BAB IPENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti.

Penelitian yang dilakukan atas seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar

hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya, seorang peneliti harus melakukan sensus.

Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak meneliti keseluruhan elemen tadi,

maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari keseluruhan elemen

atau unsur tadi.

Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara

lain adalah, populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak

mungkin seluruh elemen diteliti; dan keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan

sumber daya manusia, membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian

dari elemen penelitian;

Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa

dipercaya dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara

penarikan sampelnya harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel

dikenal dengan nama teknik sampling atau teknik pengambilan sampel .

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana teknik mengambil sampel dalam populasi?

2. Bagaimana teknik penyebaran rerata pada data?

C. Tujuan

1. Untuk mengetahui teknik pengambilan sampel dalam populasi.

2. Untuk mengetahui teknik penyebaran rerata pada data.

D. Manfaat

Dengan adanya makalah ini maka dapat menjadi acuan atau bahan referensi

bagi para pembaca yang ingin mengetahui salah satu pembahasan pada mata

kuliah statistika matematika yaitu sebaraan penyampelan dan sebaran rerata.

1

BAB IIPEMBAHASAN

A. Populasi

Populasi atau universe adalah sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang

dijadikan obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen

terhadap satu produk tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk

tersebut. Jika yang diteliti adalah laporan keuangan perusahaan “X”, maka

populasinya adalah keseluruhan laporan keuangan perusahaan “X” tersebut,.

Elemen/unsur adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30

laporan keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau

elemen penelitian. Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian.

Ditinjau dari banyaknya anggota populasi, maka populasi terdiri atas :

Populasi terbatas (terhingga)

Populasi tak terbatas (tak terhingga)

Namun dalam kenyataannya populasi terhingga selalu menjadi populasi yang tak

terhingga.

Ditinjau dari sudut sifatnya, maka populasi dapat bersifat :

Homogen ,dan

Heterogen

Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total

atau sensus. Penggunaan ini berlaku jika anggota populasi relatif kecil. Untuk

anggota populasi yang relatif besar, maka diperlukan mengambil sebagian

anggota populasi yang dijadikan sampel. Pengambilan anggota sampel yang

merupakan sebagian dari anggota populasi tadi harus dilakukan dengan teknik

tertentu yang disebut teknik sampling. Demikian pula untuk menentukan

banyaknya anggota sampel haruslah menggunakan rumus,grafik atau tabel

tertentu.

2

B. Sampling

1. Teknik Sampling

Sampel (contoh) ialah sebagian anggota populasi yang diambil dengan

menggunakan teknik tertentu yang disebut dengan teknik sampling. teknik

sampling berguna agar :

1) Mereduksi anggota populasi menjadi anggota sampel yang mewakili

populasinya (refresentatif),sehingga kesimpulan terhadap populasi dapat

dipertanggungjawabkan.

2) Lebih teliti menghitung yang sedikit daripada yang banyak

3) Menghemat waktu,tenaga,biaya,menghemat benda coba yang merusak.

Beberapa kriteria yang perlu diperhatikan dalam mengambil sampel adalah

sebagai berikut :

1) Tentukan dulu daerah generalisasinya.

2) Berilah batas – batas yang tegas tentang sifat – sifat populasi.

3) Tentukan sumber – sumber informasi tentang populasi.

4) Pilihlah teknik sampling dan hitung besar anggota sampel yang sesuai

dengan tujuan penelitiannya

5) Rumusan persoalan yang akan diteliti

6) Tentukan atau dari keterangan mengenai populasi yang akan diteliti

7) Defenisikan unit – unit,istilah yang diperlukan

8) Tentukan unit sampling yang diperlukan.

9) Tentukan skala pengukuran yang akan dipergunakan

10) Cari keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan yang akan

dibahas

11) Tentukan ukuran sampel yang akan dianalisis

12) Tentukan prosedur sampling apa yang akan dipergunakan

13) Tentukan teknik pengumpulan data yang akan dipergunakan

14) Tentukan metode analisi apa yang akan digunakan

15) Sediakan dan prasarana yang diperlukan untuk penelitian

3

2. Cara melakukan sampling

Teknik pengambilan sampel dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :

1. Sampling random ( probability sampling ), yaitu pengambilan contoh secara

acak ( random ) yang dilakukan dengan cara undian, ordinal atau table

bilangan random atau dengan computer.

