Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 152 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.

4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Nilai Perbandingan Trigonometri

Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?

𝑎 adalah sisi di depan sudut 𝐴 𝑏 adalah sisi di depan sudut 𝐵 𝑐  adalah sisi di depan sudut 𝐶

Aturan Sinus dan Kosinus

Aturan Sinus Aturan Kosinus

“Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan” “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

sisi – sudut – sudut

(diketahui satu sisi dan dua sudut)

sisi – sisi – sudut

(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)

sisi – sudut – sisi

(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)

sisi – sisi – sisi

(diketahui ketiga sisi segitiga)

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

⇒ cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

Luas Segitiga

alas – tinggi

𝐿 =1

2(𝑎 × 𝑡)

sisi – sudut – sisi

𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

satu sisi dan semua sudut

𝐿 =1

2

𝑎2 sin 𝐵 sin 𝐶

sin 𝐴

sisi – sisi – sisi

𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

dimana 𝑠 =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

sin 𝐶 =𝑡

𝑏

⇒ 𝑡 = 𝑏 sin 𝐶

a

sin A=

b

sin B

⇒ 𝑏 =𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴

𝐶 𝐵

𝑏 𝑐

𝑎

𝐴

𝑡

𝑎

𝑏 𝑐

𝑎

𝐶

𝑏

𝑎

𝐶 𝐵 𝑎

𝐴

𝐶 𝐵

𝑏

𝐵

𝑏 𝑐

?

? 𝑐

?

𝑏

𝐴 𝑏 𝑐

𝑎

?

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 153

Luas Segitiga

sisi – sudut – sisi

𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.

Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360°

8= 45°.

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

Luas dan Keliling Segi-n Beraturan

sudut pusat =𝟑𝟔𝟎°

𝒏

𝐿 = 𝑛 ∙1

2𝑟2 sin (

360°

𝑛)

𝐾 = 𝑛𝑟√2 (1 − cos (360°

𝑛))

𝐶

𝑏

𝑎

𝑟 𝑟

360°

𝑛

𝑟 𝑟

Halaman 154 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:

Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut: Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus. Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:

- Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. - Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:

o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.

o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 180°)

Atau bisa digambarkan seperti berikut: Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut Periksa! Gunakan aturan kosinus Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut saling berhadapan Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan Periksa! Gunakan aturan sinus Berapa jumlah sudut yang diketahui

Dua sudut Satu sudut

Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinus gunakan aturan sinus dilanjutkan dengan aturan sinus

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 155

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah! Panjang BC adalah ….

a. 4√2 cm

b. 6√2 cm

c. 7√3 cm

d. 5√6 cm

e. 7√6 cm

Penyelesaian: Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.

Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga. 1. ∆𝐴𝐵𝐶 dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut. 2. ∆𝐴𝐶𝐷 dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.

Nah, ternyata ∆𝐴𝐵𝐶 tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga! Sekarang amati ∆𝐴𝐶𝐷 ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆𝐴𝐵𝐶 tepat diketahui minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang 𝑨𝑪 terlebih dahulu. Perhatikan ∆𝐴𝐶𝐷,

Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi 𝐴𝐶. (2 sisi dan 2 sudut) Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? Ya! Maka pada ∆𝑨𝑪𝑫 berlaku aturan sinus:

𝐴𝐶

sin 𝐷=

𝐴𝐷

sin 𝐶⇒ 𝐴𝐶 =

𝐴𝐷

sin 𝐶× sin 𝐷

=10

sin 45°× sin 30°

=10

12 √2

×1

2

=10

√2

=10

√2×

√2

√2 (rasionalisasi penyebut bentuk akar)

=10√2

2

= 5√2 cm

Nah, sekarang perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶,

Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi 𝐵𝐶. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆𝑨𝑩𝑪:

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 − 2 𝐴𝐵 𝐴𝐶 cos 𝐴

= (10√2)2

+ (5√2)2

− 2(10√2)(5√2) cos 60

= 200 + 50 − 200 ∙1

2= 250 − 100= 150 cm

Jadi,

𝐵𝐶 = √150 = √25√6 = 5√6 cm

D

A

C

30°

45°

?

A

B

C

60°

10√2 cm

5√2 cm ?

D

A

B

C

60°

10√2 cm

30°

45°

Halaman 156 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan luas segi-n beraturan. Contoh Soal: Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2

Penyelesaian: Ingat luas segitiga:

sisi – sudut – sisi

𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut.

Perhatikan ∆𝐴𝑂𝐵,

𝐿∆𝐴𝑂𝐵 =1

2𝑂𝐴 𝑂𝐵 sin ∠𝐴𝑂𝐵

=1

2∙ 8 ∙ 8 ∙ sin 30°

= 32 ∙1

2= 16 cm2

Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−12 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 12 × 𝐿∆𝐴𝑂𝐵

= 12 ∙ 16= 192 cm2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 𝑟 adalah:

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 𝑛 ∙1

2𝑟2 sin

360°

𝑛= 12 ∙

1

2∙ 82 ∙ sin 30° = 192 cm2

8 8

𝜃

O

A B

𝐶

𝑏

𝑎

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 157

Menentukan keliling segi-n beraturan. Contoh Soal: Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….

a. 96√2 + √3 cm

b. 96√2 − √3 cm

c. 8√2 + √3 cm

d. 8√2 − √3 cm

e. √128 − √3 cm

Penyelesaian: Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi 𝐴𝐵.

