model predator prey menggunakan respon fungsional tipe ii dengan prey bersimbiosis mutualisme
DESCRIPTION
Bumi merupakan planet yang dihuni oleh berbagai makhluk hidup dan benda mati yang membentuk suatu lingkungan hidup. Di dalam lingkungan hidup, terjadi interaksi (hubungan timbal balik atau saling mempengaruhi) baik antar makhluk hidup maupun dengan lingkungannya. Interaksi tersebut dikaji lebih jauh dalam ekologi, yaitu ilmu yang mempelajari interaksi antar makhluk hidup maupun dengan lingkungannya (Sugiri Aryanto, 2012).Ekologi merupakan cabang ilmu biologi yang mempelajari ekosistem. Di dalam suatu ekosistem, terjadi interaksi baik antar makhluk hidup maupun dengan lingkungannya. Interaksi antar makhluk hidup dalam suatu ekosistem, antara lain simbiosis mutualisme (hidup bersama antara dua makhluk hidup yang berbeda jenis dan saling menguntungkan), kompetisi (persaingan), dan predasi. Predasi berperan penting dalam dinamika populasi. Oleh karena itu, predasi menjadi sesuatu yang menarik untuk dipelajari.Predasi merupakan hubungan antara prey dan predator. Predator adalah spesies yang memangsa prey. Model matematis mengenai interaksi dua spesies dalam suatu ekosistem disebut model predator-prey. Model predator prey yang paling sederhana adalah model Lotka-Volterra oleh Alferd James Lotka tahun 1925 dan Vito Volterra tahun 1926. Model ini merupakan langkah awal untuk mengetahui perilaku hubungan antara predator dan prey dari sudut pandang matematika ( La-Gubu, 2011).Model predator-prey hanya memodelkan hubungan antara prey dan predator saja, sedangkan pada beberapa ekosistem terdapat interaksi predasi dimana prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain. Ade Afiati (2001), telah menurunkan model predator-prey dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain ke dalam sistem persamaan diferensial. Contoh interaksi yang digunakan adalah hewan pengerat yang memangsa benih bunga violet, dan dengan kehadiran semut pekerja yang saling bersimbiosis mutualisme dengan bunga violet. Model predator-prey yang digunakan adalah model Lotka-Voltera. Pada model Lotka-Volterra, waktu yang diperlukan predator untuk menangani prey (handling time) yang meliputi memburu, membunuh, memakan, dan mencerna tidak diperhatikan. Pada kenyataannya, predator memerlukan waktu untuk menangani prey. Oleh karena itu, model Lotka-Volterra dikembangkan dengan memperhatikan waktu yang diperlukan predator untuk menangani prey. Model predator-prey yang memperhatikan hal tersebut adalah model predator prey dengan respon fungsional tipe II. Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji model predator-prey dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain dan model predator-prey yang digunakan adalah model predator-prey dengan respon fungsional tipe II serta model tersebut diaplikasikan pada hewan pengerat yang memangsa benih bunga violet dengan kehadiran semut pekerja yang saling bersimbiosis mutualisme dengan bunga violet.TRANSCRIPT
A. JUDUL
Model Predator Prey Menggunakan Respon Fungsional Tipe II Dengan
Prey Bersimbiosis Mutualisme Dengan Makhluk Hidup Lain .
B. LATAR BELAKANG
Bumi merupakan planet yang dihuni oleh berbagai makhluk hidup dan
benda mati yang membentuk suatu lingkungan hidup. Di dalam lingkungan hidup,
terjadi interaksi (hubungan timbal balik atau saling mempengaruhi) baik antar
makhluk hidup maupun dengan lingkungannya. Interaksi tersebut dikaji lebih jauh
dalam ekologi, yaitu ilmu yang mempelajari interaksi antar makhluk hidup
maupun dengan lingkungannya (Sugiri Aryanto, 2012).
Ekologi merupakan cabang ilmu biologi yang mempelajari ekosistem. Di
dalam suatu ekosistem, terjadi interaksi baik antar makhluk hidup maupun
dengan lingkungannya. Interaksi antar makhluk hidup dalam suatu ekosistem,
antara lain simbiosis mutualisme (hidup bersama antara dua makhluk hidup yang
berbeda jenis dan saling menguntungkan), kompetisi (persaingan), dan predasi.