2. Sampling nonrandom ( nonprobality sampling) atau disebut juga sebagai

incidental sampling, yaitu pengambilan contoh tidak secara acak

1. Teknik sampling random

Teknik sampling random terdiri atas lima macam yaitu :

a. Sampling random sederhana (simple random sampling )

Ciri utama sampling ini ialah setiap unsur dari keseluruhan populasi

mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Caranya ialah dengan

menggunakan undian,ordinal,table bilangan random,atau computer.

Keuntungannya ialah anggota sampel mudah dan cepat diperoleh.

Kelemahannya ialah kadang – kadang tidak mendapatkan data yang

lengkap dari populasinya.

b. Teknik sampling bertingkat ( stratified sampling )

Teknik sampling ini disebut juga dengan istilah teknik sampling berlapis,

berjenjang,dan petala. Teknik ini digunakan apabila populasinya

heterogen atau terdiri atas kelompok – kelompok yang bertingkat.

Penentuan bertingkat berdasarkan karakteristik tertentu. Misalnya :

menurut usia,pendidikan,golongan / pangkat,dan sebagainya.

Keuntungan menggunakan cara ini ialah anggota sampel yang diambil

lebih representative. Kelemahannya ialah lebih banyak memerlukan

usaha pengenalan terhadap karakteristik populasinya.

c. Teknik sampling kluster (cluster sampling )

Teknik sampling ini disebut juga sebagai teknik sampling

daerah,conditional sampling, (restricted sampling ). Teknik ini

digunakan apabila populasi terbesar dalam beberapa

daerah,propinsi,kabupaten,kecamatan, dan seterusnya. Pada peta daerah

4

diberi petak - petak dan setiap petak diberi nomor. Nomor - nomor itu

kemudian ditarik secara acak untuk dijadikan anggota sampelnya.

d. Teknik sampling Sistematis ( Systematical Sampling )

Teknik ini sebenarnya adalah teknik random sampling sederhana yang

dilakukan secara ordinal. Artinya anggota sampel dipilih berdasarkan

urutan tertentu. Misalnya setiap kelipatan 5 atau 10 dari daftar pegawai di

suatu kantor.

e. Teknik sampling proporsional ( proportional sampling )

Teknik sampling proporsional yaitu sampel yang dihitung berdasarkan

perbandingan. Misalnya populasi untuk A = 20, B = 50, C= 30. Jadi,

jumlah anggota populasi = 100. Sedangkan besar anggota sampel = 80

sehingga besar masing - masing sampel untuk A, B, dan C dapat dihitung

sebagai berikut:

A= 20100

×80=16

B= 50100

× 80=40

C= 30100

× 80=24

+

Jumlah = 80

2. Teknik sampling Nonrandom

Teknik sampling nonrandom terdiri atas tiga macam dengan uraian sebagai

berikut ;

a. Teknik sampling kebetulan (Accidental sampling )

Teknik sampling kebetulan dilakukan apabila pemilihan anggota

sampelnya dilakukan terhadap benda atau orang yang kebetulan ada atau

dijumpai.

b. Teknik Sampling Bertujuan ( Porpusive sampling )

Teknik ini digunakan apabila anggota sampel yang dipilih secara khusus

berdasarkan tujuan penelitiannya. Sebagai contoh : untuk meneliti

5

tentang peraturan lalu lintas, maka hanya mereka yang memiliki SIM

atau yang tidak memiliki SIM saja yang dijadikan anggota sampel.

c. Teknik sampling Kuota (Quota sampling )

Teknik ini digunakan apabila anggota sampel pada suatu tingkat dipilih

dengan jumlah tertentu (kuota ) dengan cirri - cirri tertentu.

3. Penentuan Besarnya Anggota Sampel

Besar anggota sampel harus dihitung berdasarkan teknik - teknik tertentu

agar kesimpulan yang berlaku untuk populasi dapat dipertanggungjawabkan.

