Riset Operasional

Sistem Antrian

Disusun oleh:Iva Lina Margaretha (2012340029)

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI PANGANFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

UNIVERSITAS SAHID JAKARTA2015

Pengertian Antrian

            Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yangmemerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Pada umumnya, sistemantrian dapat diklasifikasikan menjadi system yang berbeda – beda di mana teori antrian dansimulasi sering diterapkan secara luas.

            Antrian (waiting linelqueue) adalah sebuah situasi yang umum-sebagai contoh, dapat mengambil bentuk deretan mobil yang menunggu untuk diperbaiki pada Midas Muffler Shop, pekerjaan fotokopi yang sedang menunggu untuk diselesaikan di took percetakan Kinko, atau orang-orang yang sedang berlibur menunggu untuk masuk ke wahana, Mr. Frogg’s Wild Ride di Disney.

Faktor Sistem Antrian

- Distribusi Kedatangan

- Distribusi Waktu Pelayanan

- Fasilitas Pelayanan

- Disiplin Pelayanan

- Ukuran dalam antrian

- Sumber pemanggilan

Notasi Dalam Sistem Antrian

n = jumlah pelanggan dalam system Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam system λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam system P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam system Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam system W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam system Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian 1/ μ = waktu rata-rata pelayanan 1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah fasilitas pelayanan

Single Channel Model

(M/M/1)

M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu saluran

Asumsi M/M/1

Populasi input tidak terbatas Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ <μ) Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

Pelayanan Tunggal (Single Server)

● Asumsi : Tidak ada hubungan/ketergantungan antara proses

kedatangan dengan proses layanan

● Notasi : l rasio kedatangan (banyak antrian / waktu); m rasio

layanan (banyak yang sedang antri / waktu ); r utilisasi

sistem : l / m = Pr < 1

NOTASI

Pr : Prob. Sistem dalam keadaan sibuk (r)

Po : Prob. Sistem dalam keadaan idle (Po = 1-Pr)

Pn : Prob ada n pelanggan dalam sistem

Ls : Jumlah yang diharapkan berada di dalam sistem (queue &

serve) = λ / (μ – λ)

Lq : Jumlah yang diharapkan dalam antrian = λ2 / (μ (μ – λ))

Ws : Expected time dalam sistem = 1/(μ – λ)

Wq : Expected time dalam queue = λ / (μ – λ)

Wn : Expected time dalam queue untuk non empty queue =

1/(μ – λ)

Ln : Expected number dalam queue = λ / (μ – λ)

Contoh Soal-Soal :

1. UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:1) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan2) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam system3) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian4) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)5) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Jawaban Soal :

Diketahui:

λ = 20, μ = 25

p = λ / μ = 20/25 = 0.80

Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat

L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau

L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4

Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam system

Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2

Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan

W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit

Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit

Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit

Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit

2. Tuan Akhmad memiliki sebuah restauran yg melayani pelanggannya di dalam mobil mereka. Restauran ini beroperasi sukses selama beberapa bln di kota X. Dia sangat prihatin dengan panjangnya garis antrian pada jam-jam makan siang dan makan malam. Bebera-pa langgannya telah mengadu tentang waktu menunggu yang berlebihan. Dia merasa bahwa dia suatu ketika akan kehilangan para pelanggannya. Dia meminta kita untuk menganalisis sistem antrian dengan mengguna-kan teori antrian. Tingkat kedatangan rata-rata langgan-an selama periode puncak adalah 50 mobil per jam. Tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi Poisson. Waktu pelayanan rata-rata 1 menit dengan distribusi eksponensial.

Pertanyaan :1. Hitung tingkat kegunaan bagian pelayanan restauran (p) !2. Hitung jumlah mobil rata-rata dalam antrian (nq) !3. Hitung jumlah mobil rata-rata dalam sistem (nt) !4. Hitung waktu menunggu rata-rata dalam antrian (tq) !5. Hitung waktu menunggu rata-rata dalam sistem (tt) !6. Hitung probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem dan lebih dari empat mobil

sistem !Penyelesaian :

Tingkat kedatangan =λ = 50; Waktu pelayanan rata-rata = 1/μ = 1/60 = 1 menit.

1. p = λ/μ = 50/60 = 0,8333, artinya rata-rata bagian pe- layanan sibuk (penggunaan fasilitas pelayanan) ada- lah 83,33 %.

3. UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:

a. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan b. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem c. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian d. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu

pelayanan)e. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Diketahui:

a. λ = 20, μ = 25

p = λ / μ = 20/25 = 0.80

Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat.

b.nt = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau

nt = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4

Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam system.

c. nq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2

Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan

d.tt = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit

Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit

e. tq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit

Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit

Contoh Soal:

4. Bagian kredit pada suatu Bank Swasta di Kota Palembang mempekerjakan 3 (tiga) orang karyawan untuk menangani panggil-an masuk para pedagang. Waktu rata-rata yang dibutuhkan untuk menerima para pedagang adalah 0,5 menit bila tidak diperlukan waktu menunggu . Tingkat pe-layanan mengikuti distribusi eksponensial, karena kondisi-kondisi yang tidak biasa dapat menghasilkan baik waktu pelayanan yang relatif lama ataupun pendek. Selama periode puncak 8 jam, kantor menerima total 1.750 panggilan (218,75 per jam). Tingkat kedatangan panggilan mengikuti distribusi Poisson.

Pertanyaan :

a. Hitung tingkat layanan panggilan per jam (µ) !b. Hitung tingkat kegunaan karyawan (ρ) !c. Hitung probabilitas tidak ada panggilan ! d. Hitung jumlah pedagang rata-rata me-nunggu untuk dilayani ! e. Hitung jumlah pedagang dalam sistem !f. Hitung waktu rata-rata dalam antrian !

g. Hitung waktu rata-rata dalam sistem !h. Hitung probabilitas untuk menunggu (Pw)!

Penyelesaian :

(1). 1/µ=0,5; µ=10/5 =2x60 jam = 120 jam

λ= 218,75 pedagang per jam