analisis titik ekuilibrium dan solusi model … · interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang...

i

ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL

INTERAKSI MUTUALISME DUA SPESIES MENGGUNAKAN

METODE ITERASI VARIASIONAL

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Magister Pendidikan Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Oleh :

Benedictus Dwi Yuliyanto

NIM: 15 1442 005

HALAMAN JUDUL PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

HALAMAN MOTTO

Ibarat makan,

belajar bukan lagi suatu keinginan, melainkan kebutuhan.

Rasa lapar akan pengetahuan, datang disetiap hari.

(B.Dwi Yuliyanto)

Jika kau punya mimpi, tetap fokus dan nikmatilah. Lalu bangun dan wujudkanlah! (B.Dwi Yuliyanto)

Hanya mereka yang berani gagal dapat meraih keberhasilan. (Robert F. Kennedy)

Percayalah pada keajaiban, tapi jangan tergantung padanya.

(H. Jackson Brown, Jr)


vi

ABSTRAK

Benedictus Dwi Yuliyanto, 2017. Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model

Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional.

Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Tesis ini mengkaji tentang analisis titik ekuilibrium dan solusi model interaksi

dua spesies. Pada bidang biologi, seringkali dilakukan penelitian atau percobaan

mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies. Penelitian-penelitian tersebut

dilakukan untuk mengetahui berbagai macam perkembangan makhluk hidup di

lingkungannya. Pemodelan matematika sangat berperan dalam membantu

penelitian tersebut. Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model

interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik.

Pada penelitian ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut

dengan tujuan menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Modifikasi

model yang akan diteliti adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies

yang bertumbuh secara logistik yaitu: pertama, terdapat unsur pemanenan pada

salah satu jenis spesies, dan yang kedua, terdapat unsur pemanenan pada kedua

jenis spesies.

Setelah melakukan modifikasi pada model, peneliti melakukan analisis

kestabilan dari titik ekuilibrium yang didapat. Selanjutnya akan dicari solusi dari

perumuman model interaksi dua spesies menggunakan metode iterasi variasional.

Kata kunci : dinamika populasi, analisis kestabilan, metode iterasi variasional.


vii

ABSTRACT

Benedictus Dwi Yuliyanto, 2017. Analysis of Equilibrium Points and Solutions

of Models of Two Species Mutualism Interaction Using Variational Iteration

Method. Thesis. Study Program of Master of Mathematics Education,

Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher

Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This tesis discusses about analysis of equilibrium points and solutions of

models of two species interaction. In biology, research or experiment about

population growth rate is done frequently. The research has been succeesful for

knowing many kinds of organism in their environment. Mathematical modelling is

important for helping that research. One of the mathematical models that has been

studied before is the mutualism interaction model of two species in logistic growth.

In this research, the researcher will modify the mathematical model to add the

variations of the basic model before. The modifications studied in this thesis are:

first, there is a harvesting parameter on one of species, and second, on both of them.

After doing the modifications on the model, the researcher analyses the

stability of equilibrium points. Furthermore, the modified model is solved using the

variational iteration method.

Keywords : population dynamics, stability analysis, variational iteration method.


ix

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi

internasioanl dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:

[1]. B.D. Yuliyanto dan S. Mungkasi, “Variational iteration method for solving

the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:

Conference Series, Vol. 795, No.1, Artikel 012044, Tahun 2017 (terindeks

Scopus), Link Artikel: https://doi.org/10.1088/1742-6596/795/1/012044

Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan

menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis

(Benedictus Dwi Yuliyanto).


https://doi.org/10.1088/1742-6596/795/1/012044

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena

hanya dengan berkat dan karunia-Nya, serta campur tangan-Nya, penulis dapat

menyelesaikan tesis yang berjudul “Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model

Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional”

dengan baik dan tepat waktu.

Pada kesempatan ini penulis juga ingin mengucapkan rasa terima kasih

kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis,

sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi

Magister Pendidikan Matematika.

3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing

pada awal penulisan tesis ini.

4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan

selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat

menyelesaikan studi dengan tepat waktu.

5. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal

administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini.


xi

6. Kedua orang tua yaitu Bapak Mario Subiyanto dan Ibu Christina Sarasni,

yang selalu memberikan dukungan serta doa yang melimpah kepada penulis

sehingga tesis ini dapat diselesaikan tepat waktu.

7. Segenap keluarga, terutama Simbah Yohanes Sadji Ciptotanyono dan Mas

Albertus Magnus Bayu Pratomo yang selalu memberi semangat, motivasi,

serta inspirasi kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan studi

dengan baik.

8. Elisabeth Evi Alviah, yang selalu memberikan semangat, dukungan, serta

motivasi yang sangat berguna bagi penulis selama menjalankan studi.

9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan

Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan kepada

penulis selama studi.

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah

membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

Akhirnya penulis berharap semoga tesis ini dapat berguna bagi para pembaca.

Penulis,

Benedictus Dwi Yuliyanto


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN MOTTO ............................................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................................. v

ABSTRAK ............................................................................................................. vi

ABSTRACT ............................................................................................................ vii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................. viii

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ......................................... ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................. x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Tinjauan Pustaka .......................................................................................... 2

C. Perumusan Masalah ...................................................................................... 5

D. Batasan Masalah ........................................................................................... 5

E. Metode Penelitian ......................................................................................... 6

F. Tujuan Penelitian .......................................................................................... 7

G. Manfaat Penelitian ........................................................................................ 8

H. Sistematika Penulisan ................................................................................... 8

BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................ 10

A. Pemodelan Matematika .............................................................................. 10

B. Persamaan Diferensial ................................................................................ 12

C. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear ................................................... 15

D. Model Pertumbuhan Logistik ..................................................................... 33

E. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara

Logistik ....................................................................................................... 40

F. Metode Iterasi Variasional ......................................................................... 50

G. Kerangka Berpikir ...................................................................................... 51

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL ... 52

A. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara

Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Salah Satu Jenis Spesies ........... 54


xiii

B. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara

Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Kedua Jenis Spesies .................. 61

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL DENGAN METODE

ITERASI VARIASIONAL .................................................................................... 71

BAB V ASPEK PENDIDIKAN ............................................................................ 83

A. Pembelajaran di SMA ................................................................................ 84

B. Pembelajaran di S1 ..................................................................................... 85

C. Refleksi Penelitian di Bidang Matematika ................................................. 86

BAB VI PENUTUP ............................................................................................... 90

A. Kesimpulan ................................................................................................. 90

B. Saran ........................................................................................................... 91

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 93


1

BAB I

PENDAHULUAN

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada bidang biologi, salah satu masalah yang sering dihadapi adalah masalah

mengenai pertumbuhan populasi. Seringkali dilakukan penelitian atau percobaan

mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies untuk mengetahui berbagai

macam perkembangan makhluk hidup di lingkungannya.

Pertumbuhan populasi suatu spesies ditandai dengan adanya perubahan

populasi setiap satuan waktu yang dipengaruhi oleh jumlah kematian, kelahiran,

serta perpindahan (migrasi). Jumlah populasi suatu spesies dapat diamati secara

langsung dalam jangka waktu tertentu. Selain itu, dapat juga dilakukan perhitungan

untuk mengetahui laju pertumbuhan dari suatu spesies tersebut dengan data yang

sudah ada. Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat membantu

menyelesaikan permasalahan tersebut adalah pemodelan matematika.

Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model interaksi

simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik. Pada penelitian

ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut dengan tujuan

menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Selanjutnya peneliti akan

melakukan analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh, serta akan

dicari solusi dari model yang diteliti.


2

B. Tinjauan Pustaka

Berbagai penelitian mengenai dinamika populasi suatu spesies dan

penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial

sudah banyak dilakukan. Diagram 1.1 memberikan gambaran letak dari penelitian

yang dilakukan dengan penelitian-penelitian yang sudah ada.

Diagram 1.1 Bagan dari letak penelitian yang dilakukan

Stability analysis of

mutualism population

model with time delay

(Ahmad dan Budin,

2012)

Variational iteration

method-Some recent

results and new

intrepretations

(He, 2007)

Stability analysis of two

mutually interacting

species with unlimited

resources for both the

species

(Reddy, 2012)

Variational iteration

method for solving

multispecies Lotka–

Volterra equations

(Batiha, Noorani, dan

Hashim, 2007)

Variational iteration method for solving the

population dynamics model of two species

(Yuliyanto dan Mungkasi, 2017)

Analisis titik ekuilibrium model interaksi

mutualisme dua spesies


3

Beberapa penelitian sejenis yang membahas tentang dinamika populasi suatu

spesies dan metode iterasi variasional antara lain:

Pertama, penelitian B. Ravindra Reddy (2012) dengan judul “Stability

analysis of two mutually interacting species with unlimited resources for both the

species”. Makalah ini membahas mengenai analisis dari model dua spesies yang

saling berinteraksi dengan sumber daya atau daya dukung untuk kedua spesies yang

tak terbatas. Karakteristik dari model merupakan dua sistem persamaan diferensial

biasa nonlinear order satu. Sebelum mendiskripsikan model, dibuat asumsi sebagai

berikut: 𝑁1 merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies pertama,

𝑁2 merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies kedua, 𝑎1 dan 𝑎2

berturut-turut adalah laju pertumbuhan alami dari spesies pertama dan kedua, 𝛼12

merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari spesies pertama akibat interaksi

dengan spesies kedua, dan 𝛼21 merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari

spesies kedua akibat interaksi dengan spesies pertama. Catatan lebih lanjut bahwa

variabel 𝑁1, 𝑁2 dan parameter 𝑎1, 𝑎2, 𝛼12, 𝛼21 bernilai tak negatif. Jika laju

kematian lebih besar dari laju kelahiran, maka digunakan notasi yang sama dengan

tanda negatif pada tingkat pertumbuhan alami untuk membedakannya. Persamaan

dasar untuk laju pertumbuhan spesies pertama (𝑁1) adalah sebagai berikut:

𝑑𝑁1𝑑𝑡

= 𝑎1𝑁1 + 𝛼12𝑁1𝑁2. (1.1)

Persamaan dasar untuk laju pertumbuhan spesies kedua (𝑁2) adalah sebagai

berikut:

𝑑𝑁2𝑑𝑡

= 𝑎2𝑁2 + 𝛼21𝑁1𝑁2. (1.2)


4

Syarat ekuilibrium 𝑑𝑁1

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑁2

𝑑𝑡= 0, sehingga diperoleh

𝑁1(𝑎1 + 𝛼12𝑁2) = 0 dan 𝑁2(𝑎2 + 𝛼21𝑁1) = 0. (1.3)

Solusi (�̅�1, �̅�2) dari (1.3) merupakan ekuilibrium dari sistem (1.1)-(1.2). Sistem

tersebut memiliki satu keadaan setimbang yaitu �̅�1 = 0, �̅�2 = 0, dalam keadaan ini,

kedua spesies bertumbuh tanpa batas.

Kedua, penelitian Batiha, Noorani, dan Hashim (2007) dengan judul

“Variational iteration method for solving multispecies Lotka-Volterra equations”.

Makalah tersebut membahas mengenai penggunaan metode iterasi variasional

untuk menyelesaikan atau mencari solusi dari model pertumbuhan populasi suatu

spesies yang bertumbuh secara logistik, atau model pertumbuhan dengan

menggunakan persamaan Lotka-Volterra. Pada makalah tersebut dibahas juga

mengenai beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang

sama. Hasil dari penggunaan metode iterasi variasional untuk mencari pendekatan

solusi model, dibandingkan dengan metode dekomposisi Adomian dan Runge-

Kutta order empat.

Dari tinjauan pustaka mengenai dinamika populasi suatu spesies tersebut,

didapat bahwa pemodelan dari dinamika populasi merupakan suatu hal yang

penting dalam proses mengontrol laju dari pertumbuhan populasi suatu spesies.

Pertumbuhan populasi suatu spesies dapat diprediksi dengan menggunakan model

yang diteliti.

Berdasarkan beberapa penelitian yang sudah ada tersebut, perbedaan

penelitian ini terletak pada model yang digunakan. Model yang akan diteliti pada

penelitian ini adalah modifikasi dari model interaksi simbiosis mutualisme dua


5

spesies yang bertumbuh secara logistik, yaitu dengan adanya pemanenan pada salah

satu jenis spesies dan adanya pemanenan pada kedua jenis spesies. Selain itu,

penelitian ini juga membahas mengenai solusi dari hasil perumuman model yang

diselesaikan menggunakan metode iterasi variasional, serta diberikan beberapa

kasus khusus dari model yang terbentuk.

C. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, dapat dirumuskan beberapa masalah yang

akan dibahas dalam penelitian ini, yaitu:

1. Bagaimana modifikasi serta analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model

interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik

dengan adanya unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya

unsur pemanenan pada kedua jenis spesies?

2. Bagaimana solusi model yang diperoleh dengan menggunakan metode iterasi

variasional?

D. Batasan Masalah

Pada penelitian ini, dibatasi masalah-masalah sebagai berikut:

1. Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model interaksi simbiosis

mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur

pemanenan.

2. Populasi pada model yang dibahas berada pada suatu ekosistem tertutup atau

tidak ada faktor migrasi yang dilakukan oleh kedua spesies dan tidak ada


6

interaksi dengan spesies lain, sehingga laju pertumbuhan populasi hanya

dipengaruhi oleh interaksi kedua spesies tersebut.

3. Model yang dibahas adalah model kontinu, yaitu menggunakan sistem

persamaan diferensial biasa nonlinear order satu.

4. Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium menggunakan nilai eigen pada

matriks Jacobi hasil dari pelinearan model.

5. Metode yang akan dibahas untuk menyelesaikan model adalah metode iterasi

variasional.

E. Metode Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian studi pustaka dengan pendekatan kuantitatif

dan kualitatif. Tercapainya tujuan dari penelitian ini dilakukan dengan beberapa

langkah kerja. Langkah pertama adalah menentukan topik penelitian yaitu

permasalahan dalam kehidupan nyata yang terkait dengan bidang biologi,

khususnya mengenai pertumbuhan populasi dua spesies yang berinteraksi secara

mutualisme. Langkah kedua adalah mencari model matematika yang sudah ada

sesuai dengan permasalahan yang akan diteliti, pada penelitian ini model

matematika yang dimaksud adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua

spesies yang bertumbuh secara logistik. Langkah ketiga adalah melakukan

modifikasi model yang sudah ada, pada penelitian ini modifikasi yang dilakukan

adalah dengan menambahkan unsur pemanenan pada model dasar. Langkah

keempat adalah menganalisis model hasil modifikasi, analisis yang dilakukan

adalah analisis kestabilan dari setiap titik ekuilibrium yang diperoleh pada model

hasil modifikasi. Langkah kelima adalah membuat perumuman dari model hasil


7

modifikasi kemudian hasil perumuman model diselesaikan atau dicari solusinya

menggunakan metode iterasi variasional. Langkah terakhir adalah menyimpulkan

hasil modifikasi model yang diperoleh beserta hasil analisis kestabilan titik

ekuilibriumnya dan solusi dari perumuman model menggunakan metode iterasi

variasional.