Disamping itu harus pula memenuhi teknik sampling seperti yang diuraikan

tadi diatas.

Anggota sampel yang secara ideal mewakili populasinya (representative)

Besarnya Anggota sampel yang dipilih berdasarkan pertimbangan -

pertimbangan :

a. Praktis

b. Ketepatan

c. Non respon

d. Analisis data

4. Teknik Menghitung Besarnya Anggota Sampel

Teknik untuk menghitung besarnya anggota sampel secara umum dapat

dilakukan dengan dua cara yaitu :

1. Proporsi

Perhitungan besarnya anggota sampel dengan menggunakan cara

proporsi dapat menggunakan sejumlah rumus - rumus, namun pada

kesempatan ini dikenalkan tiga buah rumus untuk menghitung besarnya

anggota sampel. Rumus - rumus dan contoh penggunaannya seperti

berikut :

n ≥ pq ( z1 /2 α

α )Dimana :

n = jumlah anggota sampel minimal

p = proposi kelompok pertama

6

q = proporsi kelompok kedua = (1-p)

α = taraf signifikansi

z 12 α

= nilai z table, dan

jika α = 0,01, maka rumus tadi akan menjadi

n ≥ pq ( 2,580,01 )

2

dan jika α = 0,05, maka rumus tadi akan menjadi ;

n ≥ pq ( 1,980,05 )

2

Contoh soal

Suatu daerahdiketahui anggota populasi penduduknya yang berstatus

sebagai PNS 400.000 orang. Di antaranya 100.000 orang belum

menjalankan KB secara efektif. Berapa besar anggota sampel yang perlu

diteliti dalam rangka mengungkapkan partisipasi terhadap program KB?

Jawab:

Misalkan digunakan α = 0,05 , maka didapatkan :

P = 100.000400.000

= 0,25

n = 0,25 (1-0,25)( 1,980,05 )

2

= 294 ( dibulatkan )

Karena manusia bukan dalam bilangan pecahan,maka dibulatkan menjadi

294 orang.

s=X2 NP(1−p)

d2 ( N−1 )−x2 p(1−p)

Dimana :

S = banyaknya anggota sampel

N = banyaknya anggota populasi

P = proporsi dalam populasi

d = derajat ketelitian = 1,96

7

x2=¿harga table chi -kuadrat untuk tertentu.

Jika rumus tersebut di atas, digunakan untuk populasi tertentu yang sudah

diketahui jumlah anggotanya dan dengan α=0,05, maka Krejcie dan

Morgan telah memberikan tabelnya yang dikenal dengan sebutan table

krejcie dan morgan.

SE = p (1−p)(n−1)

(N−n)N

Dimana :

SE = Standar Estimasi

P = Proporsi

N = jumlah anggotsa populasi

n = jumlah anggota sampel

penggunaan rumus di atas,telah disederhanakan oleh Harry King dengan

nomogramnya, yang terkenal dengan sebutan nomogram Harry King.

2. Ketelitian Estimasi

a) Ketelitian Estimasi

N = ( sSEx )

2

Dimana ;

n = banyaknya sampel

s = standar deviasi ( diketahui )

SE x = standar error

b) Rumus dasar confidensi interval

w =2 z1 /2 α σ

√n

Dimana :

w = interval estimasi

z1/2 α = standar skor untuk tertentu

α = simpangan baku populasi ( diketahui )

n=¿besarnya anggota sampel atau banyaknya sampel

8

Contoh soal

Diketahui σ 2=100 w=5 α=0,05

Berapa banyaknya sampel (n) ?

Jawab :

w=2 z1/2 ασ

√n

z 12 α

=z0,025=1,96

5=2.1,96 .10

√n

√n=2.1,96 .105

n=61.

5. Kesalahan-Kesalahan Umum Dalam Menentukan Besar Anggota Sampel

Kesalahan - kesalahan umum yang sering dijumpai dalam menentukan

besarnya anggota sampel adalah sebagai berikut :

1. Peneliti gagal dalam menetapkan jumlah anggota populasi yang dapat

dipercaya.

