perbandingan model regresi polinomial dan model regresi kernel … · 2020. 7. 28. · regresi...

i

PERBANDINGAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN

MODEL REGRESI KERNEL NADARAYA-WATSON :

STUDI KASUS HARGA EMAS DI INDONESIA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh :

Lydia Jessica Susianto

NIM: 163114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

1. Tuhan Yang Maha Esa karena telah mendengarkan doa dan membantu

saya sehingga tugas akhir ini dapat selesai.

2. Triratna

3. Alm Mama, Papa, dan kakak saya Uchen yang tercinta.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang

sangat sabar dan tidak tergantikan.

5. Bapak Ibu dosen yang telah membimbing saya dari awal perkuliahan.

6. Semua orang yang membaca skripsi saya.


viii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucakpkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Triratna

atas berkat yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan skripsi ini tepat

waktu. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Matematika pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Dalam penulisan tugas akhir ini banyak pihak yang telah membantu

penulis dalam menghadapi kesulitan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Akademik

dan dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran

serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya tugas akhir ini.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi yang telah memberikan banyak ilmu, pengetahuan

kepada penulis selama proses perkuliahan.

3. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika

yang telah memberikan banyak ilmu, pengetahuan, dan pengalaman kepada

penulis selama proses perkuliahan.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Ibu

Dr. Lusia Krismiyati Budiasih dan Bapak Dr. rer. Nat. Herry P Suryawan,

S.Si., M.Si., selaku dosen Program Studi Matematika yang telah

memberikan banyak ilmu dan pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Bapak/Ibu/Laboran/Karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

memberikan waktu dan informasi kepada penulis selama proses

perkuliahan.

6. Almh. Mama, Papa, Cici Uchen, Koko Stevanus, Wilbert, Mpe Oen, Ntio

Willi, Kho Lani, Koko Alan, dan Koko Ade tercinta yang selalu mendoakan

dan memberikan dukungan.


x

ABSTRAK

Mengumpulkan emas merupakan salah satu cara untuk melakukan

investasi. Untuk melakukan investasi emas, kita harus mengetahui berapa harga

satu gram emas untuk membelinya. Penelitian ini akan memprediksi harga beli

satu gram emas dengan analisis parametrik, yaitu regresi polinomial dan analisis

nonparametrik kernel dengan metode Nadaraya-Watson.

Pemodelan regresi polinomial merupakan penerapan langsung dari regresi

linier berganda. Untuk mendapatkan model terbaik dilakukan pencarian derajat

polinomial yang optimal menurut tahap-tahap yang dilakukan Mehmet Pakdemirli

(2016). Pemodelan regresi dengan metode Nadaraya-Watson dilakukan dengan

menentukan terlebih dahulu jendela optimal dengan metode cross validation atau

validasi silang.

Berdasarkan hasil analisis, didapat dua model, yaitu model regresi

polinomial berderajat tiga dan model regresi Nadaraya-Watson dengan bandwidth

sebesar 0.514514. Berdasarkan ukuran kebaikan model, model regresi polinomial

memiliki MSE sebesar 393.13 dan . Sedangkan model dengan

metode Nadaraya-Watson memiliki MSE 0.822 dan . Sehingga dapat

disimpulkan bahwa model yang terbaik untuk menduga harga 1 gram emas di

Indonesia adalah model dengan menggunakan regresi nonparametrik kernel

dengan metode Nadaraya-Watson.

Kata kunci: polinomial, derajat optimal, nonparametrik, kernel, Nadaraya-

Watson, validasi silang, bandwidth


xi

ABSTRACT

Collecting gold is one way to invest. To invest in gold, we need to know

the purchase price of one gram of gold. This research will predict the purchase

price of one gram gold using parametric analysis with polynomial regression and

nonparametric kernel analysis with the Nadaraya-Watson method.

Regression modeling with a polynomial model is a direct application of

multiple linear regression. In this thesis, the optimal polynomial degree for

modeling is found according to Mehmet Pakdermirli (2016). The Nadaraya-

Watson modeling method is done by determining the optimal bandwidth in

advance using a cross-validation method.

Based on the result of the analysis, there are two models, one is a three

degree polynomial regression model and the other one is the regression model

using the Nadaraya-Watson method with a bandwidth of 0.514514. The

polynomial regression model has the value of MSE 393.13 and = 0.8569.

Whereas the model with the Nadaraya-Watson method has the value of MSE

0.822 and = 0.9977. So it can be concluded that the best model for predicting

the one gram gold purchase price is using nonparametric kernel analysis with the

Nadaraya-Watson method.

Key words : polynomial, optimal degree, nonparametric, kernel, CV, bandwidth


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL……………………………………………………………….i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………………….iii

HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………….iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………….v

HALAMAN PERNYATAN PERSETUJUAN PUBLIKASI…………………….vi

HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………………vii

KATA PENGANTAR…………………………………………………………..viii

ABSTRAK………………………………………………………………………...x

ABSTRACT………………………………………………………………………xi

DAFTAR ISI……………………………………………………………………..xii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang…………………………………………………………...1

B. Rumusan Masalah………………………………………………………..3

C. Batasan Masalah…………………………………………………………3

D. Tujuan Penulisan…………………………………………………………3

E. Manfaat Penulisan………………………………………………………..4

F. Metode Penulisan………………………………………………………...4

G. Sistematika Penulisan……………………………………………………4

BAB II ANALISIS REGRESI

A. Analisis Regresi………………………………………………………….6

B. Analisis Regresi Parametrik……………………………………………...6

C. Vektor dan Vektor Residual………………………………………….16


xiii

D. Sifat-Sifat Penduga Koefisien Regresi………………………………….20

E. Model Regresi Polinomial……………………………………………...26

F. Ukuran Kebaikan Model………………………………………………..39

G. Koefisien Determinasi…………………………………………………..39

BAB III METODE NADARAYA-WATSON

A. Analisis Regresi Nonparametrik………………………………………..45

B. Gagasan Tentang Pemulusan…………………………………………...46

C. Rata-Rata Lokal………………………………………………………...48

D. Sejarah Kernel…………………………………………………………..51

E. Pemulus Kernel…………………………………………………………52

F. Fungsi Kernel…………………………………………………………...61

G. Pemilihan Jendela Dengan Metode Validasi Silang…………………....62

BAB IV PENERAPAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN MODEL

REGRESI KERNEL NADARAYA-WATSON UNTUK HARGA EMAS

A. Sumber Data…………………………………………………………….69

B. Variabel Penelitian dan Langkah-Langkah……………………………..69

C. Hasil Scatterplot Data…………………………………………………..70

D. Pemodelan Dengan Regresi Polinomial ………..………………………73

E. Pemodelan Dengan Metode Regresi Nonparametrik Kernel………...…75

F. Hasil Prediksi Dengan Menggunakan Regresi Polinomial dan Regresi

Nonparametrik Kernel…………………………………………………..80

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan……………………………………………………………..85

B. Saran……………………………………………………………………86

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………87

LAMPIRAN……………………………………………………………………...90


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Statistika merupakan salah satu cabang ilmu matematika. Statistika

banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam bidang

ekonomi. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering ingin melakukan

investasi. Investasi merupakan penanaman modal pada suatu perusahaan

untuk tujuan memperoleh keuntungan. Saat ini melakukan investasi dapat

dengam membeli tanah atau membeli emas. Untuk melakukan investasi

emas, banyak orang yang ingin mengetahui harga emas di waktu yang

akan datang. Hal tersebut biasa dikenal dengan istilah prediksi. Secara

umum, prediksi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis

tentang sesuatu yang paling mungkin terjadi di masa depan berdasarkan

informasi masa lalu dan sekarang, agar kesalahannya dapat diperkecil.

Dalam matematika, untuk melakukan prediksi dapat dilakukan dengan

menggunakan analisis regresi.

Analisis regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk

menganalisis hubungan antara variable terikat dengan variable bebas .

Hasil analisis berupa suatu persamaan yang dapat digunakan untuk

membuat prediksi atau perkiraan. Hubungan antara variabel terikat dan

variabel bebas dapat ditulis dalam bentuk model regresi ( ) ,

dengan ( ) adalah fungsi matematis yang belum diketahui bentuknya dan

adalah galat (error). Fungsi ( ) tersebut dapat diduga dengan beberapa

pendekatan, yaitu regresi parametrik, regresi nonparametrik, dan regresi

semiparametrik.

Pada skripsi ini penulis memilih menggunakan pendekatan regresi

nonparametrik. Regresi nonparametrik adalah pendekatan yang dapat

digunakan apabila pola dari suatu data tidak diketahui bentuknya. Pada

regresi nonparametrik ini terdapat beberapa metode yang dapat digunakan,


2

yaitu metode spline dan metode kernel. Untuk mengestimasi kurva regresi

nonparametrik terdapat beberapa teknik, salah satunya adalah estimator

kernel. Estimator kernel biasanya digunakan untuk mencari nilai harapan

bersyarat, yaitu ( | ) ( ). Fungsi ( ) dapat diduga dengan tiga

metode, yaitu dengan metode Nadaraya-Watson, metode Priestley-Chao,

dan metode Gasser-Muller.

Dalam proses pendugaan, kita perlu memilih fungsi kernel. Ada

beberapa macam fungsi kernel, misalnya fungsi kernel seragam, fungsi

kernel segitiga, fungsi kernel Epanechnikov, fungsi kernel Gauss, fungsi

kernel kuadratik, dan fungsi kernel cosinus. Selain membutuhkan fungsi

kernel, dalam proses pendugaan juga diperlukan jendela (bandwidth).

Pemilihan jendela sangat berpengaruh pada perhitungan. Apabila jendela

terlalu kecil, maka hasil grafik akan kasar dan sesuai kurva. Namun,

apabila jendela terlalu besar maka mudah untuk membedakan antara grafik

jendela dan grafik asli.

Pada skripsi ini akan digunakan regresi nonparametrik kernel

dengan penduga Nadaraya-Watson. Fungsi regresi dari estimator kernel

Nadaraya-Watson adalah

( ) ∑ ( )

∑ ( )

dengan adalah fungsi kernel Gauss dan adalah pemulus.

Skripsi ini bertujuan untuk memprediksi harga beli satu gram emas

dengan menggunakan regresi polinomial dan regresi nonparametrik kernel

dengan metode Nadaraya-Watson serta fungsi Gauss. Kedua metode yang

digunakan akan dibandingkan mana yang terbaik dengan memperhatikan

nilai Mean Squared Error (MSE) dan digunakan untuk memprediksi. Data

yang digunakan adalah harga beli satu gram emas periode 2 Januari 2019

hingga 30 Maret 2020.


3

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini, yaitu:

1. Bagaimana proses pendugaan model regresi polinomial?

2. Bagaimana proses pendugaan model regresi nonparametrik kernel

dengan penduga Nadaraya-Watson?

3. Bagaimana menerapkan regresi polinomial pada data harga beli 1 gram

emas?

4. Bagaimana menerapkan regresi nonparametrik kernel dengan penduga

Nadaraya-Watson pada data harga beli 1 gram emas?

5. Metode manakah yang baik untuk memprediksi harga beli 1 gram

emas?

C. Batasan Masalah

Tugas akhir ini dibatasi oleh beberapa masalah, yaitu:

1. Penulis hanya menerapkan regresi nonparametrik kernel dengan

penduga Nadaraya-Watson.

2. Landasan teori yang digunakan hanya yang berkaitan langsung dengan

materi.

3. Konsep Big O langsung digunakan dalam teorema tanpa dibahas lebih

lanjut.

4. Selang kepercayaan dan standar error langsung digunakan dan tidak

dibahas secara mendalam.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulis dalam menulis skripsi, yaitu:

1. Mengetahui proses pendugaan regresi polinomial

2. Mengetahui proses pendugaan regresi nonparametrik kernel dengan

penduga Nadaraya-Watson.

3. Menerapkan regresi polinomial pada harga beli 1 gram emas.

4. Menerapkan regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-

Watson pada harga beli 1 gram emas.


4

5. Mengetahui metode terbaik dalam memprediksi harga beli 1 gram

emas.

E. Manfaat Penulisan

Dengan menulis skripsi ini, penulis mengetahui cara menduga hubungan

antara dua atau lebih peristiwa yang dialami dalam kehidupan sehari-hari.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan di dalam skripsi ini, yaitu studi pustaka dengan

membaca buku referensi dan jurnal-jurnal matematika yang berhubungan

dengan regresi polinomial dan regresi nonparametrik kernel dengan

penduga Nadaraya-Watson. Selain itu juga penulis menggunakan

Microsoft Excel dan perangkat lunak R dalam komputer untuk

mempermudah perhitungan.

G. Sistematika Penulisan

Bab I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

Bab II ANALISIS REGRESI

A. Analisis Regresi

B. Analisis Regresi Parametrik

C. Vektor dan Vektor Residual

D. Sifat-Sifat Penduga Koefisien Regresi

E. Model Regresi Polinomial


5

F. Ukuran Kebaikan Model

G. Koefisien Determinasi

Bab III METODE NADARAYA WATSON

A. Analisis Regresi Nonparametrik

B. Gagasan Tentang Pemulusan

C. Rata-Rata Lokal

D. Sejarah Kernel

E. Pemulus Kernel

F. Fungsi Kernel

G. Pemilihan Jendela Dengan Metode Validasi Silang (Cross

Validation)

Bab IV PENERAPAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN MODEL

REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL NADARAYA-WATSON

UNTUK HARGA EMAS

A. Sumber Data

B. Variabel Penelitian dan Langkah-Langah

C. Hasil Scatterplot Data

D. Pemodelan Dengan Regresi Polinomial

E. Pemodelan Dengan Metode Regresi Nonparametrik Kernel

F. Hasil Prediksi Dengan Menggunakan Regresi Polinomial dan

Regresi Nonparametrik Kernel

Bab V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

ANALISIS REGRESI

A. Analisis Regresi

Analisis regresi adalah metode yang digunakan untuk memprediksi

atau meramalkan data di masa depan. Analisis regresi digunakan untuk

menganalisis hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas .

Hasil analisis berupa suatu persamaan yang dapat digunakan untuk

membuat prediksi atau perkiraan. Apabila model melibatkan hanya satu

variabel bebas, maka kita kenal dengan model regresi sederhana. Apabila

lebih dari satu variabel disebut dengan model regresi berganda. Hubungan

antara variabel terikat dan variabel bebas dapat ditulis dalam bentuk

model regresi ( ) , dengan ( ) adalah fungsi matematis yang

belum diketahui bentuknya dan adalah galat (error).

Pada persamaan ( ) , fungsi ( ) dapat diduga dengan

beberapa pendekatan, yaitu regresi parametrik, regresi nonparametrik, dan

regresi semiparametrik. Tugas akhir ini memfokuskan pada pembahasan

regresi parametrik dan regresi nonparametrik, sedangkan regresi

semiparametrik tidak akan dibahas.

B. Analisis Regresi Parametrik

Analisis regresi parametrik merupakan suatu metode regresi yang

digunakan untuk mengetahui pola hubungan variabel terikat dengan

variabel bebas . Dalam penggunaan regresi parametrik terdapat asumsi,

yaitu bentuk kurva regresi diketahui. Misalnya, kurva tersebut sudah

diketahui berbentuk linier, kuadratik, kubik, polinomial, eksponensial, atau

bentuk lainnya. Model regresi ini sudah kita pelajari dalam perkuliahan


7

statistika matematis dan matakuliah pemrograman nonlinier. Biasanya

regresi ini dikenal dengan model regresi linier dan diselesaikan

menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.

Dalam model linier, apabila adalah variabel terikat dan adalah

variabel bebas yang tunggal, maka persamaannya dapat ditulis dengan

dengan adalah parameter yang tidak diketahui

nilainya. Apabila model dari adalah fungsi linier dari dan saja,

maka disebut model regresi linier sederhana. Apabila variabel bebasnya

lebih dari satu, yaitu , maka persamaanya ditulis dengan

dan disebut dengan model regresi linier

berganda.

Definisi 2.1

Suatu model linier statistik yang menghubungkan respon acak dengan

sekumpulan variabel bebas dalam bentuk

(2.1)

dengan adalah parameter yang tidak diketahui, adalah galat

acak dan variabel-variabel diasumsikan nilainya diketahui.

Asumsikan bahwa ( ) , sehingga

( )

Inti dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menentukan penduga

parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat galat. Dengan demikian,

jika adalah nilai prediksi dari nilai ke ketika ,

maka nilai galat yang diamati dari adalah selisih

dan jumlah kuadrat galat harus diminimalkan.

Andaikan SSE adalah Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error), maka


8

∑( )

∑[ ( )]

SSE akan minimum apabila dan memenuhi persamaan,

dan

. Cari turunan parsial dari SSE terhadap dan dan

menyamadengankan dengan nol, sehingga diperoleh

2∑ [ ( )]

3

∑ [ ( )]

(∑

∑

)

dan

2∑ [ ( )]

3

∑ [ ( )]

(∑

∑

∑

)

Proses pendugaan dengan Metode Kuadrat Terkecil juga dapat

ditulis dalam bentuk matriks. Misalkan


9

dan andaikan ada observasi yang saling bebas, pada . Kita

dapat tulis observasi sebagai berikut:

,

Dengan adalah cara menulis variabel bebas ke- untuk pengamatan ke-

, . Sekarang didefinisikan matriks sebagai berikut, dengan

untuk semua ,

[

], [

],

[

], [

].

Secara ringkas, dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai

(2.2)

dan dalam bentuk matriks sebagai

[

] [

] [

] [

]

dengan adalah vektor kolom elemen dari koefisien regresi dan

adalah vektor kolom dari galat. Dalam kasus variabel

penduga diperoleh dengan meminimalkan jumlah kuadrat galat (Sum of

Square Error, ).

Sehingga secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

∑( )


10

∑. ( )/

(2.3)

Dalam notasi matriks SSE dapat ditulis dengan

(2.4)

dengan adalah jumlah kuadrat galat. Dalam notasi matriks, ini berarti

meminimalkan

, - [

]

∑

sekarang dari persamaan (2.2) kita dapatkan

karena itu

( ) ( )

(2.5)

di mana sifat-sifat transpos dari sebuah matriks yaitu, ( ) dan

karena adalah suatu skalar, maka dapat juga ditulis dengan transpos

Persamaan (2.5) adalah representasi matriks dari persamaan (2.3)

dalam notasi skalar, Metode Kuadrat Terkecil terdiri atas estimasi

sehingga ∑

harus sekecil mungkin. Pernyataan

tersebut dapat dilakukan dengan menurunkan persamaan (2.3) secara

parsial terhadap dan menyamadengankan dengan nol.

Proses ini menghasilkan persamaan simultan dengan

parameter yang tidak diketahui, yaitu persamaan normal dari Metode

Kuadrat Terkecil.


11

Mencari turunan dari

∑. ( )/

terhadap kita peroleh

∑( ∑

)

dan seterusnya hingga diturunkan terhadap

∑( ∑

)

untuk Hasil turunan parsial tersebut selanjutnya kita sama

dengankan nol, sehingga didapat persamaan sebagai berikut:

∑( ∑

)

∑( ∑

)

∑

∑

∑∑

∑

∑

∑

dan

∑( ∑

)


12

∑( ∑

)

∑

∑

∑∑

∑

∑

∑

∑

dengan menetapkan turunan parsial sebelumnya sama dengan nol kita

memperoleh persamaan normal. Dalam bentuk matriks dapat

direpresentasikan sebagai

[

] [

]

[ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

]

(2.6)

[

] [

]


13

[ ∑

∑

∑

]

(2.7)

Sehingga persamaan normal dapat ditulis sebagai berikut:

[ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

]

[

]

[ ∑

∑

∑

]

atau secara singkat dapat ditulis

( )

Berdasarkan aljabar matriks, jika invers dari ( ) ada, katakanlah

( ) , maka diperoleh

( ) ( ) ( )

karena ( ) ( ) , sebuah matriks identitas ( )

didapatkan

( )

Atau sebagai penyelesaiannya dapat ditulis dengan notasi

( )

Agar dapat lebih memahami konsep dari Metode Kuadrat Terkecil, berikut

akan diberikan contoh.


14

Contoh 2.1 Penerapan Model Regresi Linier

Suatu penelitian telah dilakukan padatruk pickup tugas ringan bertenaga

disel untuk melihat apakah kelembaban, suhu, dan tekanan barometer

mempengaruhi emisi Nitrous Oxide dalam ppm. Pengukuran emisi

dilakukan pada waktu yang berbeda, dengan berbagai kondisi. Datanya

dapat dilihat pada tabel di bawah.

Carilah model regresi linier pada data yang diberikan dan kemudian

perkirakan jumlah Nitrous Oxide yang dipancarkan untuk kondisi di mana

kelembaban adalah 50%, suhu adalah , dan tekanan barometer adalah

29.30.

Nitrous

Oxide ( )

Kelembaban

( )

Suhu

( )

Tekanan

( )

0.90 72.40 76.30 29.18

0.91 41.60 70.30 29.35

0.96 34.30 77.10 29.24

0.89 35.10 68.00 29.27

1.00 10.70 79.00 29.78

1.10 12.90 67.40 29.39

1.15 8.30 66.80 29.69

1.03 20.10 76.90 29.48

0.77 72.20 77.70 29.09

1.07 24.00 67.70 29.60

1.07 23.20 76.80 29.38

0.94 47.40 86.60 29.35

1.10 31.50 76.90 29.63

1.10 10.60 86.30 29.56

1.10 11.20 86.00 29.48


15

0.91 73.30 76.30 29.40

0.87 75.40 77.90 29.28

0.78 96.60 78.70 29.29

0.82 107.40 86.80 29.03

0.95 54.90 70.90 29.37

(Sumber data: Wapole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers

& Keying Ye. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientist.