Diagram 1.2 merupakan bagan metode penelitian dari penelitian ini:

Diagram 1.2 Bagan metode penelitian

F. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Menghasilkan modifikasi model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies

yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur pemanenan pada salah

Memodifikasi model dasar mengenai pertumbuhan

populasi dua spesies

Mencari solusi dari perumuman model menggunakan

metode iterasi variasional

Menyimpulkan hasil modifikasi model beserta analisisnya

dan solusi yang diperoleh menggunakan metode iterasi

variasional

Masalah di dunia nyata yang terkait dengan bidang biologi

yaitu pertumbuhan populasi dua spesies

Memperoleh model dasar mengenai pertumbuhan populasi

dua spesies

Menganalisis kestabilan titik ekuilibrium dari model yang

sudah dimodifikasi


8

satu jenis spesies dan adanya unsur pemanenan pada kedua jenis spesies, serta

mengetahui hasil analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh.

2. Memperoleh solusi dari perumuman model dengan menggunakan metode

iterasi variasional.

G. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah untuk menambah pengetahuan mengenai

pemodelan matematika beserta penerapannya dalam kehidupan nyata dan

menambah referensi bahan ajar bagi guru/dosen dalam menjelaskan materi

mengenai sistem persamaan diferensial biasa nonlinear order satu. Selain itu,

penelitian ini juga dapat untuk menambah wawasan mengenai penggunaan metode

iterasi variasional untuk mencari pendekatan solusi sistem persamaan diferensial

biasa nonlinear order satu.

H. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan akan dibagi menjadi enam bagian, yaitu:

BAB I: PENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka, perumusan

masalah, batasan masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian,

dan sistematika penulisan.

BAB II: LANDASAN TEORI

Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian

antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan

diferensial nonlinear (titik ekuilibrium, pelinearan, analisis kestabilan titik


9

ekuilibrium), model pertumbuhan logistik, model interaksi simbiosis mutualisme

dua spesies yang bertumbuh secara logistik, serta metode Iterasi Variasional.

BAB III: HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL

Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai analisis dari

model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik

dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan pemanenan pada kedua

jenis spesies, mulai dari menentukan titik ekuilibrium hingga menganalisis

kestabilan dari masing-masing titik ekuilibrium yang diperoleh.

BAB IV: HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL

Pada bab ini akan dipaparkan mengenai proses memperoleh solusi dari model

yang sudah diperumum beserta hasilnya dengan menggunakan metode Iterasi

Variasional.

BAB V: ASPEK PENDIDIKAN

Pada bab ini dibahas mengenai keterkaitan penelitian yang dilakukan

dengan proses pembelajaran di sekolah ataupun di kampus. Ada tiga hal yang

dibahas pada bab ini, pertama mengenai keterkaitan hasil atau proses penelitian

dengan pembelajaran di SMA, kedua keterkaitan hasil atau proses penelitian

dengan pembelajaran di S1, dan yang ketiga adalah refleksi penelitian di bidang

matematika.

BAB VI: PENUTUP

Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah

diuraikan pada bab sebelumnya, serta beberapa saran yang terkait dengan penelitian

yang telah dilakukan.


10

BAB II

LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI

A. Pemodelan Matematika

Pemodelan Matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan

menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam persamaan matematika.

Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model

dengan menggunakan teori matematika untuk menggambarkan dinamika suatu

sistem. Oleh karena itu, pemodelan matematika hampir selalu terkait dengan

bidang-bidang ilmu yang lain.

Sebagai suatu proses, pemodelan matematika mencakup beberapa tahap yang

saling berhubungan. Tahapan-tahapan tersebut dapat digambarkan pada bagan

berikut:

Diagram 2.1 Bagan proses pemodelan matematika

Dunia Nyata Model

Matematika

Prediksi /

Penafsiran

Perumusan

Pengujian

Kesimpulan

Matematika

Analisis

Penafsiran


11

Berikut penjelasan dari bagan proses pemodelan matematika seperti tampak pada

Diagram 2.1.

a. Merumuskan permasalahan dari dunia nyata ke dalam bentuk

matematika

Pada langkah ini dibutukan pemahaman dari permasalahan yang akan

dimodelkan, karena akan dibentuk hubungan antar variabel yang dihasilkan

dari permasalahan tersebut. Pada langkah ini, juga disertakan beberapa

asumsi untuk membatasi model dari masalah yang akan diteliti. Adanya

perbedaan asumsi-asumsi yang diterapkan oleh setiap peneliti menyebabkan

perbedaan model meskipun penelitian dilakukan pada masalah yang sama.

Setelah asumsi-asumsi ditentukan, dilakukan formulasi model yang akan

dianalisis.

b. Menganalisis model matematika

Analisis dari model matematika dilakukan untuk memperoleh solusi

dari model matemaika yang diteliti. Solusi dari model matematika yang

diperoleh dapat berupa persamaan matematika atau uraian mengenai masalah

matematika secara teoristis.

c. Menafsirkan atau menginterpretasi solusi dari model matematika

Langkah ini sebagai penghubung antara solusi yang diperoleh dalam

bentuk persamaan matematika dengan permasalahan dalam dunia nyata.

Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik gambar berdasarkan

perilaku dari solusi yang diperoleh.


12

d. Menguji solusi dari model matematika ke dalam dunia nyata

Menguji solusi yang telah diperoleh dilakukan untuk melihat

kesesuaian solusi dari model dengan data di dunia nyata. Kesesuaian solusi

model dipengaruhi oleh asumsi-asumsi yang digunakan. Apabila solusi dari

model kurang realistis, maka akan dilakukan kembali proses pembentukan

model dari langkah pertama sehingga nantinya diperoleh model matematika

yang lebih baik.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa proses membangun model

matematika bersifat dinamis untuk menghasilkan model yang lebih baik.

B. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu atau lebih

variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Berdasarkan banyaknya

variabel bebas yang terdapat dalam persamaan, persamaan diferensial

diklasifikasikan menjadi persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial

parsial.

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang

melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu variabel bebas,

sebagai contoh: jika 𝑦(𝑥) merupakan fungsi satu variabel dengan 𝑥 sebagai variabel

bebas dan 𝑦 sebagai variabel terikat, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat

dinyatakan dalam bentuk:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′, … , 𝑦(𝑛)) = 𝑓(𝑥), (2.1)


13

dan jika 𝑓(𝑥) = 0 maka persamaan diferensial (2.1) disebut persamaan diferensial

homogen, sedangkan jika 𝑓(𝑥) ≠ 0 maka persamaan diferensial (2.1) disebut

persamaan diferensial nonhomogen. Persamaan diferensial parsial adalah suatu

persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat

terhadap dua atau lebih variabel bebas.

Pada persamaan diferensial, order didefinisikan sebagai tingkat turunan

tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa

contoh persamaan diferensial beserta jenisnya berdasarkan banyak variabel dan

ordernya:

Contoh 2.1

a. 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥 = 0 merupakan persamaan diferensial biasa order satu.

b. 𝑦′′ + 3𝑦′ − 2𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial biasa order dua.

c. 𝜕𝑓

𝜕𝑥+

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 0 merupakan persamaan diferensial parsial order satu.

d. 𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2− 2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦= 0 merupakan persamaan diferensial parsial order dua.

Pada persamaan diferensial order satu, terdapat bentuk persamaan diferensial

variabel terpisah. Bentuk umum persamaan diferensial variabel terpisah adalah

sebagai berikut:

𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑦)𝑑𝑦 = 0, (2.2)

dengan 𝑃 merupakan fungsi yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑄 fungsi yang bergantung

pada 𝑦. Berdasarkan bentuk umum tersebut, suku-suku dalam variabel 𝑥

dikelompokkan dengan turunannya yaitu 𝑑𝑥 dan suku-suku dalam variabel 𝑦

dikelompokkan dengan turunannya yaitu 𝑑𝑦. Metode yang digunakan untuk


14

menyelesaikan persamaan diferensial variabel terpisah adalah metode pemisahan

variabel. Persamaan (2.2) selanjutnya diintegralkan masing-masing sukunya untuk

memperoleh penyelesaiannya, sehingga didapat persamaan berikut:

∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑄(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶,

dengan 𝐶 ∈ ℝ.

Contoh 2.2

Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:

𝑦(1 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0. (2.3)

Jawab:

Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial variabel terpisah.

Bentuk (2.3) dapat diubah menjadi

(1 − 𝑥)

𝑥2𝑑𝑥 +

1

𝑦𝑑𝑦 = 0

dengan cara membagi masing-masing sukunya dengan 𝑥2𝑦 ≠ 0. Selanjutnya

masing-masing suku diintegralkan

∫(1 − 𝑥)

𝑥2𝑑𝑥 + ∫

1

𝑦𝑑𝑦 = 𝐶1

kemudian dengan manipulasi aljabar, bentuk fungsi diubah menjadi

∫(𝑥−2 −1

𝑥) 𝑑𝑥 + ∫

1

𝑦𝑑𝑦 = 𝐶1

sehingga diperoleh

−1

𝑥− ln 𝑥 + 𝐶2 + ln 𝑦 + 𝐶3 = 𝐶1

ln |𝑦

𝑥| = 𝐶 +

1

𝑥


15

dengan 𝐶 = 𝐶1 − 𝐶2 − 𝐶3

𝑦

𝑥= 𝑒𝐶+

1𝑥

𝑦 = 𝐾𝑥𝑒1𝑥,

dengan 𝐾 = 𝑒𝐶.

C. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear

Sistem persamaan diferensial tidak hanya berperan penting dalam bidang

matematika, namun berperan penting juga dalam bidang lain seperti ekonomi,

fisika, biologi, dan lain sebagainya. Sistem persamaan diferensial disebut sebagai

sistem persamaan diferensial nonlinear apabila memenuhi paling sedikit satu dari

kriteria berikut:

a. Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu.

b. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/ atau turunan-turunannya.

Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:

�̇�1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

�̇�2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),⋮

�̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

(2.4)

dengan 𝑓𝑖: ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑛, �̇�𝑖 =

𝑑�̇�𝑖

𝑑𝑡, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐸.

Diberikan pula kondisi awal 𝑥𝑖(𝑡0) = 𝑥𝑖0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Sistem (2.4) dapat ditulis menjadi

�̇� = 𝑓(𝑥), (2.5)

dengan 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐸 ⊆ ℝ𝑛, 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛)

𝑇, �̇� = (�̇�1, �̇�2, … , �̇�𝑛)𝑇

dengan syarat awal 𝑥(𝑡0) = (𝑥10, 𝑥20, … , 𝑥𝑛0) = 𝑥0.


16

Sistem (2.5) disebut sistem persamaan diferensial autonomous karena

variabel waktu 𝑡 tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya, jika 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛

masing-masing linear dalam 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, maka sistem (2.4) disebut sistem

persamaan diferensial linear. Sistem (2.4) juga dapat ditulis dalam bentuk:

�̇�1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛�̇�2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛

⋮�̇�𝑛 = 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛.

(2.6)

Sistem (2.6) dinyatakan dalam bentuk

�̇� = 𝐴𝑥, (2.7)

dengan 𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

) dan 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇 ∈ 𝐸.

Jadi, sistem (2.7) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem (2.4).

Namun, jika sistem (2.4) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk sistem (2.7) maka

sistem (2.4) disebut sistem persamaan diferensial nonlinear.

Pada sistem persamaan diferensial juga dibahas mengenai beberapa hal berikut:

a. Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan solusi dari sistem (2.5) yang tidak

mengalami perubahan terhadap waktu.

Definisi 2.1 (Perko, 2001)

Titik �̂� ∈ ℝ𝑛 disebut titik ekuilibrium dari (2.5) jika 𝑓(�̂�) = 0.

Berikut diberikan contoh mengenai Definisi 2.1

Contoh 2.3

Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial berikut:


17

𝑓(𝑥) = (2𝑥1𝑥2 − 4𝑥13𝑥1

2 − 6𝑥2)

Jawab:

Titik ekuilibrium diperoleh jika 𝑓(�̂�) = 0, sehingga sistem tersebut menjadi

2𝑥1𝑥2 − 4𝑥1 = 0

atau dapat ditulis menjadi

2𝑥1(𝑥2 − 2) = 0.

Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh �̂�1 = 0 dan �̂�2 = 2.

Jika �̂�1 = 0 dan menurut persamaan

3𝑥12 − 6𝑥2 = 0,

maka diperoleh 𝑥2 = 0 sehingga didapat titik ekuilibrium 𝑃1(0,0)𝑇.

Jika �̂�2 = 2 dan menurut persamaan

3𝑥12 − 6𝑥2 = 0,

maka diperoleh 𝑥1 = ±2 sehingga didapat titik ekuilibrium 𝑃2(2,2)𝑇 atau

𝑃3(−2,2)𝑇.

b. Pelinearan

Pelinearan merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi

sistem linear. Pelinearan dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui

perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Pelinearan pada

sistem nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi dengan bentuk

sederhana. Proses pelinearan dapat dilakukan dengan menggunakan deret

Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret


18

Taylor untuk sistem 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛)𝑇 di sekitar titik ekuilibrium �̂� =

(�̂�1, �̂�2, … , �̂�𝑛)𝑇 dengan 𝑓(�̂�) = 0 sebagai berikut

�̇�1 = 𝑓1(𝑥) =𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯

+𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛) + Ο(‖𝑥 − �̂�‖)

2,

�̇�2 = 𝑓2(𝑥) =𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯

+𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛) + Ο(‖𝑥 − �̂�‖)

2,

⋮

�̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) =𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯

+𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛) + Ο(‖𝑥 − �̂�‖)

2.

Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh

�̇�1 = 𝑓1(𝑥) =𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯

+𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛),

�̇�2 = 𝑓2(𝑥) =𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯

+𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛),

⋮


19

�̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) =𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯

+𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛).

Selanjutnya didefinisikan

𝑦1 = 𝑥1 − �̂�1,

𝑦2 = 𝑥2 − �̂�2,

⋮

𝑦𝑛 = 𝑥𝑛 − �̂�𝑛.

Didapat turunannya yaitu

�̇�1 = �̇�1, �̇�2 = �̇�2, … , �̇�𝑛 = �̇�𝑛,

sehingga �̇� = �̇� dan diperoleh

�̇�1 =𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥1𝑦1 +

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥2𝑦2 +⋯+

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥𝑛𝑦𝑛,

�̇�2 =𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥1𝑦1 +

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥2𝑦2 +⋯+

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥𝑛𝑦𝑛,

⋮

�̇�𝑛 =𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥1𝑦1 +

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥2𝑦2 +⋯+

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥𝑛𝑦𝑛.

(2.8)

Jika bentuk (2.8) dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh

(

�̇�1�̇�2⋮�̇�𝑛

) =

(

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥𝑛𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥𝑛 )

(

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

),

atau dapat ditulis menjadi


20

�̇� = 𝐽(𝑓(�̂�))𝑦,

dengan 𝐽(𝑓(�̂�)) merupakan matriks Jacobi dan fungsi 𝑓 di titik ekuilibrium

�̂�. Berikut definisi dari matriks Jacobi:


Diberikan fungsi 𝑓 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 dengan 𝑓𝑖 ∈ 𝐶1(𝐸), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝐸 ⊆ ℝ𝑛

dan 𝐸 himpunan terbuka.

Matriks

𝐽(𝑓(�̂�)) =

(

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓1(�̂�)

𝜕𝑥𝑛𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓2(�̂�)

𝜕𝑥𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓𝑛(�̂�)

𝜕𝑥𝑛 )

,

dinamakan matriks Jacobi dari 𝑓 dari �̂�.

Selanjutnya diberikan definisi mengenai pelinearan pada sistem persamaan

nonlinear.