Predasi berperan penting dalam dinamika populasi. Oleh karena itu, predasi
menjadi sesuatu yang menarik untuk dipelajari.
Predasi merupakan hubungan antara prey dan predator. Predator adalah
spesies yang memangsa prey. Model matematis mengenai interaksi dua spesies
dalam suatu ekosistem disebut model predator-prey. Model predator prey yang
paling sederhana adalah model Lotka-Volterra oleh Alferd James Lotka tahun
1925 dan Vito Volterra tahun 1926. Model ini merupakan langkah awal untuk
mengetahui perilaku hubungan antara predator dan prey dari sudut pandang
matematika ( La-Gubu, 2011).
Model predator-prey hanya memodelkan hubungan antara prey dan
predator saja, sedangkan pada beberapa ekosistem terdapat interaksi predasi
dimana prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain. Ade Afiati
(2001), telah menurunkan model predator-prey dengan prey bersimbiosis
mutualisme dengan makhluk hidup lain ke dalam sistem persamaan diferensial.
Contoh interaksi yang digunakan adalah hewan pengerat yang memangsa benih
1
bunga violet, dan dengan kehadiran semut pekerja yang saling bersimbiosis
mutualisme dengan bunga violet. Model predator-prey yang digunakan adalah
model Lotka-Voltera. Pada model Lotka-Volterra, waktu yang diperlukan
predator untuk menangani prey (handling time) yang meliputi memburu,
membunuh, memakan, dan mencerna tidak diperhatikan. Pada kenyataannya,
predator memerlukan waktu untuk menangani prey. Oleh karena itu, model
Lotka-Volterra dikembangkan dengan memperhatikan waktu yang diperlukan
predator untuk menangani prey. Model predator-prey yang memperhatikan hal
tersebut adalah model predator prey dengan respon fungsional tipe II.
Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji model predator-prey
dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain dan model
predator-prey yang digunakan adalah model predator-prey dengan respon
fungsional tipe II serta model tersebut diaplikasikan pada hewan pengerat yang
memangsa benih bunga violet dengan kehadiran semut pekerja yang saling
bersimbiosis mutualisme dengan bunga violet.
C. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas, maka rumusan
masalah dalam penelitian ini adalah :
1. Bagaimana penurunan model predator-prey menggunakan respon fungsional
tipe II dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain?
2. Bagaimana perilaku model predator-prey menggunakan respon fungsional tipe
II dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain?
3. Bagaimana perilaku model predator-prey menggunakan respon fungsional tipe
II dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain yang
diaplikasikan pada hewan pengerat yang memangsa benih bunga violet dan
bunga violet bersimbiosis mutualisme dengan semut pekerja?
2
D. BATASAN MASALAH
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah :
a. Populasi predator dan populasi prey bersifat tertutup.
b. Apabila tidak ada interaksi antara predator dan prey maka
pertumbuhan prey mengikuti model logistik dan penurunan predator
mengikuti model Malthus.
c. Model populasi predator-prey yang dikaji terdiri dari satu predator
dan satu prey dan keduanya dipanen dengan laju pemanenan konstan.
d. Pada penelitian ini tidak diambil data faktual, melainkan hanya
dilakukan simulasi menggunakan software Maple 13.
E. TUJUAN
Tujuan penelitian ini adalah :
1. Menentukan dan menggambarkan grafik power dan size of the test.
2. Menganalisis secara analitik dan grafik power dan size of the test pada data
“Pengaruh Lama Perendaman Dalam Asap Cair dan Lama Penyimpanan
Terhadap Kualitas Bandeng Presto Asap”.
F. MANFAAT
1. Memberikan informasi tentang power dan size of the test.
2. Memberikan gambaran kepada pembaca mengenai aplikasi power dan size of
the test pada kasus multivariate simple regression model (MSRM).
