RADIASI BENDA HITAM(APLIKASI DISTRIBUSI BOSE-EINSTEIN)

KELOMPOK I: 1. ARINI HIDAYANI (8146175002) 2. FADILLAH

(8146175008)3. FINE EIRENE SIAHAAN (8146175010)4. NAOMI SIMANJUNTAK (8146175022)

Prodi : DIKFIS-A2 Desen Pengampu : Prof. Dr. Sahyar, M.Si

STATISTIK BOSE-EINSTEINPerbedaan mendasar antara sistem boson dan sistim

klasik adalah bahwa dua buah boson identik dan tidak dapat dibedakan.

Dalam sistem klasik, pertukaran dua sistem akan menghasilkan susunan yang berbeda, sedangkan dalam sistem boson tidak. Perbedaan tersebut menyebabkan adanya hasil yang berbeda dalam perhitungan distribusi energi dengan peluang terbesar dalam sistem.

Perbedaan lain antara sistem kuantum dengan sistem klasik adalah sifat diskrit keadaan energi yang tersedia. Dalam statistik klasik, energi dibagi dalam tingkatan yang diskrit. Dalam kasus mekanika kuantum keadaan energi diskrit tetap diperlukan dengan menganggap bahwa tiap keadaan yang tersedia menempati volume tertentu dalam sebuah ruang fase.

DISTRIBUSI BOSE-EINSTEIN

Konfigurasi assembly tetap ditandai dengan pita energi s, mengandung gs keadaan dengan selang energi antara, mengandung sistem. Pembatasan tetap dilakukan pada jumlah sistem yang ditempatkan dalam kaitannya dengan energi total E dan jumlah total sistem N melalui hubungan:

1.1s s

s

n E ss

n N

Misalkan terdapat gs keadaan dari pita s yang ditunjukkan dengan kotak dalam gambar. Sejumlah ns sistem dapat disusun atau disebar diantara gs keadaan. Jika pengisian dimulai dari kiri. Jika pada sisi paling kiri ditempatkan sebuah sistem, maka pada sisi selanjutnya terdapat

gs -1 keadaan.

Jadi banyaknya cara menempatkan ns sistem diantara gs -1 keadaan adalah

1.2

s s sg g 1 n

Ingat bahwa sistemnya tak terbedakan, sehingga banyaknya susunan yang berbeda dari sistem dengan jumlah pita s adalah:

1.3 Penyusunan sistem dalam suatu pita tak

bergantung pada penyusunan sistem lain dalam pita yang lain. Tetapi kita dapat menyatukan susunan-susunan tersebut untuk membentuk assembly, dengan bobot W yang konfiguarasinya merupakan perkalian jumlah susunan berbeda dari masing-masing sistem

1.4

s s s

ss s

g g 1 n !w

g !n !

ss

W w

s ss

ss

ng

ng

!!1

!1

Seperti halnya dalam statistik Maxwell-Bolzmann, konfigurasi dengan peluang terbesar dapat ditentukan dengan mencari nilai yang memberikan nilai maksimum untuk W. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode pengali tak tentu Lagrange

1.5

Karena pada nilai maksimum persamaan di atas tetap berlaku untuk semua nilai yang kecil, maka nilai yang ada dalam tanda kurung harus sama dengan nol untuk setiap harga . Jadi

1.6

s ss s

logWdn 0

n

ss

logW0

n

Kita asumsikan bahwa nilai gs dan ns cukup besar untuk memungkinkan kita menggunakan pendekatan Stirling, sehingga log W dapat ditulis

1.7 1.8

karena gs dan ns >> 1 maka 1.9

Kita substitusikan pers 1.9 Ini ke pers 1.6 maka:

1.10

ss

s s s s s s s ss

logW log w

g 1 n log g 1 n g 1 log g 1 n log n

s s ss

logWlog g 1 n log n

n

s s

s s

g nlogWlog

n n

s

ss

gn

exp 1

RADIASI BENDA HITAMKarena foton dapat dipancarkan dan diserap kembali oleh dinding di sekitarnya, maka jumlah foton di dalam ruang tidak tetap (menentu). Pembatasan

atau tidak berlaku lagi dan pengali = 0 (dalam hal ini A = e = 1 ). e= emisivitas=luas permukaan.

Energi tiap foton adalah hv, dimana v adalah frekwensi radiasi, oleh karena itu lebih mudah kita nyatakan energi sebagai fungsi frekwensi atau panjang gelombang foton. Jumlah modus gelombang yang independen dengan panjang gelombang berada diantara λ dan λ + d λ adalah (4π / λ4) d λ per satuan volume dalam ruang.

ss

n Ns

s

dn 0

Oleh karena foton memiliki dua arah polarisasi, maka modusnya dikali dua. Jadi jumlah keadaan yang diizinkan atau modus dalam interval λ dan λ + d λ adalah

1.11 persatuan volume dimana g(λ)adalah rapat keadaan yang

dinayatakan sebagai fungsi panjang gelombang. Jadi jumlah foton dalam suatu pita energi pada temperatur T adalah

1.12

Jumlah foton dengan panjang gelombang diantara λ dan λ + d λ diperoleh dengan jalan mensubstitusi gs dengan

g(λ) d λ ) d serta menyatakan hv = hc/ . Jadi c1.13

4

8g d d

s

ss

gn

exp hv / kT 1

4

8 1n d d

exp hc / kT 1

adalah k elajuan cahaya

Distribusi spektrum energi gas foton dapat dinyatakan dalam bentuk E (λ), yakni energi yang diradiasi persatuan volume persatuan panjang gelombang λpada panjang gelombang λ. Karena

1.14 maka energi radiasi dalam interval panjang

gelombang λ tersebut adalah1.15

E n ( )hv n ( hc / )

5

8 hcdE d

exp hc / kT 1

Hukum Radiasi Planck

Beberapa hasil eksperimen, pengamatan maupun teori yang diungkapkan para ahli memiliki kaitan dan ternyata cocok dengan hukum ini.

a)Ungkapan E (λ) dalam bentuk 1/ λ5 adalah sesuai dengan apa yang diramalkan oleh Wien dalam Hukum Radiasi Wien berdasarkan teori termodinamika.

b) Pada nilai panjang gelombang yang cukup besar, dimana persamaan 1.14) dapat direduksi menjadi

1.15

yang cocok dengan rumus Rayleigh-Jeans klasik yang diturunkan dari asumsi bahwa tiap 8π/ λ 4

dλ foton memiliki energi osilator harmonik klasik sebesar kT.

4

8 kTdE d

exp hc / kT 1 hc / kT ,

c) Pada panjang gelombang yang pendek, yakni maka persamaan 1.14) menjadi

1.16 Rumus Distribusi Wien yang secara empiris

merupakan hasil eksperimen pada daerah dengan panjang gelombang yang pendek.

d)Jika sebuah lubang kecil dibuat di pada sisi dimana di sekitarnya bertemperatur konstan, energi elektromagnetik akan dipancarkan keluar dari sisi. Jumlah foton yang dipancarkan dengan panjang gelombang diantara λ dan λ + d λ per satuan luas lubang per satuan waktu nrad (λ ) d λ adalah

1.17 1.18

exp hc / kT 1,

5

8 hcE d exp hc / kT d

rad

cn ( )d n ( )d

4 rad 4

2 cdn ( )d

exp hc / kT 1

Energi yang dipancarkan per satuan luas per satuan waktu dalam interval panjang gelombang tertentu adalah energi tiap foton dikalikan jumlah foton yang dapat ditulis dengan

1.19 e)Energi total E per satuan volume diperoleh dengan

megintegrasi persamaan 1.14 ke seluruh jangkauan panjang gelombang

1.20

Hukum Stefan-Boltzmann dalam bentuk energi yang diradiasi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperatur mutlak T adalah

diperoleh

2

rad 5

2 hc dE ( )d

exp hc / kT 1

5 44

3 3

8 kE T

15h c

4radE T