Diberikan matriks Jacobi 𝐽(𝑓(𝑥)) pada (2.8). Sistem linear

�̇� = 𝐽(𝑓(�̂�))𝑥

disebut pelinearan dari sistem �̇� = 𝑓(𝑥) disekitar titik �̂�.

c. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Pada proses pelinearan diperoleh matriks Jacobi yang akan digunakan

dalam proses mencari nilai eigen. Nilai eigen diperoleh dengan cara

det(𝐽𝑖 − 𝜆𝐼) = 0, dimana 𝐽𝑖 merupakan matriks Jacobi, 𝐼 merupakan matriks


21

identitas, dan 𝜆 merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Nilai eigen yang

diperoleh dapat digunakan untuk memeriksa kestabilan dari titik ekuilibrium.

Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium berdasarkan nilai eigen menurut

Boyce dan DiPrima (2012 : 504) adalah seperti pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium

Nilai Eigen Jenis Titik Kritis Kestabilan

𝜆1 > 𝜆2 > 0 Simpul Tak stabil

𝜆1 < 𝜆2 < 0 Simpul Stabil asimtotik

𝜆1 < 0 < 𝜆2 Titik sadel Tak stabil

𝜆1 = 𝜆2 > 0 Simpul sejati atau

simpul tak sejati Tak stabil

𝜆1 = 𝜆2 < 0 Simpul sejati atau

simpul tak sejati Stabil asimtotik

𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 Titik spiral

𝑟 > 0 Tak stabil

𝑟 < 0 Stabil asimtotik

𝜆1 = 𝑖𝜇, 𝜆2 = −𝑖𝜇 Pusat Stabil

Berdasarkan Tabel 2.1, dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium akan

mencapai keadaan stabil asimtotik apabila nilai 𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 dan 𝑟 < 0,

dengan 𝑟 merupakan bagian dari bilangan realnya dan 𝜇 merupakan bagian

dari bilangan kompleksnya.

Berikut beberapa contoh sistem persamaan diferensial beserta

penyelesaiannya sebagai ilustrasi gambar mengenai kriteria kestabilan dari

titik ekuilibrium yang digambar menggunakan software Matlab.

Contoh 2.5

Diberikan sistem persamaan diferensial


22

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 4𝑥 + 2𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4𝑥 + 6𝑦.

}

Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

4𝑥 + 2𝑦 = 0,4𝑥 + 6𝑦 = 0.

}

Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).

Misalkan 𝐴 = (4 24 6

).

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium

𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((4 24 6

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (4 − 𝜆 24 6 − 𝜆

) = 0

(4 − 𝜆)(6 − 𝜆) − 8 = 0

𝜆2 − 10𝜆 + 16 = 0

(𝜆 − 8)(𝜆 − 2) = 0

𝜆1 = 8 ∨ 𝜆2 = 2.

Karena 𝜆1 > 𝜆2 > 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul yang

bersifat tak stabil. Gambar 2.1 adalah diagram fase dari sistem persamaan

diferensial Contoh 2.5 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.


23

Gambar 2.1 Diagram fase Contoh 2.5

(titik simpul yang bersifat tak stabil)

Contoh 2.6


𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −10𝑥 − 7𝑦.

}


𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

𝑦 = 0,−10𝑥 − 7𝑦 = 0.

}


Misalkan 𝐴 = (0 1−10 −7

).



𝑑𝑒𝑡 ((0 1−10 −7

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (−𝜆 1−10 −7 − 𝜆

) = 0


24

(−𝜆)(−7 − 𝜆) + 10 = 0

𝜆2 + 7𝜆 + 10 = 0

(𝜆 + 5)(𝜆 + 2) = 0

𝜆1 = −5 ∨ 𝜆2 = −2.

Karena 𝜆1 < 𝜆2 < 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul yang

bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.2 adalah diagram fase dari sistem

persamaan diferensial Contoh 2.6 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.


(titik simpul yang bersifat stabil asimtotik)

Contoh 2.7


𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2𝑥 + 4𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4𝑥 − 4𝑦.

}


𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

2𝑥 + 4𝑦 = 0,4𝑥 − 4𝑦 = 0.

}


25


Misalkan 𝐴 = (2 44 −4

).



𝑑𝑒𝑡 ((2 44 −4

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (2 − 𝜆 44 −4 − 𝜆

) = 0

(2 − 𝜆)(−4 − 𝜆) − 16 = 0

𝜆2 + 2𝜆 − 24 = 0

(𝜆 + 6)(𝜆 − 4) = 0

𝜆1 = −6 ∨ 𝜆2 = 4.

Karena 𝜆1 < 0 < 𝜆2 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik sadel yang

bersifat tak stabil. Gambar 2.3 memuat diagram fase dari sistem persamaan



(titik sadel yang bersifat tak stabil)


26

Contoh 2.8


𝑑𝑥

𝑑𝑡= 5𝑥,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 5𝑦.

}


𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

5𝑥 = 0,5𝑦 = 0.

}


Misalkan 𝐴 = (5 00 5

).



𝑑𝑒𝑡 ((5 00 5

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (5 − 𝜆 00 5 − 𝜆

) = 0

(5 − 𝜆)(5 − 𝜆) = 0

𝜆1 = 𝜆2 = 5.

Karena 𝜆1 = 𝜆2 > 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul sejati

atau titik simpul tak sejati yang bersifat tak stabil. Gambar 2.4 memuat

diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.8 untuk beberapa

nilai awal yang berbeda.


27


(titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat tak stabil)

Contoh 2.9


𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2𝑥 + 5𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −5𝑥 − 8𝑦.

}


𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

2𝑥 + 5𝑦 = 0,−5𝑥 − 8𝑦 = 0.

}


Misalkan 𝐴 = (2 5−5 −8

).



𝑑𝑒𝑡 ((2 5−5 −8

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0


28

𝑑𝑒𝑡 (2 − 𝜆 5−5 −8 − 𝜆

) = 0

(2 − 𝜆)(−8 − 𝜆) + 25 = 0

𝜆2 + 6𝜆 + 9 = 0

(𝜆 + 3)2 = 0

𝜆1 = 𝜆2 = −3.

Karena 𝜆1 = 𝜆2 < 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul sejati

atau titik simpul tak sejati yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.5

menunjukkan diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.9

untuk beberapa nilai awal yang berbeda.


(titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat stabil asimtotik)

Contoh 2.10


𝑑𝑥

𝑑𝑡= 8𝑥 + 10𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −10𝑥 − 4𝑦.

}


29


𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

8𝑥 + 10𝑦 = 0,−10𝑥 − 4𝑦 = 0.

}


Misalkan 𝐴 = (8 10−10 −4

).

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0.

𝑑𝑒𝑡 ((8 10−10 −4

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (8 − 𝜆 10−10 −4 − 𝜆

) = 0

(8 − 𝜆)(−4 − 𝜆) + 100 = 0

𝜆2 − 4𝜆 + 68 = 0

𝜆1,2 =4 ± √16 − 4(1)(68)

2

𝜆1,2 = 2 ± 8𝑖.

Karena 𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 dan 𝑟 > 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik

spiral yang bersifat tak stabil. Gambar 2.6 adalah diagram fase dari sistem

persamaan diferensial Contoh 2.10 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.


30


(titik spiral yang bersifat tak stabil)

Contoh 2.11


𝑑𝑥

𝑑𝑡= −8𝑥 + 10𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −10𝑥 + 4𝑦.

}


𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

−8𝑥 + 10𝑦 = 0,−10𝑥 + 4𝑦 = 0.

}


Misalkan 𝐴 = (−8 10−10 4

).



𝑑𝑒𝑡 ((−8 10−10 4

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0


31

𝑑𝑒𝑡 (−8 − 𝜆 10−10 4 − 𝜆

) = 0

(−8 − 𝜆)(4 − 𝜆) + 100 = 0

𝜆2 + 4𝜆 + 68 = 0

𝜆1,2 =−4 ± √16 − 4(1)(68)

2

𝜆1,2 = −2 ± 8𝑖.

Karena 𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 dan 𝑟 < 0, titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik

spiral yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.7 adalah diagram fase dari

sistem persamaan diferensial Contoh 2.11 untuk beberapa nilai awal yang

berbeda.


(titik spiral yang bersifat stabil asimtotik)

Contoh 2.12


𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −2𝑥.

}


32


𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0,

2𝑦 = 0,−2𝑥 = 0.

}


Misakan 𝐴 = (0 2−2 0

).



𝑑𝑒𝑡 ((0 2−2 0

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (−𝜆 2−2 −𝜆

) = 0

𝜆2 + 4 = 0

𝜆2 = −4

𝜆1,2 = 𝑖√4

𝜆1 = 2𝑖 ∨ 𝜆2 = −2𝑖.

Karena 𝜆1 = 𝑖𝜇, 𝜆2 = −𝑖𝜇 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik pusat

yang bersifat stabil. Gambar 2.8 adalah diagram fase dari sistem persamaan



33


(titik pusat yang bersifat stabil)

D. Model Pertumbuhan Logistik

Model pertumbuhan populasi untuk satu spesies dikemukakan pertama kali

oleh Malthus. Model diberikan oleh masalah nilai awal sebagai berikut:

{

𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡),

𝑁(0) = 𝑁0,

dengan 𝑁(𝑡) banyaknya individu di dalam populasi pada waktu 𝑡, dengan 𝑡 adalah

variabel waktu, dan 𝑟 konstanta laju pertumbuhan. Model tersebut dapat

diselesaikan menggunakan metode pemisahan variabel sebagai berikut:

𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡)

𝑑𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡)= 𝑟𝑑𝑡

∫𝑑𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡)= ∫𝑟𝑑𝑡

ln 𝑁(𝑡) = 𝑟𝑡 + 𝐶


34

𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡+𝐶

𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶

dengan 𝐴 = 𝑒𝑐 dan diperoleh penyelesaian umum

𝑁(𝑡) = 𝐴𝑒𝑟𝑡.

Substitusi nilai awal 𝑁(0) = 𝑁0

𝑁(0) = 𝐴𝑒𝑟(0)

𝑁0 = 𝐴,

untuk memperoleh penyelesaian khusus dari model

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒𝑟𝑡.

Penyelesaian tersebut menandakan pertumbuhan populasi bertumbuh secara

eksponensial dan bergantung pada nilai awal 𝑁0, konstanta laju pertumbuhan 𝑟, dan

waktu 𝑡. Karena penyelesaian dari model Malthus berupa persamaan eksponensial,

maka model Malthus ini juga disebut model eksponensial. Model eksponensial ini

tidak realistis, sebab untuk nilai 𝑟 > 0, dan jika diambil 𝑡 menuju tak hingga, maka

diperoleh 𝑁(𝑡) menuju tak hingga, yakni lim𝑡→∞

𝑁(𝑡) = ∞. Tidak mungkin suatu

populasi bertumbuh tanpa batas.

Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang

dikemukakan oleh Malthus adalah sebagai berikut:

Syarat titik ekuilibrium 𝑑𝑁(𝑡)


𝑟𝑁(𝑡) = 0

𝑁(𝑡) = 0.

Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium 𝑁(𝑡) = 0, jika 𝑓(𝑁) = 𝑟𝑁, maka 𝑓′(𝑁) =

𝑁 sehingga diperoleh 𝑓′(0) = 0. Karena 𝑓′(0) = 0, titik ekuilibrium 𝑁(𝑡) = 0


35

bersifat tak stabil. Sebagai ilustrasi, untuk nilai awal 𝑁0 > 0 populasi akan bergerak

menjauhi nol, hal ini berarti titik ekuilibrium 𝑁(𝑡) = 0 merupakan solusi yang

bersifat tak stabil. Gambar 2.9 menunjukkan grafik penyelesaian yang digambar

menggunakan software Matlab dari model Malthus atau model eksponensial untuk

beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.9 Grafik penyelesaian model Malthus dengan 𝑟 = 0,3

Model Verhulst merupakan salah satu modifikasi dari model Malthus.

Adanya daya dukung yang berupa konstanta 𝐾 ditambahkan pada model bermaksud

untuk membuat model lebih realistik. Daya dukung yang dimaksud meliputi

keterbatasan ruang / kapasitas tempat tinggal, keterbatasan makanan, dan

sebagainya. Model Verhulst atau model logistik diberikan oleh persamaan:

{

𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡) (1 −

𝑁(𝑡)

𝐾) ,

𝑁(0) = 𝑁0,

dengan 𝑁(𝑡) adalah jumlah individu dalam populasi pada waktu 𝑡, 𝑡 adalah variabel

waktu, 𝑟 laju pertumbuhan, dan 𝐾 adalah konstanta daya dukung lingkungan atau


36

kemampuan lingkungan untuk menghidupi populasi. Penyelesaian dari model

Verhulst adalah sebagai berikut:

𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡) (1 −

𝑁(𝑡)

𝐾)

𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡=𝑟(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡)2)

𝐾

𝑑𝑁(𝑡)

(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡)2)=𝑟

𝐾𝑑𝑡

𝑑𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=𝑟

𝐾𝑑𝑡

∫𝑑𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=𝑟

𝐾∫𝑑𝑡.

Dengan menggunakan pecahan parsial

1

𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=

𝐴

𝑁(𝑡)+

𝐵

(𝐾 − 𝑁(𝑡)),

diperoleh nilai 𝐴 =1

𝐾 dan 𝐵 =

1

𝐾 . Selanjutnya pada ruas kiri dapat ditulis

1

𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=

1

𝐾𝑁(𝑡)+

1

𝐾(𝐾 − 𝑁(𝑡)),

sehingga

∫(1

𝐾𝑁(𝑡)+

1

𝐾(𝐾 − 𝑁(𝑡))) 𝑑𝑁(𝑡) =

𝑟

𝐾∫𝑑𝑡

∫𝑑𝑁(𝑡)

𝐾𝑁(𝑡)+ ∫

𝑑𝑁(𝑡)

𝐾(𝐾 − 𝑁(𝑡))=𝑟

𝐾∫𝑑𝑡

1

𝐾∫𝑑𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡)+1

𝐾∫

𝑑𝑁(𝑡)

(𝐾 − 𝑁(𝑡))=𝑟

𝐾∫𝑑𝑡

∫𝑑𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡)+ ∫

𝑑𝑁(𝑡)

(𝐾 − 𝑁(𝑡))= 𝑟∫𝑑𝑡


37

ln 𝑁(𝑡) − ln|𝐾 − 𝑁(𝑡)| = 𝑟𝑡 + 𝐶

ln |𝑁(𝑡)

𝐾 − 𝑁(𝑡)| = 𝑟𝑡 + 𝐶

𝑁(𝑡)

𝐾 − 𝑁(𝑡)= 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶

𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾 − 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝑁(𝑡)

𝑁(𝑡) + 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾

(1 + 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶)𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾

𝑁(𝑡) =𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾

1 + 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶

dengan 𝐵 = 𝑒𝐶 , diperoleh penyelesaian umum

𝑁(𝑡) =𝐵𝐾𝑒𝑟𝑡

1 + 𝐵𝑒𝑟𝑡.

Substitusi nilai awal 𝑁(0) = 𝑁0 sehingga diperoleh penyelesaian khusus dari

model sebagai berikut

𝑁(0) =𝐵𝐾𝑒𝑟(0)

1 + 𝐵𝑒𝑟(0)

𝑁0 =𝐵𝐾

1 + 𝐵

𝑁0 + 𝐵𝑁0 = 𝐵𝐾

𝐵(𝐾 − 𝑁0) = 𝑁0

𝐵 =𝑁0

𝐾 − 𝑁0.

