1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3

Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30

21. Garis 60512 yx memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A

dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat

sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut.

Tentukanlah luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.

A. 34 B. 30 C. 26 D. 30 4 E. 30 4

Solusi: [E]

Menurut Pythagoras:

Setengah keliling OAB adalah

Luas OAB adalah

Jari-jari lingkaran dalam adalah

Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga

= luas segitiga – luas lingaran

22. Tentukan titik potong persamaan garis singgung pada lingkaran 2 2 12 8 7 0x y x y di titik (3,2) dengan sumbu X.

A. 1,0 B. 2,0

C. 3,0 D. 1,0

E. 1,0

Solusi: [A] 2 212 36 8 16 7 36 16x x y y

2 2

6 4 45x y

Pusat lingkaran 6, 4

2

1

1 1 1

2 4 2

3 6

mm

Persamaan garis singgungnya adalah 1

2 32

y x 2 1x y

13169125 22 AB

15)13125(2

1s

301252

1 OABL

215

30

s

Lr

2)2π(1252

1 π430

6, 4

3, 2 1m

2m

X

Y

B(0, 12)

A(5, 0) O

60512 yx

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

0 2 0 1 1y x x

Koordinat titik potongnya adalah 1,0 .

23. Jarak terdekat antara lingkaran-lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 dan

𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 10𝑦 + 41 = 0 adalah ....

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1

Solusi: [D]

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 (𝑥 + 3)2 + 𝑦 − 1 2 = 25

𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 10𝑦 + 41 = 0 𝑥 − 5 2 + 𝑦 + 5 2 = 9

Jarak kedua pusat lingkaran adalah −3 − 5 2 + 1 + 5 2 = 10.

Kurangkan dua jari-jari diperoleh 10 − 8 = 2

24. Persamaan lingkaran yang menyingung garis y = 0, x = 0, dan 15y + 8x = 120

adalah ....

A. x2 – 4x + y

2 – 4y + 4 = 0 D. x

2 + y

2 – 2x– 4y + 16 = 0

B. x2 + y

2 = 9 E. x

2 + y

2 = 9

C. x2 + y

2 – 12x – 12y + 9 = 0

Solusi: [C]

Garis 20y + 21x = 420 memotong sumbu X dan sumbu Y di (21,0) dan (0,20).

Panjang sisi miringnya adalah 2 221 20 841 29 .

Setengah keliling segitiga adalah 1

20 21 29 352

s .

Luas segitiga adalah 1

21 20 2102

L .

Jari-jari lingkaran dalamnya adalah 210

635

Lr

s .

Sehingga pusat lingkaran adalah (6,6).

Jadi, persamaan lingkarannya adalah (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 6)2 = 36, yang

disederhanakan menjadi 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 36 = 0

25. Persamaan lingkaran melalui titik-titik 2,2 , 4,2 , dan 2, 2

dinyatakan sebagai 2 2 0x y ax by c . Tentukan nilai dari

2abc .

20

21

29

X

Y

O

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

A. 1.024 B. 512 C. 256 D. 128 E. 64

Solusi: [A]

2 22,2 2 2 2 2 0 2 2 8a b c a b c …. (1)

2 24,2 4 2 4 2 0 4 2 20a b c a b c …. (2)

222, 2 2 2 2 2 0 2 2 8a b c a b c …. (3)

Persamaan (2) – persamaan (1) menghasilkan 6 12a 2a

Persamaan (2) – persamaan (3) menghasilkan 2 4 12a b

2 2 2 4 12 2a b b

2, 2 2 2 2 2 8 8a b c c

Jadi, nilai dari 22 2

2 2 8 32 1.024abc

26. Diberikan dua buah lingkaran.

Lingkaran I:

x 1 2 y 2

2 9

Lingkaran II:

x 3 2 y 1

216

Persamaan tali busur dari persekutuan dua lingkaran adalah ax by c .

Tentukan 2

a b c .

A. 16 B. 9 C. 4 D. 1 E. 0

Solusi: [C]

Titik-titik pada kedua lingkaran harus memenuhi suatu persamaan.

