REMEDI MATEMATIKA “PROGRAM LINEAR”

NAMA : WAHYUDI AGUNG PAMUNGKAS

KELAS : XII IPA U-4

1. UN 2005Tanah seluas 10.000 m ² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ........

A . Rp 550.000.000,00 D . Rp 800.000.000,00B . Rp 600.000.000,00 E . Rp 900.000.000,00C . Rp 700.000.000,00Penyelesaian:misal:x = rumah tipe Ay = rumah tipe B

100x + 75y ≤ 10.000 /25 4x + 3y ≤ 400 …..(1)x + y ≤ 125 …..(2)Keuntungan maksimum : 6.000.000 x + 4.000.000 y(i) 4x + 3y ≤ 400

Titik potong dengan sum bu X jika y=0 maka x = = 100

Titik potongnya (100 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = = 133.3

Titik potongnya (0 , 133,3)(ii) x + y ≤ 125

Titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 125Titik potongnya (125 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x=0 maka y = 125Titik potongnya (0 , 125)

4x + 3y = 400 x 1 → 4x + 3y = 400x + y = 125 x 4 → 4x + 4y = 500 -

-y = -100 y = 100

x + y = 125x = 125 – y

= 125 – 100 = 25 (25 , 100)

100x

125

400

125

y

(25 , 100)

Keuntungan Maksimum : 6.000.000 x + 4.000.000 y(100 , 0) → 6.000.000(100) + 0 = 600.000.000(0 , 125) → 0 + 4.000.000(125) = 500.000.000(25 , 100) → 6.000.000(25) + 4.000.000(100) = 550.000.000

Keuntungan maksimum adalah Rp.600.000.000Jawabannya adalah B

2. UN 2006Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..

A. Rp.150.000,00 C. Rp.192.000,00 E. Rp.216.000,00B. Rp.180.000,00 D. Rp.204.000,00Penyelesaian :

Misal : x = mangga ; y = pisangModel matematika:x ≥ 0 ; y ≥ 08000x + 6000y ≤ 1.200.000 / 2000 → 4x + 3y ≤ 600....(1)x+ y ≤ 180…….(2)Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000Laba maksimum = 1200x + 1000y

Titik potong:Dari pers(1) dan pers(2)4x + 3y = 600 x1 → 4x + 3y = 600x + y = 180 x4 → 4x + 4y = 720 –

-y = -120 y = 120

x + y = 180x = 180- y

= 180-120 = 60 (60 , 120)

Laba Maksimum: 1200x + 1000y(0 , 0) → 0(150 , 0) → 1200(150) + 0 = 180.000(60 , 120) → 1200(60) + 1000(120) = 192.000(0 , 180) →0 + 1000(180) = 180.000Laba Maksimum adalah 192.000

180150

180

200

(60 , 120)

Jawabannya adalah C

3. UN 2007Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah……….

A. Rp. 176.000,00. C. Rp. 260.000,00 E. Rp. 300.000,00B. Rp. 340.000,00 D. Rp. 200.000,00Penyelesaian : misal x = mobil kecil dan y = mobil besar, maka dapat dibuat persamaan sbb:4x + 20y ≤ 1760 → x +5y ≤ 440………….(1)x + y ≤ 200……(2)Keuntungan maksimum : 1000x + 2000y

Dari pers (1) dan pers (2)x + 5y = 440x + y = 200 -

4y = 240 y = 60x + y = 200x = 200-60 = 140 (140 , 60)Maka hasil maksimum:1000(140) + 2000(60) = 260.000Jawabannya adalah C

4. Perhatikan gambar !

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah……..A. ( 2,5 ) B. ( 2,5/2 C. ( 2,2/5 )

D. ( 5/2,2 ) E. ( 2/5,2 )

Penyelesaian :Cari persamaan garisnya terlebih dahulu:persamaan garis: ax + by = abgaris yang melalui titik M(x,y) memotong sumbu x di titik (4,0) dan memotong sumbu y di titik (0,5). a = 5 : b = 4