Subsitusi nilai 𝐵 =𝑁0

𝐾 − 𝑁0 ke dalam 𝑁(𝑡) =

𝐵𝐾𝑒𝑟𝑡

1 + 𝐵𝑒𝑟𝑡


38

𝑁(𝑡) =

𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0𝐾−𝑁0

𝐾−𝑁0 + 𝑒𝑟𝑡𝑁0𝐾−𝑁0

𝑁(𝑡) =𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0

𝐾 + (𝑒𝑟𝑡 − 1)𝑁0.

Penyelesaian tersebut lebih realistis dibandingkan dengan penyelesaian model

Malthus, sebab jika diambil nilai 𝑡 menuju tak hingga maka diperoleh:

lim𝑡→∞

𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0𝐾 + (𝑒𝑟𝑡 − 1)𝑁0

= lim𝑡→∞

𝐾

𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0

+ 1 −1𝑒𝑟𝑡

=𝐾

0 + 1 − 0

= 𝐾.

Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara terbatas dan asimtotik ke nilai 𝐾

saat 𝑡 menuju tak hingga.

Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang

dikemukakan oleh Verhulst adalah sebagai berikut: 𝑑𝑁(𝑡)


𝑟𝑁(𝑡) (1 −𝑁(𝑡)

𝐾) = 0

𝑟𝑁(𝑡) = 0 ∨ 1 −𝑁(𝑡)

𝐾= 0

𝑁(𝑡)1 = 0 ∨ 𝑁(𝑡)2 = 𝐾.

Jadi, terdapat dua titik ekuilibrium yaitu 𝑁(𝑡)1 = 0 atau 𝑁(𝑡)2 = 𝐾. Jika 𝑓(𝑁) =

𝑟𝑁(𝑡) (1 −𝑁(𝑡)

𝐾), maka 𝑓′(𝑁) = 𝑟 −

2𝑟𝑁(𝑡)

𝐾, sehingga analisis kestabilan untuk titik

ekuilibrium 𝑁(𝑡)1 = 0 adalah 𝑓′(0) = 𝑟. Karena 𝑟 > 0 maka 𝑓′(0) > 0, sehingga

titik ekuilibrium 𝑁(𝑡)1 = 0 bersifat tak stabil. Sedangkan analisis kestabilan untuk


39

titik ekuilibrium 𝑁(𝑡)2 = 𝐾 adalah 𝑓′(0) = −𝑟, karena 𝑟 > 0 maka 𝑓′(𝐾) < 0,

sehingga titik ekuilibrium 𝑁(𝑡)2 = 𝐾 bersifat stabil asimtotik. Dengan kata lain,

untuk setiap nilai awal 𝑁0 > 0 populasi akan bergerak menjauhi nol, jadi titik

ekuilibrium 𝑁(𝑡)1 = 0 merupakan solusi yang bersifat tak stabil. Berbeda dengan

𝑁(𝑡)2 = 𝐾, untuk setiap 𝑁0 > 0 berlaku:

lim𝑡→∞

𝐾

(𝐾𝑁0− 1) 𝑒−𝑟𝑡 + 1

= 𝐾,

sehingga 𝑁(𝑡)2 = 𝐾 adalah solusi yang stabil asimtotik.

Berikut grafik penyelesaian dari model Verhulst atau model logistik yang digambar

menggunakan software Matlab untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.10 Grafik penyelesaian model Verhulst dengan 𝑟 = 0,3 dan 𝐾 = 500

Gambar 2.10 menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang panjang atau 𝑡 menuju

tak hingga, jumlah populasi konvergen menuju ke koefisien daya dukung atau 𝐾 =

500.


40

E. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh

secara Logistik

Simbiosis mutualisme adalah interaksi yang erat dan khusus antara dua

makhluk hidup yang berbeda jenis namun saling menguntungkan bagi kedua pihak.

Beberapa contoh makhluk hidup yang berinteraksi secara simbiosis mutualisme

adalah interaksi antara kerbau dan burung jalak, zebra dan burung oxpecker, buaya

dan burung plover, anemon laut dan ikan badut, bunga dan kupu-kupu, bunga dan

lebah, dan lain sebagainya.

Interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara

eksponensial dapat dimodelkan sebagai berikut:

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 + 𝑎𝑥𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 + 𝑏𝑥𝑦,

dengan 𝑥 dan 𝑦 adalah jumlah populasi pada waktu 𝑡. Parameter 𝑟 dan 𝑠 berturut-

turut merupakan laju pertumbuhan intrinsik dari populasi 𝑥 dan 𝑦, konstanta

𝑎 dan b menunjukkan koefisien dari interaksi antara dua populasi yang dapat

meningkatkan jumlah masing-masing populasi 𝑥 dan 𝑦.

Analisis kestabilan titik ekuilibrium model interaksi simbiosis mutualisme

populasi dua spesies yang bertumbuh secara eksponensial adalah sebagai berikut:

Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium 𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0, sehingga

diperoleh:

𝑟𝑥 + 𝑎𝑥𝑦 = 0,𝑠𝑦 + 𝑏𝑥𝑦 = 0,

} atau 𝑥(𝑟 + 𝑎𝑦) = 0,

𝑦(𝑠 + 𝑏𝑥) = 0. }


41

Terdapat dua titik ekuilibrium, yakni 𝑃1(0,0) dan 𝑃2 (−𝑠

𝑏, −

𝑟

𝑎). Setelah itu

dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi

𝐽𝑖 =

(

𝜕𝑓1𝜕𝑥

𝜕𝑓1𝜕𝑦

𝜕𝑓2𝜕𝑥

𝜕𝑓2𝜕𝑦)

= (

𝑟 + 𝑎𝑦 𝑎𝑥𝑏𝑦 𝑠 + 𝑏𝑥

).

Dengan mensubstitusi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dan 𝑃2 (−𝑠

𝑏, −

𝑟

𝑎) pada matriks

Jacobi, maka diperoleh:

𝐽1 = (𝑟 00 𝑠

),

𝐽2 = (0 −

𝑎𝑠

𝑏

−𝑏𝑟

𝑎0).

Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dengan matriks Jacobi

𝐽1 = (𝑟 00 𝑠

),

diperoleh nilai eigen

𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 00 𝑠

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝜆 00 𝑠 − 𝜆

) = 0

(𝑟 − 𝜆)(𝑠 − 𝜆) = 0

𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠.


42

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 sehingga 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih dari

nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul yang bersifat tak

stabil.

Analisis kestabilan titik ekuilibrium

𝑃2 (−𝑠

𝑏,−𝑟

𝑎),

dengan matriks Jacobi

𝐽2 = (0 −

𝑎𝑠

𝑏

−𝑏𝑟

𝑎0),


𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡

(

(

0 −𝑎𝑠

𝑏

−𝑏𝑟

𝑎0) − (

𝜆 00 𝜆

)

)

= 0

𝑑𝑒𝑡 (−𝜆 −

𝑎𝑠

𝑏

−𝑏𝑟

𝑎−𝜆

) = 0

𝜆2 − 𝑟𝑠 = 0

𝜆1,2 = ± √𝑟𝑠

𝜆1 = √𝑟𝑠 ∨ 𝜆2 = −√𝑟𝑠.

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 sehingga 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda dan

berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (−𝑠

𝑏, −

𝑟

𝑎) merupakan titik sadel yang

bersifat tak stabil.


43

Gambar 2.11 adalah grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua

spesies yang bertumbuh secara eksponensial yang digambar menggunakan software

Matlab untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 2.11 Grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang

bertumbuh secara eksponensial 𝑟 = 0,3 , 𝑠 = 0,2 , 𝑎 = 0.025 dan 𝑏 = 0.03

Model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh

secara logistik adalah sebagai berikut:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −

𝑥

𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −

𝑦

𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦.

Variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah jumlah populasi pada waktu 𝑡, konstanta 𝐾𝑥 dan 𝐾𝑦 adalah

kapasitas ambang dari populasi 𝑥 dan 𝑦. Parameter 𝑟 dan 𝑠 adalah laju

pertumbuhan intrinsik dari populasi 𝑥 dan 𝑦, konstanta 𝑎 dan b menunjukkan

koefisien dari interaksi antara dua populasi yang dapat meningkatkan jumlah

masing-masing populasi 𝑥 dan 𝑦.


44

Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi simbiosis mutualisme populasi dua

spesies yang bertumbuh secara logistik adalah sebagai berikut:


𝑑𝑡=

𝑑𝑦


diperoleh:

𝑟𝑥 (1 −𝑥

𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 = 0,

𝑠𝑦 (1 −𝑦

𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 = 0,

}

atau 𝑥(𝑟𝐾𝑥 − 𝑟𝑥 + 𝑎𝐾𝑥𝑦) = 0,

𝑦(𝑠𝐾𝑦 − 𝑠𝑦 + 𝑏𝐾𝑦𝑥) = 0,}

terdapat empat titik ekuilibrium, yakni

𝑃1(0,0),

𝑃2(0, 𝐾𝑦),

𝑃3(𝐾𝑥, 0), dan

𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦

𝑟𝑠– 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦

𝑟𝑠– 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦).

Setelah memperoleh keempat titik ekuilibrium, dilakukan pelinearan sehingga

diperoleh matriks Jacobi

𝐽𝑖 =

(

𝜕𝑓1𝜕𝑥

𝜕𝑓1𝜕𝑦

𝜕𝑓2𝜕𝑥

𝜕𝑓2𝜕𝑦)

=

(

𝑟 −

2𝑟𝑥

𝐾𝑥+ 𝑎𝑦 𝑎𝑥

𝑏𝑦 𝑠 −2𝑠𝑦

𝐾𝑦+ 𝑏𝑥

)

, 𝑖 = 1, 2, 3, 4.

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai 𝑃𝑖 pada 𝐽𝑖 diperoleh

𝐽1 = (𝑟 00 𝑠

),

𝐽2 = (𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 0

𝑏𝐾𝑦 −𝑠),


45

𝐽3 = (−𝑟 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥

),

𝐽4 =

(

−𝑟𝑠(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦

(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)𝑏𝑟𝐾𝑦


−𝑟𝑠(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 )

.

Setelah matriks Jacobi 𝐽1, 𝐽2, 𝐽3, 𝐽4 diperoleh, dilakukan analisis kestabilan dari

masing-masing titik ekuilibrium.

a. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dengan matriks Jacobi

𝐽1 = (𝑟 00 𝑠

),


𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 00 𝑠

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝜆 00 𝑠 − 𝜆

) = 0

(𝑟 − 𝜆)(𝑠 − 𝜆) = 0

𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠.

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 sehingga 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real berbeda

lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul yang


b. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) dengan matriks Jacobi

𝐽2 = (𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 0




46

𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 0

𝑏𝐾𝑦 −𝑠) − (

𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 0

𝑏𝐾𝑦 −𝑠 − 𝜆) = 0

(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆)(−𝑠 − 𝜆) = 0

𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 = 0 ∨ −𝑠 − 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 ∨ 𝜆2 = −𝑠.

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 , 𝑎 > 0, dan 𝐾𝑦 > 0 sehingga 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua

bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦)

merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil.

c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃3(𝐾𝑥, 0) dengan matriks Jacobi

𝐽3 = (−𝑟 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥

),


𝑑𝑒𝑡(𝐽3 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((−𝑟 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (−𝑟 − 𝜆 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 − 𝜆

) = 0

(−𝑟 − 𝜆)(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 − 𝜆) = 0

−𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 − 𝜆 = 0

𝜆1 = −𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥.


47

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 , 𝑏 > 0, dan 𝐾𝑥 > 0 sehingga 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua

bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3(𝐾𝑥, 0)


d. Analisis kestabilan titik ekuilibrium

𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)


𝐽4 =

(

−𝑟𝑠(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)


(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)𝑏𝑟𝐾𝑦


−𝑟𝑠(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)


.

Jika dimisalkan:

𝛼 = 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦,

𝛽 = 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥,

𝛾 = 𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,

maka diperoleh

𝐽4 =

(

−𝛼𝑟𝑠

𝛾

𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥𝛾

𝛽𝑏𝑟𝐾𝑦

𝛾

−𝛽𝑟𝑠

𝛾 )

.

Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut

𝑑𝑒𝑡(𝐽4 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡

(

(

−𝛼𝑟𝑠

𝛾



𝛾

−𝛽𝑟𝑠

𝛾 )

− (

𝜆 00 𝜆

)

)

= 0


48

𝑑𝑒𝑡

(

−𝛼𝑟𝑠

𝛾− 𝜆



𝛾

−𝛽𝑟𝑠

𝛾− 𝜆

)

= 0

(−𝛼𝑟𝑠

𝛾− 𝜆) (

−𝛽𝑟𝑠

𝛾− 𝜆) − (


𝛾) (𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥𝛾

) = 0

untuk memperoleh nilai 𝜆 kalikan kedua ruas dengan 𝛾2, sehingga diperoleh

(−𝛼𝑟𝑠 − 𝛾𝜆)(−𝛽𝑟𝑠 − 𝛾𝜆) − (𝛽𝑏𝑟𝐾𝑦)(𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥) = 0

(𝛾2)𝜆2 + ((𝛼 + 𝛽)𝛾𝑟𝑠)𝜆 + ((𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)𝛼𝛽𝑟𝑠) = 0

𝜆1,2 =−(𝛼 + 𝛽)𝛾𝑟𝑠 ± √((𝛼 + 𝛽)𝛾𝑟𝑠)

2− 4(𝛾2) ((𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)𝛼𝛽𝑟𝑠)

2(𝛾2)

dengan perhitungan aljabar, diperoleh

𝜆1,2 =−𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) ± √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)

2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦

2𝛾.

Diketahui 𝛼 = 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 , 𝛽 = 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 , dan 𝛾 = 𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦, dengan 0 <

𝑟, 𝑠 < 1 , 𝑎, 𝑏 > 0, dan 𝐾𝑥, 𝐾𝑦 > 0 sehingga dapat disimpulkan empat

analisis kestabilan yaitu:

Jika 𝛾 > 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) > √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka

diperoleh 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan real berbeda kurang dari nol). Jadi titik

ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦


𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik simpul yang

bersifat stabil asimtotik.

Jika 𝛾 > 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) < √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka

diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda).


49

Jadi titik ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦


𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik sadel

yang bersifat tak stabil.

Jika 𝛾 < 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) > √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka

diperoleh 𝜆2 > 𝜆1 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih dari nol). Jadi titik

ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦


𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik simpul yang


Jika 𝛾 > 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) < √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka

diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda).

Jadi titik ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦


𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik sadel


Gambar 2.12 merupakan grafik model interaksi simbiosis mutualisme

populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik yang digambar menggunakan

software Matlab dengan nilai parameter 𝑟 = 0,405; 𝑠 = 0,34; 𝑎 = 0,015; 𝑏 =

0,02; 𝑟

𝐾𝑥= 0,03375; dan

𝑠

𝐾𝑦= 0,02833 (Ahmad dan Budin, 2012) untuk beberapa

nilai awal yang berbeda.


50

Gambar 2.12 Grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies

yang bertumbuh secara logistik

Gambar 2.12 menunjukkan bahwa untuk beberapa nilai awal yang berbeda,

grafik menuju ke suatu titik yaitu titik (25,2594 , 29,8337), dimana titik tersebut

merupakan titik ekuilibrium yang bersifat stabil asimtotik.

