rpp kelas xii klp 6

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA

UNTUK SISWA SMA KELAS XII IPA SEMESTER GANJIL

Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Akhir Semerter

Dalam Mata Kuliah Perencanaan Pembelajaran Matematika

Oleh Kelompok 6:

NINING YURIANI : 2411.037IRWANSYAH P.A : 2411.040LISMAWATI : 2411.051NOVITA SARI : 2411.053ASMA MURNI : 2411.059

Dosen Pembimbing:

M. Imammudin,M.Pd

JURUSAN TARBIYAH

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA VB

STAIN SYECH M.DJAMIL DJAMBEK

BUKITTINGGI

2013/2014

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

(RPP)

Nama selokah : SMA

Kelas/semester : XII/ I (satu)

Mata pelajaran : Matematika IPA

Pertemuan ke : 1 (satu)

A. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

B. Kompetensi dasar:

1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

2. Menghitung integraltak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabaar dan trigonometri

C. Indikator:

1. Memahami konsep dasar integral tak tentu

2. Menghitung integral tentu dari fungsi aljabar

D. Tujuan Pembelajaran:

1. Siswa mampu memehami konsep dasar integral tak tentu

2. Siswa mampu menghitung integral tentu dari fungsi aljabar

E. Materi ajar:

Pengertian integral

Jika f(x) adalah turunan dari F(x), maka integral dari f(x) adalah F(x).

Hal ini dapat ditulis : F’(x) = f(x) ↔ ∫ f(x) dx = F(x)+c

Dikatakan integral adalah anti dari turunan.

Perhatikan tabel berikut :

F(x) F’(x)=f(x

)

F(x) F’(x)=f(x

)

-1/2 x-2

-x-1

X

½ x2

1/3 x3

1 x n+1

n + 1

x-3

x-2

1 = x0

X

x2

xn

2x5

2x5+30

2x5-2000

2x5+1/2

2x5-0,35

2x5+c

10x4

10x4

10x4

10x4

10x4

10x4

Dari table diatas dapat disimpulkan :

Jika F(x) = 1 xn+1 +c → F’(x) = f(x) = xn

n+1

atau :

f(x) = xn → ∫ f(x) dx = 1 xn+1 +c

n+1

Dengan kata lain :

∫ xn dx = 1 xn+1+c

n+1

Sifat-sifat integral tak tentu fungsi aljabar

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ k dx = kx + c

3. • ∫ xn dx = 1/n+1 xn+1 + c n ≠ -1

• ∫ kxn dx = k/n+1 xn+1 + c

• ∫ kx-1 dx = ∫ k/x dx = k lnx + c

4. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

5. ∫ ( f(x) + g(x) ) dx = ∫ f(x) dx + g(x) dx

6. ∫ ( f(x) - g(x) ) dx = ∫ f(x) dx - g(x) dx

Contoh :

Selesaikan integral tak tentu berikut ini :

1. ∫ (5x + 7) dx = 5/2 x2 + 7x + c

2. ∫ (4x2 - x +2/√x) dx = ∫ (4x2-x+2)x-1/2dx

= ∫ (4x3/2-x1/2+2x-1/2) dx

= 8/5x5/2-2/3x3/2+4x1/2 + c

Menentukan fungsi F(x), jika F’(x) dan F(a) diketahui.

Langkah-langkah:

1.Tentukan F(x) = ∫ F’(x) dx

2. Masukkan nilai x=a kedalam ∫ f(x) dx untuk memperoleh nilai c

Contoh :

Tentukan nilai F(x) jika F’(x)=5x3-4x2+6 dan F(1)=4

Jawab :

F(x) = ∫ F’ (dx)

= ∫ 5x3-4x2+6 dx

= 5/4 x4-4/3x3+6x+c

F(1) = 5/4-4/3+6+c=4

C=-23/12

Jadi F(x) = 5/4x4-4/3x3+6x-23/12

F. Alokasi waktu:

Waktu Kegiatan pembelajaran

Tm : 2x 45’ Proses balajar mengajar antara guru dan siswa

Pt : 30’ Guru member latihan

Kmtt : 45’ Guru member tugas rumah pada siswa

G. Metode pembelajaran:

Ekspositiri dan model pembelajaran cooperatif tipe STAD

H. Kegiatan pembelajaran:

No Kegiatan Pembelajaran Oleh Guru Kegiatan Siswa Alokasi

Waktu

1 Pendahuluan:

Guru membuka pelajaran

dengan mengucapkan

salam dan memimpin

siswa berdoa

Guru menanyakan

bagaimana keadaan siswa

dan mengecek kehadiran

siswa

Guru mengaitkan atau

menghubungkan pelajaran

hari ini dengan pelajaran

yang telah lalu

Guru memotivasi tentang

kegunaan mempelajari

materi ini

Guru menyampaiakn

Siswa mendengarkan

guru berbicara dan

mengikuti doa yang

dipimpin oleh guru

Siswa menjawab

pertanyaan dari guru

Siswa mendengarkan

dan memperhatikan

yang disampaikan oleh

guru

Siswa mendengarkan

dan memperhatikan


guru

Siswa mendengarkan

10 menit

tujuan pembelajaran pada

siswa

dan memperhatikan


guru

2 Kegiatan inti:

Eksplorasi

Guru meminta siswa

duduk berkelompok yang

terdiri dari 4 – 5 orang

perkelompok

Guru membagikan LKS

tentang integral tak tentiu

dari fungsi aljabar pada

siswa sebagai bahan yang

akan didiskusikan siswa

Elaborasi

Siswa melakukan diskusi

dengan anggota kelompok

untuk melaksanakan

kegiatan yang diberikan

guru

Guru mengamati siswa

dalam diskusi kelompok

dan membimbing siswa

dalam diskusi

Konfirmasi:

Guru meminta salah satu

kelompok untuk

menyampaikan hasil

diskusi kelompok didepan

kelas

Guru meminta tanggapan

dari kelompok lain

Siswa mendengarkan

perintah dari guru

Siswa menerima lks

yang dibagikan oleh

guru

Siswa melakukan

diskusi dalam

kelompok masing-

masing

Siswa berdiskusi dan

menanyakan pada guru

jika terdapat kesulitan

Siswa mendengarkan

perintah dari guru

Siswa menganggapi

penampilan dari

kelompok yand tampil

65 menit

Guru meluruskan dan

penegasan dengan

memberikan penguatan

tentang konsep pada siswa

Siswa mendengarkan

guru meluruskan dan

menguatkaan konsep

untuk siswa

3 Penutup:

guru memberikan

kesempatan kepada siswa

menanyakan materi yang

belum dimengerti.

Siswa dengan bimbingan

guru menyimpulkan

pelajaran

Sebagai evaluasi dilakukan

kuis tentang integral tak

tentu funfsi aljabar.

Peserta didik diberi PR

soal latihan 1 no 1-10

Guru menyampaikan

materi yang akan datang

dan menugaskan siswa

untuk membaca terlebih

dahulu di rumah

Guru menutup pelajaran

dan mengucapkan salam.

Siswa bertanya pada

guru tentang hal yang

belum dipahami

Siswa menyimpulkan

yang dibimbing oleh

guru

Siswa mengerjakan

soal yang diberikan

oleh guru

Siswa mencatat tugas

yang diberikan oleh

guru

Siswa mendengarkan


guru

Siswa mendenagrkan

guru bicara dan

menjawab salam dari

guru

15 menit

I. Penilaian:

1. Teknik instrumen

Tes tertulis

Penugasan

2. Bentuk instrument: uraian

3. Contoh instrument

no Soal Jawaban skor

1∫0

4

( x2+4 ) dx=¿¿ ∫0

4

( x2+4 ) dx=13

x3+4 x+c (30)

¿13

× 43+4 × 4−¿ (8)

¿

¿13

(64+16 )−13(0+0) (5)

¿803

−0 (4)

¿803

¿2623

(3)

2∫0

1 (x5−1)x2 dx=¿ ∫

0

1 ( x5−1 )x2 dx=∫

0

1x5

x2 dx−∫0

11x2 dx (15)

¿∫0

1

x3 dx−∫0

1

x−2dx (10)

¿14

x4− 1−2+1

x−2+1+c (10)

¿14

x4−1x+c (5)

¿( 14

× 14−14 )−0 (5)

¿0 (5)

Jumlah skor: 100

J. Sumber:

1. Sumber :

Buku Matematika SMA Kelas XII IPA , Sartono Wirodikromo, Erlangga

Internet

2. Alat / Bahan

LKS

Bahan Ajar

Laptop

LCD

Dll

Mengetahui Gadut, 1 Desember2013

Kepala SMA Guru Mata Pelajaran

Drs. Rosman Rasyid, M.Pd Dra. Asma Murni. M.Pd

NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005


(RPP)

Nama selokah : SMA



Pertemuan ke : 2 (Dua)



2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri

C. Indikator:

3. Menghitung integral tentu dari fungsi trigonometri

4. Mengitung integral tentu

5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral tentu


3. Siswa mampu menghitung integral tentu dari fungsi trigonometri

4. Siswa mampu menghitung integral tentu

5. Siswa mampu Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan

integral tentu

E. Materi ajar

Integral tak tentu fungsi trigonometri.

Perhatikan table berikut :

No F(x) F’(x)=f(x)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Sin x

Cos x

Tan x

Cotan x

Sec x

Cosec x

Cos x

-sin x

Sec2x

-cosec2 x

Tan x.sec x

-cotan x.cosec x

Dari table diatas dapat dirumuskan integral tak tentu fungsi trigonometri, yaitu:

1. ∫ cos x dx = sin x+c

2. ∫ sin x dx = -cos x+c

3. ∫ sec2x dx = tan x+c

4. ∫ cosec2 xdx = -cotan x+c

5. ∫ tan x.sec x = sec x+c

6. ∫ cotan x.cosec x = -cosec x+c

Dari konsep tabel diatas juga dapat dirumuskan

1. ∫ cos ax dx = 1/asin ax+c

2 ∫ sin ax dx = -1/acos ax+c

3. ∫ sec2ax dx = 1/atan ax+c

4. ∫ cosec2 axdx = -1/acotan ax+c

5. ∫ tan ax.sec ax = 1/asec ax+c

6. ∫ cotan ax.cosec ax = -1/acosec ax+c

Contoh :

Selesaikanlah integral trigonometri berikut :

1. ∫(cos x-2x3) dx = sinx-1/2x4+c

2. ∫ sin 2x dx = -1/2 cos 2x + c

3. ∫ cos (3x+8) dx = 1/3 sin (3x+8) +c

Integral Tentu

Defenisi:

Jika y=f (x ) adalah fungsi kontinu dan terdefenisi dalam interval tertutup [a,b]

sehingga limn → ∞

∑i=1

n

f (xi)∆ xi ada mempunyai nilai, maka integral tentu f (x) terhadap x

dari x=a sampai x=b dinyatakan oleh:

∫a

b

f ( x )dx= limn→ ∞

∑i=1

n

f (xi)∆ xi

Dengan n adalah jumlah sub interval di dalam interval [a,b].

Maka

∫b f(x) dx = F(x) ]b = F(b) – F(a)

a a

Sifat-sifat integral Tentu :

1. ∫a

b

f ( x )dx = f(b) – f(a)

2. ∫a

b

f ( x )dx= −∫b

a

f ( x ) dx

3. ∫a

b

f ( x )dx = 0

∫a

b

f ( x )dx ≥ 0, jika f ( x ) ≥ 0

∫a

b

f ( x )dx ≤ 0, jika f ( x ) ≤ 0

4. ∫a

b

k f ( x )dx=k∫a

b

f ( x ) dx

5. ∫a

b

{f ( x )± g ( x ) }dx=∫a

b

f ( x ) dx±∫a

b

g (x ) dx

6. ∫a

c

f ( x )dx ±∫c

b

f ( x )dx=∫a

b

f ( x ) dx

Contoh :

Hitunglah nilai dari :

1. ∫5

8

(x2¿−1)¿ dx = 1/3 x3 – x ]8

= (1/3 . 83 – 8) – (1/3 . 53 – 5 )

= 126

2. ∫2 6(1-4x3) dx = ∫2 (6-24x3) dx -2 -2

= 6x – 6x4 ]2

-2

= -84+108

= 24

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral

tentu

Contoh :

Tentukan persamaan kurva f(x) jika diketahui m gradiennya dinyatakan dengan persamaan

6x-3 dan melalui titik (3,2)

jawab:

dy/dx = 6x-3

dy = (6x-3)dx

∫ dy = ∫(6x-3)dx

Y = 3x2-3x+c

2) → 2 = 27-9+c

Jadi persamaan kurva adalah :

c = -16

y = 3x2 – 3x – 1

F. Alokasi waktu



Pt : 30’ Guru memberi latihan


K. Metode pembelajaran:

Model pembelajaran cooperatif tipe NHT

L. Kegiatan pembelajaran:

No Kegiatan Pembelajaran

Oleh Guru

Kegiatan Siswa Alokasi

Waktu

1 Pendahuluan:


dengan mengucapkan salam

dan memimpin siswa

berdoa

Guru menanyakan



siswa

Guru mengingatkan

kembali pelajaran yang

telah lalu



materi ini

Guru membahas tugas

Siswa mendengarkan guru

dan memgikuti doa yang

dipimpin oleh guru

Siswa menjawab

pertanyaan dari guru

Siswa mendengarkan dan

memperhatikanyang

dibicarakan oleh guru

Guru mendengarkan dan

memperhatikan yang

disampaikan oleh guru

Siswa memperhatikan

yang dijelaskan oleh guru

10 menit

rumah yang dirasa sukar

oleh siswa

Guru menyampaiakn tujuan

pembelajaran pada siswa

Siswa mendenngarkan

guru berbicara

2 Kegiatan inti:

Eksplorasi

Guru meminta siswa duduk

berkelompok yang terdiri

dari 4 – 5 orang

perkelompok, masing-

masing kelompok terbagi

atas siswa yang heterogen

Guru member nomor

masing-masing anggota

kelompok per kepala.

Guru membagikan LKS

tentang integral tak tentu

dari fungsi trigonometri dan

integral tentu pada siswa

sebagai bahan yang akan

didiskusikan siswa

Elaborasi



untuk menemukan rumus-

rumus turunan dari integral

trigonometri dari rumus-

rumus dasar trigonometri

yang sudah dipelajari dan

mengerjakan soal-soal

diberikan guru


Siswa mendenagrkan

perintah dari guru


mengingat yang

disampaikan guru

Siswa mengambil lks

yang dibagikan oleh guru


dalam kelompok masing-

masing

65 menit



dalam diskusi

Konfirmasi:


siswa sebagai perwakilan

dari kolompok dengan

menyebutkan nomor kepala

siswa tersebut untuk

menyampaikan hasil diskusi

kelompok didepan kelas

Guru meminta kelompok

lain untuk memberikan

tanggapan tanggapan

Guru meluruskan dan

penegasan dengan



Guru menjelaskan konsep

integral tentu dan

menegaskan bahwa luas

daerah dibawah kurva

adalah integral tentu dengan

batas-batas yang diberikan

dan diberikan dengan :

∫a

b

f (x ) dx = F(b) – F(a)

Guru memberikan contoh

soal

Siswa berdiskusi dan

menanyakan pada guru

jika ada yang kurang

dipahami

Siswa mendengarkan

perintah dari guru

Siswa mendengarkan


guru


memperhatikan yang

dijelaskan oleh guru


memperhatikan yang

dijelaskan oleh guru

Siswa memperhatikan dan

memahami contoh yang

diberikan oleh guru

3 Penutup:

guru memberikan



belum dimengerti.


guru menyimpulkan

pelajaran



tentu fungsi trigonometri

dan integral tentu

Peserta didik diberi PR soal

latihan 2 no 1-4 dan latihan

5 no1-3

Guru menyampaikan materi

yang akan datang dan

menugaskan siswa untuk

membaca terlebih dahulu di

rumah



Siswa bertanya pada guru

tentang hal yang belum

dipahami

Siswa menyimpulkan

materi dengan

dibimbingan oleh guru

Siswa mengerjakan soal-

soal yang diberikan oleh

guru

Siswa menginagat dan

mencatat tugas yang

diberikan oleh guru


menyampaikan


dan menjawab salam dari

guru

15 menit

I. Penilaian:

4. Teknik instrumen

Tes tertulis

Penugasan



no Soal Jawaban skor

1 ∫( sin 5x cos 3x ) dx ∫( sin 5x cos 3x ) dx = ∫ ½ [ sin 8x + sin 2x ] dx (15)

= ½ ∫ [ sin 8x + sin 2x ] dx (10)

= 1/2 [ - 1/8 cos 8x – ½ cos 2x] (5)

+ c

= - 1/16 cos 8x – ¼ cos 2x + c (10)

Skor total : 40

2∫0

2

(x2¿+3 x )dx¿ ∫2 ( x2 + 3x ) dx = 1/3 x3 + 3/2 x2 ]2 (15)0 0

= [ 1/3 . 8 + 3/2 . 4 ] – 0 (10)

= 26/3 (5)Skor total: 30

3∫0

2

π2 cos 2x dx ∫2∏ 2 cos 2x dx = 2 [ ½ sin 2x ]2∏ (15) 0 0

= sin 2x ]2∏ (8) 0

= sin 4∏ - sin 0 (4)

= 0 – 0 (3)

= 0

Skor total: 30

J. Sumber:

1. Sumber :


Internet

2. Alat / Bahan

LKS

Bahan Ajar

Laptop

LCD

Dll

Mengetahui gadut, 1 desember2013


Drs. Rosman rasyid, m.pd dra. Asma murni. M.pd

Nip: 19620429 03 2 012 nip: 19680118 19 005


(RPP)

Nama selokah : SMA



Pertemuan ke : 3 (tiga)

G. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

H. Kompetensi dasar:


I. Indikator:

6. Menghitung pengintegralan dengan rumus integral subsitusi

6.1 pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) du

6.2 pengintergralan yang memuat bentuk-bentuk √a2−x2, √a2+x2 dan √ x2−a2

J. Tujuan Pembelajaran:

6. Siswa mampu menghitung pengintegralan dengan rumus integral subsitusi yaitu

subsitusi pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) dudan

pengintergralan yang memuat bentuk-bentuk √a2−x2, √a2+x2 dan √ x2−a2

K. Materi ajar

Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) du

Teorema:

Misalkan dengan menggunakan subsitusi u = g (x) dengan g adalah fungsi yang

mempunyai turunan, sehingga ∫ f ( g(x)) g '(x )dx dapat diubah menjadi ∫ f (u ) du

∫ f ( g(x)) g '(x )dx=∫ f (u ) du=F (u )+C=F ( g ( x ) )+C

Teknik Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) du memerlukan

dua langkah yaitu:

1. Memilih fungsi u = g (x) sehingga ∫ f ( g(x)) g '(x )dx dapat diubah menjadi

∫ f (u ) du

2. Tentukan fungsi integral umum f (u ) yang bersifat F ' (u )=¿f(u)

Rumus-rumus:

1. ∫cos u du=sinu+C

2. ∫sin udu=−cosu+C

3. ∫ sec2u du= tan u+C

4. ∫ cosec2udu=−cot u+C

5. ∫ tan u . sec u du=sec u+C

6. ∫cot u . cosec udu=−cosec u+C

Contoh:

Tentukan integral berikut: ∫ (2 x+3 ) cos(x¿¿2¿+3 x )dx=¿¿¿¿ ….