9th

Edition. Boston: Prentice Hall. Halaman 445)

Jawab:

[ ]

[

]

[

]

( ) [

]


16

*

+

Sehingga

( )

[

] *

+

[

]

*

+

Sehingga

Untuk kelembaban 50%, suhu , dan tekanan barometrik 29.30,

perkiraan jumlah Nitrous Oxide yang dipancarkan adalah

( ) ( ) ( )

C. Vektor dan Vektor Residual

Vektor penduga rata-rata variabel terikat untuk nilai dari variabel

bebas dalam himpunan data dihitung sebagai

(2.8)

Untuk menyatakan sebagai fungsi linier dari dapat dilakukan dengan

mensubtitusikan ,( ) - untuk . Sehingga,

,( ) -

, ( ) -


17

(2.9)

Persamaan 2.9 mendefinisikan matriks ( ) , sebuah

matriks yang ditentukan seluruhnya oleh . Matriks ini memiliki

peranan yang sangat penting dalam analisis regresi. Matriks adalah

matriks simetris ( ) yang juga idempoten ( ), dan karenanya

merupakan matriks proyeksi. Persamaan 2.9 menunjukkan bahwa adalah

fungsi linier dari dengan koefisien yang diberikan oleh . Misalnya,

baris pertama berisi koefisien untuk fungsi linier semua yang

menghasilkan .

Vektor galat mencerminkan ketidaksesuaian antara yang

diamati dan penduganya, :

(2.10)

Seperti halnya , dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari dengan

mensubtitusikan pada :

( ) (2.11)

Ingat bahwa pendugaan kuadrat terkecil meminimalkan jumlah kuadrat

dari galat, telah dipilih sehingga minimum. Seperti halnya matriks

matriks ( ) adalah matriks simetris dan juga idempoten. Dengan

demikian terbagi menjadi dua bagian, yang diperhitungkan oleh model

dan galat . Kedua bagian aditif terbukti dari fakta bahwa diperoleh

dengan selisih dari persamaan 2.10, atau dapat ditunjukkan sebagai

berikut:

( )

( )

(2.12)


18

Contoh 2.2

Pada contoh 2.2 akan dibahas bagaimana cara mendapatkan matriks lalu

mencari persamaan regresi dan menghitung nilai dugaan dan besar

galatnya.

Data yang digunakan untuk analisis regresi linier diilustrasikan dengan

menggunakan data perlakuan dari studi yang dilakukan oleh Dr. A. S.

Heagle di North Carolina State University pada efek polusi ozon pada

hasil kedelai. Empat tingkat dosis ozon dan hasil rata-rata hasil kedelai

diberikan. Dosis ozon adalah konsentrasi rata-rata (per juta, ppm) selama

musim tanam. Hasil dilaporkan dalam gram per tanaman.

Ozon (ppm) 0.02 0.07 0.11 0.15

Hasil ( ⁄ ) 242 237 231 201

, ( ) -

*

+ 0

1 0

1

[

]

Dari tabel data di atas, diidapat ∑ , , ∑

, ∑ , , ∑ , dan ∑ .

Dengan menerapkan rumus

( )

diperoleh


19

∑( )( )

( )

∑ ∑ ∑

∑

∑

Sehingga didapat

∑

∑ ∑

∑

∑

( ) ( )

*

+ 0

1 *

+

Sehingga

Perhitungan dalam notasi matriks adalah sebagai berikut:

*

+ 0

1 *

+

Galatnya

*

+ *

+ *

+

Hasil dari contoh ozone dapat dirangkum sebagai berikut:

0.02 242 247.563 -5.563

0.07 237 232.887 4.113


20

0.11 231 221.146 9.854

0.15 201 209.404 -8.404

D. Sifat-Sifat Penduga Koefisien Regresi

Penduga koefisien regresi , , dan galat adalah fungsi linier

semua dari pengamatan . Ingat bahwa

Karena kita telah mengasumsikan bahwa adalah variabel acak yang

bebas dengan rata-rata nol dan variansi , kita punya

( )

dan

( )

Catat bahwa

( ) , -

( ) , - , -

( ) , -

Sesuai dengan sifat nilai harapan apabila adalah suatu konstanta, maka

( ) . Karena adalah suatu konstanta, didapat

( ) (2.13)

dan

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (2.14)

Persamaan 2.14 didapat karena menambah konstanta seperti ke

variabel acak tidak mengubah variansi. Ketika berdistribusi normal,

juga berdistribusi normal multivariat. Jadi


21

( ) (2.15)

Hasil tersebut didasarkan pada asumsi bahwa model linier yang

digunakan adalah model yang benar. Jika variabel bebas yang penting

telah dihilangkan atau jika bentuk fungsional model tidak benar, tidak

akan menjadi harapan dari Dengan asumsi bahwa model itu benar,

fungsi probabilitas gabungan diberikan oleh

( ) | |

.

/2( ) ( )

( )3

( ) (

)( ) ( )

(2.16)

Mengekspresikan sebagai ,( ) - menunjukkan

bahwa pendugaan koefisien regresi adalah fungsi linier dari variabel

terikat , dengan koefisien yang diberikan oleh ,( ) -. Karena

diketahui, maka matriks merupakan konstanta. Jika model

benar, harapan adalah dan harapan adalah

( ) ,( ) - ( )

( ) ,( ) -

( ) ,( ) -

( )

(2.17)

Ini menunjukkan bahwa adalah penduga yang tidak bias dari jika

model yang dipilih benar. Jika model yang dipilih tidak benar, katakanlah

( ) alih-alih , maka,( ) - ( ) tidak serta merta

disederhanakan menjadi Dengan asumsi bahwa model itu benar,

( ) ,( ) -, ( )-,( ) -

( ) ,( ) - ,( ) -

Mengingat bahwa transpos suatu produk adalah produk transpos dengan

urutan terbalik, yaitu ( ) bahwa simetris, dan invers dari

transpos adalah transpos dari invers, diperoleh

( ) ( ) ( )


22

( ) ( ) (2.18)

Dengan demikian, variansi dan kovarian dari pendugaan koefisien regresi

diberikan oleh unsur-unsur ( ) dikalikan dengan . Elemen-elemen

diagonal menunjukkan variansi koefisien regresi dan elemen-elemen di

luar diagonal menunjukkan kovarian. Ketika berdistribusi normal, juga

berdistribusi normal multivariat. Jadi

( ( ) ) (2.19)

Ingat bahwa vektor penduga . Oleh karena itu, dengan

menggunakan sifat matriks yang idempoten, maka berlaku ,

harapan dari adalah

( ) ( ) (2.20)

Dengan demikian, adalah penduga yang tidak bias dari rata-rata untuk

nilai-nilai tertentu dalam himpunan data, apabila modelnya benar. Fakta

bahwa dapat diverifikasi menggunakan definisi

, ( ) -

,( ) -

(2.21)

Matriks variansi dan kovarian dapat diturunkan menggunakan hubungan

atau . Karena ( ) , maka

( ) [ ( )]

( ) ( )

( ) (2.22)

atau

( ) , ( )-

( )

( ) (2.23)


23

karena simetris dan idempoten. Oleh karena itu, matriks dikalikan

dengan memberikan variansi dan kovariansi untuk semua . adalah

matriks . Variansi dari setiap himpunan bagian dari dapat

ditentukan dengan hanya menggunakan baris , misalnya , yang

bersesuaian dengan data, sehingga

( ) , ( )-

( ) ( )

(2.24)

Jika berdistribusi normal, maka

( ) (2.25)

Ingat bahwa vektor galat diberikan oleh ( ) Karena itu,

nilai harapan adalah

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2.26)

Di mana adalah vektor yang elemen-elemennya nol. Dengan

demikian, galat adalah variabel acak dengan rata-rata nol. Matriks variansi

dan kovariansi dari vektor galat adalah

( ) ( ) (2.27)

menggunakan hasil bahwa ( ) adalah matriks idempoten dan

simetris. Jika vektor galat dari regresi berdistribusi normal, maka vektor

galat regresi memenuhi

( ( ) (2.28)

Karena tidak diketahui, maka perlu diduga dengan , yaitu

( ) (2.29)

Dengan SSE yang dapat dilihat pada persamaan 2.4

Prediksi pengamatan acak pada yang akan datang

adalah , diberikan oleh . Dengan demikian


24

(

( )

) (2.30)

Hasil ini digunakan untuk membangun selang kepercayaan ( )

untuk rata-rata , yaitu

√

( )

dengan

√

( )

Jika diasumsikan sebagai variabel acak berdistribusi Normal

dengan rata-rata nol dan variansi dan tidak tergantung pada galat

sebelumnya, maka prediksi galat ( ) memenuhi

( , (

) - ) (2.31)

Hasil ini digunakan untuk membangun interval kepercayaan untuk yang

kita sebut dengan interval prediksi untuk Ingat bahwa variansi dari

( ) dinotasikan dengan ( ).

Contoh 2.3

Dengan menggunakan data pada contoh 2.2 didapat

( ) 0

1

Sehingga, ( ) ( ) dan ( )

( ) . Kovarian antara dan adalah

( , ) ( )

Matriks telah dihitung pada contoh 2.2. Sehingga, dengan membulatkan

elemen dari matriks

( )

( ) [

] ( )


25

( ) *

+

Variansi dari penduga rata-rata ketika lapisan ozon adalah 0.02 ppm

aalah ( ) ( ) . Untuk lapisan ozon

0.11 ppm, variansi dari penduga rata-rata adalah ( )

( ) . Kovariansi antara kedua rata-rata tersebut adalah

( ) ( ) . Matriks variansi-

kovariansi galat diperoleh oleh ( ) ( ) . Jadi,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Maka, selang kepercayaan untuk suatu dengan adalah

√

( )

0

1 √ 0

1

Apabila diambil 0

1 maka didapat selang kepercayaan bagi

sebagai berikut

, - 0

1

( )( )√, - 0

1 0

1

Sehingga batas bawahnya adalah 97.45 dan batas atasnya adalah 344.85.

Perlu dicatat bahwa variansi dari galat kuadrat terkecil tidak sama dengan

dan kovariansi tidak nol. Asumsi variansi yang sama dan nol kovarian

berlaku untuk , bukan .

Variansi dari setiap tertentu dan variansi dari yang sesuai

akan selalu menambah karena


26

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) (2.32)

E. Model Regresi Polinomial

Regresi polinomial merupakan model regresi linier yang dibentuk

dengan menjumlahkan pengaruh masing-masing variabel yang

dipangkatkan meningkat sampai orde ke- . Sebenarnya regresi polinomial

merupakan hasil modifikasi dari model regresi linier berganda yang telah

dibahas di atas, dengan Untuk membedakan

dengan regresi berganda pada sub bab sebelumnya, secara umum penduga

model regresi polinomial dapat dinotasikan dalam bentuk:

( )

(2.33)

di mana ( ) adalah penduga model regresi polinomial berderajat .

Dengan proses mencari turunan parsial dari SSE terhadap koefisien beta

dan menyamadengankan dengan nol seperti pada regresi linier berganda,

didapat suatu matriks sebagai berikut:

( )

[

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

]

[

] ( ) [

∑

∑

∑

]

Atau secara sederhana dapat ditulis

( ) ( )

Sehingga

( ) ( )


27

Sebagai catatan, perhatikan bahwa matriks ( ) dan ( ) tidak lain

analog dengan matriks (X’X) pada persamaan 2.6 dan (X’Y) pada

persamaan 2.7 model regresi linear berganda.

Menurut Mehmet Pakdemirli (2016) standar error untuk suatu model

regresi polinomial di definisikan sebagai berikuts

⁄ [

( )∑( ( )( ))

]

⁄

(2.34)

Dengan ( ) adalah derajat bebas dan adalah banyak

pengamatan. Sebagai catatan, perhatikan bahwa ⁄ tidak lain analog

dengan akar dari pada persamaan 2.29.

Dalam regresi polinomial, kita perlu menentukan derajat regresi

polinomial. Gunanya adalah agar kita mendapatkan model yang baik untuk

memprediksi. Perlu diketahui bahwa regresi polinomial memiliki

kekurangan, yaitu dalam proses pemilihan derajat. Apabila derajatnya

rendah, maka galatnya akan besar. Namun, apabila derajat yang dipilih

tinggi, maka galatnya akan kecil atau bahkan tidak ada galat. Menurut

David Longstreet, yang ingin dicapai dalam regresi polinomial bukan

menghilangkan galat, tetapi membangun model yang sederhana yang

dapat digunakan untuk pemahaman dan melakukan prediksi. Semakin

tinggi derajat polinomial, semakin kompleks model yang didapat. Semakin

kompleks suatu model, tidak berarti menunjukkan bahwa model tersebut

baik untuk digunakan dalam prediksi. Karena model tersebut nilai galatnya

kecil hanya untuk data yang digunakan untuk membuat model. Apabila

kita menggunakan model tersebut pada data yang lain, maka besar

kemungkinan bahwa model tersebut tidak baik karena mempunyai nilai

galat yang besar.

Andrew Gelman dan Guido Imbens (2014) dalam jurnalnya yang

berjudul Why High-Order Polinomials Should Not Be Used In Regression


28

Discontinuity Designs telah memaparkan alasan penggunaan derajat tinggi

pada regresi polinomial memiliki sifat yang buruk dan mengapa regresi

polinomial tingkat tinggi tidak dapat digunakan. Pernyataan tersebut

mengakibatkan perlu dicari derajat polinomial yang optimal. Menurutnya,

hal yang pertama harus dilakukan untuk mendapatkan derajat polinomial

yang optimal adalah melakukan proses normalisasi data dengan membagi

setiap data dengan nilai maksimum dari setiap variabel. Perlu diketahui

bahwa proses normalisasi tidak mengubah bentuk representasi polinomial,

melainkan memilliki efek langsung pada besaran koefisien. Data yang

dinormalisasi selanjutnya disebut dengan

dan

. Berikut akan diberikan beberapa teorema yang

dapat digunakan untuk memilih derajat yang optimal untuk regresi. Untuk

itu akan digunakan notasi big O dalam pembahasannya. Secara khusus

notasi ini tidak akan dibahas dalam skripsi ini.

Definisi 2.2

Misalkan ( ) dan ( ) adalah dua fungsi positif. Dapat kita tulis

( ) ( ( )) dan dikatakan ( ) berada dalam urutan dari ( ), jika

ada konstanta positif dan sehingga ( ) ( ) untuk semua

.

Definisi 2.2 adalah Notasi Big-O yang berfungsi dalam

mengkategorikan algoritma ke fungsi yang menggambarkan batas atas dari

pertumbuhan sebuah fungsi ketika masukan dari fungsi tersebut bertambah

banyak. Dengan menggunakan notasi Big O, maka model yang didapat

menjadi lebih optimal dan tidak menjadi rumit.

Contoh:

a. Nyatakan pertidaksamaan | | | | untuk

semua bilangan riil dalam notasi big-O !

b. Buktikan bahwa adalah ( ) untuk !


29

Jawab:

a.

( )

( )

Ambil dan , maka pertidaksamaan dapat dituliskan

sebagai | ( )| ( ) sehingga

( ) adalah ( )

b.

| |

karena dan untuk

| | | | untuk setiap karena

tidak negatif. Ambil dan , maka pertidaksamaan

di atas berarti | | | | .

Atau berarti adalah ( )

Teorema 2.1

Untuk regresi polinomial derajat data yang dinormalisasi

( )

(2.35)

Jika maka ( ) ( )

Bukti:

Teorema 2.1 mengatakan bahwa tidak akan ada koefisien besar dengan

besarnya derajat polinomial lebih besar dari 1 jika semua koefisien positif.

Karena data dibatasi, untuk ( ) ( ) Karenanya, dari

persamaan (2.35)

( )

Atau mengganti besarnya dengan ketentuan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )


30

Jika setidaknya salah satu , ada .

/ yang tidak

seimbang, yang mengganggu pertidaksamaan. Sehingga, jika semua

koefisien positif, koefisiennya paling ( )

Teorema 2.2


( )

jika ada koefisien bernilai besar, yaitu ( ) ( ) maka

koefisien tidak dapat mempunyai tanda yang sama, dan suku-suku besar

lainnya ( ) harus muncul dengan tanda yang

berlawanan.

Bukti:

Untuk ( ) ( ) Karenanya dari persamaan (2.35)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Jika ada suku yang bernilai besar dengan , bentuk tersebut harus

diseimbangkan dengan suku besar lainnya ( ) dengan

tanda yang berlawanan sehingga penjumlahannya maksimal suku O(1).

Teorema 2.3


( )

Jumlah koefisien regresi dibatasi sedemikian rupa sehingga

∑

( )

Dengan memegang tanda kesetaraan untuk himpunan data tertentu di

mana


31

Bukti:

Untuk karena normalisasi, ( ) ( ). Dengan menggunakan

persamaan regresi yang dinormalisasi dan mensubtitusikan ,

( ) ∑

( ) (2.36)

Jika adalah nilai yang bersesuaian dengan , maka ( )

karena pendekatan koefisien regresi, sehingga persamaan (2.36) berlaku.

Teorema 2.4

Untuk regresi polinomial yang baik dari data yang dinormalisasi, standar

error regresi dibatasi dengan

⁄ ( )( )

Bukti:

Jika representasi baik, kurva melewati cukup dekat ke tiap titik data,

karena data berada dalam kotak persegi panjang dengan panjang 1, jarak

antara setiap datum dan kurva hanya bisa menjadi sebagian kecil dari 1.

Sehingga

| ( )( )| ( )( ) (2.37)

Subtitusi persamaan (2.37) ke persamaan (2.35), sehingga

⁄ [

( ) ( )]

⁄

(2.38)

Untuk representasi yang baik, banyak data harus jauh lebih besar

daripada derajat bebas , karenanya

( ) ( ). Subtitusi

besarnya pangkat ke persamaan (2.38), sehingga di dapat ⁄ ( ).

Teorema 2.4 dapat digunakan untuk memeriksa secara kasar kelayakan

model regresi polinomial. Seiring , model akan semakin baik.


32

Teorema 2.5

Asumsikan bahwa data yang dinormalisasi dinyatakan dengan regresi

polinomial berderajat

( )( )

Dengan ( ) Untuk regresi polinomial derajat dari data yang

sama didapat

( )( )

Jika ( )( ) maka kesalahan pendekatan rata-rata untuk

menggunakan pendekatan rata-rata galat untuk derajat polinomial

daripada derajat polinomial dibatasi oleh

( )

∑| ( )( ) ( )( )|

( ) (2.39)

Bukti:

Karena ( ) karena normalisasi, ( )( ) ∑ ( ) dengan

menggunakan teorema 3. ( )( ) ∑ ( ) dengan

menggunakan teorema 3. Karena ( ) ∑ ( ) Sehingga

persamaan 2.35 dapat ditulis dengan

( )

( ) ( )

Teorema 2.5 mengarahkan ke kriteria yang berguna untuk menentukan

derajat polinomial regresi. Jika koefisien utama dalam regresi polinomial

derajat keluar menjadi orde 1 dan dengan meningkatkan derajat ,

jika koefisien utama menjadi jauh lebih kecil dari 1, maka tidak ada

gunanya menggunakan rumus regresi yang lebih rumit. Karenanya, proses

pemodelan dapat berhenti pada derajat .


33

Setelah menjabarkan lima teorema di atas, berikut akan diberikan beberapa

contoh untuk memahami penggunaan teorema.

Contoh 2.4 Pemilihan Derajat Polinomial

Data

1

, -

, -

det( ( )) ∑ ( ⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ )

1 6.8571 0.1382

0.8660 1.0042 0.0184

2 0.4798

0.1292

0.9288

-0.0628

0.9953 0.0188 -0.0004

Tabel 2.1

Dari tabel 2.1 dapat dilihat bahwa untuk derajat determinan

tidak nol sehingga matriks ( ) tidak singular, koefisiennya semua positif

dan tidak lebih besar dari ( ) (Teorema 2.1), koefisien derajat tertinggi

adalah derajat 1 (Teorema 2.5), jumlah koefisien dekat dengan 1 (Teorema

2.3), dan galat kecil (Teorema 2.4). Selanjutnya perhatikan untuk derajat

. Koefisien menjadi kecil. Ini menunjukkan bahwa

tidak perlu menggunakan polinomial derajat (Teorema 2.5). Selain

itu galatnya juga meningkat dibandingkan dengan yang derajat 1. Dapat

dilihat juga untuk selisih antara standar error derajat 1 dengan derajat 2

hasilnya negatif. Hal tersebut menunjukkan bahwa proses perhitungan

harus berhenti pada tahap tersebut dan menggunakan analisis regresi tahap

sebelumnya yaitu polinomial dengan derajat .


34


Data

2

, -

, -

det( ( )) ∑ ( ⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ )

1 6.8571 -0.1429

1 0.8571 0.1148

2 0.4798

0.0068

-0.0476

1.0476

1.0068 0.0216 0.0932

3 0.0024

0.0025

0.0317

0.8355

0.1414

1.0111 0.0237 -0.0020

Tabel 2.2

Dari tabel 2.2 untuk derajat dapat dilihat bahwa koefisien

dari suku derajat tertinggi relative besar dibandingkan dengan koefisien

yang lain, jumlah dari koefisiennya sekitar 1, galat untuk derajat 2 lebih

kecil dibandingkan dengan galat derajat 1 (Teorema 2.4), koefisien

(Teorema 2.5). Namun demikian untuk derajat 3,

jumlah koefisiennya mulai menyimpang dari 1 (Teorema 2.3), standar

errornya meningkat jika dibandingkan dengan sebelumnya, hasil selisih

standar error negatif, dan determinannya hampir nol, sehingga matriks

( ) merupakan matriks singular. Dengan demikian, berarti perhitungan

harus berhenti pada tahap tersebut dan yang dipilih sebagai derajat optimal

adalah derajat sebelumnya, yaitu

Perhatikan bahwa, jika pola data tersebut tepat berupa parabola,

Sebaliknya jika koefisien nilainya kecil, maka tidak ada gunanya


35

menggunakan representasi yang lebih kompleks. Representasi yang lebih

tinggi dapat menurunkan standar error tetapi dapat menyebabkan

fenomena yang disebut dengan goyangan polinomial (polinomial

wiggling) yang menimbulkan keraguan tentang ketepatan data antara yang

hilang.