5x + 4y = 20 4y = 20 – 5x

y = 5 -

4

5

M

Luas daerah yang diarsir L = x.y = x . (5 - ) = 5x - x2

Luas akan maksimum jika turunan L = 0

L= 5x - x2

L’= 5 - = 0

5 = → x = 2

y = 5 -

= 5 - (2) =

jadi koordinat titik M agar mencapai nilai maksimum adalah ( 2,5/2 )Jawabannya adalah B

5. UN 2008Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah………

A. 88B. 94C. 102D. 106E. 196

Penyelesaian :Persamaan garis 1 : titik (0,20) dan titik (12,0)20 x + 12 y = 240 → 5x + 3y = 60Persamaan garis 2 : melalui titik (0,15) dan titik (18,0)15x + 18 y = 270 → 5x + 6y = 90

titik potong garis 1 dan 25x + 3y – 60 = 5x + 6y – 905x – 5x -60 + 90 = 6y - 3y30 = 3y y = 10

5x + 3y = 605x + 3(10) = 605x = 60-305x = 30

x= 6 (6 , 10)

Nilai maksimum 7x + 6y :(0 , 0) → 0(12 , 0) → 7(12) + 0 = 84(6 , 10) → 7(6) + 6(10) = 102(0 , 15) → 0 + 6(15) = 90

Nilai maksimum adalah 102Jawabannya adalah C

6. UN 2008Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….

A. Rp. 600.000,00 C. Rp. 700.000,00 E. Rp. 800.000,00B. Rp. 650.000,00 D. Rp. 750.000,00Penyelesaian :

Bahan yg tersedia :gula = 4 Kg = 4000 gr tepung = 9 Kg = 9000 grUntuk kue A dibutuhkan bahan : 20 gr gula + 60 gr tepungUntuk kue B dibutuhkan bahan: 20 gr gula + 40 gr tepungpendapatan maksimum : 4000 x + 3000 y

Model matematika:20x + 20 y ≤ 4000 → x + y ≤ 20060 x + 40y ≤ 9000 → 3x + 2y ≤ 450x ≥ 0 ; y ≥ 0

titik potong x + y ≤ 200 dengan 3x + 2y ≤ 450 :x + y = 200 x 3 → 3x + 3 y = 600

3x + 2y = 450 x 1 → 3x + 2 y = 450 -y = 150

x + y = 200x + 150 = 200x = 200 – 150x = 50 (50 , 150)

Nilai maksimum 4000 x + 3000 y:(0 , 0) → 0(150 , 0) → 4000(150) + 0 = 600.000

(0 , 200) → 0 + 3000(200) = 600.000(50 , 150) → 4000(50) + 3000(150) = 650.000Jadi, pendapatan maksimumnya adalah 650.000Jawabannya adalah B

7. UN 2009Menjelang hari raya Idul Adha Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut- turut Rp. 9.000.000,00 dan Rp. 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp. 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut- turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp. 9.200.000,00. Kandang yang ia m iliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli adalah ……

A. 11 sapi dan 4 kerbau D. 0 sapi dan 15 kerbauB. 4 sapi dan 11 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau C. 13 sapi dan 2 kerbauPenyelesaian :Misal sapi = x dan kerbau = y9000.000 x + 8000.000 y ≤ 124000.000 → 9x + 8y ≤ 124 ….(1)x + y ≤ 15 …(2)x ≥ 0; y ≥ 0Keuntungan harga jual sapi = 10.300.000 – 9000.000 = 1.300.000Keuntungan harga jual kerbau = 9.200.000 – 8000.0000 = 1.200.000Keuntungan maksimum: 1.300.000 x + 1.200.000 y

Persamaan I : 9x + 8y ≤ 124

Titik potong dengan sum bu X jika y=0 maka x = = 13,77

Titik potongnya (13,77 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = = 15,5

Titik potongnya (0 , 15,5)

