RING POLINOMIAL

TUJUAN

• Mahasiswa akan dapat mendemonstrasikan operasi polinomial dan menghitung akar-akar polinomial

Cakupan

– Ring polinomial– Teorema Sisa– Teorema Faktor– FPB– Irreducible– Teorema faktorisasi unik

RING POLINOMIAL

• R=ring komutatif. Bentuk a0+a1x+a2x2+ …. + anxn, ai R, disebut polinomial dalam x; n 0.

• Derajat polinomial = n. Jika an 0, maka leading coefficient = an. Polinomial disebut monik jika an = unkes.

• Dua polinomial sama jika koef x yang berpangkat sama adalah sama.

Beberapa contoh

• Ring Z(x), p(x) = 2x + 5x2 dan q(x)=1–3x2–x3. Carilah p(x)+q(x) dan p(x).q(x).

• Ring Z4(x), p(x) = 2x + 2, q(x) = 3x–x2. Carilah p(x)+q(x) dan p(x).q(x).

TEOREMA

• R=ring komutatif, maka R(x) ring komutatif terhadap operasi + dan .

• Untuk f(x) dan g(x) ada q(x) dan r(x) sehingga f(x) = g(x).q(x) + r(x). Yang dibagi = pembagi hasil bagi + sisa; deg(r(x)) < deg (g(x)).

Beberapa Contoh

• Z(x), f(x) = 6x4+3x2–x+1 dan g(x) = 3x–2.• Z5(x), f(x)=2x4+x2–x+1 dan g(x)=2x–1.• R(x), f(x)=x3–2x2+2, carilah f(3)• Z5(x), f(x) = 3+x–3x4, carilah f(2)

TEOREMA SISA• f(x) dibagi oleh (x–c) akan bersisa f(c)• f(c)=0 jika dan hanya jika f(x) habis dibagi oleh

(x–c); atau (x–c) adalah faktor dari f(x).

Beberapa ContohTunjukkan kebenaran Teorema Sisa

• Dalam R(x), f(x)=x3–2x2+2 dibagi dengan (x–3)

• Dalam R(x), tunjukkan (x–1) adalah faktor dari f(x)=x3–3x + 2.

Catatan:Algoritma Euclid dapat dipakai untuk mencari FPB dari dua polinomial. Contoh: carilah FPB dari a(x)=x4–x3–x2+1 dan b(x)=x3–1. Nyakan FPB sbg kbl a(x) dan b(x).

• Jika suatu polinomial (deg1) tidak mempunyai pembagi lain, maka polinomial itu disebut prime atau irreducible.

• Contoh:

Apakah x2–4 irreducible atas R(x)? Bagaimana x2–2?

Penutup– Ring polinomial: himpunan polinomial

membentuk ring.– Teorema Sisa: yang dibagi = pembagi x hasil

bagi + sisa– Teorema Faktor: x=c adalah faktor jika f(c)=0– FPB: faktor persekutuan terbesar dari dua

polinomial– Irreducible: polinomial yang tak dapat

difaktorkan lagi– Teorema faktorisasi unik: faktorisasi unik,

kecuali urutannya.