Data

3

, -

, -

det( ( )) ∑ ( ⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ )

1 6.8571 0.1629

0.8902 1.0530 0.0967

2 0.4798

0.0587

1.6193

-0.7292

0.9489 0.0615 0.0352

3 0.0024

0.0069

2.5694

-3.2686

1.6930

1.0007 0.0333 0.0282

4 7.6071e-07

0.0002

2.8906

-4.9333

4.3800

-1.3435

0.9940 0.0359 -0.0026

Tabel 2.3

Dari tabel 2.3 untuk derajat 4 determinanya mendekati nol, sehingga

matriks ( ) mendekati singular, koefisien derajat tinggi kecil (Teorema


36

2.5), jumlah dari koefisiennya mulai menurun dari 1 (Teorema 2.3),

galatya lebih besar jika dibandingkan dengan galat untuk derajat 3, dan

selisih galatnya negatif. Perlu diingat bahwa data asli belum tentu bentuk

polinomial, koefisien derajat tinggi pada saat tidak kecil, tetapi pada

tahap ini, ada satu koefisien derajat tinggi yang berlawanan tanda

(Teorema 2.2), yang berarti perhitungan harus berhenti pada tahap tersebut

dan yang dipilih sebagai derajat optimal adalah derajat sebelumnya, yaitu

.

Contoh 2.7 Penerapan Regresi Polinomial

Asumsikan peneliti telah mengumpulkan data sebanyak 15 berisi

pengukuran hasil panen dari percobaan yang dilakukan pada lima tingkat

suhu yang berbeda. Variabelnya adalah hasil dan suhu dalam

derajat Fahrenheit. Temukan model dengan menggunakan regresi

polinomial dengan derajat optimal. Berikut diberikan tabel data:

Suhu ( ) Hasil ( )

1 50 3.3

2 50 2.8

3 50 2.9

4 70 2.3

5 70 2.6

6 70 2.1

7 80 2.5

8 80 2.9

9 80 2.4

10 90 3.0

11 90 3.1

12 90 2.8

13 100 3.3


37

14 100 3.5

15 100 3.0

(Sumber data: Kumar, K. N. R. (2020). Econometrics. Sri Lanka: CRC

Press. Halaman 365)

Jawab:

Untuk mencari derajat optimal akan digunakan bantuan perangkat lunak R

yang listing programnya berada pada lampiran 7. Sehingga didapat hasil

sebagai berikut

det( ( )) ∑ ( ⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ )

1 6.600 0.6589

0.1931 0.8519 0.1118

2 0.073

2.2744

-4.3918

3.0731

0.9558 0.0698 0.0419

3 8.655e-06

6.0147

-20.4082

25.0449

-9.7185

0.9329 0.0656 0.0042

4 0

Tabel 2.4

Dari tabel 2.4 dapat dilihat bahwa meskipun standar error derajat 3 lebih

kecil dibandingkan dengan derajat 2, namun determinannya lebih

mendekati nol, lalu ada koefisien besar yang berlawanan tanda, dan jumlah

koefisiennya mulai menyimpang. Dengan demikian kita dapat berhenti


38

pada proses perhitungan derajat 3. Jadi, derajat yang optimal adalah

derajat 2. Berikut akan dilakukan perhitungan regresi polinomial dengan

derajat dua.

( ) [

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

] [

]

( )

[ ∑

∑

∑ ]

[

]

( ) ( ))

[

]

Jadi, didapat tiga koefisien, yaitu , ,

dan . Dari koefisien tersebut dapat dibentuk suatu model

sebagai berikut

( )

Dengan menggunakan teori pada regresi berganda, dapat dibentuk selang

kepercayaan ( ) bagi ( ), yaitu

⁄ √

( )

√

( )

Sebagai contoh, untuk , maka sehingga

, -

Selang kepercayaan 95% bagi ( ) adalah

, - [

] ( )( )( )


39

Sehingga batas bawahnya adalah 2.5273 dan batas atasnya adalah 2.9928.

Proses pendugaan model di atas dilakukan secara ringkas dilakukan

melalui tahapan berikut:

1. Menghitung ∑ ∑ ∑

∑

∑ ∑ dan ∑

2. Membentuk matriks ( ) dan membentuk matriks ( )

3. Mencari invers dari matriks ( )

4. Menghitung dengan cara mengalikan hasil invers matriks ( )

dan matriks ( )

5. Mendapatkan hasil dan membentuk persamaan

6. Menghitung selang kepercayaan bagi ( )

Sebagai kesimpulan, untuk menentukan derajat polinomial yang optimal,

langkah-langkahnya dapat dituliskan sebagai berikut:

1. Dimulai dari hubungan linier dengan dan naikkan satu pada

setiap langkah.

2. Hitung determinan, koefisien, jumlah koefisien, standar error regresi,

dan selisih standar error (untuk ).

3. Periksa singularitas determinan, koefisien derajat tertinggi, koefisien

yang tersisa, jumlah koefisien, standar error regresi, dan selisih

standar error.

4. Berhenti di jika koefisien derajat tertinggi ternyata kecil, dan atau

selisih standar error negatif, dan gunakan sebagai derajat yang

ideal.

5. Berhenti di jika determinan mendekati nol, sehingga matriks

menjadi singular, ada koefisien besar yang berlawanan tanda, jumlah

koefisien mulai menyimpang dari nilai ideal, atau standar error kecil.

Dapat gunakan sebagai derajat yang ideal.


40

F. Ukuran Kebaikan Model

Dalam regresi, tujuan yang utama adalah menemukan model yang

terbaik untuk melakukan peramalan. Salah satunya adalah dengan

menggunakan Mean Squared Error (MSE). Konsep dari MSE adalah

mengkuadratkan masing-masing galat. Kemudian dijumlahkan dan dibagi

dengan banyak observasi. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

∑( )

G. Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi juga termasuk dalam kriteria untuk melihat

apakah model regresi yang di dapat adalah model yang terbaik. Koefisien

determinasi biasanya digunakan untuk melihat model linier. Koefisien

determinasi juga biasa dikenal dengan R-Square, . Nilai dari koefisien

determinasi adalah . Apabila koefisien determinasi bernilai ,

maka dapat disimpulkan bahwa tidak ada hubungan antara variabel dan

variabel .

Apabila koefisien determinasi bernilai , maka dapat disimpulkan

bahwa terdapat hubungan yang sangat kuat (sempurna) antara variabel

dan variabel . Apabila koefisien determinasi bernilai di antaranya, maka

dapat disimpulkan bahwa ada sekian persen variasi variabel dapat

dijelaskan oleh variabel . Secara umum dapat disimpulkan bahwa

semakin besar nilai , maka semakin baik model yang didapatkan.

Definisi 2.3

Koefisien determinasi didefinisikan sebagai berikut:

∑ ( )

∑ ( )


41

Nilai tidak pernah negatif dan batasnya adalah .

Dalam notasi matriks nilai adalah

Contoh 2.8 Penerapan Koefisien Determinasi dan MSE

Dengan menggunakan data pada contoh 2.7 akan dicari nilai

( ) ( )

3.3 2.96 0.3400 0.1156

2.8 2.96 -0.1600 0.0256

2.9 2.96 -0.0600 0.0036

2.3 2.47 -0.1700 0.0289

2.6 2.47 0.1300 0.0169

2.1 2.47 -0.3700 0.1369

2.5 2.54 -0.0400 0.0016

2.9 2.54 0.3600 0.1296

2.4 2.54 -0.1400 0.0196

3 2.84 0.1600 0.0256

3.1 2.84 0.2600 0.0676

2.8 2.84 -0.0400 0.0016

3.3 3.35 -0.0500 0.0025

3.5 2.35 1.1500 1.3225

3 2.35 0.6500 0.4225

dengan maka diperoleh

∑ ( )

∑ ( )


42

∑( )

Sehingga didapat nilai yang berarti variasi variabel

dapat dijelaskan oleh variabel dan MSE nya adalah

⁄ √

( )∑( )

⁄ √

∑( )

⁄ √

⁄

Selang kepercayaan 95% bagi adalah

⁄ √

( )

( ) ( )( )

Berikut akan diberikan grafik antara data, model, dan selang kepercayaan

bagi dengan bantuan perangkat lunak R yang listing program di

lampiran 8 dan lampiran 9.


43

Titik-titik hitam adalaham data yang diamati, garis berwarna biru adalah

gasir regresi, dan pita abu-abu merupakan selang kepercayaan 95% bagi

dengan bagian atas garis regresi adalah batas atas dan bagian bawah adalah

batas bawah atas dugaan hasil untuk setiap nilai suhu.


44

BAB III

METODE NADARAYA-WATSON

Pada bab ini, yang ingin dicapai ada dua hal. Yang pertama adalah

mengenalkan metode pemulusan nonparametrik yang berguna untuk

mengestimasi fungsi regresi dan yang kedua adalah menunjukkan

beberapa masalah mendasar yang muncul pada saat menerapkan metode

tersebut. Pemulusan yang dimaksud adalah menghilangkan atau

mengurangi keteracakan data. Tujuan dari pemulusan adalah untuk

menghapus variabilitas data yang tidak memiliki pengaruh dan untuk

membuat pola sistematis dari data menjadi lebih jelas. Pemulusan

digunakan dalam berbagai metode nonparametrik yang digunakan untuk

mengestimasi fungsi.

Dalam analisis data, kita belajar bagaimana variabel merespon

perubahan dalam variabel . Data diamati pada titik ,

secara berurutan. Data tersebut dapat ditulis dalam bentuk model

( ) (3.1)

dengan adalah fungsi yang berada dalam interval tertutup , - dan

merupakan variabel random yang tidak teramati yang dapat kita

sebut dengan galat. Asumsikan galat tersebut saling bebas atau tidak

berkorelasi dan ( ) dan ( ) . Hasil akhir

yang ingin dituju adalah menyimpulkan fungsi regresi pada setiap

dalam interval tertutup , -.


45

A. Analisis Regresi Nonparametrik

Pada tahun 1942, Wolfowitz pertama kali mengenalkan istilah

nonparametrik. Menurut Eubank (1999), regresi nonparametrik tidak

membutuhkan asumsi sebelumnya mengenai bentuk kurva regresi ataupun

distribusi galat. Akibatnya regresi nonparametrik bersifat lebih fleksibel

terhadap perubahan pola data. Regresi ini sangat fleksibel dan

menghasilkan pola yang mendekati data asli. Dikatakan mendekati asli

karena melibatkan penggunaan fungsi kernel dan jendela (bandwidth)

dalam pendugaannya. Menurut Hardle (1990), regresi nonparametrik

adalah pendugaan model yang dilakukan berdasarkan pendekatan yang

tidak terikat asumsi bentuk kurva regresi tertentu. Secara umum regresi

nonparametrik merupakan suatu metode regresi untuk mengetahui pola

hubungan antara variabel bebas ( ) dengan variabel terikat .

Secara umum, model regresi nonparametrik sangat sederhana dan

mudah untuk diingat.

( ) (3.2)

Dengan ( ) adalah fungsi regresi nonparametrik yang akan diduga

dengan penduga Nadaraya-Watson dan adalah galat regresi yang tidak

bergantung dengan variabel dan memenuhi beberapa syarat seperti:

( )

( )

( )

Regresi nonparametrik yang hanya memiliki satu variabel bebas disebut

dengan regresi nonparametrik sederhana. Regresi nonparametrik tersebut

dimodelkan sebagai berikut

( ) (3.3)


46

Regresi nonparametrik sederhana sering juga disebut dengan pemulusan

diagram pencar (scatterplot smoothing).

B. Gagasan Tentang Pemulusan

Pemulusan dari suatu himpunan data *( )+ memerlukan

pendekatan dari rata-rata kurva dalam hubungannya dengan model

regresi

( ) (3.4)

Fungsi (3.4) dapat berupa kurva regresi itu sendiri, turunan tertentu atau

fungsi turunan seperti titik ekstrim. Pengumpulan data dapat dilakukan

dengan berbagai cara. Jika terdapat pengamatan berulang pada titik

pendugaan ( ) dapat dilakukan hanya dengan menggunakan rata-rata

dari nilai yang sesuai. Di sebagian besar studi mengenai model regresi

pada persamaan (3.4), hanya ada satu variabel respon dan variabel

prediktor tunggal yang menjadi vektor dalam .

Menurut Hardle (1994) dalam suatu studi yang sederhana meskipun

tidak mungkin bahwa kurva regresi konstan. Dengan mengasumsikan

kurva yang dimodelkan sebagai fungsi kontinu yang mulus dari struktur

tertentu yang hampir konstan di sekitar . Menilai dari scatterplot dua

dimensi apakah kurva regresi konstan secara lokal adalah hal yang sulit.

Sehingga sulit untuk memutuskan hanya dengan melihat kumpulan data ini

apakah fungsi regresi adalah fungsi yang mulus. Namun, terkadang

inspeksi data secara grafis sangat membantu. Melihat histogram dua

dimensi atau peningkatan grafis serupa dapat memberikan dukungan untuk

asumsi kemulusan. Untuk himpunan data yang besar, lompatan kecil

dalam dapat terjadi dan kurva regresi yang halus kemudian hanya

merupakan pendekatan terhadap kurva yang sebenarnya.


47

Gambar 3.1

Pada Gambar 3.3, sebaran kumpulan data pengeluaran untuk

konsumsi makanan ( ) dan pendapatan bersih ( ) ditunjukkan. Plot

sebaran seluruh data ini tampak tidak jelas, terutama di sudut kiri bawah.

Untuk ilustrasi di atas, plot konsumsi makanan versus pendapatan bersih

terlihat halus di mata kita. Data terlihat lebih terkonsentrasi dalam

gerombolan yang halus. Gerombolan ini tidak memiliki lompatan nyata

atau fluktuasi lokal yang cepat. Oleh karena itu, perkiraan yang wajar

untuk kurva regresi ( ) akan menjadi titik representatif yang dekat

dengan pusat dari kumpulan variabel respons ini. Rata-rata dari variabel

respons di dekat titik merupakan pilihan yang cukup alami. Rata-rata

lokal ini harus dibuat dengan baik sehingga hanya ditentukan dari

pengamatan di lingkungan kecil di sekitar . Apabila dilakukan suatu

pengamatan yang jauh dari titik maka secara umum akan memiliki nilai

rata-rata yang berbeda. Prosedur rata-rata lokal ini dapat dilihat sebagai ide

dasar pemulusan.


48

Definisi 3.1

Secara lebih formal penduga model regresi dengan prosedur ini dapat

didefinisikan sebagai

( )

∑ ( )

(3.5)

dengan *( ( ))+ adalah barisan bobot yang bergantung pada seluruh

vektor * + .

Setiap metode pemulusan yang akan dijelaskan di sini adalah

bentuk asimtotik dari (3.5). Penduga regresi ( ) sering disebut pemulus

dan hasil dari prosedur pemulusan disebut mulus (Tukey, 1977). Hasil dari

pemulusan adalah suatu fungsi linier. Pada gambar 3.4 fungsi linier

ditunjukkan dengan garis berwarna hitam.

Gambar 3.2 Hasil pemulusan

C. Rata-Rata Lokal

Rata-rata lokal adalah metode nonparametrik yang paling

sederhana dan yang paling jelas untuk mengestimasi fungsi regresi.


49

Misalnya kita ingin menduga nilai fungsi ( ) untuk , -. Jika

kontinu, maka nilai-nilai fungsi pada yang dekat dengan harus cukup

dekat dengan ( ). Hal ini menunjukkan bahwa merata-rata nilai yang

bersesuaian dengan yang dekat dengan akan menghasilkan pendugaan

di sekitar ( ) yang tidak bias. Rata-rata memiliki efek yang baik, yaitu

mengurangi variabilitas yang timbul dari galat. Perlu dipahami bahwa

( ) adalah nilai fungsi yang sebenarnya dan merupakan penduga dari

( ) dengan besar galat yang akan diberikan.

Contoh 3.1

Berikut ini diberikan contoh 50 data acak yang dibangkitkan dengan

( ) ( ( ) ) dan ( )

dan

saling bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi

( ) , yang ditulis ( ( ) ). Grafik hasil simulasi dengan

perangkat lunak R yang listing programnya dilampirkan adalah sebagai

berikut

Gambar 3.3 plot dari 50 data

Gambar 3.3 didapat dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menghitung .

2. Mensubtitusi ke fungsi ( ).


50

3. Menghitung error dengan rumus norminv(rand(),0,0.125). Yang

dimaksud adalah membangkitkan data error secara acak yang

berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan standar deviasi

sebesar 0.125.

4. Menghitung dengan menjumlahkan fungsi ( ) dan error.

5. Melakukan ploting data.

Berdasarkan data tersebut, akan dilakukan pendugaan fungsi ( ).

Proses pendugaan dilakukan dengan langkah-langkah berikut. Untuk

setiap terdapat interval tertutup , -, di mana h adalah

bilangan positif terkecil. Bayangkan bahwa interval tersebut merupakan

suatu jendela yang terbentuk dengan menggunakan dua garis yang sejajar

dengan sumbu dan mengenai sumbu pada dan . Jendela

merupakan bagian dari bidang ( ) yang terletak di antara dua garis

tersebut. Selanjutnya perhatikan pasangan ( ) yang terletak di dalam

jendela, dan rata-rata semua data tersebut. Hasil dari rata-rata tersebut

adalah pendugaan nilai fungsi ( ). Jendela dapat dipindah ke kiri atau ke

kanan untuk menghitung pendugaan di sembarang titik. Hasil pendugaan

biasanya disebut dengan pendugaan jendela atau rata-rata bergerak.

Berdasarkan contoh 3.1, berikut akan diterapkan metode rata-rata

lokal untuk mengestimasi ( ), yang langkah-langkahnya sebagai berikut.

1. Menentukan besarnya , yaitu 0.1.

2. Menentukan titik untuk menghitung estimasi, yaitu

dan .

3. Membuat interval tertutup. Untuk interval tertutupnya

diperoleh dengan mengurangkan dan menambahkan pada

untuk memperoleh batas-batas interval , - dan untuk

interval tertutupnya adalah , -.

4. Menggambar interval tertutup.


51

5. Menghitung estimasi pada sembarang titik . Didapat pada titik

estimasinya ( ) ( ( ( ) ) )

dan pada titik estimasinya ( ) ( ( ( )

) ) .

Hasil simulasinya sebagai berikut. Listing program dapat dilihat pada

lampiran 1.

Gambar 3.4 Rata-Rata Lokal

Dari gambar 3.4 kita tahu bahwa titik-titik berwarna merah merupakan

hasil pendugaan rata-rata dari setiap interval. Garis putus-putus merupakan

batas interval dengan sebesar 0.1. Jika titik-titik merah dihubungkan,

akan menghasilkan kurva yang merupakan penduga bagi pola sebaran

data.

D. Sejarah Kernel

Kata kernel sendiri berasal dari Bahasa Inggris Kuno dan Bahasa

Proto-Jerman yang merujuk pada sebuah benih, atau ke inti, pusat atau

esensi dari suatu objek. Kesamaan linguistik antara "kern" Jerman dan

"kernel" tampaknya disebabkan oleh derivasi historis yang serupa. Kata

"kernel" diduga berasal dari kata Proto-Jermanik, yaitu "kurną" atau

jagung yang direkrontuksi. Jadi, berdasarkan sejarah ini, tampaknya secara


52

etimologis, kata "kernel" mengacu pada benih, inti atau esensi, dan

didasarkan pada Anglicisation dari kata Jerman kuno untuk jagung.

Menurut Fredholm, pada tahun 1903 kernel dalam Bahasa Perancis

dikenal dengan kata “noyau” yang berarti inti. Lalu David Hilbert pada

tahun 1904 mengadopsi istilah tersebut dan menulisnya dalam Bahasa

Jerman, yaitu "kern" yang berarti inti. Istilah-istilah tersebut digunakan

dalam konteks penulisan tentang persamaan integral dalam analisis

fungsional. Lalu pada tahun 1909, Bôcher menulis dalam Bahasa Inggris,

yaitu "kernel" yang digunakan untuk merujuk ke objek yang sama. Istilah

ini kemudian menyebar dalam literatur berbahasa Inggris tentang analisis

fungsional, analisis Fourier, dan kemudian probabilitas dan statistik.

E. Pemulus Kernel

Rata-rata yang lebih kompleks dari rata-rata lokal adalah penduga

kernel atau biasa kita kenal dengan pemulus kernel. Rata-rata sederhana

yang sebelumnya telah dibahas selanjutnya akan diganti dengan jumlah

bobot, yaitu ( ) . Bobot yang besar diberikan untuk

pada yang lebih dekat dengan titik pendugaan . Penduga kernel ada

tiga macam, yaitu penduga Nadaraya-Watson, penduga Gasser-Muller, dan

penduga Priestley-Chao. Pada tugas akhir ini pembahasan dibatasi hanya

pada penduga Nadaraya-Watson.

Definisi 3.2

Penduga Nadaraya-Watson didefinisikan sebagai berikut

( )

∑ .

/

∑ .

/

(3.6)

dengan adalah fungsi yang disebut kernel, adalah bandwidth (jendela)

atau parameter pemulusan dan sebagai pengontrol kemulusan dari

.


53

Apabila data yang didapat berasal dari fungsi kepadatan peluang

gabungan ( ) dan model regresi seperti persamaan (3.2). Penurunan

estimator ( ) dari kepadatan peluang gabungan ( ) dapat ditulis

sebagai berikut:

( ) ( | )

( ) ∫ ( | )

( ) ∫ ( )

∫ ( )

Apabila diketahui bahwa

( )

∑ (

) 4

5

Maka, didapat

∫ ( )

∫ ∑ (

) 4

5

Dan

∫ ∑ 4

5

Sehingga dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:

∫ ( )

∑ (

)

Dengan dan adalah sebuah bilangan positif yang disebut dengan

jendela. Selanjutnya untuk bagian penyebut, dapat ditulis seperti berikut:

∫ ( )

∫∑ (

) 4

5

(3.7)


54

merupakan bentuk fungsi kernel yang kontinu dan apabila

diintegralkan sama dengan 1.

