BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Pembahasan tentang persamaan diferensial parsial terus berkembang baik

secara teori maupun aplikasi. Dalam pemodelan matematika pada permasalahan di

bidang ilmu lain seperti bidang fisika , bidang teknik dan bidang kimia banyak yang

menggunakan persamaan diferensial parsial. Salah satu contoh fenomena alam

yang dibuat pemodelan matematika adalah peristiwa transportasi yang terjadi pa-

da fluida yang dimodelkan menjadi persamaan konveksi difusi.

Beberapa persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitis. Namun

dalam kenyataannya, dalam beberapa kasus untuk mencari penyelesaian persamaan

konveksi difusi secara analitis merupakan hal yang cukup rumit. Oleh karena itu

digunakan metode-metode numerik untuk membantu penyelesaiannya. Dalam tesis

ini yang merupakan kajian ulang dari jurnal yang berjudul "Stabilized Least Squares

Finite Element Method for 2D and 3D Convection-Diffusion" yang ditulis oleh V.D.

Pireira (2014), akan diuraikan solusi dari persamaan konveksi difusi dengan meng-

gunakan metode elemen hingga Least Squares.

Metode elemen hingga merupakan salah satu metode numerik yang umum

dipergunakan dalam mencari solusi persamaan diferensial. Di antara beberapa jenis

metode elemen hingga yang ada, metode Least Squares lebih sering dipergunakan

khususnya dalam bidang fluid mechanics dan electromagnetics. Metode elemen

hingga Least Square didasarkan pada meminimalkan residu pangkat dua. Sebagai

ilustrasi, diperhatikan persamaan diferensial berikut

Au = f, pada ,

Bu = 0, pada batas ,(1.1)

dengan A merupakan operator diferensial linier, B merupakan operator batas, u

1

2merupakan vektor tak bebas, f merupakan vektor gaya dan merupakan domain.

Pertama misalkan solusi pendekatan dari u

u ' j(x)uj, j = 1, 2, . . . , n,

dengan uj merupakan parameter, j(x) merupakan fungsi trial (dasar) dan vektor

x merupakan variabel bebas. Selanjutnya, mencari peminimal dari

I(u) =

(Au f)2d.

Kemudian solusi Least Square dihitung dari persamaan variasi berikut

(Ai)T (Au f)d.

Meskipun formulasi pada metode Least Square sederhana, tapi memberikan man-

faat yang signifikan.

(1)Universality. Sudah menjadi hal yang umum dalam mengerjakan persamaan

diferensial yang berbeda digunakan skema numerik yang berbeda pula. Dalam lit-

eratur beda hingga misalnya, untuk mengerjakan persamaan eliptik digunakan beda

hingga pusat, untuk mengerjakan persamaan hiperbolik digunakan skema upwind,

serta skema khusus lainnya yang dipergunakan pada persamaan diferensial terten-

tu. Dalam literatur elemen hingga terdapat banyak metode Galerkin yang berbe-

da seperti Classic Galerkin, Galerkin Mixed, Petrov-Galerkin dan lain sebagainya,

yang semuanya ditujukan untuk permasalahan yang berbeda dan masing-masing

memiliki struktur yang berbeda pula. Lain halnya dengan metode elemen hing-

ga Least Square yang memiliki formulasi sama untuk menjadi solusi numerik bagi

semua tipe persamaan diferensial.

(2) Efficiency. Metode elemen hingga Least Square cocok untuk menyelesaikan op-

erator diferensial orde satu. Dalam bidang teknik dan ilmu terapan, persamaan yang

diperoleh berdasar pada hukum-hukum fisika merupakan persamaan orde satu atau

dapat dirubah menjadi persamaan orde satu. Namun, jika menggunakan metode

konvensional sulit untuk menyelesaikan operator diferensial orde satu karena pa-

da umumnya akan mengarah kepada matrik nonsimetris. Di sisi lain, metode least

3Square selalu mengarah pada matrik simetris definit positif yang dapat diselesaikan

secara efisien menggunakan metode iterasi matrik bebas seperti metode Precondi-

tioned Conjugate Gradient.

(3) Optimality. Menurut Jiang, dapat ditunjukkan bahwa metode elemen hingga

Least Square merupakan solusi pendekatan yang terbaik dimana error dari solusi

memiliki orde yang sama dengan error interpolasi. Dalam bidang teknik dan tera-

pan, sangatlah penting untuk mengevaluasi keakuratan dari solusi pendekatan. Pada

metode ini, indikator error diperoleh dari persamaan residu yang diminimalkan oleh

prosedur yang mana merupakan indikator yang baik untuk mencapai solusi optimal.

(4) Simulasi bersama. Karena metode Least Square merupakan metode yang uni-

fied untuk mendekati solusi dari fenomena fisika yang berbeda, satu algoritma, satu

kode dan satu simulasi untuk menganalisis disiplin ilmu yang berbeda seperti per-

pindahan panas dan interaksi padat-fluida.

