persamaan regresi polinomial kelompok 4

8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4

1/18

MAKALAH ANALISIS REGRESI

REGRESI POLINOMIAL

KELOMPOK 4 :

ACHMAD SYAIFUL MUTAQIN ( 11.6505)

DIDCY MAI HENDRI (11.6616)

HANIN RAHMA SEPTINA (11.6687)

KIKY CLAUDIA NAWAJI (11.6746)

NIA RATRI ARUM SARI (11.6814)

RETNO SARI MUMPUNI (11.6859)

YUNITA KRISTY (11.6971)

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

TAHUN 2013-2014


2/18

1. Persamaan Regresi Polinomial

Regresi polynomial merupakan suatu metode yang digunakan untuk

mencari nilai-nilai koefisien , , ,…, pada persamaan pendekatan

kurva regresi dalam regresi polynomial. Sebagaimana dalam metode regresi

linear sederhana, kurva tersebut digunakan untuk menggambarkan

hubungan/korelasi antara sejumlah pasangan data X dan Y.

Sebagai ilustrasi, jika N menyatakan cacah pasangan data yang akan

dihitung harga koefisien-koefisien regresinya, yaitu sebagai berikut:

Data I

1 2 3 … N

Xi X1 X2 X3 … X N

Yi Y1 Y2 Y3 … Y N

Persamaan regresi polinomial dinotasikan sebagai berikut ini :

̂

Keterangan:

M : Menunjukkan orde persamaan regresi polinomial ada kurva regresi

X0 : 1

Dalam menentukan persamaan regresi polynomial, kita harus tahu terlebih dahulu

berapa variable bebas dan order yang digunakan. Adapun macamnya dalam

regresi polinomial:

a) 1 Variabel – orde kedua yakni 1 variabel independen muncul pada

pangkat pertama dan pangkat kedua (kuadrat).

Model yang digunakan adalah :

Dimana ̅

b)

1 Variabel – orde tiga


Dimana ̅

c) 1 Variabel – orde tinggi

Hal ini jarang digunakan karena Interpretasi dari koefisien menjadi sulit

untuk model ini.


3/18

d) 2 Variabel – orde dua


Dimana ̅

̅

e)

3 Variabel – orde dua


Dimana ̅

̅

̅

2. Asumsi yang mendasari Model Regresi Linier Berganda

a.

Model regresi bersifat linier

b. X diasumsikan nonstokastik

c.

Nilai rata-rata kesalahan adalah nol atau E ( i ) = 0

d.

Homoskedastisitas, artinya varian kesalahan sama untuk setiap periode

dinyatakan dalam bentuk matematis,Var ( i │ Xi) = 2

e.

Tidak ada autokorelasi antar kesalahan (antara i dan j tidak ada

korelasinya),

f. Antara dan X saling bebas, sehingga covarians ( X ) = 0

g. Tidak ada multikolinieritas yang sempurna antar variabel bebas.

h.

Jumlah observasi n harus lebih besar daripada jumlah parameter yang

diestimasi (jumlah variabel bebas).

i. Adanya variabilitas dalam nilai X , artinya nilai X harus berbeda.

j.

Model regresi telah dispesifikasikan secara benar dengan kata lain tidak

ada bias (kesalahan) spesifikasi dalam model yang digunakan dalam

analisis empiris.


4/18

Regresi Polinomial Berganda

Regresi polinomial merupakan model regresi linier yang dibentuk dengan

menjumlahkan pengaruh masing-masing variabel prediktor (X) yang

dipangkatkan meningkat sampai orde ke-k. Secara umum, model regresi

polinomial ditulis dalam

bentuk :

̂

Dimana :

Y = variabel respons

β0 = intersep

β1 , β2 , …. , β3 = koefisien-koefisien regresi

X = variabel prediktor

ε = faktor pengganggu yang tidak dapat dijelaskan oleh model regresi.

Model diatas menunjukkan bentuk modifikasi dari model regresi linier

berganda, dimana X1=X, X2=X2,…, XM=XM

Penggunaan Model Polinomial

Model regresi polinomial memiliki dua tipe dasar, yaitu digunakan:

1.

Ketika fungsi respon curvilinear itu memang merupakan fungsi polinom.

2.

Ketika fungsi respon curviliear sebenarnya tidak diketahui (atau

kompleks) tetapi fungsi polinomial adalah pendekatan yang baik untuk

fungsi yang benar.

Pada poin 2 di atas, di mana fungsi polinomial digunakan sebagai

pendekatan ketika bentuk fungsi respon curvilinear yang sebenarnya tidak

diketahui, sangat umum terjadi. Hal ini dapat dipandang sebagai pendekatan

nonparametrik untuk memperoleh informasi tentang bentuk fungsi respon.

Resiko menggunakan model regresi polinomial, seperti akan kita lihat, adalah

bahwa ekstrapolasi mungkin beresiko dengan model ini, terutama dengan

tingkat persyaratan yang tinggi.

Model regresi polinomial dapat memberikan kecocokan data yang baik,

tetapi dapat berubah ke arah yang tak terduga ketika diekstrapolasi di luar

jangkauan data.


5/18

3. Contoh dengan 1 variabel independen

Seorang analisis sebuah kafetaria ingin melihat hubungan antara jumlah

dispenser kopi otomatis dan penjualan kopi.

14 kafetaria yang memiliki persamaan dalam hal volume bisnis, jenis

pelanggan dan lokasi untuk percobaan. Jumlah dispenser diletakkan pada

kafetaria yang bervariasi dari 0 hingga 6 diletakkan secara acak pada setiap

kafetaria.