2. Peneliti menggunakan anggota sampel yang terlalu kecil untuk setiap

subgrupnya,sehingga analisis statistika parameter tidak berlaku, pada

populasi sebenarnya cukup besar.

3. Peneliti tidak menggunakan teknik sampling startified yang disyaratkan

untuk menetukan anggota sampel subgrupnya.

4. Peneliti mengubah prosedur tenik sampling

5. Peneliti mengubah rumus untuk menghitung besarnya anggota sampel

6. Peneliti memilih anggota sampel yang tidak sesuai dengan tujuan

penelitiaannya

7. Peneliti mengurangi anggota sampel yang telah ditentukan oleh

perhitungannya

8. Peneliti memilih grup eksperimen dan grup kontrol dari populasi yang

berbeda

9

9. Peneliti yang memakain grup sukarela,lupa atau sengajatidak

membedakannya dengan grup wajib,akibatnya peneliti gagal dalam

menginterpretasikan hasil penelitiannya

10. Peneliti tidak memberikan alasan – alasan mengapa rumus dan teknik

sampling tertentu yang ia gunakan di dalam penelitiannya itu

C. Distribusi Rata-Rata

Kita akan membicarakan distribusi sampel yang diambil dari sebuah populasi,

sehingga topik khusus tentang distribusi penyampelan sebuah rata-rata akan

mengawali bagian ini. Selanjutnya kita akan membicarakan distribusi dua rata-

rata dalam hal kita mengambil dua sampel dari sebuah populasi atau masing-

masing dari sebuah populasi yang berbeda.

1. Distribusi Sebuah Rata-rata

Jika kita mengambil sebuah sampel acak berukuran n dari sebuah populasi

yang berukuran N, maka terdapat (Nn ) banyaknya sampel berbeda yang

mungkin terjadi. Misalnya ukuran populasi N = 10 dan ukuran sampel n = 3,

terdapat (103 ) = 120 sampel berbeda yang mungkin. Untuk semua sampel ini,

masing-masing memiliki rata-rata, dan setiap nilai rata-rata itu dapat dinggap

sebagai data baru. Distribusi rata-rata ini memiliki rata-rata dan simpangan

baku dan diberi simbol berturut-turutμx

−¿¿ dan σx

−¿ ¿.

Misalkan parameter populasi untuk rata-rata adalah π dan simpangan

bakunya σ , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa

μx

−¿=μ¿ dan σ

x−¿= σ

√n √ N−nN−1

.¿

Untuk N cukup besar dibandingkan dengan n(ukuran sampel tidak melebihi

5% ukuran populasi, yaitu n/N ≤ 5%) atau populasi memiliki ukuran tak

hingga, kita dapat gunakan rumus

μx

−¿= μ¿ dan σx

−¿= σ√n

¿

10

Perhatikan bahwa untuk N cukup besar dibandingkan dengan n, hasil bagi

N−nN−1

mendekati satu, sehingga rumus pendekatan ini memudahkan

perhitungan dan memberikan hasil yang tidak berbeda. Nilai σx

−¿ ¿ disebut

Simpangan baku rata-rata dan merupakan ukuran variasi rata-rata yang

diharapkan dari sampel ke sampel.

Contoh 1.1

Misalkan sebuah populasi berukuran N = 5 terdiri dari data 1, 2, 3 ,4 dan 5.

Sampel acak berukuran n = 2akan diambil.

a. Berapa banyak sampel berbeda yang mungkin terambil?

b. Tunjukkn sampel-sampel tersebut dan hitung rata-ratanya masing-

masing!

c. Buatlah distribusi penympelan rata-rata tersebut dan tunjukkan bahwa

rumus

μx

−¿= μ¿ dan σ

x−¿= σ

√n √ N−nN−1

¿ berlaku!