Jawab:

Misalkan u= ( x2+3 x ) maka du = (2 x+3 )

Subsitusi ( x2+3 x ) = u dan (2 x+3 )=du

Maka

∫ (2 x+3 ) cos(x¿¿2¿+3 x )dx ¿¿

∫cos u du=sinu+C

¿ sin(x2¿+3 x)¿

Pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk √a2−x2, √a2+x2 dan √ x2−a2

∫√a2−x2dx ,√a2+x2dx ,√x2−a2 dx ,

Hasil subsitusi:

Fungsi integral Subsitusi integral Hasil subsitusi

√a2−x2 x=a sin θ a√1−sin2θ=acosθ

√a2+x2 x=a tan θ a√1+ tan2θ=a secθ

√ x2−a2 x=a sec θ a√ sec2−1=a tanθ

Contoh:

∫√a2−x2dx=¿……

jawab :

√a2−x2=√a2−a2sin2 θ

¿√a2(1−sin2θ)

¿√a2 cos2θ

¿a cosθ

√a2−x2=a cosθ ,

dengan dx = a cos θ dθ , maka dapat diubah menjadi:

¿∫¿¿

maka

a2∫cos2θ dθ=a2

2∫¿¿

¿ a2

2∫¿¿

¿ a2

2(θ+sinθcosθ )+C

L. Alokasi waktu





M. Metode pembelajaran:

Model pembelajaran cooperatif tipe STAD

N. Kegiatan pembelajaran:

No Kegiatan pembelajaran Kegiatan siswa Alokasi

waktu

1 Pendahuluan:



dan memimpin siswa

berdoa

Guru menanyakan



siswa

Guru mengingatkan


telah lalu



materi ini

Guru membahas tugas


oleh siswa





dipimpin oleh guru

Siswa menanggapi

pertanyaan guru


mendengarkan guru

Siswa mendengarkan

motivasi dari guru

Siswa memperhatikan

guru menjelaskan


menyampaikan tujuan

pembelajaran

10 menit

2 Kegiatan inti:

Eksplorasi



dari 4 – 5 orang




Guru memberi nomor

masing-masing anggota

kelompok per kepala.

Guru membagikan LKS


dari fungsi trigonometri dan

integral tentu pada siswa


didiskusikan siswa

Elaborasi




rumus turunan dari integral

trigonometri dari rumus-

rumus dasar trigonometri

yang sudah dipelajari dan


diberikan guru




dalam diskusi

Konfirmasi:

Siswa mendenagrkan

perintah yang diberikan

guru


Siswa menerimka lks

yang diberikan oleh guru

Siswa diskusi kelompok

Siswa berdiskusi dalam

kelompok masing-masing

65 menit








Guru kelompok lain untuk

memberikan tanggapan

tanggapan

Guru meluruskan dan

penegasan dengan



Guru menjelaskan konsep

integral tentu dan

menegaskan bahwa luas

daerah dibawah kurva

adalah integral tentu dengan

batas-batas yang diberikan

dan diberikan dengan :

∫a

b

f (x ) dx = F(b) – F(a)


soal

Siswa memperhatikan

aba-aba dari guru

Siswa memberikan

tanggapan terhadap

kelompok yang tampil


mendengarkan guru


memperhatikan guru

berbicara


memahami contoh yang

diberikan oleh guru

3 Penutup:

guru memberikan kesempatan

kepada siswa menanyakan

materi yang belum dimengerti.

Siswa bertanya tentang

hal-hal yang belum

dimengerti

15 menit


guru menyimpulkan

pelajaran



tentu fungsi trigonometri

dan integral tentu


latihan 2 no 1-4 dan latihan

5 no1-3





rumah



Siswa bersama-sama

menyimpulkan pelajaran

dengan bimbingan guru


soal kuis yang diberikan

guru




menyampaikan materi

yang akan dating

Siswa mendenagarkan

guru dan menjawab salam

dari guru

K. Penilaian:

7. Teknik instrumen

Tes tertulis

Penugasan



No Soal Jawaban skor

1 ∫√4−x2 dx=¿ ∫√4−x2 dx=∫√22+x2dx (10)

¿ 42

arc sin θ( x2¿)+

x2

√4−x2+C ¿ (15)

Skor total : 25

2 ∫√25−x2dx=¿ ∫√25−x2dx=∫√52+x2 dx ( 10)

¿ 252

arc sin θ ( x5¿)+

x2

√25−x2+C ¿ (15)

Skor total :25

3 ∫sin √x dx= ¿√x

¿ Misal u = √ x = x12 maka du=1

2x

−12 dx (15)

Subsitusi ke

∫ sin√ xdx√x

(10)

Maka ∫sin u (2 du )=2∫sin u du (10)

2∫ sin udu=−2 cosu+C (10)

¿−2cos√x +C (5)

Skor total: 50

L. Sumber:

1. Sumber :


Internet

2. Alat / Bahan

LKS

Bahan Ajar

Laptop

LCD

Dll




NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005


(RPP)

Nama selokah : SMA



Pertemuan ke : 4 (empat)




C. Indikator:

7. Menghitung pengintegralan dengan rumus integral parsial


7. Siswa mampu menghitung pengintegralan dengan rumus integral parsial

E. Materi ajar

Misalkan diketahui u= u(x) dan fungsi v = v (x). hasil kali kedua fungsi itu

ditentukan oleh y= uv. Berdasarkan aturan hasil kali fungsi-fungsi maka diperole

hubungan:

y’ = u’v + x’u

dydx

=dudx

v+udvdx

dy = v du + u dv

misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka ∫udv

ditentukan oleh hubungan:

∫u dv=uv−∫ vdu

Hubungan tersebut menunjukan bahwa pengintegralan ∫udv dapat diubah menjadi

pengintegralan ∫ v du dan sebaliknya. Berhasil atau tidaknya pengintegralan dengan

menggunakan rumus integral parsil ditentukan oleh hal berikut:

1. Memilih bagian dv, sehingga v dengan segera dapat ditentukan melalui hubungan

v=∫ dv

2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dari pada ∫u dv

F. Alokasi waktu









Oleh Guru


Waktu

1 Pendahuluan:


dengan mengucapkan

salam dan memimpin

siswa berdoa

Guru menanyakan



siswa

Guru mengingatkan

Siswa mendengarkan

guru dan memgikuti doa

yang dipimpin oleh guru

Siswa menanggapi

pertanyaan guru

Siswa memperhatikan

dan mendengarkan guru

10 menit


telah lalu



materi ini

Guru membahas tugas


oleh siswa

Guru menyampaiakn


siswa

Siswa mendengarkan

motivasi dari guru

Siswa memperhatikan

guru menjelaskan

Siswa mendengarkan

guru menyampaikan

tujuan pembelajaran

2 Kegiatan inti:

Eksplorasi

Guru meminta siswa






Guru membagikan LKS


dari fungsi trigonometri

dan integral tentu pada



Elaborasi




rumus turunan dari

integral trigonometri dari

rumus-rumus dasar

Siswa mendenagrkan


guru

Siswa menerimka lks


dan mendiskusikannya

dalam kelpmpok masing-

masing


65 menit

trigonometri yang sudah

dipelajari dan


diberikan guru




dalam diskusi

Konfirmasi:




menyebutkan nomor

kepala siswa tersebut

untuk menyampaikan

hasil diskusi kelompok

didepan kelas



tanggapan

Guru meluruskan dan

penegasan dengan




kelompok masing-

masing

Siswa memperhatikan

aba-aba dari guru

Siswa memberikan

tanggapan terhadap


Siswa memperhatikan


3 Penutup:

guru memberikan

kesempatann kepada siswa


belum dimengerti.


guru menyimpulkan

pelajaran


hal-hal yang belum

dimengerti

Siswa bersama-sama



15 enit

Sebagai evaluasi

dilakukan kuis tentang

konsep dan rumus- rumus

tentang pengintegralan

dengan rumus integral

parsial secara lisan, nama

siswa dipanggil satu

persatu untuk diberikan

pertanyaan


soal latihan 2 no 1

Guru menyampaikan




dahulu di rumah



Siswa menjawab soal-

soal kuis yang

ditanyakan oleh guru



Siswa mendengarkan

guru menyampaikan

materi yang akan dating

Siswa mendenagarkan

guru dan menjawab

salam dari guru

I. Penilaian:

1. Teknik instrumen

Tes lisan

Penugasan

2. Bentuk instrument: jawaban singkat


1. Sebutkan defenisi dari ∫udv !

Jawab:

Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka

∫u dv=uv−∫ vdu

Skor : 50

2. Hal apa yang mempengaruhi berhasil atau tidaknya pengintegralan menggunakan

rumus integral parsial !

Jawab:

1. Memilih bagian dv sehingga v dengan segera dapat ditentukan melalui

hubungan v=∫ dv

2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dibanding ∫udv

Skor : 50

Total skor: 100

J. Sumber:

1. Sumber :


Internet

2. Alat / Bahan

LKS

Bahan Ajar

Laptop

LCD

Dll


Kepala SMA N Guru Mata Pelajaran


NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005


(RPP)

Nama selokah : SMA



Pertemuan ke : 5 (lima)



3. menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dibawah kurva dan volume

benda putar

C. Indikator:

a. Mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung luas daerah (luas daerah yang

dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa

kurva


a. Siswa mampu mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung luas daerah (luas

daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas daerah yang dibatasi

oleh beberapa kurva

E. Materi ajar

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) sumbu x = a dan gari x=b,

ditentukan oleh:

a. L=∫a

b

f ( x ) dx , untuk f ( x )≥ 0

L=−∫a

b

f ( x )dx ,untuk f ( x ) ≥0

Atau

L=|∫a

b

f ( x )dx|Contoh:

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x) = 3x2 + 6x terhadap sumbu x dengan garis x = 0 dan x = 2 !

Jawab:

y=f(x) = 3x2 + 6x

L=∫0

2

(3 x2¿+6 x )dx¿

¿ x3+3x2+C

¿¿

¿8+3 ( 4 )

¿8+12

¿20

Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva

Luas yang dibatasi oleh kurva y = x , kurva v = g (x), garis x= a dan garis x=b,

ditentukan dengan rumus berikut:

L=∫a

b

f ( x )−g (x ) dx

Dengan f(x) ≥ g (x) dalam interval tertutup a ≤ x≤ b

Contoh :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x, kurva y =2x, dan garis x=1

dan x=2!

Jawab:

L=∫1

2

f ( x )−g (x ) dx

L=∫1

2

{(2 x)−( x ) dx

L=∫1

2

( x ) dx

¿ 12

x2+C

¿ 12

(22 )−12

¿2−12

¿112

F. Alokasi waktu






Model pembelajaran cooperatif tipe TAI



Oleh Guru


Waktu

1 Pendahuluan:


dengan mengucapkan

salam dan memimpin

siswa berdoa

Guru menanyakan



Siswa mendengarkan

guru dan memgikuti doa

yang dipimpin oleh guru

Siswa menanggapi

pertanyaan guru

10 menit

siswa

Guru mengingatkan


telah lalu



materi ini

Guru membahas tugas


oleh siswa

Guru menyampaiakn


siswa

Siswa memperhatikan


Siswa mendengarkan

motivasi dari guru

Siswa memperhatikan

guru menjelaskan

Siswa mendengarkan

guru menyampaikan

tujuan pembelajaran

2 Kegiatan inti:

Eksplorasi

Guru meminta siswa






Guru membagikan LKS


dari fungsi trigonometri

dan integral tentu pada



Elaborasi



tentang menghitung luas

daerah (luas daerah yang

Siswa mendenagrkan


guru

Siswa menerimka lks


Siswa diskusi

kelompokSiswa

berdiskusi dalam

kelompok masing-

65 menit

dibatasi oleh kurva

dengan sumbu x dan luas

daerah yang dibatasi oleh

beberapa kurva




dalam diskusi

Konfirmasi:




menyebutkan nomor

kepala siswa tersebut

untuk menyampaikan hasil

diskusi kelompok didepan

kelas



tanggapan

Guru meluruskan dan

penegasan dengan



masing masing-masing

siswa mengerjakan lks

yang ada sesuai

kemampuan masing-

masing, kemudian

setelah selasai siswa

bertukar pikiran dengan

teman lain yang

membahas pokok

bahasan yang berbeda


dan bertanya pada guru

jika terjadi kesulitan

Siswa memperhatikan

aba-aba dari guru

Siswa memberikan

tanggapan terhadap


Siswa memperhatikan


3 Penutup:

guru memberikan



hal-hal yang belum

15 enit


belum dimengerti.


guru menyimpulkan

pelajaran

Sebagai evaluasi

dilakukan kuis tentang

menghitung luas daerah

(luas daerah yang dibatasi

oleh kurva dengan sumbu

x dan luas daerah yang

dibatasi oleh beberapa

kurva


soal latihan 10 no 1-

2,3,4,6,7

Guru menyampaikan




dahulu di rumah



dimengerti

Siswa bersama-sama




soal kuis yang diberikan

guru



Siswa mendengarkan

guru menyampaikan

materi yang akan dating

Siswa mendengarkan

guru dan menjawab

salam dari guru

I. Penilaian:

1. Teknik instrumen

Tes tertulis

Penugasan



1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x) = 4x2 + 6x terhadap sumbu x dengan garis x = 0 dan x = 2 !

Jawab:

y=f(x) = 4x2 + 6x

L=∫0

2

(4 x2¿+6 x )dx ¿ (15)

¿ 43

x3+3 x2+C=¿ (25)

¿ 6427

+12 (5)

¿ 38827

=141027

(5)

Skoe total : 50

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x, kurva y =2x, dan garis x=1

dan x=3!