G. TINJAUAN PUSTAKA
1. Multivariate Simple Regression Model
Istilah regresi pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton (1822-
1911). Menurut Galton, analisis regresi berkaitan dengan studi ketergantungan
dari suatu variabel tak bebas (dependent variable) pada satu atau lebih variabel
bebas (independent variable). Biasanya, analisis ini dilakukan dengan pendugaan
3
kurva regresi yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara variabel bebas
dengan variabel terikat. Regresi dapat pula digunakan untuk peramalan,
penaksiran, atau pendugaan yang dinyatakan dalam satu fungsi dari sejumlah
faktor-faktor yang menentukan dan mempengaruhi prediksi tersebut.
Model regresi multivariat adalah model regresi dengan lebih dari satu
variabel respon dan satu atau lebih variabel prediktor (Johnson dan Wichern,
1998, 2002). Untuk kasus MSRM pada penelitian ini, variabel respon terdiri dari
dua variabel, sedangkan prediktor adalah tunggal, yang dinyatakan dalam
persamaan :
dan (1.1)
dengan dan , dimana .
Misalkan untuk percobaan ke-j, variabel prediktornya adalah
, variabel responnya adalah , dan himpunan
errornya adalah . Sehingga model matriksnya adalah
(1.2)
(1.3)
(1.4)
4
(1.5)
Dengan demikian model regresi multivariat ini dapat ditunjukkan dalam
bentuk persamaan :
(1.6)
dengan ;
Untuk respon ke-i, secara sederhana dimodelkan sebagai :
(1.7)
dengan estimasi (1.8)
sehingga diperoleh nilai prediksi respon dan residualnya masing-masing adalah
(1.9)
Mengacu pada Johnson (1998), maka untuk
diperoleh atau dan
Residual memenuhi dan
, sehingga dan . Dengan
demikian, dan tidak berkorelasi.
Jika persamaan (1.6) dengan dan error
berdistribusi normal maka adalah estimator maximum likelihood
dari dan yang berdistribusi normal dengan dan
. Pada estimator maximum likelihood independent,
5
maka diberikan oleh dan mengikuti
distribusi .
Pengujian parameter regresi dengan respon lebih dari satu dan respon
tidak bergantung pada menggunakan uji rasio likelihood. Dengan
, , dan , secara umum dapat
dituliskan sebagai . Untuk
, , dan uji rasio likelihood berdasarkan pada extra sum of squares
and cross product
dengan dan .
Rasio likelihood secara umum ditunjukkan oleh
, (1.10)
dimana persamaan (1.10) ekuivalen dengan statistik Wilk’s lambda .
2. Distribusi F
Distribusi F merupakan distribusi probabilitas kontinu sebagai
perbandingan 2 variabel random chi-kuadrat yang independen dengan masing-6
masing dibagi derajat bebasnya. Misalkan dan maka
. Selanjutnya, probability density function (pdf) dari distribusi F adalah
sebagai berikut (Spiegel, 2004) :
(2.1)
dengan v1 dan v2 adalah derajat bebas.
Mean dan variansi dari distribusi F adalah
dan
3. Bivariate F Distribution
Menurur Balakrishnan dan Lai (2008), distribusi F bivariat memiliki pdf
gabungan sebagai berikut :
(3.1)
dengan , adalah derajat bebas dan konstanta K adalah :
(3.2)
Koefisien korelasi untuk distribusi F bivariat adalah :
untuk . (3.3)
4. UT, RT, PT, dan PTT
7
Perhatikan pengujian pada model regresi sederhana, yaitu vs
ketika terdapat NSPI pada nilai slope 1 . Pada kasus ini, terdapat
tiga penduga pada , antara lain unspecified, specified, dan uncertain. Dengan
demikian, terdapat tiga uji statistik yang dapat digunakan, yaitu unrestricted test
(UT), restricted test (RT), dan pre-test test (PTT). Pada UT dan RT, masing-
masing dan adalah fungsi untuk pengujian , serta pada PTT,
adalah fungsi untuk pengujian yang didahului uji pre-test (PT) pada slope, dengan
adalah fungsi untuk pengujian vs pada PT. PTT
adalah pilihan diantara UT dan RT. Jika pada PT ditolak maka UT digunakan
untuk pengujian , sedangkan jika diterima maka yang digunakan untuk
pengujian adalah RT. Selanjutnya, UT, RT, PT, dan PTT dijelaskan oleh
Pratikno (2012) seperti berikut.