∫ 4

5

Sehingga persamaan (3.7) dapat ditulis sebagai berikut:

∫ ( )

∑ (

)

( )

Sehingga

( ) ∫ ( )

∫ ( )

∑ .

/

∑ .

/

( ) ∑ .

/

∑ .

/

( ) ∑ ( )

Dengan

( ) .

/

∑ .

/

Dengan

( ) .

/

∑ .

/

Rata-rata lokal yang sebelumnya dibahas merupakan kasus khusus

dari (3.6). Dikatakan kasus khusus karena pada rata-rata lokal nilai tidak

terbatas pada interval , -. Pernyataan pada kalimat sebelumnya sama

halnya pada saat kita membahas mengenai rata-rata lokal, yaitu lebar


55

jendela sebagai pengontrol kemulusan rata-rata bergerak. Ilustrasi pada

gambar 3.5 hingga 3.7 merupakan kasus khusus dari persamaan (3.6)

dengan (kernel persegi), dengan

( )

( )( )

dan adalah fungsi indikator dari himpunan A, yaitu

( ) 2

.

Contoh 3.2 Penggunaan Pemulus Kernel Persegi

Berikut adalah ilustrasi penggunaan persamaan (3.2) dengan menggunakan

kernel persegi yang mengacu pada contoh 3.1 dengan nilai yang

bervariasi, yaitu .

Gambar 3.5 grafik dengan lebar jendela sebesar 0.188


1. Mendefinisikan atau membuat fungsi-fungsi yang diperlukan.

2. Memunculkan plot dari data.

3. Mendefinisikan batas sumbu xj.

4. Memasukkan fungsi ( ).


56

5. Membuat garis regresi dengan penduga Nadaraya-Watson

dengan jendela sebesar 0.188 dan fungsi kernel persegi.

6. Membuat legenda atau keterangan gambar.

Listing program R untuk gambar 3.5 terdapat pada lampiran 12.


Gambar 3.6 didapat dengan langkah-langkah seperti langkah mendapatkan

gambar 3.5 dengan mengubah Listing program R untuk gambar 3.6

terdapat pada lampiran 13.


57





Dari ketiga jendela di atas dan setelah di hitung Mean Squared Error nya

yang dapat dilihat pada bagian lampiran, didapat hasil sebagai berikut:

MSE

0.02 0.007

0.042 0.01

0.188 0.0440

Tabel 3.1

Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin besar h maka errornya semakin

besar. Artinya ada perbedaan yang signifikan antara data asli dengan

pendugaan. Jadi berdasarkan hasil Mean Squared Error model yang

terbaik adalah model dengan jendela .


58

Contoh 3.3 Penggunaan Pemulus Kernel Gauss

Berikut ini dicontohkan penggunaan kernel Gauss.

( )

√ 4

5

Dengan mengacu pada contoh 3.1. berikut akan diilustrasikan

menggunakan estimasi Nadaraya-Watson dengan menggunakan kernel

Gauss dan besar jendela yang bervariasi. yaitu 0.0135. 0.051. dan 0.2.

Gambar 3.8 dengan jendela 0.2





4. Memasukan fungsi ( ).

5. Membuat garis regresi dengan penduga Nadaraya-Watson

dengan jendela sebesar 0.2 dan fungsi kernel Gauss.




59

Persamaan regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-

Watson dari gambar 3.8 secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

( )

∑

√ 4

( .

/)

5

∑

√ 4

( .

/)

5

Gambar 3.9 dengan jendela sebesar 0.051



terdapat pada lampiran 16. Persamaan regresi nonparametrik kernel

dengan penduga Nadaraya-Watson dari gambar 3.9 secara matematis dapat

ditulis sebagai berikut:

( )

∑

√ 4

( .

/)

5

∑

√ 4

( .

/)

5


60

Gambar 3.10 dengan jendela 0.0135

Gambar 3.10 didapat dengan langkah-langkah seperti langkah

mendapatkan gambar 3.8 dengan mengubah Listing program R untuk

gambar 3.10 terdapat pada lampiran 17. Persamaan regresi nonparametrik

kernel dengan penduga Nadaraya-Watson dari gambar 3.10 secara

matematis dapat ditulis sebagai berikut:

( )

∑

√ 4

( .

/)

5

∑

√ 4

( .

/)

5

Dari ketiga jendela di atas dan setelah di hitung Mean Squared Error nya

yang dapat dilihat pada bagian lampiran. didapat hasil sebagai berikut:

MSE

0.0135 0.005

0.051 0.01093

0.2 0.04891

Tabel 3.2

Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin besar maka errornya semakin



61

pendugaan. Jadi model yang terbaik berdasarkan hasil dari Mean Squared

Error adalah model dengan jendela .

F. Fungsi Kernel

Fungsi kernel merupakan bagian yang harus diperhatikan dalam

proses pendugaan. Menurut Rosenblatt memberi bobot pada setiap

pengamatan, dengan memilih fungsi sehingga pengamatan yang lebih

dekat ke akan memberi sumbangan yang lebih besar terhadap ( )

Fungsi ini merupakan fungsi pembobot yang dinamakan fungsi kernel

(Hardle,1994). Bentuk bobot kernel ditentukan oleh fungsi kernel

sedangkan ukuran bobotnya ditentukan oleh parameter pemulus yang

disebut bandwidth. Umumnya. fungsi kernel dengan bandwidth dapat

dinyatakan sebagai berikut

( )

.

/ di mana

Selain itu. fungsi kernel juga harus memenuhi beberapa sifat. yaitu:

( ) , untuk semua

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Fungsi kernel ada bermacam-macam jenisnya. Fungsi kernel yang

umumnya sering digunakan adalah fungsi kernel Gauss. Berikut akan

ditunjukkan dalam bentuk tabel jenis-jenis fungsi kernel dan bentuk fungsi

kernel.


62

Seragam (Uniform) ( )

( )( )

Segitiga (Triangle) ( ) ( | |) ( )( )

Epanechnikov ( )

( ) ( )( )

Kuadratik (Quadratic) ( )

( ) ( )( )

Triweight ( )

( ) ( )( )

Gauss (Normal) ( )

√ 4

( )5 ( )( )

Cosinus ( )

.

/ ( )( )

dengan adalah fungsi indikator.

Namun perlu diketahui bahwa menurut (Hardle,1990) pemilihan

fungsi kernel tidaklah begitu penting. Hal tersebut dikarenakan dengan

menggunakan bandwidth yang optimal pada fungsi kernel yang berbeda,

hasil estimasi kurva regresinya hampir sama. Sehingga bagian yang paling

penting untuk pemulusan adalah pemilihan parameter penghalus atau

bandwidth.

G. Pemilihan Jendela Dengan Metode Validasi Silang (Cross

Validation)

Masalah utama dalam pemulus kernel bukan pada pemilihan fungsi

kernel, melainkan pada pemilihan jendela. Jendela (h) adalah parameter

pemulus (smoothing) yang berfungsi untuk mengontrol kemulusan dari

kurva yang diestimasi. Jendela yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva


63

yang under-smoothing yang berarti sangat kasar dan sangat fluktuatif. dan

jendela yang terlalu besar akan menghasilkan kurva yang over-smoothing

yang berarti sangat mulus, tetapi tidak sesuai dengan pola data (Hardle,

1994). Under-smoothing dan over-smoothing berbeda dengan under-fitting

dan over-fitting. Under-fitting berarti model yang dihasilkan tidak dapat

menangkap trend atau pola pada data. Sedangkan over-fitting berarti model

yang dihasilkan merupakan model yang paling baik untuk data latihan.

Namun, apabila model digunakan dengan data yang lain, hasilnya tidak

cukup baik. Salah satu cara untuk mendapatkan jendela yang optimal

adalah dengan menggunakan validasi silang.

Ide dasar dari validasi silang adalah seseorang membangun suatu

model dari satu bagian data kemudian menggunakan model tersebut untuk

memprediksi sisa data. Untuk suatu model yang diketahui dapat dihitung

galat prediksi rata-rata untuk semua data yang diprediksi. Di antara model-

model yang ada, model yang terbaik adalah model yang meminimalkan

kesalahan prediksi rata-rata. Untuk data yang muncul pada persamaan

(3.1), pertimbangkan penduga generik dari yang dilambangkan dengan

( ), adalah parameter penghalusan. Bentuk validasi silang yang

paling sering digunakan dalam regresi adalah “Leave-One-Out”. Misalkan

( ) adalah penduga regresi dengan tipe yang sama dengan ( )

kecuali ia dihitung tanpa nilai data pada ( ).

Inti dari validasi silang adalah membagi data yang sudah ada

menjadi beberapa sub himpunan. Dari sub himpunan yang telah

terbentuk, sub himpunan yang ada digunakan untuk membentuk

model dan satu sub himpunan lainnya digunakan untuk menguji model

yang telah didapatkan.


64

Definisi 3.3

Parameter penghalus validasi silang adalah nilai yang meminimumkan

( ).

( )

∑( ( ))

Contoh 3.4

Berikut akan diberikan contoh sembarang fungsi ( ) dan

akan dicari nilai yang meminimumkan dengan cara manual.

( )

∑( ( ))

( )

∑(

( ) ( ) )

( )

∑(

)

Lalu, untuk mendapatkan nilai kita perlu menurunkan fungsi

untuk mencari titik kritis.

∑(

)

∑

∑

∑

( ) ( )


65

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Berikut akan dicoba penerapan rumus pada suatu data secara acak.

6 9 3 8 7 5 8 10

30 49 18 42 39 25 41 52

Dari tabel 3.3 di atas didapat nilai sebesar 23 dengan ∑ dan

∑ .

Contoh 3.4 merupakan contoh yang sederhana untuk mendapatkan nilai .

Namun, apabila fungsinya rumit kita dapat menggunakan metode yang

telah kita pelajari pada perkuliahan metode numeris. Sebagai contoh, kita

dapat mendapatkan nilai dengan menggunakan metode secant, metode

biseksi, metode Newton Raphson, dan masih banyak lagi. Pada tugas akhir

ini metode-metode tersebut tidak dibahas dan proses menemukan untuk

fungsi-fungsi yang lebih kompleks diperoleh dengan bantuan perangkat

lunak R.


66

Contoh 3.5

Berdasarkan contoh 3.1 akan diterapkan validasi silang untuk mencari

jendela yang optimum sehingga didapat

Gambar 3.11 hasil jendela yang optimum dengan validasi silang.


1. Menginput data.

2. Membuat fungsi-fungsi yang diperlukan untuk perhitungan.

seperti cvNW. bw.cv.grid. dll yang nantinya akan diberikan pada

lampiran.

3. Menghitung jendela.

Pada gambar 3.11 ditunjukkan suatu grafik yang menghasilkan besar

jendela yang optimal. Jendela yang optimal tersebut ditunjukkan pada titik

pada sumbu horizontal yang merupakan perpotongan dengan garis vertikal

berwarna merah, yaitu . Listing program R untuk gambar 3.11



67

Gambar 3.12 plot dengan kernel Gauss dan





4. Memasukan fungsi ( ).

5. Membuat kurva regresi dengan penduga Nadaraya-Watson

dengan jendela sebesar 0.04938776 dan fungsi kernel Gauss.



Persamaan regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-

Watson dari gambar 3.12 secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

( )

∑

√ 4

( .

/

)

5

∑

√ 4

( .

/)

5

Sebagaimana dalam model regresi polinomial, diperlukan nilai standar

error bagi model untuk mengetahui seberapa baik model yang dihasilkan.


68

Menurut Wand and Jones (1995) standar error dari ( ) adalah sebagai

berikut:

( ) √

( )

Untuk kernel Gauss,

√

Dengan

( )

∑ .

/

∑( ( ))

Sehingga selang kepercayaan bagi ( ) bagi ( ) adalah

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Untuk gambar 3.12 didapat selang kepercayaan sebagai berikut:

( ) ( )

( ) √

( )


69

BAB IV

PENERAPAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN MODEL REGRESI

KERNEL NADARAYA WATSON UNTUK HARGA EMAS

Pada bab ini akan dibahas metode dan tahap-tahap memodelkan

data harga beli satu gram emas sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga

tanggal 23 Maret 2020. Data tersebut akan dimodelkan dengan

menggunakan metode regesi polinomial dan metode regresi nonparametrik

kernel, serta penggunaan cross validation sebagai metode untuk

menemukan jendela yang optimal.

A. Sumber Data

Data yang digunakan dalam studi kasus ini diambil dari

https://monexnews.com/harga-emas.htm?searchdatefrom=01-01

2019&searchdateto=01-11-2019 yang bersumber dari website

Logammulia.com.

B. Variabel Penelitian dan Langkah-Langkah

Data yang digunakan pada studi kasus ini adalah data tentang harga

beli mas fisik per gram sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga 23 Maret

2020. Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah harga beli 1

gram emas menurut tanggal. Variabel penjelas ( ) yang di gunakan adalah

waktu sedangkan variabel respon ( ) adalah harga beli 1 gram emas.

Variabel waktu ( ) bernilai yang merupakan indeks waktu

diskrit bagi tanggal-tanggal pengamatan harga emas harian.

Langkah-langkah analisis yang akan dilakukan dalam penelitian ini

adalah sebagai berikut:

1. Membuat scatterplot antara hari (x) dan harga emas 1 gram (y)

untuk mengetahui hubungan antara kedua variabel.


https://monexnews.com/harga-emas.htm?searchdatefrom=01-01%202019&searchdateto=01-11-2019

https://monexnews.com/harga-emas.htm?searchdatefrom=01-01%202019&searchdateto=01-11-2019

70

2. Memodelkan harga emas 1 gram dengan model regresi

polinomial

3. Menentukan derajat optimal polinomial

4. Membuat estimasi dengan model regresi polinomial

5. Memodelkan harga emas 1 gram dengan model regresi

polinomial

6. Memodelkan harga emas 1 gram metode regresi nonparametrik

kernel

7. Memilih jendela yang optimal.

8. Membuat kurva estimasi regresi kernel

9. Membandingkan model regresi polinomial dan regresi

nonparametrik kernel.

10. Interpretasi model.

Dalam proses pengolahan data digunakan perangkat lunak R versi 3.4.1

C. Hasil Scatterplot Data

Sebelumnya, perlu diketahui bahwa data yang digunakan sejak

awal bulan Febuari 2020 hingga Maret 2020 sedang berlangsung suatu

pandemi yang dikenal dengan Virus Corona. Berikut akan diberikan grafik

data keseluruhan, grafik sebelum terjadi pandemi dan grafik sesudah

terjadi pandemi.

Hubungan yang terbentuk antara variabel respon harga beli satu

gram emas dengan variabel prediktor, yaitu waktu ( ) dapat ditunjukkan

pada gambar 4.1. Gambar 4.1 menunjukkan bahwa pola hubungan yang

terbentuk antara harga jual emas 1 gram ( ) pada tahun 2019 hingga bulan

Maret tahun 2020. Berdasarkan hasil scatterplot, secara umum mulai pada

tanggal 3 Mei hingga pada tanggal 6 September terjadi kenaikan. Lalu

setelah tanggal 6 September terjadi penurunan hingga tanggal 14

September dan setelah itu harga 1 gram mas terbilang hampir konstan.

Namun demikian, mulai akhir tahun 2019 tepatnya mulai tanggal 30

Desember 2019 harga 1 gram mas mulai melonjak naik lalu menurun lagi


71

hingga tanggal 18 Maret 2020 dan setelah itu mengalami kenaikan

kembali. Garis vertikal putus-putus berwarna merah menunjukkan batas

sebelum dan sesudah terjadi pandemi.

Gambar 4.1 Scatterplot Antara Waktu dan Harga Emas 1 Gram

Selanjutnya akan diberikan diberikan gambar grafik sebelum dan

sesudah terjadi pandemi. Gambar 4.2 menunjukkan grafik sebelum terjadi

pandemi yang terjadi sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga 30 Januari 2020.

Sedangkan gambar 4.3 menunjukkan grafik sesudah terjadi pandemi yang

terjadi sejak tanggal 1 Februari 2020 hingga 23 Maret 2020.


72

Gambar 4.2 Scatterplot Sebelum Terjadi Pandemi

Gambar 4.3 Scatterplot Setelah Terjadi Pandemik

1 F

ebru

ari 2

02

0

13

Feb

ruar

i 20

20

25

Feb

ruar

i 20

20

3 M

ei 2

01

9

2 J

anu

ari 2

01

9

2 M

are

t 2

01

9

17

Ju

li 2

01

9

14

Sep

t 2

01

9

8 N

ov

20

19

7 J

anu

ari 2

02

0

17

Mar

et

20

20

25

Feb

ruar

i 20

20

13

Feb

ruar

i 20

20

1 F

ebru

ari 2

02

0

6 M

are

t 2

02

0


73

Dari gambar 4.2 dapat disimpulkan bahwa pada bagian akhir kurva trend

nya terbilang konstan lalu mulai terjadi kenaikan sedikit demi sedikit. Lalu

pada gambar 4.3 kurvanya memiliki trend naik seiring semakin

bertambahnya harga beli satu gram emas.

D. Pemodelan dengan Regesi Polinomial

Dengan bantuan perangkat lunak R, gambar 4.1 akan didekati oleh

model regresi polinomial. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah

mencari derajat polinomial yang optimal dengan cara melakukan

normalisasi pada tiap variabel, sebagaimana telah dibahas pada sub bab E

pada bab 2. Proses normalisasi didapat dengan membagi setiap data

dengan nilai maksimum dari tiap variabel. Selanjutnya akan diberikan

tabel yang akan digunakan untuk mendapatkan derajat polinomial yang

optimal.

( ( )) ∑ ( ⁄ )

( ⁄ )

( ⁄ )

1 11162.92 0.7380

0.1929 0.9309 0.0230

2 22697.08

0.7419

0.1698

0.0231

0.9347 0.0229 6.4677e-05

3 2966.52

0.7481

0.0955

0.2080

-0.1229

0.9287 0.0228 0.00012

4 6.0157e-

11

Tabel 4.1


74

Dari tabel di atas, jika kita bandingkan determinan matriks untuk

setiap derajat polinomial , maka pada , determinannya mendekati

nol, yang berarti matriks ( ) mendekati singular. Penggunaan polinomial

berderajat empat akan mengakibatkan variansi dari pendugaan menjadi

besar, sehingga model tidak akurat. Dengan demikian dapat disimpulkan

bahwa derajat polinomial yang optimal adalah .

Setelah mendapatkan derajat yang optimal, yaitu derajat tiga, yang

harus dilakukan adalah melakukan proses regresi polinomial. Berikut

adalah hasil dari proses regresi polinomial derajat tiga.

Gambar 4.4 Scatterplot Data Dengan Didekati Kurva Regresi Polinomial

Berderajat Tiga

Dari gambar 4.4 didapat persamaan regresi polinomial berderajat tiga

sebagai berikut:

dengan MSE sebesar 393.13.

Dengan demikian, pendekatan terbaik untuk data harga beli satu gram

emas adalah regresi polinomial berderajat tiga dengan MSE sebesar

393.13. Model polinomial berderajat tiga ini memiliki koefisien

determinasi R2 sebesar 0.8569 dan selang kepercayaannya sebagai berikut:


75

√

( )

( ) √

( )

Misalnya untuk , maka batas bawahnya adalah 787.249 dan batas

atasnya adalah 882.204. Untuk mendapatkan selang kepercayaan tersebut

dibantu dengan software R yang listing programnya dapat dilihat pada

lampiran.

E. Pemodelan Dengan Metode Regresi Nonparametrik Kernel

Dalam pendekatan regresi nonparametrik kernel, dikenal adanya

jendela. Jendela merupakan parameter pemulus yang berfungsi untuk

mengontrol kemulusan dari kurva yang diestimasi. Metode yang

digunakan untuk mencari jendela yang optimal adalah Leave-One-Out

Cross Validation (LOOCV). Dengan bantuan perangkat lunak R didapat

jendela optimal sebesar 0.514514.

Gambar 4.5 Hasil Grafik Nilai Yang Optimal

Gambar 4.5 merupakan grafik hasil nilai yang optimal. Garis vertical

berwarna merah menunjukkan nilai yang optimal, yaitu 0.514514.

Setelah didapat nilai jendela yang optimal, selanjutnya yang dilakukan

adalah menduga model dengan metode Nadaraya-Watson.


76

Setelah mendapatkan nilai jendela yang optimal, yaitu

kita dapat memodelkan regresi nonparametrik kernel. Untuk

menunjukan bahwa dengan sudah yang terbaik, penulis

akan membandingkannya dengan jendela , jendela dan

jendela . Setelah itu, penulis akan menghitung besar MSE dan

koefisien determinasi R2 dan dari hasil yang ada dipilih nilai MSE yang

paling minimum dan R2 maksimum.

Gambar 4.6 Pendekatan Nadaraya-Watson dengan

Pemodelan dengan metode Nadaraya-Watson pada gambar 4.6

ditunjukkan dengan garis berwarna merah dan lingkaran hitam pada

gambar merupakan data awal. Dari gambar 4.6 didapat persamaan regresi

nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-Watson sebagai berikut:

∑

√ 4

( .

/)

5

∑

√ 4

( .

/)

5

dengan MSE sebesar dan R2 sebesar 0.9977. Selang kepercayaan

95% bagi ( ) adalah


77

( ) ( )

( ) √

( )


Dari gambar 4.7 didapat persamaan regresi nonparametrik kernel dengan

penduga Nadaraya-Watson sebagai berikut:

∑

√ .

( ( ))

/

∑

√ .