Jawab:

L=∫1

3

f ( x )−g (x ) dx (15)

L=∫1

3

{(2 x)−( x ) dx (10)

L=∫1

3

( x ) dx (10)

¿ 12

x2+C(5)

¿ 12

(32 )−12

(5)

¿ 92−1

2 (5)

¿ 82=4

Skor total : 50

Jadi, jumlah skor yaitu 100

J. Sumber:

1. Sumber :


Internet

2. Alat / Bahan

LKS

Bahan Ajar

Laptop

LCD

Dll




NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005


(RPP)

Nama selokah : SMA



Pertemuan ke : 6 (enam)



3. menggunakan intergral untuk menghitung luas daerah dibawah kurva dan volume

benda putar

C. Indikator:

2. mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung volume benda putar


Siswa mampu mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung volume benda putar

E. Materi ajar

Penggunaan integral tentu untuk menghitung volume benda putar

a. Terhadap sumbu x

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) , sumbu x, dan garis x = a, dan x

= b, dupitar sejauh 360 mengelililngi sumbu x maka volume atau isi benda

putar tersebut ditentukan dengan rumus:

V=π∫a

b

y2 dx atau π∫a

b

f (x )2dx

b. Terhadap sumbu y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y) , sumbu y, dan garis y = c, dan y =

d, diputar sejauh 360 mengelililngi sumbu y maka volume atau isi benda putar

tersebut ditentukan dengan rumus:

V=π∫c

d

x2dy atau π∫c

d

g( y)2 dy

c. Benda putar dari bawah kurva antara dua kurva yang dipurat terhadap sumbu

x

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) , kurva y = g (x) , dan garis x = a,

dan x = b, diputar sejauh 360 mengelililngi sumbu y maka volume atau isi benda

putar tersebut ditentukan dengan rumus:

V=π∫a

b

y 12− y 22 dxatau π∫a

b

f (x)2−g (x)2 dx

d. Benda putar dari bawah kurva antara dua kurva yang dipurat terhadap sumbu

y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) dan x = g (y) , sumbu y, dan garis y

= c, dan y = d, diputar sejauh 360 mengelililngi sumbu y maka volume atau isi

benda putar tersebut ditentukan dengan rumus:

V=π∫c

d

x12− x22 dy atau π∫c

d

f ( y )2−g( y )2 dy

Contoh:

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh

garis-garis y= x, y= 2x, x= 1 dan x= 2, diputar 360 mengelilingi sumbu x!

Jawab:

Diputar terhadap sumbu

V=π∫a

b

f (x)2−g (x)2 dx

V=π∫1

2

(2 x )2−(x )2dx

V=π∫1

2

(x )2 dx

V=π13

x3+C

V=π ¿ ×23 ¿−13

×1

V=83−1

3π

V=73

π

F. Alokasi waktu








No Kegiatan pembelajaran Kegiatan siswa Alokasi

waktu

1 Pendahuluan:



dan memimpin siswa

berdoa

Guru menanyakan





dipimpin oleh guru

Siswa menanggapi

pertanyaan guru

10 menit

siswa

Guru mengingatkan


telah lalu



materi ini

Guru membahas tugas


oleh siswa




mendengarkan guru

Siswa mendengarkan

motivasi dari guru

Siswa memperhatikan

guru menjelaskan


menyampaikan tujuan

pembelajaran

2 Kegiatan inti:

Eksplorasi



dari 4 – 5 orang




Guru membagikan LKS

tentang aplikasi integral

tentu untuk menghitung

volume benda putar

Elaborasi






dalam diskusi

Siswa mendenagrkan


guru

Siswa menerimka lks




kelompok masing-masing

dan bertanya pada guru

jika ada yang kurang

65 menit

Konfirmasi:










tanggapan

Guru meluruskan dan

penegasan dengan



dipahami

Siswa memperhatikan

aba-aba dari guru

Siswa memberikan

tanggapan terhadap



mendengarkan guru

3 Penutup:

guru memberikan kesempatan

kepada siswa menanyakan

materi yang belum dimengerti.


guru menyimpulkan

pelajaran


latihan 12,13 dan 14 no 1-2





rumah




hal-hal yang belum

dimengerti

Siswa bersama-sama






menyampaikan materi

yang akan dating

Siswa mendenagarkan

guru dan menjawab salam

15 menit

dari guru

I. Penilaian:

1. Teknik instrumen

Tes tertulis

Penugasan



4.

J. Sumber:

1. Sumber :


Internet

2. Alat / Bahan

LKS

Bahan Ajar

Laptop

LCD

Dll




NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP)

Satuan Pendidikan : SMA

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : XII / 1

Jumlah Pertemuan : 1 Pertemuan ( 2x 45’)

Standar Kompetensi

2. Menyelesaikan masalah program linear

Kompetensi dasar

2.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variable

Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat mengenal arti sistem pertidaksamaan linear

Siswa dapat menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua

variabel

I. Materi Ajar

Kedudukan Titik-Titik sebagai Daerah Penyelesaiaan Pertidaksamaan Linear pada

Bidang Cartesius

Persamaan linear ax+by=c, dengan x dan y adalah variabel dan a, b, c konstanta, merupakan

sebuah garis lurus yang membagi bidang cartesius menjadi tiga bagian. Kedudukan titik-titik

yang dimaksud adalah :

a. kedudukan titik yang memenuhi ax+by=c

b. kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax+by<c

c. kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax+by>c

Pertidaksamaan linear dengan dua variabel

Pertidaksamaan linear dengan dua variable adalah suatu pertidaksamaan yang didalamnya

memuat dua variable dan masing-masing variable itu berderajat satu.

Pertidaksamaan linear dengan dua variabel merupakan kalimat matematika terbuka yang

menggunakan tanda ketidaksamaan dan mengandung dua variabel x dan y berpangkat satu.

Contoh : x + y ≥ -2, y < 2x +3

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian :

Gambar persamaan garis yang mennyusun pertidaksamaan

Selidiki letak daerah berdasarkan tanda ≤, ≥ ,<,>¿

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel disebut sistem

pertidaksamaan linear dengan dua peubah.

Untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada

dasarnya sama dengan pertidaksamaan yang telah dipelajari sebelumnya, yaitu :

Gambarkan masing-masing pertidaksamaan yang menyusun sistem

pertidaksamaan

Daerah perpotongan antar pertidaksamaan adalah daerah penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan

II. Kegiatan pembelajaran

KegiatanWaktu

Guru Siswa

1. Kegiatan Awal

Guru menyuruh siswa

1. Kegiatan Awal

Siswa memimpin do’a

10 menit

memimpin do’a

Guru memperhatikan kehadiran

siswa

Apersepsi

Guru mengingatkan siswa tentang

pertidaksamaan

Motivasi

Guru menginformasikan tujuan

pembelajaran

Siswa memberikan respon

terhadap guru.

Apersepsi

Siswa mengingat tentang

pertidaksamaan

Motivasi

Siswa mendapat informasi tujuan

pembelajaran

2. Kegiatan Inti

a. Eksplorasi

Guru mengajarkan tentang titik-

titik sebagai daerah

penyelesaian pertidaksamaan

linear pada bidang cartesius

Guru mengajarkan tentang

pertidaksamaan linear dua

variable

Guru mengajarkan tentang

Menyelesaikan sistem


variabel

b. Elaborasi

Guru memberikan latihan

tentang pertidaksamaan linear

dua variabel danMenyelesaikan

sistem pertidaksamaan linear

dua variabel

Guru membahas soal latihan

yang dianggap sulit oleh siswa

c. Konfirmasi

2. Kegiatan Inti

a. Eksplorasi

Siswa memahami tentang titik-

titik sebagai daerah

penyelesaian pertidaksamaan

linear pada bidang cartesius

Siswa memahami tentang


variable

Siswa memahami tentang

Menyelesaikan sistem


variabel

b. Elaborasi

Siswa mengerjakan latihan

tentang pertidaksamaan linear

serta menyelesaikannya.

Siswa mendengar pembahasan

soal latihan yang dianggap

sulit

c. Konfirmasi

65’

Guru bersama siswa

menyimpulkan hasil

pembahasan

Guru bersama siswa

menyimpulkan hasil

pembahasan

3. Kegiatan Penutup

Guru bersama siswa

menyimpulkan hasil

pembahasan

Guru memberikan tugas kepada

siswa

3. Kegiatan Penutup

Siswa bersama guru

menyimpulkan hasil

pembahasan

Siswa mendapat tugas dari

guru

15’

III. Metode pembelajaran

A. Ekspositori

B. Tanya jawab

C. Diskusi

D. Penugasan

IV. Sumber / Bahan Pembelajaran

Adinawan,cholik.Matematika Program Studi Ilmu Alam untuk SMA

dan MA Kelas XII.PT gelora aksaa pratama.2007:jakarta

V. Penilaian

1. Jenis : tugas individu

2. Bentuk : uraian

3. Contoh instrumen

Soal :

1) Tunjukkan daerah penyelesaiann pertidaksamaan 3x + 4y -12 ≥ 0

2) Gambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan :

{8 x+3 y≥ 244 x+9 y ≤36

x≥ 0y ≥0

Kunci Jawaban :

1) Langkah menentukan daerah penyelesaian :

Melukis garis 3x + 4y -12 = 0

Selidiki salah satu koordinat yang berada dikiri dan dikanan garis 3x + 4y -

12 =0

Dari hasil penyelidikan, daerah yang memenuhi 3x + 4y -12 ≥ 0 adalah

daerah disebelah kiri garis

2). Langkah-langkah :

Gambarlah garis 8 x+3 y=24 dan arsirlah daerah 8 x+3 y≥ 24

Gambarlah garis4 x+9 y≤ 36dan arsirlah daerah4 x+9 y≤ 36

Syarat x≥ 0dan y ≥ 0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak

dikuadran I ( x dan y positif )

Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi keempat syarat atau

daerah irisan dari penyelesaian keempat pertidaksamaan

VI. Pedoman Penilaian

Nilai (N) = Jumlah skor perolehan

Jumlah skor maxx100

Bukittinggi, November 2013

Mengetahui

Kepala SMA Guru mata pelajaran

NIP NIP


(RPP)




Jumlah Pertemuan : 1 Pertemuan ( 2 x 45’)

Standar Kompetensi


Kompetensi dasar

a. Merancang model matematika dari masalah program linear

Indikator Pencapaian Kompetensi

Mengenal masalah yang merupakan program linear

Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat mengenal masalah yang merupakan program linear

VII. Materi Ajar

Mengenal masalah yang merupakan program linear

Masalah yang diselesaikan menggunakan Program Linear biasanya adalah masalah

dalam kehidupan sehari-hari. Agar masalah dapat dipecahkan maka masalah harus

diterjemahkan kedalam bahasa matematika.

CONTOH:

Seorang ibu rumah tangga mempunyai 160 gram tepung beras dan 240 gram tepung

terigu untuk membuat dua jenis kue A dan B. Setiap kue A memerlukan 16 gram tepung

beras dan 20 gram tepung terigu, sedangkan setiap kue B memerlukan 12 gram tepung

beras dan 30 gram tepung terigu. Ia hendak membuat lebih dari 2 keping kue A dan

sekurang-kurangnya sekeping kue B. Dalam berapa carakah dua jenis tepung itu dapat

digunakan untuk membuat dua jenis kue tersebut ?

Jawab :

Analisis kasus :

Misalkan x = banyak kue A ; y = banyak kue B

Setiap kue A dan B memerlukan masing-masing 16 gram dan 12 gram tepung

beras. Tepung beras yang tersedia 160 gram.

Banyak tepung beras yang diperlukan untuk membuat kue A dan kue B adalah

(16x + 12y ) gram.

Karena tepung beras yang tersedia 160 gram, maka pertidaksamaan yang dapat

disusun adalah 16x + 12y ≤ 160

Setiap kue A dan B memerlukan masing-masing 20 gram dan 30 gram tepung

terigu. Tepung terigu yang tersedia 240 gram.

Banyak tepung terigu yang diperlukan untuk membuat kue A dan kue B adalah

(20x + 30y ) gram

Karena tepung terigu yang tersedia 240 gram, maka pertidaksamaan yang dapat

disusun adalah 20x + 30y ≤ 240

Ia berencana membuat lebih dari 2 keping kue A, maka x > 2

Ia berencana membuat sekurang-kurangnya satu keping kue B, maka y ≥ 1

VIII. Kegiatan pembelajaran

KegiatanWaktu

Guru Siswa

4. Kegiatan Awal

a. Guru menyuruh siswa memimpin

do’a

b. Guru memperhatikan kehadiran

siswa

Apersepsi

Guru mengingatkan siswa tentang

sistem pertidaksamaan linear dua

variabel

Motivasi

Guru menginformasikan tujuan

pembelajaran

4. Kegiatan Awal

a. Siswa memimpin do’a

b. Siswa memberikan respon

terhadap guru

Apersepsi

Siswa mengingat tentang sistem


variabel

Motivasi


pembelajaran

10menit

5. Kegiatan Inti

d. Eksplorasi

Guru mengajarkan siswa

tentang Mengenal masalah yang

merupakan program linear

e. Elaborasi


tentang Mengenal masalah yang


Guru membahas soal latihan

yang dianggap sulit oleh siswa

f. Konfirmasi

Guru bersama siswa

menyimpulkan hasil

pembahasan

5. Kegiatan Inti

d. Eksplorasi

Siswa memahami masalah yang

merupakan program linear.

e. Elaborasi


Mengenal masalah yang


Siswa mendengar pembahasan

soal latihan yang dianggap sulit

c. Konfirmasi

Guru bersama siswa

menyimpulkan hasil pembahasan

65menit

IX. Metode pembelajaran

E. Ekspositori

F. Tanya jawab

G. Diskusi

H. Penugasan

X. Sumber / Bahan Pembelajaran

Adinawan,cholik.Matematika Program Studi Ilmu Alam untuk SMA dan

MA Kelas XII.PT gelora aksaa pratama.2007:jakarta

XI. Penilaian

4. Jenis : tugas individu

5. Bentuk : uraian

6. Contoh instrumen

Soal :

1) Analisislah masalah berikut !

Seorang anak diharuskan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama

mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua

mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam sehari anak

membutuhkan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet

pertama Rp. 4 dan tablet kedua Rp.8, maka pengeluaran minimum untuk

pembelian tablet perhari adalah...

Kunci jawaban :

1) Analisis kasus :

Misalkan x = tablet 1 ; y = tablet 2

Tablet pertama mengandung 5 vitamin A, tablet kedua mengandung 10

vitamin A, sedangkan vitamin A tersedia sebanyak 20

Banyak vitamin A untuk membuat tablet pertama dan kedua adalah (5x +

10y)

Karena vitamin A yang tersedia 20,, maka pertidaksamaannya adalah : 5x +

10y ≤ 20

Tablet pertama mengandung 3 vitamin B, tablet kedua mengandung 1

vitamin B, sedangkan vitamin B tersedia sebanyak 5

Banyak vitamin B untuk membuat tablet pertama dan kedua adalah (3x + y)

Karena vitamin B yang tersedia 5,, maka pertidaksamaannya adalah : 3x + y

≤ 5

XII. Pedoman Penilaian

Nilai (N) = Jumlah skor perolehan

Jumlah skor maxx100


Mengetahui Guru Mata Pelajaran

Kepala SMA

NIP NIP


(RPP)




Jumlah Pertemuan : 1 Pertemuan ( 2 x 45’)

Standar Kompetensi


Kompetensi Dasar

2.3 menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

Indikator

2.3.1 menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian dari

program linear

2.3.2 menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian masalah

program linear.

Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai

penyelesaian dari program linear

Siswa dapat menyelesaikan model matematika dari masalah program linear

linear dan penafsirannya

I. Materi Ajar

Nilai optimum yang diperoleh dari suatu permasalahan program linear dapat berupa

nilai terbesar atau nilai terkecil. Hal yang akan menentukan nilai maksimum atau nilai

minimum adalah permasalahannya, yang dapat dicirikan dengan model kendalanya.

Untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dari sebuah sistem yang diketahui

ada 2 cara, yaitu dengan menggunakan:

a. Uji titik pojok

Pada metode uji titik pojok untuk mencari nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax +

by adalah dengan cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by pada tiap titik pojok

daerah himpunan penyelesainnya. Nilai-nilai f(x,y) = ax + by tersebut kita

bandingkan kemudian tetapkan:

Nilai terbesarnya sebagai nilai maksimum dari f(x,y) = ax + by

Nilai terkecilnya sebagai nilai minimum dari bentuk f(x,y) = ax + by

b. Garis selidik

Jika metode yang akan digunakan untuk mencari nilai optimum adalah garis

selidik ax + by = k maka ikuti aturan berikut ini:

Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X dititik (b,0) dan

memotong sumbu Y dititik (0,a)

Buatlah garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = ab

- Jika garis ax + by = kmax berada paling kanan dalam daerah himpunan

penyelesaian maka F = Kmax adalah nilai maksimum dari bentuk

objektif F = ax + by

- Jika garis ax + by = kmin berada paling kiri dalam daerah minimum

himpunan penyelesaian maka F = Kmin adalah nilai minimum dari

bentuk objektif F = ax + by

II. Kegiatan Pembelajaran

KegiatanWaktu

Guru Siswa

6. Kegiatan Awal

c. Guru menyuruh siswa memimpin

do’a

d. Guru memperhatikan kehadiran

siswa

Apersepsi

Mengaitkan materi yang

akan dipelajari dengan

mengulang materi

sebelumnya yang telah

6. Kegiatan Awal

c. Siswa memimpin do’a

d. Siswa memberikan respon

terhadap guru

Apersepsi

e. Siswa memberikan respon

terhadap guru

10menit

dipelajari.

Menanyakan kepada siswa

materi yang akan

diberikan guna melihat

apakah ada di pelajari oleh

siswa materi selanjutnya.

Motivasi

Apabila siswa telah

mengetahui gambaran dari

materi yang akan dipelajari

maka siswa akan mudah

paham memahami

konsepnya.

