Ismi Kuswardani, S.Pd

PROGRAM LINEAR

Masalah Nyata:

Berdasarkan pengalaman beberapa tahun dalam memproduksi meja ini diperoleh fakta sebagai berikut:

Suatu perusahaan mebel ingin membuat dua jenis meja, yaitu meja tulis dan meja makan. Untuk membuat meja–meja tersebut diperlukan 3 tahapan pekerjaan, yaitu: tahap I (pemasahan), tahap II (pemasangan), dan tahap III (pengecatan).

1. Untuk membuat 1 meja tulis diperlukan waktu pemasahan 2 jam, pemasangan 1 jam, dan pengecatan 1 jam. Sedangkan untuk membuat 1 meja makan diperlukan waktu pemasahan 1 jam, waktu pemasangan 2 jam, dan waktu pengecatan 1 jam.

2. Dari tenaga kerja yang ada waktu yang tersedia (dalam 1 bulan) untuk masing-masing tahap pekerjaan itu adalah sebagai berikut. Pada tahap I tersedia waktu 180 jam, tahap II tersedia 160 jam, dan tahap III tersedia 100 jam.

Permasalahannya:• Berapa banyak meja tulis dan meja makan

harus dibuat supaya keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya?

• Berapa rupiah keuntungan maksimum itu?

3. Keuntungan yang dapat diraih dari penjualan 1 buah meja tulis adalah Rp 60.000,00 dan untuk 1 buah meja makan adalah Rp 40.000,00.

Suatu cara/metode yang digunakan sebagai solusi masalah optimasi suatu fungsi objektif

dari persoalan yang diterjemahkan dalam model matematika.

Masalah di atas dapat kita selesaikan dengan program linear.

PROGRAM LINEAR adalah … ?

model matematikafungsi objektif

disebut juga fungsi tujuan, yaitu fungsi yang akan dicari nilai optimumnya.

hasil penerjemahan persoalan program linear ke dalam bahasa matematika, berupa sistem pertidaksamaan linear.

1. Untuk dapat menyelesaikan masalah program linear, susun model matematika (Sistem Pertidaksamaan Linear) dari keterangan pada soal.

2. Selanjutnya gambar daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear tersebut.

3. Tentukan titik-titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut, kecuali titik (0,0).

4. Menentukan nilai optimum, dapat ditentukan dengan 2 cara yaitu uji titik pojok dan garis selidik.

Langkah-langkah penyelesaian dari masalah di atas:

Model MatematikaMisal : Meja Tulis = x Meja Makan = y

Jenis Meja Tahap I Tahap II Tahap III Keuntungan

Meja Tulis (x)

2 jam 1 jam 1 jam Rp 60.000,-

Meja Makan (y)

1 jam 2 jam 1 jam Rp 40.000,-

Persediaan 180 jam 160 jam 100 jam

1.2x + y ≤ 180

2.x + 2y ≤ 160

3.x + y ≤ 100

4.x ≥ 05.y ≥ 0

Fungsi objektiff (x,y) = 60.000x +

40.000y

Daerah Penyelesaian

1. 2x + y ≤ 1802x + y = 180

3. x + y ≤ 100x + y = 100

2. x + 2y ≤ 160x + 2y = 160

x 90 0y 0 180

( x, y) (90,0)

(0,180)

x 80 0y 0 160

( x, y) (80,0)

(0,160)

x 100 0y 0 100

( x, y) (100,0)

(0,100)

4. x ≥ 0x = 0 ( sumbu y )

5. y ≥ 0y = 0 ( sumbu x )

Grafik Daerah Penyelesaian

Titik PojokTitik potong garis x + 2y = 160 dan x + y = 100

x + 2y = 160x + y = 100

y = 60

x + y = 100x + 60 = 100

x = 40Titik potongnya ( 40,60 )

Titik potong garis 2x + y = 180 dan x + y = 100

2x + y = 180 x + y = 100

x = 80

x + y = 10080 + y = 100 y = 20

Titik potongnya ( 80,20 )

Uji Titik PojokTitik Pojok f (x,y) = 60.000x + 40.000y

( 0,80 ) 60.000 .(0) + 40.000 .(80) = 3.200.000

( 40,60 ) 60.000 .(40) + 40.000 .(60) = 4.800.000

( 80,20 ) 60.000 .(80) + 40.000 .(20) = 5.600.000

( 90,0) 60.000 .(90) + 40.000 .(80) = 5.400.000

Maksimum

Keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha mebel tersebut adalah Rp 5.600.000,-, dengan memproduksi 80 meja tulis dan 20 meja makan.

Garis Selidik

 Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari nilai optimum dari fungsi objektif menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut.1. Buatlah garis acuan ax + by = k, dengan k = a.b 2. Buatlah garis-garis sejajar ax + by = k dengan cara

mengambil nilai k yang berbeda atau menggeser garis ax + by = k ke kiri atau ke kanan.a. Jika ax1 + by1 = k1 adalah garis paling kiri yang melalui titik (x1, y1) pada daerah penyelesaian maka k1 = ax1 + by1 merupakan nilai minimum.b. Jika ax2 + by2 = k2 adalah garis paling kanan yang melalui titik (x2,y2) pada daerah penyelesaian maka k2 = ax2 + by2 merupakan nilai maksimum.

Garis selidik merupakan garis yang sejajar garis acuan atau garis yang diperoleh dari fungsi objektif f (x,y) = ax + by, yaitu ax +by = ab.

Garis yang paling kanan adalah garis yang melalui titik ( 80,20 ) pada daerah penyelesaian. Oleh karena itu nilai maksimum fungsi objektif adalah f(80,20) = 5.600.000. Dengan kata

lain keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha mebel adalah

Rp 5.600.000,-

Menentukan nilai optimum dengan cara uji titik pojok maupun garis selidik akan memperoleh hasil (nilai optimum) yang sama. Yang perlu diingat adalah titik-titik yang digunakan adalah titik pojok pada daerah penyelesaian selain titik (0,0), karena jika nilai x dan y sama dengan 0 maka tidak ada barang yang dibuat (tidak terjadi proses apapun).

NOTE:Perhatikan tanda

pertidaksamaan ketika menggampar daerah penyelesaian ( jika

pertidaksamaannya > atau < maka garisnya putus-putus)

Persamaan garis yang melalui titik (0,a) dan

(b,0) adalah ax + by = ab

Jika dalam soal ada kata maksimum, tidak lebih

dari, paling banyak, persediaan maka tanda

pertidaksamaan yang dipakai adalah ≤

Jika dalam soal ada kata minimum, tidak kurang

dari, paling sedikit, sekurang-kurangnya maka

tanda pertidaksamaan yang dipakai adalah ≥

Nilai maksimum

suatu fungsi objektif tidak selalu berada

pada titik potong

SELAMAT BELAJAR

MATH is so FUN