STATISTIK - I

PENGUKURAN DISPERSI(MEASURES OF DISPERSION)

MENGAPA PERLU UKURAN DISPERSI.

RATA – RATA DAN MEDIAN HANYA MENGGAMBARKAN SENTRAL DARI SEKELOMPOK DATA, TETAPI TIDAK MENGGAMBARKAN BAGAIMANA PENYEBARANNYA..

DUA KELOMPOK DATA DENGAN RATA-RATA SAMA, BELUM TENTU MEMILIKI PENYEBARAN YANG SAMA. OLEH KARENA ITU, HANYA DENGAN RATA-RATA KITA TIDAK DAPAT MELIHAT GAMBARAN YANG JELAS DARI KELOMPOK DATA TERSEBUT.

UKURAN DISPERSI YANG KECIL MENUNJUKKAN NILAI DATA SALING BERDEKATAN (PERBEDAAN KECIL), SEDANGKAN NILAI DISPERSI YANG BESAR MENUNJUKKAN BAHWA NILAI DATA MENYEBAR (PERBEDAAN NILAI MASING-MASING DATA BESAR)

UKURAN DISPERSI DIGUNAKAN UNTUK MELENGKAPI PERHITUNGAN NILAI SENTRAL

CONTOH:

Data A terdiri dari nilai-nilai : 52 56 60 64 68

Data B terdiri dari nilai-nilai : 40 50 60 70 80

Rata-rata kedua kelompok data tersebut adalah sama (60) akan tetapi vasiasinilai-nilainya terhadap nilai sentral berbeda.

40 50 60 70 80

52 56 60 6864

Pengukuran Dispersi Absolud, digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data.

Metoda pengukuran dispersi absolud ada 4: Range; Deviasi Quartile; Deviasi Rata-Rata dan Deviasi Standar.

Pengukuran Dispersi Relatif, digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai- nilai observasi data lainnya.

Metoda pengukuran dispersi relatif ada 2: Koefisien Variasi dan Koefisien

Variaso Quartile.

ADA 2 MACAM PENGUKURAN DISPERSI

RANGE: HIGHEST VALUE – LOWEST VALUE

Contoh: 30; 25; 32; 35; 43; 37; 46

Highest Value = 46Lowest Value = 25Range: 46 – 25 = 21

INTERQUARTILE RANGE : Q3 – Q1

Contoh: 95 103 105 110 114 115 121Q1 = 103Q3 = 115Interquartile Range = 115 – 103 = 12

DEVIASI QUARTILE (Dk)

Dk = Q3 – Q1

2

Contoh: 95 103 105 110 114 115 121Q1 = 103Q3 = 115

Dk =

Q3 – Q1 = 115 – 103 = 12

Dk = 12/2 = 6

Q3 – Q1

2

Deviasi Rata-rata (Dx) = The arithmatic mean of the absolute value of the deviation from the arithmatic mean.

Σ | x - x |

n MD = Dx =

Contoh: 103 97 101 106 103

Rata-rata = (103 + 97 + 101 + 106 + 103)/5Rata-rata = 102n = 5Dx = {|103 - 102| + |97 – 102| + |101 - 102| + |106 - 102| + |103 - 102|}/5 = {1 + 5 + 1 + 4 + 1}/5 = 12/5 = 2,4.

DEVIASI RATA-RATA =MEAN DEVIATION

Deviasi Rata-rata untuk data berkelompok

Dx = Σ f | x – x |

n

f = frekwensi kelas ke – ix = titik tengah kelas ke Ix = rata-ratan= jumlah frkwensi data

i

i ii

Contoh:

Nilai Ujian Frkuensi

20 – 29 130 – 39 240 – 49 450 – 59 2

Jumlah 9

Nilai Ujian f x f x x – x | x – x | fi iii i i i

20 – 29 1 24,5 24,5 -17,8 17,830 – 39 2 34,5 69 -7,8 15,640 – 49 4 44,5 178 2,2 8,850 – 59 2 54,5 109 12,2 24,4

Jumlah 9 380,5 66,6

Σ f | x – x |Dx =

n

iii=1

nx =

x = 380,5/9 = 42,20

Σ f x

n

Dx = (66,6)/9 = 7,4

Jawab:

VARIANCE & STANDARD DEVIATION

Variance (Varian): The aritmatic mean of squared deviation from the mean

Standard Deviation (Deviasi Standar): The squared root of the variance

Populatin Variance : (σ ) = 2∑ (x - µ)

2

N

Population Standard Deviation (σ) = √∑ (x - µ)

2

N

Sample Variance (S ) = 2 Σ (x – x)

2

n - 1

Sample Standard Deviation (S) = √ { } Σ (x – x)

2

n -1

S = 2

Σx - (Σx) /n2 2

n - 1

n - 1S = √

{Σx - (Σx) /n}2 2

S = √ 1/(n-1) [ Σx - {(Σ x ) /n}]2 2i i

Catatan: untuk n > 100, (n – 1) dapat diganti dengan n

Rumus I

Rumus II

Contoh:

Hitung Varian dan Deviasi Standar dari data: 40, 50, 60, 70, 80.