4.1. Unrestricted Test (UT)
Jika slope 1 tidak diketahui, maka fungsi UT digunakan untuk
pengujian dan UTT adalah uji statistik untuk pengujian 0.H Kemudian dengan
memilih nilai 1 sehingga,
(4.1.1)
dengan 1,
UTn adalah nilai kritis dari UTT pada tingkat signifikansi
1. Jika i
adalah nilai kuantil dan . adalah cumulative distribution function (cdf) dari
distribusi normal, maka
1 ,i i (4.1.2)
untuk 0 1,i i = 1, 2, 3. Sehingga dapat ditulis
(4.1.3)
8
Dengan demikian, untuk fungsi 1, ,UT UT UT
nI T fungsi power dari UT
adalah
10 0 , 0 ,UT UT UT UT
nE P T (4.1.4)
dengan I(A) adalah fungsi indikator dari A dengan nilai 1 jika A terputus, selain
itu bernilai 0.
4.2. Restricted Test (RT)
Jika (diketahui), maka fungsi RT digunakan untuk pengujian.
Untuk pengujian vs , maka RTT adalah uji statistiknya,
sehingga diperoleh
(4.2.1)
dengan 2,
RTn adalah nilai kritis dari RTT pada tingkat signifikansi 2. Dengan
cara yang sama pada UT, maka
(4.2.2)
sehingga untuk fungsi 2, ,RT RT RT
nI T fungsi power dari RT adalah
20 0 , 0 .RT RT RT RT
nE P T (4.2.3)
4.3. Pre-test (PT)
Jika 1 tidak ditentukan, maka fungsi PT digunakan untuk pengujian
hipotesis vs dengan uji statistik ,PTT maka
(4.3.1)
sehingga diperoleh
33 ,1 ,PT PTnP T (4.3.2)
dengan 3,
PTn adalah nilai kritis dari PTT pada tingkat signifikansi 3. Untuk uji
fungsi 3, ,PT PT PT
nI T fungsi power dari PT adalah
9
30 0 , 0 .PT PT PT PT
nE P T (4.3.3)
4.4. Pre-test Test (PTT)
Perumusan fungsi PTT ( PTT ) untuk pengujian vs
, setelah pre-testing (PT) pada nilai yang diduga dari slope,
dituliskan sebagai
3 2 3 1, , , ,, or , .PTT PT PT RT RT PT PT UT UT
n n n nI T T T T (4.4.1)
Fungsi power dari PTT dinotasikan dengan 0 0 ,PTT PTTE dan
diberikan oleh
3 2 3 10 , , 0 , , 0, , .PTT PT PT RT RT PT PT UT UT
n n n nP T T P T T (4.4.2)
5. Power of The Tests
Menurut Wackerly et al. (2008), keabsahan uji dapat diukur dengan
menentukan peluang kesalahan tipe I dan peluang kesalahan tipe II . Di
samping itu, untuk mengevaluasi hasil uji, dapat digunakan power of the test.
Power of the test, , adalah peluang bahwa uji mengarah pada penolakan
untuk pengujian vs ketika nilai parameter yang sebenarnya
berbeda dari . dapat dituliskan sebagai
dengan a adalah nilai dari dalam . Idealnya, uji yang baik memiliki power
mendekati 1 dalam dan mendekati 0 dalam 0H (Casella and Berger, 2002, p.
383).
Berikut adalah contoh perhitungan power dan size. Misalkan iX
mengikuti distribusi Bernoulli dengan parameter . Kemudian juga mengikuti
distribusi Bernoulli dengan p = , dinotasikan dengan . Uji
dilakukan untuk hipotesis 0 : 0,5H vs dengan daerah penolakan
10
(RR) yaitu 1 10, , : 3 .RR x x Y Uji fungsi power didefinisikan oleh RR
(under ) diberikan sebagai
(5.1)
Uji size adalah nilai fungsi power under 0H , yaitu
(5.2)
Selanjutnya, peluang kesalahan tipe II atau (peluang 0H diterima ketika
benar) diberikan oleh
(5.3)
Size adalah nilai nominal pada hipotesis nol yang konstan, sedangkan
power of the test bergantung pada parameter . Umumnya, uji yang
memaksimalkan fungsi power dan meminimalkan size lebih banyak digunakan
daripada uji lainnya.