Jawaban :

a. Banyak sampel yang bisa terjadi adalah (52) = 10

b. Sampel-sampel yang bisa terjadi dapat ditunjukkan sabagai berikut

Tabel 1.1 Sampa-sampel Berukuran dua dan Nilai Rata-ratanya

Sampe

l

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,4) (3,5) (3,6)

Rata-

rata

1,5 2,0 2,5 3,0 2,5 3,0 3,5

3,5 4,0 4,5

c. Distribusi penyampelan rata-rata dapat dibuat seperti pada tabel 1.1 .

kalau dari distribusi peluang ini dihitung nilai harapan dan variansinya,

diperoleh

H( ¿x−¿=( 1,5) (0,1 )+( 2,0) (0,1 )+( 3,0) ( 0,2)+( 3,5) ( 02)+( 4,0) (0,1 )+( 4,5 )( 0,1)=3,0¿

V( ¿x−¿=( 1,5−3) 2 (0,1 )+(2,0−3) 2 (0,1 )+(2,5−3 ) 2 (0,2 )+(3,0−3 ) 2 (0,2 )+(3,5−3 )2 ( 0,2) +(4,0−3 ) 2 (0,1 )+(4,5−3 ) 2 (0,1 )=0,75¿ , atau

σ ( ¿x−¿=0,8660. ¿

11

Tabel 1.2 Distribusi Peluang Rata-rata

x−¿¿ Frekuensi P( ¿x

−¿¿

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

1

1

2

2

2

1

1

0,1

0,1

0,2

0,2

0,2

0,1

0,1

Variansi itu dalam konsep peluang, sama dengan menghitung variansi dengan

rumus yang menggunakan pembagi 10(n), bukan 9(n-1). Ingat rumus variansi

s2=∑i=1

n

¿¿¿¿.

Jika kita hitung rata-rata dan simpangan baku dari populasi 1,2,3,4, dan 5,

diperoleh μ=3 dan σ=1,5811. Apabila sepuluh nilai rata-rata tersebut

dihitung nilai rata-rata dan simpangan bakunya diperoleh μx

−¿=3,0¿ dan

σx

−¿=0,9129¿¿rumus ini menggunkan pembagi 9).

σ√n √ N−n

N−1=1,5811

√2 √ 5−25−1

=¿0,9682¿

Sedikit yang berbeda dengan σx

−¿=0,9129¿ akibat pembulatan.

2. Teorema Limit Pusat

Teorema limit pusat yang memberikan dasar pendekatan dalam berbagai teori

dan aplikasi statistik dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Jika sebuah populasi mempunyai rata-rata μdan simpangan bakuσ yang

besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n mendekati tak hingga,

distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata μx

−¿=μ¿

dan simpangan baku σx

−¿= σ√n

¿ ”

Teorema ini tentunya berlaku untuk populasi yang berukuran tak hingga.

Namun demikian, kaum praktisi menggunakan teorema ini dengan mengganti

pernyataan “n mendekati tak hingga” menjadi “n cukup besar”. Pengertian n

12

cukup besar dalam praktek digunakan n ≥ 30. Dalam hal ini, ukuran populasi

pun dapat terhingga asalkan cukup lebih besar, yang tentunya jauh lebih besar

dari 30.

Perhatikan bahwa pendekatan ini berlaku untuk sebarang distribusi X yang

mempunyai simpangan baku terhingga. Pendekatan ini bisanya digunakan

untuk n ≥ 30, dan tentunya pendekatan akan lebih baik untuk ukuran sampel

yang lebih besar. Namun perlu diingat bahwa kalau populasi berdistribusi

normal, maka rata-rata sampel akan tetap dapat menggunakan teori normal

walaupun ukuran sampel kecil.

Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu dibakukan

agar tabel distribusi normal baku yang sudah ada dapat digunakan.

Pembakuan ini menggunakan rumus :

z= x−¿−μ

σx

−¿¿¿

Apabila dari populasi diketahui variansinya dan perbedaan antara rata-

rata dari sampel ke sampel diharapakan tidak lebih dari sebuah nilai d yang

ditentukan, maka berlaku hubungan

σx

−¿ ≤d¿

Sehingga ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata-

rata dapat ditentukan.

Contoh 1.2

Skor mahasiswa dalam mata kuliah statistika matematika II mempunyai rata-

rata 85 dengan simpangan baku7,3.

