random variable distribusi peluang -...

30/10/2013

1

STATISTIK INDUSTRI 1

Agustina Eunike, ST., MT., MBA

DISKRIT DAN KONTINYU Distribusi Peluang

Random Variable

• Random variable / peubah acak: – Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real dengan tiap

elemen pada ruang sampel – Random/Acak karena tidak diketahui pasti nilai yang akan

dihasilkan pada percobaan yang dilakukan – Notasi random variable: “huruf besar” (X, Y, A, B, ...) – Nilai random variable: “huruf kecil” (x, y, a, b, ...)

• Ruang sampel Diskrit – Bilangan bulat, berupa titik, ada gap antar titik sampel – Variabel acak diskrit

• Ruang sampel Kontinyu – Dapat berupa pecahan, semua poin pada interval dalam ruang

sampel – Variabel acak kontinyu

Distribusi Peluang

• Distribusi frekuensi relatif yang secara teori seharusnya terjadi pada pengamatan suatu populasi

• Pemahaman dasar tentang terjadinya suatu kejadian secara natural

• Identifikasi peluang terjadinya suatu kejadian • Model yang menggambarkan peluang suatu

kejadian dan penggambaran kapan terjadinya – Membantu pengambilan keputusan secara efektif – Persiapan untuk proses yang terkait dengan kejadian

tersebut

Distribusi Peluang Diskrit

– Distribusi Klasik

• 𝑓(𝑥) ≥ 0,

• 𝑓 𝑥 = 1𝑥 ,

• 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓(𝑥),

• 0 ≤ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ≤ 1

• Mutually Exclusive


– Distribusi Kumulatif / Frekuensi relatif

• 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑡 ,−~ < 𝑥 < ~𝑡≤𝑥

30/10/2013

2

Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit

• Distribusi Peluang Diskrit Kumulatif – 𝐹 1 = 𝑃 𝑋 ≤ 1 = 𝑓 0 + 𝑓 1 = 0.25 + 0.5 = 0.75

– 𝐹(𝑥)

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0 0.25, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑥 < 1 0.75, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 ≤ 𝑥 < 2 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 2

Distribusi Peluang Diskrit • Mean / Expected Value

– 𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓(𝑥)𝑥

• Variansi

– 𝜎2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2] = (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑥

Distribusi Peluang

• Distribusi Peluang Kontinyu

– Probability density function

BINOMIAL Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Binomial

• Percobaan berturut-turut dengan dua kemungkinan hasil: – Sukses vs Gagal

– Yes vs No

• Mengacu pada Proses Bernoulli: – Percobaan dilakukan berulang

– Tiap percobaan hanya ada 2 kemungkinan hasil

– Percobaan bersifat independen

– Peluang sukses selalu sama dari percobaan satu ke percobaan berikutnya

30/10/2013

3

Distribusi Binomial

• 𝑝 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠

• 𝑞 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙

• 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚

• 𝐵 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑘𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓

• 𝑃 𝑋 < 𝑟 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial Distribusi Binomial • Dengan Tabel:

Distribusi Binomial • Dengan Tabel:

Distribusi Binomial

• Rata-rata dan Variansi:

30/10/2013

4

Distribusi Binomial

CATATAN: • Pada kondisi tertentu, distribusi binomial dapat

diselesaikan dengan pendekatan distribusi poisson atau distribusi normal

• Hasil perhitungan berdasarkan pendekatan distribusi harus diterima dengan bijaksana dan penuh kehati2an. Karena pada prinsipnya setiap pendekatan menggunakan beberapa asumsi. Pada distribusi binomial, asumsi yang digunakan adalah asumsi independen pada proses percobaan bernoulli, dan bahwa 𝑝 adalah konsisten

MULTINOMIAL Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Multinominal

• 𝑝𝑖 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔

• 𝑋𝑖 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚



HYPERGEOMETRIC Distribusi Peluang Diskrit

30/10/2013

5

Distribusi Hypergeometric

• Percobaan berturut-turut dengan dua kemungkinan hasil:

– Sukses vs Gagal

– Yes vs No

• Tidak menganut proses Bernoulli ⇛percobaan tidak independen ⇛tanpa pengembalian (without replacement)

• Aplikasi: penerimaan sampel (acceptance sampling), pengujian elektronik, jaminan mutu


• Notasi dalam percobaan hypergeometric: – variabel acak hypergeometric:

• jumlah sukses variabel X dalam percobaan hypergeometric

– Distribusi hypergeometric:distribusi peluang dari variabel hypergeometric

– x :jumlah sukses variabel X dalam percobaan n sampel

– n :ukuran sample acak (dilakukan tanpa pengembalian)

– N :jumlah keseluruhan obyek

– k :jumlah obyek sukses dari keseluruhan obyek

– n - x :jumlah gagal dalam percobaan

– N - k:jumlah gagal pada keseluruhan obyek

– h :nilai dari distribusi hypergeometric


𝑕 𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘 =

𝑘𝑥𝑁 − 𝑘𝑛 − 𝑥𝑁𝑛

,

max 0, 𝑛 − 𝑁 − 𝑘 ≤ 𝑥 ≤ min 𝑛, 𝑘 .


Contoh:



𝜇 = 𝑛𝑘𝑁

𝜎2 = 𝑁−𝑛𝑁−1. 𝑛.𝑘𝑁 1−

𝑘𝑁

– Contoh:

𝑁 = 40, 𝑛 = 5, 𝑘 = 3,


• Distribusi hypergeometric dapat diselesaikan

dengan distribusi binomial, jika 𝑛𝑁≤0.05, 𝑝 = 𝑘

𝑁

– Sehingga rata-rata dan variansinya dapat dihitung dengan cara:

30/10/2013

6

BINOMIAL NEGATIF Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Binomial Negatif

• Percobaan binomial negatif – Mencari peluang 𝑘 sukses dalam 𝑥 percobaan

• Variabel acak binomial negatif – Jumlah 𝑋 percobaan yang diperlukan untuk

mendapatkan 𝑘 sukses pada percobaan binomial negatif

• Distribusi peluang binomial negatif – Peluang jumlah 𝑋 percobaan yang diperlukan untuk

mendapatkan 𝑘 sukses pada percobaan binomial negatif


• Notasi: – 𝑏∗ :peluang sukses pada trial tertentu

– x :jumlah percobaan

– p :peluang sukses

– q :peluang gagal

– k :jumlah sukses yang terjadi

Distribusi Binomial Negatif Contoh:



𝜇 = 𝑘𝑝

𝜎2 = 𝑘(1−𝑝)𝑝2

GEOMETRIC Distribusi Peluang Diskrit

30/10/2013

7

Distribusi Geometric

• Kondisi khusus dari binomial negatif

– 𝑘 = 1


Contoh:



𝜇 = 1𝑝

𝜎2 = (1−𝑝)𝑝2

POISSON Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Poisson

• Percobaan Poisson: Percobaan yang variabel acak-nya adalah banyaknya

hasil selama selang waktu tertentu atau area tertentu Selang waktu: menit, jam, hari, minggu, bulan, tahun,

dll X: banyaknya penelepon 108 per jam, X: banyaknya hari sekolah libur karena banjir X: banyaknya pertandingan bola ditunda pada musim hujan

Area: panjang garis, luas daerah, isi benda, potongan material, dll X: banyaknya tikus sawah per hektar X: banyaknya salah ketik per halaman

Distribusi Poisson

• Karakteristik Proses Poisson: – Jumlah hasil yang terjadi pada selang waktu atau

area adalah independen terhadap hasil yang terjadi pada selang waktu atau area lain yang terpisah. (poisson process has no memory)

– Peluang satu hasil terjadi dalam selang waktu yang singkat atau area yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau ukuran area. Peluang tersebut independen terhadap hasil di luar interval waktu atau area tersebut.