Pengurangan kedua persamaan memberikan:

x2 6x 9 y2 2y 1 x2 2x 1 y2 4y 4 16 9

8x 6y = 2

4x – 3y = 1

Persamaan tali busurnya adalah 4x – 3y = 1.

Karena a = 4, b = 3, dan c = 1, maka 2 2

4 3 1 4a b c

27. Carilah persamaan lingkaran yang pusatnya di 5,3 dan menyinggung garis

04512 yx adalah 2 2 0x y ax by c . Nilai dari ....a b c

A. 6 B. 9 C. 15 D. 25 E. 65

Solusi: [D]

Jarak titik 5,3 ke garis 04512 yx adalah jari-jari lingkaran(r):

5

13

65

169

65

512

455312

22

r

Persamaan lingkaran yang diminta adalah

r

(3,5)

04512 yx

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

222rbyax

222553 yx

25251096 22 yyxx

0910622 yxyx

Karenanya 6, 10,dan 9a b c , sehingga 6 10 9 25a b c .

28. Persamaan lingkaran yang menyinggung garis 023 yx di titik (1, 1)

dan melalui titik (3, 5) adalah 2 2 0x y ay by c . Nilai dari abc

adalah

….

A. 32 B. 22 C. 34 D. 24 E. 14

Solusi: [A]

Lingkaran menyinggung garis 023 yx di titik (1,1) dan melalui titik

(3,5), sehingga

22221153 baba

2222 2121102569 bbaabbaa

03288 ba

04 ba

ab 4 …. (1)

Gradien garis 023 yx adalah 31 m .

Gradien garis yang melalui titik (a,b) dan (1,1) adalah

1

1

1

12

a

b

a

bm

121 mm

11

13

a

b

133 ab …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

13)4(3 aa

13312 aa

84 a

2a

2a ab 4 224

Pusat lingkaran adalah (2, 2).

Jari-jari lingkaran adalah 1010

10

13

22123

22

r

Persamaan lingkaran yang diminta adalah

r

(3,5)

023 yx (1,1)

r

(a,b)

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

222rbyax

2221022 yx

104444 22 yyxx

024422 yyyx

Karenanya 4, 4,dan 2a b c , sehingga 4 4 2 32abc .

29. Tentukan jarak pusat dari kedua lingkaran kemudian hitung rasio luasnya

07433 221 yyxL dan 025101022

2 yxyxL .

A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 1 : 6 D. 1 : 8 E. 1 : 9

Solusi: [E]

07433 221 yyxL

03

7

3

4221 yyxL

22

21

3

2

3

7

6

4

xxL

9

25

9

4

3

7

9

25

3

22

21

xxL

Pusat lingkaran 1L adalah

3

2,0 dan jari-jarinya adalah

3

5

9

25r

0251010222 yxyxL

2525255522

2 yxL

255522

2 yxL

Pusat lingkaran 2L adalah 5,5 dan jari-jarinya adalah 525 r

Jarak pusat lingkaran 1L ke lingkaran 2L adalah

2

2

213

2505

LL

9

28925 514

3

1

9

514

Luas lingkaran 1L : Luas lingkaran 2L 22

5π:3

5π

9:125:

9

25

30. Persamaan garis singgung lingkaran 0126422 yxyx di titik (5,1)

adalah ....

A. 3 4 19 0x y C. 4 3 23 0x y E. 3 4 19 0x y

B. 3 4 8 0x y D. 3 4 9 0x y

Solusi 1: [A]

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2005

Jelaslah bahwa titik (5,1) terletak pada lingkaran 0126422 yxyx ,

karena: 012165415 22 adalah pernyataan yang bernilai benar.

Persamaan garis singgungnya pada lingkaran 02222 cbyaxyx di titik

11 , yx adalah 01111 cyybxxayyxx

012135215 yxyx

012331025 yxyx

01943 yx ,

Solusi 2: [A]

Persamaan lingkaran dengan titik pusat (5,1) adalah

01522 yx

0122510 22 yyxx

02621022 yxyx

Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada lingkaran pertama adalah:

126422 yxyx 2621022 yxyx

03886 yx

01943 yx