Motivasi


pembelajaran

7. Kegiatan Inti

Eksplorasi

Guru menjelaskan cara mencari

penyelesaian sistem

pertidaksamaan linear dengan

menentukan titik pojok dari

daerah fisibel menggunakan

daerah selidik. Dan bagaimana

penafsirannya.


untuk meningkatkan

pemahaman siswa terhadap

materi yang telah dipelajari.

(komunikatif)

Konfirmasi

Guru meminta siswa untuk

mengerjakan latihan di depan

kelas secara bergantian dan

7. Kegiatan Inti

Eksplorasi

f. Siswa mampu mengelola

informasi dari guru tentang

penjelasan dari guru dan materi

yang tidak dimengerti bertanya

jika ada

konfirmasi

Siswa diminta untuk

memberikan contoh yang lain

tentang sistem pertidaksamaan

65menit

langsung memerikasnya

Elaborasi

Guru menberikan latihan yang

menyangkut materi yang baru

dipelajari

linear dengan menentukan titik

pojok dari daerah fisibel /

menggunakan daerah selidik

Elaborasi


yang diberikan guru dengan

teman sebangku

8. Kegiatan Penutup

Guru bersama siswa

menyimpulkan hasil

pembahasan

Guru memberikan tugas kepada

siswa

8. Kegiatan Penutup

Siswa bersama guru

menyimpulkan hasil

pembahasan

Siswa mendapat tugas dari

guru

15menit

III. Metode Pembelajaran

1. Inkuiri

2. Tanya jawab

3. Penugasan

IV. Sumber Pembelajaran

Adinawan,cholik.Matematika Program Studi Ilmu Alam untuk SMA dan

MA Kelas XII.PT gelora aksaa pratama.2007:jakarta

V. Penilaian

Jenis : tugas individu

Bentuk: tes tertulis

Contoh Instrumen :

1. sebuah pabrik bubut kayu sebagai bahan dasar pembuat kursi, memproduksi

dua jenis kayu bubut, dengan menggunakan tiga jenis mesin yang berbeda.

Untuk memproduksi kayu bubut jenis I menggunakan mesin I selama 2 menit,

mesin II selama 3 menit, dan mesin III selama 4 menit. Untuk memproduksi

kayu bubut jenis II, menggunakan mesin I selama 6 menit, mesin II selama 4

menit, dan mesin, dan mesin III selama 3 menit. Tentukan keuntungan

maksimum yang diperoleh pabrik tersebut dalam 3 jam, jika keuntungan setiap

produk jenis I Rp. 2500 dan jenis II Rp. 3000.

Jawab:

Dengan tabel

Produk jenis I Produksi jenis

II

Mesin I 2’ 6’ 180’

Mesin II 3’ 4’ 180’

Mesin III 4’ 3’ 180’

Misalkan:

x = jenis I , y = jenis II, model matematikanya:

2x + 6y ≤ 180

3x + 4y ≤ 180

4x + 3y ≤ 180

x ≥ 0, y ≥ 0

60

45

30

45 60 90

Nilai titik pojoknya :

A (0, 30) à f = 2500 (0) + 3000 (0) = 90000

B (30,20) à f = 2500 (30) + 3000 (20) = 135000

C (45,0) à f = 2500 (45) + 3000 (0) = 112500

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh selama 3 jam adadlah Rp. 135000

dengan memperoleh 30 jenis I dan 20 jenis II

VI. Pedoman Penilaian

Nilai (N) = jumlah skor perolehan

jumlah skor max x 100


Mengetahui Guru Mata Pelajaran

Kepala SMA

NIP NIP


Nama Sekolah : SMA

Mata pelajaran : Matematika

Kelas/semester : XII/I

Jumlah pertemuan : 3 X 45’ (1x Pertemuan)

Pertemuan ke : ............................

A. Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi

dalam pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar : 3.1 menggunakan sifat-sifat dan operasi matrik untuk

menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi

lain.

C. Indikator :

3.1.1 Mengenal bentuk dan ciri matriks persegi

3.1.2 Mengetahui dan memahami notasi dan ordo matriks

3.1.3 Mengetahui jenis-jenis matriks

3.1.4 Mengetahui transpose suatu matriks

3.1.5 Menuliskan dan memahami informasi dalam bentuk matriks

D. Tujuan Pembelajaran :

1. Siswa dapat mengetahui apa itu matriks persegi

2. Siswa dapat mengetahui dan memahami notasi dan ordo matriks

3. Siswa dapat mengetahui jenis-jenis matriks

4. Siswa mengetahui transpose suatu matriks

5. Siswa bisa menuliskan informasi dalam bentuk matriks

E. Materi Ajar

1. Pengertian Matriks

Sebuah matriks didefenisikan sebagai susunan bilangan yang diatur dalam baris dan

kolom yang berbentuk persegi / persegi panjang dan diletakkan diantara dua kurung biasa

“( )” atau kurung siku “[ ]”.

a. Notasi matriks

Bilangan-bilangan yang tersusun dalam matriks disebut elemen (enti) matriks. Baris

sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (horizontal), sedangakan

kolom atau lajur sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal)

dalam matriks iu.

Letak sebuah elemen dalam sebuah matriks ditentukan berdasarkan baris dan kolom

dimana elemen itu terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j sebuah matriks A akan

dilambangkan dengan aij.

A

=(a 11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 )

baris

kolom

Suatu matriks lazimnya diberi notasi dengan huruf-huruf kapital misalnay: A, B, C, D,

.....,P, Q dst.

Bentuk umum suatu matriks:

A= (aij)

=( a11 a12 . . . a1n. .. . .. .. . . . .. .am 1 am2 . . amn )

Keterangan:

Bentuk aij menyatakan elemen a terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j sehingga:

a11 = elemen matriks baris ke-1 kolom ke – 1


a1n = elemen matriks baris ke-1 kolom ke – n


am1 = elemen matriks baris ke-m kolom ke – 1

b. Ordo matriks

Ordo sebuah matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom pada matriks

tersebut. Ordo sebuah matriks disebut juga ukuran sebuah matriks. Perhatikan dalam

menyatakan ordo sebuah matriks selalu didahului oleh banyaknya kolom. Sebuah matriks A

yang mempunyai m baris dan n kolom, maka ordonya adalah m x n dan dituliskan sebagai

Am× x.

c. Jenis-jenis matriks

1) Matriks persegi

Suatu matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyak kolom, disebut

matriks persegi. A= [2 95 7 ]

2) Matriks baris

Matriks yang hanya mempunyai satu baris saja disebut matriks baris. Ordo matriks

baris ditulis (1 x n ) dengan n > 1, dan n bilangan asli.

S1x2 = [1 12] Q1x4 = [ 4 5 6 13 ]

3) Matriks kolom

Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Ordo matriks

kolom ditulis (m x 1) dengan m ≥ 2, dan m∈ A.

4) Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen atau unsur di luar

diagonal utamanya adalah nol

A2x2 [7 00 −3]

5) Matriks identitas

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks identitas, apabila diagonal yang elemen-

elemen atau unsur-unsur diagonal utamanya bernilai 1 (satu). Perhatikan contoh

berikut:

I2x2 = [1 00 1]

6) Matriks nol

Dikatakan sebagai suatu matriks nol, apabila semua elemen atau unsurnya adalah nol.

A2x2 = [0 00 0]

7) Matriks simetris / setangkup

Matriks simetris adalah matriks persegi yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama

dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i.

A3x3 =

=(10 4 14 0 25 2 0 )

, dimana a21 = a12 =4, a32 = a23 =2

8) Matriks segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen diatas

diagonal utamanya bernilai nol atau elemen-elemen dibawah diagonal utamanya

bernilai nol.

A3x3 =

=(10 0 04 2 05 2 3 )

, disebut matriks segitiga bawah

A3x3 =

=(10 3 10 2 20 0 3 )

, disebut matriks segitiga atas.

d. Transpose suatu Matriks

Transpose dari suatu matriks Amxn dapat dibentuk dengan cara menukarkan baris

matriks A menjadi kolom matriks baru dan kolom matriks A menjadi baris matriks baru.

Matriks baru dinyatakan dengan lambang An× m' atau An× m

t .

A3× 1=[896]→ A1 ×3t =[ 8 9 6 ]

e. Kesamaan Dua Matriks

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A=B ), jika dan hanya jika kedua

matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletaknya sama. Karena

menggunakan ungkapan “jika dan hanya jika“ maka pengertian ini berlaku menurut dua arah,

yaitu:

1) Jika A=B maka haruslah ordo kedua matriks itu sama, dan elemen-elemen yang

seletak sama.

2) Jika dua buah matriks mempunyai ordo yang sama, elemen-elemen yang seletak juga

sama maka A=B.

F. Alokasi Waktu

Tatap Muka : 2 x 45 menit = 90 menit

Penugasan terstruktur : 30 menit

Kerja Mandiri tak terstruktur : 45 menit

G. Metode Pembelajaran

Ekspositiri dan model pembelajaran cooperatif tipe STAD

H. Kegiatan Pembelajaran

Langkah-langkah kegiatan pembelajaran:

Tahap

Kegiatan

Alokasi

WaktuGuru Siswa

Pendahuluan Kegiatan awal

- Guru mengucapkan salam dan

membimbing siswa untuk berdo’a

dan membaca al-Qur’an.

- Guru memeriksa kesiapan siswa

- Guru menyampaikan tujuan

pelajaran yang akan dicapai pada

pertemuan ini.

- Guru menyampaikan batasan

pelajaran.

- Berdo’a

- Siswa

memperhatikan

10’

Apersepsi: Guru mengingatkan

kembali materi yang telah dipelajari

sebelumnya dan mengaitkan dengan

materi yang akan dipelajari.

Memperhatikan

guru

Motivasi:

Menyampaikan manfaat dari materi

pembelajaran

Memperhatikan

guru

Kegiatan inti Guru meminta siswa duduk

berkelompok yang terdiri dari

4 – 5 orang perkelompok

Memperhatikan,

mendengarkan dan

melakukan perintah

guru

65’

Guru membagikan LKS

tentang integral tak tentiu dari

fungsi aljabar pada siswa


didiskusikan siswa

Mengerjakan

latihan

Mengerjakan

latihan dibawah

bimbingan guru

Beberapa siswa

mengerjakan

latihan kedepan

15

menit

Elaborasi

Memperhatikan

apa yang

disampaikan guru

Penutup Membimbing siswa membuat

kesimpulan.

Memberikan PR dirumah

/ beberapa soal untuk dirumah.

Meminta kepada siswa untuk

mempelajari materi pembelajaran

pada pertemuan berikutnya.

Menyimpulkan

materi dibawah

bimbingan guru

Mengerjakan PR

Memperhatikan

guru

15’

I. Penilaian

1. Jenis :

Tugas individu

Kuis

2. Bentuk:

Tes tertulis dalam uraian singkat

3. Contoh Instrumen :

1) Tentukan banyak kolom dan baris dari matriks berikut:

(1 0 02 2 01 3 3 )

Jawab: Adapun bentuknya sebagai berikut: (1 0 02 2 01 3 3 )

atau [1 0 02 2 01 3 3 ]

Banyaknya baris 3 bobot 4

sedangkan banyaknya kolom 3 bobot 4

sehingga ordo matiks adalah 3 x 3. Bobot 2

2) Dua matriks A dan matriks B dikatakan sama apabila ordonya sama dan elemen-

elemen yang seletak juga sama

A= (x+ y 5

4 x− y )dan B=

(5 54 1 )

. Tentukan x!

Jawab :

A=B ↔(x+ y 54 x− y )

= (5 54 1 )

bobot 3

↔ x+ y=5 bobot 1.5

↔ x− y=1 bobot 1.5

Eliminasi, sehingga:

↔ 2 x=6 bobot 3

↔ x=3 bobot 1


Satuan pendidikan : SMA




Pertemuan ke : .......................................



B. Kompetensi Dasar : 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matrik untuk

menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi

lain.

C. Indikator :

1.1.1 Melakukan operasi matriks dalam bentuk pemjumlahan matriks

1.1.2 Melakukan operasi matriks dalam bentuk pengurangan matriks

1.1.3 Melakukan operasi matriks dalam bentuk perkalian matriks

1.1.4 Melakukan operasi matriks dalam bentuk pembagian matriks

D. Tujuan Pembelajaran :

1. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk penjumlahan matriks

2. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk pengurangan matriks

3. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk perkalian matriks

4. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk pembagian matriks

E. Materi Ajar

1. Konsep

a. Penjumlahan matriks

Jika A dan B adalah dua buah matriks borordo ssama maka jumlah matriks A dan B

ditulis A + B adalah sebuah matriks baru C yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-

elemen matriks A dengan elemen-elemen B yang seletak. Penjumlahan matriks A dan B

terdefenisi hanya jika ordo A sama dengan ordo B.

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Komutatif, A + B = B + A

Asosiatif, (A + B )+ C = A + (B + C )

Sifat lawan, A + (-A )= 0

Identitas penjumlahan, A + 0 = A

b. Pengurangan matriks

Pengurangan matriks A dengan B adalah suatu matriks yang elemen-elemennya

diperoleh dengan cara mengurangkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang

bersesuaian (seletak), atau dapat pula diartikan sebagai menjumlahkan matriks A dengan

lawan (negatif) dari B, dituliskan : A – B = A + (-B). Pengurangan matriks A dan B

terdefenisi hanya jika ordo A sama dengan ordo B.

c. Perkalian Matriks

Misalkan A adalah suatu matriks berordo m ×n dengan elemen-elemen a ij dan k

adalah suatu bilangan real. Jika matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k

terhadap matriks A, ditulis C=kA , maka matriks C berordo m ×n dengan elemen-

elemen matriks C ditentukan oleh:

c ij=ka ij(untuk semua i dan j)

Sifat-sifat perkalian matriks:

( p+q ) A=pA+qA

p ( A+B )=pA+ pB

p (qA )=( pq ) A

1 A=A

(−1 ) A=−A

1. Perkalian matriks berordo 1 ×n terhadap matriks berordo n ×1

Defenisi:

Misalkan A adalah matriks baris berordo 1 ×n

A=(a11 , a12 , a13…, a1n)

Dan B adalah matriks kolom berordo n ×1

B=(b11

b21

b31

⋮bn1

)Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A terhadap B atau C=AB, maka

Matriks C berordo 1 ×1, dalam hal ini C adalah sebuah skalar.

Matriks C ditentukan oleh:

C=[a11 b11+a12b21+a13b31+…+a1 nbn 1 ].

F. Alokasi Waktu


Penugasan terstruktur : 60% x 80 menit = 48 menit


G. Metode pembelajaran

Ikuiri, tanya jawab, penugasan


Langkah-langkah kegiatan pembelajaran:

Tahap

Kegiatan

Alokasi

WaktuGuru Siswa




- Berdo’a 5 menit





pertemuan ini.


pelajaran.

- Siswa

memperhatikan





Memperhatikan

guru

8 menit

Motivasi:


pembelajaran

Memperhatikan

guru

5 menit

Kegiatan inti Eksplorasi:

Guru mengadakan Tanya jawab

dengan siswa untuk mengetahui

pengetahuan awal siswa terhadap

operasi matriks.

Guru menjelaskan bentuk operasi-

operasi matriks

Melibatkan peserta didik secara

aktif dalam setiap kegiatan

pembelajaran.

Memberikan contoh soal

Memperhatikan,

mendengarkan

dan mencatat yang

di jelaskan guru

45

menit

Elaborasi:

Memberikan latihan

Membimbing siswa dalam

mengerjakan latihan

Meminta beberapa siswa untuk

mengerjakan latihan kedepan kelas

Mengerjakan

latihan

Mengerjakan

latihan dibawah

bimbingan guru

Beberapa siswa

15

menit

mengerjakan

latihan kedepan

Konfirmasi:

Memberikan umpan balik positif

dan penguatan dalam bentuk lisan,

tulisan, isyarat, maupun hadiah

terhadap keberhasilan peserta

didik,

Memberikan konfirmasi terhadap

hasil eksplorasi dan elaborasi

peserta didik melalui berbagai

sumber.

memfasilitasi peserta didik

melakukan refleksi untuk

memperoleh pengalaman belajar

yang telah dilakukan.

Memperhatikan

apa yang

disampaikan guru

10

menit


kesimpulan.