Jawab:Rata-rata data = (40 + 50 + 60 + 70 + 80)/5 = 60

x x - x (x - x) x2

40 -20 400 160050 -10 100 250060 0 0 360070 10 100 490080 20 400 6400

300 1000 19000

Varian (s ) = (1000)/ 5-1 = 250

Deviasi Standar = √250 = 15,81

Atau: Varians := 1/(5-1){(19000 – 300)/5= 250Deviasi Standar:= √ 250= 15,81.

2

2

Untuk Data Berkelompok:

Variance = Σ f (x – x )

n - 1

i ii

2

Deviasi Standar = √Σ f (x – x )

n - 1

i i2

Contoh : Hitung Varians dan Deviasi Standar menggunakan rumus I & II

Waktu (Menit) f

0 - < 10 210 - < 20 620 - < 30 1630 - < 40 1240 - < 50 750 - < 60 460 - < 70 270 - < 80 1Jumlah 50

0 - < 10 2 5 10 -28,2 795,24 1590,4810 - < 20 6 15 90 -18,2 331,24 1987,4420 - < 30 16 25 400 -8,2 67,24 1075,8430 - < 40 12 35 420 1,8 3,24 38,8840 - < 50 7 45 315 11,8 139,24 974,6850 - < 60 4 55 220 21,8 475,24 1900,9660 - < 70 2 65 130 31,8 1011,24 2022,4870 - < 80 1 75 75 41,8 1747,24 1747,24

Jumlah 50 1160 4569,92 11388,00

Waktu (Menit) f x fx x - x (x - x ) f ( x - x)

x = (Σf x )/n = 1600/50 = 33,2

S = {Σf (x - x)}/(n-1) = 11388/(50 – 1) = 11338/49 = 231,388

S = √231,388 = 15,21

i i

i i

22

PENGUKURAN DISPERSI RELATIF

Coeficien Variasi (Coeficient of Variation) (V/CV)):

The ratio of the standard deviation to thearithmatic mean, expressed as a percent.

V(CV) = x 100%S

x

Coeficien Variasi Quartil (Vk):

Adalah Deviasi Kwartil dibagi Median

Vk =Q3 – Q1

Q3 + Q1

PENGUKURAN KEMENCENGANSUATU DISTRIBUSI FREKUENSI

DISTRIBUSI SIMETRIS

Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilairata-rata.

Curve B :Skewed Left

Curve A :Skewed Right

KEMENCENGAN

Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan nilai rata-rata.

Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)

METODA PENGUKURAN KEMENCENGAN

Koefisien Karl Pearson:

Sk = ( x – mo)/s

Catatan:Jika Sk positif artinya distribusi frekwensi menceng ke kanan.Jika Sk negatif artinya distribusi frekwensi menceng ke kiri.Jika Sk = 0 artinya distribusi frekwensi simetris.

Sk = Kemencenganx = Rata-rataMo = Moduss = deviasi standar

Hubungan Rata-rata Hitung, Median dan Modus

X - Mo = 3(X - Md)

Mo = X – 3 (X – Md)

Sk = (X – Mo)/s

X – {X – 3 (X – Md)}

sSk =

3 (X – Md)}s

Sk =

X > Md > Mo X < Md < Mo

X = Md = Mo

Sk = ( x – mo)/s

Contoh:Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut:

Upah/Jam Jumlah Karyawan

300 – 349 68350 – 399 142400 – 449 100450 – 499 60500 – 549 40550 – 599 20600 – 649 10

440

Jawab:1. Menghitung Median: Letak Median = 440/2 =220

Jawab:1. Menghitung Median: Letak Median = 440/2 =220

Md = Lmd + x CiN/2 - Fk

Fmd

100Md = 399,5 +

440/2 - 21050

Md = 404,5

Upah/Jam Jml Kary x fx fk (x – x) f (x – x)

300 – 349 68 324,5 22.066 68 9158,5 622778350 – 399 142 374,5 53.179 210 2088,5 296567400 – 449 100 424,5 42.450 310 18,5 1850450 – 499 60 474,5 28.470 370 2948,5 176910500 – 549 40 524,5 20.980 410 10878,5 435139,6550 – 599 20 574,5 11.490 430 2948,5 58969,8600 – 649 10 624,5 6.245 440 10878,5 108785