H. METODE PENELITIAN
1. Waktu dan Tempat
Penelitian ini akan dilaksanakan selama 5 bulan (Februari – Mei 2012)
di Kampus MIPA UNSOED.
11
2. Prosedur Penelitian
Tahap awal penelitian ini adalah mempelajari beberapa literatur seperti
buku dan jurnal yang berhubungan dengan topik skripsi. Selanjutnya, menyusun
materi yang akan digunakan untuk penelitian ini dari literatur yang telah
dipelajari. Pada penelitian ini, data yang digunakan adalah data sekunder
mengenai pengaruh lama perendaman dalam asap cair dan lama penyimpanan
terhadap kualitas bandeng presto asap. Untuk perhitungan dan penggambaran
grafik power digunakan R package. Kemudian, melakukan analisis analitik rumus
power dan size, serta dilakukan pula analisis secara grafik dari power dan size.
Tahap akhir adalah memilih uji terbaik atas dasar power dan size. Dalam bentuk
diagram alir, keseluruhan tahapan proses rencana penelitian mengenai power of
the test pada model regresi multivariat sederhana ini disajikan dalam Gambar 2.1
berikut :
12
Gambar 2.1 Diagram alir Power of The Test
13
Mulai
Mempelajari literatur
Menyusun materi
Mencari data sekunder
Membuat program untuk perhitungan dan penggambaran grafik power dengan R package
Melakukan analisis analitik rumus power dan size
Melakukan analisis secara grafik dari power dan size
Memilih uji terbaik atas dasar power dan size
Selesai
3. Jadwal Penelitian
Perkiraan jadwal kegiatan penelitian ini dirangkum pada Tabel 3.1
berikut :
Tabel 3.1 Jadwal kegiatan penelitian Tugas Akhir
No. KegiatanBulan
Februari Maret April Mei Juni1 Studi Pustaka
2Penyusunan Proposal
3 Penelitian
4Pembahasan dan Penyusunan Laporan
5 Seminar Hasil
I. DAFTAR PUSTAKA
Bancroft, T.A. (1944). On Biases in Estimation Due to The Use of The Preliminary Tests of Significance. Annals Of Mathematical Statistics. 15, 190-204.
Bancroft, T.A. (1964). Analysis and Inference for Incompletely Specified Models Involving The Use of The Preliminary Test(s) of Significance. Biometrics, 20(3), 427-442.
Bancroft, T.A. (1965). Inference for Incompletely, Specified Models in The Physical Sciences (with discussion). Bull 151, Proc. 35 th Section, Beograd, 41, 497-515.
Balakrishnan, N dan Lai, C. D.(2008). Continous Bivariate Distribution, 2nd ed. Springer, New York.
Casella, G. dan Berger, R.L. (2002). Statistical inferenceI, 2nd Ed. Thomson Learning Inc, USA.
Johnson, R.A dan Wichern, D.W. (1998). Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Education, USA.
Johnson, R.A dan Wichern, D.W. (2002). Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Education, USA.
14
Pratikno, B. (2012). Tests of Hypotesis for Linear Regression Models with Non Sample Prior Information. Australia.
Spiegel, M.R. (2004). Probabilita dan Statistik, edisi kedua. Penerbit Erlangga, Jakarta.
Saleh, A.K.Md.E. (2006). Theory of Preliminary Test and Stein-Type Estimation with Applications. Wiley, New Jersey.
Saleh, A.K.Md.E. dan Sen, P.K. (1982). Nonparametric Tests for Location After Parameter a Preliminary Tests on Regression. Communication in Statistics-Theory and Methods, 12(16), 1855-1872.
Wackerly, D.D., Mendenhall III, W. dan Scheaffer, R.L. (2008). Mathematical Statistics with application, 7th Ed. Thomson Learning, Inc., Belmont, CA, USA.
15