syawaluddin hutahean vol. 16 no.1.pub

7/25/2019 Syawaluddin Hutahean Vol. 16 No.1.Pub

1/10

39Vol. 16 No. 1 April 2009

Hutahaean

Abstrak

Penelitian ini merupakan kelanjutan dari penelitian sebelumnya mengenai model refraksi gelombang denganmenggunakan potensial aliran gelombang nonlinier yaitu Hutahaean (2007c) dan (2008c). Adapun pengemban-

gan yang dilakukan adalah dengan mengerjakan persamaan muka air yang merupakan gabungan antarapersamaan kontinuitas dan persamaan kekekalan energi, Hutahaean (2005) dan (2007a) serta dengan menger-jakan persamaan momentum terbatas, Hutahaean (2008a) dan (2008b). Perkembangan yang dihasilkan adalah

bahwa terjadinya breakingganda yang jelas pada model, tetapi masih diperlukan koefisien breakingsebagai-

mana halnya dengan model terdahulu.

Kata-kata Kunci: Gelombang pecah, persamaan momentum terbatas, koefisienbreaking.

Abstract

This paper presents extended researches of earlier version about model of water wave refraction using nonlinier

flow potential, Hutahaean (2007c) and (2008c). The extension is the using of surface water equation, which issuperposition of continuity equation and energi conservation equation, and the working of limited momentumequation, Hutahaean (2008a) and (2008b). The improvement from the earlier version is that the model can show

double breaking clearly, but the model still need a breaking coefficient as the earlier models need.

Keywords: Wave breaking, limited momentum equation, breaking coefficient.

Model Refraksi-Difraksi Gelombang Air oleh Batimetri dengan

Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi

Syawaluddin Hutahaean

Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung,Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: [email protected]

ISSN 0853-2982

Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa SipilJurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil

1. Pendahuluan

Penelitian ini adalah kelanjutan dari penelitian sebe-lumnya yang dilakukan penulis dalam mengembang-

kan model transformasi gelombang dari perairandalam menuju perairan dangkal, dimana transformasitersebut meliputi refraksi gelombang, yaitu

pembelokan arah gelombang oleh kontur batimetridasar perairan, difraksi yaitu penyebaran gelombang,shoaling yaitu pembesaran tinggi gelombang ketika

gelombang bergerak menuju perairan yang lebihdangkal dan breakingatau gelombang pecah, dimana

bagian yang paling mendapat perhatian dari penulisadalah pada pengembangan kemampuan model dalam

mensimulasikan gelombang pecah.

Hutahaean (2007b), mengembangkan persamaangelombang nonlinier dimana potensial alirangelombang mengandung fenomena breaking.Berdasarkan persamaan ini maka dikembangkanpersamaan gelombang nonlinier pada dasar perairan

miring, dengan menggunakan metoda dan persamaandasar yang sama dan diaplikasikan pada pemodelanrefraksi gelombang dengan menggunakan persamaanrefraksi dari Noda, Hutahaean (2007c). Model refraksigelombang yang dihasilkan dapat memodelkanbreaking, dengan sejumlah keterbatasan antara lain

breakingyang terjadi hanya satu kali, dan perubahan

tingi gelombang kurang kontinu. Meskipun breakingadalah suatu peristiwa yang cepat, tetapi perubahan

tinggi gelombang tetap kontinu.

Selanjutnya, dalam usaha memperbaiki fenomenabreaking pada model, Hutahaean (2008a)mengembangkan suatu persamaan gelombangnonlinier dengan merumuskan dan mengerjakanpersamaan keseimbangan momentum dimana padapersaman ini terdapat suatu koefisien yang disebut

dengan koefisien momentum. Pada penelitian tersebutdigunakan koefisien momentum berharga satu, namun

demikian persamaan gelombang nonliier yangdihasilkan membaik pada fenomena breaking- nya.


2/10

40 Jurnal Teknik Sipil

Model Refraksi-Difraks i Gelombang Air oleh Batimetri...

Hutahaean (2008b) memperbaiki koefisien momentumdengan mengggunakan pendekatan asimtotisgelombang panjang dari Dean (1984) dan

menggunakan persamaan keseimbangan momentumtersbut untuk merumuskan persamaan momentum arah

vertikal-z dan mengaplikasikannya pada persamaangelombang panjang dari Airy yang disempurnakanyang dikembangkan oleh Hutahaean (2005) dan(2007a), dan didapatkan perbaikan pada modelgelombang panjang tersebut. Dari hal ini makadikembangkan persamaan gelombang nonlinier dengan

mengerjakan persamaan keseimbangan momentumdengan koefisien momentum dirumuskan berdasarkan

persamaan gelombang nonlinier. Penyempurnaanlainnya pada perumusan persamaan gelombangnonlinier adalah dengan mengerjakan persamaan

kekekalan energi.