440 184.880 1700999,4

2 2

2. Menghitung Rata-rata:

X = ∑(fi.xi)

n

X = (184.880)/440

X = 420,18

3. Menghitung Modus:

Mo = Lmo +d1

d1 + d2x Ci

Mo = 349,5 +74

74 + 4250

Mo = 381,39

4. Menghitung Deviasi Standar

Deviasi Standar = √Σ f (x – x )

n - 1

i i2

= √ (1700999,4)/(440 -1)

= 62,25S

S

5. Koefisien Karl Pearson:

Sk = ( x – mo)/s

Sk = (420,18 – 381,39)/62,25

Sk = 0,6231

Sk = 62,31%

3 (X – Md)}s

Sk =

Atau:

Sk = 3(420,18 – 404,5)/62,31

Sk = 75,56%

Hasil perhitungan berbeda, karena adanya perbedaan nilai antara Median danModus. Apabila kita berkeyakinan bahwa Modus bukan merupakan ukuran nilai sentral yang baik, sebaiknya kita menggunakan Median.

Catatan: Semakin besar nilai koefisien Karl Pearson, semakin tinggi tingkat kemencengan sebuah distribusi frekwensi (kurva).

Koefisien Bowley

Sk =(Bowley)(Q - Q )

(Q - Q ) – (Q - Q )3 2 2 1

3 1

Q = Kwartil ke 1

Q = Kwartil ke 2

Q = Kwartil ke 3

1

2

3

y x

Q Q Q1 2 3

Jika nilai Koefisien Bowley positif artinya (Q - Q ) > (Q - Q ), maka distribusi frekwensi menceng ke kanan. Sedangkanapabila koefisien Bowley negatif artinya

3 2 2

(Q - Q ) < (Q - Q ) maka distribusi frekwensi menceng ke kiri. Bila koefisien Bowley = 0, artinya

3 2 2

(Q - Q ) = (Q - Q ) maka distribusi frakwensi adalah simetris.

3 2 2 1

1

1

(Q - Q ) > (Q - Q )3 2 2 1

X > YMenceng ke kanan

(Q - Q ) < (Q - Q )3 2 2 1

X < YMenceng ke kiri

xy

Q Q Q1 2 3 Q Q Q1 2 3

(Q - Q ) = (Q - Q )3 2 2 1

X = YSimetris

xy

Contoh:Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut menggunakan rumus koefisien Bowley:

Upah/Jam Jumlah Karyawan

300 – 349 68350 – 399 142400 – 449 100450 – 499 60500 – 549 40550 – 599 20600 – 649 10

440

300 – 349 68 68 350 – 399 142 210 400 – 449 100 310 450 – 499 60 370 500 – 549 40 410 550 – 599 20 430 600 – 649 10 440

440

Upah/Jam Jml Kary fk Jawab:1. Menghitung Quartile 1, 2 & 3 :

Letak Q1 = 440/4 =110Letak Q2 = 2 (440)/4 = 220Letak Q3 = 3 (440)/3 = 330

Qi = LQi + [ ] x(in/4) - fk

fQiCi

Q1 = 349,5 + 50

Q1 = 364,3

440/4 - 68

142

Q2 = 399,5 + 50

Q2 = 404,5

2(440)/4 - 210

100

Q3 = 449,5 + 50

Q3 = 466,1

3(440)/4 - 310

60

Menghitung Koefisien Bowley:

Sk =(Bowley)(Q - Q )

(Q - Q ) – (Q - Q )3 2 2 1

3 1

Sk =(Bowley)(466,1 - 364,3)

(466,1 – 404,5 ) – (404,5 - 364,3)

Sk = 21,02 %(Bowley)

Sk (Bowley)

Catatan:Menurut Bowley, apabila > +30% atau < -30%, menunjukkan bahwa distribusi frekwensi memiliki tingkat kemencengan yang tinggi.

ANGKA INDEKS

Angka Indeks: merupakan suatu metoda statistik untuk mengukur perubahan atau mengadakan perbandingan antara variable-variable ekonomi dan sosial dari waktu ke waktu.

Dalam menyusun angka indeks, nilai pada suatu periode dibandingkan dengan nilai pada tahun dasar (base year). Angka indeks pada tahun dasar (base year) selalu 100.

Tujuan penyusunan Angka Indeks adalah untuk memudahkan kita membandingkan nilai-nilai observasi dari waktu ke waktu.

Rumus : x 100 V

V

n

0

Dimana : V = Nilai tahun ke n V = Nilai tahun Dasar

n

0

Contoh:

Tahun Harga Beras/Kg

1980 2501981 3001982 3001983 4001984 500

Apabila tahun 1980 ditentukan sebagai tahun dasar, hitung anka indeks tahun 1981,1982,1983, dan 1984.

