiando como invertir $ 100000000 producto de una herencia; un asesor financiero le proporciona el siguiente cuadro en el que se recogen las posibles inversiones, su rendimiento, plazo, as como dos ndices de calidad de la inversin, uno proporcionado por un organismo estatal y el otro proveniente de una fuente extranjera. Para la obtencin de estos ndices de calidad se tienen en cuenta conceptos tales como liquidez, riesgo, etc, de difcil cuantificacin; el ndice estatal recorre una escala de la A a la Z, siendo A la mejor calidad, mientras que el ndice extranjero califica a las inversiones en una escala de 0 a 100, siendo 100 la mejor calidad.Indice de Calidad

Inversion123456TipoBonos Empresa PrivadaBonos EstatalesDeuda Publica NacionalDeuda Publica RegionalPagares EstatalesMoneda ExtranjeraOrganismo EstatalCBABADFuente Extranjera958592909793Dias10152121307Neto3,1663,996,305,946,381,75

El inversionista pretende elegir su cartera de modo que alcance los mximos beneficios. No obstante, el asesor financiero le aconseja que diversifique su inversin de acuerdo con los criterios siguientes:La cantidad colocada en inversiones estatales no debe ser superior al 70% del total invertido. La cantidad invertida en bonos debe ser superior a lo invertido en deuda pblica. La razn entre las inversiones en efectos de titularidad pblica (inversiones 2, 3, 4 y 5) y las inversiones en efectos de titularidad privada (inversiones 1 y 6) deben ser a lo sumo de tres a uno. No debe colocarse ms de un 60% en inversiones catalogadas por el organismo estatal con un ndice inferir o igual a B. La calidad media de la inversin segn el ndice de fuente extranjera debe ser como mnimo 92. Debido a las disposiciones legales, la cantidad mxima que puede invertirse en pagars estatales es de $4000000. La duracin media de la inversin debe estar comprendida entre 14 y 21 das.Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables reales:X1: Cantidad colocada en la inversin 1 (en millones de pesos).X2: Cantidad colocada en la inversin 2 (en millones de pesos).X3: Cantidad colocada en la inversin 3 (en millones de pesos).X4: Cantidad colocada en la inversin 4 (en millones de pesos).X5: Cantidad colocada en la inversin 5 (en millones de pesos).X6: Cantidad colocada en la inversin 6 (en millones de pesos).Z: Funcin de utilidad correspondiente a la ganancia obtenida de acuerdo a las inversiones realizadas 1, 2, 3, 4, 5 y/o 6.inversiones realizadas 1, 2, 3, 4, 5 y/o 6.Modelo (Primal):MAX Z = 3,16X1+ 3,99X2+ 6,30X3+ 5,94X4+ 6,38X5+ 1,75X6Con sus restricciones:

Resumiendo:MAX Z = 3,16X1+ 3,99X2+ 6,30X3+ 5,94X4+ 6,38X5+ 1,75X6Con sus restricciones:

62. Una empresa de confecciones puede producir 1000 pantalones o 3000 blusas (o una combinacin de ambos) diariamente. El departamento de acabado puede trabajar sobre 1500 pantalones o sobre 2000 blusas (o una combinacin de ambos) cada da; el departamento de mercadeo requiere que se produzcan diariamente al menos 400 pantalones. Si el beneficio de un pantaln es de $ 4000 y el de una blusa es de $ 3000. Cuntas unidades se deben de producir de cada uno para maximizar las utilidades ?.Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables de decisin:X1: Cantidad de pantalones a producir diariamente.X2: Nmero de blusas a fabricar por da.Z : Funcin de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pantalones y blusas.Modelo (Primal):MAX Z = 4000X1 + 3000 X2Sujeta a:

Resumiendo:MAX Z = 4000X1+ 3000X2Sujeta a:

63. La Granja Manizales tiene como actividad principal la cra y engorde de cerdos destinados al consumo humano como tambin a la fabricacin de embutidos. La tarea principal encargada por medio del veterinario es supervisar la preparacin de un alimento (salvado) especial, reconstituyente para alimentar una camada que se encuentra convaleciente de una leve enfermedad. Se precisan 1000 kgr del alimento cuya composicin debe cumplir las siguientes especificaciones: La cantidad de peso de hidratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%. La cantidad en peso de protenas (P) debe estar entre un 15% y un 50%. La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%. La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%.Para la preparacin del alimento se puede recurrir a tres tipos de cuido proporcionados por la compaa FINCA, dos tipos de harina de pescado suministrados por la empresa PURINA o bien comprar directamente en el almacn paquetes de mineralescon la composicin adecuada. La siguiente tabla muestra la composicin porcentuales en peso de cada uno de estos productos, as como su costo por kilogramo:

AlimentosCuido ACuido BCuido CHarina 1Harina 2MineralesH76644571690P21243721,50G3121826290M00010,5100Costo / Kgr2231451715125

El gerente desea evitar una excesiva dependencia de un nico proveedor, Al tiempo que desea mantener buenas relaciones comerciales con ambos proveedores; por ello, piensa que el pedido debera repartirse de manera equitativa entre las empresas FINCA y PURINA. En este sentido lo ms que podra tolerarse es una diferencia en ms o en menos entre los dos pedidos de hasta un 20% de la cantidad total pedida a ambos proveedores. Por otra parte la compaa FINCA ha avisado que las existencias de su cuido ms barato el A, son un tanto escasas, por lo que solo podr suministrar a tiempo a lo sumo 300 kgr. El problema que debe resolver la gerencia es determinar que cantidades compra de cada producto para fabricar el alimento necesario para el ganado porcino al menor costo posible.Definicin de variables:a) La cantidad de peso de hidratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%.b) La cantidad en peso de protenas (P) debe estar entre un 15% y un 50%.c) La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%.d) La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%.Modelo (Primal):MIN W = 22XA+ 31XB+ 45XC+ 17X1+ 15X2+ 125XMCon sus restricciones:

Resumiendo:MIN W = 22XA+ 31XB+ 45XC+ 17X1+ 15X2+ 125XMSujeta a:

64. Una empresa produce bobinas de papel de 500 metros de longitud y un metro de ancho ; se ha estimado que la demanda para el mes prximo es de : 500 bobinas de 20 cm de ancho, 400 bobinas de 30 cm de ancho, 250 bobinas de 40 cm de ancho y 300 bobinas de 70 cm de ancho (todas las bobinas son de 500 metros de longitud).El fabricante debe cortar las bobinas de un metro de ancho con el tamao de las peticiones para satisfacer la demanda, pero tambin desea que el desperdicio en el corte sea tal que el nmero de bobinas que fabrique de un metro sea mnimo con el objetivo que el costo de produccin tambin lo sea, si se considera desperdicio los sobrantes iguales o superiores a 10 cm.Variables reales:Xi: Nmero de bobinas a cortar de 500 metros segn el patrn i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10W: Funcin de costo del desperdicio en el corte de las bobinas.

Patrones12345678910205331010012300010112302400100011020700001100000Sobrantes (cm)00101001001000

MIN W = 10X3+ 10X4+ 1 0X6+ 10X8Sujeta a:

65. En la Empresa Colombiana de Petrleos ECOPETROL se procesan tres tipos de gasolina:

Tipo123ClasePopularCorrienteExtraOctanaje (Ocatnos)959298

Para ello se mezclan cuatro productos base, cuyo costo y disponibilidad son:

CostoABCDUnidad3000200040001000Costo / Unidad ($/Barril)90000180000120000150000

Para la clasificacin de la mezcla en uno de los tres tipos de gasolina se atiende a la proporcin de los productos que la componen de acuerdo a la siguiente tabla:

Producto123Producto A30%50%70%Producto B40%10%---Producto C50%------Producto D---------Utilidad/Unidad($/Barril)1500001200090000

---: Indica que no interesa la proporcin de ese producto.Variables de decisin:Y1 : Cantidad de barriles de gasolina tipo 1 (Popular).Y2 : Nmero de barriles de gasolina tipo 2 (Corriente).Y3 : Cantidad de barriles de gasolina tipo 3 (Extra).YA : Nmero de barriles del producto A.YB : Cantidad de barriles del producto B.YC : Nmero de barriles del producto C.YD : Cantidad de barriles del producto D.Xij : Nmero de barriles del producto i {A, B, C, D} invertidos en j {1, 2, 3}Z : Funcin de maximizacin de la utilidad.Modelo (Primal):MAX Z = 150000X1+ 120000X2+ 90000X3 90000YA 180000YB 120000YC 150000YDCon sus restricciones:

66. El gobierno actual requiere el mximo apoyo para que se apruebe en el Congreso el plan de desarrollo propuesto para el prximo ao. A travs de sus consejeros ha sabido que hay 35 congresistas de un grupo de coalicin y 27 de otro partido que an no han definido su voto. El presidente decide entonces concertar por telfono a estos congresistas indecisos para convencerlos de que lo apoyen, sabiendo que tiene una probabilidad 0,9 de xito con los miembros de la coalicin y 0,6 de otro partido. Cuntos congresistas de cada partido deber telefonear para maximizar su probabilidad de xito si no puede realizar un nmero total de llamadas superior a 30 en el actual rgimen de austeridad?Definicin de variables:XC: Cantidad de congresistas de la coalicin.Xo: Nmero de congresistas de otro partido.Z : Funcin de maximizacin del xito.Modelo (Primal):MAX Z = 0,9XC+ 0,6Xo

67. Una empresa requiere adquirir cuatro productos (1, 2, 3 y 4) y se conoce que hay tres compaas (A, B y C) que los procesan y los venden. La diferencia entre las compaas hace que los artculos se distingan por su calidad, es decir, probabilidad que sean menos defectuosos y sus precios:

CalidadABC10,40,60,720,60,70,630,80,40,540,70,90,8ProductoABC1683247532574396

Si se pretende tener una media no inferior a 8, 14, 23 y 15 unidades sin defecto de los productos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se desea minimizar el costo que se debe comprar.Variables reales:Xij : Cantidad de artculos i, i {1, 2, 3, 4} que se comprarn en la empresa j, j {A, B, C}W : Funcin de minimizacin de costos.Modelo (Primal):MIN W = 6X1A+ 4X2A+ 2 X3A+ 3X4A+ 8X1B+ 7X2B+ 5X3B+ 9X4B+ 3X1C+ 5X2C+ 7X3C+ 6X4CSujeta a:

68. Un granjero tiene 1000 hectreas de terreno para cultivar prximamente y desea planificar tales cultivos; sabe que necesitar disponer de 300 toneladas de trigo y 270 toneladas de maz para alimentar a su ganado, lo que puede obtener mediante su propia cosecha o por medio de compra en el mercado. Lo que produzca y que no se dedique a su ganado, lo puede vender; los precios de venta son $500000 y $450000 por cada tonelada de trigo y de maz, respectivamente. Los precios de compra son un 35% superior debido a las ganancias de intermediarios y a los costos de transporte.Otro cultivo posible es de la caa de azcar, que se vende a $300000 cada tonelada producida. Sin embargo, normas del Mercado Comn Latinoamericano imponen una cuota mxima para la produccin de azcar, lo que conlleva que cada tonelada de caa de azcar producida sobre tal cuota tendr un precio de venta de $100000; para el prximo cultivo se espera que tal cuota sea de 4000 toneladas.Basado en experiencias anteriores, el granjero conoce que la produccin media es de 8, 5 y 4 toneladas por hectrea de trigo, maz y caa de azcar. El costo de cultivar una hectrea de trigo, maz y caa de azcar es de $3000000, $3800000 y $4300000.Se debe plantear un modelo de Programacin Lineal que le ayude al granjero a maximizar sus beneficios.Variables de decisin:U1 : Cantidad de hectreas en las que cultivar trigo.U2 : Nmero de hectreas en las que sembrar maz.U3 : Cantidad de hectreas en las que plantar caa de azcar.V1 : Nmero de toneladas que comprar de trigo.V2 : Cantidad de toneladas que comprar de maz.W1 : Nmero de toneladas que vender de trigo.W2 : Cantidad de toneladas que vender de maz.W3 : Nmero de toneladas que vender de caa de azcar a $300000.W4 : Cantidad de toneladas que vender de caa de azcar a $100000.Z : Funcin de maximizacin de utilidades.Modelo (Primal):MAX Z= 6X1A+ 4X2A+ 2X3A+ 3X4A+ 8X1B+ 7X2B+ 5X3B+ 9X4B+ 3X1C+ 5X2C+ 7X3C+ 6X4CCon sus restricciones:

69. La gerencia de una planta termoelctrica de generacin de energa, que emplea carbn como combustible, est estudiando la configuracin operativa de la planta a fin de cumplir con las nuevas leyes de contaminacin ambiental; para esta planta, las tasas mximas de emisin son: mxima emisin de xido de azufre 4000 partes por milln (ppm), mxima emisin de partculas (humo) 10 kilogramos / hora (kgr / hor).El carbn se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depsitos cercanos a la misma; de aqu se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, donde se pulveriza y alimenta directamente la cmara de combustin, a la velocidad conveniente; el calor producido en la cmara de combustin, se utiliza para crear vapor, el cual impulsa las turbinas.Se emplean dos tipos de carbn: tipo A, que es un carbn duro y de quema limpia con un bajo contenido en azufre (bastante caro) y tipo B, que es un carbn barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido en azufre (ver tabla adjunta). El valor trmico en trminos de vapor producido es mayor para el carbn A que para el carbn B, siendo de 26000 y 18000 libras por tonelada respectivamente.

CARBONABOXIDO DE AZUFRE EN GASES COMBUSTIBLES1600 ppm4800 ppmPARTICULAS (EMISION / TON)0,5 Kg / Ton1 Kg / Ton

Como el carbn A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 18 toneladas de carbn A por hora; sin embargo puede pulverizar hasta 22 toneladas de carbn B por hora. El sistema de carga de la cinta transportadora tiene una capacidad de 20 toneladas por hora y es independiente del tipo de carbn.Uno de los interrogantes que se plantea la gerencia es que dados los lmites de emisin de los agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbn. Cul es la mxima produccin posible de electricidad de la planta que le permitir a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible para cubrir las demandas de energa?Definicin de variables:X1: Cantidad de carbn tipo A en toneladas utilizadas por hora en la quema .X2: Nmero de toneladas de carbn tipo B en toneladas empleadas en una hora para quema.Z: Funcin de maximizacin de produccin.Modelo (Primal):MAX Z= 26000X1+ 18000X2

Resumiendo:MAX Z= 26000X1+ 18000X2Con sus restricciones:

70. Una destilera dispone de malta propia en cantidad de 300 barriles / da. Adems, puede comprar malta de dos distribuidores A y B con costos de $12000 y $15000 por barril, en cantidades mximas de 600 y 400 barriles / da, respectivamente. La malta puede mezclarse directamente o destilarse para producir malta enriquecida de dos tipos 1 y 2. El destilador puede procesar a lo sumo 800 barriles / da. Un barril destilado de la propia casa produce 0,3 barriles de malta tipo 1y 0,6 barriles de malta tipo 2; un barril de malta A produce 0,4 barriles de malta tipo 1 y 0,4 barriles de malta tipo 2; un barril de malta B produce 0,7 barriles de malta tipo 1 y 0,1 barriles de malta tipo 2.La mezcla de malta no procesada se vende a $16000 el barril, limitndose el mercado a 150 barriles / da; el sobrante de malta debe destruirse con costo de $1200 el barril; con las maltas destiladas pueden hacerse dos productos un de superior calidad (S) que se vende a $20000 el barril y debe contener al menos el 60% de producto 1 y otro de baja calidad (B) que se vende a $15000 barril y puede contener a lo sumo el 50% de producto 2.La destilera desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 250 barriles por da y asegurarse un beneficio de $300000 diarios; adems, puesto que se espera un cambio en le mercado del producto de baja calidad, la destilera desea minimizar su produccin.Formular un modelo de Programacin Lineal que responda al problema de planificacin planteado teniendo en cuenta las limitaciones en la produccin y las exigencias de demanda y beneficio econmico, suponiendo, adems, que la venta de la mezcla est garantizada.Variables reales:Xi: Barriles por da de malta disponible del distribuidor i, i = {A, B, C} donde C: Malta disponible en la propia destilara.Xij: Cantidad de malta disponible del distribuidor i, dedicada a la actividad j, j = {M, D, d}, donde M: Mezcla, D: Destilera y d: Destruccin.X1: Produccin de barriles de malta de tipo 1 por da.X2: Nmero de barriles de malta de tipo 2 a producir diariamente.XS: Cantidad de barriles de malta de alta calidad.XB: Nmero de barriles de malta de baja calidad.Xkl: Cantidad de barriles de malta de tipo k, k = {1, 2} dedicada a la produccin de calidad l, l= {S, B}.W : Funcin de volumen de produccin de baja calidad.Modelo (Primal):MAX Z =X1B+X2BSujeta a:

71. La fbrica de Hilados y Tejidos "Manizales" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T por da se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.El T se vende a $4000 el metro y el T se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el mximo beneficio, cuntos metros de T y T se deben fabricar?Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Variables de decisin:X1: Cantidad de metros del tejido T a fabricar diariamente.X2: Nmero de metros del tejido T a producir por da.Z : Funcin de utilidad por la venta de los tejidos T y T.Modelo (Primal)::MAX Z = 4000 X1 + 5000 X2Sujeta a:1. 0.125 X1+0.2X25002. 0.150 X1+0.1X23003. 0.072 X1+ 0.027X2108X1, X20

72. La empresa "Caldas" tiene un sistema de produccin constituido por tres secciones, a travs de las cuales elabora dos productos. En la primera seccin lo ms que se pueden procesar son 300 unidades del artculo uno o 400 del producto dos diariamente; la seccin segunda fabrica como mnimo 350 unidades del producto uno o 450 unidades del producto dos por da.La seccin tercera puede elaborar hasta 400 unidades del artculo uno o 500 unidades del artculo dos diariamente.Si los productos uno y dos generan una utilidad de $1000 y $700 respectivamente. Cuntos productos de cada uno se deben fabricar para maximizar la utilidad?.Plantear el anterior problema como un modelo de Programacin Lineal.Definicin de variables reales:X1: Cantidad del producto uno a fabricar por da.X2: Cantidad del artculo dos a producir diariamente.Z : Funcin de utilidad de los productos uno y dos.Modelo (Primal)::MAX Z = 1000 X1 + 700 X2Con sus restricciones:Primera seccin:Cuando X1= 0, X2= 400; cuando X2= 0, X1= 300X2400 400/300 X11. 4X1+ 3 X21200Segunda seccin:Cuando X1= 0, X2= 450; cuando X2= 0, X1= 350X2450 450/350 X12. 9X1+ 7X23150Tercera seccin:Cuando X1= 0, X2= 500; cuando X2= 0, X1= 400X2500 500/400 X13. 5X1+ 4 X22000

73. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pant