Pada Hutahaean (2008c), dikembangkan persamaanrefraksi-difraksi dengan menggunakan persamaankontinuitas dan persamaan momentum serta denganmenggunakan persamaan gelombang nonlinier sepertiyang digunakan pada model refraksi pada Hutahaean(2007c). Pada model ini terdapat perbaikan pada hasilbreaking-nya yaitu terlihat perubahan tinggi

gelombang yang kontinu, tetapi fenomena breakingberulang hanya muncul pada satu kasus saja, meskipundigunakan gelombang dengan perioda dan amplitudoyang sama. Pada penelitian ini pengembangan padapersamaan refraksi-difraksi dilakukan denganmengerjakan persamaan kekekalan energi. Jadi terdapatdua pengembangan baru pada penelitian ini yaitu padaperumusan persamaan gelombangnya dan persamaan

refraksi-difraksi-nya.

2. Perumusan Persamaan Gelombang

Nonliner

2.1 Perhitungan bilangan gelombang k

Perhitungan bilangan gelombang k, dilakukan denganmenggunakan analisis satu dimensi untuk gelombang

yang bergerak pada arah sumbu-, dengan sistem

sumbu seperti pada Gambar 1.

z

y

x

Gambar 1. Sistem sumbu yang digunakan

2.1.1 Persamaan potensial aliran

Potensial aliran gelombang yang bergerak pada arahsumbu-, berdasarkan Hutahaean (2007c) dan (2008a)

adalah

k= bilangan gelombang, h= kedalaman perairan, =frekuensi sudut = 2/ Tdan T= perioda gelombang, = sumbu horisontal dan z= sumbu vertikal. Pada per-samaan potencial aliran tersebut terdapat kendala yaitu

pada:

2.1.2 Persamaan untuk menghitung bilangan

gelombangk

Untuk menghitung bilangan gelombang k dikerjakanpersamaan momentum yang terbatas, Hutahaean

(2008a) dan (2008b), yaitu:

Dimana u adalah kecepatan horisontal pada arah-,w

adalah kecepatan vertikal-z sedangkan adalah

persamaan fluktuasi muka air terhadap muka air diam.Koefisien momentum cuadalah:

dengan potensial aliran dari Persamaan (1)

kepersamaan momentum, akan terdapat variabel k,G, G / dan G / t. Pada suku G / akan terdapatsuku / , selain itu pada persamaan momentum itu

sendiri terdapat variabel kemiringan muka air / .Yang terakhir adalah bahwa pada suku G / t akan

= tkxzGe kh sincos)( (1))()()( zhkzhk eez ++ += )()(1 )(

zhkzhk eez ++ = ;

(2)

)()()( ++ += hkhk ee ; )()(1 )( ++ = hkhk ee

(3)

=

h1

h1

+(4)

1=

h, maka = .

( )

+

+

222

1

wu

t

=

2

g

( )uc

wuztz 2

1

2

1 22

+

+

(5)

u

wcu =

Substitusi

=uz

w

=

dan


3/10

41Vol. 16 No. 1 April 2009

Hutahaean

terdapat variabel / t. Jadi terdapat 5 buah fungsiyang perlu dirumuskan sebelum dapat melakukan

perhitungan bilangan gelombang k, yaitu G, G / , G / t, / , dan / t.

2.1.3 Formulasi Gdan G /

Persamaan untuk G dan G / dirumuskan denganmenggunakan persamaan kontinuitas yang terintegrasiterhadap kedalaman, Hutahaean (2007b) (2007c) danHutahaean (2008a). Persamaan kontinuitas yang

terintegrasi terhadap kedalaman adalah:

teori gelombang linier yaitu = Acosk cost danpersamaan dikerjakan pada suatu kondisi dimana:

Persamaan untuk G / diperoleh denganmenurunkan persamaan untuk G, yaitu Persamaan(6).

Pada persamaan untuk G, Persamaan (6), terdapat

kandungan fenomena breakingyaitu pada harga F0. Penjelasan kandungan breaking pada persamaantersebut secara lengkap dapat dilihat pada Hutahaean

(2007b), (2007b) dan (2008a).

