slide04 - konsep peluang - ks 2011

Metode StatistikaMetode Statistika(STK211)(STK211)

Konsep PeluangKonsep Peluang(Probability Concept)(Probability Concept)

PendahuluanPendahuluan

Suatu fenomena dikatakan “acak” jikaSuatu fenomena dikatakan “acak” jikahasil dari suatu percobaan bersifat tidakhasil dari suatu percobaan bersifat tidakpastipasti

Fenomena “acak” sering mengikuti suatuFenomena “acak” sering mengikuti suatupola tertentupola tertentupola tertentupola tertentu

Keteraturan “acak” dalam jangka panjangKeteraturan “acak” dalam jangka panjangdapat didekati secara matematikadapat didekati secara matematika

Studi matematika mengenai “keacakan”Studi matematika mengenai “keacakan” TEORI PELUANGTEORI PELUANG –– peluang merupakanpeluang merupakansuatu bentuk matematika dari sifat acaksuatu bentuk matematika dari sifat acaktersebuttersebut

Teori PeluangTeori PeluangAda dua tipe percobaan:Ada dua tipe percobaan:

Deterministik :Deterministik :

Suatu percobaan yangSuatu percobaan yangmenghasilkan outputmenghasilkan output

yang samayang sama

Probabilistik :Probabilistik :Hasil dari percobaan bisaHasil dari percobaan bisasembarang kemungkinansembarang kemungkinan

hasil yang adahasil yang ada

We arewaitingthe bus

Lama menunggusampai bus datang

Bagaimana menghitung banyaknyaBagaimana menghitung banyaknyakemungkinan?kemungkinan?

–– perlu pengetahuan mengenai KAIDAHperlu pengetahuan mengenai KAIDAHPENGGANDAAN, KOMBINASI, &PENGGANDAAN, KOMBINASI, &PENGGANDAAN, KOMBINASI, &PENGGANDAAN, KOMBINASI, &PERMUTASIPERMUTASI

–– dapat dihitung peluang kejadian daridapat dihitung peluang kejadian darisuatu percobaansuatu percobaan

RuangRuang ContohContoh

Ruang ContohRuang Contoh adalah suatu gugusadalah suatu gugusyang memuat semua hasil yangyang memuat semua hasil yangberbeda, yang mungkin terjadi dariberbeda, yang mungkin terjadi darisuatu percobaan.suatu percobaan.suatu percobaan.suatu percobaan.

––Notasi dari ruang contoh adalah sebagaiNotasi dari ruang contoh adalah sebagaiberikut:berikut:

S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasilS = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasil

n bisa terhingga atau tak terhinggan bisa terhingga atau tak terhingga

Contoh (1)Contoh (1)

Pelemparan sebutir dadu yangPelemparan sebutir dadu yangseimbangseimbang

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={1,2,3,4,5,6}

Pelemparan coin setimbangPelemparan coin setimbang

S={1,2,3,4,5,6}


S={G, A}

ContohContoh ((11)) lanjutanlanjutan……....

Jenis Kelamin BayiJenis Kelamin Bayi


S={Laki-laki,Perempuan}

Pelemparan dua keping coinPelemparan dua keping coinsetimbangsetimbang

Semua kemungkinan nilaiyang muncul

S={GG, GA, AG, AA}

Ruang kejadianRuang kejadian

adalah anak gugus dari ruang contoh,adalah anak gugus dari ruang contoh,yang memiliki karakteristik tertentu.yang memiliki karakteristik tertentu.

––Ruang kejadian biasanya dinotasikanRuang kejadian biasanya dinotasikandengan huruf kapital (A, B, …).dengan huruf kapital (A, B, …).dengan huruf kapital (A, B, …).dengan huruf kapital (A, B, …).


Percobaan : pelemparan 2 coin setimbangPercobaan : pelemparan 2 coin setimbangKejadian : munculnya sisi angkaKejadian : munculnya sisi angka

A={GA, AG, AA}

Ruang

Percobaan : Pelemparan dua dadu sisiPercobaan : Pelemparan dua dadu sisienam setimbangenam setimbangKejadian : munculnya sisi ganjil padaKejadian : munculnya sisi ganjil padadadu Idadu I

A={GA, AG, AA}

B = {11, 12, 13,14, 15, 16, 31,32, …., 56}

g

Kejadian

Bagaimana caraBagaimana caramenghitung banyaknyamenghitung banyaknya

ruang contoh & kejadian?ruang contoh & kejadian?