Jawab:

I (1981) = (300)/(250) x 100 = 120I (1982) = (300)/(250) x 100 = 120I (1983) = (400)/(250) x 100 = 160I (1984) = (500)/(250) x 100 = 200

1. Angka Indeks Sederhana.

Adalah angka indeks yang menyatakan perbandingan satu macam komoditi

Rumus : I = x 100 V

V

n

0

n

Dimana : V = Nilai tahun ke - n V = Nilai tahun Dasar

I = Angka Indeks Tahun ke – n

n

0

n

Contoh:Harga komoditi susu selama 3 tahun adalah sebagai berikut:

Hitung Indeks Harga (IH) tahun 1990 dan 1991 dengan tahun 1989 sebagai tahun dasar.

Tahun Harga (Rp)

1989 5001990 7501991 1000

Jawab:

IH(1990) = (750)/(500) x 100 = 150IH(1991) = (1000)/(500) x 100 = 200

2. Angka Indeks Agregatif

Adalah Angka Indeks yang menyatakan perbandingan sekelompok komoditi.

Rumus:

IA = x 100Σ Vn

∑ V0

Keterangan:IA = Angka Indeks Agregatif Σ Vn = Jumlah nilai komoditi th ke-n∑ V0 = Jumlah nilai komoditi th dasar

Contoh:

Komoditi Harga Th 89 Harga Th 90 Harga Th 91

Susu 500 750 1000Gula 200 400 600Beras 300 150 450

Jumlah 1000 1300 2050

Jawab: IHA 90 = (1300)/(1000) x 100 = 130

IHA 91 = (2050)/(1000) x 100 = 205

3. Angka Indeks Agregatif Tertimbang

Rumus:

AIw = x 100∑Vn x W

∑V0 x W

Dimana W adalah faktortimbangan.

AIw = x 100∑Vn x W

∑V0 x W(Las Peyres)

0

0Rumus Angka Indeks Agregatif Las Peyres

AIw = x 100∑Vn x W

∑V0 x W(Paasche)

n

n

Note: Untuk menghitung Indeks Harga, Las Peyres menggunakan kuantitas tahun dasar (W0) sebagai penimbang, sedangkan Paasche menggunakan kuantitas tahun ke n (Wn) sebagai penimbang.

Rumus Angka Indeks Agregatif Paasche

Contoh:

Komoditi Harga(p) Jumlah(q) (p) (q) (p) (q)

1989 1990 1991

Susu 500 20 750 20 1000 40Gula 200 10 400 50 600 60Beras 300 10 150 15 450 30

Jumlah 1000 40 1300 85 2050 130

Jika tahun 1989 dijadikan tahun dasar, maka:a. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Laspayer.b. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Paasche.

Jawab:a. Rumus Indeks Harga Agregatif Laspeyres & Paasche:

IH = x 100∑pn x q0

∑p0 x q0

(Las Peyres)

Untuk tahun 1990, Indeks Harga:

IH(Laspeyres) = x 100 Σp1990 x q1989

Σp1989 x q1989

IH = x 100∑pn x qn

∑p0 x qn

(Paasche)

IH(Paasche) = x 100 Σp1990 x q1990

Σp1989 x q1990

p89 p90 q89 q90 p90xq89 p89xq89 p90xq90 p89x q90

500 750 20 20 15000 10000 15000 10000200 400 10 50 4000 2000 20000 10000300 150 10 15 1500 3000 2250 4500

20500 15000 37250 24500

IH90 = x 100∑p90 x q89

∑p89 x q89

(Las Peyres)

= {(20500)/(15000)} x100= 136,67

IH90(Paasche) = x 100 Σp1990 x q1990

Σp1989 x q1990

= {(37250)/(24500)} x100 = 152,04IH90(Paasche)

IH90(Las Peyres)

IH91(Laspeyres) = x 100 Σp1991 x q1989

Σp1989 x q1989

= x 100

= {(30500)/15000} x 100

= 203,33

(1000x20) + (600x10) + (450x10)

15000

IH91(Laspeyres)

IH91(Paasche) = x 100 Σp1991 x q1991

Σp1989 x q1991

{(1000x40) + (600x60) + (450x30)}

{(500x40) + (200x60) + (300x30)= x 100

= (89500)/(41000) x 100= 218,29IH91(Paasche)

Tahun IH Laspeyers IH Paasche

1989 100 1001990 136,67 152,041991 203,33 218,29

Hasil selengkapnya:

Note:1. Angka Indeks Laspeyres lebih banyak digunakan karena lebih praktis.2. Angka Indeks Laspeyres menggunakan kuantitas tahun dasar sebagai

penimbang (tetap) sehingga hanya perubahan harga yang memperngaruhi indeks.