30/10/2013

8

Distribusi Poisson

• Rumus:

– 𝜇 = λ𝑡

– 𝑃𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 = 𝑝 𝑥; λ𝑡

𝑝 𝑥; λ𝑡 = 𝑒−λ𝑡 λ𝑡 𝑥

𝑥! , 𝑥 = 0, 1, 2, …

– 𝑡: "waktu", "jarak", "area", 𝑎𝑡𝑎𝑢 "volume“

– λ: "rata − rata jumlah hasil per satuan unit 𝑡“

– 𝑒 = 2,71828…

Distribusi Poisson • Dengan Tabel

𝑃 𝑟; λ𝑡 = 𝑝 𝑥; λ𝑡

𝑟

𝑥=0

Distribusi Poisson Contoh: • Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu

penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

𝑝 6; 4.1 = 𝑒−4 4.1 6

6!= 2,71828

−4.46

6𝑥5𝑥4𝑥2𝑥1= 0,018∗4096

720= 0,104196

– Dengan Tabel: 𝑝 6; 4 = 𝑝 𝑥; 4 −6

𝑥=0 𝑝 𝑥; 45𝑥=0 = 0.8893 − 0.7851 = 0.1042

Distribusi Poisson Contoh: • Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu

pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya?

– X: banyaknya tanker yang tiba tiap hari

– 𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 15

– 𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 𝑝 𝑥; 1015𝑥=0

– 𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 0,9513

– 𝑃 𝑋 > 15 = 0,0487

Distribusi Poisson

• Rata-rata dan Variansi: 𝜇 = λ𝑡 𝜎2 = λ𝑡

Distribusi Poisson

• Poisson dan Binomial

– Percobaan Binomial dapat diselesaikan dengan Poisson jika:

• 𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑛 → ∞

• 𝑝 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 (𝑝 → 0)

• 𝑛𝑝𝑛→∞𝜇, 𝑏(𝑥; 𝑛𝑝)

𝑛→∞𝑝(𝑥; 𝜇)

30/10/2013

9

Distribusi Poisson


Distribusi Poisson


RANGKUMAN Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Peluang Diskrit Distribution Random Variable

X Possible

Values of X Distribution Function

Fx(a) = P(X=a)

Mean E(X)

Binomial No. of success in n trials with p = P (success) (draw w/ replacement, independet trials)

0, 1, … . , 𝑛 𝑛𝑎𝑝𝑎 1 − 𝑝 𝑛−𝑎 𝑛𝑝

Negative Binomial

No of trials until the kth success with p = P (success)

𝑘, 𝑘 + 1, … 𝑎 − 1𝑘 − 1

𝑝𝑘−1 1− 𝑝 𝑎−𝑘 . 𝑝 𝑘/𝑝

Geometric No of trials until the 1st success with p = P (success)

1, 2, 3, … 𝑝(1 − 𝑝)𝑎−1 1/𝑝

Hypergeometric No. of success in n trials with p = P (success) = k/N (draw w/o replacement, dependet trials)

max 0, 𝑛 − 𝑁 − 𝑘... min 𝑛, 𝑘

𝑘𝑎𝑁 − 𝑘𝑛 − 𝑎𝑁𝑛

𝑛(𝑘 𝑁 )

Poisson No. of arrivals with arrivale rate λ during an interval length t

0, 1, 2,... 𝑒−λ𝑡 λ𝑡 𝑎

𝑎!

λ𝑡


• The number of defectives found when inspecting 10 items produced by a production line with defective rate 5 %. (𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 10, 𝑝 = 5% )

• The number of flips required to observe the 4thhead flipping a biased coin with P(head)=1/3. (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑘 = 4, 𝑝 = 1/3 )

• The number of red balls observed when drawing without replacement 10 balls from a bag with 5 red and 20 black balls. (𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑁 = 25, 𝑘 = 5, 𝑛 = 10 )

• The number of bubbles observed when inspecting a piece of glass with area 100 𝑚2 where on the average there exist 5 bubbles on a piece of glass with area 10000 𝑚2. (𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 λ = 5/10000, 𝑡 = 100 )

random variable distribusi peluang -...

Documents