( ( ))

/

dengan MSE sebesar 5.731 dan R2 sebesar 0.9941. Selang kepercayaan

95% bagi ( ) adalah

( ) ( )

( ) √

( )


78


Dari gambar 4.8 didapat persamaan regresi nonparametrik kernel dengan

penduga Nadaraya-Watson sebagai berikut:

∑

√ 4

( .

/)

5

∑

√ 4

( .

/)

5

dengan MSE sebesar 40.095 dan R2 sebesar 0.9673. Selang kepercayaan

95% bagi ( ) adalah

( ) ( )

( ) √

( )

Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin besar maka galatnya semakin


pendugaan. Jadi model yang terbaik berdasarkan hasil dari Mean Squared

Error adalah model dengan jendela dengan nilai MSE

sebesar dan R2 sebesar 0.9977.

Dari penjelasan di atas, dapat dibentuk dua model regresi

nonparametrik kernel. Yang pertama adalah dengan estimasi Nadaraya-


79

Watson dan yang kedua dengan fungsi kernel Gauss. Tujuan dari

pembentukan model estimasi Nadaraya-Watson adalah untuk

mendapatkan nilai estimasi ( ) atau ( ).

( ) ∑ .

/

∑ .

/

( ) ∑ .

/

∑ .

/

Lalu yang kedua adalah dengan fungsi kernel Gauss. Berdasarkan

hasil perhitungan jendela yang optimum dan dengan menggunakan fungsi

kernel Gauss, didapatkan model regresi nonparametrik kernel sebagai

berikut:

( )

∑ .

/

∑ .

/

∑

√ 4

( .

/)

5

∑

√ 4

( .

/)

5

Keterangan:

variabel terikat (harga emas 1 gram)

nilai dimana fungsi kernel dihitung

nilai variabel bebas

jendela


80

F. Perbandingan Hasil Prediksi Dengan Menggunakan Regresi

Polinomial dan Regresi Nonparametrik Kernel

Pada tahap ini, yang akan dilakukan penulis adalah melakukan

prediksi harga beli satu gram emas. Dalam proses mendapatkan model

regresi yang terbaik digunakan data sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga

tanggal 23 Maret 2020. Model pada kasus ini nilai pada tanggal 24

Maret 2020 sampai tanggal 30 Maret 2020 sudah diketahui, hal tersebut

berguna untuk membandingkan nilai aktual dengan nilai hasil

prediksi. Hasil dari prediksi dapat digunakan para pembeli emas untuk

memperoleh keuntungan dengan meminimumkan pengeluaran.

Model yang digunakan untuk memprediksi ada dua. Yang pertama

adalah model regresi polinomial berderajat tiga dan yang kedua adalah

model regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-Watson

dengan jendela sebesar 0.514514. Berikut akan diberikan gambar grafik

yang membandingkan harga asli untuk membeli satu gram emas dengan

harga hasil prediksi dengan menggunakan dua model yang telah

disebutkan di atas.

Gambar 4.9 Grafik Prediksi Dengan Regresi Polinomial

Pada gambar 4.9 listing program berada di lampiran.. Di dalam gambar

terdapat dua warna dalam grafik. Titik hitam menunjukkan data asli harga

beli satu gram emas. Warna biru menunjukkan hasil prediksi harga beli

satu gram emas dengan menggunakan model regresi polinomial berderajat


81

tiga dan warna merah muda menunjukkan hasil prediksi harga beli satu

gram emas tujuh hari ke depan. Untuk lebih jelasnya, akan diberi tabel

untuk melihat hasil perbandingan antara nilai aktual dan nilai prediksi.

Tanggal Nilai Aktual Nilai Prediksi

24 Maret 2020 919.000 835.631

25 Maret 2020 924.000 836.540

26 Maret 2020 924.000 837.454

27 Maret 2020 926.000 838.371

28 Maret 2020 924.000 839.292

29 Maret 2020 911.000 840.219

30 Maret 2020 918.000 841.149

Berikut diberikan grafik model regresi polinomial secara keseluruhan yang

programnya dapat dilihat pada lampiran 30. Garis putus-putus tegak lurus

berwarna merah menunjukkan batas nilai prediksi harga emas seminggu

ke depan

Gambar 4.10 Grafik Keseluruhan Regresi Polinomial


82

Gambar 4.11 Grafik Prediksi Dengan Regresi Nonparametrik

Pada gambar 4.11 terdapat dua warna dalam grafik. Titik hitam

menunjukkan data asli harga beli satu gram emas. Warna merah muda

menunjukkan hasil prediksi harga beli satu gram emas dengan

menggunakan model regresi nonparametrik kernel dengan

dan warna merah menunjukkan hasil prediksi harga beli satu gram emas

tujuh hari kedepan. Untuk lebih jelasnya, akan diberi tabel untuk melihat

hasil perbandingan antara nilai aktual dan nilai prediksi.

Tanggal Nilai Aktual Nilai Prediksi

24 Maret 2020 919.000 912.832

25 Maret 2020 924.000 923.395

26 Maret 2020 924.000 924.230

27 Maret 2020 926.000 925.529

28 Maret 2020 924.000 922.721

29 Maret 2020 911.000 913.328

30 Maret 2020 918.000 917.083


83

Berikut diberikan grafik model regresi nonparametrik secara keseluruhan

yang programnya dapat dilihat pada lampiran 32.

Gambar 4.12 Grafik Keseluruhan Regresi Nonparametrik

Dari gambar 4.9 dapat disimpulkan bahwa regresi polinomial

berderajat tiga tidak cukup baik untuk memprediksi harga beli satu gram

emas. Hal tersebut ditunjukkan dengan hasil prediksi yang berada jauh di

bawah harga asli. Sedangkan untuk gambar 4.11, yaitu hasil prediksi harga

beli satu gram emas dengan regresi nonparametrik kernel dengan penduga

Nadaraya-Watson dapat dikatakan baik. Hal tersebut ditunjukkan dengan

hasil prediksi yang berada di atas dan di bawah harga asli. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa untuk memprediksi harga beli satu gram emas lebih

baik menggunakan model regresi nonparametrik kernel dengan penduga

Nadaraya-Watson. Pernyataan tersebut juga didukung dengan melihat

besarnya nilai Mean Squared Error dan besarnya koefisien determinasi.

Berikut akan diberikan tabel Mean Squared Error dan koefisien

determinasi dari dua model yang telah disebutkan di atas.


84

Model Mean Squared Error Koefisien

Determinasi

Regresi Polinomial 393.13 0.8569

Regresi Nonparametrik 0.822 0.9977

Tabel 4.2 Tabel Mean Squared Error

Dari tabel 4.2 sangat jelas bahwa metode regresi nonparametrik lebih baik

daripada metode regresi polinomial. Hal ini ditunjukkan dengan lebih

kecilnya nilai MSE pada regresi nonparametrik dibandingan dengan nilai

MSE pada regresi polinomial. Selain itu juga dapat dilihat dari koefisien

determinasinya. Untuk model regresi nonparametrik terbilang sangat baik

karena nilainya hampir mendekati satu.


85

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dijelaskan pada

bab sebelumnya, didapat dua model, yaitu model dengan metode regresi

polinomial dan model dengan menggunakan metode Nadaraya-Watson.

Pada tugas akhir ini dilakukan pencarian derajat polinomial yang optimal

untuk pembuatan model. Sedangkan pemodelan dengan metode Nadaraya-

Watson dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu jendela optimal

dengan metode cross validation atau validasi silang.

Hasil analisis menunjukkan didapat dua model, yaitu model regresi

polinomial berderajat tiga dan model regresi dengan metode Nadaraya-

Watson dengan bandwidth sebesar 0.514514. Dari model regresi

polinomial didapat nilai MSE sebesar 393.13 dan .

Persamaan dari model regresi polinomial berderajat tiga adalah sebagai

berikut:

Sedangkan untuk model regresi dengan metode Nadaraya-Watson

didapat nilai MSE sebesar 6.654 dan . Persamaan dari model

regresi dengan metode Nadaraya-Watson adalah sebagai berikut:

∑

√ 4

( .

/)

5

∑

√ 4

( .

/)

5

Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa model yang terbaik

adalah model dengan menggunakan regresi nonparametrik kernel dengan

metode Nadaraya-Watson.


86

B. Saran

Dalam penulisan tugas akhir skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan.

Oleh karena itu, beberapa hal yang dapat disarankan oleh penulis untuk

penelitian selanjutnya adalah:

1. Peneliti selanjutnya dapat menggunakan estimasi selain

estimasi Nadaraya-Watson seperti estimasi Gasser-Muler dan

Priestley-Chao.

2. Penelitian ini hanya menggunakan fungsi kernel Gauss. Peneliti

selanjutnya diharapkan dapat menggunakan fungsi kernel

lainnya.

3. Dapat melakukan perbandingan penduga mana yang digunakan

paling baik atau melakukan perbandingan fungsi kernel mana

yang paling baik.

4. Dapat mencoba menggunakan variabel bebas yang lebih dari

satu atau multivariat.

5. Dapat membahas lebih lanjut mengenai regresi polinomial.

6. Dapat membahas regresi semiparametrik


87

DAFTAR PUSTAKA

Bowerman, Bruce L., O’Connell, Richard T. (1990). Linear Statistical Models An

Applied Approach Second Edition. United States of Amerika: Wadsworth,

Inc.

Eubank, Randall L. (1999). Nonparametrik Regression and Spline Smoothing

Second Edition. United States of Amerika: Marcel Dekker, Inc.

Fengping, Li., Yuqing, Zhou., Wei, Xue. (2016). Parameter Optimization for

Nadaraya-Watson Kernel Regression Method with Small Samples.

International Journal of Advanced Research in Artificial Intelligence

(IJARAI). Vol.5, No.5.

Gemal, A., Imbens, G. (2014). Why High-Order Polinomials Should not be Used

in Regression Discontinuity Designs. JEL. No.C01,C1.

Ghosh, Sucharitta. (2018). Kernel Smoothing: Principles, Methods and

Applications. New Jersey: John Wiley & Sons Ltd.

Hardle, Wolfgang. (1990). Smoothing Techniques with Implementation in S.

United States of America: Press Syndicate of the University of Cambridge.

Hardle, Wolfgang. (1994). Applied Nonparametrik Regression. United States of

America: Press Syndicate of the University of Cambridge.

Hart, Jeffrey D. (1997). Nonparametrik Smoothing and Lack of Fit Test. United

States of Amerika: Springer-Verlag New York, Inc.

Kumar, K. N. R. (2020). Econometrics. South Asia: CRC Press.


88

Kung, S. Y. (2014). Kernel Methods and Machine Learning. New York:

Cambridge University Press.

Linton, O., Mammen, E., Nielsen, J., Tanggaard, C. (1998). Estimating Yield

Curves By Kernel Smoothing Methods. SFB 373 Discussion Paper.

No.1999, 1-54.

Pakdemirli, Mehmet. (2016). A New Perturbation Approach to Optimal

Polinomial Regression. Mathematical and Computational Aplications.

Vol.21, No.1.

Rawlings, J. O., Pantula, S. G., Dickey, D. A. (1998). Applied Regression

Analysis: A Research Tool Second Edition. United States of America:

Springer-Verlag New York, Inc.

Schucany, William R. (2004). Kernel Smoothers: An Overview of Curve

Estimators for the First Graduate Course in Nonparametrik Statistics.

Statistical Science. Vol.19, No. 4, 663-675.

Wackerly, D.D., III, M. W., Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics With

Application. United States of America: Thomson Learning, Inc.

Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., Ye, K. (2012). Probability and

Statistic for Engineers and Scientists 9th

ed. United States of America:

Pearson Education, Inc.

Wand, M., Jones, M. (1995). Kernel Smoothing. United States of America:

Chapman and Hall.


89

https://stats.stackexchange.com/questions/341826/why-the-name-kernel-in-stats-

and-ml Diakses tanggal 19 Februari 2020

https://www.datatechnotes.com/2019/02/regression-model-accuracy-mae-mse-

rmse.html Diakses tanggal 10 November 2019.

https://www.ritchieng.com/machine-learning-evaluate-linear-regression-model/

Diakses tanggal 11 November 2019.

https://www.svms.org/kernels/ Diakses tanggal 19 Februari 2020

http://howtoinr.weebly.com/add-reference-lines.html Diakses tanggal 27 Februari

2020

https://id.wikipedia.org/wiki/Investasi Diakses tanggal 14 Mei 2020


https://stats.stackexchange.com/questions/341826/why-the-name-kernel-in-stats-and-ml

https://stats.stackexchange.com/questions/341826/why-the-name-kernel-in-stats-and-ml

https://www.datatechnotes.com/2019/02/regression-model-accuracy-mae-mse-rmse.html

https://www.datatechnotes.com/2019/02/regression-model-accuracy-mae-mse-rmse.html

https://www.ritchieng.com/machine-learning-evaluate-linear-regression-model/

https://www.svms.org/kernels/

http://howtoinr.weebly.com/add-reference-lines.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Investasi

90

LAMPIRAN

Lampiran 1. List program contoh 2.1

>

Y=matrix(c(0.0,0.91,0.96,0.89,1,1.1,1.15,1.03,0.77,1.07,1.07,0.94,1.1,1.1,1.1,0.91

,0.87,0.78,0.82,0.95),ncol=1)

>

X=matrix(c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,72.40,41.6,34.30,35.10,10.7,12.

9,8.3,20.1,72.2,24,23.2,47.4,31.50,10.6,11.2,73.3,75.4,96.6,107.4,54.9,76.3,70.3,7

7.1,68,79,67.4,66.8,76.9,77.7,67.7,76.8,86.6,76.9,86.3,86,76.3,77.9,78.7,86.8,70.9

,29.18,29.35,29.24,29.27,29.78,29.39,29.69,29.48,29.09,29.6,29.38,29.35,29.63,2

9.56,29.48,29.4,29.28,29.29,29.03,29.37),nrow=20,ncol=4)

> t(X)%*%X

> solve(t(X)%*%X)

> t(X)%*%Y

> beta=solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y

> beta


> X=matrix(c(1,1,1,1,0.02,0.07,0.11,0.15),nrow=4,ncol=2)

> Xt=t(X)

> P=X%*%(solve(Xt%*%X))%*%Xt

> P

> xy=76.99-((0.35*911)/4)


91

> xy

> x2=0.0399-(0.35^2/4)

> b1=xy/x2

> b1

> b0=227.75-(b1*0.0875)

> b0

> B=matrix(c(253.434,-293.531),nrow=2,ncol=1)

> B

> ytopi=X%*%B

> ytopi

> y=matrix(c(242,237,231,201),nrow=4,ncol=1)

> y

> e=y-ytopi

> e


> P=X%*%(solve(Xt%*%X))%*%Xt

> P

> SSE=t(Y)%*%Y-t(B)%*%t(X)%*%Y

> SSE

> sigmakuadrat=(SSE/(4-2))

> sigmakuadrat


92

> sigma=sqrt(SSE/(4-2))

> sigma


> x = c(0,1,2,3,4,5,6,7)

> y = c(1,2.2,2.9,4,5.2,6.1,6.8,7.9)

# MENCARI NILAI MAKSIMUM TIAP VARIABEL #

> maksx=max(x)

> maksx

> maksE=max(y)

> maksE

# MELAKUKAN PROSES NORMALISASI #

> xbar=x/maksx

> xbar

> ybar=y/maksE

> ybar

# PROSES MENCARI DERAJAT OPTIMAL #

> N=length(x)

> N

# Untuk n=1

> m1=matrix(c(N, sum(xbar), sum(xbar),sum((xbar)^2)),nrow=2, ncol=2)

> d1=det(m1)


93

> d1

> y1=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar)),nrow=2,ncol=1)

> k1 = solve(m1)%*%y1

> k1

> jk1=sum(k1)

> jk1

> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar

> e1=sum((ybar-yb1)^2)

> se1=sqrt((1/(8-(1+1)))*e1)

> se1

# Untuk n=2

> m2=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2),

sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),

sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4)),nrow=3, ncol=3)

> m2

> d2=det(m2)

> d2

> y2=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2)),nrow=3,ncol=1)

> k2 = solve(m2)%*%y2

> k2

> jk2=sum(k2)

> jk2


94

> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)


> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)

> se2

> sse2=se1-se2

> sse2


> x = c(0,1,2,3,4,5,6,7)

> y = c(0,1,5,9,14,25,37,49)


> maksx=max(x)

> maksx

> maksE=max(y)

> maksE


> xbar=x/maksx

> xbar

> ybar=y/maksE

> ybar


> N=length(x)


95

> N

# Untuk n=1


> d1=det(m1)

> d1


> k1 = solve(m1)%*%y1

> k1

> jk1=sum(k1)

> jk1

> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar


> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)

> se1

# Untuk n=2




> m2

> d2=det(m2)

> d2



96

> k2 = solve(m2)%*%y2

> k2

> jk2=sum(k2)

> jk2

> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)


> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)

> se2

> sse2=se1-se2

> sse2

# Untuk n=3

> m3=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),

sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),

sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),

sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6)),

nrow=4, ncol=4)

> m3

> d3=det(m3)

> d3

>

y3=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2),sum(ybar*(xbar)^3))

,nrow=4,ncol=1)

> k3 = solve(m3)%*%y3


97

> k3

> jk3=sum(k3)

> jk3

> yb3=k3[1]+k3[2]*xbar+k3[3]*(xbar^2)+k3[4]*(xbar^3)


> se3=sqrt((1/(N-(3+1)))*e3)

> se3

> sse3=se2-se3

> sse3


> x = c(0,1,2,3,4,5,6,7)

> y = c(0,1,5,9,14,25,37,49)


> maksx=max(x)

> maksx

> maksE=max(y)

> maksE


> xbar=x/maksx

> xbar

> ybar=y/maksE


98

> ybar


> N=length(x)

> N

# Untuk n=1


> d1=det(m1)

> d1


> k1 = solve(m1)%*%y1

> k1

> jk1=sum(k1)

> jk1

> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar


> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)

> se1

# Untuk n=2




> m2


99

> d2=det(m2)

> d2


> k2 = solve(m2)%*%y2

> k2

> jk2=sum(k2)

> jk2

> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)


> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)

> se2

> sse2=se1-se2

> sse2

# Untuk n=3





nrow=4, ncol=4)

> m3

> d3=det(m3)

> d3


100

>


,nrow=4,ncol=1)

> k3 = solve(m3)%*%y3

> k3

> jk3=sum(k3)

> jk3



> se3=sqrt((1/(N-(3+1)))*e3)

> se3

> sse3=se2-se3

> sse3

# Untuk n=4

> m4=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),

sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),

sum((xbar)^2),sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),

sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),sum((xbar)^7)),

nrow=5, ncol=5)

> m4

> d4=det(m4)

> d4


101


> x=c(50,50,50,70,70,70,80,80,80,90,90,90,100,100,100)

> x

> y=c(3.3,2.8,2.9,2.3,2.6,2.1,2.5,2.9,2.4,3,3.1,2.8,3.3,3.5,3.0)

> y


> maksx=max(x)

> maksx

> maksE=max(y)

> maksE


> xbar=x/maksx

> xbar

> ybar=y/maksE

> ybar


> N=length(x)

> N

# Untuk n=1


> d1=det(m1)

> d1


102


> k1 = solve(m1)%*%y1

> k1

> jk1=sum(k1)

> jk1

> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar


> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)

> se1

# Untuk n=2




> m2

> d2=det(m2)

> d2


> k2 = solve(m2)%*%y2

> k2

> jk2=sum(k2)

> jk2

> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)


103


> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)

> se2

> sse2=se1-se2

> sse2

# Untuk n=3





nrow=4, ncol=4)

> m3

> d3=det(m3)

> d3

>


,nrow=4,ncol=1)

> k3 = solve(m3)%*%y3

> k3

> jk3=sum(k3)

> jk3




104

> se3=sqrt((1/(N-(3+1)))*e3)

> se3

> sse3=se2-se3

> sse3

# Untuk n=4





nrow=5, ncol=5)

> m4

> d4=det(m4)

> d4

# hasilnya udah singular

>

X=matrix(c(15,1170,95700,1170,95700,8127000,95700,8127000,710490000),nro

w=3,ncol=3)

> X

> Y=matrix(c(42.5,3345,276810),nrow=3,ncol=1)

> Y

> Y1=t(Y)

> Y1

> beta=solve(X)%*%Y


105

> beta

> B1=t(beta)

> B1

> ytopi=7.9604811-0.1537113*suhu+0.0010756*(suhu^2)

> ytopi

> X0=matrix(c(1,55,3025),nrow=3,ncol=1)

> X0

> SSE=sum(((hasil-ytopi)^2))

> SSE

> S=sqrt(SSE/(15-3))

> S

> talfa=2.1788

# SELANG KEPERCAYAAN

> kiri=t(X0)%*%beta

> kiri

> kanan=(talfa)*S*(sqrt(t(X0)%*%solve(X)%*%X0))

> kanan

> bawah=kiri-kanan

> bawah

> atas=kiri+kanan

> atas


106


> hasil = data$Y

> suhu= data$X

> D = data.frame("x"=suhu,"H" = hasil)

> D

> plot(suhu,hasil)

> suhu2=suhu^2

> reg2=lm(hasil~suhu+suhu2,data=D)

> summary(reg2)

> prediksi=predict(reg2, newdata = D)

> lines(suhu,prediksi,col=2)

> ggplot()+geom_point(aes(x=suhu,y=hasil))+

geom_line(aes(x=suhu,y=ytopi),color="blue")

> ytopi=7.9604811-0.1537113*suhu+0.0010756*(suhu^2)

> ytopi

> ybar=mean(hasil)

> ybar

> MSE=sum(((hasil-ytopi)^2))/length(hasil)

> MSE

> pembilang=sum((ytopi-ybar)^2)

> pembilang

> penyebut=sum((hasil-ybar)^2)


107

> penyebut

> R2=pembilang/penyebut

> R2

> SSE=sum(((hasil-ytopi)^2))

> SSE

> S=sqrt(SSE/(length(hasil)-3))

> S

> bawah=suppressWarnings(ytopi-(1.96*S))

> bawah

> atas=suppressWarnings(ytopi+(1.96*S))

> atas

> batas=data.frame(cbind(bawah,atas))

> colnames(batas)=c('Batas Bawah','Batas Atas')

> batas

Lampiran 10. List program Gambar 3.3

> data.contoh.3.1 <- read.delim("D:/USD/Bahan Skripsi/R skripsi/BAB 3/data co

ntoh 3.1.txt")

> View(data.contoh.3.1)

> attach(data.contoh.3.1)

> plot(xj,Yj)


> plot(xj,Yj)


108

> abline( v = c(0.1,0.3,0.5,0.7,0.9), lty = 2)

> xj1=c(0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+0.23+0.25+0.27+0.29)/10

> yj1=(0.0581+0.1915+0.1793+0.2925+0.5146+0.5732+0.5722+0.3971+0.5793+

0.7054)/10

> xj2=c(0.31+0.33+0.35+0.37+0.39+0.41+0.43+0.45+0.47+0.49)/10

> yj2=(0.8421+0.7296+0.5418+0.8205+0.8846+0.9759+0.8825+1.1172+1.0666+

1.0246)/10

> xj3=c(0.51+0.53+0.55+0.57+0.59+0.61+0.63+0.65+0.67+0.69)/10

> yj3=(1.0445+0.9133+1.1539+1.0939+0.8092+0.8091+0.8458+0.8964+0.7476+

0.7164)/10

> xj4=c(0.71+0.73+0.75+0.77+0.79+0.81+0.83+0.85+0.87+0.89)/10

> yj4=(0.6299+0.6369+0.5356+0.6526+0.5331+0.2614+0.6026+0.1163+0.3188+

0.0347)/10

> points(xj1,yj1,pch=15,col="red")+points(xj2,yj2,pch=15,col="red")+

+ points(xj3,yj3,pch=15,col="red")+points(xj4,yj4,pch=15,col="red")

Lampiran 12. List program Gambar 3.5 plot data dengan

> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {

+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)

+ W <- Kx / rowSums(Kx)

+ drop(W %*% Y)

+ }

> dataa <- read.delim("E:/Bahan Skripsi/R skripsi/BAB 3/data contoh 3.1.txt")

> View(dataa)

> attach(dataa)

> xgrid=seq(0,1,l=50)

> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2

> plot(xj,Yj)

> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)

> lines(ksmooth(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.188),


109

+ kernel = c("box"), bandwidth = 0.188),col=2)

> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),lwd = 2, c

ol = 1:2)





+ drop(W %*% Y)

+ }


> View(dataa)

> attach(dataa)


> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2

> plot(xj,Yj)





ol = 1:2)





+ drop(W %*% Y)

+ }



110

> View(dataa)

> attach(dataa)


> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2

> plot(xj,Yj)





ol = 1:2)



> Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)

> W <- Kx / rowSums(Kx)

> drop(W %*% Y)

> }

> contoh.3.3 <- read.delim("~/contoh 3.3.txt")

> View(contoh.3.3)

> data=contoh.3.3

> attach(data)

> plot(xj,Yj)


> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2


> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.2), col = 2)


ol = 1:2)



111




> drop(W %*% Y)

> }


> View(contoh.3.3)

> data=contoh.3.3

> attach(data)

> plot(xj,Yj)


> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2




ol = 1:2)





> drop(W %*% Y)

> }


> View(contoh.3.3)

> data=contoh.3.3

> attach(data)

> plot(xj,Yj)


> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2


112




ol = 1:2)

Lampiran 18. List program Gambar 3.11 mendapatkan nilai yang terbaik




+ drop(W %*% Y)

+ }

> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2


> cvNW <- function(X, Y, h, K = dnorm) {

+ sum(((Y - mNW(x = X, X = X, Y = Y, h = h, K = K)) /

+ (1 - K(0) / colSums(K(outer(X, X, "-") / h))))^2)

+ }

> bw.cv.grid <- function(X, Y,

+ h.grid = diff(range(X)) * (seq(0, 1, l = 50))^2,

+ K = dnorm, plot.cv = FALSE) {

+ obj <- sapply(h.grid, function(h) cvNW(X = X, Y = Y, h = h, K = K))

+ h <- h.grid[which.min(obj)]

+ if (plot.cv) {

+ plot(h.grid, obj, type = "o")

+ abline(v = h, col = 2, lwd = 2)

+ }

+ h

+ }

> hCV <- bw.cv.grid(X = X, Y = Y, plot.cv = TRUE)

> hCV


113


> plot(xj,Yj)


> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = X, Y = Y, h = hCV), col = 2)

> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),

+ lwd = 2, col = 1:2)

Lampiran 20. List program scatterplot data Gambar 4.1

> Emas = dataa$`Harga 1gr`

> xgrid=c(1:nrow(dataa))

> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)

> plot(c(1:373),Emas)


> Emas = sebelum$`Harga 1gr`

> xgrid=c(1:nrow(sebelum))


> D


# MEMUNCULKAN GAMBAR REGRESI POLINOMIAL

> reg = lm(formula = Emas ~poly(x, 3),data = D)

> summary(reg)



114

> lines(xgrid,predict(reg, newdata = D) , col = 2)

Lampiran22. List program Gambar 4.3

> Emas = setelah$`Harga 1gr`

> xgrid=c(1:nrow(setelah))


> D


# MEMUNCULKAN GAMBAR REGRESI POLINOMIAL

> reg = lm(formula = Emas ~poly(x, 3),data = D)

> summary(reg)



Lampiran 23. List program Tabel 4.1

> Emas = data2$`Harga 1gr`

> xgrid=c(1:nrow(data2))


> maksx=max(xgrid)

> maksx

> maksE=max(Emas)

> maksE


115


> xbar=xgrid/maksx

> xbar

> ybar=Emas/maksE

> ybar


> N=length(xgrid)

> N

# Untuk n=1


> d1=det(m1)

> d1


> k1 = solve(m1)%*%y1

> k1

> jk1=sum(k1)

> jk1

> yb1=0.7379802+0.1929428*xbar


> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)

> se1

# Untuk n=2


116




> m2

> d2=det(m2)

> d2


> k2 = solve(m2)%*%y2

> k2

> jk2=sum(k2)

> jk2

> yb2=0.74185847+0.16979956*xbar+0.02308014*(xbar^2)


> se2=sqrt((1/(N-(1+1)))*e2)

> se2

> sse2=se1-se2

> sse2

# Untuk n=3






117

nrow=4, ncol=4)

> m3

> d3=det(m3)

> d3

>


,nrow=4,ncol=1)

> k3 = solve(m3)%*%y3

> k3

> jk3=sum(k3)

> jk3

> yb3=0.74810578+0.09554219*xbar+0.20796539*(xbar^2)-

0.12292098*(xbar^3)


> se3=sqrt((1/(N-(1+1)))*e3)

> se3

> sse3=se2-se3

> sse3

# Untuk n=4






118

nrow=5, ncol=5)

> m4

> d4=det(m4)

> d4

Lampiran 24. List program Gambar 4.4 regresi polinomial berderajat tiga

> reg = lm(formula = E ~poly(x, 3),data = D)



Lampiran 25. List program Gambar 4.5 pemilihan optimal




+ drop(W %*% Y)

+ }





> cvNW <- function(X, Y, h, K = dnorm) {

+ sum(((Y - mNW(x = X, X = X, Y = Y, h = h, K = K)) /


119

+ (1 - K(0) / colSums(K(outer(X, X, "-") / h))))^2)

+ }

> bw.cv.grid <- function(X, Y,

+ h.grid = diff(range(X)) * (seq(0, 1, l = 366))^2,

+ K = dnorm, plot.cv = FALSE) {

+ obj <- sapply(h.grid, function(h) cvNW(X = X, Y = Y, h = h, K = K))

+ h <- h.grid[which.min(obj)]

+ if (plot.cv) {

+ plot(h.grid, obj, type = "o")

+ abline(v = h, col = 2, lwd = 2)

+ }

+ h

+ }

> hCV <- bw.cv.grid(X = xgrid, Y = data2$`Harga 1gr`, plot.cv = TRUE)

> hCV

Lampiran 26. List program Gambar 4.6 regresi nonparametrik kernel dengan




+ drop(W %*% Y)

+ }


120





> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = c(1:nrow(data2)), Y = data2$`Harga 1gr`, h =

0.514514),col=2)





+ drop(W %*% Y)

+ }






1),col=2)




121



+ drop(W %*% Y)

+ }






5),col=2)


# MEMUNCULKAN GAMBAR DARI DATA

> Emas = harga_mas$`Harga 1gr`

> xgrid=c(1:nrow(harga_mas))


# REGRESI POLINOMIAL UNTUK FUMGSI M(x)

> x2=xgrid^2

> x3=xgrid^3

> reg3=lm(E~x+x2+x3,data=D)

> summary(reg3)

> y2=predict(reg3,newdata=D)

> xv=c(367,368,369,370,371,372,373)


122

> y3=predict(reg3,list(x=xv,x2=xv^2,x3=xv^3))

> y3

> ggplot()+geom_point(aes(x=xgrid,y=Emas),color="black")+

geom_line(aes(x=xgrid[1:366],y=y2[1:366]),color="blue")+

geom_line(aes(x=xgrid[367:373],y=y3),color="magenta")



> Emas = harga_mas$`Harga 1gr`

> xgrid=c(1:nrow(harga_mas))


# REGRESI POLINOMIAL UNTUK FUMGSI M(x)

> x2=xgrid^2

> x3=xgrid^3

> reg3=lm(E~x+x2+x3,data=D)

> summary(reg3)

> y2=predict(reg3,newdata=D,interval='confidence',level=0.95)

> y2

> xv=c(367,368,369,370,371,372,373)

> y3=predict(reg3,list(x=xv,x2=xv^2,x3=xv^3))

> y3

> plot(xgrid,Emas)


123

> abline( v = c(367), lty = 2,col="red")

> lines(xgrid,y2[,1],col='magenta')

> lines(xgrid[367:373],y3,col='black')

> lines(xgrid,y2[,2],col='blue')

> lines(xgrid,y2[,3],col='purple')

> legend("topleft",c("model","prediksi","batas bawah","batas atas"),

col=c("magenta","black","blue","purple"),lwd=3)





+ drop(W %*% Y)

+ }


> Emas1 = harga_mas$`Harga 1gr`

> xgrid1=c(1:nrow(harga_mas))

> D1 = data.frame("x"=xgrid1,"E" = Emas1)

> y4=mNW(x = xgrid1, X = xgrid1, Y = harga_mas$`Harga 1gr`, h = 0.514514)

> y4

> ggplot()+geom_point(aes(x=xgrid1,y=Emas1),color="black")+

geom_line(aes(x=xgrid1[1:366],y=y4[1:366]),color="magenta")+


124

geom_line(aes(x=xgrid1[367:373],y=y4[367:373]),color="red")





+ drop(W %*% Y)

+ }

> Emas1 = harga_mas$`Harga 1gr`

> xgrid1=c(1:nrow(harga_mas))

> D = data.frame("x"=xgrid1,"E" = Emas1)

> modelreg=mNW(x = xgrid1, X = xgrid1, Y = harga_mas$`Harga 1gr`,

h = 0.514514)

> modelreg

# SELANG KEPERCAYAAN

> c=1/(2*sqrt(pi))

> h=0.514514

> n=length(xgrid1)

> sigmakuadrat=(1/n)*sum((Emas-mNW(x = xgrid1, X = xgrid1, Y =

harga_mas$`Harga 1gr`, h = 0.514514)))

> sigmakuadrat

> n*h

> pembilang=(c)*sigmakuadrat


125

> pembilang

> fx=(1/(n*h))*(sum((1/sqrt(2*pi))*exp((1/2)*(-(200-201)/h)^2)))

> fx

> penyebut=n*h*fx

> s=sqrt(pembilang/penyebut)

> s

> pem=(sum((1/sqrt(2*pi))*exp((1/2)*(-(373-372)/h)^2)))*Emas

> pem

> pen=(sum((1/sqrt(2*pi))*exp((1/2)*(-(373-372)/h)^2)))

> mx=(pem/pen)

> mx

> bawah=mx-(1.96*s)

> bawah

> atas=mx+(1.96*s)

> atas

> tabel=data.frame(bawah,atas)

> tabel

> plot(xgrid,Emas)

> abline( v = c(367), lty = 2,col="red")

> lines(xgrid,modelreg,col='magenta')

> lines(xgrid[367:373],modelreg[367:373],col='black')

> lines(xgrid,bawah,col='blue')


126

> lines(xgrid,atas,col='purple')

> legend("topleft",c("model","prediksi","batas bawah","batas atas"),

col=c("magenta","black","blue","purple"),lwd=3)

Lampiran 33. Tabel hasil Gambar 3.5

( ) ( ( )) ( ( ))

0.0738 0.3065 -0.2327 0.0542

0.0708 0.3233 -0.2525 0.0638

0.0469 0.3412 -0.2943 0.0866

0.0114 0.3601 -0.3487 0.1216

0.3510 0.3800 -0.0290 0.0008

0.2530 0.4010 -0.1480 0.0219

0.1484 0.4229 -0.2744 0.0753

0.1878 0.4457 -0.2579 0.0665

0.2745 0.4693 -0.1948 0.0379

0.2810 0.4934 -0.2124 0.0451

0.4569 0.5181 -0.0612 0.0037

0.4662 0.5429 -0.0768 0.0059

0.5930 0.5678 0.0252 0.0006

0.7611 0.5924 0.1686 0.0284

0.6341 0.6165 0.0176 0.0003

0.6781 0.6397 0.0384 0.0015

0.8435 0.6618 0.1817 0.0330

0.9467 0.6823 0.2644 0.0699

0.9111 0.7011 0.2100 0.0441

0.9117 0.7177 0.1940 0.0376

0.7368 0.7320 0.0048 0.0000

1.0380 0.7436 0.2944 0.0867


127

0.8231 0.7524 0.0707 0.0050

0.9409 0.7583 0.1826 0.0333

0.8530 0.7610 0.0919 0.0085

1.1014 0.7607 0.3407 0.1161

0.9482 0.7571 0.1910 0.0365

0.8953 0.7505 0.1448 0.0210

0.9214 0.7410 0.1804 0.0326

0.7419 0.7286 0.0133 0.0002

0.8948 0.7136 0.1813 0.0329

0.7845 0.6962 0.0883 0.0078

0.8400 0.6767 0.1633 0.0267

0.7053 0.6554 0.0499 0.0025

0.9824 0.6326 0.3498 0.1224

0.5818 0.6085 -0.0267 0.0007

0.7406 0.5836 0.1570 0.0246

0.5304 0.5581 -0.0278 0.0008

0.5519 0.5323 0.0196 0.0004

0.4290 0.5065 -0.0775 0.0060

0.6263 0.4809 0.1454 0.0212

0.1382 0.4557 -0.3174 0.1008

0.2403 0.4311 -0.1908 0.0364

0.1366 0.4072 -0.2707 0.0733

0.2547 0.3842 -0.1296 0.0168

-0.1162 0.3623 -0.4785 0.2290

-0.0235 0.3413 -0.3648 0.1331

-0.0799 0.3215 -0.4013 0.1611

0.0462 0.3028 -0.2565 0.0658

0.2861 0.2852 0.0009 0.0000

MSE 0.0440


128


( ) ( ( )) ( ( ))

0.0738 0.0751 -0.0013 0.0000

0.0708 0.0842 -0.0134 0.0002

0.0469 0.1014 -0.0545 0.0030

0.0114 0.1275 -0.1161 0.0135

0.3510 0.1586 0.1924 0.0370

0.2530 0.1882 0.0648 0.0042

0.1484 0.2137 -0.0653 0.0043

0.1878 0.2408 -0.0530 0.0028

0.2745 0.2787 -0.0042 0.0000

0.2810 0.3327 -0.0517 0.0027

0.4569 0.4009 0.0560 0.0031

0.4662 0.4768 -0.0106 0.0001

0.5930 0.5519 0.0410 0.0017

0.7611 0.6208 0.1403 0.0197

0.6341 0.6824 -0.0483 0.0023

0.6781 0.7394 -0.0613 0.0038

0.8435 0.7918 0.0516 0.0027

0.9467 0.8351 0.1117 0.0125

0.9111 0.8640 0.0471 0.0022

0.9117 0.8793 0.0324 0.0010

0.7368 0.8875 -0.1507 0.0227

1.0380 0.8954 0.1426 0.0203

0.8231 0.9062 -0.0831 0.0069

0.9409 0.9196 0.0213 0.0005

0.8530 0.9316 -0.0787 0.0062

1.1014 0.9361 0.1653 0.0273

0.9482 0.9278 0.0204 0.0004


129

0.8953 0.9072 -0.0119 0.0001

0.9214 0.8804 0.0410 0.0017

0.7419 0.8548 -0.1129 0.0127

0.8948 0.8340 0.0608 0.0037

0.7845 0.8173 -0.0328 0.0011

0.8400 0.8002 0.0398 0.0016

0.7053 0.7767 -0.0715 0.0051

0.9824 0.7419 0.2405 0.0578

0.5818 0.6948 -0.1130 0.0128

0.7406 0.6390 0.1016 0.0103

0.5304 0.5790 -0.0486 0.0024

0.5519 0.5158 0.0361 0.0013

0.4290 0.4473 -0.0183 0.0003

0.6263 0.3724 0.2540 0.0645

0.1382 0.2944 -0.1561 0.0244

0.2403 0.2190 0.0213 0.0005

0.1366 0.1504 -0.0138 0.0002

0.2547 0.0928 0.1619 0.0262

-0.1162 0.0529 -0.1692 0.0286

-0.0235 0.0372 -0.0607 0.0037

-0.0799 0.0452 -0.1250 0.0156

0.0462 0.0696 -0.0234 0.0005

0.2861 0.1014 0.1847 0.0341

MSE 0.0102


130


( ) ( ( )) ( ( ))

0.0738 0.0720 0.0018 0.0000

0.0708 0.0673 0.0035 0.0000

0.0469 0.0598 -0.0130 0.0002

0.0114 0.0847 -0.0733 0.0054

0.3510 0.1788 0.1722 0.0296

0.2530 0.2388 0.0141 0.0002

0.1484 0.2119 -0.0634 0.0040

0.1878 0.2001 -0.0123 0.0002

0.2745 0.2400 0.0345 0.0012

0.2810 0.3036 -0.0226 0.0005

0.4569 0.3882 0.0687 0.0047

0.4662 0.4762 -0.0101 0.0001

0.5930 0.5718 0.0212 0.0004

0.7611 0.6573 0.1038 0.0108

0.6341 0.6829 -0.0487 0.0024

0.6781 0.7138 -0.0357 0.0013

0.8435 0.8036 0.0399 0.0016

0.9467 0.8870 0.0597 0.0036


131

0.9111 0.9079 0.0032 0.0000

0.9117 0.8809 0.0307 0.0009

0.7368 0.8662 -0.1295 0.0168

1.0380 0.8979 0.1401 0.0196

0.8231 0.9027 -0.0795 0.0063

0.9409 0.9036 0.0372 0.0014

0.8530 0.9384 -0.0854 0.0073

1.1014 0.9825 0.1189 0.0141

0.9482 0.9635 -0.0153 0.0002

0.8953 0.9148 -0.0195 0.0004

0.9214 0.8685 0.0529 0.0028

0.7419 0.8326 -0.0907 0.0082

0.8948 0.8286 0.0662 0.0044

0.7845 0.8172 -0.0328 0.0011

0.8400 0.8014 0.0386 0.0015

0.7053 0.8052 -0.1000 0.0100

0.9824 0.7846 0.1978 0.0391

0.5818 0.7052 -0.1233 0.0152

0.7406 0.6377 0.1029 0.0106

0.5304 0.5695 -0.0391 0.0015


132

0.5519 0.5187 0.0333 0.0011

0.4290 0.4859 -0.0568 0.0032

0.6263 0.3941 0.2323 0.0539

0.1382 0.2599 -0.1216 0.0148

0.2403 0.1973 0.0430 0.0018

0.1366 0.1629 -0.0263 0.0007

0.2547 0.0776 0.1771 0.0313

-0.1162 -0.0183 -0.0979 0.0096

-0.0235 -0.0371 0.0136 0.0002

-0.0799 0.0171 -0.0970 0.0094

0.0462 0.1224 -0.0762 0.0058

0.2861 0.2106 0.0755 0.0057

MSE 0.0073


133


( ) ( ( )) ( ( ))