Menyimpulkan

materi dibawah

bimbingan guru

Mengerjakan PR

Memperhatikan

guru

12

menit

I. Penilaian

1. Jenis :

Tugas individu

2. Bentuk:



1). Jika A = (−3 2

1 0 ), B =

(4 −12 5 )

dan C = (−2 −2

3 3 )a. Tentukan A + B

b. Tentukan A – C

c. Tentukan A . B

d. Tentukan B . C

Jawab:

a. A + B = (−3 21 0)+(4 −1

2 5 )=(1 13 5) bobot 2

b. A−C=(−3 21 0)−(−2 −2

3 3 )=(−1 4−2 −3) bobot 2

c. A . B=(−3 21 0) .(4 −1

2 4 )=( (−3 ) .4+2.2 (−3 ) (−1 )+2.41.4+0.4 1. (−1 )+0.4 ) bobot 3

¿(−8 114 −1)

d. B .C=(4 −12 5 ) .(−2 −2

3 3 )=(4. (−2 )+(−1 ) .3 ¿¿2 (−2 )+5.3¿ (−2 ) .2+5.3¿ )

¿( −8−3 −8−3−4+15 −4+15)

¿(−11 −1111 11 ) bobot 3

2). A= (1 52 3 )

. B= (5 54 1 )

. Carilah A + B dan A – B

Jawab:

a) A + B = (1 52 3 )

+ (5 54 1 )

= (1+5 5+52+4 3+1 )

bobot 5

= (6 106 4 )

b) A – B = (1 52 3 )

- (5 54 1 )

= (1−5 5−52−4 3−1 )

= (−4 0−2 2 )

bobot 5






Pertemuan ke : .......................................


dalam pemecahan masalah

B. Kompetensi Dasar : 3.1 menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk

menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

C. Indikator : 3.1.2 mengenal invers matriks persegi berordo 2

D. Tujuan Pembelajaran : 1. siswa bisa mengenal invers matriks persegi

E. Materi Ajar

1. Pengertian dua matriks saling invers

Jika A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yang sama sehingga AB = BA = I,

maka B merupakan invers dari A dan A merupakan invers dari B.

A = (1 11 2 )

B = ( 2 −1−1 1 )

, maka

AB = (1 11 2 )( 2 −1

−1 1 )=

(1 00 1 )

= 1

BA = ( 2 −1−1 1 )(1 1

1 2 )=

(1 00 1 )

=1

Terlihat bahwa AB=BA= 1. Hal ini berarti bahwa matriks B merupakan invers dari

matriks A, sebaliknay matriks A merupakan invers dari matriks B. Invers dari Matriks A

dituliskan A-1,sehingga diperoleh:

A.A-1 = A-1.A =1

Contoh:

1 . A= (1 52 3 )

. carilah A-1

Jawab:

A-1 =

17

( 3 −5−2 1 )

=

(37

−57

−27

17

)F. Alokasi Waktu




G. Metode pembelajaran

Ikuiri, tanya jawab, penugasan


Langkah-langkah kegiatan pembelajarannya sebagai berikut:

Tahap

Kegiatan

Alokasi

WaktuGuru Siswa








pertemuan ini.


pelajaran.

- Berdo’a

- Siswa

memperhatikan

10

menit





Memperhatikan

guru

Motivasi:


pembelajaran

Memperhatikan

guru

Kegiatan inti Eksplorasi:

Guru mengadakan Tanya jawab

dengan siswa untuk mengetahui

pengetahuan awal siswa terhadap

jenis-jenis operasi matriks.

Guru menjelaskan bentuk operasi-

operasi matriks

Melibatkan peserta didik secara

aktif dalam setiap kegiatan

pembelajaran.

Memberikan contoh soal

Memperhatikan,

mendengarkan

dan mencatat yang

di jelaskan guru

65

menit

Elaborasi:

Memberikan latihan

Membimbing siswa dalam

mengerjakan latihan

Meminta beberapa siswa untuk

mengerjakan latihan kedepan kelas

Mengerjakan

latihan

Mengerjakan

latihan dibawah

bimbingan guru

Beberapa siswa

mengerjakan

latihan kedepan

Konfirmasi:

Memberikan umpan balik positif

dan penguatan dalam bentuk lisan,

tulisan, isyarat, maupun hadiah

terhadap keberhasilan peserta

didik,

Memberikan konfirmasi terhadap

hasil eksplorasi dan elaborasi

peserta didik melalui berbagai

sumber.



memperoleh pengalaman belajar

yang telah dilakukan.

Memperhatikan

apa yang

disampaikan guru


kesimpulan.






Menyimpulkan

materi dibawah

bimbingan guru

Mengerjakan PR

Memperhatikan

guru

15

menit

I. Penilaian

1. Jenis :

Tugas individu

Kuis

2. Bentuk:



Tentukan A

-1, jika diketahui A =

(−3 21 0 )

Jawab:

A-1 = 1

det ( 0 −2−1 −3 )

= 1

−2 ( 0 −2−1 −3 )

= ( 0 1

12

32 )




Kelas/semester : XII / 1

Program :IPA

Jumlah pertemuan : 6 x 45 menit (2 x pertemuan)

A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks vektor dan transformasi dalam

pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar : Menentukan determinan dan invers dari matriks 2 x 2

C. Indikator :

Menentukan determinan dari matriks 2 x 2

Menentukan invers dari matriks 2 x 2

D. Tujuan pembelajaran

Siswa dapat menentukan determinan dari matriks 2 x 2

Siswa dapat menentukan invers dari matriks 2 x 2

E. Materi Ajar

1. Determinan Matriks 2 x 2

Secara sederhana, dapat dikatakan bahwa determinan suatu matrik 2x2 adalah

pengurangan dari hasil kali antara elemen-elemen diagonal utama dan diagonal

lainnya.

Misalkan matriks A = [a bc d ] yang dimaksud determinan dari matrik A

adalah :

Det A = ⌊A ⌋ = |a bc d| = ad – bc

2. Invens matriks 2x2

Beberapa langkah untuk invers dari suatu matrik :

Mempertukarkan elemen pada diagonal utama.

Mengubah tanda elemen-elemen pada diagonal utama.

Kalikan dengan super determinan matriks tersebut.

Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks

A = [a bc d ] maka invers dari matrik A = [ a ]-1 dapat ditulis dengan rumus :

A-1 = 1

det A [ a −b−c d ]=

1ad−bc [ a −b

−c d ]

1. Determinan matriks 2 x 2

1) Tentukanlah det A jika A = [1 23 4]

Jawab :

Det A = (1 x 4-2 x 3) = 4 – 6 = -2

2) Tentukanlah det B jika B = [5 76 9]

Jawab :

Det B = (5 x 9 – 6 x 7) = 45 – 42 = -2

2. Invers matriks 2 x 2

1) Jika diketahui matriks A = [2 13 5] maka tentukanlah A-1

Jawab :

A-1 = 1

ad−bc [ a −b−c d ]

= 1

2−5−1−3 [ 5 −1−3 2 ]

= 17

[ 5 −1−3 2 ]

= [ 5 /7 −1/7−37 2/7 ]

F. Alokasi Waktu





Metode yang digunakan adalah metode ekspositasi inkuisi

H. Kegiatan pembelajaran

TahapKegiatan Alokasi

waktuGuru Siswa


- Guru mengucapkan salam


untuk berdo’a dan

membaca al-Qur’an.

- Guru memeriksa kesiapan

siswa


pelajaran yang akan dicapai

pada pertemuan ini.

Guru menyampaikan

batasan pelajaran.

10 menit

Kegiatan Inti

Kegiatan

Penutup

Apersepsi

Mengingatkan kembali materi

yang lalu.

Motivasi

Apabila materi ini dapat

dikuasai dengan baik oleh

siswa, siswa dapat menjelaskan

konsep-konsep determinan

matriks 2x 2.

Eksplorasi

Guru menjelaskan

determinan matriks 2 x 2


soal tentang determinan

matriks 2 x 2

Guru memberikan soal

latihan kepada siswa

Elaborasi

Guru menyerahkan kegiatan

siswa atau memeriksa apakah

siswa mengerjakan latihan.

Konfirmasi

Guru meminta siswa

mengerjakan soal latihan di

depan kelas.

Guru meminta penegasan

terhadap apa yang dikerjakan

siswa.

Guru menyampaikan batasan

pelajaran. Guru meminta

salah seorang siswa untuk

menyimpulkan materi.


menanggapi apa yang

disampaikan oleh guru.

Siswa mencatat dan

menanggapi pernyataan

dari guru.

Siswa mengerjakan soal

latihan.

Siswa berdiskusi dengan

teman sebangkunya untuk

mengatasi kesulitan-

kesulitan mereka dalam

menelesaikan soal latihan.

65 menit

15 menit

Guru memberikan


untuk memahami materi yang

dipelajari tadi.

Guru memberikan Quis

diakhir pelajaran.

I. Penilaian

1. Jenis penilaian

Quis

2. Bentuk Penilaian

1) Tes tertulis dalam bentuk uraian

3. Contoh Instrumen

1. Determinan Matriks 2 x 2

1) Matriks A = [ 4 −6−5 8 ] adalah ………..

Jawab:

A = [ 4 −6−5 8 ]

= (8.4) - ((-6).(-5)) bobot 8

= 32 – 30 = 2 bobot 2

2) Jika F = [2 11 a ] dan det F = ∅ maka nilai a adalah ……..

Jawab:

F = [2 11 a ] = ¿ det F = [2 1

1 a ] bobot 8

9 = 2a – 1 bobot 1

a = 5 bobot 1

3) Diketahui C = [3 −1x 9 ] dan det c = s maka nilai x + 2 adalah ……

Jawab:

Det C = 27 + x nilai x + 2 = -32 + 2

-S = 27 + x = -30 bobot 5

X = -32 bobot 5

2. Invers

1) A-1 dari matriks A = [−7 12 5 ] adalah ………

Jawab:

A-1 ¿ 1det A

[ 5 −1−2 −7 ]

= - 7

37 [ 5 −1−2 −7 ] bobot 8

= [−5/37 1/372/37 737 ] bobot 2

2) Jika bc ≠ 0 , invers dari matriks [a bc 0] adalah ………...

Jawab:

M-1 = 1

det M [ 0 −b−c a ]

= - 7bc

[ 0 −b−c a ] bobot 10

3) Invers dari matriks [1 00 1] adalah ………

Jawab:

H-1 ¿ 1det H

[1 00 1]

= - 11

[1 00 1] bobot 8

= [1 00 1] bobot 2




Kelas/semester : XII / 1

Program : IPA

Jumlah pertemuan : 6 x 45 menit (2 x pertemuan)

A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan Transformasi


B. Kompetensi Dasar : Menggunakan konsep determinan dan invers dalam

menyelesaikan system persamaan linear dua variabel

Sistim persamaan dan dua variabel.

C. Indikator :

Menentukan persamaan matriks dan SPLDV.

Menentukan penyelesaian SPLDV dengan determinan.

Menylesaikan SPLDV dengan invens matriks


Siswa dapat menentukan persamaan matriks dan SPLDV.

Siswa dapat menentukan penyelesain SPLDV dengan

determinan.

Siswa dapat mnyelesaikan SPLDV dengan invens matriks.

E. Materi Ajar

1. Persamaan matrik dan SPLDV

Misalkan terdapat sistim persamaan linear dua variabel yaitu :

ax + by =d bentuk tersebut dapat diubah menjadi bentuk matriks

cx + gy = e

yaitu : [a bc g ] [ x

y ]= [de ]

2. Menyelesaikam SPLDV dengan determinan matriks

Misalkan terdapat SPLDV dengan persamaan sebagai berikut :

[a bc d ] [ x

y ]= [ pq ]

Berdasarkan prhitungan invens didapat nilai x dan y ditumjukkan oleh

persamaan sebagai berikut :

[ xy ] =

1ad−bc

[ d −b−c a ] [ p

q ]

= [ dp−bqad−bcaq−cpad−bc

] Dalam bebtuk yang terpisah diperoleh :

x = dp−bqad−bc

dan y = aq−cpad−bc

jika ditulis dalam bentuk matriks

x = [ p bq d]

[a bc d ]

dan y = [a pc q ][a bc d]

secara luas ditulis :

x = DxD

dan y = DyD

, dan D ≠ ∅

3. Menyelesaikan SPLDV dengan invens matriks

Misalka terdapat SPLDV dengan bentuk

ax + by = p

cx + dy = q

Langkah-langkah menentukan penyelesaian SPLDV tersebut dengan invens matriks

adalah :

1) Nyatakan SPLDV dalam bentuk matriks

[a bc d ] [ x

y ]= [ pq ]

2) Tentukan invers matriks A=[a bc d ] yaitu

1ad−bc

[ d −b−c a ]

A−1= Adj Adet A

3) Kalikan persamaan matriks pada langkah (7) dengan langkah (2) dari kiri

sebagi berikut :

[ xy ] =

1ad−bc

[ d −b−c a ] [ p

q ]

Dari langkah (3) ini didapat nilai x dan y

1. Menyelesaikan SPLDV dengan determinan matriks

1) Tentukanlah himpunan penyelesaian dari

2x – sy = 9

4x + 3y = 5

Dengan menggunakan metode determinan.

Jawab :

Dalam bentuk matriks SPLDV tersebut adalah :

Jawab :

Dalam bentuk matriks SPLDV tersebut adalah :

[2 −54 3 ] [ x

y ]= [gs ]

D = [2 −54 3 ] = 26 Dx = [9 −5

5 3 ] = S2 , DY = [2 94 5] = -26

X = DxD

= 5226

= 2 y = DyD

= −2626

= -1

Jadi : himpunan penyelesaiannya adalah : [ (2 ,−1 ) ]

2. Menyelesaikan SPLDV dengan invens matriks

1) Tentukan himpunan penyelesaian dari :

2x + 3y = 16

3x + 5y = 5

Dengan menggunakan invens matriks.

Jawab :

[2 33 −5 ] [ x

y ]= [165 ]

Invens dari [2 33 −5 ] adalah

119

[−5 −3−3 2 ]

[ xy ]= 1

19 [−5 −3−3 2 ][16

5 ]

= [ −95193819

] = [−52 ]

Jadi himpunan penyelesainnya adalah [ (−5 , 2 ) ]

F. Metode pembelajaran

Metode yang digunakan adalah metode ekspositasi.

G. Kegiatan pembelajaran

Tahap

Kegiatan

Alokasi

WaktuGuru Siswa








pertemuan ini.


pelajaran.

- Berdo’a

- Siswa

memperhatikan

10 menit





Memperhatikan guru

Motivasi: Memperhatikan guru


pembelajaran

Kegiatan inti 1) Eksplorasi

Guru menjelaskan tentang

penelesaian SPLDV dengan

invens matriks.

Guru memberikan kesempatan

untk siswa bertanya.

Guru memberikan soal latihan

kepada siswa.

2) Elaborasi

Guru mengecek pekerjaan

siswa.

Guru memberikan penguatan

kepada siswa.

3) Konfirmasi

Guru dan siswa membahas

soal latihan tersebut bersama-

sama.

Memperhatikan,

mendengarkan

dan mencatat yang di

jelaskan guru

65 menit


kesimpulan.






Menyimpulkan

materi dibawah

bimbingan guru

Mengerjakan PR

Memperhatikan guru

15 menit

H. Penilaian

1. Jenis penilaian

1) Quis

2. Bentuk Penilaian

1) Tes tertulis dalam bentuk uraian.

3. Contoh Instrumen

1. Penelesaian SPLDV dengan determinan matriks.

1) Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan

determinan matriks.

2x + 5y = 11

x + y = 4

Jawab:

[2 51 1] [ x

y ]= [114 ] bobot 1

D = [2 51 1] = -3 bobot 2

Dx = [11 54 1 ] = -9 , Dy = [2 11

1 4 ] = 3 bobot 5

X = DxD

= −9−3

= 3 y = DyD

= −33

= 1 bobot 2

Jadi : himpunan penyelesaiannya adalah : [ (3 , 1 ) ]

2) 4x – 5y = 22

3x + 3y = 15

Jawab:

[4 −53 3 ] [ x

y ]= [2215] bobot 1

D = [4 −53 3 ] = 27 bobot 2

Dx = [22 −515 3 ] = 141 , Dy = [4 15

3 5 ] = - 6 bobot 5

x = DxD

= 14127

, y = DyD

= −627

bobot 2

Jadi : himpunan penyelesaiannya adalah : [( 14127

,−627 )]

2. Penyelesaian invers SPLDV dengan invers matriks.

1) Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan

invers matriks.

2x + y = 12

3x – 2y = 25

Jawab:

[2 13 −2] [ x

y ]= [1225] bobot 2

[ xy ] = -

17

[−2 −1−3 2 ] [12

25] = - 17

[−4914 ]=¿ [72] bobot 8

2) 5x – 3y = 9

7x – 6y = 9

Jawab:

[5 −37 −2] [ x

y ]= [99] bobot 2

[ xy ] = -

19

[−6 3−7 5] [99] = -

19

[−27−18]=¿ [ 27

9189

] bobot 8

Rancangan Perencanaan Pembelajaran

Nama sekolah :

Kelas / semester :

Mata Pelajaran :

Pertemuan : I

A. Standar Kompetensi

Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar

1. Menggunakan sifat – sifat dan opersai aljabar vektor dalam pemecahan

masalah.

C. Indikator

1. Memahami vektor sebagai ruas garis berarah

2. Mengenal vektor satuan

3. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan

skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang geometri

D. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat memahami vektor sebagai ruas garis berarah

2. Siswa dapat mengenal vektor satuan

3. Siswa dapat menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali

vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang geometri

E. Materi Ajar

1. Pengertian besaran vektor dan besaran skalar

Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya memiliki nilai saja, tetapi

tidak mempunyai arah. Aljabar yang berlaku bagi besaran skalar adalah

aljabar bilangan real biasa.