F. Metode Iterasi Variasional

Metode iterasi variasional terdiri dari tiga konsep dasar, yaitu: fungsi koreksi,

variasi terbatas, dan pengali Lagrange. Sebagai gambaran dari konsep dasar metode

iterasi variasional, diberikan persamaan diferensial non linear berikut

𝐿𝑢 + 𝑁𝑢 = 𝑔(𝑡), (2.9)

dengan 𝐿 adalah operator linear, 𝑁 adalah operator non linear, dan 𝑔(𝑡) adalah

fungsi kontinu. Metode iterasi variasional dapat dibentuk dan dianalisis dengan

menggunakan sebuah fungsi koreksi sebagai berikut

𝑢𝑛+1(𝑡) = 𝑢𝑛(𝑡) + ∫ 𝜆(𝜉)𝑥

0

[𝐿𝑢𝑛(𝜉) + 𝑁�̃�𝑛(𝜉) − 𝑔(𝜉)]𝑑𝜉, (2.10)


51

dengan 𝜆 adalah pengali Lagrange, indeks 𝑢𝑛 adalah solusi hampiran ke-𝑛, �̃�𝑛

adalah variasi terbatas dengan 𝛿�̃�𝑛 = 0, dan 𝛿 adalah turunan variasional (Wazwaz:

2009, 47).

G. Kerangka Berpikir

Sejauh ini telah dipelajari beberapa teori dan definisi mengenai pemodelan

matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear (titik

ekuilibrium, pelinearan, analisis kestabilan titik ekuilibrium), model pertumbuhan

logistik, model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara

logistik, dan metode iterasi variasional. Berdasarkan apa yang telah dipelajari,

peneliti menyusun modifikasi model yang nantinya akan dianalisis kestabilannya

serta akan dicari penyelesaian / solusi dari perumuman model menggunakan

metode iterasi variasional.


52

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

ANALISIS KESTABILAN MODEL

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL

Simbiosis adalah pola interaksi yang erat dan khusus antara dua makhluk

hidup yang berlainan jenis. Salah satu jenis simbiosis adalah simbiosis mutualisme,

dan makhluk hidup yang bersimbiosis disebut dengan simbion. Mutualisme adalah

hubungan sesama makhluk hidup yang saling menguntungkan kedua pihak. Jadi

simbiosis mutualisme adalah interaksi yang erat dan khusus antara dua makhluk

hidup yang berbeda jenis dan saling menguntungkan bagi kedua pihak.

Beberapa contoh makhluk hidup yang berinteraksi secara simbiosis

mutualisme adalah kerbau dan burung jalak, dalam interaksi ini kerbau diuntungkan

karena bersih dari kutu yang telah dimakan oleh burung jalak, sedangkan burung

jalak diuntungkan karena mendapat makanan berupa kutu yang berada pada tubuh

kerbau. Zebra dan burung oxpecker, sama halnya dengan kerbau dan burung jalak,

pada interaksi ini burung oxpecker memperoleh makanan yang berupa kutu dari

tubuh zebra, sedangkan zebra diuntungkan karena tubuhnya menjadi bersih dan

juga burung oxpecker berperan sebagai alarm apabila ada bahaya yang mendatangi

zebra. Buaya dan burung plover, dalam interaksi ini burung plover mendapat

makanan yang terdapat pada sela-sela gigi buaya, sedangkan buaya diuntungkan

karena sisa-sisa makanan yang terdapat pada giginya dapat bersih sehingga

mencegah terjadinya infeksi. Anemon laut dan ikan badut, pada interaksi ini

anemon laut menjadi tempat tinggal sekaligus tempat berlindung bagi ikan badut


53

dan ikan badut menangkal ikan kupu-kupu yang suka memakan anemon, ikan badut

juga akan memakan parasit yang terdapat pada tentakel anemon yang berupa

invertebrata kecil, serta di sisi lain kotoran dari ikan badut memberi nutrisi bagi

anemon. Bunga matahari dan lebah, dalam hubungan bunga matahari dan lebah,

bunga diuntungkan karena dibantu proses penyerbukannya oleh lebah, sedangkan

lebah diuntungkan karena memperoleh makanan dari bunga berupa sari bunga.

Pada suatu ekosistem tertutup, terdapat dua spesies yang saling berinteraksi

secara mutualisme (saling menguntungkan). Di dalam ekosistem tertutup tersebut

diasumsikan tidak ada gangguan atau faktor lain yang mempengaruhi pertumbuhan

dua populasi selain interaksi antara kedua spesies. Laju pertumbuhan dari masing-

masing spesies pada saat 𝑡 merupakan turunan dari jumlah populasi spesies

terhadap waktu 𝑡 (turunan dari 𝑥 atau 𝑦 terhadap 𝑡) yaitu 𝑑𝑥

𝑑𝑡 dan

𝑑𝑦

𝑑𝑡 , dengan

𝑥 dan 𝑦 merupakan jumlah masing-masing populasi dari kedua spesies pada saat 𝑡,

dan 𝑡 merupakan variabel dari waktu. Terdapat parameter-parameter yang

mempengaruhi pertumbuhan populasi kedua spesies. Parameter yang menunjukkan

laju pertumbuhan intrinsik dari masing-masing spesies dimisalkan dengan 𝑟 dan 𝑠,

dengan 𝑟 merupakan laju pertumbuhan intrinsik dari spesies 𝑥 dan 𝑠 merupakan

laju pertumbuhan intrinsik dari spesies 𝑦. Karena kedua spesies bertumbuh secara

logistik, maka terdapat kapasitas ambang atau daya dukung dari masing-masing

spesies. Daya dukung untuk spesies 𝑥 adalah 𝐾𝑥 dan daya dukung untuk spesies 𝑦

adalah 𝐾𝑦. Jadi, pemodelan pertumbuhan dari masing-masing spesies yang

bertumbuh secara logistik adalah 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −

𝑥

𝐾𝑥) dan

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −

𝑦

𝐾𝑦). Pada


54

model tersebut, belum terdapat interaksi antara kedua spesies. Jika kedua spesies

berinteraksi secara mutualisme maka mengakibatkan bertambahnya populasi dari

masing-masing spesies. Misalkan 𝑎 merupakan laju pertumbuhan spesies 𝑥 akibat

interaksi dengan spesies 𝑦 dan 𝑏 merupakan laju pertumbuhan spesies 𝑦 akibat

interaksi dengan spesies 𝑥, model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang

bertumbuh secara logistik dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −

𝑥

𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −

𝑦


Bab ini membahas mengenai modifikasi model interaksi simbiosis

mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik yaitu dengan adanya unsur

pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya unsur pemanenan pada kedua

jenis spesies serta analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model hasil modifikasi.

A. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh

secara Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Salah Satu Jenis Spesies

Jika dilakukan pemanenan pada salah satu dari spesies, misal pemanenan

dilakukan pada spesies 𝑥, dengan 𝐸 merupakan laju pemanenan spesies 𝑥 (𝐸 ≥ 0),

maka model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara

logistik dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dapat dituliskan

sebagai berikut:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −

𝑥

𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,

(3.1)


55

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −

𝑦


(3.2)

Analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model interaksi simbiosis mutualisme

populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada

salah satu jenis spesies adalah sebagai berikut:


𝑑𝑡=

𝑑𝑦


diperoleh:

𝑟𝑥 (1 −𝑥

𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥 = 0,

𝑠𝑦 (1 −𝑦

𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 = 0,

}

atau 𝑥(𝑟𝐾𝑥 − 𝑟𝑥 + 𝑎𝐾𝑥𝑦 − 𝐸𝐾𝑥) = 0,

𝑦(𝑠𝐾𝑦 − 𝑠𝑦 + 𝑏𝐾𝑦𝑥) = 0. }

Terdapat empat titik ekuilibrium, yakni

𝑃1(0,0),

𝑃2(0, 𝐾𝑦),

𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0) , dan

𝑃4 ((𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑠𝐾𝑥

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦).

Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi

𝐽𝑖 =

(

𝜕𝑓1𝜕𝑥

𝜕𝑓1𝜕𝑦

𝜕𝑓2𝜕𝑥

𝜕𝑓2𝜕𝑦)

=

(

𝑟 −

2𝑟𝑥

𝐾𝑥+ 𝑎𝑦 − 𝐸 𝑎𝑥


𝐾𝑦+ 𝑏𝑥

)

, 𝑖 = 1, 2, 3, 4.

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai 𝑃𝑖 pada 𝐽𝑖 diperoleh:

𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 00 𝑠

),


56

𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 0


𝐽3 = (𝐸 − 𝑟

(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟

0 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟

),

𝐽4 =

(

(𝐸 − 𝑟 − 𝑎𝐾𝑦)𝑟𝑠


(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥


𝑏𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦


(𝐸 − 𝑟)𝑏𝑠𝐾𝑥 − 𝑟𝑠2


.




𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 00 𝑠

),


𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 − 𝐸 00 𝑠

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 − 𝜆 0

0 𝑠 − 𝜆) = 0

(𝑟 − 𝐸 − 𝜆)(𝑠 − 𝜆) = 0

𝑟 − 𝐸 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 ∨ 𝜆2 = 𝑠

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 dan 𝐸 > 0, dapat disimpulkan dua analisis kestabilan

yaitu:


57

Jika 𝑟 > 𝐸 , maka diperoleh 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih

dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul yang bersifat

tak stabil.

Jika 𝑟 < 𝐸 , maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real berbeda dan

berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik sadel yang


b. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) dengan matriks Jacobi

𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 0



𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 0

𝑏𝐾𝑦 −𝑠) − (

𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 0

𝑏𝐾𝑦 −𝑠 − 𝜆) = 0

(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆)(−𝑠 − 𝜆) = 0

𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 = 0 ∨ −𝑠 − 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 ∨ 𝜆2 = −𝑠

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1, 𝑎 > 0, 𝐾𝑦 > 0 dan 𝐸 > 0, dapat disimpulkan dua


Jika 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 > 𝐸 , maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda

dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) merupakan titik sadel



58

Jika 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 < 𝐸 , maka diperoleh 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan real berbeda

kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) merupakan titik simpul

yang bersifat stabil asimtotik.

c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium

𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0),


𝐽3 = (𝐸 − 𝑟



𝑟

),


𝑑𝑒𝑡(𝐽3 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡

(

(𝐸 − 𝑟



𝑟

) − (𝜆 00 𝜆

)

)

= 0

𝑑𝑒𝑡 (𝐸 − 𝑟 − 𝜆



𝑟− 𝜆

) = 0

(𝐸 − 𝑟 − 𝜆)(𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟− 𝜆) = 0

𝐸 − 𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟− 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝐸 − 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟.

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1, 𝑏 > 0, 𝐾𝑥 > 0 dan 𝐸 > 0, dapat disimpulkan tiga



59

Jika 𝐸 > 𝑟 , maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆2 yang berbeda. Jika 𝑟𝑠 >

(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥 , maka dapat disimpulkan 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real

berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0) merupakan titik

simpul yang bersifat tak stabil. Sedangkan jika 𝑟𝑠 < (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥 , maka

dapat disimpulkan 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda dan berbeda

tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0) merupakan titik sadel yang


Jika 𝐸 < 𝑟 , maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real berbeda dan

berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0) merupakan titik sadel





𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦),


𝐽4 =

(

(𝐸 − 𝑟 − 𝑎𝐾𝑦)𝑟𝑠


(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥


𝑏𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦


(𝐸 − 𝑟)𝑏𝑠𝐾𝑥 − 𝑟𝑠2


,

atau dapat ditulis

𝐽4 = (𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22

),

dengan

𝐴11 =(𝐸 − 𝑟 − 𝑎𝐾𝑦)𝑟𝑠

𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,


60

𝐴12 =(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥


𝐴21 =𝑏𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏

2𝐾𝑥𝐾𝑦


𝐴22 =(𝐸 − 𝑟)𝑏𝑠𝐾𝑥 − 𝑟𝑠

2



𝑑𝑒𝑡(𝐽4 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝐴11 − 𝜆 𝐴12𝐴21 𝐴22 − 𝜆

) = 0

(𝐴11 − 𝜆)(𝐴22 − 𝜆) − (𝐴12)(𝐴21) = 0

𝜆2 − (𝐴11𝐴22)𝜆 + (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) = 0.

Digunakan rumus 𝑎𝑏𝑐 untuk memperoleh nilai 𝜆1 dan 𝜆2 dengan nilai 𝑎 = 1,

𝑏 = −(𝐴11𝐴22), dan 𝑐 = (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) sebagai berikut

𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4.1. (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)

2.1

𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4(𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)

2

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑎, 𝑏, 𝐾𝑥, 𝐾𝑦 > 0 ; dan 𝐸 > 0, sehingga dapat

disimpulkan beberapa analisis kestabilan sesuai dengan nilai eigen yang

diperoleh.

Kriteria kestabilan dari



𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)


61

dapat dilihat pada Tabel 2.1 disesuaikan dengan nilai 𝜆1 dan 𝜆2.

Gambar 3.1 merupakan grafik model interaksi simbiosis mutualisme dua

spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada salah satu

jenis spesies yang digambar menggunakan software Matlab dengan nilai 𝑟 =

0,405; 𝑠 = 0,34; 𝑎 = 0,015; 𝑏 = 0,02; 𝑟

𝐾𝑥= 0,03375;

𝑠

𝐾𝑦= 0,02833; dan 𝐸 =

0,27 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 3.1 Grafik interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara

logistik dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies


grafik menuju ke suatu titik dimana titik tersebut merupakan salah satu titik

ekuilibrium yang bersifat stabil asimtotik.

B. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh

secara Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Kedua Jenis Spesies

Jika dilakukan pemanenan pada kedua jenis spesies, misal 𝐸 merupakan laju

pemanenan spesies 𝑥 (𝐸 ≥ 0) dan 𝐹 merupakan laju pemanenan spesies 𝑦 (𝐹 ≥ 0),


62

maka model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara

logistik dengan unsur pemanenan pada kedua jenis dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −

𝑥


(3.3)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −

𝑦

𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦.

(3.4)

Analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model interaksi simbiosis mutualisme

populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada

kedua jenis spesies adalah sebagai berikut:


𝑑𝑡=

𝑑𝑦


diperoleh:

𝑟𝑥 (1 −𝑥

𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥 = 0,

𝑠𝑦 (1 −𝑦

𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦 = 0,

}

atau 𝑥(𝑟𝐾𝑥 − 𝑟𝑥 + 𝑎𝐾𝑥𝑦 − 𝐸𝐾𝑥) = 0,

𝑦(𝑠𝐾𝑦 − 𝑠𝑦 + 𝑏𝐾𝑦𝑥 − 𝐹𝐾𝑦) = 0. }

Terdapat empat titik ekuilibrium, yakni

𝑃1(0,0),

𝑃2 (0,(𝑠 − 𝐹)𝐾𝑦

𝑠),

𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0) , dan

𝑃4 ((𝐸 − 𝑟)𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎𝐾𝑥𝐾𝑦

𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,(𝐹 − 𝑠)𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦

𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠).

Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi


63

𝐽𝑖 =

(

𝜕𝑓1𝜕𝑥

𝜕𝑓1𝜕𝑦

𝜕𝑓2𝜕𝑥

𝜕𝑓2𝜕𝑦)

=

(

𝑟 −

2𝑟𝑥

𝐾𝑥+ 𝑎𝑦 − 𝐸 𝑎𝑥


𝐾𝑦+ 𝑏𝑥 − 𝐹

)

, 𝑖 = 1, 2, 3, 4.

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai 𝑃𝑖 pada 𝐽𝑖 diperoleh:

𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 00 𝑠 − 𝐹

),

𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 +

(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦

𝑠0

(𝑠 − 𝐹)𝑏𝐾𝑦

𝑠𝐹 − 𝑠

),

𝐽3 = (𝐸 − 𝑟


0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟

),

𝐽4 =

(

(𝑟 − 𝐸)𝑟𝑠 + (𝑠 − 𝐹)𝑎𝑟𝐾𝑦

𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠

(𝐸 − 𝑟)𝑎𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎2𝐾𝑥𝐾𝑦


(𝐹 − 𝑠)𝑏𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦


(𝑠 − 𝐹)𝑟𝑠 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝑠𝐾𝑥𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠 )

.




𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 0

0 𝑠 − 𝐹),


𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 − 𝐸 0

0 𝑠 − 𝐹) − (

𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 − 𝜆 0

0 𝑠 − 𝐹 − 𝜆) = 0


64

(𝑟 − 𝐸 − 𝜆)(𝑠 − 𝐹 − 𝜆) = 0

𝑟 − 𝐸 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝐹 − 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 ∨ 𝜆2 = 𝑠 − 𝐹

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 dan 𝐸, 𝐹 ≥ 0, dapat disimpulkan empat analisis

kestabilan yaitu:

Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real

berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul


Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real

berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik

sadel yang bersifat tak stabil.

Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real

berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik

sadel yang bersifat tak stabil.

Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan real

berbeda kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik

simpul yang bersifat stabil asimtotik.

b. Analisis kestabilan titik ekuilibrium

𝑃2 (0,(𝑠 − 𝐹)𝐾𝑦

𝑠),


𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 +


𝑠0


𝑠𝐹 − 𝑠

),


65


𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡

(

(𝑟 − 𝐸 +


𝑠0


𝑠𝐹 − 𝑠

)− (𝜆 00 𝜆

)

)

= 0

𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 +


𝑠− 𝜆 0


𝑠𝐹 − 𝑠 − 𝜆

) = 0

(𝑟 − 𝐸 +(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦

𝑠− 𝜆) (𝐹 − 𝑠 − 𝜆) = 0

𝑟 − 𝐸 +(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦

𝑠− 𝜆 = 0 ∨ 𝐹 − 𝑠 − 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 +(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦

𝑠 ∨ 𝜆2 = 𝐹 − 𝑠.

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑎, 𝐾𝑦 > 0; dan 𝐸, 𝐹 ≥ 0, dapat disimpulkan

beberapa analisis kestabilan yaitu:

Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real

berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦

𝑠) merupakan

titik sadel yang bersifat tak stabil.

Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆1 yang berbeda. Jika

(𝑟 − 𝐸)𝑠 > (𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua

bilangan real berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦

𝑠)

merupakan titik simpul yang bersifat tak stabil. Sedangkan jika (𝑟 − 𝐸)𝑠 <

(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real


66


𝑠) merupakan


Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆1 yang berbeda. Jika

(𝑟 − 𝐸)𝑠 > (𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua

bilangan real berbeda kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦

𝑠)

merupakan titik simpul yang bersifat stabil asimtotik. Sedangkan jika

(𝑟 − 𝐸)𝑠 < (𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua

bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium

𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦

𝑠) merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil.

Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real


𝑠) merupakan


c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium

𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0),


𝐽3 = (𝐸 − 𝑟


0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟

),


𝑑𝑒𝑡(𝐽3 − 𝜆𝐼) = 0


67

𝑑𝑒𝑡

(

(𝐸 − 𝑟


0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟

)− (𝜆 00 𝜆

)

)

= 0

𝑑𝑒𝑡 (𝐸 − 𝑟 − 𝜆


0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟− 𝜆

) = 0

(𝐸 − 𝑟 − 𝜆) (𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟− 𝜆) = 0

𝐸 − 𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟− 𝜆 = 0

𝜆1 = 𝐸 − 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥

𝑟

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑏, 𝐾𝑥 > 0 ; dan 𝐸, 𝐹 > 0, dapat disimpulkan

beberapa analisis kestabilan yaitu:

Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real

berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0) merupakan


Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆2 yang berbeda. Jika

(𝑠 − 𝐹)𝑟 > (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan

real berbeda kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0)

merupakan titik simpul yang bersifat stabil asimtotik. Sedangkan jika

(𝑠 − 𝐹)𝑟 < (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan

real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0)



68

Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆2 yang berbeda. Jika

(𝑠 − 𝐹)𝑟 > (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan

real berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥

𝑟, 0) merupakan

titik simpul yang bersifat tak stabil. Sedangkan jika (𝑠 − 𝐹)𝑟 <

(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real


𝑟, 0) merupakan


Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real


𝑟, 0) merupakan





𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠),


𝐽4 =

(

(𝑟 − 𝐸)𝑟𝑠 + (𝑠 − 𝐹)𝑎𝑟𝐾𝑦


(𝐸 − 𝑟)𝑎𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎2𝐾𝑥𝐾𝑦


(𝐹 − 𝑠)𝑏𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦


(𝑠 − 𝐹)𝑟𝑠 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝑠𝐾𝑥𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠 )

,

atau dapat ditulis

𝐽4 = (𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22

),

dengan

𝐴11 =(𝑟 − 𝐸)𝑟𝑠 + (𝑠 − 𝐹)𝑎𝑟𝐾𝑦

𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,


69

𝐴12 =(𝐸 − 𝑟)𝑎𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎

2𝐾𝑥𝐾𝑦


𝐴21 =(𝐹 − 𝑠)𝑏𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏

2𝐾𝑥𝐾𝑦


𝐴22 =(𝑠 − 𝐹)𝑟𝑠 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝑠𝐾𝑥



𝑑𝑒𝑡(𝐽4 − 𝜆𝐼) = 0

𝑑𝑒𝑡 ((𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22

) − (𝜆 00 𝜆

)) = 0

𝑑𝑒𝑡 (𝐴11 − 𝜆 𝐴12𝐴21 𝐴22 − 𝜆

) = 0

(𝐴11 − 𝜆)(𝐴22 − 𝜆) − (𝐴12)(𝐴21) = 0

𝜆2 − (𝐴11𝐴22)𝜆 + (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) = 0.

Digunakan rumus 𝑎𝑏𝑐 untuk memperoleh nilai 𝜆1 dan 𝜆2 dengan nilai 𝑎 = 1,

𝑏 = −(𝐴11𝐴22), dan 𝑐 = (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) sebagai berikut

𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4.1. (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)

2.1

𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4(𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)

2

Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑎, 𝑏, 𝐾𝑥, 𝐾𝑦 > 0 ; dan 𝐸, 𝐹 > 0, sehingga dapat

disimpulkan beberapa analisis kestabilan sesuai dengan nilai eigen yang

diperoleh.

Kriteria kestabilan dari



𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠)


70

dapat dilihat pada Tabel 2.1 dengan menyesuaikan nilai 𝜆1 dan 𝜆2.

Gambar 3.2 merupakan grafik model interaksi simbiosis mutualisme dua

spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada kedua jenis

spesies yang digambar menggunakan software Matlab dengan nilai 𝑟 = 0,405; 𝑠 =

0,34; 𝑎 = 0,015; 𝑏 = 0,02; 𝑟

𝐾𝑥= 0,03375;

𝑠

𝐾𝑦= 0,02833; 𝐸 = 0,27; dan 𝐹 =

0,227 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 3.2 Grafik interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik

dengan unsur pemanenan pada kedua jenis spesies


grafik menuju ke suatu titik dimana titik tersebut merupakan salah satu titik

ekuilibrium yang bersifat stabil asimtotik.


71

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL

DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL

Pada bab sebelumnya, telah dibahas mengenai analisis dari model

pertumbuhan populasi dua spesies yang sudah dimodifikasi. Selanjutnya akan

dibahas pendekatan dari solusi model tersebut menggunakan metode iterasi

variasional. Sebelum menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan

model, akan dibentuk perumuman dari model hasil modifikasi.

Model pertama dari hasil modifikasi adalah model interaksi simbiosis

mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur

pemanenan pada salah satu jenis spesies dan dimodelkan pada sistem persamaan

(3.1)-(3.2).

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −

𝑥


(3.1)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −

𝑦


(3.2)

Dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif, sistem

persamaan (3.1)-(3.2) dapat ditulis menjadi

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 −

𝑟𝑥2

𝐾𝑥+ 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 −

𝑠𝑦2

𝐾𝑦+ 𝑏𝑥𝑦.

⇔

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (𝑟 − 𝐸)𝑥 −

𝑟

𝐾𝑥𝑥2 + 𝑎𝑥𝑦,

𝑑𝑦


𝑠

𝐾𝑦𝑦2 + 𝑏𝑥𝑦.

Model kedua dari hasil modifikasi adalah model interaksi simbiosis

mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur


72

pemanenan pada kedua jenis spesies dan dimodelkan pada sistem persamaan (3.3)-

(3.4).

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −

𝑥


(3.3)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −

𝑦

𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦.

(3.4)

Dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif, sistem

persamaan (3.3)-(3.4) dapat ditulis menjadi

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 −

𝑟𝑥2

𝐾𝑥+ 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,

𝑑𝑦


𝑠𝑦2

𝐾𝑦+ 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦,

⇔

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (𝑟 − 𝐸)𝑥 −

𝑟𝑥2

𝐾𝑥+ 𝑎𝑥𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= (𝑠 − 𝐹)𝑦 −

𝑠𝑦2

𝐾𝑦+ 𝑏𝑥𝑦.

Perumuman model dilakukan dengan memisalkan koefisien 𝑥, 𝑥2, 𝑥𝑦 pada

persamaan pertama secara berturut-turut dengan 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 dan koefisien 𝑦, 𝑦2, 𝑥𝑦

pada persamaan kedua secara berturut-turut dengan 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2. Sehingga diperoleh

persamaan umum model

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑥

2 + 𝑐1𝑥𝑦, (4.1)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑎2𝑦 + 𝑏2𝑦

2 + 𝑐2𝑥𝑦, (4.2)

dengan,

𝑥 ∶ menyatakan jumlah populasi spesies pertama,

𝑦 ∶ menyatakan jumlah populasi spesies kedua,

𝑎1 ∶ laju pertumbuhan intrinsik spesies 𝑥,

𝑎2 ∶ laju pertumbuhan intrinsik spesies 𝑦,


73

𝑏1 ∶ laju penurunan pertumbuhan spesies 𝑥 akibat bertambahnya spesies 𝑥 dalam

populasi,

𝑏2 ∶ laju penurunan pertumbuhan spesies 𝑦 akibat bertambahnya spesies 𝑦 dalam

populasi,

𝑐1 ∶ laju pertumbuhan spesies 𝑥 akibat interaksi dengan spesies 𝑦, dan

𝑐2 ∶ laju pertumbuhan spesies 𝑦 akibat interaksi dengan spesies 𝑥.

Sistem (4.1) dan (4.2) akan diselesaikan menggunakan metode iterasi

variasional. Langkah pertama dari metode iterasi variasional adalah membentuk

fungsi koreksi dari sistem persamaan diferensial. Fungsi koreksi dari sistem (4.1)-

(4.2) adalah

𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝑥𝑛(𝑡)

+ ∫ 𝜆1(𝑠)𝑡

0

[𝑑𝑥𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠) − 𝑏1�̃�𝑛

2(𝑠)

− 𝑐1�̃�𝑛(𝑠)�̃�𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠,

(4.3)

𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝑦𝑛(𝑡)

+ ∫ 𝜆2(𝑠)𝑡

0

[𝑑𝑦𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠) − 𝑏2�̃�𝑛

2(𝑠)

− 𝑐2�̃�𝑛(𝑠)�̃�𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠,

(4.4)

dimana �̃�𝑛 dan �̃�𝑛 adalah variasi terbatas dengan 𝛿�̃�𝑛 = 0 dan 𝛿�̃�𝑛 = 0. Dari

persamaan (4.3) dan (4.4) diperoleh


74

𝛿𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑥𝑛(𝑡)

+ 𝛿∫ 𝜆1(𝑠)𝑡

0

[𝑑𝑥𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠) − 𝑏1(0) − 𝑐1(0)(0)] 𝑑𝑠

= 𝛿𝑥𝑛(𝑡) + 𝛿∫ 𝜆1(𝑠)𝑡

0

[𝑑𝑥𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠,

(4.5)

𝛿𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑦𝑛(𝑡)

+ 𝛿∫ 𝜆2(𝑠)𝑡

0

[𝑑𝑦𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠) − 𝑏2(0) − 𝑐2(0)(0)] 𝑑𝑠

= 𝛿𝑦𝑛(𝑡) + 𝛿 ∫ 𝜆2(𝑠)𝑡

0

[𝑑𝑦𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠.

(4.6)

Menggunakan integral parsial, persamaan (4.5) menjadi

𝛿𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑥𝑛(𝑡)

+ 𝛿 (𝜆1(𝑠)𝑥𝑛(𝑠) − ∫ 𝜆1′ (𝑠)𝑥𝑛(𝑠)

𝑡

0

𝑑𝑠

− ∫ 𝜆1(𝑠)𝑎1𝑥𝑛(𝑠)𝑡

0

𝑑𝑠)

= (1 + 𝜆1(𝑡))𝛿𝑥𝑛(𝑡)

− 𝛿∫ [𝜆1′ (𝑠)𝑥𝑛(𝑠) + 𝑎1𝜆1(𝑠)𝑥𝑛(𝑠)]

𝑡

0

𝑑𝑠 ,

= (1 + 𝜆1(𝑡))𝛿𝑥𝑛(𝑡) − 𝛿∫ [(𝜆1′ (𝑠) + 𝑎1𝜆1(𝑠))𝑥𝑛(𝑠)]

𝑡

0

𝑑𝑠. (4.7)


75

Menggunakan integral parsial, persamaan (4.6) menjadi

𝛿𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑦𝑛(𝑡)

+ 𝛿 (𝜆2(𝑠)𝑦𝑛(𝑠) − ∫ 𝜆2′ (𝑠)𝑦𝑛(𝑠)

𝑡

0

𝑑𝑠

− ∫ 𝜆2(𝑠)𝑎2𝑦𝑛(𝑠)𝑡

0

𝑑𝑠)

= (1 + 𝜆2(𝑡))𝛿𝑦𝑛(𝑡) − 𝛿∫ [𝜆2′ (𝑠)𝑦𝑛(𝑠) + 𝑎2𝜆2(𝑠)𝑦𝑛(𝑠)]

𝑡

0

𝑑𝑠

= (1 + 𝜆2(𝑡))𝛿𝑦𝑛(𝑡) − 𝛿 ∫ [(𝜆2′ (𝑠) + 𝑎2𝜆2(𝑠))𝑦𝑛(𝑠)]

𝑡

0

𝑑𝑠. (4.8)

Pengali Lagrange 𝜆1(𝑡) dan 𝜆2(𝑡) dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem

berikut:

1 + 𝜆1(𝑡) = 0 , 𝜆1′ (𝑠) + 𝑎1𝜆1(𝑠)|𝑠=𝑡 = 0, (4.9)