0.0738 0.32707 -0.2533 0.06414

0.0708 0.34349 -0.2727 0.07437

0.0469 0.3608 -0.3139 0.09855

0.0114 0.37899 -0.3676 0.13516

0.3510 0.39804 -0.0470 0.00221

0.2530 0.4179 -0.1650 0.02721

0.1484 0.43852 -0.2901 0.08414

0.1878 0.4598 -0.2720 0.07398

0.2745 0.48165 -0.2072 0.04292

0.2810 0.50394 -0.2229 0.0497

0.4569 0.5265 -0.0696 0.00484

0.4662 0.54916 -0.0830 0.00689

0.5930 0.57172 0.0213 0.00045

0.7611 0.59395 0.1671 0.02792

0.6341 0.6156 0.0185 0.00034

0.6781 0.63643 0.0417 0.00174

0.8435 0.65614 0.1873 0.0351

0.9467 0.67449 0.2723 0.07412

0.9111 0.6912 0.2199 0.04834

0.9117 0.70601 0.2057 0.04229

0.7368 0.71869 0.0181 0.00033

1.0380 0.72903 0.3090 0.09547

0.8231 0.73685 0.0863 0.00744

0.9409 0.74202 0.1988 0.03954

0.8530 0.74445 0.1085 0.01178

1.1014 0.74407 0.3573 0.12767

0.9482 0.7409 0.2073 0.04296


134

0.8953 0.73499 0.1603 0.02571

0.9214 0.72642 0.1950 0.03801

0.7419 0.71533 0.0266 0.00071

0.8948 0.70191 0.1929 0.03722

0.7845 0.68635 0.0981 0.00963

0.8400 0.66888 0.1711 0.02928

0.7053 0.64976 0.0555 0.00308

0.9824 0.62926 0.3531 0.12471

0.5818 0.60764 -0.0258 0.00067

0.7406 0.58516 0.1554 0.02416

0.5304 0.56208 -0.0317 0.00101

0.5519 0.53865 0.0133 0.00018

0.4290 0.51509 -0.0861 0.00741

0.6263 0.49162 0.1347 0.01815

0.1382 0.46841 -0.3302 0.10901

0.2403 0.44562 -0.2053 0.04216

0.1366 0.4234 -0.2868 0.08227

0.2547 0.40185 -0.1472 0.02166

-0.1162 0.38108 -0.4973 0.24734

-0.0235 0.36115 -0.3846 0.14795

-0.0799 0.34211 -0.4220 0.17806

0.0462 0.324 -0.2778 0.07715

0.2861 0.30684 -0.0208 0.00043

MSE 0.04891


135


( ) ( ( )) ( ( ))

0.0738 0.08565 -0.0118 0.00014

0.0708 0.09737 -0.0266 0.00071

0.0469 0.11419 -0.0673 0.00453

0.0114 0.13585 -0.1245 0.0155

0.3510 0.161 0.1900 0.0361

0.2530 0.18807 0.0649 0.00421

0.1484 0.21706 -0.0686 0.00471

0.1878 0.25055 -0.0627 0.00394

0.2745 0.29241 -0.0179 0.00032

0.2810 0.34514 -0.0641 0.00411

0.4569 0.40796 0.0490 0.0024

0.4662 0.47701 -0.0108 0.00012

0.5930 0.54726 0.0457 0.00209

0.7611 0.61463 0.1464 0.02144

0.6341 0.67698 -0.0429 0.00184

0.6781 0.73335 -0.0553 0.00305

0.8435 0.78254 0.0609 0.00371

0.9467 0.82264 0.1241 0.0154

0.9111 0.85231 0.0587 0.00345

0.9117 0.87239 0.0393 0.00154

0.7368 0.88599 -0.1492 0.02226

1.0380 0.89686 0.1411 0.01992

0.8231 0.90739 -0.0843 0.0071

0.9409 0.91743 0.0234 0.00055

0.8530 0.92453 -0.0716 0.00512

1.1014 0.92528 0.1761 0.03101

0.9482 0.91745 0.0307 0.00094


136

0.8953 0.90146 -0.0061 3.8E-05

0.9214 0.88035 0.0410 0.00168

0.7419 0.85795 -0.1160 0.01347

0.8948 0.83668 0.0581 0.00338

0.7845 0.81632 -0.0318 0.00101

0.8400 0.79424 0.0458 0.00209

0.7053 0.76681 -0.0616 0.00379

0.9824 0.73115 0.2512 0.06313

0.5818 0.68641 -0.1046 0.01093

0.7406 0.63371 0.1069 0.01143

0.5304 0.5748 -0.0444 0.00198

0.5519 0.51083 0.0411 0.00169

0.4290 0.4423 -0.0133 0.00018

0.6263 0.37018 0.2562 0.06562

0.1382 0.29687 -0.1586 0.02516

0.2403 0.22622 0.0141 0.0002

0.1366 0.16285 -0.0263 0.00069

0.2547 0.11147 0.1432 0.02051

-0.1162 0.076 -0.1922 0.03696

-0.0235 0.05808 -0.0816 0.00665

-0.0799 0.05629 -0.1361 0.01854

0.0462 0.06676 -0.0205 0.00042

0.2861 0.08482 0.2012 0.0405

MSE 0.01093


137


( ) ( ( )) ( ( ))