Persamaan II : x + y ≤ 15Titik potong dengan sum bu X jika y=0 maka x = 15Titik potongnya (15 , 0)Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15Titik potongnya (0 , 15)Titik potong persamaan I dan II:

9x + 8y = 124 x 1 → 9x + 8y = 124x + y = 15 x 9 → 9x + 9y = 135 -

-y = -11

y = 11x + y = 15x = 15 – 11x = 4 (4 , 11)

Nilai maksimum : 1.300.000 x + 1.200.000 y(0 , 0) → 0(0 , 15) → 0 + 1.200.000(15) = 18.000.000(13,77 , 0) → 1.300.000(13,77) + 0 = 17.901.000(4 , 11) → 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000

Jadi, Keuntungan maksimum adalah Rp. 18.400.000 pada titik (4 , 11)sehingga keuntungan maksimum didapat denagan menjual 4 ekor sapid an 11 ekor kerbau.Jawabannya adalah B

8. UN 2010Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja m esin A dan B berturut – turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp. 40.000,00 perunit dan model II Rp 10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

A. Rp. 120.000,00 C. Rp. 240.000,00 E. Rp. 600.000,00B. Rp. 220.000,00 D. Rp. 300.000,00Penyelesaian :Misal :Produk model I = xProduk model II= y

A BProduk model I(x) 2 1Produk model II(y) 1 5Waktu kerja 12 15keuntungan maksimum : 40.000 x + 10.000 yModel matematika :2x + y ≤ 12x + 5y ≤ 15x ≥ 0 ; y ≥ 0Persamaan I : 2x + y ≤ 12titik potong dengan sb x jika y=0 → 2x = 12 → x = 6; (6,0)titik potong dengan sb y jika x=0 → y = 12; (0,12)Persamaan II: x + 5y ≤ 15titik potong dengan sb x jika y=0 → x = 15; (15,0)

titik potong dengan sb y jika x=0 → 5y = 15 → y =3 ; (0, 3)

Titik potong kedua garis tersebut :

2x+ y = 12 x1 → 2x + y = 12

1513,77

15

15,

5 (4 ,

11)

x + 5y = 15 x2 → 2x +10y = 30 - -9y = -

18 y = 2

2x + y = 122x + 2 = 122x = 12 – 22x = 10

x = 5titik potongnya (5 , 2)

Nilai maksimum : 40.000 x + 10.000 y(0 , 0) → 0(0 , 3) → 0 + 10.000(3) = 30.000(5 , 2) → 40.000(5) + 10.000(2) = 220.000(6 , 0) → 40.000(6) + 0 =240.000

Jadi, nilai maksimumnya adalah 240.000Jawabannya adalah C

9. UN 2004Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp15.000,00 dan model II memperoleh untung Rp 10.000,00.Laba maksimum yang diperoleh adalah sebanyak .......

A . Rp 100.000,00 D . Rp 200.000,00B . Rp 140.000,00 E . Rp 300.000,00C . Rp 160.000,00Penyelesaian:Misalkan : x = model I, y = model IIDari soal di atas diperoleh persamaan :

x + 2y ≤ 20 .................... (1) 1,5x + 0,5y ≤ 10 ...............(2)

x≥0y≥0

Keuntungan maksimum : 15.000x + 10.000y

Titik potong persamaan I : x + 2y ≤ 20Titik potong sumbu x, y=0 →x = 20 (20,0)Titik potong sumbu y, x=0 →y = 10 (0,10)

Titik potong persamaan II : 1,5x + 0,5y ≤ 10

Titik potong sumbu x, y=0 →x = ( ,0)

Titik potong sumbu y, x=0 →y = 20 (0,20)

Titik potong persamaan (1) dan (2): x + 2y = 20 → x = 20 - 2y 1,5x + 0,5y = 10 → 1,5(20 - 2y) + 0,5y = 10 30 - 3y + 0,5y = 10 2,5y = 20 y = 8

20

10

20

(4 , 8)

x + 2y = 20 → x + 2 . 8 = 20 x + 16 = 20 x = 4

Titik potongnya (4, 8).