1. Sebuah sampel acak berukuran n = 35 diambil dari populasi skor mahasiswa

tersebut. Berapa peluang rata-rata skor ke-35 mahasiswa tersebut:

a. Terletak antara 83 dan 90?

b. Paling sedikit 86?

2. Jika nilai rata-rata dari sampel yang satu dengan sampel lainnya dari populasi

tersebut , perbedaannya diharapkan tidak lebih dari1,5. Tentukan ukuran

sampel minimal yang harus diambil!

Jawaban:

13

a. Karena ukuran populasi tidak diberitahukan, kita dapat menganggap cukup

besar untuk berlakunya teori distribusi normal. Ukuran sampel n = 35 cukup

besar sehingga teorema limit pusat dapat digunakan. Dengan demikian, rata-

rata x−¿¿

untuk skor staistika matematika mahasiswa mendekati distribusi

normal dengan rata-rataμx

−¿¿ dan simpangan bakuσx

−¿= 7,3√3,5

=1,23¿

b. Untuk x−¿=83 ¿diperolehz1=

90−851,23

=−1,63 dan untuk x−¿90 ¿diperoleh

z2=90−85

1,23=4,07. Dengan demikian, kita merujuk ke tabel distribusi normal

baku dan mendapatkan P(−1,63<Z<4,07 )=0,4484+0,5=0,9484.Jadi,

peluang rata-rata skor statistika mahasiswa antara 83 dan 90 adalah 0,9484.

c. Rata-rata skor 86 memberika nilai z=86−85

1,23=0,81dan

P (0<Z<0,81 )=0,2910 ,sehinggaP (Z ≥ 86 )=0,5−0,2910=0,2090.Dengan

demikian, peluang rata-rata skor mahasiswa paling sedikit 86 adalah 0,2090.

Kita sudah menganggap ukuran populasi cukup besar, supaya nilai rata-rata

dari satu sampel ke sampel lainnya tidak lebih dari d = 1,5, ukuran sampel

minimal n yang harus diambil memenuhi

σx

−¿ ≤d¿

Jadi,7,3

√n≤ 1,5atau n ≥ 23,72, sehingga ukuran sampel minimal yang harus

diambil adalah n = 24.

D. Distribusi Selisih Dua Rata-rata

Misalkan kita mempunyai dua populasi masing-masing berukuran N1 dan N2.

Populasi kesatu mempunyai rata-rata μ1dan simpangan baku σ 1,sedangkan

populasi kedua mempunyai rata-rata μ2dan simpangan bakuσ 2 Dari setiap

populasi secara bebas dimbil sampel acak berukurann1 dari populasi kesatu

dan berukurann2dari populasi kedua. Untuk membedakan, populasi kesatu

Dimisalkan mempunyai peubah X dan populasi kedua mempunyai peubah Y.

Nilai rata-rata dari masing-masing sampel dihitung. Kumpulan rata-rata

14

sampel yang dapat ditulis:x1 , x2 ,…. , xk dan y1 , y2 , …. , yrdengan k =

banyaknya sampel yang dapat diambil dari populasi kesatu, dan r = banyak

sampel yang dapat diambil dari populasi kedua.

Sekarang, semua seliih antara rata-rata dari sampel-sampel dalam

kumpulan kesatu dan rata-rata darisampel-sampel dalam kumpulan kedua

dapat dinyatakan dengan x i− y j dengan i = 1, 2,..., r. Kumpulan selisih rata-

rata sampel demikian akan membentuk distribusi selisih rata-rata. Dari

kumpulan ini, kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi simbol μx− y dan

menghitung simpangan bakunya,diberi simbol σ x− yUntuk N1dan N2yang

cukup besar dan sampel-sampel acak diambil secara bebas satu sama lain, di

dapat hubungan:

μx− y=μ1−μ2 dan σ x− y=√ σ12

n1

+σ2

2

n2

Selanjutnya, untuk ukuran sampel cukup besar (n1≥ 30 , n2≥ 30 )

Maka selisih rata-rata x - y akan mendekati distribusi normal dengan rata-

rataμx− y=μ1−μ2 , dan simpangan baku σ x− y=√ σ12

n1

+σ 2

2

n2

Untuk memuat

distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku digunakan transformasi

z=( x− y )−(μ1−μ2)

σx− y

Perlu diingatkan lagi bahwa alau populasi berdistribusi normal, peubah acak

x - yjuga berditribusi normal walaupun sampel kecil.