0.0738 0.0735 0.0003 0.0000

0.0708 0.0708 0.0000 0.0000

0.0469 0.0565 -0.0096 0.0001

0.0114 0.0496 -0.0382 0.0015

0.3510 0.1943 0.1567 0.0246

0.2530 0.2760 -0.0230 0.0005

0.1484 0.1985 -0.0501 0.0025

0.1878 0.1820 0.0058 0.0000

0.2745 0.2401 0.0344 0.0012

0.2810 0.2920 -0.0110 0.0001

0.4569 0.3932 0.0637 0.0041

0.4662 0.4720 -0.0059 0.0000

0.5930 0.5670 0.0259 0.0007

0.7611 0.6888 0.0723 0.0052

0.6341 0.6772 -0.0431 0.0019

0.6781 0.6880 -0.0099 0.0001

0.8435 0.8078 0.0357 0.0013

0.9467 0.9102 0.0366 0.0013

0.9111 0.9188 -0.0077 0.0001

0.9117 0.8859 0.0258 0.0007

0.7368 0.8290 -0.0922 0.0085

1.0380 0.9311 0.1069 0.0114

0.8231 0.8905 -0.0674 0.0045

0.9409 0.9017 0.0392 0.0015

0.8530 0.9190 -0.0661 0.0044

1.1014 1.0199 0.0815 0.0066

0.9482 0.9644 -0.0162 0.0003


138

0.8953 0.9101 -0.0148 0.0002

0.9214 0.8757 0.0457 0.0021

0.7419 0.8083 -0.0664 0.0044

0.8948 0.8436 0.0512 0.0026

0.7845 0.8136 -0.0292 0.0008

0.8400 0.7983 0.0417 0.0017

0.7053 0.7986 -0.0934 0.0087

0.9824 0.8276 0.1548 0.0239

0.5818 0.6758 -0.0940 0.0088

0.7406 0.6546 0.0860 0.0074

0.5304 0.5574 -0.0270 0.0007

0.5519 0.5110 0.0410 0.0017

0.4290 0.5013 -0.0722 0.0052

0.6263 0.4258 0.2006 0.0402

0.1382 0.2165 -0.0782 0.0061

0.2403 0.1942 0.0461 0.0021

0.1366 0.1815 -0.0449 0.0020

0.2547 0.0892 0.1655 0.0274

-0.1162 -0.0526 -0.0636 0.0040

-0.0235 -0.0495 0.0260 0.0007

-0.0799 -0.0066 -0.0733 0.0054

0.0462 0.1497 -0.1034 0.0107

0.2861 0.2616 0.0245 0.0006

MSE 0.0050


139

Lampiran 39. Tabel hasil prediksi dan selang kepercayaan gambar 4.10

Indek Prediksi BB BA

1 644.002 634.417 653.586

2 644.522 635.128 653.915

3 645.039 635.834 654.245

4 645.555 636.534 654.576

5 646.069 637.229 654.909

6 646.581 637.919 655.243

7 647.091 638.603 655.579

8 647.598 639.281 655.916

9 648.104 639.954 656.254

10 648.608 640.622 656.595

11 649.110 641.285 656.936

12 649.611 641.942 657.280

13 650.109 642.593 657.624

14 650.605 643.240 657.971

15 651.100 643.881 658.319

16 651.593 644.516 658.669

17 652.084 645.146 659.021

18 652.573 645.771 659.374

19 653.060 646.391 659.730

20 653.546 647.005 660.087

21 654.030 647.614 660.446

22 654.512 648.217 660.806

23 654.992 648.816 661.169

24 655.471 649.408 661.534

25 655.948 649.996 661.900

26 656.424 650.579 662.269

27 656.897 651.156 662.639


140

28 657.369 651.727 663.011

29 657.840 652.294 663.386

30 658.309 652.856 663.762

31 658.776 653.412 664.141

32 659.242 653.963 664.522

33 659.707 654.509 664.904

34 660.169 655.050 665.289

35 660.631 655.586 665.675

36 661.090 656.117 666.064

37 661.549 656.643 666.455

38 662.006 657.164 666.847

39 662.461 657.680 667.242

40 662.915 658.192 667.638

41 663.368 658.698 668.037

42 663.819 659.201 668.437

43 664.269 659.698 668.839

44 664.717 660.192 669.243

45 665.164 660.680 669.649

46 665.610 661.165 670.056

47 666.055 661.645 670.464

48 666.498 662.122 670.875

49 666.940 662.594 671.286

50 667.381 663.063 671.699

51 667.821 663.527 672.114

52 668.259 663.988 672.529

53 668.696 664.446 672.946

54 669.132 664.900 673.364

55 669.567 665.351 673.782

56 670.000 665.799 674.202

57 670.433 666.244 674.622


141

58 670.864 666.685 675.043

59 671.295 667.124 675.465

60 671.724 667.560 675.887

61 672.152 667.994 676.310

62 672.579 668.425 676.733

63 673.005 668.854 677.156

64 673.430 669.281 677.580

65 673.855 669.705 678.004

66 674.278 670.128 678.427

67 674.700 670.549 678.851

68 675.121 670.967 679.275

69 675.541 671.385 679.698

70 675.961 671.800 680.121

71 676.379 672.214 680.544

72 676.797 672.627 680.967

73 677.214 673.038 681.390

74 677.630 673.448 681.811

75 678.045 673.857 682.233

76 678.459 674.265 682.654

77 678.873 674.671 683.074

78 679.285 675.077 683.494

79 679.697 675.482 683.913

80 680.109 675.886 684.331

81 680.519 676.289 684.749

82 680.929 676.692 685.166

83 681.338 677.094 685.583

84 681.747 677.496 685.998

85 682.155 677.897 686.413

86 682.562 678.297 686.827

87 682.969 678.697 687.240


142

88 683.375 679.097 687.652

89 683.780 679.496 688.063

90 684.185 679.896 688.474

91 684.589 680.294 688.884

92 684.993 680.693 689.293

93 685.396 681.092 689.701

94 685.799 681.490 690.108

95 686.201 681.888 690.514

96 686.603 682.287 690.919

97 687.004 682.685 691.324

98 687.405 683.083 691.728

99 687.806 683.481 692.131

100 688.206 683.879 692.533

101 688.606 684.278 692.934

102 689.005 684.676 693.334

103 689.404 685.075 693.734

104 689.803 685.473 694.133

105 690.201 685.872 694.531

106 690.600 686.271 694.928

107 690.997 686.671 695.324

108 691.395 687.070 695.720

109 691.792 687.470 696.115

110 692.189 687.870 696.509

111 692.586 688.270 696.903

112 692.983 688.670 697.296

113 693.380 689.071 697.689

114 693.776 689.472 698.080

115 694.172 689.873 698.472

116 694.569 690.275 698.862

117 694.965 690.677 699.252


143

118 695.361 691.079 699.642

119 695.756 691.482 700.031

120 696.152 691.885 700.420

121 696.548 692.288 700.808

122 696.944 692.692 701.196

123 697.340 693.096 701.583

124 697.735 693.500 701.970

125 698.131 693.905 702.357

126 698.527 694.311 702.743

127 698.923 694.716 703.130

128 699.319 695.122 703.516

129 699.715 695.529 703.901

130 700.111 695.936 704.287

131 700.508 696.343 704.672

132 700.904 696.751 705.058

133 701.301 697.159 705.443

134 701.698 697.567 705.828

135 702.095 697.976 706.213

136 702.492 698.385 706.599

137 702.890 698.795 706.984

138 703.287 699.205 707.369

139 703.685 699.616 707.755

140 704.084 700.027 708.140

141 704.482 700.439 708.526

142 704.881 700.850 708.912

143 705.281 701.263 709.299

144 705.680 701.675 709.685

145 706.080 702.089 710.072

146 706.481 702.502 710.459

147 706.882 702.916 710.847


144

148 707.283 703.330 711.235

149 707.685 703.745 711.624

150 708.087 704.160 712.013

151 708.489 704.576 712.402

152 708.892 704.992 712.793

153 709.296 705.408 713.184

154 709.700 705.825 713.575

155 710.105 706.243 713.967

156 710.510 706.660 714.360

157 710.916 707.078 714.754

158 711.322 707.497 715.148

159 711.729 707.916 715.543

160 712.137 708.335 715.939

161 712.545 708.754 716.336

162 712.954 709.174 716.734

163 713.364 709.595 717.133

164 713.774 710.016 717.533

165 714.185 710.437 717.934

166 714.597 710.859 718.336

167 715.010 711.281 718.739

168 715.423 711.703 719.143

169 715.837 712.126 719.548

170 716.252 712.549 719.955

171 716.668 712.973 720.363

172 717.084 713.397 720.772

173 717.502 713.821 721.182

174 717.920 714.246 721.593

175 718.339 714.672 722.006

176 718.759 715.098 722.420

177 719.180 715.524 722.836


145

178 719.602 715.951 723.253

179 720.025 716.378 723.672

180 720.449 716.805 724.092

181 720.873 717.234 724.513

182 721.299 717.662 724.936

183 721.726 718.091 725.361

184 722.154 718.521 725.787

185 722.583 718.951 726.214

186 723.013 719.382 726.643

187 723.444 719.813 727.074

188 723.876 720.245 727.507

189 724.309 720.678 727.941

190 724.744 721.111 728.377

191 725.179 721.545 728.814

192 725.616 721.979 729.253

193 726.054 722.414 729.694

194 726.493 722.850 730.136

195 726.934 723.287 730.581

196 727.375 723.724 731.027

197 727.818 724.162 731.474

198 728.262 724.601 731.924

199 728.708 725.041 732.375

200 729.155 725.481 732.828

201 729.603 725.923 733.283

202 730.052 726.365 733.740

203 730.503 726.808 734.198

204 730.955 727.252 734.658

205 731.409 727.698 735.120

206 731.864 728.144 735.584

207 732.320 728.591 736.049


146

208 732.778 729.040 736.517

209 733.238 729.489 736.986

210 733.698 729.940 737.457

211 734.161 730.392 737.930

212 734.625 730.845 738.404

213 735.090 731.299 738.881

214 735.557 731.755 739.359

215 736.025 732.211 739.839

216 736.495 732.670 740.321

217 736.967 733.129 740.805

218 737.440 733.591 741.290

219 737.915 734.053 741.778

220 738.392 734.517 742.267

221 738.870 734.983 742.758

222 739.350 735.450 743.250

223 739.832 735.919 743.745

224 740.315 736.389 744.241

225 740.800 736.861 744.739

226 741.287 737.335 745.239

227 741.776 737.810 745.741

228 742.266 738.287 746.245

229 742.758 738.767 746.750

230 743.252 739.247 747.257

231 743.748 739.730 747.766

232 744.246 740.215 748.277

233 744.746 740.702 748.789

234 745.247 741.190 749.304

235 745.750 741.681 749.820

236 746.256 742.174 750.338

237 746.763 742.669 750.857


147

238 747.272 743.166 751.379

239 747.783 743.665 751.902

240 748.297 744.166 752.427

241 748.812 744.670 752.954

242 749.329 745.176 753.483

243 749.848 745.684 754.013

244 750.370 746.194 754.545

245 750.893 746.707 755.079

246 751.419 747.222 755.615

247 751.946 747.740 756.153

248 752.476 748.260 756.692

249 753.008 748.782 757.234

250 753.542 749.307 757.777

251 754.078 749.835 758.322

252 754.617 750.365 758.869

253 755.157 750.897 759.417

254 755.700 751.433 759.968

255 756.245 751.971 760.520

256 756.793 752.511 761.074

257 757.342 753.055 761.630

258 757.894 753.601 762.188

259 758.449 754.150 762.748

260 759.005 754.701 763.310

261 759.564 755.256 763.873

262 760.126 755.813 764.439

263 760.689 756.373 765.006

264 761.256 756.936 765.576

265 761.824 757.501 766.147

266 762.395 758.070 766.720

267 762.969 758.642 767.295


148

268 763.545 759.216 767.873

269 764.123 759.794 768.452

270 764.704 760.374 769.033

271 765.287 760.958 769.617

272 765.873 761.544 770.202

273 766.462 762.134 770.790

274 767.053 762.726 771.379

275 767.647 763.322 771.971

276 768.243 763.921 772.565

277 768.842 764.522 773.161

278 769.443 765.127 773.760

279 770.048 765.735 774.360

280 770.654 766.346 774.963

281 771.264 766.960 775.569

282 771.876 767.577 776.176

283 772.491 768.197 776.786

284 773.109 768.820 777.398

285 773.730 769.446 778.013

286 774.353 770.075 778.631

287 774.979 770.708 779.250

288 775.608 771.343 779.873

289 776.240 771.982 780.498

290 776.874 772.623 781.125

291 777.512 773.268 781.756

292 778.152 773.915 782.389

293 778.795 774.565 783.025

294 779.441 775.219 783.664

295 780.091 775.875 784.306

296 780.743 776.534 784.951

297 781.398 777.196 785.599


149

298 782.055 777.861 786.250

299 782.716 778.528 786.904

300 783.380 779.199 787.562

301 784.047 779.872 788.223

302 784.717 780.547 788.888

303 785.391 781.225 789.556

304 786.067 781.906 790.227

305 786.746 782.589 790.903

306 787.429 783.275 791.582

307 788.114 783.963 792.265

308 788.803 784.653 792.953

309 789.495 785.346 793.644

310 790.190 786.040 794.339

311 790.888 786.737 795.039

312 791.590 787.436 795.743

313 792.294 788.136 796.452

314 793.002 788.839 797.166

315 793.714 789.543 797.884

316 794.428 790.249 798.607

317 795.146 790.957 799.335

318 795.867 791.666 800.069

319 796.592 792.376 800.807

320 797.320 793.088 801.551

321 798.051 793.801 802.301

322 798.786 794.515 803.056

323 799.524 795.230 803.817

324 800.265 795.947 804.584

325 801.010 796.664 805.356

326 801.758 797.382 806.135

327 802.510 798.101 806.920


150

328 803.266 798.820 807.711

329 804.024 799.540 808.509

330 804.787 800.261 809.313

331 805.553 800.982 810.123

332 806.322 801.704 810.941

333 807.095 802.426 811.765

334 807.872 803.149 812.596

335 808.652 803.871 813.433

336 809.436 804.594 814.278

337 810.224 805.318 815.130

338 811.015 806.041 815.989

339 811.810 806.765 816.855

340 812.609 807.489 817.728

341 813.411 808.213 818.608

342 814.217 808.938 819.496

343 815.027 809.662 820.391

344 815.840 810.387 821.294

345 816.658 811.112 822.204

346 817.479 811.837 823.121

347 818.304 812.562 824.046

348 819.133 813.288 824.978

349 819.965 814.013 825.917

350 820.802 814.739 826.864

351 821.642 815.466 827.819

352 822.487 816.192 828.781

353 823.335 816.919 829.751

354 824.187 817.646 830.728

355 825.043 818.374 831.713

356 825.903 819.102 832.705

357 826.767 819.830 833.705


151

358 827.635 820.559 834.712

359 828.508 821.288 835.727

360 829.384 822.018 836.749

361 830.264 822.748 837.779

362 831.148 823.479 838.817

363 832.037 824.211 839.862

364 832.929 824.943 840.915

365 833.826 825.676 841.976

366 834.726 826.409 843.044

367 835.631 827.143 844.119

368 836.540 827.878 845.203

369 837.454 828.614 846.294

370 838.371 829.350 847.392

371 839.293 830.088 848.498

372 840.219 830.826 849.612

373 841.149 831.565 850.734

Lampiran 40. Tabel hasil prediksi dan selang kepercayaan gambar 4.12

Indek Prediksi BB BA

1 665.266 664.991 665.009

2 667.347 666.991 667.009

3 670.486 671.991 672.009

4 664.928 663.991 664.009

5 663.536 663.991 664.009

6 660.116 659.991 660.009

7 657.352 656.991 657.009

8 657.351 656.991 657.009

9 659.651 659.991 660.009

10 659.999 659.991 660.009


152

11 660.000 659.991 660.009

12 660.117 659.991 660.009

13 661.116 660.991 661.009

14 662.766 662.991 663.009

15 662.766 662.991 663.009

16 661.233 660.991 661.009

17 661.116 660.991 661.009

18 661.650 661.991 662.009

19 660.004 659.991 660.009

20 659.397 657.991 658.009

21 666.602 667.991 668.009

22 665.881 665.991 666.009

23 663.818 662.991 663.009

24 667.001 666.991 667.009

25 670.415 670.991 671.009

26 669.649 669.991 670.009

27 666.466 665.991 666.009

28 666.000 665.991 666.009

29 665.652 665.991 666.009

30 663.583 662.991 663.009

31 664.885 664.991 665.009

32 665.882 665.991 666.009

33 665.768 665.991 666.009

34 664.581 663.991 664.009

35 666.304 666.991 667.009

36 664.816 663.991 664.009

37 668.001 667.991 668.009

38 671.417 671.991 672.009

39 671.467 670.991 671.009

40 674.349 673.991 674.009


153

41 678.949 679.991 680.009

42 676.882 676.991 677.009

43 673.699 672.991 673.009

44 674.651 674.991 675.009

45 673.766 673.991 674.009

46 671.231 670.991 671.009

47 669.535 669.991 670.009

48 665.465 664.991 665.009

49 663.651 663.991 664.009

50 660.058 659.991 660.009

51 656.851 656.491 656.509

52 656.118 655.991 656.009

53 656.442 656.491 656.509

54 656.385 656.491 656.509

55 656.142 655.491 655.509

56 659.885 659.991 660.009

57 663.267 663.491 663.509

58 665.407 664.991 665.009

59 669.532 669.991 670.009

60 670.301 670.991 671.009

61 667.163 665.991 666.009

62 670.244 670.991 671.009

63 669.324 669.491 669.509

64 666.966 666.491 666.509

65 667.383 667.491 667.509

66 666.977 667.491 667.509

67 663.989 662.991 663.009

68 666.422 666.991 667.009

69 666.811 665.991 666.009

70 670.719 671.991 672.009


154

71 667.345 666.991 667.009

72 664.653 664.991 665.009

73 660.583 659.991 660.009

74 660.002 659.991 660.009

75 660.116 659.991 660.009

76 660.825 660.991 661.009

77 660.558 660.491 660.509

78 660.500 660.491 660.509

79 660.559 660.491 660.509

80 661.233 660.991 661.009

81 663.323 663.491 663.509

82 663.858 664.491 664.509

83 660.466 659.991 660.009

84 659.617 659.491 659.509

85 659.650 659.991 660.009

86 657.616 657.491 657.509

87 656.176 655.991 656.009

88 656.001 655.991 656.009

89 656.000 655.991 656.009

90 656.000 655.991 656.009

91 656.001 655.991 656.009

92 656.234 655.991 656.009

93 658.118 657.991 658.009

94 661.057 660.991 661.009

95 664.032 664.491 664.509

96 663.767 663.991 664.009

97 662.081 661.491 661.509

98 663.360 663.991 664.009

99 661.234 660.991 661.009

100 660.699 659.991 660.009


155

101 664.302 664.991 665.009

102 664.231 663.991 664.009

103 664.942 664.991 665.009

104 665.441 665.491 665.509

105 665.325 665.491 665.509

106 664.175 663.991 664.009

107 664.061 663.991 664.009

108 664.966 664.491 664.509

109 668.476 668.991 669.009

110 668.997 668.991 669.009

111 668.533 668.991 669.009

112 665.233 664.991 665.009

113 663.235 662.991 663.009

114 663.000 662.991 663.009

115 662.884 662.991 663.009

116 662.118 661.991 662.009

117 662.466 661.991 662.009

118 665.418 665.991 666.009

119 665.121 664.991 665.009

120 666.860 664.991 665.009

121 678.206 680.991 681.009

122 673.926 672.991 673.009

123 673.239 672.991 673.009

124 675.465 674.991 675.009

125 680.069 680.991 681.009

126 679.580 678.991 679.009

127 681.652 681.991 682.009

128 682.236 681.991 682.009

129 684.934 683.991 684.009

130 693.417 693.991 694.009


156

131 698.415 698.991 699.009

132 699.408 698.991 699.009

133 702.849 702.491 702.509

134 708.011 708.991 709.009

135 707.691 706.991 707.009

136 709.136 710.991 711.009

137 699.822 698.991 699.009

138 696.915 693.991 694.009

139 711.323 713.991 714.009

140 711.105 710.991 711.009

141 708.186 708.991 709.009

142 700.932 699.991 700.009

143 699.125 698.991 699.009

144 700.394 698.991 699.009

145 708.440 710.991 711.009

146 702.742 700.991 701.009

147 705.420 705.991 706.009

148 705.530 705.991 706.009

149 701.887 701.991 702.009

150 698.519 696.991 697.009

151 705.114 704.991 705.009

152 711.785 713.991 714.009

153 705.278 703.991 704.009

154 705.235 704.991 705.009

155 706.953 707.991 708.009

156 702.931 701.991 702.009

157 703.887 703.991 704.009

158 705.117 704.991 705.009

159 707.229 706.991 707.009

160 709.550 710.991 711.009


157

161 705.179 702.491 702.509

162 715.898 716.991 717.009

163 721.651 721.991 722.009

164 725.515 723.991 724.009

165 738.071 738.991 739.009

166 745.994 745.991 746.009

167 752.064 752.991 753.009

168 751.532 751.991 752.009

169 747.818 746.991 747.009

170 749.467 748.991 749.009

171 754.186 754.991 755.009

172 754.699 753.991 754.009

173 759.231 758.991 759.009

174 764.367 765.991 766.009

175 759.576 758.991 759.009

176 756.307 756.991 757.009

177 750.747 748.991 749.009

178 755.07 755.991 756.009

179 754.654 754.991 755.009

180 753.100 750.991 751.009

181 764.416 764.991 765.009

182 772.075 773.991 774.009

183 768.010 766.491 766.509

184 771.244 771.991 772.009

185 770.531 770.991 771.009

186 766.235 765.991 766.009

187 763.932 762.991 763.009

188 767.074 767.991 768.009

189 766.512 764.991 765.009

190 773.837 774.991 775.009


158

191 774.992 774.991 775.009

192 773.833 774.991 775.009

193 765.465 764.991 765.009

194 759.585 758.991 759.009

195 757.652 757.991 758.009

196 754.117 753.991 754.009

197 751.468 750.991 751.009

198 751.998 751.991 752.009

199 751.955 752.991 753.009

200 746.863 744.991 745.009

201 752.073 752.991 753.009

202 753.461 752.991 753.009

203 755.952 756.991 757.009

204 752.585 751.991 752.009

205 753.282 751.991 752.009

206 761.604 762.991 763.009

207 762.463 761.991 762.009

208 765.114 764.991 765.009

209 767.718 768.991 769.009

210 762.813 761.991 762.009

211 761.886 761.991 762.009

212 761.116 760.991 761.009

213 760.996 760.991 761.009

214 759.837 760.991 761.009

215 752.633 750.991 751.009

216 755.354 754.991 755.009

217 761.415 761.991 762.009

218 763.415 763.991 764.009

219 761.349 760.991 761.009

220 760.999 760.991 761.009


159

221 760.420 760.991 761.009

222 757.282 755.991 756.009

223 761.766 761.991 762.009

224 764.600 765.991 766.009

225 758.696 757.991 758.009

226 756.004 755.991 756.009

227 754.465 753.991 754.009

228 755.305 755.991 756.009

229 753.164 751.991 752.009

230 757.302 757.991 758.009

231 757.765 757.991 758.009

232 756.231 755.991 756.009

233 755.535 755.991 756.009

234 752.350 751.991 752.009

235 751.235 750.991 751.009

236 752.118 751.991 752.009

237 754.116 753.991 754.009

238 756.648 756.991 757.009

239 756.416 756.991 757.009

240 752.467 751.991 752.009

241 751.588 750.991 751.009

242 755.583 754.991 755.009

243 762.951 763.991 764.009

244 763.996 763.991 764.009

245 763.882 763.991 764.009

246 762.531 762.991 763.009

247 757.651 757.991 758.009

248 750.932 749.991 750.009

249 749.419 749.991 750.009

250 745.117 744.991 745.009


160

251 741.584 740.991 741.009

252 741.770 741.991 742.009

253 741.350 740.991 741.009

254 743.118 742.991 743.009

255 745.882 745.991 746.009

256 747.650 747.991 748.009

257 747.116 746.991 747.009

258 747.117 746.991 747.009

259 747.884 747.991 748.009

260 748.117 747.991 748.009

261 749.116 748.991 749.009

262 750.766 750.991 751.009

263 750.650 750.991 751.009

264 748.233 747.991 748.009

265 747.118 746.991 747.009

266 746.999 746.991 747.009

267 746.535 746.991 747.009

268 743.698 742.991 743.009

269 744.652 744.991 745.009

270 744.117 743.991 744.009

271 744.349 743.991 744.009

272 746.535 746.991 747.009

273 746.234 745.991 746.009

274 747.582 746.991 747.009

275 752.184 752.991 753.009

276 751.996 751.991 752.009

277 750.650 750.991 751.009

278 747.116 746.991 747.009

279 744.235 743.991 744.009

280 743.237 742.991 743.009


161

281 744.581 743.991 744.009

282 748.837 749.991 750.009

283 746.929 745.991 746.009

284 749.420 749.991 750.009

285 749.348 748.991 749.009

286 750.884 750.991 751.009

287 751.883 751.991 752.009

288 751.999 751.991 752.009

289 751.884 751.991 752.009

290 751.233 750.991 751.009

291 751.884 751.991 752.009

292 752.004 751.991 752.009

293 753.164 751.991 752.009

294 760.836 761.991 762.009

295 761.996 761.991 762.009

296 762.005 761.991 762.009

297 763.401 761.991 762.009

298 773.651 773.991 774.009

299 782.070 782.991 783.009

300 785.620 783.991 784.009

301 795.272 798.991 799.009

302 783.392 781.991 782.009

303 777.938 776.991 777.009

304 779.415 779.991 780.009

305 776.951 777.991 778.009

306 768.282 766.991 767.009

307 767.005 766.991 767.009

308 767.117 766.991 767.009

309 768.116 767.991 768.009

310 769.651 769.991 770.009


162

311 769.348 768.991 769.009

312 770.536 770.991 771.009

313 769.580 768.991 769.009

314 771.188 771.991 772.009

315 769.163 767.991 768.009

316 773.302 773.991 774.009

317 773.650 773.991 774.009

318 771.699 770.991 771.009

319 773.652 773.991 774.009

320 774.001 773.991 774.009

321 774.582 773.991 774.009

322 778.299 778.991 779.009

323 777.299 777.991 778.009

324 771.700 770.991 771.009

325 770.353 769.991 770.009

326 772.117 771.991 772.009

327 774.650 774.991 775.009

328 774.882 774.991 775.009

329 774.118 773.991 774.009

330 774.351 773.991 774.009

331 777.000 776.991 777.009

332 779.533 779.991 780.009

333 779.117 778.991 779.009

334 779.468 778.991 779.009

335 783.118 782.991 783.009

336 788.003 787.991 788.009

337 793.697 792.991 793.009

338 802.719 803.991 804.009

339 804.577 803.991 804.009

340 808.303 808.991 809.009


163

341 808.698 807.991 808.009

342 812.764 812.991 813.009

343 814.484 815.991 816.009

344 807.165 805.991 806.009

345 806.472 805.991 806.009

346 810.121 809.991 810.009

347 815.811 814.991 815.009

348 825.025 826.991 827.009

349 824.326 821.991 822.009

350 835.841 836.991 837.009

351 842.456 841.991 842.009

352 848.901 850.991 851.009

353 842.692 841.991 842.009

354 838.414 838.991 839.009

355 829.719 830.991 831.009

356 813.866 811.991 812.009

357 809.361 808.991 809.009

358 810.158 808.991 809.009

359 815.740 818.991 819.009

360 803.097 800.991 801.009

361 802.525 800.991 801.009

362 813.669 813.991 814.009

363 828.187 823.991 824.009

364 864.636 869.991 870.009

365 868.957 869.991 870.009

366 868.803 860.991 861.009

367 912.832 918.991 919.009

368 923.395 923.991 924.009

369 924.230 923.991 924.009

370 925.529 925.991 926.009


164

371 922.721 923.991 924.009

372 913.328 910.991 911.009

373 917.083 917.991 918.009

Lampiran 41. Data awal

Tanggal Harga 1gr

02 Januari 2019 665.000

03 Januari 2019 667.000

04 Januari 2019 672.000

05 Januari 2019 664.000

07 Januari 2019 664.000

08 Januari 2019 660.000

09 Januari 2019 657.000

10 Januari 2019 657.000

11 Januari 2019 660.000

12 Januari 2019 660.000

14 Januari 2019 660.000

15 Januari 2019 660.000

16 Januari 2019 661.000

17 Januari 2019 663.000

18 Januari 2019 663.000

21 Januari 2019 661.000

22 Januari 2019 661.000

23 Januari 2019 662.000

24 Januari 2019 660.000

25 Januari 2019 658.000

26 Januari 2019 668.000

28 Januari 2019 666.000

29 Januari 2019 663.000


165

30 Januari 2019 667.000

31 Januari 2019 671.000

01 Februari 2019 670.000

02 Februari 2019 666.000

04 Februari 2019 666.000

06 Februari 2019 666.000

07 Februari 2019 663.000

08 Februari 2019 665.000

09 Februari 2019 666.000

11 Februari 2019 666.000

12 Februari 2019 664.000

13 Februari 2019 667.000

14 Februari 2019 664.000

15 Februari 2019 668.000

16 Februari 2019 672.000

18 Februari 2019 671.000

19 Februari 2019 674.000

20 Februari 2019 680.000

21 Februari 2019 677.000

22 Februari 2019 673.000

23 Februari 2019 675.000

25 Februari 2019 674.000

26 Februari 2019 671.000

27 Februari 2019 670.000

28 Februari 2019 665.000

01 Maret 2019 664.000

02 Maret 2019 660.000

04 Maret 2019 656.500

05 Maret 2019 656.000

06 Maret 2019 656.500


166

07 Maret 2019 656.500

08 Maret 2019 655.500

09 Maret 2019 660.000

11 Maret 2019 663.500

12 Maret 2019 665.000

13 Maret 2019 670.000

14 Maret 2019 671.000

15 Maret 2019 666.000

16 Maret 2019 671.000

18 Maret 2019 669.500

19 Maret 2019 666.500

20 Maret 2019 667.500

21 Maret 2019 667.500

22 Maret 2019 663.000

23 Maret 2019 667.000

25 Maret 2019 666.000

26 Maret 2019 672.000

27 Maret 2019 667.000

28 Maret 2019 665.000

29 Maret 2019 660.000

01 April 2019 660.000

02 April 2019 660.000

04 April 2019 661.000

05 April 2019 660.500

06 April 2019 660.500

08 April 2019 660.500

09 April 2019 661.000

10 April 2019 663.500

11 April 2019 664.500

12 April 2019 660.000


167

13 April 2019 659.500

15 April 2019 660.000

16 April 2019 657.500

18 April 2019 656.000

19 April 2019 656.000

20 April 2019 656.000

22 April 2019 656.000

23 April 2019 656.000

24 April 2019 656.000

25 April 2019 658.000

26 April 2019 661.000

27 April 2019 664.500

29 April 2019 664.000

30 April 2019 661.500

01 Mei 2019 664.000

02 Mei 2019 661.000

03 Mei 2019 660.000

04 Mei 2019 665.000

06 Mei 2019 664.000

07 Mei 2019 665.000

08 Mei 2019 665.500

09 Mei 2019 665.500

10 Mei 2019 664.000

11 Mei 2019 664.000

13 Mei 2019 664.500

14 Mei 2019 669.000

15 Mei 2019 669.000

16 Mei 2019 669.000

17 Mei 2019 665.000

18 Mei 2019 663.000


168

20 Mei 2019 663.000

21 Mei 2019 663.000

22 Mei 2019 662.000

23 Mei 2019 662.000

24 Mei 2019 666.000

27 Mei 2019 665.000

28 Mei 2019 665.000

10 Juni 2019 681.000

11 Juni 2019 673.000

12 Juni 2019 673.000

13 Juni 2019 675.000

14 Juni 2019 681.000

17 Juni 2019 679.000

18 Juni 2019 682.000

19 Juni 2019 682.000

20 Juni 2019 684.000

21 Juni 2019 694.000

22 Juni 2019 699.000

24 Juni 2019 699.000

25 Juni 2019 702.500

26 Juni 2019 709.000

27 Juni 2019 707.000

28 Juni 2019 711.000

01 Juli 2019 699.000

02 Juli 2019 694.000

03 Juli 2019 714.000

04 Juli 2019 711.000

05 Juli 2019 709.000

08 Juli 2019 700.000

09 Juli 2019 699.000


169

10 Juli 2019 699.000

11 Juli 2019 711.000

12 Juli 2019 701.000

13 Juli 2019 706.000

15 Juli 2019 706.000

16 Juli 2019 702.000

17 Juli 2019 697.000

18 Juli 2019 705.000

19 Juli 2019 714.000

22 Juli 2019 704.000

23 Juli 2019 705.000

25 Juli 2019 708.000

26 Juli 2019 702.000

27 Juli 2019 704.000

29 Juli 2019 705.000

30 Juli 2019 707.000

31 Juli 2019 711.000

01 Agustus 2019 702.500

02 Agustus 2019 717.000

03 Agustus 2019 722.000

05 Agustus 2019 724.000

06 Agustus 2019 739.000

07 Agustus 2019 746.000

08 Agustus 2019 753.000

09 Agustus 2019 752.000

10 Agustus 2019 747.000

12 Agustus 2019 749.000

13 Agustus 2019 755.000

14 Agustus 2019 754.000

15 Agustus 2019 759.000


170

16 Agustus 2019 766.000

17 Agustus 2019 759.000

19 Agustus 2019 757.000

20 Agustus 2019 749.000

21 Agustus 2019 756.000

22 Agustus 2019 755.000

23 Agustus 2019 751.000

24 Agustus 2019 765.000

26 Agustus 2019 774.000

27 Agustus 2019 766.500

28 Agustus 2019 772.000

29 Agustus 2019 771.000

30 Agustus 2019 766.000

31 Agustus 2019 763.000

02 September 2019 768.000

03 September 2019 765.000

04 September 2019 775.000

05 September 2019 775.000

06 September 2019 775.000

06 September 2019 765.000

07 September 2019 759.000

09 September 2019 758.000

10 September 2019 754.000

11 September 2019 751.000

12 September 2019 752.000

13 September 2019 753.000

14 September 2019 745.000

16 September 2019 753.000

17 September 2019 753.000

18 September 2019 757.000


171

19 September 2019 752.000

20 September 2019 752.000

21 September 2019 763.000

23 September 2019 762.000

24 September 2019 765.000

25 September 2019 769.000

26 September 2019 762.000

27 September 2019 762.000

28 September 2019 761.000

29 September 2019 761.000

30 September 2019 761.000

01 Oktober 2019 751.000

02 Oktober 2019 755.000

03 Oktober 2019 762.000

04 Oktober 2019 764.000

05 Oktober 2019 761.000

06 Oktober 2019 761.000

07 Oktober 2019 761.000

08 Oktober 2019 756.000

09 Oktober 2019 762.000

10 Oktober 2019 766.000

11 Oktober 2019 758.000

12 Oktober 2019 756.000

14 Oktober 2019 754.000

15 Oktober 2019 756.000

16 Oktober 2019 752.000

17 Oktober 2019 758.000

18 Oktober 2019 758.000

19 Oktober 2019 756.000

21 Oktober 2019 756.000


172

22 Oktober 2019 752.000

23 Oktober 2019 751.000

24 Oktober 2019 752.000

25 Oktober 2019 754.000

26 Oktober 2019 757.000

28 Oktober 2019 757.000

29 Oktober 2019 752.000

30 Oktober 2019 751.000

31 Oktober 2019 755.000

01 November 2019 764.000

02 November 2019 764.000

03 November 2019 764.000

04 November 2019 763.000

05 November 2019 758.000

06 November 2019 750.000

07 November 2019 750.000

08 November 2019 745.000

09 November 2019 741.000

11 November 2019 742.000

12 November 2019 741.000

13 November 2019 743.000

14 November 2019 746.000

15 November 2019 748.000

16 November 2019 747.000

16 November 2019 747.000

18 November 2019 748.000

18 November 2019 748.000

19 November 2019 749.000

20 November 2019 751.000

21 November 2019 751.000


173

22 November 2019 748.000

23 November 2019 747.000

24 November 2019 747.000

25 November 2019 747.000

26 November 2019 743.000

27 November 2019 745.000

28 November 2019 744.000

29 November 2019 744.000

30 November 2019 747.000

02 Desember 2019 746.000

03 Desember 2019 747.000

04 Desember 2019 753.000

05 Desember 2019 752.000

06 Desember 2019 751.000

07 Desember 2019 747.000

09 Desember 2019 744.000

10 Desember 2019 743.000

11 Desember 2019 744.000

12 Desember 2019 750.000

13 Desember 2019 746.000

14 Desember 2019 750.000

16 Desember 2019 749.000

17 Desember 2019 751.000

18 Desember 2019 752.000

19 Desember 2019 752.000

20 Desember 2019 752.000

21 Desember 2019 751.000

23 Desember 2019 752.000

26 Desember 2019 752.000

27 Desember 2019 752.000


174

30 Desember 2019 762.000

31 Desember 2019 762.000

02 Januari 2020 762.000

03 Januari 2020 762.000

04 Januari 2020 774.000

06 Januari 2020 783.000

07 Januari 2020 784.000

08 Januari 2020 799.000

09 Januari 2020 782.000

10 Januari 2020 777.000

11 Januari 2020 780.000

13 Januari 2020 778.000

14 Januari 2020 767.000

15 Januari 2020 767.000

16 Januari 2020 767.000

17 Januari 2020 768.000

18 Januari 2020 770.000

20 Januari 2020 769.000

21 Januari 2020 771.000

22 Januari 2020 769.000

23 Januari 2020 772.000

24 Januari 2020 768.000

27 Januari 2020 774.000

28 Januari 2020 774.000

29 Januari 2020 771.000

30 Januari 2020 774.000

31 Januari 2020 774.000

01 Februari 2020 774.000

03 Februari 2020 779.000

04 Februari 2020 778.000


175

05 Februari 2020 771.000

06 Februari 2020 770.000

07 Februari 2020 772.000

10 Februari 2020 775.000

11 Februari 2020 775.000

12 Februari 2020 774.000

13 Februari 2020 774.000

14 Februari 2020 777.000

15 Februari 2020 780.000

17 Februari 2020 779.000

18 Februari 2020 779.000

19 Februari 2020 783.000

20 Februari 2020 788.000

21 Februari 2020 793.000

22 Februari 2020 804.000

24 Februari 2020 804.000

25 Februari 2020 809.000

26 Februari 2020 808.000

27 Februari 2020 813.000

28 Februari 2020 816.000

29 Februari 2020 806.000

01 Maret 2020 806.000

02 Maret 2020 810.000

03 Maret 2020 815.000

04 Maret 2020 827.000

05 Maret 2020 822.000

06 Maret 2020 837.000

07 Maret 2020 842.000

09 Maret 2020 851.000

10 Maret 2020 842.000


176

11 Maret 2020 839.000

12 Maret 2020 831.000

13 Maret 2020 812.000

14 Maret 2020 809.000

15 Maret 2020 809.000

16 Maret 2020 819.000

17 Maret 2020 801.000

18 Maret 2020 801.000

19 Maret 2020 814.000

20 Maret 2020 824.000

21 Maret 2020 870.000

22 Maret 2020 870.000

23 Maret 2020 861.000


6


perbandingan model regresi polinomial dan model regresi kernel … · 2020. 7. 28. · regresi...

Documents