Keuntungan maksimum : 15.000x + 10.000y

( , 0) → 15.000( ) + 0 = 100.000

(4 , 8) → 15.000(4) + 10.000(8) = 140.000(0 , 10) → 0 + 10.000(10) = 100.000Jadi, keuntungan maksimum adalah 140.000Jawabannya adalah B

10. UN 2003 Nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x + 4y, yang memenuhi sistem pertidaksamaan x≥0, y≥0, 2x + y ≤ 11, x + 2y ≤ 10 dengan x, y € R adalah ........

A. 36 D. 27B. 32 E. 24C. 30

Penyelesaian :Diketahui titik – titik:x≥0 ; y≥0 2x + y ≤ 11………(1) x + 2y ≤ 10……...(2)

Titik potong persamaan I : 2x + y ≤ 11Titik potong sumbu x, y=0 → x = 5.5 (5,5 , 0)Titik potong sumbu y, x=0 → y = 11 (0 , 11)

Titik potong antara 2x + y ≤ 11 dengan x + 2y ≤ 10 : 2x + y =11 x1 → 2x + y =11x + 2y = 10 x2 → 2x + 4y = 20 -

-3y = -9 y = 3

x + 2y = 10x + 6 = 10x = 4 titik potongnya (4 , 3)

Titik potong persamaan II : x + 2y ≤ 10Titik potong sumbu x, y=0 → x = 10(10,0)Titik potong sumbu y, x=0 → y = 5 (0 , 5)

Nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x + 4y : (0,5) → 0 + 4(5) = 20(4,3) → 3(4) + 4(3) = 24(5,5 , 0) → 3(5.5) + 0 = 16,5Jadi, nilai maksimumnya adalah : 24Jawabannya adalah E

11. Ebtanas ’97 (IPA)Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan penyelesaian sistem pertidaksamaan ….

Y A. x ≥ 0, 4x + 4y ≥ 4, x + y ≤ 2

(1) 4 B. x ≥ 0, 4x + y ≤ 4, x + y ≥ 2

2 C. x ≥ 0, 4x + y ˃ 4, x + y ˂ 2

2 D. x ≥ 0, x + 4y ˃ 4, x + y ˂ 2

(2) E. x ≥ 0, x + 4y ≤ 4, x + y ≥ 2

Pembahasan :

●Persamaan garis (1) : 2x + 2y = 4, daerah yang diarsir x + y ≥ 2

●Persamaan garis (2) : 4x + y = 4, daerah yang diarsir 4x + y ≤ 4

Jawaban : B

12. UMPTN ’98 (Rayon A)

Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan x ≥ 1, y ≥ 2, x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 15, nilai minimum dari 3x + 4y sama dengan ….

A. 9 C. 11 E. 13B. 10 D. 12

Pembahasan :

Y F ( x,y) minimum pada x terkecil yaitu Padatitik A (1,2)

(1, ) F (x,y) = 3x + 4y

2 (3,3) F (1,2) = 3(1) + 4(2) = 11

A(1,2) X Jawaban : C

13. UMPTN ’97 (Rayon A)Nilai maksimum f (x,y) = 5x + 10y di daerah yang diarsir adalah ….

A. 60 YB. 40C. 36 6D. 20E. 16 4

0 4 X

Pembahasan :

Y

Titik-titiksudut 5x + 10yA (4,0) 20 + 0 = 20

B ( , )12 + 24 = 36

C (2,2) 10 + 20 = 30 0 A X

Jawaban : B

14. UMPTN ’98 (Rayon B)Nilai maksimum dari 4y – x dengan syarat y ≤ 2x, 3y ≥ 2x, 2y + x ≤ 20, x + y ≥ 3 adalah ….

A. 32 C. 19 E. 4B. 28 D. 7

Pembahasan :