(5) Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya bahwa metode Least Square difor-

mulasikan dalam set yang umum. Oleh karena itu metode ini dapat diprogram

secara sistematis, misalnya untuk aplikasi yang baru hanya perlu merubah atau

menambahkan koefisien, vektor beban dan kondisi batas untuk sistem orde satu.

Hal ini dapat mengurangi waktu, biaya dan error pemrograman dalam pengemban-

gan program.

1.2. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mempelajari metode elemen hingga

Least Squares yang diterapkan untuk mencari solusi pendekatan persamaan konvek-

si difusi. Dilanjutkan dengan menyusun algoritma pemrograman dan implementasi

program dengan menggunakan software Matlab. Diharapkan metode ini dapat men-

jadi alternatif untuk menyelesaikan aplikasi dari persamaan konveksi difusi.

41.3. Tinjauan Pustaka

Dalam penyusunan Tesis ini, diperlukan adanya panduan dari sejumlah liter-

atur. Jurnal utama dalam tesis ini berjudul "Stabilized Least Squares Finite Element

Method for 2D and 3D Convection-Diffusion" yang ditulis oleh Pireira (2014). Un-

tuk dasar teori terkait persamaan diferensial digunakan buku Mayer Humi (2006)

dan Perko (2000). Sedangkan untuk mempelajari metode elemen hingga Least

Squares termasuk beberapa metode pendukung dipergunakan buku Bochev & Gun-

zburger (2009), Jiang (1998) dan Chung (2002). Teori terkait persamaan konveksi

difusi dipergunakan buku Bejan (2013) dan Jiji (2006). Sedangkan contoh imple-

mentasi dari persamaan konveksi difusi diperoleh dari jurnal Kumar (2009).

1.4. Metode Penelitian

Metode yang dipergunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari

beberapa buku dan paper terkait. Langkah-langkah yang akan dipergunakan adalah

sebagai berikut

1. Mempelajari persamaan konveksi difusi.

2. Mempelajari metode elemen hingga Least Squares beserta aplikasinya pada

kasus yang sederhana. Selanjutnya memperluas penerapan dari metode Least

Squares. Mempelajari metode pendukung yang nantinya dipergunakan juga

dalam penelitian ini. Selanjutnya mencari solusi persamaan konveksi difusi

dengan menggunakan metode Least Squares.

3. Merancang algoritma pemrograman dan mengimplementasikannnya ke dalam

bahasa pemrograman dengan menggunakan software Matlab. Program yang

dibuat nantinya akan digunakan untuk mensimulasikan solusi dari beberapa

contoh kasus persamaan konveksi difusi.

4. Membuat kesimpulan dan menyusun laporan hasil penelitian.

51.5. Sistematika Penulisan

Gambaran dari tesis ini secara menyeluruh, dapat diperhatikan pada sistem-

atika penulisan sebagai berikut.

BAB I PENDAHULUAN berisikan latar belakang, tujuan penelitian, tin-

jauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI yang memuat teori yang dipergunakan sebagai

alat yang menunjang pembahasan bab selanjutnya. Landasan teori yang diberikan

meliputi persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial dan metode elemen

hingga Least Squares pada persamaan diferensial orde satu.

BAB III PEMBAHASAN merupakan pembahasan mengenai persamaan kon-

veksi difusi, metode elemen hingga Least Squares beserta beberapa metode pen-

dukungnya yang kemudian dilanjutkan dengan penyelesaian persamaan konveksi

difusi dengan metode elemen hingga Least Squares.

BAB IV HASIL berisikan algoritma pemrograman dan implementasi dalam

bahasa pemrograman dengan menggunakan software Matlab.

BAB V PENUTUP meliputi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran un-

tuk pengembangan penelitian selanjutnya.

BAB II

DASAR TEORI

Topik yang akan dibahas dalam tesis ini adalah metode elemen hingga least

squares yang diterapkan pada persamaan konveksi difusi. Elemen hingga meru-

pakan salah satu metode yang umum dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan

diferensial. Secara umum, elemen hingga diklasifikasikan dalam tiga kelompok

yaitu Metode Rayleigh-Ritz, Metode Galerkin dan Metode Least Squares. Menurut

Jiang (1998), Metode Least Squares memiliki lebih banyak kelebihan untuk dit-

erapkan dalam menyelesaikan persamaan di bidang Fluid mechanics dan Electro-

magnetics. Berikut diberikan beberapa definisi dan teorema yang mendasari pem-

bahasan mengenai metode tersebut.

2.1. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari satu

atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.

Definisi 2.1.1 (Mayer Humi, 1991) Suatu persamaan diferensial dikatakan linier

apabila semua variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya dalam persamaan terse-

but memenuhi syarat-syarat sebagai berikut :

1. variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya muncul dalam derajat

satu.

2. tidak ada perkalian antara variabel tak bebas dengan derivatifnya.

3. tidak ada fungsi transenden dari variabel-variabel tak bebas.

Selanjutnya persamaan diferensial dikatakan non linier apabila tidak memenuhi

paling sedikit satu syarat di atas.

6