Contoh 1.3

Diketahui bahwa rata – rata skor statistika untuk mahasiswa laki – laki 63

dengan simpangan baku 4,2 dan rata – rata skor statistika untuk mahasiswa

perempuan 52 dengan simpangan baku 3,9. Misalakan x - y masing –

masing menyatakan rata – rata sampel skor statistika mahasiswa untuk laki –

laki dan perempuan, dengan ukuran sampel yang sama 120. Tentukan

peluang yang menyatakan bahwa perbedaan rata – rata skor statistika kedua

kelompok mahasiswa tersebut paling sedikit 10!

15

Jawaban :

Diketahui bahwa n1=120 , μ1=63 , σ1=42 ,dan n2=120 , μ2=52, σ 2=3,9.

menurut teori,x - y berdistribusi normal dengan rata – rata μx− y=63−52=11 ,

dan simpangan baku baku σ x− y=√ (4,2 )2

120+

(3,9 )2

120 = 0,5232. Nilai

z=10−110,5232

=−1,91. dari table distribusi normal baku diperoleh P

( Z>−1,91 )=0,4719+0,5=0,9719. jadi, peluang untuk mendapatkan selisih

rata – rata skor paling sedikit 10 adalah 0,9719.

16

BAB IIIPENUTUP

A. Kesimpulan

1. Populasi ialah Populasi atau universe adalah sekelompok orang, kejadian,

atau benda, yang dijadikan obyek penelitian.

2. Teknik untuk menghitung besarnya anggota sampel secara umum dapat

dilakukan dengan dua cara yaitu :

a) Proporsi

Perhitungan besarnya anggota sampel dengan menggunakan cara

proporsi dapat menggunakan sejumlah rumus - rumus, namun pada

kesempatan ini dikenalkan tiga buah rumus untuk menghitung

besarnya anggota sampel. Rumus - rumus dan contoh penggunaannya

seperti berikut :

n ≥ pq ( z1 /2 α

α )b) Ketelitian Estimasi, dengan formula:

N = ( sSEx )

2

3. Misalkan parameter populasi untuk rata-rata adalah π dan simpangan

bakunya σ , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa

μx

−¿=μ¿ dan σ

x−¿= σ

√n √ N−nN−1

.¿

17

Untuk N cukup besar dibandingkan dengan n(ukuran sampel tidak

melebihi 5% ukuran populasi, yaitu n/N ≤ 5%) atau populasi memiliki

ukuran tak hingga, kita dapat gunakan rumus

μx

−¿=μ¿ dan σx

−¿= σ√n

¿

4. Untuk menghitung selisih dua rata-rata, diberi simbol μx− y dan

menghitung simpangan bakunya,diberi simbol σ x− yUntuk N1dan N2yang

cukup besar dan sampel-sampel acak diambil secara bebas satu sama lain,

di dapat hubungan:

μx− y=μ1−μ2 dan σ x− y=√ σ12

n1

+σ2

2

n2

Selanjutnya, untuk ukuran sampel cukup besar (n1≥ 30 , n2≥ 30 )

Maka selisih rata-rata x - y akan mendekati distribusi normal dengan

rata-rataμx− y=μ1−μ2 , dan simpangan baku σ x− y=√ σ12

n1

+σ 2

2

n2

Untuk

memuat distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku digunakan

transformasi

z=( x− y )−(μ1−μ2)

σx− y

18

DAFTAR PUSTAKA

Usman, husaini. Akbar, purnama setiady. 1995. Pengantar statistika. Bumi

aksara: Jakarta

Tiro, M. Arif. Sukarna. Aswi . 2009. Pengantar Teori Peluang.Andira

Publiser: Makassar.

Tiro, M. Arif. 2005. Dasar-Dasar Statistika .Andira Publiser: Makassar

19