Y F (x,y) = -x + 4y, maka

10 y = 2x 3y = 12 F (1,2) = 7

(1,2) (4,8) ( , ) F ( 4,8) = 28

3 ( , ) F ( , ) = 3

3x + y = 3X F ( , ) =

Jadi, nilai maksimum = 28

Jawaban : B

15. UMPTN ’97 (Rayon A)Sesuai dengan gambar berikut, nilai maksimum f (x,y) = 4x + 5y di daerah yang diarsir adalah ….

A. 5 YB. 8C. 10 4D. 11E. 14 2

0 2 3 X

Pembahasan :

Y f (x)maks = 4x + 5y dari :

(0,4) f (2,0) = 8

(0,2) f ( ,1) = 12

( ,1) f (0,2) = 10

0 (2,0) (3,0) X f (0,0) = 0

Jawaban : D

16. UMPTN ’94 (Rayon A)Y Jika daerah yang diarsir pada diagram di samping

L ini merupakan daerah penyelesaian untuk soal program

g linear dengan fungsi sasaran f(xy) = x –y . Maka

nilai maksimum adalah ….

-3 0 2 X A. f(3,1) C. f(2, ) E. f(4, )

B. f(4,1) D. f(3,2)

Pembahasan :

Perhatikan gambar :

garis l : -2x + 2y = -4 atau x – y = 2 fungsi garis selidiknya: x – y = k, ambil k = 2 x – y = 2 (ternyata berimpit dengan garis

l) ,jadi fungsi maksimum dari fungsi sasaran terletakpada garis l Lakukan substitusi alternatif jawaban pada garis l, ternyata titik (3,1) terletak pada garis

l, jadi nilai maksimumnya adalah f (x,y) = f (3,1)Jawaban : A

17. UMPTN ’93 (Rayon B)Nilai minimum untuk 2x + 5y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 16adalah ….

A. 24 C. 36 E. 60B. 32 D. 40

Pembahasan :

Y Titik potong garis : Titik potong (8,4).

x + y = 12 Nilai minimum F(x,y)

(0,12) x + 2y = 16 = 2x + y dari :

8 (8,4) -y = -4 F(0,12) = 0 + 60 = 60

0 12 (16,0) X y = 4 x + 4 = 12 F (8,4) = 16 + 20 =36

x = 8F (16,0) = 32 + 0 =32 Maka nilai minimum dari fungsi objektif adalah 32.

Jawaban : B

18. SPMB ’04 (Regional II)Nilai maksimum dari f(x,y) = 10x + 20y dengan kendala x ≥ 0, y ≥ 0, x + 4y ≤ 120, x + y ≤ 60 adalah ….

A. 400 C. 500 E. 700B. 500 D. 600

Pembahasan :

Y f (x,y) = 10x +2y maksimum di(40,20)

60 sebesar 800

30 B (40,20)

X Jawaban : E

60 120

x + y = 60 x + y = 120

19. UM-UGM ‘03Nilai maksimum dari F = 6x - 10y yang memenuhi x + y ≤ 10; x + 2y ≤ 10; x ≥ 2; y ≥ 0 adalah ….

A. 52 C. 72 E.92B. 60 D. 76

Pembahasan :

10

5 A(2,4)

C (10,0) Jawaban : B

B (2,0) 10

20. UMPTN ’95 (Rayon A)

Vertex F = 6x + 10yA (2,4) 12 + 40 = 52B (2,0) 12 + 0 = 12C (10,0) 60 + o = 60 (maks)

Nilai maksimum fungsi sasaran z = 8x + 6y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, 4x + 2y ≤ 60, dan 2x +4y ≤ 48 adalah ….

A. 132 C. 136 E. 152B. 134 D. 144

Pembahasan :

Y z (x,y) = 8x + 6y

z(12,8) = 8(12) + 6(6) = 132 (maksimum)

30 z (0,12) = 8(0) + 6(12) = 72

(0,120) z (15,0) = 8(15) + 6(0) = 120

0 (15,0) 24 X Jadi, nilai maksimum fungsi sasaran = 132

2x + 4y = 48

4x + 2y = 60

Jawaban : A