3. Angka Indeks Paasche menggunakan kuantitas tahun ke-n sebagai penimbang. Sehingga disamping dipengaruhi oleh perubahan harga, AngkaIndeks Harga Paasche tidak murni karena dipengaruhi juga oleh perubahan kuantitas.

4. Kelemahan Angka Indeks Harga Paasche adalah karena untuk dapat menghitung Angka Indek diperlukan waktu dan biaya untuk mengumpulkan data kuantitas yang terakhir.

Selain digunakan untuk menghitung Angka Indeks Harga, rumus Las Peyres dan Paasche dapat digunakan untuk menghitung Angka Indeks Kuantitas.

Rumus Angka Indeks Kuantitas Las Peyres:

IK = x 100∑qn x p0

∑q0 x p0

(Las Peyres)

Rumus Angka Indeks Kuantitas Paasche:

IK = x 100∑qn x pn

∑q0 x pn

(Paasche)

Contoh:

Komoditi Harga Kuantitas Harga Kuantitas

Daging 100 40 115 50Roti 200 1 220 1Cabai 20 100 27 90

1990 1991

IK 1991 = x 100∑q91 x p90

∑q90 x p90

(Las Peyres)

= x 100 (50 x 100) + (1 x 200) + (90 x 20)

(40 x 100) + (1 x 200) + (100 x 20)

= 112,9

IK1991 = x 100∑q91 x p91

∑q90 x p91

(Paasche)

= x 100(50 x 115) + (1 x 220) + (90 x 27)

(40 x 115) + (1 x 220) + (100 x 27)

= 117,7

Angka Indeks Fisher

AIw (Fisher) = √ (Angka Indeks Las Peyres x Angka Indeks Paasche)

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√AIw (Fisher) =

Pengujian Matematis Angka Indeks.

Untuk mengetahui baik tidaknya rumusan Angka Indeks, dapat digunakan 2cara pengujian:

a. Pengujia Pembalikan Waktu (Time Reversal Test)b. Pengujian Pembalikan Faktor (Factor Reversal Tes)

a. Pengujian Pembalikan Waktu.Suatu Angka Indeks adalah baik jika memenuhi kondisi:

(Angka Indeks 0,n) x (Angka Indeks n,0) = 1

Dimana: Angka Indeks 0,n = Angka Indeks dengan periode 0 sebagai tahun dasar.Angka Indeks n,0 = Angka Indeks dengan periode n sebagai tahun dasar.

Contoh:

Angka Indeks Las Peyers:

AI 0,n =∑pn x q0

∑p0 x q0

∑p0 x qn

∑pn x qn

AI n,0 =

(AI 0,n) x (AI n,0) = =/= 1∑p0 x qn

∑pn x qn

∑pn x q0

∑p0 x q0

X

Angka Indeks Paasche:

AI 0,n =∑pn x qn

∑p0 x qn

∑p0 x q0

∑pn x q0

AI n,0 =

(AI 0,n) x (AI n,0) = =/= 1∑p0 x q0

∑pn x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

X

Angka Indeks Fisher:

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√AI 0,n =

∑p0 x qn

∑pn x qn

∑p0 x q0

∑pn x q0

x√AI n,0 =

(AI 0,n) x (AI n,0) = ∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√ ∑p0 x qn

∑pn x qn

∑p0 x q0

∑pn x q0

xx = 1

Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat.

b. Pengujian Pembalikan FaktorSuati rumusan Angka Indeksbaik jika memenuhi kondisi:Bila faktor p dan q pada suatu rumus Angka Indeks dipertukarkan sehingga diperoleh rumus baru, maka hsil perkalian rumus baru dengan rumus lama

Indeks Las peyers

AI = ; ∑pn x q0

∑p0 x q0

∑qn x p0

∑q0 x p0

AI setelah pembalikan faktor =

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑qn x p0

∑q0 x p0

x =/=Σpn . qn

Σp0 . q0.

Σpn . qn

Σp0 . q0.harus sama dengan :

Indeks Paasche

AI = ; ∑pn x qn

∑p0 x qn

∑qn x pn

∑q0 x pn

AI setelah pembalikan faktor =

∑pn x qn

∑p0 x qn

∑qn x pn

∑q0 x pn

x =/=Σpn . qn

Σp0 . q0.

Indeks Fisher

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√AI =

∑qn x p0

∑q0 x p0

∑qn x pn

∑q0 x pn

x√

AI setelah pembalikan faktor:

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√ ∑qn x p0

∑q0 x p0

∑qn x pn

∑q0 x pn

x√X

=∑pn x qn

∑p0 x q0

Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat.