Besaran vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai sekaligus arah,

dan didalamnya berlaku aljabar khusus yang dikenal sebagai aljabar vektor.

Suatu vektor dapat ditulis dengan notasi huruf kecil yang dicetak tebal,

misalnya : a,b,c,...,p,q,r,...,u,v,w,..., dan seterusnya. Atau dengan cara lain,

misalnya : a , b , c , …, dan seterusnya.

2. Aljabar vektor ditinjau dari sudut pandang geometri

αA

o

Vektor di R-2 Vektor di R-3

i. Vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada bidang

datar dinamakan sebagai vektor dibidang atau vektor di R-2,

sedangkan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak

pada ruang dinamakan dengan vektor di ruang atau vektor di R-3.

ii. Kesamaan dua vetor

Misalkan diketahui vektor a dan vektor b. Vektor a dikatakan sama

atau ekuivalen dengan vektor b ditulis (a=b),jika dan hanya jika :

Panjang vektor a sama dengan panjang vektor b

Arah vektor a sama dengan arah vektor b

iii. Penjumlahan dan pengurangan dua vektor

Penjumlahan dua vektor dapat dirumuskan menjadi c= a+b. Dan

vektor c disebut vektor resultan. Menjumlahkan vektor dapat

menggunakan aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Sifat – sifat

penjumlahan :

Sifat komutatif a+ b= b+a

Sifat asosiatif ( a+b )+ c=a+(b+ c)

Unsur identitas 0+ a= a+0=a

Dalam operasi penjumlahan vektor, setiap vektor mempunyai

lawan bagi vektor itu. Misal vektor a adalah lawan bagi vektor

b, maka berlaku sifat a+ b= 0

Pengurangan vektor a dengan vektor b ditentukan sebagai jumlah

vektor a dengan lawan dari vektor b, ditulis : a−b=a+(−b)

iv. Hasil kali skalar dengan vektor

P(x,y)

Hasil kali skalar m dengan vektor a, ditulis sebagai c=ma ditentukan

sebagai berikut:

Jika nilai m > 0, maka vektor c searah dengan vektor a

Jika nilai m < 0, maka vektor c berlawan arah dengan vektor a

3. Vektor di bidang ditinjau dari sudut pandang aljabar

i. Vektor basis dalam bidang

Bilangan – bilangan x dan y disebut komponen vektor r ,dan berpadanan

dengan koordinat titk P(x,y). Vektor i dan jdisebut sebagai vektor basis di

bidang atau di R-2 dalam arah sumbu X positif dan sumbu Y positif.

ii. Aljabar vektor dalam bidang

Misalkan diketahui vektor a=( xa

ya)dan vektor b=( xb

yb). Vektor a =

vektor b, jika dan hanya jika xa=xb dan ya= y b

Penjumlahan dua vektor di bidang :

c=( xa

ya)+( xb

yb)=( xa+xb

ya+ yb)

Pengurangan dua vektor dibidang ;

c=( xa

ya)−( xb

yb)=( xa−xb

ya− yb)

Hasil kali skalar dengan vektor di bidang :

R(x,y)

A

B

O

c=m( xa

ya)=(mxa

mya)

iii. Panjang vektor dalam bidang

Panjang ruas OR dapat ditentukan dengan : ¿=√x2+ y2

F. Alokasi waktu

1. TM : 2x45 menit guru menjelaskan materi

2. PT : 30 menit siswa mengerjakan latihan

3. KMTT : 45 menit siswa mengerjakan tugas dirumah


Ceramah, problem solving method


No Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Waktu

1 Pendahuluan Apresepsi :

siswa diberikan pengenalan

mengenai vektor dan

mengaitkan dengan kehidupan

sehari – hari

Motivasi :

menimbulkan minat siswa

untuk mempelajari tentang

Peserta didik

menyimak dan

memperhatikan

penjelasan guru

15 menit

vektor

2 Inti Eksplorasi :

peserta didik menerima

stimulus dari Guru tentang

vektor sebagai besaran yang

memiliki besar dan arah,

penentuan operasi aljabar

vektor : jumlah, selisih, hasil

kali vektor dengan skalar, dan

lawan suatu vektor pada sudut

pandang geometri.

Elaborasi :

guru memberikan contoh soal

kepada peserta didik mengenai

pemabahasan tentang vektor

satuan

Konfirmasi : guru menanyakan

tentang hal – hal yang belum

di mengerti oleh peserta didik

Peserta didik

menyimak dan

memperhatikan

penjelasan guru

Peserta didik

mengerjakan

contoh soal yang

diberikan guru

Peserta didik

menanyakan

materi yang tidak

di mengerti kepada

guru

60 menit

Penutup Guru menyuruh peserta didik

merangkum materi yang

diajarkan

Guru memberikan pekerjaan

rumah (PR) berkaitan dengan

materi yang diajarkan

Peserta didik

merangkum

materi yang

diberikan

Peserta didik

mencatat pekerjaan

rumah (PR) yang

diberikan

15 menit

I. Penilaian

Teknik : tugas individu

Bentuk instrumen : uraian singkat

Contoh instrumen :

Pada gambar dibawah digambarkan vektor u dan vektor v . Gambarlah secara

diagram vektor berikut ini :

o 2 u+v

Jawab :

o Mula – mula digambarkan terlebih dahulu vektor 2 u, (bobot 20)

kemudian vektor 2 u ini dijumlahkan dengan vektor v (bobot 20)

Secara diagram,vektor 2 u+v diperlihatkan pada gambar :

(bobot 60)

P(x,y,z)


Nama sekolah :

Kelas / semester :

Mata Pelajaran :

Pertemuan : II


1. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan

masalah.

B. Kompetensi Dasar

1. Menggunakan sifat – sifat dan opersai aljabar vektor dalam pemecahan

masalah.

C. Indikator

1. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan

skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang aljabar

2. Menerapkan rumus perbandingan vektor dan koordinat


1. Siswa dapat menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali

vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang aljabar

2. Siswa dapat menerapkan rumus perbandingan vektor dan koordinat

E. Materi Ajar

1. Vektor diruang ditinjau dari sudut pandang aljabar

i. Vektor basis dalam ruang

O

Bilangan-bilangan x, y,z disebut sebagai komponen vektor r. Vektor

i , j , k disebut sebagai vektor basis di ruang R-3 masing – masing

dalam arah sumbu X positif, sumbu Y positif, dan sumbu Z positif.

Cara penulisannya yaitu : vektor r=x i+ y j+z k.

ii. Aljabar vektor dalam ruang

Kesamaan dua vektor di ruang

Vektor a dan vektor b dikatakan sama jika dan hanya jika

xa=xb , ya= yb , za=zb

Penjumlahan dua vektor di ruang

c=( xa

ya

za)+( xb

yb

zb)=( xa+xb

ya+ yb

za+zb)

Pengurangan duaaa vektor di ruang

c=( xa

ya

za)−( xb

yb

zb)=( xa−xb

ya− yb

za−zb)

Hasil kali skalar dengan vektor di ruang

c=m( xa

ya

za)=( mxa

m ya

m za)

iii. Panjang vektor dalam ruang

Panjang atau besar vektor r ditentukan dengan rumus : ´r=√ x2+ y2+z2

2. Rumus perbandingan vektor dan koordinat

i. Rumus perbandingan vektor

Titik C terletak pada garis AB dengan perbandingan AC : AB = m : n

maka vektor posisi C ditentukan dengan rumus : c=m b+n am+n

ii. Rumus perbandingan koordinat

Misalkan titik A ( x1 , y1 ) dan titik B(x2 , y2). Titik C membagi ruas garis

AB dengan perbandingan m : n, maka koordinat C(x,y) ditentukan

dengan rumus : x=m x2+n x1

m+ndan y=

m y2+n y1

m+n

F. Alokasi waktu







no Kegiatan Guru Kegiatan Siswa waktu

1 Pendahuluan Apersepsi :

guru mengingatkan kembali

materi yang sebelumnya

Motivasi :

agar pesesta didik mengingat

kembali materi yang

diajarkan sebelumnya

Peserta didik

menyimak dan

memperhatikan Guru

15 menit

2 Inti Ekspolrasi :

guru menyuruh siswa

membaca materi tentang

Menentukan operasi aljabar

vektor : jumlah, selisih, hasil

kali vektor dengan skalar, dan

lawan suatu vektor pada sudut

pandang aljabar. Dan rumus

perbandingan vektor dan

koordinat

Elaborasi :

guru menanyakan materi yang

Peserta didik

membaca dan

memahami materi

yang sedang

dipelajari

Peserta didik

menyimak dan

memerhatikan

materi yang

dijelaskan oleh

guru

60 menit

tidak dipahami dan

menjelaskan materi yang

ditanyakan peserta didik.

Konfirmasi :

guru memberikan penekanan

pada materi yang ditanyakan

peserta didik

3 Penutup Guru menyuruh siswa

menyimpulkan materi

yang telah diajarkan

Guru memberikana

pekerjaan rumah (PR)

kepada siswa

Guru menyuruh siswa

untuk membaca materi

yang akan dipelajari pada

pertemuan selanjutnya

Siswa

menyimpulkan

materi yang telah

diajarkan

Siswa mencatat

pekerjaan rumah

(PR) yang

diberikan

Siswa melihat

materi yang akan

dipelajari pada

pertemuan

selanjutnya

15 menit

I. Teknik Penilaian

Teknik : Tugas individu


Contoh intrumen :

Diketahui titik A(3,-2) dan titik B (-1,5). Ruas garis berarah AB sebagai wakil vektor

p dan garis berarah BA sebagai wakil vektor q dalam bentuk vektor kolom.

Jawab :

A (3 ,−2 )⇒ xa=3 , ya=−2 dan B (1 ,−5 )⟹ xb=−1 , yb=5 (bobot 10)

p= AB=( xb−xa

yb− yb)=( (−1 )−3

5−(−2 ))=(−47 ) (bobot 40)

q=BA=( xb−xa

yb− yb)=(3−(−1 )

(−2 )−5)=( 4−7) (bobot 40)

Jadi, vektor p= AB = (−47 ) dan vektor q=BA= ( 4

−7). (bobot 10)


Nama sekolah :

Kelas / semester :

Mata Pelajaran :

Pertemuan : III


Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar

1. Menggunakan sifat – sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam

pemecahan masalah.

C. Indikator

1. Menghitung dan menggunakan sifat – sifat hasil kali skalar dua vektor


1. Siswa dapat menghitung hasil kali skalar dua vektor

E. Materi Ajar

1.Hasil kali skalar dua vektor

iii. Defenisi : misalkan diketahui vektor a dan vektor b hasil kali kedua

vektor tersebut ditentukan oleh hasil kali panjang vektor a, panjang

vektor b, dan kosinus sudut terkecil antara kedua vektor tersebut :

a . b=∥ a∥∥ b∥cosθ

iv. Hasil kali skalar dua vektor skalar dua vektor dalam bentuk vektor

kolom:

Di bidang : a . b=x1 x2+ y1 y2

Di ruang : a . b=x1 x2+ y1 y2+z1 z2

v. Tanda hasil kali skalar dua vektor

a . b> 0 maka cos θ > 0

a . b = 0 maka cos θ = 0 atau θ = 900

a . b< 0 maka cos θ < 0

a . b=∥ a∥∥ b∥ maka cos θ = 1

a . b=−∥ a∥∥ b∥ maka cos θ= -1

F. Alokasi waktu







No Kegiatan guru Kegiatan siswa Alokasi

waktu

1 Pendahuluan Apersepsi :

guru menyuruh siswa

mengumpulkan


yang diberikan pada

pertemuan

sebelumnya

guru mengingatkan

kembali pelajaran

sebelumnya

Motivasi :

Agar peserta didik dapat

menentukan hasil kali

skalar dua vektor

dibidang dan ruang,

menjelaskan sifat-sifat

perkalian skalar dua

vektor

siswa mengumpulkan

tugas yang diberikan

pada pertemuan

sebelumnya

siswa memperhatikan

penjelasan guru

20 menit

2 inti Eksplorasi : Peserta didik 60 menit

guru memberikan

materi tentang

menghitung dan

menggunakan sifat –

sifat hasil kali skalar

dua vektor

guru memberikan

contoh – contoh soal

untuk dikerjakan

peserta didik

Elaborasi :

guru menjelaskan

materi tentang

menghitung dan

menggunakan sifat –

sifat hasil kali skalar

dua vektor kepada

peserta didik

konfirmasi :

Guru menekankan

kembali materi yang

kurang dipahami

peserta didik

membahas materi

yang diberikan guru

Peserta didik

mengerjakan contoh

soal yang diberikan

guru

Peserta didik

memperhatikan

penjelasan guru

3 Penutup Peserta didik

didingatkan untuk

mempelajari materi

berikutnya yaitu tentang

menghitung sudut

antara dua vektor

Peserta didik menyimak

apa yang dikatakan

guru

10 menit

I. Teknik Penilaian

Teknik : tugas individu, kuis.


Contoh instrumen :

Diketahui vektor a dan vektor b membentuk sudut 600. Panjang vektor a adalah |a| =

4 satuan dan panjang vektor |b| = 5 satuan. Tentukan :

a. Nilai dari a .( a+b) !

b. Nilai dari b .( a+b) !

Jawab :

Dengan menggunakan sifat distributif kiri pada hasil kali skalar dua vektor, maka diperoleh :

a) a . (a+ b )=a . a+ a. b

= |a||a|cos 00+|a||b|cos 600

= (4 x 4 x 1) +( 4 x 5 x 12

) (bobot 50)

= 16 + 10

=26

b) b . (a+ b )=b . a+b . b

= |b||a|cos 600+|b||b|cos00

= (5 x 4 x 12

) + 5 x 5 x 1 (bobot 50)

= 10 + 25

= 35


Nama sekolah :

Kelas / semester :

Mata Pelajaran :

Pertemuan : IV


1. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan

masalah.

B. Kompetensi Dasar

1. Menggunakan sifat – sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam

pemecahan masalah.

C. Indikator

1. Menghitung sudut antara dua vektor

2. Menentukan vektor proyeksi dan panjang proyeksinya


1. Siswa dapat menghitung sudut antara dua vektor

2. Siswa dapat menentukan vektor proyeksi dan panjang proyeksinya

E. Materi ajar

1. Sudut antara dua vektor

cosθ=x1 x2+ y1 y2

√x12+ y1

2 √x22+ y2

2

2. Vektor proyeksi dan panjang proyeksi

i. Proyeksi skalar ortogonal : ∥c ∥= a . b∥ b∥

ii. Proyeksi vektor ortogonal : c=( a . b

∥ b∥2 ) b

F. Alokasi waktu





Ceramah, problem solving method, diskusi


No Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Alokasi

Waktu

1 pendahulua

n

Apresepsi :

Guru mengigatkan kembali materi

pembelajaran sebelumnya

Motivasi :

Agar peserta didik dapat

menyelesaikan soal – soal kuis

yang berkaitan dengan materi

sebelumnya

Peserta didik

menjawab

pertanyaan guru

tentang

pembelajaran

sebelumnya

15 menit

inti Eksplorasi :

Guru menyuruh peserta didik

membentuk anggota kelompok

untuk melakukan diskusi

Elaborasi :

Guru memberikan lembaran kerja

sisiwa untuk didiskusikan

Konfirmasi :

Guru menjelaskan tentang hal –

hal yang belum dipahami siswa

Peserta didik

membentuk

anggota

kelompok

Peserta didik

mendiskusikan

lembaran kerja

siswa yang

diberikan

Peserta didik

memperhatikan

keterangan guru

60 menit

penutup Guru memberikan kuis tentang

materi yang didiskusikan peserta

Peserta didik

mengerjakan kuis

15 menit

didik yang diberikan guru

I. Teknik penilaian

Teknik : tugas individu, kuis

Bentuk intrumen : uraian singkat

Contoh instrumen :

Diketahui vektor a=(21) dan vektor b=(3

4) adalah vektor – vektor dibidang yang

disajikan dalam bentuk vektor kolom.

a. Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b !

b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b !

Jawab :

a. Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada arah vektor b, ditentukan oleh :

|c|= a . b

|b|=2 ×3+1× 4

√¿¿¿ (bobot 50)

Jadi, Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada arah vektor b adalah |c|=2.

b. proyeksi vektor ortogonal vektor a pada arah vektor b, ditentukan oleh :

c=( a . b

|b| )b=¿ (bobot 50)

Jadi, proyeksi vektor ortogonal vektor a pada arah vektor b adalah c=25 (34)


(RPP 1)

Nama Sekolah : SMAN 1


Kelas / Program : XII / IPA

Semester : Ganjil

A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan

transformasi dalam pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar : Menggunakan transformasi geometri yang dapat

dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.

C. Indikator:

C.1 memahami tentang transformasi geometri pada bidang.

