buying coffee on the webtb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/.../materi+5+distribusi+teorit… ·...

Materi 5

Start

Lecture 5 ~ Statistics 1 2

• Peubah acak : peubah atau fungsi dimana nilainya ditentukan oleh hasil suatu percobaan yang dilakukan secara acak.

Tabel 1. Distribusi Frekuensi Jumlah Kepemilikan Motor Keluarga

• Suatu percobaan acak:

Dari populasi di atas dipilih 1 keluarga secara acak sbg sampel. Jika x menyatakan jumlah kepemilikan motor oleh keluarga tsb, maka:

x = {0, 1, 2, 3, 4} x merupakan peubah / variabel acak

• Peubah acak : diskret vs kontinyu

Jumlah Kepemilikan Motor

Frekuensi Frekuensi Relatif

0 30 30/2000 = 0.015

1 470 470 /2000 = 0.235

2 850 850/2000 = 0.425

3 490 490 /2000 = 0.245

4 160 160 /2000 = 0.080

N= 2000 = 1.000


• Peubah acak diskret: peubah acak dimana nilainya dapat dicacah

Percobaan diatas dimana x = {0, 1, 2, 3, 4} merupakan peubah acak diskret

dimana hasil nilai pada ruang sampel dapat dicacah

• Peubah acak kontinyu: peubah acak dimana nilainya tidak dapat dicacah, atau diausmsikan bahwa terdapat banyak nilai pada suatu interval nilai

• Anggap x merupakan suatu peubah acak

Distribusi peluang x menjelaskan bagaimana distribusi peluang untuk semua

kemungkinan nilai x

• Contoh:

Dari Tabel 1 di atas, peubah x menyatakan jumlah motor dari keluarga yang terpilih secara acak, maka tentukan distribusi probabilitas dari x !

0 200

Pada interval 0 - 200 terdapat nilai yang jumlahnya tidak terdefinisikan atau tidak terhingga


Jawab: Peluang dari peubah acak diskret x dapat dihitung berdasarkan frekuensi

relatifnya. Sehingga distribusi peluang dari variabel acak diskret x adalah sbb: • Distribusi peluang diskret dapat disajikan dalam bentuk:

– Tabel – Rumus matematik – Grafik histogran peluang

1. 0 P(x) <= 1, untuk tiap nilai x

2. P(x) = 1.0

Jumlah Kepemilikan Motor

Peluang

P(x)

0 0.015

1 0.235

2 0.425

3 0.245

4 0.080

P(x) = 1.0

Ciri-ciri dari distribusi peluang suatu

peubah acak diskret:


• Nilai Harapan Matematis : rata-rata terbobot dari nilai variabel acak, dimana masing-masing pembobot adalah peluang masing-masing nilai xi akan terjadi

Formula : E(x) = xi . P(xi)

• Contoh:

Terdapat variabel acak x dengan masing-masing nilai x = {2, 3, 4, 5, 6} dan peluang P(xi) masing-masing {0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.3}.

Maka,

E(x) = xi . P(xi) = 2(0.1) + 3(0.2) + 4(0.2) + 5(0.2) + 6(0.3) = 4.4

• Jika nilai P(xi) masing-masing adalah sama, maka akan didapatkan nilai harapan sama dengan rata-rata hitung

E(x) =

n

1 x

n

1 x


• Ragam variabel acak : mengukur kedekatan rata-rata variabel acak sebagai hasil percobaan dengan nilai harapannya.

Formula : σ2(x) = [xi – E(x)]2. P(xi) σ = √ σ2

• Contoh: Hitunglah simpangan baku variabel acak x berikut.

n

1 x

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P(xi) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

xi [xi – E(x)] 2 P(xi) [xi – E(x)] 2. P(xi)

0 20.25 0.1 2.025

1 12.25 0.1 1.125

2 6.25 0.1 0.625

3 2.25 0.1 0.225

4 0.25 0.1 0.025

5 0.25 0.1 0.025

6 2.25 0.1 0.225

7 6.25 0.1 0.625

8 12.25 0.1 1.125

9 20.25 0.1 2.025

= 8.250

σ 2 = 8.250

σ = √ σ 2 = √ 8.250 = 2.872

Makin kecil nilai simpangan

baku maka makin kecil pula

penyebaran nilai variabel

acak.


• Distribusi seragam diskret setiap nilai peubah acak memiliki peluang yang

sama

Bila peubah acak x mempunyai nilai x1, x2, ….., xk, dengan peluang yang sama,

maka sebaran diskretnya:

Artinya bahwa sebaran seragam bergantung pada parameter k

• Contoh:

– Dari 10 orang dipilih 1 orang dengan peluang terpilih untuk masing2 adalah sama, yaitu 1/10. Maka sebarannya adalah seragam dengan

f(x; 10) = 1/10 untuk x = 1, 2, ……, 10

– Dari 4 orang A, B, C, dan D akan dipilih 2 orang, maka ada jumlah kombinasinya adalah :

= 4!/2! 2! = 6 kombinasi (AB, AC, AD, BC, BD, CD) 6 ruang sampel

Dari 6 ruang sampel tersebut memiliki peluang yang sama yaitu 1/6, maka

sebarannya adalah seragam dengan

f(x; 6) = 1/6 untuk x = 1, 2, ……, 6 P(B dan D) = f(5; 6) = 1/6

f(x; k) = 1/k, dimana x = x1, x2, ….., xk

2

4


• Distribusi binom digunakan pada suatu percobaan binomial

• Suatu percobaan binomial memiliki 4 karakteristik sbb:

– Percobaan terdiri dari n ulangan

– Masing2 ulangan hanya memiliki 2 hasil, biasanya digolongkan sebagai

‘berhasil’ dan ‘gagal’

– Peluang ‘berhasil’ dilambangkan sebagai ‘p’, sedangkan peluang ‘gagal’ dengan ‘q’, dan p + q = 1. Peluang p dan q konstan untuk tiap ulangan

– Ulangan2 bersifat ‘bebas’, hasil suatu ulangan tidak dipengaruhi ulangan

lain

• Contoh:

– Suatu percobaan pelemparan koin sebanyak 10 kali. Apakah percobaan tersebut adalah suatu percobaan binom ?

• Untuk suatu percobaan binom, peluang x berhasil dalam n ulangan adalah :

P(x) = px qn-x

x

nn = jumlah ulangan p = peluang berhasil q = 1 – p = peluang gagal x = jumlah sukses dalam n ulangan n-x = jumlah gagal dalam n ulangan


• Contoh:

– Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilemparkan 5 kali.

Maka :

b(3; 5, 1/6) = (1/6)3 (5/6)2 = (52/65) = 0.032

• Peluang suatu percobaan binom dapat juga dibaca dari Tabel Peluang Binom

(Tabel A.2 untuk Buku Walpole)

• Contoh 1 :

Cari nilai peluang binom : b(3; 6, 0.20) x=3; n=6, p=0.20

Maka:

b(3; 6, 0.20) = b(x; 6, 0.20) - b(x; 6, 0.20)

= 0.9830 – 0.9011

= 0.0819

Jika dihitung dengan (0.2)3 (0.8)3 = 0.0819

3

5

!2 !3

!5

3

ox

2

ox

!2 !3

!5

3

5

3

6


• Contoh 2 :

Peluang seorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4. Bila 15 orang diketahui mederita penyakit tsb, berapa peluang :

a. Sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh

b. Ada 3 sampai 8 orang dpt sembuh

c. Tepat 5 orang yang sembuh

Jawab:

a. Anggap x adalah jumlah orang yg sembuh, maka:

P(x 10) = 1 – P(x < 10) = 1 - b(x; 15, 0.4) = 1 – 0.9662 = 0.0338

b. P(3 x 8) = b(x; 15, 0.4) = b(x; 15, 0.4) - b(x; 15, 0.4)

= 0.9050 – 0.0905 = 0.8145

c. P(x=5) = b(5; 15, 0.4) = b(x; 15, 0.4) - b(x; 15, 0.4)

= 0.4032 – 0.2173 = 0.1859

P(3 x 8) juga dapat dihitung sebagai P(x=3) + P(x=4) + …. + P(x=8)

9

ox

3

0x

8

0x

5

0x

8

3x

4

0x


• Distribusi hipergeometrik digunakan pada suatu percobaan hipergeometrik

• Suatu percobaan hipergeometrik memiliki 2 karakteristik sbb:

– Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

– k dari N benda digolongkan sbg ‘berhasil’; N-k benda digolongkan sbg ‘gagal’

• Banyaknya keberhasilan x dlm suatu percobaan hipergeometrik disebut ‘peubah acak hipergeometrik’ , sehingga sebaran peluang bagi peubah hipergeometrik disebut sebaran hipergeometrik dan nilainya dilambangkan dengan h(x; N, n, k)

h(x; N, n, k) = , untuk x = 0, 1, 2, …., k

• Contoh:

Bila 5 kartu diambil acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?

Jawab.

x=3, N=52, n=5, k=13

Sebaran hipergeometrik h(3; 52, 5, 13) = = 0.0815


• Percobaan poisson : percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak x, yang merupakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu

• Bilangan x yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson, disebut Peubah acak Poisson, dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson

• Kondisi berlakunya sebaran Poisson :

– x adalah variabel acak diskret

– kejadian bersifat acak, tidak dapat diduga

– kejadian bersifat ‘bebas’, tidak tergantung dari kejadian lain

• Contoh:

1. Jumlah pasien yang datang pada UGD rumah sakit selama selang 1 jam.

kejadian: kedatangan pasien pada UGD suatu rumah sakit

interval : 1 jam, kejadiannya acak

jumlah pasien yang datang selama selang waktu 1 jam 0, 1, 2, 3,…

kejadian bersifat bebas

2. Jumlah kecelakaan pada suatu jalan tol selama periode 1 minggu

3. Jumlah pengunjung suatu supermarket selama 1 jam


• Formula distribusi peluang Poisson:

Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson x, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah:

p(x; µ) = , untuk x =1, 2, 3 ….

dimana, µ = rata-rata banyaknya hasil percobaan selama selang tertentu

e = 2.71828

• Contoh:

Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karena salju karena musim dingin di suatu kota adalah 4. Berapa peluang bahwa sekolah-sekolah ditutup di kota tsb selama 6 hari dalam suatu musim dingin?

Jawab:

µ = 4, x=6 p(6;4) = = = 0.1042

• Tabel distribusi Poisson (Tabel A.3 Buku Pengantar Statistika o/ Walpole)

Menyatakan jumlah peluang Poisson

p(6; 4) = - = 0.8893 – 0.7851 = 0.1042

e-µ µx

x!

e-4 46

6! 0.0183 . 4096

720

µ) ;(

n

ox

xp

4) ;(5

ox

xp4) ;(6

ox

xp


• Peubah acak kontinyu: peubah acak dimana nilainya tidak dapat dicacah, atau diasumsikan bahwa terdapat banyak nilai pada suatu interval nilai

• Contoh distribusi peluang untuk peubah acak kontinyu pada Tabel berikut

Anggap ada 5000 mahasiswi di Universitas Gunadarma, dan x adalah peubah

acak kontinyu yang menyatakan tinggi dari mahasiswi-mahasiswi tsb.

Tabel Distribusi Frekwensi dan Frekwensi Relatif Tinggi Mahasiswi

Tinggi Mahasiswi (Inch)

x

f fr

60 – < 61 90 0.018

61 – < 62 170 0.034

62 – < 63 460 0.092

63 – < 64 750 0.150

64 – < 65 970 0.194

65 – < 66 760 0.152

66 – < 67 640 0.128

67 – < 68 440 0.088

68 – < 69 320 0.064

69 – < 70 220 0.044

70 – < 71 1980 0.036

N = 5000 = 1.0


• Histogram dan poligon untuk distribusi fr dari Tabel sebelumnya adalah sbb:

• Distribusi peluang untuk peubah acak kontinyu memiliki 3 karakteristik, yaitu:

1. Peluang antara 2 titik ditunjukkan sebagai luas area dibawah kurva distribusi peluang peubah acak kontinyu yang nilainya antara 0 dan 1

2. Total peluang peubah acak kontinyu = 1

3. Nilai peluang peubah acak kontinyu tepat pada suatu titik = 0

x = a x = b

Luas area terarsir

antara 0 dan 1

P(a ≤ x ≤ b)

Luas area terarsir

= 1

x = b

P(x = b) = 0


• Distribusi normal merupakan salah satu distribusi peluang yang dimiliki oleh peubah acak kontinyu

• Merupakan paling penting dan digunakan secara luas untuk distribusi peluang peubah acak kontinyu

• Karakteristik distribusi peluang normal yaitu:

Simpangan

baku = σ

Mean = μ

1. Total area dibawah kurva distribusi peluang = 1

2. Kurva distribusi peluang terbagi menjadi 2 secara simetris oleh rata-rata μ

3. Dua ekor kurva meluas tak terbatas

Total area dibawah

kurva = 1

Mean = μ x

0.5 0.5

μ - 3σ μ + 3σ

Masing-masing area

terarsir ≈ 0


• Distribusi normal standar merupakan distribusi normal dengan nilai rata-rata μ = 0 dan simpangan baku σ = 1

• Diagram berikut menunjukkan kurva distribusi normal baku

0 1 2 3 z -3 -2 -1

= 0

σ = 1

0.5 0.5

• Luas area dibawah kurva normal baku menunjukkan nilai peluang


• Dalam aplikasi real, variabel acak kontinyu mungkin memiliki distribusi normal namun berbeda dalam nilai rata-rata μ = 0 dan simpangan baku σ = 1

• Dalam hal ini perlu dilakukan standarisasi terhadap distribusi normal baku

• Satuan distribusi normal (bukan normal baku) dinotasikan sebagai x, sedangkan

distribusi normal baku satuannya dinotasikan sebagai z

• Untuk peubah acak normal x, nilai tertentu x dapat diubah ke nilai z, yaitu dengan formula sbb:

• Contoh:

Tentukan area dibawah kurva normal standar dari z = -2.17 sampai z = 0

Jawab:

Area antara 0 dan -2.17 = P(-2.17 ≤ z ≤ 0) = P(-2.17 < z < 0)

= P(0 < z < 2.17) = 0.4850 (Tabel distribusi z)

σ

μ- xz

μ dan σ adalah rata-rata dan simpangan baku distribusi normal x


• Distribusi student (t) serupa dengan distribusi normal dalam beberapa hal, seperti :

• Jika ukuran sampel diperbesar, distribusi t mendekati distribusi normal baku.

• Rata-rata μ distribusi t = 0, dan simpangan baku

df = n-1 , dengan n = ukuran sampel

– Kurva distribusi t terbagi menjadi 2 secara simetris oleh rata-rata μ, namun

tidak akan ketemu dengan sumbu horizontal – Total area dibawah kurva distribusi t = 1, namun lebih datar dari kurva

distribusi normal, dengan kata lain kurva distribusi t lebih rendah dan menyebar ke samping (simpangan baku lebih besar dari 1).

)df/(df 2

μ = 0

σ distribusi t σ distribusi z = 1

• Contoh :

Tentukan nilai t dengan derajat bebas 16 dan 0.5 luas area di kaki kanan kurva distribusi t. (Lihat Tabel Distribusi t)

0

df = 16

t 1.746

0.05

Nilai t

134.1)29/(9


Latihan :

1. Tentukan area di bawah kurva normal baku berikut ini :

a. Area di sebelah kanan dari z = 2.32

b. Area di sebelah kiri z = -1.54

2. Tentukan peluang kurva normal baku berikut ini :

a. P(1.19 < z < 2.12) b. P(-1.56 < z < 2.31) c. P(z > -0.75)

3. Tentukan peluang kurva normal baku berikut ini :

a. P(0 < z < 2.67) b. P(z < -2.35)

4. Jika x adalah sebuah variabel acak kontinyu yang memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku, yaitu 50 dan 10. Tentukan nilai z untuk:

a. x = 55 b. x = 35

5. Jika x adalah sebuah variabel acak kontinyu yang memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku, yaitu 25 dan 4. Tentukan !

a. P(25 < x < 32) b. P(18 < x < 34)

6. Notebook adalah salah satu barang elektronik yang diproduksi oleh Perusahaan Toshiba. Waktu yang diperlukan untuk merakit sebuah notebook pada perusahaan tsb terdistribusi normal dengan rata-rata 55 menit, dan simpangan baku 4 menit. Perush tsb tutup tiap hari pada jam 17.00. Jika seorang pekerja mulai merakit pada jam 16.00, bagaimana peluang pekerja tsb dapat selesai merakit sebelum perusahaan tsb tutup pada hari itu?

Lecture 5 ~ Statistics 1

P(-1.56 < z < 2.31)

26

buying coffee on the webtb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/.../materi+5+distribusi+teorit… ·...

Documents