Karena melalui dua cara pengujian ini hanya Indeks Fisher yang memenuhi syarat,maka Angka Indeks Fisher disebut angka indeks yang ideal (Fisher Ideal Index)

Perubahan Tahun dasar Angka Indeks.

Perubahan tahun dasar Angka Indeks dilakukan dengan 2 tujuan:a. Untuk memudahkan dalam membandingkan dua kelompok angka

indeks yang tidak samatahun dasarnya.b. Untuk memperbaharui tahun dasar yang sudah terlalu jauh dari tahun

sekarang.

Contoh: Angka Indeks harga mobil dengan tahun dasar 1985.

Tahun Angka Indeks Tahun Angka Indeks

1985 1001986 1101987 1201988 1201989 1301990 1501991 1601992 200

1985 401986 501987 601988 801989 901990 1001991 1201992 150

Angka Indeks harga rumahdengan tahun dasar 1990.

Agar kita dapat membandingkan perubahan harga mobi dan garga rumah, kita harus menyamakan tahun dasar kedua Angka Indekstersebut di atas. Dalam contoh ini kita harus merubah tahundasar Angka Indeks harga mobil dari tahun 1985 ke tahun 1990 dengan menggunakan rumus sbb.:

A.In = x 100 AI tahun ke n

AI tahun dasar yang baru

Tahun AI Harga Mobil (Th Dasar 1990)

1985 (100/150)x100 = 66,671986 (110/150)x100 = 73,331987 (120/150)x100 = 801988 (120/150)x100 = 801989 (130/150)x100 = 86,671990 (150/150)x100 = 1001991 (160/150)x100 = 106,671992 (200/150)x100 = 133,33

Tahun AI Harga Mobil AI Harga Rumah

1985 66,671986 73,331987 80,001988 80,001989 86,671990 100,001991 106,671992 133,33

40,00 50,00 60,00 80,00 90,00 100,00 120,00 150,00

Dengan menyamakan tahun dasar, maka kita dapat membandingkan perubahan harga mobil dan harga rumah menggunakan Angka Indeks seperti dibawah ini:

Kesimpulan: Harga rumah lebih cepat berubah (naik) jika dibandingkan dengan harga mobil.

TIME SERIES(DERET BERKALA)

Suatu rerangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu variabel yang dicatat dalam jangka waktu yang berurutan.

Komponen Time Series.

Trend (T)Variasi Musim (V)Variasi Sikli (S)Irregular atau Random (R)

Time Series merupakan hasil perkalian dari T, V, S, dan R

Time Series = T x V x S x R

Time Series:

1. Trend

Trend merupakan gerakan jangka panjang yang mempunyai kecenderungan menuju pada satu arah, yaitu naik dan turun.

Contoh:

Tahun Triwulan 1 Triwulan 2 Triwulan 3 Triwulan 4

1983 187 243 209 291 1984 198 263 270 2971985 274 363 295 3351986 233 273 240 2901987 207 295 239 3161988 237 367 300 4301989 282 425 383 4781990 375 430 392 5601991 373 423 387 433

PENJUALAN MOBIL

0

100

200

300

400

500

600

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

TAHUN

JU

ML

AH

PE

NJ

UA

LA

N

Series1

Series2

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

1991

Data dalam tabel di atas dapat disajikan dalam gambar sebagai berikut:

Triwulan

PENJUALAN MOBIL

0

100

200

300

400

500

600

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

TAHUN

JU

ML

AH

PE

NJ

UA

LA

N

Series1

Series2

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

1991

Pada gambargrafik dapat ditarik garis Trend seperti berikut:

Long Term Trend

VARIASI MUSIM

0

200

400

600

800

1000

1 2 3 4

TRIWULAN

JU

ML

AH

PE

NJU

AL

AN

Series3

Series2

Series1

2. Variasi Musim.

Adalah gerakan jangka pendek (kurang dari satu tahun) yang berulang secara teratur dari tahun ke tahun

Contoh: Penjualan pakaian naik setiap menjelang lebaranPenjualan buku naik setiap tahun ajaran baru.

1983

1984

1985

3. Sikli

Adalah suatu gerakan jangka panjangyang memiliki unsur siklus, yaitu perluasan (expansion), puncak (peak), kemunduran (contraction) dan depresi (trough).

PENJUALAN MOBIL

0

20

40

60

80

100

1 3 5 7 9 11 13 15 17

TAHUN

JU

ML

AH

PE

NJU

AL

AN

Series1

Peak

Contraction Trough

Expansion

Long term Trend

4. Random

Random atau irregular adalah gerakan yang bersifat acak atau tidak beraturan sehingga tidak dapat diprediksi sebelumnya. Contoh, naiknya harga minyak karena perang teluk, naiknya harga gabah karena gagal panen, dsb.

