Denny Hakim

1

Rangkuman Rumus Integral Cauchy

Istilah

(Interior ) adalah suatu daerah yang dilingkupi oleh . Contoh analitik di

dalam dan pada lingkaran dapat disingkat analitik pada

Rumus integral Cauchy

Misalkan analitik pada dengan adalah kurva tertutup sederhana, maka

untuk setiap di berlaku

Perumuman rumus integral Cauchy

Misalkan analitik pada dengan adalah kurva tertutup sederhana, maka

untuk setiap di berlaku ada pada domain dalam dengan

dan

Teorema Liouville

Jika entire dan terbatas pada maka adalah fungsi konstan

Teorema modulus maksimum

Jika bukan fungsi konstan dan analitik pada daerah (Region) yang terbatas serta

kontinu pada (closure ), maka mencapai nilai maksimumnya di batas

( )

Teorema modulus minimum

Jika bukan fungsi konstan , , dan analitik pada daerah (Region) yang

terbatas serta kontinu pada (closure ), maka mencapai nilai maksimumnya

di batas ( )

Contoh 1 :

Misalkan adalah lingkaran satuan yang berpusat di . Hitunglah

, dan !

Jawab :

Karena analitik pada , maka menurut rumus integral Cauchy diperoleh

. Misalkan . Karena analitik pada

dengan , maka menurut rumus integral Cauchy diperoleh

Denny Hakim

2

. Misalkan . Karena analitik

pada dengan dan , maka menurut rumus

integral Cauchy diperoleh

Contoh 2 :

Misalkan analitik pada persegi yang mengandung suatu titik dan adalah lingkaran

dengan pusat dan jari-jari dalam persegi tersebut. Dengan teorema Cauchy tunjukkan

bahwa !

Jawab :

Misalkan dengan , maka . Menurut teorema integral

Cauchy diperoleh

Contoh 3 :

Misalkan adalah fungsi entire dengan untuk setiap dengan adalah

konstanta. Tunjukkan bahwa dengan adalah konstanta.

Jawab :

Misalkan adalah lingkaran berpusat di dan berjari-jari . .

Berdasarkan rumus integral Cauchy diperoleh

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh

. Karena lingkaran , maka keliling lingkaran = . Gunakan hasil ini

diperoleh . Karena entire, maka dapat

diperbesar mendekati takhingga. Sehingga, untuk setiap berlaku

Denny Hakim

3

Karena entire, maka menurut Perumuman rumus integral Cauchy diperoleh

analitik. Karena terbatas ( ) maka menurut Teorema Liouville

dengan suatu konstanta. Karena , maka . Karena entire

maka pengintegralan dari titik 0 ke tidak bergantung lintasannya, sehingga diperoleh

Jadi, terbukti bahwa dengan suatu konstanta.

Contoh 4 :

Misalkan analitik dan tidak nol pada daerah . Tunjukkan bahwa nilai minimum

pada terjadi di batasnya.

Jawab : Definisikan , maka analitik dan tidak nol pada daerah . Menurut

teorema modulus maksimum, nilai maksimum tercapai di batas ( ). Sehingga,

untuk setiap di dan untuk setiap di R berlaku . Karena

maka untuk setiap di dan untuk

setiap di R. Jadi terbukti bahwa nilai minimum pada terjadi di batasnya.