SubruangDefinisi : Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika berlaku :a) Jika u dan v adalah vektor pada W , maka u+v terletak di Wb) Jika k adalah skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di WContoh :Manakah bentuk berikut yang merupakan subruang R3a. Semua vektor berbentuk (a,0,0)Jawab :Ambil u=(a1,0,0) dan v=(a2,0,0) dalam WMaka u+v=(a1,0,0)+(a2,0,0)= (a1+a2,0,0) beeada dalam WKu= k(a1,0,0) = (ka1,0,0) berada dalam WJadi W subrauang dari R3b. Semua vektor berbentuk (a,1,1)Ambil u=(a1,1,1) dan v=(a2,1,1) dalam WMaka u+v=(a1,1,1)+(a2,1,1)= (a1+a2,1,1) tidak berada dalam WKu= k(a1,1,1) = (ka1,k,k) tidak berada dalam WJadi W bukan subrauang dari R3

c. Semua vektor berbentuk (a,b,c) dimana b=a+cAmbila u=(a1,a1+c1,c1) dan v= (a2, a2+c2, c2)Dalam WMaka :U+v = (a1,a1+c1,c1)+ (a2, a2+c2, c2)= (a1+a2, a1+a2+c1+c2 , c1+c2) dalam WKu = k(a1, a1+c1 , c1) = (ka1 , ka1+kc1, kc1) berada dalam WJadi W subruang dari R3

d. Semua vektor berbentuk (a,b,c) dimana b=a+c+1Jawab Ambil u=(a1,a1+c1+1, c1) , v=(a2, a2+c2+1 , c2) dalam WMaka U+v = (a1,a1+c1+1, c1) + (a2, a2+c2+1 , c2)= (a1+a2, (a1+a2)+(c1+c2)+2, c1+c2) tidak berada dalam WKu = k(a1 , a1+c1+1, c1) = (ka1, ka1+kc1+k, kc1) tidak berada dalam W Jadi W bukan subruang dari R3

Yang manakah matriks berikut yang merupakan subruang M22a) Semua matriks yang berbentuk :

Dimana a,b,c,d bilangan bulatJawab bukan subruang karena aksioma 2 tidak dipenuhib) Semua matriks yang berbentuk :

Dimana a+d=0Jawab :Ambil

dalam W

Maka :1. U+v = = berada di W2. ku = berada dalam wjadi merupakan sub ruangTugas :Semua matriks berukuran 2x2 sehingga det(A) =0Apakah polinomial berkut merupakan subruang dari P3

Semua polinomial a0 +a1x +a2x2+ a3x3 untuk mana a0=0Ambil u= 0 +b1x +b2x2+ b3x3 dan v= 0 +c1x +c2x2+ c3x3tugas 2semua polinomial a0 +a1x +a2x2+ a3x3 untuk mana a0 ,a1,a2, a3 semua bilangan bulat

Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor u1,u2,...,un jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentukW=k1u1 + k2u2 + k3u3 + ...+knun, dimana k1,k2,k3,...,kn skalarTinjaulah apakah u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) di R3. Perlihatkan bahwa w=(9,2,7) merupakan kombinasi linier dari u dan vTugas 3Buktikan apakah untuk w=(4,-1,8) merupakan kombinasi linier dari u dan vKalo bisa menemukan nilai k1,k2 dst maka merup komb lin jika tdk mk bukan komb lin

Jika v1,v2,...,vn adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v1,v2,...,vn maka dapat dikatakan vektor-vektor ini merentang V