PENJUALAN MOBIL

0

50

100

150

200

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

TRIWULAN

FA

KT

OR

IR

RE

GU

LA

R (

%)

Series1

TREND LINEAR DENGAN METODA LEAST SQUARE

Trend jangka panjang dari berbagai data bisnis sering diperkirakan menggunakan persamaan garis lurus sebagai berikut:

Ŷ = a + bx

Dimana:

Ŷ(baca Y prime) = nilai proyeksi variable Y untuk nilai x tertentu.a = konstanta, nilai Y apabila x = 0b = slope, menunjukkan berapa satuan Y apabila x berubah satu unit.

PENJUALAN KENDARAAN

0

10

20

30

40

50

0 5 10

TAHUN

VO

LU

ME

Series1

Garis Trend

Proyeksi nilai penjualan yang digambarkan dengan Garis Trend, memiliki perbedaan (selisih) bila dibandingkan dengan nilai aktualnya.Besar perbedaan atau deviasi adalah (Y –Ŷ). Trend yang baik adalah yang memiliki deviasi yang terkecil. Semakin kecil deviasinya berarti trend tersebut semakin representatif.

Metoda selisih kuadrat terkecil Least Square Method merupakan metoda menghitung persamaan trend linear yang menghasilkan selisih atau deviasi kuadrat (Y – Ŷ) terkecil.

Dengan menggunakan Least Square Method, nilai a dan b pada persamaan trend linear dapat dihitung dengan rumus sbb.:

2

b = Σ XY

Σ X2

a = Σ Y

n Dimana:

ΣY = Jumlah penjualan aktualn = Jumlah tahun dalam dataΣXY = Jumlah perkalian variabel X dan YΣX = Jumlah kuadrat dari variabel X

2

Varabel X adalah waktu (misal tahun 1999,2000, 2001, dst.). Untuk menyederhanakan perhitungan, variaable waktu tidak dinyatakan dalam tahun, akan tetapi dalam kode seperti 1, 2, 3, dst.

Contoh:

Untuk data ganjil

Tahun Koding

1980 -21981 -11982 01983 11984 2

Note: Tahun yang terletak ditengah (1982) diberi koding 0. Jarak antar tahun ± 1

Untuk data genap

Tahun Koding

1980 -51981 -31982 -11983 11984 31985 5

Note: Kode 0 diletakkan diantar 2 tahun yang ditengah (1982 dan 1983. Jarak antar tahun ± 2

0

Contoh:

Volume penjualan PT. X selama 5 tahun adalah sebagai berikut:

Tahun Penjualan (ribu Unit)

1985 71986 101987 91988 111989 13

a. Buatlah persamaan garis trend linear menggunakan metoda Least Squareb. Hitung proyeksi penjualan selama 1985 – 1989 menggunakan persamaan

garis trend linearc. Buatlah ramalan penjualan untuk tahun 1990 dan tahun 1991

Jawab:

Tahun Penjualan (Y) X XY X

1985 7 -2 -14 41986 10 -1 -10 11987 9 0 0 01988 11 1 11 11989 13 2 26 4

2

50 13 10

Menghitung a dan b:

b = Σ XY

Σ X2

a = Σ Y

n

a = (50)/5 = 10 b = (13)/10 = 1,3

Ŷ = 10 + 1,3X

a. Persamaan garis trendnya adalah : Ŷ = 10 + 1,3X

b. Proyeksi penjualan

Tahun X Proyeksi Penjualan

1985 -2 Ŷ = 10 + 1,3 (-2) = 7,41986 -1 Ŷ = 10 + 1,3 (-1) = 8,71987 0 Ŷ = 10 + 1,3 (0) = 101988 1 Ŷ = 10 + 1,3 (1) = 11,31989 2 Ŷ = 10 + 1,3 (2) = 12,6

c. Penjualan tahun 1990 (X =3) dan tahun 1991 (X = 4)

Ŷ1990 = 10 + 1,3 (3) = 13,9 (ribu unit)

Ŷ1991 = 10 + 1,3 (4) = 15,2 (ribu unit)

1985 2 1986 41987 31988 61989 51990 10

Tahun Penjualan (Y)

Data penjualan PT Y selama 6 tahun (dlm juta unit)

Pertanyaan:

a. Buatlah persamaan trend linear dengan menggunakan metoda least square.b. Hitung proyeksi penjualan menurut persamaan trend linear.c. Buat ramalan penjualan tengan tahun 1991 dan awal 1992.