C.2 memahami translasi geometri geometri

pada bidang.


a. Peserta didik dapat mengenal tentang transformasi geometri pada

bidang.

a. Peserta didik dapat memahami translasi pada transformasi geometri .

E. Materi Ajar

a. Arti geometri dari suatu transformasi di bidang

Transformasi digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada

sebuah bidang dari suatu tempat ke tempat yang lain. Transfomasi T pada suatu

bidang memetakan titik P pada bidang menjadi P ' di tempat lain pada bidang

tersebut. Titik P ' disebut bayangan titik P sebagai hasil transformasi T.

Jenis-jenis transformasi geometri :

1. Translasi

2. Rotasi

3. Refleksi

4. Dilatasi

Translasi adalah perpindahan setiap titik pada bidang dengan jarak

dan arah tertentu, Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik

pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin

(Pencerminan), Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik pada

bidang dengan perputaran yang ditentukan oleh pusat rotasi, besar

sudut rotasi dan arah sudut rotasi, dan Dilatasi adalah suatu

transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa merubah

bentuk bangun itu. Suatu dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan

faktor skala dilatasi.

Transformasi di bidang dapat diartikan sebagai perubahan letak

atau perubahan bentuk dari suatu bangun geometri yang lain.

Transformasi isometri bahwa bayangan sama atau sebangun dengan

bangun geometri semula dan dalam transformasi isometri besaran jarak

merupakn besaran yang tidak berubah atau invarian

b. Translasi

Translasi dan Operasinya.

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat

A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) .

Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis

lurus dengan arah dan jarak tertentu.

Jika translasi memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’

= x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis

dalam bentuk :

Keterangan:

· a dan b masing-masing disebut sebagai komponen translasi

· a menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu X

Ø Jika a > 0, maka arah pergeserannya adalah a satuan ke kanan

Ø Jika a < 0, maka arah pergeserannya adalah |a| satuan ke kiri

· b menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu Y

Ø Jika b > 0, maka arah pergeserannya adalah b satuan ke atas

Ø Jika b < 0, maka arah pergeserannya adalah |b| satuan ke bawah

F. Alokasi waktu

TM : 2 x 45 guru memberikan materi.

PT : 20’ siswa membuat latihan.

KMTT : 45’ siswa mengerjakan tugas di rumah.

G. METODE PEMBELAJARAN

CTL


KEGIATAN GURU KEGIATAN SISWA WAKTU

Pendahu

luan

-guru mengucapkan salam.

-guru mengecek kehadiran

siswa.

-apersepsi

Guru meningkatkan kembali

materi

-motivasi

Guru memberikan motivasi

kepada siswa

-tujuan

Guru memberikan tujuan

pembelajaran kepada

siswatentang manfaat

pelajaran transformasi dalam

kehidupan.

Siswa menjawab

salam.

Siswa

memperhatikan

dan mendengarkan

penyampaian guru.

15’

Kegiata

n inti

-Eksplorasi

Guru memfasilitasi siswa agar

terjadi interaksi siswa dengan

guru.

Guru menjelaskan materi

Siswa

memperhatikan

70’

transformasi dan translasi pada

bidang.

Guru membagi siswa dalam

setiap kelompok mendapat

nomor.

Guru memberikan tugas dan

masing- masing kelompok

mengerjakan tugas yang di

berikan guru tentang

transformasi dan translasi yang

berkaitan dengan kehidupan.

Kelompok mendiskusikan

jawaban yang benar dan

memastikan setiap anggota

kelompok mengerti dan dapat

mengerjakannya.

Elaborasi

Guru memberikan lembar soal

agar di kerjakan dalam

kelompok dan guru

membimbing kelompok agar

meinspirasikan pemikranya

dalam memecahkan masalah.

-Konfirmasi

Guru memanggil salah satu

nomor kelompok agar dapat

melaporkan hasil kerjanya.

Guru memberikan penekanan

terhadap pekerjaan siswa atau

membahas jawaban yang di

anggap sulit.

Guru memberikan kesempatan

kepada siswa untuk bertanya

tentang yang tidak dimengerti.

Penutup Guru bersama siswa

meyimpulkan pelajaran. Guru

memberikan pekerjaan rumah

untuk di kerjakan sebagai

pengambilan nilai.

Guru memberikan informasi

materi selanjutnya.

15’

I.PENILAIAN

I.1 TEKNIK PELAJARAN

Tes tertulis dan tes penugasan

I.2 BENTUK INSTRUMEN

Tes uraian

I.3 CONTOH INSTRUMEN

Sebuah garis dengan koordinat A(10,10) dan B(15,30) ditranslasikan

dengan translation vector (10,20).

Jawab :

Titik A : Xai = Xa + Tx = 10+10 = 20

Yai = Ya + Ty = 10+20 = 30

Hasil translasi titik A = (20,30)

Titik B : Xbi = Xb + Tx = 15+10 = 25

Ybi = Yb + Ty = 30+20 = 50

Hasil translasi titik B = (25,50).

J. Alat dan Sumber Belajar Sumber :

- Buku paket, yaitu buku Matematika SMA ERLANGGA Kelas XII Semester

Ganjil Jilid 3A, Prog. IPS karangan SSUGIYONO, dkk, hal. 179-185

- Buku referensi lain.

Alat :

- Laptop – LCD

Kepala sekolah guru matematika

( ) ( )


(RPP 2)

Nama Sekolah : SMAN 1



Semester : Ganjil

A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor,

dan transformasi dalam pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar : Menggunakan transformasi geometri yang dapat

dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.

C. Indikator

1. memahami persamaan transformasi rotasi pada bidang.

2. Menentukan persamaan transformasi rotasi pada bidang, matriks

rotasinya dan hasil rotasi dari suatu titik atau bangun.

D. Tujuan pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan transformasi tentang rotasi pada bidang.

2. Siswa dapat menentukan persamaan transformasi rotasi pada bidang

dan matrik rotasi pada bidang.

E. Materi ajar

Rotasi ( Perputaran )

Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang

ketitik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Titik pusat rotasi

adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk

menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik pusat dapat berada di dalam,

pada, atau di luar bangun geometri yang hendak dirotasi.

Arah rotasi disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan

dengan arah jarum jam, maka rotasi bernilai positif, sedangkan jika perputaran

searah jarum jam, maka rotasi bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi

menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan

terhadap satu kali putaran penuh (360°) atau besar sudut dalam ukuran derajat

atau radian.

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat O (0,0) sebesar θ

adalah P’(x’ ,y’ ) dengan:

X’ = x cos θ – y sin θ

Y’ = x sin θ + y cos θ

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat A (a,b) sebesar θ

adalah P’(x’ , y’) dengan:

X’ – a = (x-a) cos θ – (y-b) sin θ

Y’ – a = (x-a) sin θ + (y-b) cos θ

0

Y

X(x, y)

(–y, x)90

0

Y

X(x, y)

(y, –x)

–90

R[O, ] R[O, 90] R[O, –90]

(x 'y ')=(cosθ −sin θ

sinθ cosθ )(xy ) (x '

y ')=(0 −11 0 )(x

y) (x 'y ')=( 0 1

−1 0 )(xy)

dibalik depan

dinegasi

dibalik belakang

dinegasi

Rotasi Rumus Matriks

Rotasi

dengan

pusat

(0,0)

dan

sudut

putar α

A ( x , y ) R (0 , α ) A ' (x ', y ' )dengan x '=xcos α− y sin α

y '=x sin α+ y cos α

(x 'y ')=(cosα −sin α

sin α cosα )(xy )

Rotasi

dengan

pusat

P(a,b)

dan

sudut

putar α

A ( x , y ) R ( P , α ) A ' ( x ', y ' )dengan x '−a= (x−a ) cosα−( y−b ) sin α

y '−b=( x−a )sin α+( y−b ) cosα

(x 'y ')=(cosα −sin α

sin α cosα )(x−ay−b)+(ab )

F. Alokasi waktu




G. Metode pelajaran

Tanya jawab, peragaan, diskusi, pekerjaan kelompok dan individual


Kegiatan guru Kegiatan

siswa

waktu

pendahuluan Guru mengucapkan

salam dan

mengabsen siswa

1. Apersepsi

• Membahas PR

dari pertemuan

sebelumnya.

• Mengingat

kembali materi

pertemuan

sebelumnya.

• Menyampaikan

kegunaan materi

yang akan dipelajari

dalam ke-

hidupan sehari-hari

(khususnya yang

berkaitan dengan

kompetensi

dasar).

2. Pemberian

motivasi:

• Memberikan

contoh-contoh hal-

hal yang berkaitan

dengan trans-

formasi dalam

kehidupan sehari-

hari.

Kegiatan inti Eksporasi

Dengan tanya jawab

guru menjelaskan

arti geometri dari

suatu trans-

formasi di bidang.

2. Dengan tanya

jawab guru

menjelaskan

bagaimana

menentukan persa-

maan transformasi

translasi pada

bidang dan hasil

translasi suatu titik

atau bangun.

elaborasi

3. Secara

berkelompok siswa

membahas soal tes

kemampuan dan

me-

ngumpulkan

hasilnya (selama

diskusi berlangsung

guru memantau

kerja siswa dan

mengarahkan siswa

yang mengalami

kesulitan).

konfirmasi

4. Meminta

beberapa

perwakilan

kelompok untuk

mempresentasikan

hasil

diskusinya,

sedangkan

kelompok lain

memberikan

tanggapan (guru

memandu diskusi

dan merumuskan

jawaban yang

benar).

Penututp Membimbing siswa

untuk merangkum

materi yang baru

saja dipelajari.

Guru memberi

pekerjaan rumah

(PR).

I.Penilaian

1. Teknik pelajaran

Tes tertulis dan uraian

2. Bentuk instrumen

Tes uraian

3. Contoh instrumen

a. Tentukan bayangan dari titik P (2,1) jika dirotasikan terhadap :

1. R=[O , 30o ]2. R=[O ,−30o ]

Jawab :

1. x '=2 cos30o−1sin 30o=2 .12

√3−1.12=√3−1

2

y '=2 sin 30o+1 cos30o=2 .12−1.

12

√3=1+12

√3

Jadi bayangan titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O , 30o ] adalah

P' (√3−12

, 1+ 12√3)

2. x '=2 cos (−30o )−1sin (−30o )=2 .12√3+1.

12=√3+ 1

2

y '=2 sin(−30o¿)+1cos (−30¿¿ o¿)=−2 .12−1.

12

√3=−1+ 12√3¿¿¿

Jadi bayangan dari titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O ,−30o ] adalah

P' (√3+ 12

,−1+ 12√3)

b. Tentukan bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat

M (1,1) sejauh 90o.

Jawab :

Karena ( x , y )=(3,3 )dan (a , b )=(1,1 ) maka

x '−1=(3−1 ) cos90o−(3−1 ) sin 90o=2 . 0−2.1=0−2=−2

x '=−2+1=−1

y '−1=(3−1)sin 90o+(3−1)cos90o=2 .1−0=2

y '=2+1=3

Jadi bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1)

adalah P' (−1,3 )

J. Alat dan Sumber Belajar Sumber :

- Buku paket, buku Matematika SMA ERLANGGA Kelas XII Semester Ganjil

Jilid 3A, Prog. IPS karangan SSUGIYONO, dkk, hal. 179-185


Alat :

- Laptop – LCC

Kepala sekolah guru matematika

( ) ( )


(RPP 3)

Nama Sekolah : ………………………..


Kelas : XII (Dua Belas) / IPA

Semester : Ganjil

A. Standar Kompetensi: Menggunakan konsep matriks, vektor,

dan transformasi dalam pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar: Menggunakan transformasi geometri yang

dapat Dinyatakan dalam matriks dalam pemecahan masalah.

C. Indikator

1. Melakukan operasi jenis transformasi refleksi (pencerminan)

2. Menentukan persamaan matriks dari transformasi refleksi pada

bidang

3. Menentukan hasil ( bayangan) oleh tranformasi refleksi


1. Peserta didik dapat menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi

(refleksi) di bidang.

2. Peserta didik dapat menentukan persamaan transformasi refleksi pada

bidang serta aturan dan matriks refleksinya.

E. Materi ajar

Refleksi

Gambar di atas:

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’

Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik

bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.

Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik

ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9),

B2(-3, 3), C2(-6, 3)

terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9),

B3(3, -3), C3(6, -3)

terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9),

B4(-3, -3), C4(-6, -3)

http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/09/TG5.jpg

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7,

9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)

terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -

7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:



terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6),

Q2(1, 6), R2(1, 10)

terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -

6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Refleksi atau pencerminan merupakan suatu transformasi yang mencerminkan

suatu objek.

Refleksi Rumus Matriks

Refleksi

terhadap

sumbu-x

A ( x , y ) sb . x A ' ( x ,− y ) (x 'y ')=(1 0

0 −1 )(xy)

Refleksi

terhadap

sumbu-y

A ( x , y ) sb . y A ' (−x , y ) (x 'y ')=(−1 0

0 1 )(xy)

Refleksi

terhadap

garis y=x

A ( x , y ) y=x A ' ( y , x ) (x 'y ')=(0 1

1 0 )( xy )

Refleksi

terhadap

garis y=-x

A ( x , y ) y=−x A ' ( y ,−x ) (x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(xy )

Refleksi

terhadap

garis x=k

A ( x , y ) x=k A ' (2 k−x , y )

Refleksi

terhadap

garis y=k

A ( x , y ) y=k A ' ( x , 2k− y )

Refleksi

terhadap

titik (p,q)

A ( x , y ) ( p ,q ) A ' (x ', y ' )

Sama dengan rotasi pusat

(x '−py '−q )=(cos180 ° −sin 180 °

sin 180 ° cos180 ° )(x−py−q )

(p,q) sejauh 180˚

Refleksi

terhadap

titik pusat

(0,0)

A ( x , y ) ( 0,0 ) A ' (−x ,− y ) (x 'y ')=(−1 0

0 −1 )(xy )

Refleksi

terhadap

garis

y=mx, m=

tan α

A ( x , y ) y=mx A ' ( x ', y ' )dengan x '=xcos2 α + y sin2 α

y '=x sin 2 α− y cos2 α

(x 'y ')=(cos2α sin 2 α

sin2 α −cos2 α )(xy )

Refleksi

terhadap

garis

y=x+k

A ( x , y ) y=x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '= y−k

y '=x+k

(x 'y ')=(0 1

1 0 )( xy−k )+(0k )

Refleksi

terhadap

garis y=-

x+k

A ( x , y ) y=−x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '=− y+k

y '=−x+k

(x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )( xy−k )+(0k )

Sifat-sifat refleksi

a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas,

artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan

translasi (pergeseran) dengan sifat:

Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua

sumbu pencerminan.

Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu

pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat

tidak komutatif.

c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus,

menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong

dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling

tegak lurus bersifat komutatif.

d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan

akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu

pencerminan.

Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu

kedua.

F. Alokasi waktu




G. Metode pelajaran

Diskusi, tanya jawab, ceramah, dan pemberian tugas.


Kegiatan guru Kegiatan siswa wakt

u

Pendahul

uan

Guru mengucapkan salam.

Guru mengabsen siswa.

Apersepsi : Mengingat kembali

mengenai persamaan garis.

Motivasi :

Apabila materi ini dikuasai dengan

baik, maka peserta didik

diharapkan dapat menggunakan

transformasi geometri yang dapat

dinyatakan dengan matriks dalam

pemecahan masalah.

Tujuan

Siswa dapat menerapkan dalam

kehidupannya.

Kegiatan

inti

Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi, guru:

peserta didik diberikan

stimulus berupa pemberian

masalah realistik mengenai

materi transformasi refleksi,

kemudian antara peserta didik

dan guru mendiskusikan

masalah tersebut (Bahan:

buku paket, yaitu buku

Matematika Kelas XII

Semester 1 mengenai

transformasi geometri untuk

pembahasan materi refleksi).

peserta didik

mengomunikasikan secara

lisan mengenai analisis

masalah refleksi

(pencerminan) menggunakan

beragam pendekatan

pembelajaran, media

pembelajaran, dan sumber

belajar lain.

memfasilitasi terjadinya

interaksi antar peserta didik

serta antara peserta didik

dengan guru, lingkungan, dan

sumber belajar lainnya.

melibatkan peserta didik

secara aktif dalam setiap

kegiatan pembelajaran.

Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi, guru:

peserta didik

mengkomunikasikan secara

lisan atau mempresentasikan

mengenai arti geometri dari

suatu transformasi refleksi di

bidang dan cara menentukan

hasil refleksi pada bidang

beserta aturan dan matriks

transformasinya.


melalui pemberian latihan,

diskusi, dan lain-lain untuk

memunculkan gagasan baru

baik secara lisan maupun

tertulis..


dalam pembelajaran

kooperatif dan kolaboratif.


berkompetisi secara sehat

untuk meningkatkan prestasi

belajar;


untuk menyajikan hasil kerja

kelompok;

peserta didik mengerjakan

beberapa soal dari Lembar

Kerja yang telah disiapkan

oleh guru mengenai

penentuan bayangan karena

suatu pencerminan pada

bidang serta aturannya dan

matriks yang bersesuaian

dengan pencerminan,

kemudian peserta didik dan

guru secara bersama-sama

membahas beberapa jawaban

soal tersebut.

Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, guru:

memberikan umpan balik

positif dan penguatan dalam

bentuk lisan, tulisan, isyarat,

maupun hadiah terhadap

keberhasilan peserta didik,

memberikan konfirmasi

terhadap hasil eksplorasi dan

elaborasi peserta didik melalui

berbagai sumber,



memperoleh pengalaman

belajar yang telah dilakukan,


untuk memperoleh

pengalaman yang bermakna

dalam mencapai kompetensi

dasar:

berfungsi sebagai narasumber

dan fasilitator dalam

menjawab pertanyaan peserta

didik yang menghadapi

kesulitan, dengan

menggunakan bahasa yang

baku dan benar,

membantu menyelesaikan

masalah,

memberi acuan agar peserta

didik dapat melakukan

pengecekan hasil eksplorasi,

memberi informasi untuk

bereksplorasi lebih jauh,

memberikan motivasi kepada

peserta didik yang kurang

atau belum berpartisipasi

aktif.

Penutup Dalam kegiatan penutup, guru:

menunjuk beberapa siswa

untuk mengutarakan secara

lisan mengenai apa yang

telah dipelajari,

melakukan penilaian dan

refleksi terhadap kegiatan

yang sudah dilaksanakan

secara konsisten dan

terprogram,


terhadap proses dan hasil

pembelajaran,

memberi tugas secara

individu.

Peserta didik diingatkan untuk

mempelajari materi

berikutnya

I. Penilaian

1. Teknik pelajaran


2. Bentuk instrumen

Tes uraian

3. Contoh instrumen

Tentukan bayangan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10jika dicerminkan terhadap

garis y=− x .

Jawab:

Persamaan dari pencerminan terhadap garis y=− x adalah x '=− ydan

y '=−x

Subtitusikan −x '= ydan − y '=x ke persamaan x2+ y2−4 x+6 y=10maka

diperoleh

(− y ' )2+(−x ' )2−4 (− y ' )+6 (−x ' )=10

( y ' )2+( x ' )2+4 ( y' )−6 ( x ' )=10

Jadi bayangan dari persamaan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10 adalah

( y )2+( x )2+4 ( y )−6 ( x )=10

Koordinat titik A dan B berturut-turut adalah (-2, 2) dan (1, 4). Garis yang

menghubungkan A dan B direfleksikan terhadap sumbu x untuk

mendapatkan A’ dan B’. Kemudian A’B’ direfleksikan terhadap garis x= 3

untuk memperoleh A” dan B”. Tentukan koordinat A’, B’, A’, dan B’.

Jawab :

A (−2,2 ) A ' (−2 ,−2 ) A' ' (2.3−(−2) ,−2 )

B (1,4 ) B ' (1 ,−4 ) B' ' (2.3−1 ,−4 )

A' ' (2.3−(−2) ,−2 )=A' ' (6+2 ,−2 )=A ' ' (8 ,−2 )

B' ' (2.3−1 ,−4 )=B' ' (6−1 ,−4 )=B' ' (5 ,−4 )

J. Alat dan Sumber Belajar

Sumber :

- Buku paket, yaitu buku Matematika Kelas XII Semester 1, .


- Lembar Kerja Siswa

Alat :

Laptop

LCD

Cermin

KEPALA SEKOLAH GURU MATEMATIKA

x = 3Sb. x

x = 3Sb. x

( ) ( )


(RPP 4)

Nama Sekolah : ………………………..


Kelas : XII (Dua Belas) / IPA

Semester : Ganjil


Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

masalah.

B. Kompetensi Dasar

Menggunakan transformasi geometri yang dapat Dinyatakan dalam matriks


C. Indikator

1. Melakukan operasi jenis transformasi dilatasi

2. Menentukan persamaan matriks dari transformasi dilatasi pada bidang

3. Menentukan hasil ( bayangan) oleh tranformasi dilatasi.


1. Peserta didik dapat menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi dilatasi

di bidang.

2. Peserta didik dapat menentukan persamaan transformasi dilatasi pada bidang

serta aturan dan matriks dilatasinya.

E. Materi Ajar

Dilatasi

Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor

skala (pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun

akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut.

Gambar 6.

Perhatikan lingkaran pada Gambar dibawah yang berpusat di titik P(4, 2) dan

melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor

skala 12

. Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran yang berpusat di titik P'(2, 1)

dan melalui titik Q' (2, 2). Lingkaran ini sebangun dengan lingkaran P dengan

ukuran diperkecil.

Gambar 7.

Atau kita dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakan

matriks seperti berikut

[ x1' x2

'

y1' y2

']=[ 12

0

012][ 4 4

2 4]=[2 21 2]

Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala 12

, diperoleh lingkaran

dengan titik pusat P'(2, 1) dan melalui titik Q'(2, 2).

Transformasi dilatasi dengan faktor skala sebesar k adalah suatu pemetaan

yang didefinisikan sebagai berikut :

T : R2 R2

( x , y )(kx , ky) dimana k adalah bilangan real.

Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis : P , k

Jika P , k :A( x , y ) → A ' (x' , y ') dengan P (a,b) maka terdapat hubungan :

x '=a+k (x−a )

y '=b+k ( y−b )

Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan :

x '=kx

y '=ky

dengan matriks yang sesuai [k 00 k ]

Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun

bayangannya.

1) Jika k >1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap

pusat dan bangun semula.

2) Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan searah

terhadap pusat dan bangun semula.

3) Jika -1< k < 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah

dengan pusat dan bangun semula.

4) Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah

terhadap pusat dan bangun semula

Dilatasi Rumus Matriks

Dilatasi dengan pusat

(0,0) dan faktor dilatasi

k

A ( x , y ) [0 , k ] A ' (kx , ky ) (x 'y ')=(k 0

0 k )(xy )

Dilatasi dengan pusat

P(a,b) dan faktor dilatasi

k

A ( x , y ) [ P , k ] A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=k ( x−a )

y '−b=k ( y−b )

(x 'y ')=(k 0

0 k )(x−ay−b)+(a

b)

F. ALKASI WAKTU




G. METODE PEMBELAJARAN

Diskusi dan tanya jawab

H. KEGIATAN PEMBELAJARAN

KEGIATAN GURU KEGIATAN

SISWA

WAKTU

PENDAHU

LUAN

Guru mengucapkan salam.

Guru mengabsen siswa.

Apersepsi

Guru mengulang pelajaran

kemaren tentang refleksi yang di

sangkutkan dengan kehidupan

Tujuan

Agar siswa bisa menerapkan

dalam kehidupan dan

memahami tntang dilatasi.

KEGIATAN

INTI

Eksporasi

Guru menerangkan pelajaran

tentang dilatasi.

Guru membagi siswa menjadi

beberapa kelompok yang terjadi

dari 5-6 orang.

Guru memberi lembaran lks agar

siswa mendiskusikan dalam

kelompoknya

Guru memantau jalanya diskusi

elaborasi

3. Secara berkelompok siswa

membahas soal tes kemampuan

dan me-

ngumpulkan hasilnya (selama

diskusi berlangsung guru

memantau

kerja siswa dan mengarahkan

siswa yang mengalami

kesulitan).

konfirmasi

4. Meminta beberapa

perwakilan kelompok untuk

mempresentasikan hasil

diskusinya, sedangkan

kelompok lain memberikan

tanggapan (guru

memandu diskusi dan

merumuskan jawaban yang

benar).

PENUTUP menunjuk beberapa siswa

untuk mengutarakan

secara lisan mengenai apa

yang telah dipelajari,

melakukan penilaian dan

refleksi terhadap kegiatan

yang sudah dilaksanakan

secara konsisten dan

terprogram,


terhadap proses dan hasil

pembelajaran,

memberi tugas secara

individu.

Peserta didik diingatkan

untuk mempelajari materi

berikutnya.

I. PENILAIAN

1. Teknik pelajaran


2. Bentuk instrumen

Tes uraian


1. Tentukan bayangan persegi panjang ABCD dengan

A(2,2) , B(-2,2) , C(-2,-2) dan D(2,-2)

jika dilakukan transformasi Dilatasi pusat O dan skala 3 adalah....

jawab:

Jadi hasilnya A'(6,6) , B'(-6,6) , C'(-6,-6) dan D'(6,-6)

2. Bayangan garis x - y - 3 = 0 oleh D(O,4) adalah.....

jawab:

Transformasinya adalah Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 4

dengan menghilangkan tanda aksen dan mengalikan dengan 4 maka

bayangan / peta / hasilnya adalah x - y - 12 = 0

3. Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh

dilatasi tsb tentukan bayangan dari :

a. titik A(3,2) dan B(9-4,3)

b. garis y-2x+5=0

Jawab :

a. A' [ x '

y ' ]=[3 00 3 ][3−2

2−1]+[21]=[54 ]B' [ x '

y ']=[3 00 3] [−4−2

3−1 ]+[21]=[−167 ]

b. [ x '

y ']=[3 00 3] [ x−2

y−1]+[21]=[3 x−6+23 y−3+1]=[3 x−4

3 y−2]x '=3 x−4 → x= x '+4

3

y '=3 y−2 → y= y '+23

Subtitusi x dan y tersebut ke y-2x+5=0 sehingga diperoleh

y '+23

−2. x'+4

3+5=0

y '+2−2. (x '+4¿+15=0

y '+2−2 x '−8+15=0

y '−2 x '+9=0

Jadi bayangan dari garis y-2x+5 = 0 adalah y-2x+9=0.

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20x=%5Cfrac%7Bx%5C,%20'%7D%7B4%7D%5C:%5C:%20dan%5C:%20%5C:%20y=%5Cfrac%7By%5C,%20'%7D%7B4%7D

http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20bayangannya%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5Cfrac%7Bx%5C,%20'%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7By%5C,%20'%7D%7B4%7D-3=0


Sumber :




Alat :

Laptop

LCD

Cermin


( ) ( )


(RPP 5)

Nama Sekolah : SMAN



Semester : Ganjil


Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam

pemecahan masalah.

B. Kompetensi Dasar

Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta

matriks transformasinya.

C. Indikator

1. Menjelaskan arti geometri dari komposisi transformasi di bidang.

2. Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi.


a. Peserta didik dapat menjelaskan arti geometri dari komposisi

transformasi di bidang.

b. Peserta didik dapat menentukan aturan transformasi dari komposisi

beberapa transformasi.

E. Materi Ajar

Komposisi transformasi

1. Komposisi dua translasi berurutan

Diketahui dua translasi T 1=(ab )

dan T 2=(cd)

. Jika translasi T 1 dilanjutkan

translasi T 2 maka dinotasikan ”T 1∘T 2 ” dan translasi tunggalnya adalah

T=T1+T2=T2+T1 (sifat komutatif).

2. Komposisi dua refleksi berurutan

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis

x=b. Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:

x' = 2(b-a) + x

y' = y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = a dilanjutkan terhadap garis y

= b. Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:

x' = x

y'=2(b-a)+y

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap garis

y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah

A ' ( x ', y ' ) sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu

(garis) dan sudut putar 180˚

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h,

maka bayangan akhirnya adalah A ' ( x ', y ' ) dengan pusat perpotongan garis g

dan h dan sudut putar 2 α (α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran

dari garis g ke h.

Catatan

tan α=mk−ml

1+mk⋅ml

ml=gradien garis lmk=gradien garis k

d. sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif

kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y

(dua sumbu yang saling tegak lurus).

3. Rotasi berurutan yang sepusat

a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal

dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi

R(P(a,b),α+β)

b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1

4. Komposisi transformasi

Diketahui transformasi T 1=(a b

c d ) dan T 2=( p qr s )

maka transformasi tunggal

dari transformasi:

a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1

b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2

Catatan T1 . T2 = T2 . T1

5. Bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis

y=x dilanjutkan translasi (32 )

!

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

P'(y,x) ditranslasi (32 )

. Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

Jadi x'' = y +3 → y = x''-3

y'' = x +2 → x = y'' -2

persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5

x'' - 4y''= 0

jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

6. Luas bangun hasil tranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan

maka:

a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi,

dan rotasi.

b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu

jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka

luas bangun bayangannya adalah L' = k2 +L

c. Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu

ditransformasikan dengan matriks [a bc d ] maka luas bangun

bayangannya adalah L'=|ad−bc|x L

F. alokasi waktu



KMTT : 45’ siswa mengerjakan tugas di rumah


tanya jawab, diskusi kelompok.

H. KEGIATAN PEMBELAJARAN

Kegiatan guru Kegiatan siswa Waktu

Pendahul

uan

-guru mengucapkan salam.

-guru mengecek kehadiran

siswa.

apersepsi

Mengingat kembali materi

mengenai jenis-jenis

transformasi dan matriks yang

bersesuaian dengan suatu

transformasi

Motivasi

Apabila materi ini dikuasai

dengan baik, maka peserta

didik diharapkan dapat

menjelaskan arti geometri dari

komposisi transformasi di

bidang dan menentukan

aturan transformasi dari

komposisi beberapa

transformasi

Kegiatan

inti

Eksoporasi

Peserta didik diberikan

stimulus berupa pemberian

materi secara garis besar oleh

guru (selain itu misalkan

dalam bentuk lembar kerja,

tugas mencari materi dari

buku paket atau buku-buku

penunjang lain, dari

internet/materi yang

berhubungan dengan

lingkungan, atau pemberian

contoh-contoh materi untuk

dapat dikembangkan peserta

didik, dari media interaktif,

dsb) mengenai arti geometri

dari komposisi transformasi di

bidang dan cara menentukan

aturan transformasi dari

komposisi beberapa

transformasi

Peserta didik dikondisikan

dalam beberapa kelompok

diskusi dengan masing-

masing kelompok terdiri dari

3-5 orang.

Dalam kelompok, masing-

masing peserta didik

berdiskusi mengenai:

1. Cara

mendeskripsikan

komposisi

transformasi di

bidang.

2. Aturan transformasi

dari komposisi

beberapa

transformasi.

3. Cara menentukan

hasil dari dua

komposisi dua

translasi berurutan.

4. Cara menentukan

bayangan bangun

oleh komposisi dua

refleksi berurutan

terhadap dua

sumbu yang sejajar

sumbu Y.

5. Cara menentukan

bayangan bangun

oleh komposisi dua

refleksi berurutan

terhadap dua

sumbu yang sejajar

sumbu X.

6. Cara menentukan

bayangan bangun

oleh komposisi dua

refleksi berurutan

terhadap dua

sumbu yang saling

tegak lurus.

7. Cara menentukan

bayangan bangun

oleh komposisi dua

refleksi berurutan

terhadap dua

sumbu yang saling

berpotongan.

8. Cara menentukan

bayangan bangun

oleh komposisi dua

rotasi sepusat yang

berurutan.

9. Cara

mendeskripsikan

matriks komposisi

transformasi di

bidang.

d. Masing-masing

kelompok diminta

menyampaikan hasil

diskusinya, sedangkan

kelompok yang lain

menanggapi.

e. Peserta didik

mengkomunikasikan

secara lisan atau

mempresentasikan

cara mendeskripsikan

komposisi transformasi

di bidang dan cara

menentukan aturan

transformasi dari

komposisi beberapa

transformasi.

Setiap kelompok mengerjakan

beberapa soal mengenai cara

menentukan hasil dari

komposisi dua translasi

berurutan, cara menentukan

bayangan bangun oleh

komposisi dua refleksi

berurutan terhadap dua

sumbu yang sejajar sumbu Y,

cara menentukan bayangan

bangun oleh komposisi dua

refleksi berurutan terhadap

dua sumbu yang sejajar

sumbu X, cara menentukan




sumbu yang saling tegak

lurus, cara menentukan




sumbu yang saling

berpotongan, cara

menentukan bayangan

bangun oleh komposisi dua

rotasi sepusat yang

berurutan, dari “Aktivitas

Kelas“

Peserta didik dan guru secara

bersama-sama membahas

jawaban soal-soal dari

“Aktivitas Kelas”

Peserta didik diingatkan untuk

mempelajari kembali materi

mengenai komposisi

transformasi, yang terdiri dari

komposisi dua translasi

berurutan, komposisi dua

refleksi berurutan, komposisi

dua rotasi sepusat yang

berurutan, dan komposisi

transformasi dengan

menggunakan matriks, untuk

menghadapi ulangan harian

pada pertemuan berikutnya

Penutup Peserta didik membuat

rangkuman dari materi

mengenai komposisi dari

beberapa transformasi

geometri beserta matriks

transformasinya.

Peserta didik diberikan


berkaitan dengan materi

mengenai komposisi dari

beberapa transformasi

geometri beserta matriks

transformasinyaberdasarkan

latihan alam uku paket

.

I. Penilaian

a. Teknik pelajaran


b. Bentuk instrumen

Tes uraian

c. Contoh instrument


Sumber :




Alat :

Laptop

LCD

Cermin


( ) ( )

rpp kelas xii klp 6

Documents