2.1.4 Formulasi persamaan untuk /t dan /

Persamaan untuk / t dan / diperoleh denganmenggunakan persamaan muka air dari Hutahaean(2005) dan (2007a), yang merupakan superposisi

antara persamaan kekekalan masa atau persamaankontinuitas dengan persamaan kekekalan energi.

Dengan metoda ini maka terdapat interaksi antarapersamaan kontinuitas dan persamaan kekekalanenergi dengan persamaan momentum. Persamaan

muka air tersebut adalah:

Pada penelitian ini dilakukan pengembangan yaitupersamaan muka air menjadi:

Persamaan (11) dapat ditulis menjadi persamaan

untuk / t yaitu,

kinetik dari kecepatan u,sedangkan energi kinetik darikecepatan vertikal wadalah:

ke Persamaan (12), diperoleh persamaan untuk / t yang merupakan fungsi dari k, G dan G / dimana persamaan ini digunakan untuk mensubstitusi

suku / t pada persamaan momentum.

Bila Persamaan (11) diintegrasikan terhadap waktu,

diperoleh persamaan muka air (,t). Selanjutnyadengan menurunkan persamaan muka air tersebut

terhadap diperoleh persamaan kemiringan muka air

/ yang juga merupakan fungsi dari k, G danG / .Pemakaian persamaan kemiringan muka airini adalah untuk mensubstitusi suku / padapersamaan momentum.

t

= 0=

h-

dzu

Substitusi

=u dan persamaan muka air dari

(7)

( )

++

+=

hkBB

BkBF

21

1

1

2

h-

dz(z)

k

B

k

1)-(-)( 11 =

=

1B = 1)-(-)(1

(8)

h-

1 dz(z) =k

B

k

1)(-)( 2=+

2B = 1)(-)( + (9)

2Fe

FhFkA

Gkh

+

=

(10)

t

+

h-

dzu +

+

+

+

h-

kzkkzk

z

Ew

Eu

t

E

t

E dz = 0

t

+

h-

dzu

+

+

h-

kkk

z

Ew

Eu

t

E+

dz = 0 (11)

=

t

h-dzu

+

+

h-

kkk

z

Ew

Eu

t

E dz

(12)

dimana kzkk EEE +=

g

uEk

2

2

=, , adalah energi

g

wEkz

2

2

= . Substitusi

=u

zw

=

dan

22

1sincossincos ==== ttkk ,

=G

Fe

Akh

(6)

diperoleh persamaan untuk Gyaitu:


4/10



Dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan untuk

dengan menurunkan Persamaan (6)terhadap waktu t,kepersamaan momentum, Persamaan (5), makadiperoleh persamaan nonlinier untuk bilangan

gelombang k yang dapat diselesaikan dengan metodaiterasi dari Newton-Rhapson.

3. Persamaan Arah Gelombang

Persamaan potensial aliran untuk gelombang yang bergerakpada arah sumbu x dapat diperoleh dari persamaan potensial

aliran untuk gelombang bergerak pada arah sumbu yang

membentuk sudut sebesar dengan sumbu-x seperti terlihat

pada Gambar (1).

Persamaan potensial aliran yang bergerak pada arah sumbu

adalah diberikan oleh Persamaan (1), yaitu k = Gekh(z)

cosksint. Untuk sumbu yang membentuk sudut sebesar

terhadap sumbu-x, maka berlaku persamaan = xcos +

ysin. Dengan relasi ini persamaan potensial aliran untuk

gelombang yang bergerak pada bidang x-y adalah:

Persamaan arah gelombang diperoleh dengan

mensubstitusikan persamaan potensial aliran,Persamaan (13) kepersamaan muka air untuk aliran

yang bergerak pada arah x-y, yang merupakansuperposisi antara persamaan kontinuitas denganpersamaan kekekalan energi,

Persamaan (14) tersebut adalah merupakan pengem-

bangan dari Hutahaen (2005) dan (2007a), dimana:

G,

G

t

G

, ,

,t

dan

t

G

dimana diperoleh

= tyxkzGekh sin)sincos(cos)( + atau

= tykxkzGe yxkh sin)cos()( + (13)

coskkx =dimana sinkky =dan

+

+

+

h h

vdzy

udzxt

0dz

z

Ew

y

Ev

x

Eu

t

E

h-

kkkk =

+

+

+

(14)

g

uEkx

2

2

=kzkykxk EEEE ++= , ,g

vEky

2

2

= dan

g

wEkz

2

2

= .t

Harga didekati dengan persamaan

muka air dari teori gelombang linier yaitu = coskcost, sehingga diperoleh:

Harga G dan k pada persamaan arah gelombang inidiperoleh dari analisis satu dimensi. Pada persamaanarah gelombang ini terdapat suku yang mengandung

G / x dan G / y. Harga kedua besaran ini diperolehdari persamaan momentum yang akan dibahas pada

bagian berikut.