Perhatikan ∆𝐴𝑂𝐵, Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi 𝐴𝐵. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus:

𝐴𝐵2 = 𝑟2 + 𝑟2 − 2 𝑟 𝑟 cos 𝜃= (8)2 + (8)2 − 2(8)(8) cos 30

= 64 + 64 − 128 ∙1

2√3

= 128 − 64√3 cm

Jadi,

𝐴𝐵 = √128 − 64√3 cm

Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−12 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 12 × 𝐴𝐵

= 12√128 − 64√3 cm

= 12 × √64√2 − √3 cm

= 12 × 8√2 − √3 cm

= 96√2 − √3 cm

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 𝑟 adalah:

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 = 𝑛𝑟√2(1 − cos 𝜃) = 12 ∙ 8 ∙ √2 (1 −1

2√3) = 96√2 − √3 cm

𝑟 = 8 𝑟 = 8

𝜃

O

A B

Halaman 158 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan

panjang rusuk 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐵𝐶 = 3√7 cm, dan 𝐴𝐶 = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….

a. 55√2 cm3

b. 60√2 cm3

c. 75√3 cm3

d. 90√3 cm3

e. 120√3 cm3

Penyelesaian: Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:

Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐶,

Ingat lagi tentang luas segitiga,

alas – tinggi

𝐿 =1

2(𝑎 × 𝑡)

sisi – sudut – sisi

𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

satu sisi dan semua sudut

𝐿 =1

2

𝑎2 sin 𝐵 sin 𝐶

sin 𝐴

sisi – sisi – sisi

𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

dimana 𝑠 =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

Ternyata kita bisa menggunakan rumus 𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐). Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.

Pilih saja rumus luas segitiga yang 𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶, dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari

segitiga tersebut. Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠𝐵), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 cos 𝐴𝐵

F D

E

B

C A

F D

E

B

C A

A

B

C

6 cm

3 cm

3√7 cm

𝑡

𝑎

𝑏 𝑐

𝑎

𝐶

𝑏

𝑎

𝐶 𝐵 𝑎

𝐴

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 159

Sehingga,

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 cos 𝐵 ⇒ cos 𝐵 =𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 − 𝐴𝐶2

2 ∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶

=(6)2 + (3√7)

2− (3)2

2(6)(3√7)

=36 + 63 − 9

36√7

=90

36√7

=5

2√7

Jadi,

cos 𝐵 =5

2√7

Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut, Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠𝐵,

sin 𝐵 =√3

2√7

Dari nilai sinus ∠𝐵 dan panjang sisi 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶 dan rumus luas segitiga 𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶 diperoleh luas

segitiga 𝐴𝐵𝐶, yaitu:

𝐿∆𝐴𝐵𝐶 =1

2𝐴𝐵 𝐵𝐶 sin ∠𝐵

=1

2(6)(3√7) (

√3

2√7)

=9

2√3 cm2

Jadi, volum prisma tersebut adalah:

𝑉 = 𝐿𝑎 × 𝑡

= 𝐿∆𝐴𝐵𝐶 × 𝑡

=9

2√3 × 20

= 90√3 cm3

B 5

2√7 √3

Halaman 160 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka

luas segienam beraturan tersebut adalah ....

A. 150 satuan luas

B. 2150 satuan luas

C. 3150 satuan luas

D. 300 satuan luas

E. 2300 satuan luas

2. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....

A. 06 22 cm

B. 12 22 cm

C. 36 22 cm

D. 48 22 cm

E. 72 22 cm

3. Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....

A. 96 32 cm

B. 96 32 cm

C. 8 32 cm

D. 8 32 cm

E. 3128 cm

4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....

A. 3432 cm

B. 432 cm

C. 3216 cm

D. 2216 cm

E. 216 cm

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 =𝑛

2𝑟2 sin

360°

𝑛

⇒ 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−6 =6

2(10)2 sin

360°

6= 3 ∙ 100 ∙ sin 60°

= 300 ∙1

2√3

= 150√3

TRIK SUPERKILAT: Karena bangunnya adalah segienam, berarti sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat

√3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya C saja.

𝑥 = √𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ (√𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛) = 𝑛 ∙ (√2𝑟2 (1 − cos

360°

𝑛))

⇒ 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−8 = 8 ∙ 6 (√2 (1 −1

2√2) )

= 48√2 − √2 cm

𝑥

6 6

𝐿 = 12 ∙1

2∙ 𝑟2 ∙ sin (

2𝜋

12) ⇒ 192 = 3𝑟2 ⇒ 𝑟2 = 64 ⇒ 𝑟 = 8 cm

𝑥 = √𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛

𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ (√𝑟2 + 𝑟2 − 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos360°

𝑛) = 𝑛 ∙ (√2𝑟2 (1 − cos

360°

𝑛))

⇒ 𝐾𝑠𝑒𝑔𝑖−8 = 12 ∙ 6 (√2 (1 −1

2√3) )

= 96√2 − √3 cm

𝑥

8 8

Karena bangun segienam, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Akibatnya semua sisi segitiga adalah 12 cm.

12

12 12

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 =𝑛

2𝑟2 sin

360°

𝑛

⇒ 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−6 =6

2(12)2 sin

360°

6= 3 ∙ 144 ∙ sin 60°

= 432 ∙1

2√3

= 216√3 cm2

TRIK SUPERKILAT: Karena segienam, berarti sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi

jawabannya pasti memuat √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja.