variabel random & distribusi peluang

VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANGDISTRIBUSI PELUANG

Dr. Auditya Purwandini Sutarto

VariabelRandom

• Tipe Variabel

DistribusiProbabilitas

• Distribusi• Tipe VariabelRandom

• DistribusiDiskrit

• DistribusiKontinu

Topik

1. KonsepVariabel Random

2. Distribusi Probabilitas untuk VariabelRandom Diskrit

– Distribusi Binomial– Distribusi Binomial

– Distribusi Poisson

– Distribusi Hipergeometrik

3. Distribusi Probabilitas untuk VariabelRandom Kontinu

– Distribusi Normal

Topik

7. Metode Deskriptif untuk MenilaiNormalitas

8. Mengakprosimasi Distribusi Binomial dengan Distribusi Normaldengan Distribusi Normal

9. Distribusi Uniform dan Eksponensial

Tujuan Pembelajaran

1. Memahami definisi dan konsep variabel random

2. Mampu membedakan nilai pengamatan termasukvariabel random diskrit atau kontinu

3. Memahami beberapa distribusi probabilitas3. Memahami beberapa distribusi probabilitasvariabel random diskrit dan kontinu

KONSEP VARIABEL KONSEP VARIABEL RANDOM

Variabel Random

• Variabel random (acak) adalah suatu fungsi bernilai numerik yang didefinisikan untuk seluruh ruang sampel.

• Contoh: ruang sampel untuk kemungkinan hasil jika 3 spesimen diuji S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}, Bbaik & C cacat

• Umumnya minat pada banyaknya cacat yang terjadiyang dapat bernilai 0, 1, 2, atau 3. Nilai ini kuantitas random yang ditentukan oleh hasil eksperimen.

• Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai variabel random, X, yaitu banyaknya item spesimen yang cacat dalam pengujian.

• Penggunaan huruf besar, misal X, untuk menyatakan suatu variabel random dan huruf kecil x untuk nilai-nilainya. Dalam ilustrasi diatas, variabel random Xmengasumsikan nilai 2 untuk semua elemen dalam subset

Variabel Random

subset

E = {CCB, CBC, BCC}

• dari ruang sampel S (mengandung Cacat sebanyak dua buah). Setiap kemungkinan nilai X merepresentasikan suatu kejadian yang merupakan suatu subset dari ruang sampel untuk suatu eksperimen yang diberikan.

Variabel Random

Variabel random dapat dibedakan menjadi dua

VariabelRandom Diskrit

VariabelRandom Kontinu

Variabel Random Diskrit

Variabel random yang hanya mempunyai nilai pada titiktertentu atau nilai yang dapat dibilang baik terbatas(finite) maupun tidak terbatas (infinite)

Percobaan Variabel RandomNilai yang Mungkin


Terjadi

Menginspeksi 70 produk Banyaknya cacat 0, 1, 2, ... , 70

Menjawab 30 pertanyaan Banyaknya jawaban yang

benar

0, 1, 2, ..., 30

Perhitungan banyak mobil

masuk tol pukul 9.00 – 12.00

Banyaknya mobil 0, 1, 2, ... , ∞

Variabel Random Kontinu

Variabel random yang dapat mempunyai nilai-nilai yang berhubungan dengan setiap titik dalam satu atau lebihinterval (range) dimana nilai-nilai tersebut tidak terbatas(infinite) dan tidak dapat dibilang (uncountable)


Terjadi

Mengukur Berat 100 orang Berat 44.5, 67, 78, …

Mengukur usia hidup suatu

part

Jam 503.9, 775, …

Mengukur Waktu antara

kedatangan pesawat

Inter-arrival Time 0, 1.3, 2.78, …

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM DISKRIT

Distribusi Probabilitas Diskrit

Distribusi probabilitas suatu variabel random diskrit adalah suatu tabel, grafik, atau formula yang menyatakan probabilitas yang dihubungkan dengan setiap kemungkinan nilai x.

Syarat-Syarat untuk Suatu Distribusi Probabilitas Diskrit x

1. p(x) ≥ 0 untuk semua nilai x

. p(x) = 1 untuk semua nilai x

Distribusi probabilitas diskrit dalam literatur asing sering disebut dengan pmf(probability mass function) atau fungsi massa peluang

Contoh Distribusi ProbabilitasDiskrit

Distribusi Probabilitas

Nilai, Probabilitas, ( )

Percobaan: Melempar dua koin. Menghitungbanyaknya kemunculan ekor (tail).

Nilai, x Probabilitas, p(x)

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

© 1984-1994 T/Maker Co.

Visualisasi DistribusiProbabilitas Diskrit

Mendaftar Tabel

# Tailsf(x)

Countp(x)

0 1 .251 2 .50

Grafik

{ (0, .25), (1, .50), (2, .25) }

# = Banyaknya

Formula

1 2 .502 1 .25

p xn

x!(n – x)!( )

!= px(1 – p)n – x

Grafik

.00

.25

.50

0 1 2x

p(x)

Ringkasan Ukuran padaDistribusi Probabilitas Diskrit

1. Nilai Harapan (Rataan/Mean Distribusi Probabilitas)

• Rata-rata tertimbang untuk semua nilai yang mungkin

• m = E(x) = x p(x)• m = E(x) = x p(x)

2. Variansi

• Rata-rata tertimbang dari deviasi kuadrat di sekitarrataan

• s2 = E[(x m) = (x m) p(x)

3. Standard Deviation

2s s=●

Nilai Harapan & Variansi

0 .25 –1.00 1.000

x p(x) x p(x) x – m (x – m) (x – m) p(x)

.250 .25 –1.00 1.00

1 .50 0 0

2 .25 1.00 1.00

0

.50

.50

m = 1.0

.25

0

.25

s = .50

s = .71

Contoh

• Pengiriman 20 tipe laptop yang sama ke satu toko ritel tertentu berisikan 3 buah produk cacat. Jika suatu sekolah membeli 2 laptop dari toko ini, carikah distribusi probabilitas untuk banyaknya laptop yang cacat.cacat.

• Misalkan X adalah variabel random yang nilai-nilai x-nya merupakan kemungkinan banyaknya laptop cacat yang dibeli sekolah tersebut. Nilai x yang mungkin adalah 0, 1, dan 2.

) )95

68

2

20

2

17

0

3

00 =

=== XPf ) )190

51

2

20

1

17

1

3

11 =

=== XPf

) )190

3

2

20

0

17

2

3

22 =

=== XPf

• Distribusi Probabilitas X diberikan sebagai berikut:

x 0 1 2

f(x)95

68

190

51190

3

Distribusi Kumulatif Diskrit

• Berapa probabilitas nilai pengamatan suatu variabel random X kurang dari atau sama dengan beberapa bilangan riil x. F(x) = P(X ≤ x) untuk setiap bilangan x, F(x) dapat didefinisikan sebagai fungsi distribusi kumulatif variabel random X. distribusi kumulatif variabel random X.

• Distribusi kumulatif F(x) dari variable random diskrit X dengan distribusi peluang f(x) adalah:

untuk - ∞ < x < ∞ ) ) )

==xt

tfxXPxF

Contoh

• Seorang penjaga penyimpanan barang mengembalikan tiga helm yang telah diberi nama pemilik pada tiga karyawan secara acak. Jika Smith (S), Jones(J), dan Brown(B), menerima satu dari tiga topi, daftarlah ruang sampel untuk berbagai kemungkinan urutan helm yang sampel untuk berbagai kemungkinan urutan helm yang dikembalikan.

• Carilah ruang sampel dan nilai m untuk variabel random M yang menyatakan kesesuaian dengan pemiliknya.

• Buatlah tabel distribusi peluangnya.

• Carilah distribusi probabilitas kumulatifnya

a. Ruang sampel untuk semua pengaturan yang mungkin dan banyaknya kesesuaian helm dengan pemiliknya adalah sebagai berikut

Ruang Sampel m

SJB 3

SBJ 1

JSB 1

b. Tabel Distribusi peluangnya adalah sebagai berikut

JBS 0

BSJ 0

BJS 1

m 0 1 3

P (M = m)3

1

2

1

6

1

c. Untuk mencari distribusi probabilitas kumulatifnya, terlebih dahulu hitung,

selanjutnya ) ) ) )

6

5

2

1

3

11022 ==== ffMPF

)

=

31untuk 5

10untuk 3

1

0untuk 0

m

m

m

mF

3untuk 1

31untuk 6

5

m

m

Latihan Soal

Dalam pelemparan dua

koin, kita tertarik

menghitung banyaknya ekor

(tails). Berapakah nilai

harapan, variansi, dan

deviasi standar dari

variabel random X, yaitu

banyaknya ekor?© 1984-1994 T/Maker Co.

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM KONTINU

Distribusi Probabilitas Kontinu

• Suatu variabel random kontinu X memiliki tiga sifat berikut

1. X merupakan bilangan yang bernilai tidak terhingga tidak terhitung (uncountably infinite number of

tidak terhitung (uncountably infinite number of values) dalam interval (-,)

2. Fungsi distribusi kumulatif, F(x), kontinu.

3. Probabilitas X sama dengan sembarang nilai yang khusus adalah 0

• Karena probabilitas variabel random kontinu sama dengan suatu sembarang nilai sama dengan nol. Jika Xadalah variabel random kontinu, maka

• Dan dapat dihitung sebagai berikut

) ) ) )bXaPbXPbXaPbXaP ===

) )=b

dxxfbXaP

• Tidak masalah apakah titik akhir suatu selang diikutkan atau tidak. Hal ini berbeda dengan variabel random diskrit. Distribusi variabel random kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk formula

) )=a

dxxfbXaP

Definisi

• Fungsi f(x) adalah fungsi densitas probabilitas untuk

variabel random kontinu X, didefinisikan pada bilang

real , jika

) xxf semuauntuk ,01. .

2. .

3. .

) ,1

=dxxf

) =b

a

xfbXaP )(

) xxf semuauntuk ,0

Contoh

• Kesalahan pengukuran temperatur dinyatakan dengan variabel random X dengan fungsi densitas yang didefinisikan sebagai berikut

)

21 2

xx

1. Periksa syarat 2 dari definisi 4.3. diatas

2. Hitunglah

)

=

lain yang untuk 0

21 3

x

xx

xf

)10 XP

• Jawab

1. .

2. .

) 19

1

9

8

3

2

1

2

===

xdxxf

) 110

12

== x

XP2. . )9

1

310

1

0==

xXP

Distribusi Kumulatif Kontinu

• Distribusi kumulatif F(x) dari variabel random kontinu X dengan fungsi densitas peluang f(x) adalah

) ) ) ,untuk

==x

xdttfxXPxF

• Sebagai akibat dari definisi diatas dapat dituliskan

• Dan jika turunannya ada

) ) ) aFbFbxaP =

) )dx

xdFxf =

Contoh

• Dari contoh sebelumnya tentukan F(x) kemudian gunakan untuk menghitung

• Jawab

Untuk -1 < x < 2

sehingga

)10 XP

) )9

1

3

32 ===

xdt

tdttfxF

xx

1 0 xsehingga

Untuk menghitung

)

=

2 1

21 9

1

1 03

x

xx

x

xF

) ) )9

1

9

1

9

20110 === FFXP

)10 XP

DISTRIBUSI GABUNGAN

Distribusi Gabungan VariabelRandom Diskrit

• Jika X dan Y dua variabel random diskrit, maka distribusi peluang untuk kejadian simultan dapat direpresentasikan dengan fungsi f (x,y) untuk setiap pasangan (x,y). Fungsi ini disebut dengan distribusi peluang gabungan dari variabel random X dan Y. Untuk kasus diskrit dituliskan:

) )yYxXPyxf === ,,

Definisi

• Fungsi f (x, y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang dari dua variabel random diskrit X dan Y jika

1. . untuk semua (x, y) ) 0, yxf

2. .

3. .

Untuk daerah sembarang A dalam bidang xy,

) =y x

yxf 1,

) )yxfyYxXP ,, ===

) )=y x

yxfAyxP ,,

Contoh

• Dua isi ulang bolpoin diambil dari kotak yang berisi 3 warna biru, 2 warna merah, dan 3 warna hijau. Jika X menyatakan banyaknya warna biru yang terpilih dan Y banyaknya warna merah terpilih, tentukan

1. Fungsi peluang gabungan f(x, y)

2. dimana A adalah daerah ) 1|, yxyx ) AYXP ,

Jawab

Nilai pasangan yang mungkin dari (x, y) adalah (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), dan (0, 2).

1. Misalkan f (0,1) menggambarkan probabilitas sebuah bolpoin hijau, dan merah yang terpilih. Banyaknya semua kemungkinan memilih 2 dari total 8 bolpoin adalah

Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 bolpoin merah dan 1 hijau dari 3 bolpoin hijau .

Oleh karena itu

282

8=

61

3

1

2=

) 1432861,0 ==f

• Perhitungan yang sama untuk pasangan hasil lain yang mungkin dapat dilihat dalam tabel berikut

x Total

baris0 1 2

0

1

)yxf ,

28

9

28

3

14

5

28

15

28

3

• .

y1

0

20 0

Total Kolom128

15

14

314

3

7

3

28

1

28

1

28

3

14

5

• Jika dinyatakan dalam bentuk formula, distribusi probabilitas gabungan dalam tabel tadi adalah sebagai berikut

Untuk x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2; dan 0 ≤ x + y ≤ 2

)

=8

2

3

2

23

yxxf

dan 0 ≤ x + y ≤ 2

2. Probabilitas (X, Y) berada dalam daerah A adalah

2

) ) ) ) )

14

9

28

9

14

3

28

3

0,11,00,01,

==

== fffYXPAYXP

LATIHAN SOAL

• Misalkan W adalah suatu variabel random yang menyatakan banyaknya kepala (K) dikurangibanyaknya ekor (E) dalam 3 kali pelemparan suatukoin. Daftarlah elemen-elemen dalam ruang sampel S untuk ketiga pelemparan tersebut. Untuk setiap titiksampel, berikan nilai w yang bersesuaiansampel, berikan nilai w yang bersesuaian

• Banyaknya jam (diukur dalam unit per 100 jam) suatuvacum cleaner digunakan dalam suatu RT selama 1 tahun merupakan variabel random kontinu X yang memiliki fungsi densitas peluang

)

=

lain yanguntuk 0

21 2

10

xx

xx

xf

Temukan probabilitas dalam 1 tahun, keluargatersebut menggunakan vacum cleaner mereka

a. Kurang dari 120 jam

b. Antara 50 – 100 jam.

lain yanguntuk 0

• Suatu pengiriman 7 set televisi terdapat 2 produkcacat. Suatu hotel membeli secara acak 3 set televisi. Jika x menyatakan banyaknya produk cacat yang dibeli pihak hotel, tentukan distribusi probabilitas Xdan gambarkan dalam bentuk histogram

• Distribusi probabilitas X, yang menyatakan banyakcacat per 10 meter dari suatu kain sintetis adalahcacat per 10 meter dari suatu kain sintetis adalahsebagai berikut

Buatlah distribusi kumulatif X

x 0 1 2 3 4

f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

DISTRIBUSI BINOMIALDISTRIBUSI BINOMIAL

Distribusi Binomial

Banyaknya ‘sukses’ dalam suatu sampel daripengamatan (trial) sebanyak n

• Banyaknya item yang cacat dalam suatu batch

berisikan 5 itemberisikan 5 item

• Banyaknya jawaban yang benar dari 30

pertanyaan saat ujia

• Banyaknya pelanggan yang berbelanja dari 100

pelanggan yang masuk toko (tiap pelanggan

memiliki kesempatan sama untuk membeli)

Karakteristik Variabel Random Binomial

1. Eksperimen terdiri dari percobaan Bernoulli sebanyak n yang identik Hanya ada dua kemungkinan hasil pada setiap percobaan, yaitu S (untuk sukses) dan F(untuk gagal)(untuk gagal)

2. P(S) = p and P(F) = q tetap sama dari satu percobaan ke percobaan lain (Perhatikan bahwa p + q =1)

3. Percobaan-percobaan tersebut adalah independen4. Variabel random binomial x adalah banyaknya S

dalam n kali percobaan

Fungsi Distribusi ProbabilitasBinomial

!( ) (1 )

! ( )!x n x x n xn n

p x p q p px x n x

= =

p = probabilitas terjadinya sukses dalam percobaan tunggal tunggal

q = 1- p

n = banyaknya percobaan

x = banyaknya sukses dalam n kali percobaan

n – x = banyaknya gagal dalam n kali percobaan

Contoh Distribusi ProbabilitasBinomial

Percobaan: Melemparkan 1 koin sebanyak 5 kali. Catatbanyaknya kemunculan ekor. Berapakah probabilitasmuncul 3 ekor dari 5 pelemparan tersebut?

3 5 3

!( ) (1 )

!( )!

5!(3) .5 (1 .5)

3!(5 3)!

.3125

x n xnp x p p

x n x

p

=

=

=

© 1984-1994 T/Maker Co.

Tabel Probabilitas Binomial (contoh)

n = 5 p

k .01 … 0.50 … .99

0 .951 … .031 … .000

1 .999 … .188 … .0001 .999 … .188 … .000

2 1.000 … .500 … .000

3 1.000 … .812 … .001

4 1.000 … .969 … .049

Probabilitas Kumulatif

p(x ≤ 3) – p(x ≤ 2) = .812 – .500 = .312

Rataan & Variansi VariabelRandom Binomial

.0

.5

1.0

X

P(X)

n = 5 p = 0.1

Rataan

np=m

.0

0 1 2 3 4 5

X

.0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

n = 5 p = 0.5

Variansi

npq=2s

Contoh Soal

Diasumsikan seorang telemarketer pada suatu hari berhasil menjual 20 dari 100 panggilan (p = .20). Jika iamenelepon 12 orang hari ini, berapakah probabilitasberapakah probabilitas

A. Tidak ada penjualan?

B. Tepat 2 penjualan?

C. Paling banyak 2 penjualan?

D. Minimum 2 penjualan?

Jawab

n = 12, p = .20

A. p(0) = .0687

B. p(2) = .2835

C. p(paling banyak 2) = p(0) + p(1) + p(2)= .0687 + .2062 + .2835= .0687 + .2062 + .2835= .5584

D. p(paling tidak 2) = p(2) + p(3)...+ p(12)= 1 – [p(0) + p(1)] = 1 – .0687 – .2062= .7251

Penjumlahan Binomial (Binomial Sums)

• Terkadang kita perlu memecahkan masalahuntuk menemukan P ( x< r) atau P (a ≤ X ≤ b)

) )=r

pnxbpnrB ,;,;

Nilai tersebut dapat diperoleh melalui tabel untuk n= 1,2, …, 20 dan p = 0,1 – 0,9

) )=

=x

pnxbpnrB0

,;,;

Contoh Soal

• Probabilitas seorang pasien sembuh dari penyakitdarah langka adalah 0,4. Jika 15 orang diketahuiterkena penyakit ini, maka berapa probabilitas

- Paling sedikit 10 orang mampu bertahan- Paling sedikit 10 orang mampu bertahan

- Antara 3-8 orang survive

- Tepat 5 orang survive?

Tabel Binomial (Lampiran A1 Walpole, 2013)

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRI

Karakteristik Variabel Random Hipergeometri

1. Percobaan terdiri dari penarikan n elemen secara random tanpa pengembalian dari suatu set elemen sebanyak N. Dari percobaan tersebut dapat dinyatakan r yang merupakan S (untuk sukses) dan (-dinyatakan r yang merupakan S (untuk sukses) dan (-r) yang merupakan F (untuk gagal)

2. Ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan banyaknya elemen N dalam populasi, yaitu n / N > 0,05

3. Variabel random hipergeometrik, X adalah banyaknya S yang terambil dalam n elemen.

Distribusi ProbabilitasHipergeometrik

,),,;(

=

n

N

xn

kN

n

k

knNxhnx ,,2,1,0 =

N = total banyaknya elemen

k = banyaknya sukses dalam N elemen

n = banyaknya elemen yang diambil

x = banyaknya sukses yang terambil dari n elemen

n

Rataan & Variansi Variabel Random Hipergeometrik

Rataan

N

nr=m

Variansi

N

) ) )12

2

=

NN

nNnrNrs

Contoh Soal

• Setiap lot sebanyak 40 komponen dikatakan tidak lolos jika ditemukan produk cacat sebanyak 3 atau lebih. Suatu rencana sampling dilakukan dengan memilih 5 komponen secara dilakukan dengan memilih 5 komponen secara acak dan menolak lot tersebut jika 1 produk cacat ditemukan. Berapakah peluang tepat 1 cacat ditemukan dalam sampel jika terdapat 3 produk cacat di keseluruhan lot?

Jawab

• Dengan menggunakan distribusi hipergeometri dengan n = 5, N = 40, k = 3, dan x = 1, peluang menemukan tepat 1 cacat adalah

373

• Rencana sampling tersebut tidak begitu bagus karena peluang lot dinyatakan jelek cukup besar yaitu 30%

) 3011.0

5

40

4

37

1

3

3,5,40;1 =

=h

DISTRIBUSI POISSONDISTRIBUSI POISSON

Distribusi Poisson

1. Banyaknya kejadian yang terjadi dalaminterval /selang• kejadian per unit

— Waktu, panjang, area

2. Contoh• Banyaknya pelanggan yang datang dalam 20

menit

• Banyaknya gol dalam suatu liga sepakbola per tahun.

• Banyaknya mesin pabrik yang rusak dalamsatu hari

Karakteristik VariabelRandom Poisson

1. Percobaan terdiri dari menghitung banyaknya sukses yang terjadi dari suatu kejadian khusus yang terjadi selama suatu unit waktu tertentu, atau dalam suatu area atau volume tertentu (atau berat, jarak, atau sembarang unit pengukuran)

2. Probabilitas bahwa suatu kejadian terjadi dalam suatu unit pengukuran tertentu adalah sama untuk seluruh unit

3. Banyaknya kejadian yang terjadi dalam satu unit pengukuran independen terhadap banyaknya kejadian yang terjadi dalam unit-unit lain.

4. Rataan (atau harapan) banyaknya kejadian dalam suatu unit akan dinotasikan dengan huruf Yunani,

Fungsi Distribusi ProbabilitasPoisson

)...) ,2 ,1 ,0(

!);( ==

xx

tetxp

xt

λt = rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per satuan waktu atau daerah

x = banyaknya kejadian per unit

e = 2.71828 . . .

Rataan & Variansi VariabelRandom Poisson

.0

.2

.4

.6

.8

X

P(X)

= 0.5

Rataan

tm = .0

0 1 2 3 4 5

X

.0

.1

.2

.3

0 2 4 6 8 10

X

P(X)

= 6Variansi

tm =

ts =2

Contoh Distribusi Poisson

• Dalam sebuah eksperimen di laboratorium nuklir,rata-rata jumlah partikel radioaktif yang melewatisebuah pencacah (counter ) adalah 5 tiap milidetik.Tentukan peluang 8 partikel akan lewat dalam selangwaktu 1 milidetik.waktu 1 milidetik.

Jawab

• Dalam kasus ini λt =5 dan x = 8, dengan menggunakan tabel distribusi Poisson diperoleh

) ) ) 0653.08666.09319.05;5;!8

5)5;8(

7

0

8

0

85

==== ==

xx

xpxpe

p

Soal

Seorang karyawan administrasibertugas memasukkan 75 kataper menit dengan 6 error/kesalahan per jam. Berapakah probabilitas iaBerapakah probabilitas iamembuat 0 kesalahan dalam255 transaksi kata yang dibuat?

Jawab: (Menentukan * terlebih dahulu)

• 75 kata/menit = (75 kata/menit) =

= 4500 kata/jam

• 6 errors/jam= 6 errors/4500 kata• 6 errors/jam= 6 errors/4500 kata

= .00133 error/kata

• Dalam 255-transaksi kata (interval):

= (.00133 error/kata)(255 kata)

= .34 error/255-transaksi kata

Jawab: Menentukan p(0)

-

( )!

x ep x

x

=

)0 -.34

!

.34(0) .7118

0!

x

ep = =

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM KONTINU

DISTRIBUSI UNIFORM

• Salah satu distribusi kontinu yang cukup sederhana adalah distribusi uniform. Fungsi densitas distribusi dicirikan oleh bentuknya yang datar (flat) dan seragam dalam interval tertutup, misalkan [a, b]. Fungsi densitas peluang dari variabel random uniform Fungsi densitas peluang dari variabel random uniform X pada selang [a, b] adalah

=

lain yang 0

jika 1

)(

bxaabxf

Fungsi densitas peluang suatu variabel random uniform dalam interval [a, b]

Contoh

• Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan waktu rapat, yang berdistribusi menyatakan waktu rapat, yang berdistribusi seragam.

• Tentukan fungsi densitas peluang X.

• Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

Jawab

)

===

lainnya,0

40,4

1

sehingga,4,0

x

xxfba

)4

1

4

3

4

4|

4

1

4

13 4

3

4

1==== =

=xxxdxXP

Contoh Distribusi Uniform

Di suatu perusahaan pembuat soft drink, suatu mesin yang disetel mengeluarkanminuman sebanyak 12 oz sesungguhnyaakan mengeluarkan antara 11.5 and 12.5 oz. Anggap banyaknya minuman12.5 oz. Anggap banyaknya minumanyang dikeluarkan berdistribusi uniform. Berapakah probabilitas minuman yang dikeluarkan kurang dari 11.8 oz?

SODA

Distribusi Uniform

f(x)1 1

12.5 11.5

11.0

1

d c=

= =

1.0

P(11.5 x 11.8) = (Base)/(Height)

= (11.8– 11.5)/(1) = .30

11.5 12.5x

11.8

1.01

= =

DISTRIBUSI NORMAL

Keutamaan Distribusi Normal

1. Distribusi normal adalah distribusi yang paling penting di antara distribusi statistik yang lain.

2. Menggambarkan banyak fenomena yang terjadi di alam, industri, dan penelitian. terjadi di alam, industri, dan penelitian.

3. Dapat digunakan untuk meng-aproksimasidistribusi probabilitas diskrit lainnya(binomial, Poisson)

4. Dasar dalam statistik inferensi klasik

Distribusi Normal

1. ‘Bell-shaped’ & simetris

2. Rataan, median, modus sama

f(x )

modus samax

RataanMedian Modus

Fungsi Densitas ProbabilitasVariabel Random Normal

)=

xexfx

- , 2

1)(

2

22

1m

s

s

µ = Rataan variabel random xs = Deviasi standarπ = 3.1415 . . .e = 2.71828 . . .

Probabilitas Distribusi Normal

Probabilitasadalah luasdaerah dibawahkurva

= )( 21 xXxP ) )

2

1

221

2

1 x

x

x dxe sm

s

• luas daerah di bawah kurva normal antara x = x1 dan x = x2 juga bergantung pada nilai rataanμ dan deviasi standar σ.

• Masalah integral fungsi padat normal dipecahkan menggunakan tabel luas untuksetiap nilai µ dan σ.

f(x)

Distribusi Normal Tidak Baku

Distribusi normal bergantungpada nilai rataan μ dan deviasistandar σ

Setiap distribusimemerlukan tabel sendiri

x

f(x)

Banyaknya tabeltak hingga!

Membawa ke bentukStandar/Baku

Distribusi Normal

s s

Distribusi Normal Baku

z =x m

s

xm

s

Butuh satu tabel saja!

m = 0

s = 1

z


Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan µ = 0 dan s = 1. Suatu variabel random yang berdistribusi normal baku dinotasikan dengan z = variabel random normal bakuvariabel random normal baku

Cara Membaca Tabel Normal

Mencari luas di bawah kurvadi sebelah kanan z = 1.64 P(Z ≥1.64)

• Luas daerah dibawah kurva di sebelah kanan z = 1.64 sama dengan 1 dikurangi luas area dalam tabel Normal (yaitu daerah di sebelah kiri z = 1.64) sehingga sama dengan 1 – 0.9495 = 0.0505

zz

Mencari luas di bawah kurvaP(- 1.85 < Z< 0.78)

• Luas daerah untuk z terletak di antara – 1.85 dan 0.78 sama dengan luas area di sebelah kiri z = 0.78 dikurangi luas area di sebelah kiri z = -1.85. Dari tabel luas tersebut sama dengan 0.7823 – 0.0322 = 0.7501

- 1.85 0.78

Contoh Soal

Di bagian pengendalian kualitas GE

usia bola lampu diasumsikan

berdistribusi normal dengan m = 2000

jam dan s = 200 jam. Berapakah

probabilitas suatu bola berusia

(menyala selama)

A. Antara 2000 dan 2400

jam?

B. Kurang dari 1470 jam?


Jawab: P(2000 ≤ X ≤ 2400)

Distribusi Normal z =

x m

s=

2400 2000

200= 2.0

Baku

zm = 0

s = 1

2.0xm = 2000

s = 200

2400

.4772

Distribusi Normal Standar

Jawab: P(x 1470)

Distribusi Normal z =

x m

s=

1470 2000

200= 2.65

zm = 0

s = 1

–2.65

Standar

xm = 2000

s = 200

1470

.0040 .4960

.5000

Contoh Soal

• Suatu pesanan kain tekstil dari pembeli kain katun dengan spesifikasi tiap rol kain yang diinginkan memiliki panjang 10 ± 0.01 meter. Rol kain yang tidak kategori tersebut tidak diterima pembeli. Diketahui proses produksi rol kain tersebut Diketahui proses produksi rol kain tersebut berdistribusi normal dengan rataan μ=10 dan standar deviasi σ=0.005. Secara rata-rata berapa banyak produksi rol kain yang ditolak?

Jawab

• Distribusi panjang rol kain ditunjukkan dalam gambar. Nilai z yang berpadanan untuk x1 = 9.99 dan x2 = 10.01 adalah

00.2005.0

1099.91 =

=

=

s

mxz 00.2

005.0

1001.102 =

=

=

s

mxz

005.0s

) )0.20.201.1099.9 = ZPXP

Pendekatan Normal untuk Binomial

Pendekatan Normal untukBinomial

Jika X suatu variabel random dengan rataan

dan variansi

Maka bentuk limit distribusinya adalah sebagaiMaka bentuk limit distribusinya adalah sebagai

untuk n ∞ merupakan suatu distribusi normal, n ~ (0,1)

• Probabilitas seorang pasien sembuh daripenyakit darah langka adalah 0,4. Jika 100 orang diketahui terkena penyakit ini, makaberapa probabilitas paling sedikit 30 orangyang mampu bertahan?

Continuity Correction

• Misalkan X adalah variabel random binomial dengan parameter n dan p. Untuk n yang cukup besar X mendekati distribusi normal dengan μ = np dan σ2= npq = np(1- p) dan

Pendekatan ini akan cukup baik jika np dann(1−p) lebih besar atau sama dengan 5 (beberapamenyarankan 10)

variabel random & distribusi peluang

Education