4. Persamaan untuk G / x dan G / y

4.1. Persamaan momentum fluida ideal

Persamaan momentum terbatas fluida ideal adalah,

Hutahaean (2008a) adalah,

4.1.1 Momentum-x yang terbatas

4.1.2 Momentum-y yang terbatas

2

A

t

=

. Substitusi

xu

=

y

v

=

,

zw

=

dan dengan menyelesaikan integrasi serta

dengan mengambil kondisi =+ )cos( ykxk yx

22

1sincos)sin( ===+ ttykxk yx

diperoleh persamaan arah gelombang adalah:

xa

)(cos

11

112

)(sinb

ya =

+

(15)

( ) +

++

+

2222

1

wvu

xtx

( ) +

++

+

u

v

c

cwvu

yty 22

1 222

( )x

g

cwvu

ztz u

=

++

+

22

1

2

1 222

(16)

( ) +

++

+

v

u

c

cwvu

xtx 22

1 222

( ) +

++

+

2222

1

wvu

yty

( )

y

g

cwvu

ztz v

=

++

+

22

1

2

1 222

(17)


5/10

43Vol. 16 No. 1 April 2009

Hutahaean

Dimana cudan cvdisebut dengan koefisien momentumyang berharga

Dari Persamaan (16)dan (17)tersebut akan diperoleh

2 persamaan simultan untuk G / x dan G / y.

Dengan cara yang sama dikerjakan pada Persamaan

(17), diperoleh:

Dari kedua persamaan ini dapat diperoleh harga-harga

G / x dan G / y.

5. Persamaan Amplitudo Gelombang

Persamaan amplitudo gelombang dirumuskan daripersamaan muka air, yaitu Persamaan (14). Persama-an diintegrasikan terhadap waktu tdiperoleh persama-

an muka air = (x,y,t) Pada integrasi terhadapwaktu tersebut akan terdapat suatu konstanta c(t),dimana berdasarkan Dean (1984) dapat diambil c(t)=

0 Persaman muka air dikerjakan pada kondisi cos(kxx+ kyy) = sin(kxx + kyy) = cost = sint =

u

wcu =

v

wcv =dan .

11211 by

Ga

x

Ga =

+

(18)

22221 b

y

Ga

x

Ga =

+

(19)

22

1 , yaitu kondisi perumusan berbagai persamaan,

2

A= dan 2=A

maka diperoleh statu harga elevasi muka air ,dimana

pada kondisi ini

6. Metoda Perhitungan

Perhitungan dan A pada suatu titik dilakukandengan metoda selisih hingga dan integrasi, denganpengerjaan secara iterasi. Penjelasan lengkapmengenai metoda perhitungan ini dapat dilihat pada

Hutahaean (2007c).

7. Contoh Hasil ModelUntuk meninjau hasil model, maka model dikerjakanpada sejumlah konfigurasi batimetri pantai.Gelombang yang digunakan adalah gelombang denganperioda 6 detik dengan amplitudo gelombangA0= 1.8m. Simulasi dilakukan pada suatu batimetri yangmembentuk teluk, tanjung dan pulau tenggelam. Padake 3 hasil simulasi tersebut terlihat bahwa model yang

dikembangkan dapat mensimulasikan peristiwarefraksi-difraksi, shoaling dan breaking, dimanabreaking yang terjadi adalah berupa multi breaking

yaitu breaking-shoaling-braking.