Tahun Penjualan (Y) X XY X

1985 2 -5 -10 25 1986 4 -3 -12 91987 3 -1 -3 1 1988 6 1 6 1 1989 5 3 15 91990 10 5 50 25

2

30 46 70

Jawab:

a = Σ Y

nb =

Σ XY

Σ X2

a. Persamaan garis trend:

a = (30)/6 = 5 b = (46)/70 = 0,657

Ŷ = 5 + 0,657X

a. Persamaan garis trend : Ŷ = 5 + 0,657X

b. Proyeksi berdasarkan trend:

Tahun X Proyeksi Penjualan

1985 -5 Ŷ = 5 + 0,657 (-5) = 1,7151986 -3 Ŷ = 5 + 0,657 (-3) = 3,0291987 1 Ŷ = 5 + 0,657 (-1) = 4,3431988 1 Ŷ = 5 + 0,657 (1) = 5,6571989 3 Ŷ = 5 + 0,657 (2) = 6,9711990 5 Ŷ = 5 + 0,657 (3) = 8,285

c. Ramala penjualan untuk pertengahan tahun 1991 (x = 7)

Ŷ = 5 + 0,657(7) = 9,599

Ramalan penjualan awal tahun 1992 (x = 7 + 1 = 8)

Ŷ = 5 + 0,657(8) = 10,256

Merubah tahun dasar Trend

Tahun dasar trend yang sudah terlalu jauhdapat diubah. Perubahan tahun dasar tidak berpengaruh pada nilai slope (b), akan tetepi berpengaruh pada nilai konstanta (a).

Contoh:

Diketahui persamaan trend Ŷ = 15 + 1,7X dengan tahun dasar 1983 (tahun 1983 x = 0). Kita ingin mengubah tahun dasar menjadi tahun 1985, maka:

a = nilai Ŷ pada tahun dasar baruNilai (X) untuk tahun dasar yang baru (1985) = 2a = Ŷ = 15 + 1,7 (2)a = 18,4b tetap = 1,7Jadi, persamaan trend yang baru (dengan tahun dasar 1985) menjadi:

Ŷ = 18,4 + 1,7X

Nilai X untuk masing-masing tahun berubah menjadi sbb.:

Sehingga, kalau kota akan menghitung nilai trend tahun 1986:

Dengan rumus lama: Ŷ = 15 + 1,7XŶ = 15 + 1,7(3) = 20,1

Dengan rumus baru:Ŷ = 18,4 + 1,7XŶ = 18,4 + 1,7(1) =20,1

Tahun X lama (1983 = 0) Xbaru(1985=0)

78 -5 -779 -4 -680 -3 -581 -2 -482 -1 -383 0 -284 1 -185 2 086 3 187 4 2

Merubah periode.

Periode tren dapat dirubah dati tahunan menjadi a) bulanan, b) kwartalanc) rata-rata bulanan dan d) rata-rata kwartalan

a. Trend Rata-rata Bulanan

Untuk mengubah trend rata-rata tahunan menjadi trand rata-rata bulanan:a dan b dibagi 12, atau:

Ŷ = a/12 + b/12 U

Contoh:

Diketahui trend tahunan Ŷ = 120 + 24 X, dengan tahun dasar 1982

Trend rata-rata bulanan menjadi:

Ŷ = (120)/12 + (24)/12 U

Ŷ = 12 + 2 U

b. Trend rata-rata kwartalan.

Untuk mengubah trend tahuna menjadi trend rata-rata kwartalan:a dan b dibagi 4, atau

Ŷ = a/4 + b/4 U

c. Trend BulananTrend bulana tidak sama dengan trend rata-rata bukanan. Pada trend rata-rata bulanan, nilai Y untuk setiap bulan dianggap sama, sedangkan pada trend bulanan nilainya berbeda. Untuk mengubah trend tahunan menjadi trend bulanan:a dibagi 12 dan b dibagi (12) Koding berubah menjadi U, dimana 1 X = 12 U

2

Ŷ = + Ua b

12 122

Contoh:

Ŷ = 120 + 24 X , tahun dasar tengah tahun 1982 Jika dirubah menjadi trend bulanan, menjadi:

Ŷ = (120)/12 + (24)/(12) U2

Ŷ = 10 + 0,167 U

Selanjutnya koding berubah menjadi:Untuk tahun 1982, koding tengah Juli adalah U = ½, tengah Agustus = 1½,sedangjan untuk tengah Juni = - ½, dan tengah Mei = - 1½, dan seterusnya.

Trend bulan Desember 1982 (U = 5½)

Ŷ = 10 + 0,167 (5½) = 10,91

d. Trend Kwartalan.

Untuk merubah trend tahunan menjadi trend kwartalan:a dibagi 4 dan b dibagi (4), atau:2

Ŷ = + Ua b

4 42