Analis percaya bahwa hubungan antara penjualan dengan jumlah dispenser

otomatis berbentuk kuadrat. Penjualan akan naik jika jumlah dispenser

semakin banyak. Tetapi jika jarak dispenser berantakan maka kenaikannya

akan melambat.

Model tersebut disesuaikan dengan model kuadrat :

dimana


6/18

Fungsi regresi yang sesuai adalah :

̂

Plot Fungsi Respon dari persamaan diatas


7/18

Analisis Residual

Plot Residual untuk penjualan kopi pada kafetaria

Dapat disimpulkan bahwa normal error model dengan varians konstan, sesuai

untuk digunakan.


8/18

4. Contoh dengan 2 variabel independen

Model regresi :

Yi = β0 + β1 x i1 + β2 xi2 + β11 x2 i1 + β22 x2 i2 + β12 xi1 x i2 + εi

Dimana :

̅

̅


9/18

Tes untuk keadaan efek interaksi yang melibatkan alternative

Untuk level signifikansi α = .05, kita mendapatkan F(.95;1,12) = 4.75 dimana

F*= 2≤ 4.75 dapat diambil keputusan untuk tolak H0 dan dapat disimpulkan

bahwa tidak ada interaksi.

Selain dengan menggunakan uji di atas, peneliti juga dapat menggunakan uji

lain, yaitu uji t.

Model tanpa interaksi :

Yi = β0 + β1 x i1 + β2 xi2 + β11 x2 i1 + β22 x2 i2 + εi


10/18

Tapi peneliti masih berharap untuk memeriksa apakah efek kuadrat untuk

menghindari resiko itu ada. Tes ini dapat dilakukan dengan menggunakan uji F

parsial tanpa memasangkan model baru. Kita memanfaatkan definisi dari

SSR(x1x2| x1,x2,x21,x22):

Untuk level signifikansi α = .05, kita mendapatkan F(.95;1,13) = 4.67 dimana

F*= .93≤ 4.67 dapat diambil keputusan untuk tolak H0 dan dapat disimpulkan

bahwa tidak ada efek kuadratik untuk menghindari resiko.

Maka dapat dibuat model baru :

Yi = β0 + β1 x i1 + β2 xi2 + β11 x2 i1 + εi

Dimana :

̅

̅

Dengan memasangkan model ini ke data, dapat dibuat estimasi model respon

sbb :


11/18

̂

Dalam original unit :

̂

5. Pendugaan, Pengujian Parameter-Parameter dan Penafsirannya

H0: E(Y) = β0+β1x+β11x2

Ha: E(Y) ≠ β0+β1x+β11x2


12/18


13/18

Fungsi regresi yang sesuai adalah :

̂

Catatan:

̅ ̅

Dengan d.o.f SSPE-nya adalah 14-7=7. Sehingga

diperoleh:

Dengan d.o.f SSLF yaitu 7-3 = 4, diperoleh


14/18

Uji Statistik

Dengan α=5%, F(0,95:4,7) = 4.12

Karena F*=2.32 ≤ 4.12, maka terima H0, dan fungsi respon dapat dikatakan

cocok.

Ketika β11=0

Uji t:

Dengan α=5%, t(0,975;11) = 2.201

Jika |t*| ≤ 2.201, terima H0

Jika |t*| > 2.201, terima Ha

Dari perhitungan di atas diperoleh |t*|= 7.012>2.201, Terima Ha . karena

bentuk kuadrat tidak ada, maka bentuk kuadrat harus dipertahankan.

Uji Parsial F

Dengan α=5%, F(0.95;1,11)=4,84.

Diperoleh F*=49,2>4.84, Terima Ha sama seperti uji t.

Catatan:


15/18

Estimasi Koefisien Regresi

Analisis selanjutnya berharap untuk mendapatkan batas kepercayaan pada

dua koefisien regresi β1 dan β11 sebesar 0.90. Metode Bonferroni:

Dari tabel anova sebelumnya , diperoleh:

Interval kepercayaan Bonferroni:

atau

atau

Koefisien Multiple Determinasi

Berikut perhitungan koefisien multiple determinasi berdasarkan tabel

anova di atas:

Angka ini menunjukkan bahwa variasi dalam kopi penjualan dikurangi

dengan 99,6 persen bila hubungan kuadrat jumlah mesin dispensing digunakan.


16/18

Dicatat bahwa koefisien determinasi berganda R 2 adalah ukuran yang relevan

di sini, bukan koefisien determinasi r 2 sederhana, karena model (9.10) adalah

model regresi berganda meskipun hanya berisi satu variabel independen.

kadang-kadang dalam regresi lengkung, koefisien korelasi r beberapa disebut

indeks korelasi.

Estimasi respon rat-rata

Xh=3 mesin dispensing, dengan tingkat kepercayaan 98%. Sebagai contoh,

xh=Xh- ̅=3-3=0, diperoleh:

Estimasi respon rata-rata

Substitusi :

atau


17/18

Fungsi Regresi dalam X

Analisis akan merumuskan fungsi regresi dalam bentuk X daripada deviasinya

x = X - ̅

Koefisien dalam persamaan regresi polinomial menunjukkan koefisien baru

dalam bentuk X :

Sebagai contoh, ketika ̅ dapat diperoleh :

Sehingga model regresi yang tepat adalah :

nilai dan residual yang sesuai untuk fungsi regresi dalam bentuk X adalah sama

untuk fungsi regresi dalam bentuk simpangan x.

alasan untuk menggunakan model regresi 9.10 yang dituliskan dalam bentuk

deviasi x untuk menghindari kesulitan penghitungan disebabkan multikolinear

antara x dan x kuadrat melekat dalam regresi polinomial.


18/18

persamaan regresi polinomial kelompok 4

Documents