(a) Batimetri berkonfigurasi teluk

Gelombang datang

0 100 200 300 400 500 600

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

(m)

(m)


6/10



(b) Kontur tinggi gelombang pada teluk

0 100 200 300 400 500 600

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

(m)

(m)

(c) Tinggi gelombang pada teluk

(m)

(m)

(m)

Gambar 2. Hasil simulasi refraksi-difraksi pada teluk(a, b, c)


7/10

45Vol. 16 No. 1 April 2009

Hutahaean

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

(m)

(m)

gelombang datang

(a) Batimetri berkonfigurasi tanjung

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0

- 2 5 0

- 2 0 0

- 1 5 0

- 1 0 0

-5 0

0

50

10 0

15 0

20 0

25 0

(m)

(m)

(b) Kontur tinggi gelombang pada tanjung


8/10



(c) Tinggi gelombang pada tanjung

(m)

(m)

(m)

Gambar 3. Hasil simulasi refraksi-difraksi pada tanjung (a, b, c)

0 50 1 00 1 5 0 2 00 2 5 0 3 00 3 5 0 4 00 4 5 0 5 0 0 5 50 6 00

- 3 0 0

- 2 5 0

- 2 0 0

- 1 5 0

- 1 0 0

-5 0

0

50

10 0

15 0

20 0

25 0

30 0

gelombang datang

(m)

(m)

(a) Batimetri berkonfigurasi pulau tenggelam


9/10

47Vol. 16 No. 1 April 2009

Hutahaean

(b) Kontur tinggi gelombang pada pulau tenggelam

0 5 0 1 0 0 1 5 0 20 0 2 5 0 3 0 0 3 50 4 0 0 4 5 0 5 00 5 5 0 60 0

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

(m)

(m)

(m)

(m)

(m)

(c) Tinggi gelombang pada pulau tenggelam

Gambar 4. Hasil simulasi Refraksi-difraksi pada pulau tenggelam (a,b,c)


10/10



8. Kesimpulan

Seperti telah ditunjukkan pada hasil model yaitu

bahwa model dapat memberikan breakingganda, yaitubreaking-shoaling-breaking, dimana hal ini

merupakan suatu perkembangan dari model-modelsebelumnya. Namun terdapat kendala pada model ini,yaitu bahwa konvergensi iterasi bilangan gelombangsangat lambat pada kemiringan besar dimana padakemiringan batimetri lebih dari 0.18 tidak dapat

dicapai konvergensi.

Perkembangan penting yang diharapkan yaituterjadinya breaking secara otomatis tidak didapatkan

dimana pada model ini dikerjakan kriteria breakingyaitu pada saat harga F pada Persamaan (7) kurangdari 1.8, maka dipaksaFberharga 1.8 dimana harga inihanya untuk perioda gelombang 6 detik, harga ini

diperoleh dengan mengamati fenomena breakingpadapersamaan dispersi, karena itu masih diperlukanpenelitian lebih lanjut untuk mendapatkan model yang

dapat memodelkan breaking secara otomatis dengan

kemungkinan perbaikan pada persamaan untuk G

maupunF.

Daftar Pustaka

Dean, Robert G., and Dalrymple, 1984, Water Wave

Mechanics for Engineers and Scientists. New

Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

Hutahaean, S., 2005, Model Difraksi denganPersamaan Gelombang Airy yang Disempur-nakan, Thesis S3, Bandung: Departemen

Teknik Sipil, ITB.

Hutahaean, S., 2007a, Pemodelan Dinamika Gelom-bang dengan Mengerjakan PersamaanKekekalan Energi, Jurnal Teknik Sipil,Volume 14, No. 1, Bandung: Fakultas Teknik

Sipil dan Lingkungan, ITB.

Hutahaean, S., 2007b, Kajian Teoritis terhadapPersamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal

Teknik Sipil, Volume 14, No. 3, Bandung:Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB.

Hutahaean, S., 2007c, Model Refraksi Gelombang

dengan Menggunakan Persamaan GelombangNonlinier, Jurnal Infrastruktur danLingkungan Binaan, Volume III, No. 2,Bandung: Fakultas Teknik Sipil dan Lingkun-

gan, ITB.

Hutahaean, S., 2008a, Persamaan GelombangNonlinier pada Dasar Perairan Miring,JurnalTeknik Sipil, Bandung: Fakultas Teknik Sipil

dan Lingkungan, ITB, Volume 15 No.1.

Hutahaean, S., 2008b, Momentum Equilibrium Appli-cation in Airys Long Wave Equation,JurnalInfratsruktur dan Lingkungan Binaan,

Volume IV, No.1, Bandung: Fakultas TeknikSipil dan Lingkungan, ITB, Volume 15

No.1.

Hutahaean, S., 2008c, Model Refraksi-DifraksiGelombang Air Oleh Batimetri, JurnalTeknik Sipil, Bandung: Fakultas Teknik Sipil

dan Lingkungan, ITB, Volume 15 No.2.

syawaluddin hutahean vol. 16 no.1.pub

Documents