Mengingat kembali apa itu FaktorialMengingat kembali apa itu Faktorial

Jika n adalah bilangan bulat positif, makaJika n adalah bilangan bulat positif, maka

n! = n (nn! = n (n--1) (n1) (n--2) ... (3)(2)(1)2) ... (3)(2)(1)

n! = n (nn! = n (n--1)!1)!

Kasus khusus 0!Kasus khusus 0! 0! = 10! = 1 Kasus khusus 0!Kasus khusus 0! 0! = 10! = 1

Contoh :Contoh : 4! = 4.3.2.1 = 244! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 1205! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120

6! =6.5! = 7206! =6.5! = 720

7! =7.6! =7! =7.6! =

10! =……………..10! =……………..

Penggandaan (1)Penggandaan (1)

––Pengandaan dapat digunakan jika setiapPengandaan dapat digunakan jika setiapkemungkinan dibentuk dari komponenkemungkinan dibentuk dari komponen--komponen yang saling bebas.komponen yang saling bebas.

N(S) = n1 x n2 x … x n1N(S) = n1 x n2 x … x n1N(S) = n1 x n2 x … x n1N(S) = n1 x n2 x … x n1

––ContohContoh

Melempar 3 buah mata uang:Melempar 3 buah mata uang:

N(S) = 2 x 2 x 2 = 8N(S) = 2 x 2 x 2 = 8

Melempar 2 buah daduMelempar 2 buah dadu

N(S) = 6 x 6 = 36N(S) = 6 x 6 = 36

––PermutasiPermutasi merupakanmerupakan kejadiankejadian dimanadimanaSUSUNANSUSUNAN OBJEKOBJEK yangyang terpilihterpilihDIPERHATIKANDIPERHATIKAN..

––MisalkanMisalkan memilihmemilih orangorang untukuntukmembentukmembentuk kepengurusankepengurusan suatusuatu

Permutasi (2)Permutasi (2)

membentukmembentuk kepengurusankepengurusan suatusuatuorganisasi,organisasi, dimanadimana jikajika SiSi AA terpilihterpilihmenempatimenempati posisiposisi ketuaketua berbedaberbedamaknanyamaknanya dengandengan SiSi AA terpilihterpilihmenempatimenempati posisiposisi wakilwakil ketuaketua..

Lanjutan Permutasi (2)Lanjutan Permutasi (2)

–– MisalkanMisalkan terdapatterdapat 55 kandidatkandidat.. AkanAkandibentukdibentuk susunansusunan penguruspengurus yangyang terdiriterdiri daridariKetuaKetua,, WakilWakil KetuaKetua,, dandan BendaharaBendahara ::

5 4 3= 60

Permutasi tingkat 3 dari 5 objek

Permutasi tingkat r dari n unsur/objek dapatPermutasi tingkat r dari n unsur/objek dapatdirumuskan sebagai berikut:dirumuskan sebagai berikut:

!0...)1()(

!0...)2()1(

)!(

!

xxrnxrn

xxnxnnx

rn

nPn

r

K WK B

5 4 3= 60

60!2

!2.3.4.5

!2

!5

)!35(

!553

P

KombinasiKombinasi (3)(3)

––Kombinasi merupakan kejadian dimanaKombinasi merupakan kejadian dimanaSUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAKSUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAKDIPERHATIKANDIPERHATIKAN

––Misalkan memilih sejumlah orang untukMisalkan memilih sejumlah orang untukmenempati suatu sejumlah kursi tempatmenempati suatu sejumlah kursi tempatduduk, dimana susunan tempat dudukduduk, dimana susunan tempat duduktidak menjadi perhatian.tidak menjadi perhatian.

Lanjutan Kombinasi (3)Lanjutan Kombinasi (3)

–– Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3orang untuk masuk ke dalam tim cepat tepatorang untuk masuk ke dalam tim cepat tepat

Kombinasi 3 dai 5

A B C

A B D

A B E

A C D

!!0...)1()(

!0...)2()1(

!)!(

!

xrxxrnxrn

xxnxnnx

rrn

nC n

r

Kombinasi tingkat r dari nKombinasi tingkat r dari nunsur/objek dapat dirumuskanunsur/objek dapat dirumuskansebagai berikut:sebagai berikut:

10!3!2

!3.4.5

!3!2

!5

!3)!35(

!5

3

5

A C D

A C E

A D E

B C D

B C E

B D E

C D E


Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5lakilaki--laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilihlaki dan 4 perempuan. Jika akan dipilihsatu tim yang terdiri dari 2 orang lakisatu tim yang terdiri dari 2 orang laki--lakilakidan seorang perempuan untuk mewakilidan seorang perempuan untuk mewakilidalam munas, ada berapa susunan timdalam munas, ada berapa susunan timdalam munas, ada berapa susunan timdalam munas, ada berapa susunan timyang mungkin terbentuk!yang mungkin terbentuk!

404101

4

2

5

x

Definisi PeluangDefinisi Peluang

Peluang KlasikPeluang Klasik

Pendekatan klasik terhadapPendekatan klasik terhadappenentuan nilai peluang diberikanpenentuan nilai peluang diberikandengan menggunakan nilai frekuensidengan menggunakan nilai frekuensirelatif.relatif.relatif.relatif.

Andaikan dilakukan percobaanAndaikan dilakukan percobaansebanyak N kali, dan kejadian Asebanyak N kali, dan kejadian Aterjadi sebanyak nterjadi sebanyak n NN kali makakali makapeluang A didefinisikan sebagai P(A)peluang A didefinisikan sebagai P(A)= n/N= n/N

Hukum Bilangan BesarHukum Bilangan BesarP(A)P(A) m/nm/n

Jika suatu proses atau percobaan diulangJika suatu proses atau percobaan diulangsampai beberapa kali (DALAM JUMLAHsampai beberapa kali (DALAM JUMLAHBESAR = n), dan jika karakteristik ABESAR = n), dan jika karakteristik Amuncul m kali maka frekuensi relatif, m/n,muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n,muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n,muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n,dari A akan mendekati peluang dari Adari A akan mendekati peluang dari A

Peluang SubyektifPeluang Subyektif

Berapa peluang hidup di mars?Berapa peluang hidup di mars?

Berapa peluang dapat bertahanBerapa peluang dapat bertahanhidup dalam kondisi dingin?hidup dalam kondisi dingin?

Aksioma PeluangAksioma Peluang

Beberapa kaidah sebaran peluang,Beberapa kaidah sebaran peluang,yaitu:yaitu:1.1. 00 p(xi)p(xi) 1, untuk i=1,2, …, n1, untuk i=1,2, …, n

2.2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalamJumlah peluang seluruh kejadian dalamruang contoh adalah 1,ruang contoh adalah 1,

2.2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalamJumlah peluang seluruh kejadian dalamruang contoh adalah 1,ruang contoh adalah 1,

3.3. p(A1+A2+…+Am) =p(A1+A2+…+Am) =p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2,p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2,…, Am merupakan kejadian…, Am merupakan kejadian--kejadiankejadianyang terpisah.yang terpisah.

1)(1

n

iixp

Contoh (4):Contoh (4):

1.1. Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6

jika setiap sisi seimbang maka peluangnyajika setiap sisi seimbang maka peluangnya

p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6

2.2. Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisiSebuah kejadian yang diharapkan adalah sisiyang muncul kurang atau sama dengan empatyang muncul kurang atau sama dengan empatmaka ruang kejadiannya:maka ruang kejadiannya:

A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4

Maka peluang kejadian A adalah:Maka peluang kejadian A adalah:

P(A) = 4/6 = 2/3P(A) = 4/6 = 2/3

Lanjutan Contoh (4)Lanjutan Contoh (4)

Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 lakiDalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki--lakilakidan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu timdan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu timyang terdiri dari 2 orang lakiyang terdiri dari 2 orang laki--laki dan seoranglaki dan seorangperempuan untuk mewakili dalam munas,perempuan untuk mewakili dalam munas,berapa peluang dari tim tersebut terbentuk?berapa peluang dari tim tersebut terbentuk?berapa peluang dari tim tersebut terbentuk?berapa peluang dari tim tersebut terbentuk?

404101

4

2

5

x 84

!6!3

!6.7.8.9

!6!3

!9

3

9

A = kejadian terbentuknya tim yang terdiri 2 laki-laki dan 1perempuan

n(A) = n(S) =

21

10

84

40

)(

)()(

Sn

AnAP

Hukum Penjumlahan dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B makaP(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika A dan B saling lepas (mutuallyexclusive), P(AB) =0, sehingga

P(AB) = P(A) + P(B)

A B

A BA B

P(AB) = P(A) + P(B)

Hukum Perkalian dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(AB) =P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Jika A dan B saling bebas, P(AB) = P(A) P(B)

Kejadian Saling BebasKejadian Saling Bebas

Kejadian saling bebas adalahKejadian saling bebas adalahkejadiankejadian--kejadian yang tidak salingkejadian yang tidak salingmempengaruhi.mempengaruhi.

Peluang dari dua buah kejadian yangPeluang dari dua buah kejadian yangPeluang dari dua buah kejadian yangPeluang dari dua buah kejadian yangsaling bebas adalah:saling bebas adalah:

P(AP(AB)=P(A).P(B)B)=P(A).P(B)


Peluang bayi berjenis kelamin lakiPeluang bayi berjenis kelamin laki--lakilakidiketahui 0.6. Jika jenis kelamin anakdiketahui 0.6. Jika jenis kelamin anakpertama (A) dan kedua (B) salingpertama (A) dan kedua (B) salingbebas, berapa peluang jenis kelaminbebas, berapa peluang jenis kelaminbebas, berapa peluang jenis kelaminbebas, berapa peluang jenis kelaminanak pertama dan anak kedua lakianak pertama dan anak kedua laki--laki?laki?

P(AP(A B)=B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

Peluang BersyaratPeluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah peluang suatuPeluang bersyarat adalah peluang suatukejadian (A) jika kejadian lain (B)kejadian (A) jika kejadian lain (B)diketahui telah terjadi.diketahui telah terjadi.

Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B),Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B),dimana:dimana:dimana:dimana:

P(A/B) = P(AP(A/B) = P(AB) / P(B)B) / P(B)

Jika kejadian A dengan B saling bebasJika kejadian A dengan B saling bebasmaka,maka,

P(A/B)=P(AP(A/B)=P(AB) /B) /P(B)=P(A).P(B)/P(A)=P(A)P(B)=P(A).P(B)/P(A)=P(A)

Contoh (5):Contoh (5):

Dalam sebuah kotak berisi 2 bolaDalam sebuah kotak berisi 2 bolamerah dan 3 bola biru. Jika diambilmerah dan 3 bola biru. Jika diambildua buah bola tanpa pemulihan.dua buah bola tanpa pemulihan.Berapakah peluang bola keduaBerapakah peluang bola keduaberwarna merah (A) jika padaberwarna merah (A) jika padaberwarna merah (A) jika padaberwarna merah (A) jika padapengambilan pertama diketahuipengambilan pertama diketahuiberwarna biru (B).berwarna biru (B).

P(A/B)= P(AP(A/B)= P(AB)/P(B)B)/P(B)

II2/4

MIsalkan :MIsalkan :A= terambilnya bola merahA= terambilnya bola merahpada pengambilan IIpada pengambilan II

B = terambilnya bola biruB = terambilnya bola birupada pengambilan Ipada pengambilan I

A

B P(A/B)= P(AP(A/B)= P(AB)/P(B)B)/P(B)

= (3/5)(2/4)/(3/5)= (3/5)(2/4)/(3/5)= 2/4= 2/4

I3/5

Pengambilan

I

3/5

A

2/4

2/4

2/5

3/4

1/4 A

Untuk mengerjakanUntuk mengerjakankasus diatas, dapatkasus diatas, dapatjuga dilakukanjuga dilakukansebagai berikut:sebagai berikut:

MIsalkan B =MIsalkan B =terambilnya bola biruterambilnya bola birupada pengambilan Ipada pengambilan I

A= terambilnya bolaA= terambilnya bolamerah padamerah pada

PertamaPertamaKeduaKedua

MerahMerah(B(B--))

Biru (B)Biru (B) TotalTotal

MerahMerah(A)(A)

2/202/20 6/206/20 8/208/20

BiruBiru(A(A--))

6/206/20 6/206/20 12/2012/20

TotalTotal 8/208/20 12/2012/20 20/2020/20merah padamerah padapengambilan IIpengambilan II

TotalTotal 8/208/20 12/2012/20 20/2020/20

P(A B) = P(A).P(B)

Perhatikan tabel kemungkinanPerhatikan tabel kemungkinanP(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2P(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2

Teorema BayesTeorema Bayes


Kota Bogor disebut kota hujan karena peluangKota Bogor disebut kota hujan karena peluang

terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesarterjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harussiapsiap--siap dengan membawa payung (P). Peluangsiap dengan membawa payung (P). Peluangseorang mahasiswa membawa payung jika hariseorang mahasiswa membawa payung jika harihujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.

Berapa peluang hari akan hujan jika diketahuiBerapa peluang hari akan hujan jika diketahuimahasiswa membawa payung?mahasiswa membawa payung?

Hujan atau tidak hujanharus siap-siap bawa

payung nih, soalnya gabisa diprediksi

Misalkan :Misalkan :

H = Bogor hujan,H = Bogor hujan,

P = mahasiswa membawa payungP = mahasiswa membawa payung

P(H) = 0.6 P(TH) = 1P(H) = 0.6 P(TH) = 1--0.6=0.4 P(P|H) = 0.80.6=0.4 P(P|H) = 0.8

P(P|TH) = 0.4P(P|TH) = 0.4

Ditanya : P(H|P)Ditanya : P(H|P)Ditanya : P(H|P)Ditanya : P(H|P)

Jawab :Jawab :

64.0

48.0

16.048.0

48.0

4.04.08.06.0

8.06.0)/(

)/()()/()(

)/()(

)()(

)(

)(

)()/(

xx

xPHP

THPPTHPHPPHP

HPPHP

PTHPPHP

PHP

PP

PHPPHP

Teorema Bayes

Sesuai hukum perkalian peluang

Teorema BayesTeorema Bayes

Suatu gugus universum disekat menjadiSuatu gugus universum disekat menjadibeberapa anak gugus B1, B2, …, Bn dan Abeberapa anak gugus B1, B2, …, Bn dan Asuatu kejadian pada U dengan p(B)suatu kejadian pada U dengan p(B)00maka,maka,maka,maka,

P(A) =P(A) = P(Bi)P(A/Bi)P(Bi)P(A/Bi)

Peluang BPeluang Bkk bersyarat A, dapat dihitungbersyarat A, dapat dihitungsebagai berikut:sebagai berikut:

P(BP(Bkk/A) = P(B/A) = P(BkkA)/A)/ P(A)P(A)

Perhatikan diagram berikut:Perhatikan diagram berikut:

–– Ruang contoh dipecahRuang contoh dipecahmenjadi kejadian B1,menjadi kejadian B1,B2,…,Bn saling terpisahB2,…,Bn saling terpisah

–– Disamping itu adaDisamping itu adakejadian A, yang dapatkejadian A, yang dapatterjadi pada kejadian B1,terjadi pada kejadian B1,B2,…,Bn. DenganB2,…,Bn. Dengandemikian, A=(Ademikian, A=(AB1) +B1) +(A(AB2) + …. + (AB2) + …. + (ABn)Bn)

B1 ………. Bn

Kejadian A

(A(AB2) + …. + (AB2) + …. + (ABn)Bn)

–– Peluang kejadian APeluang kejadian Aadalah: P(A)=adalah: P(A)=P(AP(AB1) +B1) +P(AP(AB2) + …. + P(AB2) + …. + P(ABn)Bn)

–– Dengan memanfaatkanDengan memanfaatkansifat peluang bersyarat,sifat peluang bersyarat,diperoleh peluang Bkdiperoleh peluang Bkbersyarat A adalah:bersyarat A adalah:

P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk)/P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk)/ P(Bi)P(A/Bi)P(Bi)P(A/Bi)

slide04 - konsep peluang - ks 2011

Documents