1 + 𝜆2(𝑡) = 0 , 𝜆2′ (𝑠) + 𝑎2𝜆2(𝑠)|𝑠=𝑡 = 0. (4.10)

Sehingga, diperoleh pengali Lagrange 𝜆1(𝑡) = −𝑒−𝑎1(𝑠−𝑡) dan 𝜆2(𝑡) =

−𝑒−𝑎2(𝑠−𝑡). Solusi untuk sistem (4.1)-(4.2) dalam bentuk linearisasi (misalkan 𝑏1 =

𝑏2 = 𝑐1 = 𝑐2 = 0) adalah sebagai berikut:

Penyelesaian persamaan (4.1)

(𝑏1 = 𝑐1 = 0)

Penyelesaian persamaan (4.2)

(𝑏2 = 𝑐2 = 0)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + (0)𝑥

2 + (0)𝑥𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑎2𝑦 + (0)𝑦

2 + (0)𝑥𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎1𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑎2𝑦

𝑑𝑥

𝑥= 𝑎1𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑦= 𝑎2𝑑𝑡


76

ln 𝑥 = 𝑎1𝑡 + 𝐾1 ln 𝑦 = 𝑎2𝑡 + 𝐾2

𝑥 = 𝑒𝑎1𝑡+𝐾1 𝑦 = 𝑒𝑎2𝑡+𝐾2

𝑥 = 𝑒𝐾1𝑒𝑎1𝑡 𝑦 = 𝑒𝐾2𝑒𝑎2𝑡

dengan memisalkan 𝑒𝐾1 = 𝐶1 dan 𝑒𝐾2 = 𝐶2 diperoleh:

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒𝑎1𝑡 , (4.11)

𝑦(𝑡) = 𝐶2𝑒𝑎2𝑡 . (4.12)

Iterasi variasional untuk sistem 4.1-4.2 dengan 𝜆1(𝑡) = −𝑒−𝑎1(𝑠−𝑡) dan 𝜆2(𝑡) =

−𝑒−𝑎2(𝑠−𝑡) adalah:

𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝑥𝑛(𝑡)

+ ∫ −𝑒−𝑎1(𝑠−𝑡)𝑡

0

[𝑑𝑥𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠) − 𝑏1𝑥𝑛

2(𝑠)

− 𝑐1𝑥𝑛(𝑠)𝑦𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠 ,

(4.13)

𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝑦𝑛(𝑡)

+ ∫ −𝑒−𝑎2(𝑠−𝑡)𝑡

0

[𝑑𝑦𝑛(𝑠)

𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠) − 𝑏2𝑦𝑛

2(𝑠)

− 𝑐2𝑥𝑛(𝑠)𝑦𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠 .

(4.14)

Persamaan (4.13) dan (4.14) merupakan rumus iterasi untuk menghitung

pendekatan solusi model dinamika populasi dua spesies. Rumus iterasi tersebut

kemudian diselesaikan menggunakan software Maple untuk memperoleh hasil

perhitungan. Hasil perhitungan menggunakan metode iterasi variasional akan valid

untuk nilai 𝒕 yang kecil. Apabila peneliti menginginkan nilai 𝒕 yang besar, maka

jumlah iterasi harus diperbanyak agar perhitungan tetap valid.


77

Dari pembahasan sebelumnya, nilai 𝐶1 dan 𝐶2 dapat diperoleh dari nilai awal.

Sebagai contoh, diasumsikan bahwa 𝑥(0) = 4 dan 𝑦(0) = 10. Sehingga diperoleh

𝐶1 = 4 dan 𝐶2 = 10, oleh sebab itu, 𝑥0(𝑡) = 4𝑒𝑎1𝑡 dan 𝑦0(𝑡) = 10𝑒𝑎2𝑡.

Pada bab ini dibahas solusi model menggunakan metode iterasi variasional

untuk contoh model pertumbuhan populasi dua spesies yang berinteraksi secara

simbiosis mutualisme, simbiosis parasitisme, dan kompetisi.

4.1. Model Mutualisme

Pada subbab ini diberikan solusi dari sistem (4.1)-(4.2) untuk model pertumbuhan

populasi dua spesies yang berinteraksi secara simbiosis mutualisme menggunakan

metode iterasi variasional. Diasumsikan bahwa 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,08; 𝑏1 =

−0,0014; 𝑏2 = −0,001; 𝑐1 = 0,0012; dan 𝑐2 = 0,0009 , sehingga solusi iterasi

variasional sampai pada 𝑥2(𝑡) dan 𝑦2(𝑡) dengan menggunakan software Maple

adalah sebagai berikut:

𝑥1(𝑡) = 3.624𝑒0.1𝑡 − 0.224𝑒0.2𝑡 + 0.6𝑒0.18𝑡, (4.15)

𝑦1(𝑡) = 10.89𝑒0.08𝑡 + 0.36𝑒0.18𝑡 − 1.25𝑒0.16𝑡, (4.16)

𝑥2(𝑡) = 3.609515785𝑒0.1𝑡 − 0.183867264𝑒0.2𝑡

+ 0.5919804𝑒0.18𝑡 − 0.04138879997𝑒0.28𝑡

+ 0.0009983999997𝑒0.38𝑡 + 0.01503𝑒0.26𝑡

− 0.00375𝑒0.34𝑡 + 0.0003507692307𝑒0.36𝑡

− 0.0002341546667𝑒0.4𝑡 + 0.011364864𝑒0.3𝑡,

(4.17)


78

𝑦2(𝑡) = 11.00045852𝑒0.08𝑡 + 0.35518824𝑒0.18𝑡

− 1.48240125𝑒0.16𝑡 + 0.17015625𝑒0.24𝑡

− 0.006510416667𝑒0.32𝑡 − 0.00510624𝑒0.28𝑡

− 0.00024192𝑒0.38𝑡 − 0.03354000001𝑒0.26𝑡

+ 0.0008653846153𝑒0.34𝑡

+ 0.001131428571𝑒0.36𝑡.

(4.18)

(a) (b)

Gambar 4.1 Grafik solusi untuk model Mutualisme: (a). 𝑥3(𝑡), (b). 𝑦3(𝑡) with 0 ≤ 𝑡 ≤ 34.

Representasi dari solusi model pertumbuhan populasi dua spesies yang

berinteraksi secara simbiosis mutualisme diplot pada Gambar 4.1 untuk 𝑥3(𝑡) dan

𝑦3(𝑡). Pada Gambar 4.1 dapat diamati bahwa karena simbiosis mutualisme,

populasi dari kedua spesies meningkat terhadap waktu.

4.2. Model Parasitisme


populasi dua spesies yang berinteraksi secara simbiosis parasitisme menggunakan

metode iterasi variasional. Diasumsikan bahwa 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,08; 𝑏1 =


79

−0,0014; 𝑏2 = −0,001; 𝑐1 = 0,0012; dan 𝑐2 = −0,0009. Representasi dari deret

solusi iterasi variasional yang diselesaikan menggunakan software Maple adalah

sebagai berikut:

𝑥1(𝑡) = 3.624𝑒0.1𝑡 − 0.224𝑒0.2𝑡 + 0.6𝑒0.18𝑡, (4.19)

𝑦1(𝑡) = 11.61𝑒0.08𝑡 − 0.36𝑒0.18𝑡 − 1.25𝑒0.16𝑡, (4.20)

𝑥2(𝑡) = 3.586909632𝑒0.1𝑡 − 0.183867264𝑒0.2𝑡 + 0.6311196𝑒0.18𝑡

− 0.001643076923𝑒0.36𝑡 − 0.0598592𝑒0.28𝑡

+ 0.0016896𝑒0.38𝑡 + 0.01827𝑒0.26𝑡 − 0.00375𝑒0.34𝑡

− 0.0002341546667𝑒0.4𝑡 + 0.01136486399𝑒0.3𝑡,

(4.21)

𝑦2(𝑡) = 11.83861929𝑒0.08𝑡 − 0.37867176𝑒0.18𝑡

− 1.68490125𝑒0.16𝑡 + 0.18140625𝑒0.24𝑡

− 0.006510416667𝑒0.32𝑡 + 0.0006685714285𝑒0.36𝑡

+ 0.01757376𝑒0.28𝑡 − 0.00024192𝑒0.38𝑡

+ 0.03425999999𝑒0.26𝑡 + 0.0008653846153𝑒0.34𝑡.

(4.22)

(a) (b)

Gambar 4.2 Grafik dari solusi untuk model Parasitisme: (a). 𝑥3(𝑡), (b). 𝑦3(𝑡) with 0 ≤ 𝑡 ≤ 32.


80

Representasi dari solusi model pertumbuhan populasi dua spesies yang

berinteraksi secara simbiosis parasitisme diplot pada Gambar 4.2. untuk 𝑥3(𝑡) dan

𝑦3(𝑡). Pada Gambar 4.2 dapat diamati bahwa karena simbiosis parasitisme, salah

satu populasi menurun terhadap waktu, hal ini kemudian diikuti oleh populasi lain.

4.3. Model Kompetisi


populasi dua spesies yang saling berkompetisi menggunakan metode iterasi

variasional. Diasumsikan bahwa 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,08; 𝑏1 = −0,0014; 𝑏2 =

−0,001; 𝑐1 = −0,0012; dan 𝑐2 = −0,0009. Representasi dari deret solusi iterasi

variasional yang diselesaikan menggunakan software Maple adalah sebagai berikut:

𝑥1(𝑡) = 4.824𝑒0.1𝑡 − 0.224𝑒0.2𝑡 − 0.6𝑒0.18𝑡, (4.23)

𝑦1(𝑡) = 11.61𝑒0.08𝑡 − 0.36𝑒0.18𝑡 − 1.25𝑒0.16𝑡, (4.24)

𝑥2(𝑡) = 4.989257447𝑒0.1𝑡 − 0.325793664𝑒0.2𝑡 − 0.8400995999𝑒0.18𝑡

− 0.00375𝑒0.34𝑡 − 0.004227692307𝑒0.36𝑡

+ 0.07393919997𝑒0.28𝑡 − 0.0016896𝑒0.38𝑡

+ 0.015128064𝑒0.3𝑡 − 0.0002341546667𝑒0.4𝑡

+ 0.09747𝑒0.26𝑡,

(4.25)

𝑦2(𝑡) = 11.89148417𝑒0.08𝑡 − 0.50405976𝑒0.18𝑡 − 1.68490125𝑒0.16𝑡

+ 0.18140625𝑒0.24𝑡 − 0.006510416667𝑒0.32𝑡

− 0.006057692307𝑒0.34𝑡 − 0.002057142857𝑒0.36𝑡

+ 0.01951776𝑒0.28𝑡 − 0.00024192𝑒0.38𝑡 + 0.11142𝑒0.26𝑡.

(4.26)


81

(a) (b)

Gambar 4.3 Grafik solusi untuk model Kompetisi: (a). 𝑥3(𝑡), (b). 𝑦3(𝑡) with 0 ≤ 𝑡 ≤ 30.

Representasi dari solusi model pertumbuhan populasi dua spesies yang saling

berkompetisi diplot pada Gambar 4.3 untuk 𝑥3(𝑡) dan 𝑦3(𝑡). Untuk waktu yang

kecil, kedua populasi meningkat terhadap waktu.

Perhitungan numerik untuk ketiga kasus (mutualisme, parasitisme, dan

kompetisi) diberikan pada Tabel 4.1.

Table 4.1 Hasil numerik dari metode iterasi variasional berdasarkan contoh yang

diberikan.

𝑡 Model Mutualisme Model Parasitisme Model Kompetisi

𝑥2(𝑡) 𝑦2(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑦2(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑦2(𝑡)

0.0 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000

0.1 4.04279 10.07385 4.04279 10.06657 4.03307 10.06657

0.2 4.08606 10.14822 4.08605 10.13347 4.06636 10.13349

0.3 4.12979 10.22309 4.12978 10.20071 4.09988 10.20075

0.4 4.17401 10.29848 4.17398 10.26829 4.13362 10.26836

0.5 4.21871 10.37440 4.21867 10.33621 4.16758 10.33632

0.6 4.26391 10.45083 4.26384 10.40446 4.20177 10.40463

0.7 4.30960 10.52779 4.30950 10.47304 4.23618 10.47328

0.8 4.35579 10.60528 4.35566 10.54197 4.27083 10.54228

0.9 4.40249 10.68330 4.40232 10.61123 4.30569 10.61163

1.0 4.44970 10.76185 4.44949 10.68083 4.34079 10.68133

Hasil perhitungan yang diperoleh pada Tabel 4.1 sangat mirip dengan hasil

perhitungan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Tabel 4.2 menunjukkan


82

hasil perhitungan yang dilakukan menggunakan metode dekomposisi Adomian

(Putranto dan Mungkasi, 2017).

Table 4.2 Hasil numerik dari metode dekomposisi Adomian berdasarkan contoh yang

diberikan.

𝑡 Model Mutualisme Model Parasitisme Model Kompetisi

𝑋1 𝑌1 𝑋2 𝑌2 𝑋3 𝑌3

0.0 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000

0.1 4.04279 10.07385 4.04279 10.06657 4.03307 10.06657

0.2 4.08606 10.14822 4.08605 10.13347 4.06636 10.13349

0.3 4.12979 10.22309 4.12978 10.20071 4.09988 10.20075

0.4 4.17401 10.29848 4.17398 10.26829 4.13362 10.26836

0.5 4.21871 10.37440 4.21867 10.33620 4.16758 10.33632

0.6 4.26391 10.45083 4.26384 10.40445 4.20177 10.40462

0.7 4.30960 10.52779 4.30950 10.47304 4.23618 10.47327

0.8 4.35579 10.60527 4.35566 10.54196 4.27082 10.54227

0.9 4.40249 10.68329 4.40232 10.61122 4.30568 10.61162

1.0 4.44970 10.76185 4.44950 10.68081 4.34078 10.68131

Hasil perhitungan yang sangat mirip juga dilakukan oleh Batiha, dkk (2007)

menggunakan metode Runge-Kutta orde empat.


83

BAB V

ASPEK PENDIDIKAN

BAB V ASPEK PENDIDIKAN

Matematika merupakan merupakan ilmu yang berbeda dengan ilmu-ilmu

pengetahuan lainnya. Objek studi dari ilmu pengetahuan di luar matematika

sebagian besar mengenai hal-hal yang bersifat empiris atau hal-hal yang dapat

dirasakan oleh panca indera, sedangkan objek studi matematika merupakan konsep-

konsep yang ada di pikiran. Oleh karena itu, sering ada pertanyaan mengenai objek-

objek apa sajakah yang dapat diteliti dalam bidang matematika? Menurut MAA

(Mathematical Association of America) secara garis besar terdapat lima kategori

dalam penelitian matematika, biasa disingkat dengan PEACE, yaitu: Proof

(pembuktian), Extension (perluasan / pengembangan), Application (penerapan),

Characterization (karakterisasi), dan Existence (eksis / keberadaan). Pada

penelitian ini dapat dikategorikan dalam dua kategori, yaitu: Extension

(pengembangan) dan Application (penerapan), karena peneliti melakukan

modifikasi atau pengembangan model yang sudah ada dan model tersebut

merupakan pemodelan dari masalah di dunia nyata.

Penelitian pada bidang matematika, dapat juga dikaitkan dengan dunia

pendidikan guna menambah wawasan serta pengetahuan bagi peserta didik. Pada

bab ini, dibahas mengenai implementasi dari bidang kajian penelitian yang telah

dilakukan pada bidang pendidikan, khususnya pada pembelajaran di SMA dan S1.


84

A. Pembelajaran di SMA

Pada mata pelajaran matematika di SMA, terdapat materi yang terkait dengan

pembahasan penelitian ini. Peneliti meneliti model matematika yang berbentuk

sistem persamaan diferensial. Proses merepresentasikan dan menjelaskan

permasalahan dari dunia nyata ke dalam persamaan matematika atau biasa disebut

dengan pemodelan matematika sudah dipelajari oleh para siswa di SMA. Di kelas

X terdapat materi sistem persamaan linear dan di kelas XII terdapat materi program

linear, dimana kedua materi tersebut membutuhkan pemodelan matematika. Soal-

soal cerita yang nantinya akan diselesaikan harus terlebih dahulu dibawa ke dalam

persamaan matematika. Para siswa harus terlebih dahulu memahami bagaimana

cara membawa kalimat dalam kehidupan sehari-hari ke dalam bentuk kalimat

matematika. Sebagai contoh, berikut diberikan salah satu soal mengenai pemodelan

matematika sederhana yang harus dilakukan pada materi sistem persamaan linear

atau program linear:

SOAL UN 2007 PAKET A

Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena,

dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil

dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan

harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga

Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi

harus membayar?

a. Rp 6.000,00

b. Rp 7.000,00

c. Rp 8.000,00

d. Rp 9.000,00

e. Rp 10.000,00

Dari contoh soal tersebut, pemodelan matematika yang dapat dibentuk adalah

3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 11.000,

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 14.000,


85

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 11.000,

dengan 𝑥 merupakan harga sebuah buku tulis, 𝑦 merupakan harga sebuah pena, dan

𝑧 merupakan harga sebuah pensil.

Selain itu, di kelas XI terdapat materi turunan atau derivatif yang terkait

dengan model pada penelitian ini. Model yang dibahas pada penelitian ini berupa

sistem persamaan diferensial biasa orde satu. Soal-soal yang terkait dengan materi

di kelas XI merupakan soal-soal turunan yang lebih sederhana, misal,

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 25 UN 2011

(http://www.soalmatematik.com)

Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm

akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang

sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume

maksimum berturut-turut adalah …

a. 10 dm, 7 dm, 1 dm

b. 8 dm, 5 dm, 1 dm

c. 7 dm, 4 dm, 2 dm

d. 7 dm, 4 dm, 1 dm

e. 6 dm, 3 dm, 1 dm

Para siswa membutuhkan pemahaman materi mengenai pemodelan matematika dan

konsep dari turunan untuk dapat menyelesaikan soal di atas. Oleh karena itu,

pembahasan pada penelitian ini dapat juga digunakan sebagai pengetahuan

tambahan agar para siswa dapat lebih memahami akan manfaat materi-materi

matematika yang dipelajari dalam kehidupan sehari-hari.

B. Pembelajaran di S1

Pemodelan matematika dan persamaan diferensial biasa merupakan salah

satu mata kuliah wajib yang harus dipelajari di bangku kuliah, khususnya bagi

mahasiswa S1 program studi matematika ataupun pendidikan matematika. Pada


http://www.soalmatematik.com/

86

penelitian ini, dibahas mengenai memodifikasi model yang sudah ada, dan cara

menganalisis kestabilan dari sistem persamaan diferensial biasa orde satu, serta

mencari pendekatan solusi sistem menggunakan metode iterasi variasional.

Pemodelan matematika yang sederhana sudah diperoleh mahasiswa S1 pada

saat bangku SMA. Selanjutnya pemodelan matematika yang dipelajari pada bangku

kuliah sedikit lebih kompleks. Pemodelan matematika yang dipelajari di bangku

kuliah lebih kepada pemodelan yang terjadi pada dunia nyata dan persamaan model

yang dipelajari merupakan suatu persamaan diferensial yang menggambarkan laju

pertumbuhan atau hal yang lain. Model matematika diperoleh dengan

memperhatikan faktor-faktor dominan yang berpengaruh pada model yang akan

diteliti. Setelah itu, dibutuhkan juga bidang-bidang ilmu lain untuk memperoleh

penyelesaian model. Pemahaman mengenai persamaan diferensial biasa juga

penting dimiliki untuk membantu dalam penyelesaian model yang sudah dibentuk.

Pada penelitian ini, dibahas juga mengenai metode iterasi variasional untuk mencari

pendekatan dari solusi model. Metode ini dapat digunakan untuk mencari

pendekatan dari solusi model yang penyelesaian eksaknya susah untuk dicari. Oleh

karena itu, metode iterasi variasional perlu juga dipelajari sebagai materi tambahan

guna menunjang pemahaman mengenai materi kuliah persamaan diferensial biasa.

C. Refleksi Penelitian di Bidang Matematika

Pengalaman pertama peneliti dalam melakukan penelitian di bidang

matematika adalah pada saat duduk di bangku kuliah S1. Peneliti melakukan

penelitian di bidang matematika guna memenuhi syarat untuk memperoleh gelar


87

sarjana. Penelitian matematika pertama yang dilakukan berjudul “Pelabelan Total

Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting”. Pada penelitian

tersebut, peneliti membahas mengenai pelabelan yang mungkin terjadi pada suatu

graf. Pembahasan pada penelitian yang pertama tersebut sangat berbeda dengan

penelitian yang peneliti lakukan pada tesis ini.

Pada awal pengerjaan tesis ini, peneliti sempat mengalami kebimbangan.

Pertama, peneliti mengawali pengerjaan tesis ini dengan pembahasan terkait dunia

pendidikan, yaitu membahas mengenai strategi pemecahan masalah dalam

menyelesaiakan soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Peneliti memulai

penelitian tentang strategi pemecahan masalah dibimbing oleh dosen pembimbing

yang pertama sampai pada penulisan praproposal. Pada penulisan tesis ini, peneliti

mempunyai dua dosen pembimbing, hal ini terjadi karena suatu hal yang nanti akan

diceritakan di bawah.

Kebimbangan yang pertama terjadi ketika terdapat tawaran dari dosen

pembimbing yang pertama, untuk mengganti materi penelitian. Penelitian yang

ditawarkan merupakan penelitian dalam bidang matematika. Keputusan yang

diambil oleh peneliti yaitu menerima tawaran yang diberikan oleh dosen

pembimbing yang pertama. Materi yang diberikan terkait dengan dinamika

populasi. Peneliti bekerja keras dalam memahami materi tersebut dan harus dengan

cepat menyusun proposal karena pada saat itu, diberikan target untuk

mengumpulkan proposal mengenai apa yang telah diteliti. Mungkin waktu dan

tenaga yang digunakan peneliti dalam penulisan praproposal mengenai strategi

pemecahan masalah terasa sia-sia, namun tidak sepenuhnya seperti itu karena hal


88

tersebut dimaknai oleh peneliti sebagai sebuah perjuangan untuk memperoleh gelar

Magister Pendidikan Matematika.

Diawal semester tiga, peneliti mendapat kabar yang mendadak yang

berhubungan dengan dosen pembimbing pertama. Kabar yang beredar adalah dosen

pembimbing yang pertama akan melakukan studi ke luar negeri pada waktu dekat.

Sempat merasa putus asa karena masa depan tesis yang peneliti lakukan masih

belum berwujud dan belum jelas. Sempat membayangkan untuk melakukan

penelitian ulang dengan materi yang berbeda “lagi”. Pada saat itu penulis merasa

semangat yang sebelumnya membara, dengan sekejap padam. Namun, angin segar

dan semangat baru datang tidak lama setelah itu. Setelah berdiskusi dengan dosen

pembimbing pertama dan ketua Program Studi, penelitian dapat dilanjutkan dengan

syarat harus bekerja cepat dan dengan target waktu yang ditentukan, yaitu sebelum

dosen pembimbing pertama berangkat ke negeri orang untuk melanjutkan studi.

Waktu berlalu, sampai pada akhirnya inti dari pembahasan tesis dapat

terbentuk. Namun, karena sesuatu hal, pembimbing yang pertama tidak dapat lagi

membimbing peneliti untuk menyelesaikan tesis. Kembali lagi peneliti mengalami

semangat yang padam. Namun, dengan kehadiran dosen yang kedua, dosen

pembimbing yang dapat memfasilitasi peneliti untuk melanjutkan tesisnya, peneliti

kembali lagi memperoleh semangatnya. Meskipun sempat diselimuti perasaan

khawatir karena takut apabila apa yang telah diteliti akan berakhir sia-sia lagi.

Ternyata tidak, dosen pembimbing yang kedua tidak meminta untuk mengubah

materi yang sudah diteliti, namun hanya menambah pembahasan lain guna

mempertajam hasil penelitian.


89

Pada akhirnya, penelitian ini dapat terselesaikan dan bahan tambahan yang

diberikan dosen pembimbing kedua dapat juga dipublikasikan di Jurnal

Internasional yang berindeks Scopus. Publikasi tersebut juga merupakan salah satu

syarat dalam memperoleh gelar Magister. Dengan demikian, peneliti merasa apa

yang selama ini dilakukan tidak ada yang sia-sia, karena hal-hal tersebut membuat

peneliti semakin dapat menghargai suatu perjuangan.

Peneliti juga akan menceritakan suka duka dalam melakukan penelitian di

bidang matematika. Tidak terlalu banyak duka yang dirasakan, karena duka atau

kesulitan yang peneliti rasakan dalam penelitian ini, secara umum dilakukan juga

pada saat meneliti di bidang lain. Kesulitan tersebut meliputi, harus mempunyai

banyak referensi terkait dengan materi penelitian, harus banyak membaca mengenai

materi yang terkait dengan penelitian, dan lebih banyak melakukan percobaan

mengenai perhitungan yang diperlukan. Sedangkan untuk sukanya, sangat banyak

yang dirasakan oleh peneliti, sehingga peneliti tidak ragu untuk kembali melakukan

penelitian di bidang matematika. Beberapa hal yang dirasa menyenangkan dalam

melakukan penelitian matematika antara lain, adanya pengetahuan baru yang

diperoleh di bidang matematika dan mengetahui juga pengaplikasian ilmu

matematika pada kehidupan sehari-hari. Selain itu, dalam melakukan penelitian

matematika, tidak tergantung terhadap subjek yang diteliti seperti halnya penelitian

di kelas pada bidang pendidikan, sehingga cepat atau tidaknya penelitian yang

dilakukan semata-mata hanya tergantung pada peneliti. Apabila peneliti ingin

penelitiannya berlangsung cepat, maka haruslah rajin dalam melakukan penelitian

atau melakukan perhitungan sesuai dengan materi yang diperlukan.


90

BAB VI

PENUTUP

BAB VI PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka dapat ditarik

kesimpulan sebagai berikut.

Dari model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh

secara logistik berhasil disusun modifikasi model dengan adanya unsur pemanenan,

yaitu model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara

logistik dengan adanya unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya

unsur pemanenan pada kedua jenis spesies. Dari kedua model hasil modifikasi

diperoleh empat titik ekuilibrium pada masing-masing model. Berdasarkan hasil

analisis kestabilan yang sudah dilakukan, kestabilan dari setiap titik ekuilibrium

sangat dipengaruhi oleh parameter-parameter yang digunakan.

Pada pembahasan mengenai solusi dari perumuman model, diketahui bahwa

metode iterasi variasional dapat digunakan untuk mencari solusi dari model

dinamika populasi dua spesies. Model dinamika populasi dua spesies yang diteliti

adalah sistem persamaan diferensial biasa nonlinear orde satu dengan nilai awal.

Metode iterasi variasional memberikan solusi pendekatan pada setiap nilai waktu

tanpa membutuhkan diskretisasi domain waktu. Pembentukan formula iterasi yang

sederhana, membuat metode iterasi variasional mudah diimplementasikan dalam

menyelesaikan model dinamika populasi.


91

Penelitian pada tesis ini berlandaskan pada pemodelan matematika dan

persamaan diferensial. Keterkaitan pemodelan matematika dan persamaan

diferensial dengan materi yang dipelajari pada pembelajaran matematika di SMA

dan S1 sangatlah erat. Sebagai contoh, pada pembelajaran matematika di SMA

terdapat materi sistem persamaan linear di kelas X dan program linear di kelas XII,

dimana kedua materi tersebut membutuhkan pemodelan matematika di dalamnya.

Selain itu di kelas XI terdapat materi turunan atau derivatif yang terkait dengan

persamaan diferensial. Pada pembelajaran matematika di S1 khususnya pada

program studi matematika atau pendidikan matematika, mata kuliah pemodelan

matematika dan persamaan diferensial biasa merupakan mata kuliah wajib yang

harus dipelajari. Pada tesis ini dibahas mengenai modifikasi serta analisis model

yang dapat digunakan sebagai sarana belajar mahasiswa dalam mempelajari

pemodelan matematika. Dibahas juga mengenai cara mencari pendekatan solusi

dari sistem persamaan diferensial dengan menggunakan metode iterasi variasional,

metode ini dapat digunakan pada saat mahasiswa ingin mencari pendekatan solusi

dari persamaan diferensial biasa yang sulit untuk dicari solusi eksaknya.

B. Saran

Berdasarkan pembahasan dan kesimpulan pada tesis ini, diberikan beberapa

saran agar penelitian ini dapat terus dikembangkan. Saran yang pertama adalah

model dari hasil modifikasi ini dapat dikembangkan kembali agar lebih realistis,

misal terdapat faktor migrasi, adanya interaksi dengan spesies lain sehingga sistem

dari model dapat memuat tiga atau lebih persamaan diferensial. Saran yang kedua


92

adalah penggunaan metode iterasi variasional dapat dikembangkan untuk

menyelesaikan masalah-masalah lain yang terkait dengan sistem persamaan

diferensial.


93

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad, R. and Budin, H., 2012, “Stability Analysis of Mutualism Population

Model with Time Delay”, World Academy of Science, Engineering and

Technology, 6(2): 151-155.

Batiha, B., Noorani, MSM, dan Hashim, I., 2007, “Variational iteration method for

solving multispecies Lotka–Volterra equations”, Computers and

Mathematics with Applications, 54: 903-909.

Boyce, W.E. dan DiPrima, R.C., 2012, Elementary Differential Equations and

Boundary Value Problems. New York: Tenth Edition, John Wiley & Sons.

Odum, E.P., 1973, Dasar-dasar Ekologi (3rd ed.). Translite by Samingan, T.

1993.Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

He, J.H., 2007, ”Variational iteration method-Some recent results and new

intrepretations“, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207,

3-17.

Perko, L., 1991, Differential Equation and Dynamical System. New York:

Springer-Verlag.

Putranto, Y.W. dan Mungkasi, S., 2017, “Adomian decomposition method for

solving the population dynamics model of two species”, Journal of

Physics: Conference Series, 795(1): 012045.

Reddy, B.R., 2012, “Stability Analysis of Two Mutually Interacting Species with

Unlimited Resources for Both the Species”, Journal of Experimental

Sciences, 3(2): 24-28.


94

Tucker, A., 1989, A Unified Introduction to Linear Algebra. Models, Methods, and

Theory. New York: Macmillan Publising Company.

Wazwaz, A.M., 2009, Partial differential Equations and Solitary Waves Theory.

New York: Springer.

Yuliyanto, B. D. dan Mungkasi, S., 2017, “Variational iteration method for solving

the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:

Conference Series, 795(1): 012044.


analisis titik ekuilibrium dan solusi model … · interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang...

Documents